logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
(ČASOVÉ ŘADY)
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
UKB, A29 – RECETOX, dv.č.112
holcik@iba.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
II.  ČASOVÉ ŘADY
(SIGNÁLY)
 ZÁKLADNÍ POJMY
dokončení

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ KONCEPT
REÁLNÝ OBJEKT
HODNOTÍCÍ „VÝROK“
PŘÍČINNÝ DETERMINISTICKÝ VZTAH
CÍLEM JE ODHALIT TEN PŘÍČINNÝ DETERMINISTICKÝ VZTAH NAVZDORY VŠEMU TOMU, CO NÁM TO ODHALENÍ KAZÍ
3

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SKLADBA DAT
þmatematický model deterministické složky(složek)
4
zkoumáme jak data odpovídají modelové představě

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SKLADBA DAT
þmatematický model deterministické složky(složek)
5
spektrum real spektrum 50
qnelineární
qlineární
Øčasová (primární) oblast
Øfrekvenční (sekundární) oblast
Ø…

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmatematický model deterministické složky(složek)
þ
6
spektrum vlny
SKLADBA DAT
qnelineární
qlineární
Øčasová (primární) oblast
Øfrekvenční (sekundární) oblast
Ø…

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þmodel deterministické složky(složek);
ènelineární
èlineární
qčasová oblast
qfrekvenční oblast
q…
þmodel nedeterministické složky
èpravděpodobnostní
èfuzzy
èhrubý
è…
7
SKLADBA DAT

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
III.  ČASOVÉ ŘADY
PŘÍKLAD TAK TROCHU NA VYSVĚTLENOU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZADÁNÍ
þ10 12 8 6 5 11 14 9 10 13 7 6 10 14 9 8 12 9 6 9

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þprůměrná hodnota:
þ
þ
þ
þ
ZADÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þprůměrná hodnota:
þ
þ
þklouzavý průměr:
þ pro M liché
þ
þ
þ
þ pro M sudé třeba
þ
þ
ZADÁNÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
?
?
?
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
KAUZALITA ≡
≡ PŘÍČINNOST
přechodný děj

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8,2 8,4 8,8 9,0 9,8 11,4 10,6 9,0 9,2 10,0 9,2 9,4 10,6 10,4 8,8 8,8
m = 5
a = (1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8,2 8,4 8,8 9,0 9,8 11,4 10,6 9,0 9,2 10,0 9,2 9,4 10,6 10,4 8,8 8,8
m = 5
9,4
9,3
9,0
9,7
9,9
10,0
9,9
9,9
9,9
9,6
9,4
9,7
9,7
9,6
m = 7
a = (1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7 , 1/7, 1/7)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLOUZAVÝ PRŮMĚR
þm = 3
10
12
8
6
5
11
14
9
10
13
7
6
10
14
9
8
12
9
6
9
10,0
8,7
6,3
7,3
10,0
11,3
11,0
10,7
10,0
8,7
7,7
10,0
11,0
10,3
9,7
9,7
9,0
8,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9,4
9,3
9,0
9,7
9,9
10,0
9,9
9,9
9,9
9,6
9,4
9,7
9,7
9,6
m = 7
a = (1/7, -1/7, -1/7, 1/7, -1/7 , -1/7, 1/7)
-0,9
-1,9
-0,7
-0,3
-3,9
-2,3
0,7
-1,3
-2,7
-0,7
0,0
-2,9
-2,9
0,4

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZPŮSOB VÝPOČTU
þuvažujme třeba kauzální výpočet (tj. pouze ze zpožděných známých hodnot):
þ
þ1.
þ
þ
þ2.
þ
þrekurze – používá staré hodnoty výstupních vzorků

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NOVÉ POJMY
þkoeficienty odpovídající žádanému průběhu časové řady (model); þpřechodný děj (odezva na počáteční
podmínky);
þkauzalita;
þrekurze.

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
IV.  ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
ZÁKLADNÍ POJMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þabychom mohli úspěšně řešit praktické problémy (analýza, syntéza), potřebujeme reálné veličiny
vyjádřit matematicky jejich (abstraktními) modely;
þmodel veličiny by měl splňovat dva základní požadavky:
èvýstižnost, přesnost;
èjednoduchost, snadná manipulace;
VELIČINYR MATEMATICKÉ MODELY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KLASIFIKACE VELIČIN
(A JEJICH MATEMATICKÝCH MODELŮ)
A)spojité a diskrétní
B)reálné a komplexní
C)deterministické a nedeterministické (náhodné?)
D)periodické a neperiodické
E)sudé a liché

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þSpojitá veličina(přesněji veličina se spojitým časem) je taková veličina x(t), kde čas t je
spojitá proměnná.
þDiskrétní veličina (přesněji veličina s diskrétním časem) je taková veličina x(t), kde čas t je
definován v diskrétních časových okamžicích. Diskrétní veličinu proto často zapisujeme jako
posloupnost {xn}, kde n je celé číslo, resp. x(nT).

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þ
1-1b 1-1a

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu). Příklad:
obdélníkový signál
þ
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá;
èdiskrétní;
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu). Příklad:
obdélníkový signál
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá
èdiskrétní
þ
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozn. Spojitá vs. nespojitá funkce. Zde se myslí ve smyslu hodnot funkce nikoliv času. V tomto
smyslu nespojitá veličina (signál) v praxi neexistuje (vždy konečná délka přechodu). Příklad:
obdélníkový signál
þ
þTypy dat (Biostatistika, str.12):
þkvalitativní:
ènominální – kategorie nelze seřadit;
èordinální – kategorie je možné seřadit;
èbinární
þkvantitativní:
èspojitá
èdiskrétní
þDélka dat
þbudeme se zabývat posloupnostmi s desítkami vzorků
è
þ
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
þU diskrétní veličiny není její hodnota mezi jednotlivými diskrétními časovými okamžiky definována.
þDiskrétní veličinu lze také získat vzorkováním spojité veličiny: x(t0), x(t1), x(t2), ..., x(tn),
... (též značení x0, x1, x2, ..., xn, ...). Hodnoty xi = xi(t) se nazývají vzorky.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A) SPOJITÉ A DISKRÉTNÍ VELIČINY
èexplicitně seznamem hodnot, např.
è
(zde se implicitně předpokládá, že prvky jsou číslovány od nuly a pro záporné indexy n jsou hodnoty
nulové)
þDiskrétní veličinu můžeme zapsat
èfunkčním předpisem, např.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
B) REÁLNÉ A KOMPLEXNÍ VELIČINY
þReálná veličina (model) je taková, která nabývá reálných hodnot. (V praxi skutečně měřitelný.)
þKomplexní veličina (model) je taková, která nabývá komplexních hodnot. (Hypotetická, v praxi
neměřitelná.)
Čas t je spojitý nebo diskrétní.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NEDETERMINISTICKÉ (NÁHODNÉ ) VELIČINY
þDeterministická veličina je taková, jejíž hodnoty jsou v daném čase jednoznačně určeny. Taková
veličina může být popsán analytickou funkcí času t.
þNáhodná (stochastická) veličina je taková, jejíž hodnoty jsou náhodné. Takové veličiny popisujeme
statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum, definované rozložení, momenty.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ VELIČINY
þNáhodná (stochastická) veličina je taková, jejíž hodnoty jsou náhodné. Takové veličiny popisujeme
statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum.

>

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
C) DETERMINISTICKÉ A NÁHODNÉ VELIČINY
Náhodná (stochastická) veličina je taková veličina, jejíž hodnoty jsou náhodné. Takové veličiny
popisujeme statistickými prostředky. Např. bílý/barevný šum.
Náhodný proces
Systém {xi} náhodných veličin xi, definovaných pro všechna tÎR se nazývá náhodný proces (random
process) a označuje se x(t). Nezávislá veličina t je zpravidla čas.
vstacionarita;
vergodicita

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU
þzhruba:
þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním
001.jpg 002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřesněji:
þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou
závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách
časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2)
þ
þZ praktického hlediska často vnímáme pojem stacionarity v tzv. širším slova smyslu, kdy stačí, aby
se s nezávisle proměnnou neměnily pouze statistické momenty 1. a 2. řádu, střední hodnota, rozptyl
a autokorelační, resp. autokovarianční funkce.
þ
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají
stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu
z jediné libovolné realizace.
þ
þZpravidla požadujeme (je to z hlediska analýzy pohodlnější), aby byl analyzovaný proces jak
stacionární, tak i ergodický, ale obecně ergodický proces nemusí být nezbytně i stacionární a
samozřejmě i naopak.
þ
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
þSpojitá veličinax(t) je periodická s periodou T, jestliže existuje hodnota T taková, že pro
všechna t platí
nNejmenší kladná hodnota T, pro kterou platí uvedený vztah se nazývá základní perioda.
nObecně lze psát
kde k je celé číslo.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPozor!
þPro konstantní signál není definována základní perioda. Konstantní signál je periodický pro každou
hodnotu T.
þSpojitý signál, který není periodický se nazývá neperiodický nebo aperiodický.
þReálné biosignály nejsou zcela periodické – hovoříme o repetičních signálech.
þPohov!
řečový signál – samohláska „e“
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
þPozor!
þDiskrétní signál získaný rovnoměrným vzorkováním  periodického spojitého signálu nemusí být
periodický.
þSoučet dvou spojitých periodických signálů nemusí být periodický signál.
þSoučet dvou diskrétních periodických signálů je vždy periodický signál.
èPohov!
nPro diskrétní signál definujeme periodický signál s periodou N obdobně
a

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
D) PERIODICKÉ A NEPERIODICKÉ VELIČINY
1-3

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
E) SUDÉ A LICHÉ VELIČINY
þSudá veličina je taková, pro níž platí
nLichá veličina je taková, pro níž platí
nSoučin sudé a liché veličiny je lichá veličina.
nSoučin dvou sudých nebo dvou lichých veličin je sudá veličina.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
E) SUDÉ A LICHÉ VELIČINY
1-2

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
V. VELIČINY SPOJITÉ V ČASE
A JEJICH MODELY (FUNKCE)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þharmonická funkce je dána vztahem
þx(t) = A.cos(ωt + φ0),
þkde
þ A>0 je amplituda harmonické funkce
þ ω >0 je úhlový kmitočet h.f.
þ φ0 je počáteční fáze, tj. fáze v čase t=0
þ ωt + φ0 je fáze harmonické funkce
þPerioda harmonické funkce je dána vztahem
þT = 2p/ω
þkmitočet h.f. je definován
þ f = 1/T = ω/2p
HARMONICKÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2).
HARMONICKÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2).
HARMONICKÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2).
þ
þtříparametrický harmonický signál lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách
þ amplituda x (úhlový) kmitočet      a
þ počáteční fáze x (úhlový) kmitočet:
þA = A(ω)    a    φ0 = φ0(ω);
þ
HARMONICKÁ FUNKCE
spektrum amplitud
spektrum počátečních fází

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
!!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!!
þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých
harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci.
þ
þ! ZAPAMATOVAT!   ! NA VĚKY !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdalší definice
þ
þx(t) = Re{  (t)} = Re{A.exp[j(ωt + φ0)]}
þ
þ(vyplývá z Eulerových vztahů)
HARMONICKÝ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkupodivu lze použít i vztah
þ
þx(t) = Re{A.exp[j(-ωt – φ0)]} = Re{  *(t)}
þ
þpozor !!! pozor
þ- záporný kmitočet - ale funguje to
HARMONICKÝ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þProtože platí
þx(t) = Re{  (t)} = Re{  *(t)} a Im{  (t)} = -Im{  *(t)}
þje i
þx(t) = ½.{  (t) +   *(t)}
þx(t) = ½.{A.exp(jφ0).exp(jωt)} +
þ+ ½.{Aexp(-jφ0).exp(-jωt)}
þ
þOznačíme-li
þĊ1 = ½.A.exp(jφ0)   a   Ċ-1 = ½.Aexp(-jφ0)
þje
þx(t) = Ċ1.exp(jωt) + Ċ-1.exp[j(-ω)t]
HARMONICKÝ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÝ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
è
è
è
è
è
þ
þ
þ     spektrum amplitud   spektrum počátečních fází
HARMONICKÝ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þhttp://www.mysearch.org.uk/website1/html/222.Function.html
þhttp://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/complex/complex.html
þhttp://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic
þhttp://www.khanacademy.org/science/physics/oscillatory-motion/harmonic-motion/v/introduction-to-ha
rmonic-motion
þhttp://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPERIODICKÉ FUNKCE
þjednorázový deterministický signál
þ
s(t) = 10.10-6 V pro tÎá-0,5 ms; 0,5 msñ
s(t) = 0 V          pro tÎ(0,5 ms; ¥ñ
s(t) = 0 V          pro tÎá-¥; -0,5 ms )

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t)
þ splňuje vztah
zjednodušeně:
jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně)
vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková
JEDNORÁZOVÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t)
þ splňuje vztah
JEDNORÁZOVÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t)
þ splňuje vztah
zjednodušeně:
jednotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně)
vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková
JEDNORÁZOVÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEDNORÁZOVÉ FUNKCE
þjednotkový skok (Heavisidova funkce)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEDNORÁZOVÉ FUNKCE
þpro obě uvedené jednorázové funkce platí:

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU
þjsou odvozeny z primární představy signálu, reprezentovaného elektrickými veličinami, elektrickým
napětím, příp. proudem. Na základě fyzikálních zákonitostí platí, že okamžitý výkon p(t) v čase t
na reálném odporu R je roven součinu okamžitého napětí na odporu a proudu, jím protékajícím, tedy
þp(t) = u(t).i(t)
þPodle Ohmova zákona je
þu(t) = R.i(t)
þa po dosazení můžeme psát, že
þp(t) = R.i(t).i(t) = R.i2(t) = u(t).u(t)/R = u2(t)/R.
þKdyž je R = 1 Ω, se vztah zjednoduší na
þpR=1(t) = i2(t) = u2(t)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU
þcelková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je
þ
þ
þNa základě této rozvahy definujeme obecně energii spojitého signálu x(t) vztahem
þ
þa pro diskrétní signál x(nTvz)
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEŠTĚ DVA DŮLEŽITÉ POJMY
ENERGIE &VÝKON SIGNÁLU
þVýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.
þ
þa z toho                      a
þ
þNebo v normalizovaném diskrétním tvaru
þ
þ
þPokud se energie kumuluje v nekonečně dlouhém časovém intervalu, pak se vztahy  modifikují do
tvaru
þ                                                                               a
þpříp.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þnásobení konstantou
þ x(t) ~ A.x(t),
þ
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ
A=2

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þzměna časového měřítka
þx(t) ~ x(mt),
þ kde m je kladné reálné číslo
þ m > 1 – časová komprese;
þ m < 1 – časová expanze
þ m = 1 – nic se neděje
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þzměna časového měřítka
þx(t) ~ x(mt),
þ kde m je kladné reálné číslo
þ m > 1 – časová komprese;
þ m < 1 – časová expanze
þ m = 1 – nic se neděje
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ
a) originál; b) k=2; c) k=2/3

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þposunutí v čase
þ
þx(t) ~ x(t+t),
þ t je reálné, od nuly různé číslo;
þ t > 0 – ?
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þposunutí v čase
þ
þx(t) ~ x(t+t),
þ t je reálné, od nuly různé číslo;
þ t > 0 – zpoždění
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ
a) originál x(t); b) funkce x(t-1); c) funkce x(t+1);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þobrácení (inverze) časové osy
þ
þx(t) ~ x(-t) ,
ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY
OPERACE S JEDNOU FUNKCÍ
a) originál x(t); b) funkce x(-t); c) funkce x(-t+1)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SHRNUTÍ
þjaké typy veličin známe (dle vlastností)?
þstacionarita, ergodicita;
þdefinice základních modelů veličin (jednotkový skok, impuls, harmonický signál);
þrůzné formy vyjádření harmonické funkce;
þco je frekvenční spektrum?
þzákladní operace s funkcemi.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þZA TÝDEN NASHLEDANOU