logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
 (ČASOVÉ ŘADY)
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VI.
SYSTÉMY
ZÁKLADNÍ POJMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM - DEFINICE
þ SYSTÉM (řec.)
þß
þsložené, seskupené (v celek)
þ
þuzavřený, jednotně uspořádaný celek;
þsoustava věcí, myšlenek, apod. uspořádaná podle určitého hlediska, určitou formou a metodou;
þzáměrný, promyšlený, určitým způsobem uspořádaný postup, organizace, děj nebo vývoj;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ [Systém se skládá] z dynamicky uspořádaných prvků a vzájemně se ovlivňujících procesů. […]
Základním úkolem biologie je odhalení zákonitostí biologických systémů.
vonBertalanffy
Ludwig von Bertalanffy
(1901-1972)
Kritische Theorie der Formbildung, Berlin 1928
General System Theory. Foundations, Development, Applications, NY1968
SYSTÉM - DEFINICE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SYSTÉM - DEFINICE
þSystém je komplex vzájemně na sebe působících elementů. (L.von Bertalanffy)
þSystém je soubor prvků a vazeb mezi nimi. (R.L.Ackoff)
þSystém je uspořádání určitých komponent, vzájemně propojených v celek (G.J.Klir)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstruktura – je dána množinou všech prvků a vazeb (vztahů, relací) mezi prvky, resp. dalšími
různými podsystémy daného systému;
þ
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þchování – je projevem dynamiky systému Dynamika je schopnost vyvolat změnu v systému, zejména jeho
stavu. Dynamika je vlastností prvků systému, vazby jsou jejími iniciátory (vstupy), resp. nositeli
důsledků (výstupy).
berta-lo
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstavem sytému rozumíme souhrn hodnot jeho vlastností, které lze rozpoznat v daném časovém okamžiku
za přesně definovaných podmínek. Stavu systému lze v libovolném časovém okamžiku t (z nějakého
daného či zvoleného časového intervalu) přiřadit vektor hodnot s(t)Î S, který nazýváme stavovým
vektorem, složky xi vektoru s nazýváme stavovými veličinami (proměnnými) a prostor S všech možných
hodnot stavových veličin nazýváme stavovým prostorem. Podle vývoje hodnot stavu systému lze systémy
dělit na statické (nevykazují pohyb) a dynamické.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þstabilita je schopnost systému udržovat si při změně vstupů a stavů svých prvků nezměněnou vnější
formu (chování) i navzdory procesům probíhajícím uvnitř systému. Stabilitu chápeme jako vlastnost
zaručující, že i po určité malé změně počátečních podmínek nastane v systému při nezměněných
vstupech pohyb jen málo odlišný od původního. Pojem stability se neomezuje pouze na návrat do
původního stavu po poruše, která způsobí vychýlení. Často je návrat do původního stavu nemožný,
protože se změnily podmínky, v nichž systém existuje – pak si systém může najít stav odchylný od
výchozího stavu, který je rovněž stabilní – tzv. ultrastabilní systém.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þokolí systému je tvořeno množinou prvků, které nejsou součástí daného systému, ale jsou s ním
významně svázány. Systém a jeho okolí jsou jednak objektivní skutečností, ale jsou dány i
subjektivně, v závislosti na osobě zkoumající systém a na účelu zkoumání.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þVeličiny (vazby), které zprostředkovávají vliv okolí na systém jsou vstupy systému a vnější
projevy (vazby) systému, které reprezentují jeho vliv na okolí, jsou výstupy systému. Prvek
systému, který má vazbu s okolím (vstupní nebo výstupní nebo vstupní i výstupní) nazýváme hraničním
prvkem systému a množinu všech hraničních prvků nazýváme hranice systému.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þotevřený systém je takový, u něhož dochází k energetické a informační výměně s jeho okolím.
þuzavřený (konzervativní) systém je naopak od svého okolí zcela izolován, nemá se svým okolím žádné
vazby. þpodmínka separability systému – systém je separabilní, jestliže jeho výstupy zpětně vlivem
prostředí podstatně neovlivňují vstupy.
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU
PŘÍKLADY
obr3_1
LIDSKÝ ORGANISMUS JAKO SYSTÉM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁKLADNÍ ATRIBUTY SYSTÉMU
SYSTÉM PĚTI PRVKŮ KLASICKÉ ČÍNSKÉ MEDICÍNY A FILOSOFIE
5EL1
PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ
POPIS SYSTÉMU
þprvky – části, ze kterých se systém skládá
þproměnné – slouží k popisu stavu prvků a jejich vývoje v čase;
þvazby – pravidla, dle kterých se prvky navzájem ovlivňují (případně mění své parametry) a tak
určují vývoj chování v čase;
þparametry – zpravidla neproměnné (konstantní) charakteristiky prvků a vazeb systému;
þzákladní předpoklady (počáteční podmínky) – vyplývají ze specifikace;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEFORMÁLNÍ ABSTRAKTNÍ
POPIS SYSTÉMU
RLC
PASIVNÍ RLC OBVOD JAKO ELEKTRICKÝ MODEL CÉVNÍHO SEGMENTU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY?
þmodely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -; þpopis algoritmů pro zpracování dat
(technické, resp. matematické systémy);

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VII.
SPOJITÉ SYSTÉMY
FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮ
VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
þMatematické prostředky se různí podle:
þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku);
þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní);
þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické -  pravděpodobnostní,
fuzzy,…);
þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné);
þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
þMatematické prostředky se různí podle:
þtypu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku);
þcharakteru proměnných (kvantitativní - spojité, diskrétní, logické; kvalitativní);
þdeterminovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické -  pravděpodobnostní,
fuzzy,…);
þvztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
þproměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné);
þvztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
Pak lze psát
RLC

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
RLC
Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za proud i1 a jeho derivaci ze vztahu mezi
proudem a napětím na kapacitě je
a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním napětím, tj. uC(t) = u2(t) lze psát
matematický vztah mezi výstupním u2 (t) a vstupním u1(t) napětím obvodu
.
Vztah mezi vstupem a výstupem – jedna z forem vnějšího popisu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þobecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu
þ
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x ,
þ
þkterá je, za předpokladu že parametry an, an-1, …, a0, bm, bm-1, …, b0 jsou konstantní, lineární;
þprakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím
vstupního signálu, proto musí platit m ≤ n;
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LINEARITA
þSystém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice þJe-li y=f(x) převodní funkce systému,
pak pro lineární systém musí platit
þ 1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2);
þ 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst.
þ
þ1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2)
þ2) c.k.x = k.c.x
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA neplatí to ani, když
þy=k.x-q, kde k,q = konst.,
þprotože
þ
þ1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q
þ2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q)
LINEARITA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ
þPamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
þDEFINIČNÍ VZTAH
þ
þ
þ kde p = σ+jω.
þ
þPamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þVLASTNOSTI
þ
þspousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se
neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné
algebraické)
þLaplacův obraz derivace:
þf’(t) ~ p.F(p) - f(0)
þf(n)(t) ~ pn.F(p) - pn-1f(0) – pn-2f’(0) - … - f(n-1)(0)
LAPLACEOVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů obou veličin. Za předpokladu nulových
počátečních podmínek pro Laplacův  obraz n-té derivace funkce y(t) platí
Do dosazení dostáváme

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát
Takto definovanou funkci za nulových počátečních podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou)
přenosovou funkci daného systému.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
þpro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu
þ
þbny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y =
þ= amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x ,
þ
þmá přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpolynom ve jmenovateli přenosové funkce
þ
þ
þ
þnazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici
þ
þ
þnazýváme charakteristickou rovnicí systému
þ
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þřešením charakteristické rovnice
þ
þ
þresp.
þ
þ
þdostaneme n jejích kořenů pi, i=1,…,n.
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPodobně můžeme určit i kořeny zj, j=1,…,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli
přenosové funkce rovno nule, tj.
þ
þ
þKořeny pi i zj mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty bi, resp.
aj jsou reálné, pak kořeny pi i zj, jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené.
þ
PŘENOSOVÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Pomocí hodnot kořenů zj a pi můžeme psát přenosovou funkci ve tvaru
Kořeny zj nazýváme nulové body přenosové funkce a kořeny pi póly přenosové funkce F(p)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þproměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru
þp = s + jw ,
þ kde s je koeficient tlumení a w = 2pf je kruhová frekvence
þpředpokládejme, že koeficient tlumení
þs = 0,
þ pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme
þ
þ
þ
þ což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické
místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ≤ w < ¥)
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þfrekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby:
èfrekvenční charakteristika v komplexní rovině
èF(jw) = Re [F(jw)] + j.Im [F(jw)]
èmodulová (amplitudová) a fázová frekvenční charakteristika
èF(jw) = |F(jw)|.ejj(w)
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
V KOMPLEXNÍ ROVINĚ
v tomto případě kreslíme frekvenční charakteristiku nejčastěji v komplexní rovině s osami, na které
vynášíme reálnou a imaginární složku přenosu; frekvenční vlastnosti systému vyjadřuje křivka v
komplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence w
kcharky1

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þvlastnosti systému určují dvě funkce – závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na
frekvenci;
fcharky
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þv některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko –
amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech
þ|F(jw)|dB = 20.log |F(jw)|
þ Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem
dílčích přenosových funkcí
þF(jw) = F1(jw). F2(jw). … . Fk(jw);
þ pak platí
è|F(jw)|.ejj(w) = |F1(jw)|. |F2(jw)|… |Fk(jw)|.ej(j1+ j2+…+ jk)
þ
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
kcharky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HRÁTKY S POČÁTEČNÍ FÁZÍ
originál
φ01=φ02=π/2
φ01= π/4; φ02=π/2
φ01=φ02=π

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
nyní předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
a tedy i
Pak se poněkud komplikuje určení i1 = iC ze vztahu
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Platí, že
Potom pro  iC platí
Pro jednoduchost, nechť je C(u2) = k.u2 a tedy C‘(u2) = k ; pak
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
A po dosazení dostáváme
Protože C(uC) = k.uC, můžeme psát
A tedy obecně
bn(·).y(n) + bn-1(·).y(n-1) + … + b0(·).y =
= am(·).x(m) + am-1(·).x(m-1) + … + a0(·).x
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
bn(·).y(n) + bn-1(·).y(n-1) + … + b0(·).y =
= am(·).x(m) + am-1(·).x(m-1) + … + a0(·).x
(·) znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné popisující chování systému – její průběh,
ale obecně závisí na vstupním signálu
ß
(1)Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení)
(2) Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace proměnné lze počítat (zda-li) jen pro
konkrétní případ a tedy nelze obecně stanovit tvar operátorové přenosové funkce nelineárního
systému
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RLC
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS
RLC
u2 a i1 jsou stavové veličiny; z jejich hodnot, resp. jejich derivací a parametrů systému jsme
schopni spočítat hodnoty všech dalších veličin popisujících chování daného systému

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
rovnice dynamiky
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
výstupní rovnice
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þA - matice vnitřních vazeb systému (též systémová matice nebo matice zpětných vazeb);
þ rozměr: n x n
þB - matice vazeb systému na vstup (též vstupní matice); rozměr: m x n
þC - matice vazeb výstupu na stav (výstupní matice); rozměr: n x r (r je počet výstupů)
þD - matice přímých vazeb výstupů na vstupy; rozměr: m x n (z hlediska zkoumání vlastností
lineárních dynamických systémů nejsou tyto vazby podstatné a často je tato matice nulová)
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU
nyní opět předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru; pak

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
1.diferenciální rovnice;
2.operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace);
3.rozložení nul a pólů;
4.frekvenční přenosová funkce;
5.frekvenční charakteristiky – v komplexní rovině; amplitudová, fázová;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
1.diferenciální rovnice;
2.operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace);
3.rozložení nul a pólů;
4.frekvenční přenosová funkce;
5.frekvenční charakteristiky – v komplexní rovině; amplitudová, fázová;
6.impulsní charakteristika;
7.přechodová charakteristika;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkonvoluce
operátorová přenosová funkce
H(p) = Y(p)/X(p)
Y(p) = H(p).X(p)
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þy(t) = h(t) = L-1(H(p).L (d(t))) = L-1(H(p).1)
þY(p) = H(p) = L (h(t)*d(t)) = L (h(t)*L-1(1))
þ
þimpulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy transformace.
þimpulsní charakteristika a frekvenční přenosová funkce tvoří transformační pár Fourierovy
transformace.
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li přiveden na vstup signálu přiveden Diracův impulz, má systém reagovat na dvě nekonečně velké
změny úrovně signálu v nekonečně krátkém intervalu;
þčím užší signál, tím širší spektrum – jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum,
takže přivedeme-li na vstup systému Diracův impulz, je situace ekvivalentní současnému přivedení
úplné rovnoměrné směsi harmonických signálů o frekvencích od 0 do ¥ Hz;
þtakový signál není reálný systém schopen přenést bez deformace;
þimpulsové charakteristice lze tedy rozumět jako systémem zdeformovaný Diracův impulz. Podle
vlastností deformovaného výstupního signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému;
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þje-li h(t) = 0 pro t > t0,
þ hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO – FIR);
þnení-li h(t) = 0 pro t > t0,
þ resp. je-li  h(t) ¹ 0 pro t < ¥,
þ hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO – IIR);
þ
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřechodová charakteristika =
þ= odezva systému na jednotkový skok
þL(σ(t)) = 1/p
þY(p) = G(p) = H(p).L(σ(t)) = H(p).1/p = H(p)/p
VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPříprava nových učebních materiálů
þpro obor Matematická biologie
þje podporována projektem ESF
þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318
þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU