logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, UKB A29, přízemí, dv.č.112 logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz IX. STABILITA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ þStabilita - vlastnost systému, kterou můžeme charakterizovat jeho schopností udržet své chování či rysy (parametry) v předepsaných mezích i za případného vnějšího rušivého působení. þRovnováha - relativně stálý stav systému, vzniklý vyrovnáním vlivů na systém působících. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ koule obr12_1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA þLjapunovská stabilita: Rovnovážný stav xe je ljapunovsky stabilní právě tehdy, když ke každému e > 0 existuje δ > 0 takové, že pro libovolný počáteční stav x0, který leží v okolí δ rovnovážného stavu, tj. platí, že všechny stavy x(t), které jsou řešením systému, leží v blízkosti rovnovážného stavu, tj. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA þLjapunovská stabilita obr12_2 ljapunov_stabil levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA þLjapunovská stabilita èNevyžadujeme, aby blízké řešení konvergovalo do rovnovážného stavu, ale pouze vyžadujeme, aby se mu příliš nevzdalovalo. þ þKvaziasymptotická stabilita: þRovnovážný stav xe je kvaziasymptoticky stabilní právě tehdy, když existuje takové číslo δ > 0, že každý stav x(t) systému, který leží v δ okolí rovnovážného stavu, konverguje pro t → ∞ k tomuto rovnovážnému stavu, neboli . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA þAsymptotická stabilita: þ Rovnovážný stav je asymptoticky stabilní právě tehdy, když je ljapunovsky stabilní i kvaziasymptoticky stabilní. asymptotic_stabil levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA þStabilitu můžeme definovat i z „vnějšího pohledu“ a to tak, že na každý omezený vstup (co do hodnot) bude systém reagovat omezeným výstupem (co do hodnot) (BIBO - Bounded Input – Bounded Output, ohraničený vstup – ohraničený výstup) . þPodle této definice lze ověřit pouze nestabilitu. þNutnou a postačující podmínkou pro BIBO stabilitu je absolutní integrovatelnost jeho impulsní charakteristiky, tj. musí platit þ nPro diskrétní systémy platí obdobná tvrzení. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ þdva základní přístupy k určení stability: þstabilita vůči počátečnímu stavu (daná konvergencí přirozené odezvy); þstabilita vynuceného pohybu; þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þtendence systému reagovat přiměřeně na podnět konečné délky a po jeho zániku se vrátit do výchozího stavu (není nezbytnou podmínkou þDEFINICE: þSystém je stabilní, pokud na každý ohraničený vstup x(t) [x(nTvz)] (co do hodnot i trvání) reaguje rovněž ohraničeným výstupem y(t) [y(nTvz)] þ(dle této definice lze ověřit pouze nestabilitu) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þasymptoticky stabilní systém je systém, jehož přirozená odezva časem zaniká þ mějme lineární systém pracující ve spojitém čase 2. řádu definovaný přenosovou funkcí STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NUTNÉ A POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY þOblast, ve které leží póly stabilního systému, je v komplexní rovině levá polorovina bez imaginární osy. þJsou-li póly systému na imaginární ose, říkáme, že je systém na mezi stability. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NUTNÉ A POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY þPříklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NUTNÉ A POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY þPříklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí Tento systém je ljapunovsky i asymptoticky stabilní Póly přenosové funkce jsou: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU odezva real levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz odezva komplex STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 18 STABILITA DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þStabilitu diskrétních systémů vyšetřujeme pomocí pólů systému respektive vlastních čísel matice systému. þ þLineární stacionární systém je asymptoticky stabilní právě tehdy, jsou-li póly systému v absolutní hodnotě (resp. vlastní čísla matice systému M) menší než 1,. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 19 STABILITA DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz X. SPOJOVÁNÍ SYSTÉMŮ ZPĚTNÁ VAZBA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SÉRIOVÉ (KASKÁDNÍ) ZAPOJENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PARALELNÍ ZAPOJENÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ E(p) = X(p) - V(p) X(p) = E(p) + V(p) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ kladná ZV levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNÁ VAZBA PRINCIP REGULACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPĚTNÁ VAZBA VLASTNOSTI þzvýšená přesnost – např. schopnost věrně reprodukovat vstup; þsnížená citlivost poměru výstup/vstup na změny parametrů systému; þsnížený vliv nelinearit; þsnížený vliv vnějších poruch a šumu; þširší rozsah frekvenčního pásma; þtendence k oscilacím a nestabilitě; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD ROZŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmodulová logaritmická frekvenční charakteristika þ þ èpro ω « 1/T je (Tω)2 «1 a tedy þ þ è pro ω » 1/T je (Tω)2 »1 a tedy SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD ROZŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA þBiologická zpětná vazba je mechanismus, který prostřednictvím měření a smyslově vnímatelného znázornění stavu určitého subsystému lidského organismu umožňuje tento stav změnit volní činnosti vyšetřované osoby. þ þ þ þ þ þ þ þ þMůže-li si člověk prostřednictvím určitého přístroje uvědomit stav či změnu stavu svého organismu (které by si normálně nevšimnul), např. generování EEG signálu s převažujícím výskytem složek o frekvencích z intervalu 8 – 12 Hz – rytmus alfa, pak se může naučit tento stav do určité míry ovlivňovat. http://programujte.com/../galerie/2005/12/200512030221_feedback.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA þVeličiny, které mohou být biologickou zpětnou vazbou vědomě modifikovány, jsou např. klidové svalové napětí, srdeční rytmus, tlak krve, periferní tok krve (vasokonstrikce, resp. vasodilatace), kožní odpor či EEG signál. þZnázornění hodnoty sledované veličiny je především vizuální (poloha ukazatele, umístění bodu na ploše obrazovky) nebo akustické (výška či hlasitost tónu). V poslední době se prosazuje forma jednoduchých počítačových her. þMožnost (schopnost) ovlivňovat stav vlastního organismu umožňuje využít tohoto principu v terapii psychických poruch různého typu. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříprava nových učebních materiálů þpro obor Matematická biologie þje podporována projektem ESF þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“ INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU