logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, UKB A29, 1.NP, dv.č.112 logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XIII. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPOJITÉ SYSTÉMY þTéměř všechny realizovatelné (fyzikálně, biologicky, chemicky, …) spojité lineární systémy (kromě systémů s dopravním zpožděním) lze vytvořit z prvků tří typů: þproporcionálních členů (ideálních zesilovačů multiplikátorů); þintegrátorů; þsoučtových členů (sumátorů); levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þa1y‘(t)+a0y(t) = x(t) þy‘(t) = x(t)/a1 - a0y(t)/a1 þy(t) = ò(x(t)/a1 - a0y(t)/a1)dt = òx1(t)dt SPOJITÉ SYSTÉMY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKromě těchto základních prvků existují další typové články s určitými typickými vlastnostmi: þsystém se setrvačností 1. řádu; þderivační systém; þstatický systém 2. řádu; þsystém s dopravním zpožděním. SPOJITÉ SYSTÉMY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM operátorová přenosová funkce H(p) = Y(p)/X(p) = k frekvenční přenosová funkce H(ω) = Y(ω)/X(ω) = k þdefiniční rovnice þ y(t) = k.x(t) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfrekvenční charakteristika þv komplexní rovině modulová a fázová frekvenční charakteristika PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ?impulsní charakteristika ?přechodová charakteristika ?nuly a póly přenosových funkcí þ þFyzikální realizace: üvysokofrekvenční zesilovače ümechanické převody üpotenciometry üpřevodníky (fyzikálních) veličin (??) PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenciální rovnice þy‘(t) = ki.x(t) þpo Laplacově transformaci þp.Y(p) – y(0) = ki.X(p) þoperátorová přenosová funkce (!! y(0)=0 !!) ki - zesílení integrátoru; Ti – časová konstanta integrátoru INTEGRAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfrekvenční přenosová funkce þ þ þfrekvenční charakteristika þ v komplexní rovině * modulová a fázová frekvenční charakteristika v log. souřadnicích INTEGRAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þimpulsní charakteristika þ þ þpřechodová charakteristika (pro t≥0) INTEGRAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU þ(zpožďující(?) člen 1.řádu, aperiodický člen, statický člen 1. řádu) þdiferenciální rovnice þa1y‘(t) + a0y(t) = x(t) þT.y‘(t) + y(t) = k.x(t) þT = a1/a0; k = 1/a0 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þoperátorová přenosová funkce þ þfrekvenční přenosová funkce SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmodulová logaritmická frekvenční charakteristika þ þ èpro ω « 1/T je (Tω)2 «1 a tedy þ þ è pro ω » 1/T je (Tω)2 »1 a tedy SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfázová frekvenční charakteristika þ þ þ þ þ pro 0 ≤ ω < ¥ je φÎá0;-90°) SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU 39_54 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þimpulsní charakteristika þ þ þpřechodová charakteristika SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 40_54 SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnuly a póly þrealizační schéma 41_55 SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DERIVAČNÍ SYSTÉM þdefiniční rovnice þy(t) = kd.x‘(t) þoperátorová přenosová funkce þF(p) = Y(p)/X(p) = kd.p þ þ!!! KONFLIKT !!! þřád polynomu v čitateli je vyšší než řád polynomu ve jmenovateli; þjestli se vstup změní skokem, měl by být výstup úměrný Diracovu impulsu, což neumíme realizovat (nekonečně vysoký impuls s nekonečně krátkou dobou trvání) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfrekvenční přenosová funkce þ þ þ þ þnula v počátku þ komplexní roviny DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmodulová logaritmická frekvenční charakteristika DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þimpulsní charakteristika þ þ þ Diracův impulz 2. řádu þ (fyzikálně nerealizovatelný) DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpřechodová charakteristika þ þ þ Diracův impulz s mocností kd DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkaždý reálný derivační článek je zatížen určitou setrvačností, proto jeho přenosová funkce je alespoň ve tvaru þ þ þ kde Te je malá časová konstanta REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfrekvenční charakteristika v komplexní rovině þ þ þ REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmodulová frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích þ è þpro ω«1/Tε je |F(ω)|dB = 20log(kd) + 20 log(ω) þpro ω»1/Tε je |F(ω)|dB = 20log(kd) + 20 log(ω) - - 20log(ωTε) REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 48_57 REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þimpulsní charakteristika * přechodová charakteristika * nuly a póly REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenciální rovnice þa2y“(t)+a1y‘(t)+a0y(t)= x(t) þ þoperátorová přenosová funkce þ þ þ þ þ þ poměrné tlumení STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þoperátorová přenosová funkce þ þ þ þ þ þ chování systému závisí na pólech přenosové funkce * reálné různé póly * reálné násobné póly * komplexně sdružené póly STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU Charakteristiky a tvary přirozených odezev statického systému 2. řádu pro některé konfigurace pólů přenosové funkce levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM þSystém, který způsobuje pouze posunutí vstupního signálu v čase, jinak tvar vstupu nemění. þdefiniční rovnice þy(t)=x(t-τ) þoperátorová přenosová funkce þF(p) = e-τp þ(není to racionální lomená funkce, tedy nemá nuly a póly – pozor, pozor – funkci lze rozložit a pak jich má nekonečně) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfrekvenční charakteristika þF(ω) = e-jτω þ|F(ω)| = 1 a φ(ω) = -τω 6970_69 SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SYSTÉMY þPodobně jako spojité systémy, lze lineární diskrétní modely reálných systémů realizovat pomocí tří základních typů: þproporcionální člen (násobení konstantou); þzpožďovací člen; þsumační člen. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SYSTÉMY þa1y(nT)+a0y(nT-T) = b0x(nT) þy(nT) = b0x(nT)/a1 - a0y(nT-T)/a1 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PROPORCIONÁLNÍ ČLEN þtotéž jako spojitý proporcionální člen èvýstupní průběh je tvarově shodný se vstupem; èpoměr hodnot výstupní a vstupní hodnoty je roven „zesílení“ k; èpřenosová funkce je určena vztahem levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPOŽĎOVACÍ ČLEN þdiferenční rovnice þ y(nT) = x(nT-T) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z).z-1 Þ þ þfrekvenční přenosová funkce þ z = ejωT z-1 = e-jωT þ H(ejωT) = e-jωT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þsystémy s klouzavým průměrem (moving average – MA) þ þ þsystémy autoregresivní (AR) þ þ þsystémy ARMA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) þdiferenční rovnice þ y(nT) = x(nT) + x(nT-T) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1+z-1) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) þdiferenční rovnice þ 2y(nT) = x(nT) + x(nT-T) þ þobrazová přenosová funkce þ 2Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ 2Y(z) = X(z)(1+z-1) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) þdiferenční rovnice þ y(nT) = x(nT) - x(nT-T) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1-z-1) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) þdiferenční rovnice þ y(nT) = x(nT) - x(nT-T) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1-z-1) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) bi = 1, i=1,..,4; a0 = 4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) – y(nT-T) = x(nT) þ y(nT) = x(nT) + y(nT-T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) – Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1–z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + y(nT-T) = x(nT) þ y(nT) = x(nT) - y(nT-T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1+z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + y(nT-T) = x(nT) þ y(nT) = x(nT) - y(nT-T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1+z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + y(nT-T) = 2x(nT) þ y(nT) = 2x(nT) - y(nT-T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = 2X(z) þ Y(z)(1+z-1) = 2X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + 0,9.y(nT-T) = 1,9.x(nT) þ y(nT) = 1,9.x(nT) – 0,9.y(nT-T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 0,9.Y(z).z-1 = 1,9.X(z) þ Y(z)(1+0,9.z-1) = 1,9.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + y(nT-2T) = 2.x(nT) þ y(nT) = 2.x(nT) – y(nT-2T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-2 = 2.X(z) þ Y(z)(1+ z-2) = 2.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + 0,81y(nT-2T) = 1.81x(nT) þ y(nT) = 1,81x(nT) – 0.81y(nT-2T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 0,81.Y(z).z-2 = 1,81.X(z) þ Y(z)(1+ 0,81.z-2) = 1,81.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nT) + 1,23y(nT-2T) = 2.23x(nT) þ y(nT) = 2,23x(nT) – 1.23y(nT-2T) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 1,23.Y(z).z-2 = 2,23.X(z) þ Y(z)(1+ 1,23.z-2) = 2,23.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN þdiferenční rovnice þ y(nT) – a1y(nT-T) - … - amy(nT-mT) = b0x(nT) þ y(nT) = b0x(nT) + a1y(nT-T) + … + amy(nT-mT) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) – a1Y(z).z-1 -…- amY(z).z-m = b0X(z) þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPříprava nových učebních materiálů þpro obor Matematická biologie þje podporována projektem ESF þč. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 þ„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“ INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VZTAH MEZI FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKOU A NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE