C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -1Petr
Kulhánek
kulhanek@chemi.muni.cz
Národní centrum pro výzkum biomolekul, Přírodovědecká fakulta
Masarykova univerzita, Kotlářská 2, CZ-61137 Brno
7. Plochy potenciální energie I
C7790
Počítačová chemie a
molekulové modelování I
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -2-
PES
Plochy potenciální energie (Potential Energy Surface)
Vlastnosti
Vizualizace
Významné body na PES
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -3Konfigurační
prostor
)( RE R = bod v 3N rozměrném prostoru (N je počet atomů)
),,,....,,,,,,( 222111 NNN
zyxzyxzyxR
kartézské souřadnice
prvního jádra (atomu)
Jednotlivé body tvoří konfigurační prostor. Každý
bod v konfiguračním prostoru pak představuje
unikátní strukturu daného systému.
jednotlivé souřadnice
jsou stupni volnosti
daného systému
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -4Výpočet
potenciální energie
Výpočet potenciální energie E(R) je možný:
 aproximativním řešením Schrödingerovy rovnice (kvantová mechanika, QM)
 pomocí empirických silových polí (molekulová mechanika, MM)
 hybridním QM/MM přístupem
 pomocí zhrubených modelů
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -5Výpočet
potenciální energie
Výpočet potenciální energie E(R) je možný:
 aproximativním řešením Schrödingerovy rovnice (kvantová mechanika, QM)
 pomocí empirických silových polí (molekulová mechanika, MM)
 hybridním QM/MM přístupem
 pomocí zhrubených modelů
pouze kategorie metod
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -6Výpočet
potenciální energie
Výpočet potenciální energie E(R) je možný:
 aproximativním řešením Schrödingerovy rovnice (kvantová mechanika, QM)
 HF metoda
 post HF metody (MPn, CI, CC)
 DFT metody (různé funkcionály)
 pomocí empirických silových polí (molekulová mechanika, MM)
 formy a parametry silových polí
 hybridním QM/MM přístupem
 rozhraní, typ QM-MM interakce, link atomy, ...
 pomocí zhrubených modelů
stovky metod lišící se použitými aproximacemi
neovlivňují obecné zákonitosti/vlastnosti E(R)
)( RE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -7Grafické
zobrazení funkcí
f(x,y)
x
y
f(x)
x
funkce jedné proměnné funkce dvou proměnných
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -8Grafické
zobrazení funkcí
f(x,y)
x
y
f(x)
x
funkce jedné proměnné funkce dvou proměnných
z
x
y
funkce tří proměnných
barva je reprezentací
funkční hodnoty
f(x,y,z)
volumetrické zobrazení
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -9Příklady
volumetrického zobrazení
Renderings of the atomic orbitals for a molecule (LiH, H is the white
atom) with boundary enhanced volume contours. (a) shows the atomic
orbitals rendered with only 1 s, 2 s, and 2 px of Li. (b) shows the atomic
orbitals rendered with 2 py of Li, and 1 s of H on top of (a).
Yun Jang; Varetto, U. Interactive Volume Rendering of Functional Representations in Quantum Chemistry.
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 2009, 15, 1579–5186.
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -10Zobrazení
E(R)
1 atom
2 atomy
N atomů
),,( 111
zyxE
),,,,,( 222111
zyxzyxE
),,,....,,,,,,( 222111 NNN
zyxzyxzyxE
nezobrazitelné
pouze volumetricky
Příklad:
enzym BsoBI má ~ 10000 atomů => 30000 stupňů volnosti,
pro vizualizaci by bylo nutné použít 30000+1 dimenzionální prostor
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -11Vlastnost
E(R)
Potenciální energie je invariantní vůči:
• posunutí (translaci) celého systému
• natočení (rotaci) celého systému } bez působení vnějších silových polí
(např. elektrostatické, magnetické, atd.)
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -12Invariance
vůči posunutí
HCHO
)( 1
RE )( 2
RE
)()( 21
RERE 
21
RTR  ,....},,,,,{ TTTTTT
zyxzyxT 
vektor posunutí
)( 1
RE )( 2
RE
)()( 21
RERE 
!!! Neplatí pro posun v silovém poli !!!
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -13Invariance
vůči natočení
HCHO
)( 1
RE
)()( 21
RERE 
21
RR Θ
rotační matice
)( 1
RE
)()( 21
RERE 
!!! Neplatí pro rotaci v silovém poli !!!
)( 2
RE
)( 2
RE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -14Dvouatomová
molekula
),,,,,( 222111
zyxzyxE molekula vodíku
 tři translační stupně volnosti
 dva rotační stupně volnosti (molekula je
lineární)
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -15Dvouatomová
molekula
),,,,,( 222111
zyxzyxE
)( rE
meziatomová vzdálenost
molekula vodíku
6-5=1
molekula vodíku
 tři translační stupně volnosti
 dva rotační stupně volnosti (molekula je
lineární)
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -16Tříatomová
molekula
),,,,,,,,( 333222111
zyxzyxzyxE
molekula vody
 tři translační stupně volnosti
 tři rotační stupně volnosti
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -17Tříatomová
molekula
),,,,,,,,( 333222111
zyxzyxzyxE
molekula vody
 tři translační stupně volnosti
 tři rotační stupně volnosti
),,( 21
rrE
9-6=3
r1 r2

Interní souřadnice r1,r2,
zobrazitelné pouze volumetricky
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -18Grafické
zobrazení E(R)
Funkce E(R) je běžně nezobrazitelnou funkci. Zobrazuje se z ní tedy pouze relevantní část v
dvou či trojdimenzionálním prostoru, který co nejlépe vystihne studovaný problém.
E(x,y)
x
y
E(x)
x
)(1
Rfx 
)(1
Rfx 
)(2
Rfy 
transformační (projekční)
funkce
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -19Grafické
zobrazení E(R)
Funkce E(R) je běžně nezobrazitelnou funkci. Zobrazuje se z ní tedy pouze relevantní část v
dvou či trojdimenzionálním prostoru, který co nejlépe vystihne studovaný problém.
E(x,y)
x
y
E(x)
x
)(1
Rfx 
)(1
Rfx 
)(2
Rfy 
transformační (projekční)
funkce
Co ostatní stupně volnosti?
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -20Grafické
zobrazení E(R)
Funkce E(R) je běžně nezobrazitelnou funkci. Zobrazuje se z ní tedy pouze relevantní část v
dvou či trojdimenzionálním prostoru, který co nejlépe vystihne studovaný problém.
E(x,y)
x
y
E(x)
x
)(1
Rfx 
)(1
Rfx 
)(2
Rfy 
transformační (projekční)
funkce
Co ostatní stupně volnosti?
)(2
Rrc
f )(3
Rrc
f
0
)(



c
r
RE
hodnota E(R) je vůči rc minimální
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -21Ilustrativní
příklad
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -22Stacionární
body
x1 x2 x3
x1, x2 a x3 jsou stacionární body (lokální extrémy funkce). Odvozují se od nich vlastnosti
kvantových stavů systému.
lVRTk
ExEE ,1
)( 
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -23Stacionární
body
x3
tečna funkce E(x) ve stacionárním
bodě má nulovou směrnici (a=0)
Směrnice funkce je dána gradientem funkce
(tj. první derivací funkce)
x
xE



)(
)tan( a
a
Podmínka nutná pro stacionární bod
0
)(



x
xE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -24Stacionární
body
x3
tečna funkce E(x) ve stacionárním
bodě má nulovou směrnici (a=0)
Směrnice funkce je dána gradientem funkce
(tj. první derivací funkce)
x
xE



)(
)tan( a
a
Podmínka nutná pro stacionární bod
0
)(



x
xE
0
)(
3



x
x
xE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -25Typy
stacionárních bodů
lokální minima
lokální maximum
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -26Určení
typu stacionárního bodu
  ...
)(
2
1)(
)()(
2
2
2






 x
x
xE
x
x
xE
xExxE
Taylorova řada:
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -27Určení
typu stacionárního bodu
  ...
)(
2
1)(
)()(
2
2
2






 x
x
xE
x
x
xE
xExxE
Taylorova řada:
Ve stacionárním bodě:
  ...
)(
2
1
)()(
2
2
2



 x
x
xE
xExxE
gradient je nulový
kvadrát odchylky
je vždy kladný
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -28Určení
typu stacionárního bodu
  ...
)(
2
1)(
)()(
2
2
2






 x
x
xE
x
x
xE
xExxE
Taylorova řada:
Ve stacionárním bodě:
  ...
)(
2
1
)()(
2
2
2



 x
x
xE
xExxE
gradient je nulový
kvadrát odchylky
je vždy kladný
Hodnota funkce roste při vychýlení ze stacionárního bodu,
pokud má druhá derivace v daném bodě kladnou hodnotu.
Stacionární bod je pak lokálním minimem.
Hodnota funkce klesá při vychýlení ze stacionárního bodu,
pokud má druhá derivace v daném bodě zápornou hodnotu.
Stacionární bod je pak lokálním maximem.
0
)(
2
2



x
xE
0
)(
2
2



x
xE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -29Stacionární
body
0
)(
2
2



x
xE
Lokální minimum:
0
)(



x
xE
Lokální maximum:
0
)(
2
2



x
xE
0
)(



x
xE
!!! podmínka nutná !!!
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -30Dvourozměrný
případ
E(x,y)
x
y
lokální minima
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -31Dvourozměrný
případ
E(x,y)
x
y
lokální minima
lokální maxima
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -32-
sedlové
body
Dvourozměrný případ
E(x,y)
x
y
lokální minima
lokální maxima
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -33Zobecnění
pro E(R)
Stacionární bod:
0
)(



R
RE podmínka nutná, každá složka
gradientu musí být nulová
gradient má 3N složek
Typ stacionárního bodu:
)(
)()(
)()()(
)()()(
)()()()(
2
2
1
2
2
1
2
11
2
11
2
11
2
2
1
2
11
2
1
2
11
2
11
2
2
1
2
RH


















































NN
N
z
RE
xz
RE
z
RE
yz
RE
xz
RE
zy
RE
y
RE
xy
RE
zx
RE
zx
RE
yx
RE
x
RE





N počet atomů
Charakter stacionárního bodu určuje
Hessian, což je matice druhých
derivací potenciální energie.
Nezaměňovat s Hamiltonianem!!!
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -34Vlastnosti
Hessianu
kkk
cHc 
vlastní vektor (eigenvector)
vlastní číslo (eigenvalue)
Nk 3,...,1
N počet atomů
• 6 (5) vlastních čísel je nulových – odpovídá translaci a rotaci systému
• zbylá vlastní čísla:
• všechna kladná – lokální minimum
• jedno záporné, ostatní kladná – sedlový bod prvního řádu
• dvě záporná, ostatní kladná – sedlový bod druhého řádu
• .....
• všechna záporná – lokální maximum
Diagonalizace Hessianu je
způsob hledání vlastních
čísel a vektorů.
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -35Vlastnosti
Hessianu
kkk
cHc 
vlastní vektor (eigenvector)
vlastní číslo (eigenvalue)
Nk 3,...,1
N počet atomů
• 6 (5) vlastních čísel je nulových – odpovídá translaci a rotaci systému
• zbylá vlastní čísla:
• všechna kladná – lokální minimum
• jedno záporné, ostatní kladná – sedlový bod prvního řádu
• dvě záporná, ostatní kladná – sedlový bod druhého řádu
• .....
• všechna záporná – lokální maximum
Diagonalizace Hessianu je
způsob hledání vlastních
čísel a vektorů.
chemicky
významné
stacionární body
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -36Diagonalizace
Hessianu
)(
)()(
)()()(
)()()(
)()()()(
2
2
1
2
2
1
2
11
2
11
2
11
2
2
1
2
11
2
1
2
11
2
11
2
2
1
2
RH


















































NN
N
z
RE
xz
RE
z
RE
yz
RE
xz
RE
zy
RE
y
RE
xy
RE
zx
RE
zx
RE
yx
RE
x
RE





)(
)(
0
)(
00
0
)(
0
000
)(
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
Rλ


































N
c
RE
c
RE
c
RE
c
RE





Diagonalizace Hessianu je operace, při
kterém se hledá takové natočení
souřadného systému, při kterém jsou
smíšené druhé derivace energie nulové.
Nenulové mohou být pouze diagonální
prvky matice.
vlastní čísla
Vlastní čísla Hessianu pak určují zakřivení
funkce ve směru os nového souřadného
systému. Tyto osy jsou určeny vlastními
vektory, které jsou ortonormální.
1k
cijji
cc .
ortogonální normalizační
podmínka
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -37-
Energie,
Gradient, Hessian
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -38Výpočet
potenciální energie
Výpočet potenciální energie E(R) je možný:
 aproximativním řešením Schrödingerovy rovnice (kvantová mechanika, QM)
 HF metoda
 post HF metody (MPn, CI, CC)
 DFT metody (různé funkcionály)
 pomocí empirických silových polí (molekulová mechanika, MM)
 formy a parametry silových polí
 hybridním QM/MM přístupem
 rozhraní, typ QM-MM interakce, link atomy, ...
 pomocí zhrubených modelů
stovky metod lišící se použitými aproximacemi
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -39Výpočet
gradientu energie
R
R

 )(E
Gradient energie:
)( RE 
















N
zzyx
,...,,,
111
jedná se o vektor, počet složek 3N
















N
z
E
z
E
y
E
x
E )(
,...,
)(
,
)(
,
)(
111
RRRR
Výpočet gradientu může být uskutečněn:
• analyticky
• numericky
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -40Analytický
výpočet gradientu
Analytický výpočet gradientu je preferovaný způsob výpočtu v případech, kdy je vyjádření
a následný výpočet derivací energie snadný.
Příklad:
2
0
)(
2
1
)( rrKE R
energie dvouatomové molekuly v harmonické
aproximaci, K a r0 jsou parametry modelu, r je
meziatomová vzdálenost
Řešení: viz domácí úkol
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -41Numerický
výpočet gradientu
Numerický výpočet gradientu je využíván tehdy, pokud není analytický gradient dostupný
například z důvodu složitosti implementace algoritmu jeho výpočtu.
K výpočtu numerického gradientu lze použít buď metodu dopředných diferencí (FD –
forward differences) nebo centrálních diferencí (CD – central differences). V ojedinělých
případech je možné použít i vícebodové metody.
Metoda centrálních diferencí je přesnější než FD a tudíž preferovaným způsobem
výpočtu gradientu.
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -42Numerický
výpočet gradientu
Dopředné diference Centrální diference
x0x-1 x1x0 x1
h
xEhxE
xx
xExE
x
E
x
)()()()()( 00
01
01
0






 R
h
hxEhxE
xx
xExE
x
E
x
2
)()()()()( 00
11
11
0









R
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -43Numerický
výpočet gradientu
Dopředné diference Centrální diference
x0x-1 x1x0 x1
h
xEhxE
xx
xExE
x
E
x
)()()()()( 00
01
01
0






 R
h
hxEhxE
xx
xExE
x
E
x
2
)()()()()( 00
11
11
0









R
počítá se jednoupočítá se pro každou
složku gradientu
celkem 3N+1 výpočtů energie
počítá se pro každou
složku gradientu
celkem 6N výpočtů energie
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -44Výpočet
Hessianu
)(
)()(
)()()(
)()()(
)()()()(
2
2
1
2
2
1
2
11
2
11
2
11
2
2
1
2
11
2
1
2
11
2
11
2
2
1
2
RH


















































NN
N
z
RE
xz
RE
z
RE
yz
RE
xz
RE
zy
RE
y
RE
xy
RE
zx
RE
zx
RE
yx
RE
x
RE





Hessian energie:
jedná se o matici, počet složek 3Nx3N
Výpočet Hessianu může být uskutečněn:
• analyticky (paměťově a výpočetně náročné)
• numericky (metodou centrálních diferencí)
• z energií (3 x N x 3 x N x 2 výpočtů)
• z gradientů (3 x N x 2 výpočtů)
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -45Hledání
optimálních
geometrií
Hledání lokálních minim
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -46Optimální
geometrie
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -47Optimalizační
metody
Metody optimalizace geometrie
I. nultého řádu (pouze energie)
 simplexová metoda
II. prvního řádu (pouze energie a gradient)
 metoda největšího spádu
 metoda konjugovaných gradientů
III. druhého řádu (energie, gradient a Hessian)
 Newtonova metoda
IV.pseudodruhého řádu (energie, gradient a aproximativní Hessian)
 Broydenova–Fletcherova–Goldfarbova–Shannova metoda (BFGS)
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -48-
1) Pro níže uvedenou funkci určete charakter bodů s hodnotami:
a) x=1
b) x=0
c) x=-1
2) Za jaké situace může být druhá derivace funkce nulová?
3) Jaký je vztah mezi rozsahem reakce x a reakční koordinátou rc (také označovanou jako
x)?
4) Vysvětlete proč hledáme tranzitní stavy reakcí jako sedlové body prvního řádu.
Domácí úkol
33015)(
2
 xxxE
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -49Domácí
úkol
1. Vyjádřete gradient funkce E(R) podle kartézských souřadnic obou atomů.
2. Systém obsahuje 300 atomů. Výpočet jeho energie kvantově–chemickou
metodou trvá 15 minut. Výpočet energie a analytického gradientu pak 20
minut.
1. Určete dobu výpočtu numerického gradientu a srovnejte ji s délkou
výpočtu analytického gradientu.
2. Určete dobu výpočtu numerického Hessianu, který je počítán a) z
energií a b) z analytických gradientů.
3. Navrhněte způsob urychlení výpočtu numerického gradientu a
Hessianu.
2
0
)(
2
1
)( rrKE R
C7790 Počítačová chemie a molekulové modelování -50Domácí
úkol
1. Nastudujte uvedené optimalizační metody. Zaměřte se na jejich princip,
výhody a nevýhody vůči ostatním optimalizačním metodám.
2. Srovnejte rychlost optimalizace geometrie molekuly (počet kroků) za použití
stejné optimalizační metody pro dvě různé vyjádření geometrie pomocí
interních a kartézských souřadnic.
Literatura:
(1) Leach, A. R. Molecular Modelling: Principles and Applications, 2nd ed.; Prentice Hall:
Harlow, England; New York, 2001.
(2) Jensen, F. Introduction to Computational Chemistry, 2nd ed.; John Wiley & Sons:
Chichester, England; Hoboken, NJ, 2007.