*** evropský sociální fond V ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 Návody k úlohám Ondřej Caha, Dušan Hemzal, Luděk Bočánek Jiří Chaloupka, Petr Mikulík a Filip Můnz Brno 2013 2 Fyzikální praktikum 2 Texty návodů z velké části vycházejí z původních skript, jejichž hlavními autory jsou doc. Karel Navrátil a doc. Assja Kučírková. Seznam úloh 1 Studium elektromagnetické indukce 5 2 Nelineární prvky 13 3 Elektrické pole, můstkové metody měření 24 4 Pohyblivost částic 33 5 Magnetické pole 41 6 Relaxační kmity 52 7 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. 61 8 Měření parametrů zobrazovacích soustav 68 9 Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr 77 10 Polarizace světla 84 11 Interference a difrakce světla 91 12 Spektroskopické metody 99 A Statistické zpracování měření 109 B Návod k použití osciloskopu 112 3 Fyzikální praktikum 2 Úloha Studium elektromagnetické indukce Úkoly k měření Povinná část • Změřte závislost tvaru napěťových pulzů na cívce na výchylce kyvadla s magnetem. • Z předchozí závislosti určete poloměr cívky a magnetický moment magnetu. Varianty povinně volitelné části A. Studujte tlumení indukovaných pulzů. B. Studium činnosti galvanoměru. Povinná část Teorie Jedním z pilířů elektrodynamiky je Faradayův zákon [1], který vyjadřuje vztah mezi napětím U indukovaným v uzavřené smyčce a časovou změnou magnetického toku í> procházejícího plochou V této úloze budeme studovat elektromagnetickou indukci v systému znázorněném na obrázku 1.1. Zdrojem magnetického pole je permanentní magnet upevněný na dvojitém kyvadle. Při kmitavém pohybu magnet periodicky prolétává cívkou a indukuje v ní napěťové pulzy, jejichž časovou závislost zaznamenáváme. Aby mohla být hodnota měřeného napětí přenesena do počítače, je třeba ji převést do číselné podoby. K tomu slouží tzv. analogově-digitální (AD) převodník - zařízení, na jehož vstupu je analogový signál (v našem případě napětí a převodník tak slouží jako voltmetr) a na výstupu číselná (digitální) reprezentace tohoto signálu. AD-převodník použitý v praktiku má rozlišení 8 bitů, tedy osm číslic ve dvojkové soustavě. Je schopen rozeznat 28 = 256 úrovní napětí, což při jeho napěťovém rozsahu 2,5 V představuje měření s přesností 0,01 V. 1 Sestavení úlohy bylo inspirováno článkem [11]. smyčky: (1.1) 5 6 Studium elektromagnetické indukce ////// ////// Obrázek 1.1: Schéma experimentálního uspořádání. Permanentní magnet prolétávající cívkou v ní indukuje napětí, které je snímáno počítačem. Cívka je zatížena proměnným rezistorem o odporu R, což způsobuje elektromagnetické tlumení pohybu magnetu. Pro potlačení vysokofrekvenčního šumu můžeme paralelně k rezistoru zapojit kondenzátor s malou kapacitou C (řádově 100 nF). 1.0 F 0.5 - Obrázek 1.2: Nahoře: Indukční čáry magnetického pole válcového magnetu, jehož osa je totožná s osou x. Dole: Magnetický indukční tok cívkou souosou s magnetem v závislosti na její vzdálenosti od magnetu. Polohy cívky pro zvýrazněné body na křivce jsou znázorněny přerušovanými čarami v horním panelu. Průběh indukovaných napěťových pulzů K indukci měřitelného napěťového pulzu dochází, pokud se magnet pohybuje v blízkosti snímací cívky. Pohyb magnetu vůči cívce v této oblasti můžeme pro jednoduchost nahradit rovnoměrným pohybem magnetu po ose cívky, popřípadě cívky po ose magnetu. Na obrázku 1.2 je ukázáno magnetické pole válcového permanentního magnetu. Uvažujme o cívce, která se pohybuje v poli magnetu, přičemž osa cívky splývá s osou magnetu. Tok magnetických indukčních čar cívkou v závislosti na vzdálenosti cívky od magnetu je vynesen ve spodní části obrázku 1.2. Napětí, které 1 Studium elektromagnetické indukce 7 Obrázek 1.3: (a) Boční pohled na kruhový závit o poloměru a, jímž prolétá magnet s dipólovým momentem m. (b) časová závislost magnetického indukčního toku. (c) Napětí indukované v kruhovém závitu. se v ní indukuje při jejím pohybu po ose, je podle Faradayova zákona (1.1) rovno záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku cívkou. Přibližuje-li se cívka k magnetu, vzrůstá tok její plochou a objevuje se záporné indukované napětí. Při průchodu kolem magnetu dosahuje magnetický indukční tok maxima, jeho časová derivace a tedy indukované napětí je v tomto bodě rovno nule. Konečně při vzdalování indukční tok klesá a indukované napětí je kladné. Svého maxima (minima) nabude indukované napětí v místě, kde magnetický indukční tok klesá (roste) nejstrměji. Amplituda napěťového pulzu závisí na rychlosti pohybu. Cím rychleji se vůči sobě cívka a magnet pohybují, tím rychlejší jsou změny indukčního toku cívkou, což má podle Faradayova zákona za následek vyšší hodnotu indukovaného napětí. Jednoduchý kvantitativní popis našeho experimentu je možný v přiblížení, kdy permanentní magnet nahradíme magnetickým dipólem a cívku kruhovým závitem. Dále budeme pohyb magnetu v těsné blízkosti cívky aproximovat rovnoměrným přímočarým pohybem po ose cívky rychlostí timřC!, která odpovídá nejnižšímu bodu skutečné kruhové trajektorie. Zjednodušená situace je znázorněná na obrázku 1.3a. Magnetické pole magnetického dipólu je dáno vztahem [12, 10] (v jednotkách SI 2) t3í \ ^° B(r) aur3 3(r ■ m)r — rn (1.2) kde r je polohový vektor vztažený na magnetický dipól, m magnetický dipólový moment a fiQ je permeabilita vakua. Snadným výpočtem lze ověřit, že magnetický indukční tok pole magnetického dipólu orientovaného ve směru osy x plochou kruhového závitu je roven T . . anm a2 . . = -V■ (L3) kde a je poloměr kruhového závitu, do jehož středu umístíme počátek osy x. K určení napětí indukovaného v závitu při pohybu magnetu užijeme Faradayův zákon (1.1). Nechť v čase t = Os prochází dipól středem cívky, pak je jeho souřadnice x vyjádřena vztahem x = vma_xt. Provedeme-li za tohoto předpokladu časovou derivaci magnetického indukčního toku (1.3), získáme pro napětí indukované v cívce s ./V závity: ['~ dt ~ 2a2 [1 + (tW/a)2p/2 • 1 j 2 Jednotkou magnetické indukce je 1 T (tesla). Pojmenována byla po srbském fyzikovi Nikolovi Teslovi (1856 -1943). 8 Studium elektromagnetické indukce časový průběh magnetického indukčního toku a indukovaného napětí jsou vykresleny v obrázku 1.3b,c. Křivka závislosti indukovaného napětí na čase obsahuje jedno minimum a jedno maximum, které nám umožní zavést šířku pulzu A i jako časový rozdíl mezi okamžikem maximálního a minimálního napětí a amplitudu napěťového pulzu Í7max. Je-li indukované napětí popsáno rovnicí (1.4), najdeme minimum napětí v bodě ímin = —a/2umax a jeho maximum v bodě tmax = +a/2umax. Šířka pulzu je tedy nepřímo úměrná rychlosti průletu: At = avmlx. (1.5) Dále můžeme určit amplitudu napětí tt 24 NfL0m tmax — i— 9 "max > V 25V5 a která je naopak přímo úměrná rychlosti prolétajícího magnetu. Zbývá určit rychlost wmax, nejsnáze ze zákona zachování energie. Je-li hmotnost magnetu spolu s jeho nosníkem rovna M, platí ^Mvlax = MgL{l - cosůmax) , (1.7) kde g je zemské tíhové zrychlení, L délka kyvadla a $max úhlová amplituda jeho kmitů. Odtud "max = 2\/gL Sin ( %^ ) ~ V^^max • (1-8) Úkoly 1. Změřte závislost amplitudy a šířky napěťového pulzu indukovaného v cívce na úhlové amplitudě kmitů (a tedy na rychlosti magnetu prolétajícího cívkou) a ověřte, že přibližně platí ř^max ~ ^max a Aí ~ tf"^. 2. Užitím vztahu (1.5) mezi šířkou pulzu a rychlostí průletu určete efektivní poloměr použité cívky. S pomocí parametrů cívky a vztahu (1.6) dále odhadněte magnetický dipólový moment použitého magnetu. Varianta A: Tlumení pohybu magnetu Teorie V předchozí povinné části jsme uvažovali o netlumeném kmitavém pohybu magnetu s konstantní amplitudou výchylky. Ve skutečnosti bude ovšem pohyb tlumený a to mechanicky (kvůli odporu vzduchu) a elektromagneticky (je-li snímací cívka zatížena odporem). Časová závislost poklesu amplitudy v důsledku těchto dvou tlumení má odlišný charakter, který nám umožní v experimentu rozlišit režim s převážně mechanickým a převážně elektromagnetickým tlumením. Vyšetříme nejprve případ mechanického tlumení přičemž budeme sledovat úbytek mechanické energie E = Mumax/2. Předpokládejme, že odporová síla způsobená třením o vzduch při nízkých rychlostech je úměrná rychlosti magnetu3, F = kv. Pokud je tlumení pohybu malé, můžeme pohyb magnetu během jednoho kyvu popsat vztahem ů = $max cos ojt, kde $max je amplituda kmitů v daném okamžiku a oj = 2-k/T je frekvence kmitů. Rychlost magnetu je v tomto případě 3Skutečný charakter odporové síly bude zřejmě mnohem složitější. Použitý předpoklad však dává výsledky v přibližném souladu s experimentálně stanoveným poklesem amplitudy. 1 Studium elektromagnetické indukce 9 rovna v = — vmax sin ojt, kde vmax = ^max^L. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu, který získáme integrací výkonu odporové síly r-T/2 r-T/2 ]_ AE = Fvdt = k vlax sin2 ut dt = -Tk v2max , (1.9) J o J o 4 je malý vůči E a pro pozvolna klesající E je tak možné sestavit diferenciální rovnici d£ AE 1, 2 ,„ _ — ~--t = —kv2 =--E. (1.10) dt T/2 2 M v y Řešením této rovnice s počáteční podmínkou -E(O) = E$ zjistíme, že mechanická energie, maximální rychlost magnetu i amplituda jeho kmitů exponenciálně klesají s časem E(t) = E0e-kt/M , Umax(í)~>/I~e-^, tfmax(t) ~ ^ , kde (3 = ^ . (1.11) Nyní uvažujme o případu, kdy je tlumení pohybu magnetu čistě elektromagnetické. Ke ztrátě mechanické energie dojde při průletu magnetu cívkou, kdy indukované napětí vyvolá proud cívkou a její pole pak brzdí pohyb magnetu. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu stanovíme pomocí ztrátového výkonu na zatěžovacím odporu R a vlastním odporu cívky Rc f U2 AE= WTfí-dt- (L12) J průlet i- -«,c Vzhledem k tomu, že amplituda napětí je úměrná wmax a čas průletu je úměrný wmax, je úbytek energie úměrný wmax- Podrobný výpočet využívající vztahu (1.4) ukazuje, že V analogii s rovnicí (1.10) můžeme psát dE AE 2K 2K l2E „ . r—- r— K I 2 v — odkud y/Ě(ť) = y/Ě^-—J — t . (1.14) dí T/2 T T V M T y M Řešením rovnice jsme tedy našli lineární pokles amplitudy kmitů v čase ($max ~ ve): 2K ^max(í) = ^max(O) - od , kde OL = . (1.15) 1 My/gL Tento vztah je možné použít, dokud je amplituda kmitů dostatečně velká. Poté přestává platit rovnice (1.13) a především výchozí předpoklad o malém relativním úbytku mechanické energie během jednoho kyvu. Úkoly 1. Pro několik hodnot zatěžovacího odporu R sledujte tlumení kmitavého pohybu magnetu a určete časovou závislost amplitudy kmitů $max. Využijte přitom amplitudy napětí i šířky jednotlivých napěťových pulzů. V případě malého zatěžovacího odporu byste měli pozorovat lineární pokles amplitudy kmitů [viz. (1.15)], v opačném případě je charakter poklesu spíše exponenciální [viz. rovnice (1.11)]. 2. Ověřte, zda je směrnice poklesu amplitudy kmitů pro případ dominantního elektromagnetického tlumení nepřímo úměrná R + Rc, jak předpovídá teorie. 3. Stanovte koeficient útlumu j3 pro případ dominujícího mechanického tlumení. 10 Studium elektromagnetické indukce Varianta B: Studium činnosti galvanoměru Teorie Nejobvyklejší typ galvanoměru je tvořen otočnou cívkou umístěnou v dutině mezi póly permanentního magnetu podle obrázku 1.4. Vhodným uspořádáním můžeme dosáhnout toho, že v dutině Obrázek 1.4: Schéma galvanoměru s otočnou cívku. je konstantní hodnota magnetické indukce B. Na cívku s ./V závity o rozměrech a, b působí při průchodu proudu Ig silový moment daný vztahem Mg = Fb = BNablg = BSIg, (1.16) kde S = Nab je sumární plocha cívky. Tento moment vychyluje cívku o úhel 2 (1.18) (1.19) kde e je indukované elektromotorické napětí, Rg vnitřní odpor galvanoměru a Rq + r2 je celkový odpor v obvodu galvanoměru. Magnetický tok cívkou í> je d<í> dip $ = BSsmtp, e =--, e = -BScos ip—. dí dí Indukovaný proud pak vyjádříme v aproximaci malých výchylek jako Rq + i?2 + Rg dt Silový moment způsobený indukovanými proudy je M, = BS,, = - „ B2f B % Rq + r2 + Rg dt Pohybová rovnice cívky pro otáčivý pohyb kolem osy má tvar J dí2 -Mg + Md + M0 + Mi. (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) Pohybovou rovnici můžeme přepsat do tvaru 1 Studium elektromagnetické indukce 11 Obrázek 1.5: Průběh výchylky galvanoměru v závislosti na čase pro případy slabého, silného a kritického tlumení. d2(p nd2(p 9 ^+2^ + * = /. kde B2S2 2J 2t/(i?o + i?2 + Rg 2 D "o = 7, f BSIg (1.24) (1.25) Pohyb cívky galvanoměru charakterizuje vlastní frekvence uq a útlumová konstanta j3, která se skládá ze složky mechanického útlumu a elektrického 2 j(fi0+_R ) • Rovnovážná výchylka je dána vztahem D (1.26) Rovnovážná výchylka je úměrná ustálenému proudu tekoucímu galvanoměrem. Obecné řešení pohybové rovnice můžeme vyjádřit ve tvaru = u//3. Amplituda kmitavého pohybu se časem exponenciálně zmenšuje. 2. /32 — uq > 0 silné tlumení, cívka vykonává aperiodický pohyb podle vztahu ß-S -(ß+S)t ß + S -(ß-S)t + 2 (1.30) kde 5 = y/p2 - u2. Vždy platí p > S, a řešení je tedy součtem dvou exponenciálních klesajících funkcí. 12 Studium elektromagnetické indukce 3. ß2 = lüq kritické tlumení, řešením je vztah = ifo \l - (1 + ßt)e-ßt (1.31) V tomto případě je řešení součinem exponenciální a lineární funkce a systém opět vykonává aperiodický pohyb. Systém však dosahuje rovnovážné polohy rychleji než v jakémkoli jiném případě. Experimentální uspořádání Galvanoměr zapojíme do obvodu podle schématu na obrázku 1.6. Odpory R\ a r2 tvoří dělič napětí, jejich velikost je třeba zvolit s ohledem na proudový rozsah galvanoměru, aby nedošlo k jeho poškození. Pohyb cívky galvanoměru je dán konstantou útlumu galvanoměru j3. Mechanická část konstanty útlumu galvanoměru je konstantní, zatímco její elektrickou složku můžeme ovlivnit velikostí odporu Rq. Existuje kritická hodnota odporu Rok, pro niž platí j3 = ujq. V takovém případě systém dosahuje rovnovážné polohy nejrychleji. Obrázek 1.6: Schéma zapojení obvodu s galvanoměrem. Hodnotu konstanty útlumu můžeme určit v případě, že systém vykonává tlumený harmonický pohyb, tedy pro Rq > i?ofc- Rozkmitáme-li galvanoměr kolem nulové polohy, pak podle rovnice (1.29) maximální výchylky dosahuje galvanoměr v čase, kdy sin(cji + ip) = ±1. ra-tého maxima dosahuje systém v čase tn = kde T = je perioda. Maximální výchylka závisí na čase podle vztahu an = (-l)"a0e-^T/2. (1.32) Logaritmus podílu dvou po sobě následujících maximálních výchylek se nazývá logaritmický dekre-ment útlumu a je definován vztahem A = ln an+l ßT/2, (1.33) který nám umožňuje určit koeficient útlumu pro různé hodnoty odporu Rq. Podle vztahu (1.25) závisí koeficient útlumu na převrácené hodnotě odporu obvodu lineárně. Z uvedené závislosti můžeme určit hodnotu kritického odporu Rok, kdy pro kritické tlumení platí Ä = ^0 2tt To' Úkoly 1. Určete konstantu útlumu pro několik hodnot odporu Rq. 2. Stanovte hodnotu kritického odporu. Úloha Nelineární prvky Úkoly k měření Povinná část • Nelineární charakteristiky tranzistoru. Varianty povinně volitelné části A. Unipolární tranzistor jako zesilovač napětí. B. Voltampérové charakteristiky LED diod. Úvod Nelineárním elektrickým prvkem rozumíme součástku, jejíž odpor závisí na protékajícím proudu nebo napětí. Taková součástka se neřídí Ohmovým zákonem a její voltampérová charakteristika je nelineární, je to například polovodičová dioda. Voltampérové charakteristiky některých prvků lze ovlivňovat. U fotodiódy a fototranzistoru závisí tvar voltampérové charakteristiky na intenzitě světla dopadajícího na fotokatodu, resp. na p-n přechod, u bipolárního tranzistoru závisí kolektorová charakteristika na proudu báze a u unipolárního tranzistoru závisí výstupní charakteristika na napětí hradla. Tranzistory mohou pracovat v určitém elektrickém obvodu jako zesilovače napětí nebo proudu. Pak obvod do něhož přivádíme napětí, které chceme zesílit, je vstupní obvod a výstupní obvod je ten, ze kterého odebíráme zesílené napětí. Tomu odpovídá u unipolárního tranzistoru vstup mezi gate a source a výstup mezi drain a source. Takový elektronický prvek můžeme popsat třemi obecně nelineárními charakteristikami: vstupní charakteristikou, výstupní charakteristikou a převodní charakteristikou. V této úloze vybereme unipolární tranzistor, u kterého změříme převodní a výstupní charakteristiky a z nich pak určíme parametry tranzistoru. V první volitelné části sestavíme z tranzistoru napěťový zesilovač a změříme jeho napěťové zesílení. To pak porovnáme se zesílením vypočteným z naměřených charakteristik. V druhé volitelné části se budeme zabývat činností tyris-toru jako řízeného spínače pro výkonovou regulaci. Naměříme závislost výkonu na spotřebiči na době otevření tyristoru a porovnáme ji s teoretickou závislostí. 13 Nelineární prvky ■I s G D p-substrát oxid - O kov- M n-kanál - S Obrázek 2.1: Řez unipolárním tranzistorem MOS FET s n-kanálem a jeho značka. Povinná část Teorie Popíšeme kvalitativně princip činnosti unipolárního tranzistoru. Jak vyplývá z názvu, podílí se na vedení proudu tranzistorem pouze jeden typ nositelů, buď elektrony, nebo díry. Vždy jsou to většinoví - majoritní - nositelé v části tranzistoru, který tvoří tzv. kanál. Elektrické přívody kanálu jsou source S (obdoba emitoru v bipolárním tranzistoru) a drain D (obdoba kolektoru v bipolárním tranzistoru). Proud tekoucí kanálem ovlivňuje napětí, které se vkládá mezi source a elektrodu, která je od kanálu isolovaná a nazývá se gate G (hradlo H). Hradlo je od kanálu isolováno buď p-n přechodem, takový tranzistor se označuje JFET (Junction Field Effect Tranzistor), nebo oxidovou vrstvou, pak jde o MOS FET (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Tranzistor). Řez tímto unipolárním tranzistorem a jeho značka používaná ve schématech je na obr. 2.1. Mezi source a drain je vodivý kanál jehož odpor určují geometrické rozměry kanálu, koncentrace a pohyblivost volných elektronů v něm. Vložíme-li mezi gate G a source S napětí Ug vnikne přes isolační vrstvu oxidu do kanálu elektrické pole, které ovlivní jeho geometrii i koncentraci elektronů. Odtud pochází název tranzistor řízený polem (FET - field effect transistor). Jsou možné čtyři typy těchto tranzistorů: s n-kanálem a s p-kanálem, oba mohou pracovat s ochuzováním kanálu (vodivý kanál existuje při nulovém napětí hradla), nebo s obohacováním (vodivý kanál při nulovém napětí hradla neexistuje a vytvoří se až při určitém napětí mezi hradlem a source, které bývá 1 až 5 V). Další informace se dají najít v odborné literatuře [15, 20]. Statické charakteristiky tranzistoru Proud Id protékající ze zdroje v obvodu mezi drain a source můžeme tedy regulovat napětím na hradle Ug- Toto napětí může být kladné - proud vzrůstá, nebo záporné - proud se zmenšuje. Proud Id závisí na napětí Ud a na napětí hradla Id = Í(Ud,Ug)- Teoretické odvození této závislosti značně přesahuje rozsah tohoto návodu, dá se však najít v dostupné literatuře [15, 20]. Závislost proudu Id na napětích Ud a Ug se dá rozdělit do tzv. lineární (triodové) oblasti a saturační oblasti podle vztahu kde Ut je prahové napětí (threshold voltage), při kterém vzniká vodivý kanál, Uosat = 2c je saturační napětí při kterém dochází k přechodu z lineární do saturační oblasti, K, c a A jsou parametry tranzistoru obsahující mimo materiálové parametry jako je pohyblivost nositelů náboje také jeho rozměry, zejména délku a šířku vodivého kanálu a kapacitu hradla. Porovnání reálných a teoretických charakteristik pro tranzistor KF520 je v obrázku 2.2. Typické hodnoty parametru c jsou v rozmezí 1/2 až 1, parametr A vyjadřující slabou závislost proudu na napětí Ud nabývá obvykle malých hodnot v řádu 10~3V_1. V lineární oblasti pro malá napětí Ud můžeme použít aproximaci (2.1) ID = K(UG-UT)UD, pro UD « UDsat Ug-Ut 2c (2.2) 2 Nelineární prvky 15 < E Q 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 lineárfií oblast " uDUsat UG = 1.5 V ■ á90000000000000000 OOOOCXÍOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOGOOOOOOOOOOO ■ J 1 UG = 1.4 V - 7 j UG = 1.3 V TrirTCITlIIlĽĽĽEHCĽEIí ■lff~ UG = 1.2 V ■ /./»/« xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ' i/l l[ +/++++++++++++++++++++++ UR = 1.1V - V . . . . Ur; ť 1 -U V 10 12 UD(V) Obrázek 2.2: Tranzistor BS108: porovnání naměřených (body) a teoretických (čáry) výstupních charakteristik pro šest hodnot napětí na hradle. Parametry teoretické závislosti podle vztahu (2.1) jsou UT = 0,83 V, K = 0,26 A • V~2, c = 0,20 a A = 0,002 y-1. zatímco v saturační oblasti můžeme přibližně položit ID = lDsat = ^(UG-UT)2, pro UD>UDsat= Ug~Ut. (2.3) 4c 2c Závislost výstupního proudu Id na (vstupním) napětí hradla Ug při konstantním výstupním napětím U d je statická převodní charakteristika tranzistoru: Id = f(UG),UD =konst. (2.4) Závislost výstupního proudu Id na výstupním napětí U d je výstupní charakteristika tranzistoru: ID = f(UD),UG=konSt. (2.5) Měřením těchto charakteristik můžeme získat hodnoty parametrů tranzistoru z rovnice (2.1). Převodní charakteristika naměřená pro malé napětí Ud je lineární podle vztahu (2.2) a můžeme z ní proložením přímky určit prahové napětí Ut a koeficient K. Naměříme-li převodní charakteristiku v saturační oblasti můžeme proložením přímky podle vztahu VlĎ=\hr(UG-UT), pro UD>UDsat (2.6) V 4c určit prahové napětí Ut a koeficient K/4c. Koeficient K můžeme také určit z lineární části výstupní charakteristiky (2.2), známe-li prahové napětí Ut- Proložením přímky výstupní charakteristikou v saturační oblasti můžeme určit parametr A podle vztahu (2.1). Derivace převodní charakteristiky se nazývá statická strmost tranzistoru S a z teoretické závislosti (2.1) dostaneme dUG KUD, pro UD < UDsat un l Íc(ug ~ UT) [1 + A (Ud - (l + UD3at)] « £(UG - UT), pro UD > UDsat. (2.7) Derivace výstupní charakteristiky určuje vnitřní odpor tranzistoru Ri\ t> 9UD dID UG í 1/[K(Ug-Ut-2cUd)], pro UD < UDsat (2 R) X 4c/ [XK(UG ~ UT)2] , pro UD > UDsat- 1 j 16 Nelineární prvky Obrázek 2.3: Schéma zapojení pro měření statických charakteristik unipolárního tranzistoru. Podobně definujeme zesilovací činitel tranzistoru fi: dUD dUG uD Ua-UT-2cUD ' 2 [i + x(uD-(l + i) UDsat)] l \(UG-UT) Převrácená hodnota zesilovacího činitele je průnik D: D 1 Takto definované veličiny splňují Barkhausenovu rovnici: SRD = 1. pro UD < UDsat A(t/G-t/T)' Pr° UD > UDsat- (2.9) (2.10) (2.11) Pokud známe dva z těchto parametrů, třetí můžeme z této rovnice vypočítat. Na druhé straně nám tato rovnice umožňuje kontrolu správnosti určených parametrů. Všechny tři parametry tranzistoru jsou veličiny diferenciální a protože tranzistor je nelineární prvek, jejich hodnota závisí na bodu charakteristiky, ve kterém derivaci provádíme, tj. na bodu, ve kterém tranzistor pracuje. Tento bod se nazývá pracovní bod tranzistoru a je určen trojicí hodnot Ido, Udq, Ugo- Měření charakteristik tranzistoru Hodnoty veličin S, Rí, fi lze určit jednak výpočtem numerickým derivováním nebo ze směrnic příslušných charakteristik, jednak měřením pomocí aproximace derivací diferencemi, tedy přímým měřením podílu změny určité veličiny při malé změně jiné veličiny za konstantní hodnoty zbývající veličiny. Statické charakteristiky unipolárního tranzistoru měříme ručně v zapojení podle obr. 2.3. Úkoly 1. Zapojíme tranzistor podle obr. 2.3 a změříme jednu statickou převodní charakteristiku a jednu výstupní charakteristiku. Parametry, pro které měříme tyto charakteristiky, zvolíme tak, aby vybraný pracovní bod ležel na jejich průsečíku. 2. Připojíme tranzistor ke snímači charakteristik instalovaném v počítači a zobrazíme soustavu výstupních charakteristik. Charakteristiky vytiskneme. Návod na obsluhu snímače charakteristik je u PC v praktiku. 3. Z charakteristik určíme parametry tranzistoru ve zvoleném pracovním bodě, tj. S, Rí a z Barkhausenovy rovnice (2.11) dopočítáme fi. 2 Nelineární prvky 17 R7 vstup výstup Obrázek 2.4: Princip tranzistorového zesilovače napětí v zapojení se společným source. Varianta A: Tranzistor jako zesilovač napětí. Teorie Vyjádříme-li ze závislosti proudu Id na napětí U d a na napětí hradla U g Id = Í(Ud,Ug) (2.12) změnu proudu jako totální diferenciál dID dID ATT . 9ID dUD " dUG a použijeme-li definice strmosti a vnitřního odporu (2.7) a (2.8) obdržíme dID = —dUD + SdUG. ti; (2.13) (2.14) Tento výsledek můžeme interpretovat jednak tak, že změnu proudu Id způsobí změna napětí hradla U g a změna napětí Ud, jednak tak, že změna napětí hradla způsobí změnu proudu Id a tato změna proudu Id způsobí změnu napětí Ud- Aby mohla nastat změna napětí Ud musíme zapojit do výstupního obvodu rezistor Rz, tzv. zatěžovací nebo pracovní odpor. Tak získáme zapojení uvedené na obr. 2.4, které představuje princip zesilovače napětí. Protože tranzistor má tři elektrody a jedna z nich je společná pro vstup i výstup existují tři možnosti zapojení tranzistoru v zesilovači: zapojení se společným source, se společným drain a se společným hradlem. Na obr. 2.4 je nejčastěji používané zapojení. Pro okamžité hodnoty napětí ve výstupním obvodu platí II. Kirchhoffův zákon E - IDRz -Ud = 0 jeho diferencováním určíme změnu výstupního napětí způsobenou změnou proudu Id dUD = ~RzdID, kterou použijeme v (2.14) a určíme jednak dynamickou strmost S d dl d S Sd = dUo jednak zesílení zesilovače A A = dUp dUG 1 + Ml -SdRz- (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) 18 Nelineární prvky Dynamická strmost je derivace dynamické převodní charakteristiky, což je charakteristika Id = f(Ua), při které není konstantní napětí Ud, to se mění díky přítomnosti zatěžovacího odporu. Pevným parametrem je napětí zdroje a zatěžovací odpor. Dynamickou převodní charakteristiku můžeme buď přímo změřit, nebo ji odvodit ze soustavy výstupních charakteristik při různých hodnotách napětí hradla. Pak má dynamická charakteristika tolik bodů, kolik statických charakteristik máme k dispozici. Zesílení zesilovače a dynamická strmost jsou určeny jednak statickými parametry tranzistoru S, Rí, jednak zatěžovacím odporem Rz a napětím zdroje E. Protože statické parametry jsou definované jako derivace nelineárních charakteristik, budou jejich hodnoty závislé na místě, kde derivaci určujeme. Toto místo je pracovní bod P zesilovače a ten je určen proudem Ido a napětím Udo při napětí hradla Ugo- Pro určité napětí zdroje E a určitý zatěžovací odpor Rz nastavujeme pracovní bod stejnosměrným napětím hradla Ugo- Při určování pracovního bodu jde o hledání proudu Ido, který protéká obvodem tvořeným zdrojem konstantního elektromotorického napětí E se sériově zapojeným rezistorem Rz a nelineárním prvkem tranzistorem- se známou charakteristikou. Jde tedy o řešení rovnice (2.15) vyjadřující pro výstupní obvod II. Kirchhoffův zákon se známou nelineární závislostí proudu Id na napětí Ud vyjádřenou obecně funkcí (2.12). Protože máme k disposici výstupní charakteristiky tranzistoru, buď v katalogu výrobce tranzistoru, nebo změřené, můžeme pracovní bod určit graficky takto: rovnici (2.15) přepíšeme do tvaru tzv. zatěžovací přímky ID = -^-Uc + ^-, (2.19) která vyjadřuje závislost proudu protékajícího rezistorem na výstupním napětí Ud- Tento proud musí být stejný s proudem Id tekoucím tranzistorem vyjádřeným funkcí (2.12). Zakreslíme-li zatěžovací přímku do grafu výstupních charakteristik, bude průsečík zatěžovací přímky s výstupní charakteristikou určovat pracovní bod P, tj. Udo, Ido, při Ugo parametru výstupní charakteristiky. Situace je znázorněna na obr. 2.5. Změníme-li napětí hradla v okolí pracovního bodu o AUg, změní se proud Id o AId = SúAUg a tato změna proudu vyvolá změnu výstupního napětí AUd = —RzAId- Poměr změny výstupního a hradlového (vstupního) napětí je napěťové zesílení tranzistorového zesilovače vyjádřené rovnicí (2.18). Dynamickou strmost S d vypočítáme ze statické strmosti S, vnitřního odporu tranzistoru Rí a zatěžovacího odporu Rz z rovnice (2.17). Takto vypočítanou hodnotu zesílení označíme A-v = SdRz- Zesílení tranzistorového zesilovače můžeme určit také graficky: Buď přímo pomocí výstupních charakteristik a zatěžovací přímky tak, jak je ukázáno na obr. 2.5, nebo pomocí dynamické převodní charakteristiky takto: Nejdříve sestrojíme dynamickou převodní charakteristiku pro určitý zatěžovací odpor Rz , napětí zdroje E a známé výstupní charakteristiky tak, že určíme průsečíky zatěžovací přímky s výstupními charakteristikami. Ty určují dvojice Uq, Id, které jsou body hledané charakteristiky. Body vyneseme do grafu a získáme dynamickou převodní charakteristiku. Pomocí tohoto grafu můžeme určit pro zvolenou hodnotu AUg příslušnou změnu proudu AId a ze zatěžovací přímky pak určíme hodnotu AUd- Zesílení je pak Aa = ^. (2,0, Na obr. 2.5 je znázorněno pět průsečíků, které určují pět bodů dynamické převodní charakteristiky. Derivace této charakteristiky je dynamická strmost Sd- Můžeme ji určit rovněž graficky s">m- (2-21) Poznamenejme, že podobně jako jsme zkonstruovali dynamickou převodní charakteristiku z výstupních charakteristik, můžeme vytvořit i statickou převodní charakteristiku pro konstantní napětí Ud, např. Udo- V tomto případě je Rz = 0 a zatěžovací přímka bude rovnoběžná s proudovou osou. Příslušné průsečíky jsou pak hledanými body statické převodní charakteristiky. 2 Nelineární prvky 19 O 5 10 15 20 UD (V) Obrázek 2.5: Výstupní charakteristiky tranzistoru BS108 se zatěžovací přímkou (Rz = 100 $7, E = 20V) a pracovním bodem P (Udo = 12,2 V, Ido = 78mA, U co = 1>3V). Zesílení určené graficky je AG = AUD/AUG = 29. Obrázek 2.6: Schéma zapojení pro měření vlastností zesilovače. Měření zesílení Funkci zesilovače můžeme sledovat nejlépe při jeho činnosti. Ke vstupním svorkám zesilovače na obr. 2.4 připojíme generátor střídavého napětí, u kterého můžeme regulovat amplitudu a frekvenci, časový průběh napětí na vstupu a na výstupu budeme sledovat dvoukanálovým osciloskopem. Protože rastr na stínítku obrazovky je kalibrován, můžeme napětí přiváděné na vstupy osciloskopu přímo měřit ve voltech. Vstupní obvod upravíme tak, abychom mohli na hradlo tranzistoru přivádět jak stejnosměrné napětí pro nastavení pracovního bodu, tak střídavé napětí z generátoru. Schéma zapojení je na obr. 2.6. Kondenzátor C odděluje stejnosměrné napětí z regulovaného zdroje od střídavého napětí z generátoru. Rezistor R je zapojený sériově ke zdroji stejnosměrného napětí a zvyšuje jeho celkový odpor, aby nezatěžoval generátor a nesnižoval tak jeho výstupní svorkové napětí. Při měřeni v pracovním bodě Udo = 0 Vnezapojujeme kondenzátor C, rezistor R a regulovatelný zdroj napětí 20 Nelineární prvky hradla. Generátor a osciloskop připojujeme přímo na hradlo G. Předpokládáme-li, že napětí z generátoru je harmonické s frekvencí /, resp. úhlovou frekvencí oj = 2-nf bude na vstupu zesilovače, tj. na hradle G napětí Č7i(t) = UG0 + uml sin ojí, (2.22) a velikost změny napětí na hradle bude AUG = 2uml (2.23) a můžeme ji odečíst na stínítku osciloskopu jako napětí špička-špička. Stejnosměrné napětí Ugo zobrazovat nebudeme. Na výstupu zesilovače bude napětí U2(t) = Um + AUD(t), (2.24) které pro malé amplitudy vstupní napětí um\ bude U2{t) = Udo + um2sm(ojt + (p), (2.25) kde íp = 7T je fázový posuv zesilovače a velikost změny výstupního napětí měřená osciloskopem bude AUD = 2um2. (2.26) Dosazením do rovnice (2.20) můžeme určit zesílení zesilovače, které označíme Am- Zapojení zesilovače uvedené na obr. 2.4 umožňuje získat o zesilovači tyto další informace: • závislost zesílení na poloze pracovního bodu P, • závislost zesílení na zatěžovacím odporu Rz a napětí zdroje E, • závislost zesílení na frekvenci střídavého napětí, tzv. amplitudovou frekvenční charakteristiku zesilovače • závislost fáze na frekvenci, tzv. fázovou frekvenční charakteristiku, • pozorovat zkreslení výstupního napětí zesilovačem. Upozornění: Při měření nesmíme překročit tzv. mezní hodnoty proudu Id, napětí Ud, napětí hradla Ug a maximální hodnotu ztrátového výkonu! Tyto hodnoty udává výrobce tranzistoru. Úkoly 1. Zvolíme napájecí napětí zesilovače E a pracovní bod P, určíme zatěžovací odpor Rz a nakreslíme zatěžovací přímku. Můžeme provést pro různé E, Rz a P- podle pokynů učitele. 2. Zapojíme zesilovač s generátorem a osciloskopem podle obr. 5 a určíme zesílení Am - Budeme měnit amplitudu střídavého napětí generátoru a pozorovat vliv na tvar výstupního napětí. 3. Určíme dynamickou strmost S d jednak jako derivaci převodní dynamické charakteristiky, jednak výpočtem z (2.17). Výsledné hodnoty porovnáme. 4. Vypočítáme zesílení Ay podle (2.18) a porovnáme je s hodnotou naměřenou na zesilovači. 5. Určíme zesílení Ag graficky podle (2.20). 6. Vypočítané hodnoty zesílení Ay a Ag porovnáme s naměřenou hodnotou Am- 2 Nelineární prvky 21 Varianta B: Voltampérové charakteristiky LED diod První soustavné měření Planckovy konstanty provedl v roce 1912 Robert Millikan, který proslul především svým měřením elementárního náboje, při kterém pozoroval pohyb nabitých kapiček oleje v elektrostatickém poli. Hodnotu Planckovy konstanty h = 6.57- 1CT34 J s stanovil na základě pečlivého sledování fotoefektu na povrchu kovů ve vakuu [14]. Pro přibližné určení hodnoty Planckovy konstanty v této úloze praktika využijeme souvislost mezi charakteristickým napětím nutným pro rozsvícení svítivé diody (LED) a barvou vyzařovaného světla. Takto lze nalézt hodnotu Planckovy konstanty s chybou v řádu desítek procent. Jako ostatní typy diod je i LED založena na PN přechodu mezi polovodičem typu P a typu N. Při styku těchto dvou polovodičů se po ustavení rovnováhy na rozhraní vytvoří ochuzená oblast - vrstva prostorového náboje, která zabraňuje pronikání majoritních elektronů a děr rozhraním. Přiložíme-li k PN přechodu napětí v propustném směru, umožní dodatečné elektrostatické pole nositelům náboje snadněji překonat ochuzenou oblast a PN přechodem začne protékat proud. V obou oblastech (P i N typu) polovodiče se tak dynamicky zvýší koncentrace minoritních nositelů, které mají tendenci rekombinovat s majoritními nositeli. Pro výrobu LED se volí polovodiče s přímým zakázaným pásem o vhodné šířce (GaAs, Gai-^Al^As, GaP, GaN), které umožňují zářivou rekombinaci ve viditelném oboru vlnových délek, případně v blízké IR či UV oblasti. vodivostní pás valenční pás P-typ N-typ Šířka zakázaného pásu přímo souvisí s energií fotonů vyzařovaného světla i s voltampérovou charakteristikou diody, což přináší vzájemný vztah mezi těmito dvěma charakteristikami LED. Nyní tento vztah rozebereme kvantitativně a ukážeme, jakým způsobem je možné jej využít k přibližnému stanovení hodnoty Planckovy konstanty. Ideální dioda má voltampérovou charakteristiku, tj. závislost proudu / protékajícího diodou na napětí U na ni přiloženém, danou Shockleyho rovnicí (2.27) kde Is je saturační proud, e elementární náboj, T teplota a ks Boltzmannova konstanta. Saturační proud závisí na šířce zakázaného pásu (podrobný rozbor lze nalézt např. v učebnici [20]), což vede na přibližnou rovnici J(C0«5exp(-^=^) , (2.28) kde B je konstanta určená dopováním a geometrií přechodu. V praktiku je k dispozici série vysoce svítivých diod s přibližně stejnými parametry (např. maximální pracovní proud asi 20 mA), u nichž lze očekávat, že se vyznačují přibližně stejnou hodnotou konstanty B. I(U) = h exp uSO -1 22 Nelineární prvky 20 15 1 10 -1- f - Ju f jed 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 U (V) Obrázek 2.7: V-A charakteristiky červené a modré LED diody s vyznačením napětí Uf. Pro vyšší proudy tekoucí diodou je její voltampérová charakteristika ovlivněna stejnosměrným odporem diody R 'e(U-RI)' I(U) exp 1 (2.29) Odtud můžeme pro vysoké proudy odvodit aproximativní vztah pro voltampérovou charakteristiku 0 pro U < Uf I(U) U-Uf TT ^ TT —■^-J- pro U > Uf (2.30) kde U f můžeme přibližně položit rovno šířce zakázaného pásu U f Eg. Energie vyzařovaných fotonů je přibližně rovna šířce zakázaného pásu Eg, což určuje frekvenci a vlnovou délku emitovaného záření: h f = hejA = Eg Uf hc -i (2.31) odkud můžeme snadno určit Plačkovu konstantu. Úkoly 1. Stanovíme vlnové délky záření jednotlivých LED ze série pomocí difrakční mřížky. 2. Změříme voltampérové charakteristiky LED. 3. Z voltampérových charakteristik jednotlivých LED odečteme Uf & sestrojíme graf závislosti U f na A-1, z něhož lze získat hodnotu konstanty hc/e. Užití v praxi: Tranzistory řízené polem jsou jedním ze základních prvků současné výpočetní i spotřební elektroniky. Používají se zejména v integrovaných obvodech, kde jich vyžívá jako spínačů. Toto použití je demonstrováno zejména naměřenou převodní charakteristikou, kdy pro napětí na hradle nižší než prahové neprotéká tranzistorem proud. Další oblast jejich použití je jako elektronických zesilovačů. LED diody se v současné době stále více prosazují jako osvětlovací prvky s malou spotřebou. Volbou vhodného polovodičového materiálu lze měnit spektrální charakteristiku diody. Kombinací různých diod můžeme vytvořit bílý zdroj světla s různým, případně laditelným barevným složením. 2 Nelineární prvky 23 i-1-1-1-r 400 450 500 550 600 650 700 X [nm] Obrázek 2.8: Emisní spektra LED různých barev, které jsou k dispozici v praktiku. U LED označených jako „white" a „pure green" vyzařuje vlastní PN přechod na vlnových délkách v modré až UV oblasti a výsledné barvy je dosaženo fosforescencí. Úloha 3 Elektrické pole, můstkové metody měření Úkoly k měření Povinná část • Změřte odpor dvou rezistorů a jejich sériové a paralelní kombinace pomocí Wheatstonova můstku. • Ověřte vztahy pro skládání odporů. Varianty povinně volitelné části A. Změřte rozložení elektrického pole v okolí dvouvodičového vedení. B. Změřte rozložení elektrického pole v elektrostatické čočce. Povinná část Teorie Můstkové metody jsou často užívané pro stanovení hodnoty odporů. Principiální zapojení můstku je na obrázku 3.1. čtyři odpory jsou zapojeny do „čtverce" v jehož jedné úhlopříčce je zapojen zdroj napětí a v druhé měřící přístroj určující velikost procházejícího proudu /. Neprochází-li touto větví proud, říkáme, že můstek je vyvážen. Tento stav (/ = 0) zřejmě nastane, je-li napětí mezi body B a D nulové, tj. UBD = 0. (3.1) Toto napětí můžeme vyjádřit jako rozdíl potenciálů v bodech B a D vzhledem k bodu A UBD = U ba - UD a- (3.2) Obdobně lze uvažované napětí určit vezmeme-li za vztažný bod bod C Ubd = UBc-Udc. (3.3) Z podmínek (3.1) až (3.3) plyne U ba = U d a, UBC = UDC. (3.4) protože mezi body B a D neprochází proud, musí odpory R\ a r2 procházet proud I\ a odpory i?3 a R4 proud I3. Pak lze podmínku (3.4) psát následovně Rih = ^3^3) r2i1 = At^3> (3-5) 24 3 Elektrické pole, můstkové metody měření 25 odkud dělením obou rovnic dostáváme podmínku rovnováhy na můstku Ri _ Rs i?2 R4 (3.6) Je-li např. hodnota odporu R± neznámá, lze ji stanovit ze vztahu (3.7) tzn. musíme znát absolutní hodnotu jednoho odporu a poměr zbývajících dvou odporů. Uvedený závěr nám poslouží ke stanovení hodnoty neznámého odporu Rx v zapojení můstku podle obrázku 3.2. Odpory jsou v tomto případě tvořeny přesně lineárním potenciometrem realizovaným homogenním odporovým drátem s posuvným kontaktem, kterým nastavujeme můstek do rovnováhy. Je-li délka drátu l, pak v rovnováze platí Rozsah můstku lze měnit změnou známého odporu Rn- Měření je nejpřesnější, je-li R3 R4, tj. a b. Odpor R slouží jako predradný odpor, kterým zmenšujeme proud měřícím přístrojem v případě, že most není ještě vyvážen. Můstkovou metodou je možné měřit odpory v poměrně širokém intervalu s dostatečnou přesností. Při měření odporů řádu 10° fž a menších se začíná uplatňovat vliv spojů. Při měření velkých odporů řádu 106 fž a vyšších je proud procházející můstkem malý a můstek je málo citlivý. Tato otázka je diskutována např. v [4]. Proudová citlivost můstku udává jak velká je změna proudu a (3.8) Rx — Rnt — Rn l — a B A C D Obrázek 3.1: Obecné zapojení stejnosměrného můstku. Obrázek 3.2: Můstek s lineárním potenciometrem. 26 Elektrické pole, můstkové metody měření B A C D Obrázek 3.3: Obecný střídavý most vyvolaná jednotkovou změnou odporu. Citlivost můstku úzce souvisí s požadovanou přesností měření. Čím větší přesnosti chceme dosáhnout, tím větší jsou požadavky na citlivost můstku a měřící přístroje. 1. Změřte hodnoty dvou odporů a hodnoty jejich sériového a paralelního zapojení 2. Ověřte platnost vztahů pro výpočet sériově a paralelně řazených odporů. Společná teoretická část pro obě volitelné varianty Střídavý můstek Střídavý most pracuje na stejném principu jako stejnosměrný most Wheatstonův a rozumíme jím čtyři impedance zapojené dle obrázku 3.3. Most je vyvážen tehdy, jestliže detektorem D neprochází proud, pak jsou splněny jisté relace mezi impedancemi v jednotlivých větvích mostu. V případě střídavého mostu je situace poněkud komplikovanější ve srovnání se stejnosměrným mostem, protože na impedancích dochází obecně k fázovému posuvu proudu a napětí. Napětí na jednotlivých impedancích je rovno Ui = tady Úkoly C/i = Zi/i Us = Z3I3 (3.9) Jestliže detektorem neprochází proud, je I d = 0 a platí I\ = i2, h = h a Us = Z3I3 u2 = Z2h. U4 = Z4Í3 (3.10) a současně je zřejmé, že Úbd = 0. Tedy musí platit Ůi = Ú3 a Ú2 = Ů4. Pak dostaneme obecnou podmínku rovnováhy na střídavém mostě 3 Elektrické pole, můstkové metody měření 27 Tato podmínka představuje vlastně dvě rovnice, pro reálnou a imaginární část impedancí Ž-i. Jestliže vyjádříme impedanci Z ve tvaru Ž = \Ž\e^, (3.12) kde \Z\ je absolutní hodnota a 0 fázový posuv, dostaneme ze vztahu (3.11) amplitudovou podmínku \Zi\ _ \Z%\ | Z21 | Z41 a podmínku fázovou (3.13) 01 " 02 = 03 " 04 + fc = 0,1,2,... . (3.14) Aby byl střídavý most vyvážen, musí být obě podmínky splněny současně. Měření rozložení elektrostatického pole Elektrostatické poleje svou podstatou vektorovým polem, tvořeným vektorem intenzity E. Můžeme je však stejně dobře popsat, užijeme-li skalárního pole hodnot elektrostatického potenciálu V. Uvedené vektorové pole intenzity a skalární pole potenciálu jsou si zcela ekvivalentní a platí E = -W. (3.15) Ekvipotenciální hladinou se nazývá v obecném případě plocha, na které má potenciál všude stejnou hodnotu V(x,y,z) = V0 = konst. (3.16) Pro každý elementární posuv óx, óy, óz po této ploše platí zřejmě podmínky óV = 0 a tedy také - (Ex5x + Eyóy + Ez5z) = -E-ól = 0. (3.17) Tato rovnice říká, že skalární součin intenzity s libovolným posunem po hladině je nulový tj. intenzita je všude kolmá k ekvipotenciálním hladinám a siločáry jimi probíhají kolmo. Vztah (3.15) vede ryze matematickým postupem [7] k další důležité rovnici rotí; = 0, (3.18) tedy elektrostatické pole je pole nevírové. V místech, kde není nábojů je také div£ = 0, (3.19) to znamená, že uvažované pole je nezřídlové. Měření rozložení potenciálu v elektrostatickém poli je z experimentálního hlediska dosti obtížné. Využívá se proto analogie mezi elektrostatickým polem v homogenním dielektriku a elektrickým polem uvnitř homogenního vodiče, kterým protéká stacionární proud. V jednotlivých případech je pole popsáno: Pole stacionárního proudu Elektrostatické pole Es = -VVS Ee = -We (3.20) js = aEs De = eEe div js = 0 div De = 0 Eq-dl = 0 éEP-dl = 0, kde Es, Ee je vektor intenzity pole, js proudová hustota, De vektor elektrostatické indukce, o vodivost prostředí, ve kterém teče proud, e permitivita prostředí v němž se elektrostatické pole vyskytuje. Za předpokladu, že dielektrikum je homogenní a neexistují v něm volné náboje a vodič 28 Elektrické pole, můstkové metody měření Obrázek 3.4: Střídavý můstek pro měření v elektrolytické vaně (a). Náhradní schéma elektrolytické vany (b). je homogenní (a = konst. 7^ 0) jsou soustavy rovnic (3.20) pro pole stacionárního proudu a elektrostatické pole zcela ekvivalentní. Pak lze elektrostatické pole trojrozměrného systému v prostředí s permitivitou e studovat jako pole proudu js v prostředí s vodivostí a. Měření obyčejně provádíme v rovině, tj. studujeme takové trojrozměrné systémy, které mohou být popsány rozložením pole v určité rovině. Jsou to jednak systémy nezávislé na jedné ze souřadných os a jednak systémy, které mají rotační symetrii. Poslední případ se týká elektrostatických čoček. Elektrické pole v rovině obsahující osu rotační symetrie nemá normálovou složku v důsledku této symetrie. Provedeme-li řez v této rovině a jednu polovinu systému nahradíme dielektrikem (vzduch), rozložení pole se zachová, protože normálová složka je opět nulová avšak v tomto případě na hranici vodič-dielektrikum. Na tomto principu se zakládá metoda řezu, kterou použijeme pro vyšetření pole v elektrostatické čočce tvořené dvěma válcovými elektrodami a rozdílem potenciálů U. Postup měření: Měření se provádí v elektrolytické vaně zapojené jako střídavý můstek. Je to nevodivá nádoba se slabým elektrolytem, do níž se umístí modely vodičů, jejichž elektrické pole chceme vyšetřovat. Rozměry nádoby je nutno volit tak, aby hustota proudu u jejich stěn byla mnohem menší než v prostoru, kde měříme. Na obrázku 3.4 je schéma zapojení vany do střídavého mostu se dvěma elektrodami M\ a M2. Sondou S, jejíž potenciál nastavíme na předem zvolenou hodnotu vzhledem k některé elektrodě, hledáme ta místa v elektrolytu, jejichž potenciál je stejný jako potenciál sondy. Je-li potenciál sondy a daného místa v elektrolytu stejný, pak detektor D vykazuje minimální signál. Pomocí odečítacího zařízení (pantografu) lze postupně na graf přenést síť bodů o stejném potenciálu. Jejich spojením dostáváme průběh ekvipotenciální čáry. Siločáry jsou v každém bodě kolmé k ekvipotenciálním čarám: takovým způsobem lze postupně zmapovat průběh elektrostatického pole v určité rovině. Měření zpravidla provádíme střídavým proudem. Vyhneme se tím možné chybě způsobené polarizací elektrod [16]. Je-li frekvence střídavého proudu 102 až 103Hz, pracujeme v podstatě s kvazistacionárními proudy a ekvivalentnost systému rovnic (3.20) je splněna v tomto případě s dostatečnou přesností. Popsaná metoda je již poněkud překonaná moderními metodami, poskytuje však velmi dobrou představu o průběhu ekvipotenciálních čar v sestavené konfiguraci. Je-li napětí na elektrodách ~ 10 V a detektorem lze měřit změny napětí řádově 10~2 V, určíme polohu ekvipotenciálních čar s přesností asi 1 % [4]. 3 Elektrické pole, můstkové metody měření 29 Obrázek 3.5: Ekvipotenciální hladiny v rovině kolmé na dva rovnoběžné nekonečně dlouhé nabité vodiče. Varianta A: Rozložení potenciálu v okolí dvouvodičového vedení. Potenciál elektrostatického pole v okolí rovnoběžných válcových vodičů Potenciál pole ve vzdálenosti r od přímého vodiče s lineární hustotou náboje r je líre r (3.21) kde R je vzdálenost od vodiče, ve které klademe potenciál roven nule V(R) = 0 (nelze volit V(oo) = 0, protože náboj je rozložen na vodiči, jehož délka není omezena). Volíme-li místo nulového potenciálu ve vzdálenosti R = 1 j od vodiče, pak můžeme vztah (3.21) psát V --log r. 27re 6 (3.22) Potenciál v bodě M (obrázek 3.5) od dvou lineárních rovnoběžných vodičů je podle principu superpozice s přihlédnutím ke vztahu (3.22) dán V = V1 + V2 = ^-\ogr-^. líre 7*1 (3.23) Na vodičích jsou rozloženy elektrické náboje s konstantními lineárními hustotami +r a —r. Pro ekvipotenciály platí -log — = konst., nebo — = A, 27TĚ 7*1 7"i (3.24) kde 7"i = y/(a — x)2 + y2, r2 = y/{a + x)2 + y2 a A > 0 je parametr ekvipotenciálních hladin. Geometrickým místem bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů konstantní poměr vzdáleností A je pro A = 1 přímka a pro A / 1 Apolloniova kružnice. Ve zvolené soustavě kartézských souřadnic je touto přímkou osa y, středy S[xs, 0] a poloměry r Apolloniových kružnic určíme tak, že rovnice (3.24) upravíme na tvar x — a A2 + 1V . 2_ 2 A2 + l A2-l + y (3.25) Pak A2 + l i, = a- yj x2 — a2. "A2-ľ Z prvních tří rovnic (3.20) plyne pro potenciál elektrostatického pole Laplaceova rovnice (3.26) V2V = 0. (3.27) 30 Elektrické pole, můstkové metody měření Obrázek 3.6: Výpočet potenciálu v bodě M od dvou válcových nekonečných vodičů s poloměrem R mezi nimiž je rozdíl potenciálů U . Problém určení elektrostatického pole dvojvodičového vedení tvořeného rovnoběžnými válcovými vodiči nahradíme řešením elektrostatického pole dvojice rovnoběžných vodičů. Okrajové podmínky zachováme, postupujeme-li takto: dané válcové vodiče nahradíme válci z dielektrika s permitivitou prostředí e a do každého z nich vložíme přímkový vodič s lineární hustotou náboje r respektive —r (obrázek 3.6), tzv. elektrické osy. Polohu os a hodnotu r stanovíme tak, aby elektrické pole, které vytvářejí mělo ekvipotenciální plochy V\ a v2 s poloměry R právě v místech povrchu válců, přičemž musí být V\ — v2 = U. Ve zvolené souřadné soustavě je vzdálenost středů Si a s2 vodivých válců 2h, pak poloha náhradních vodičů A a B se určí z rovnice (3.26) a = -r2. (3.28) Z poslední rovnice je zřejmé, že body A a B jsou vzájemně sdružené v kulové inverzi vzhledem ke kružnicím se středy Si a 6*2. Opravdu platí R2 = h2 -a2 = (h- a){h + a)= Š^ÄŠ^B = ^BŠ^Ä. (3.29) Potenciál v bodě M bude podle (3.23) F = -^log^ = -^logA. (3.30) žne ri žne Pro potenciály na ekvipotenciálních plochách totožných s válcovými vodiči dostaneme podle (3.30) s použitím (3.29) T/ _ r ÄP t h + a _ t ÄQ r R Fi = — log== = — log—-, V2 = — log= = — log——. (3.31) 2tv€ BP 2,-Ke R žne BQ 2,ire h + a Hodnotu r určíme z podmínky U = V\ — v2 Dosazením (3.32) do (3.30) dostaneme ireU log^f' U , r2 (3.32) V =-7— log—. (3.33) 21og^ n y J Rovnice (3.30) je odvozena pro symetrické rozložení nábojů, které v běžném experimentálním uspořádání není splněno (obyčejně máme V\ = U a v2 = 0 nebo naopak a nikoliv V\ = U/2 a v2 = —U/2). V souhlase s naším experimentálním uspořádáním posuneme hladinu od které počítáme potenciál o U/2, tedy V =-^r— log— ±-. (3.34) 21og^ n 2 y J 3 Elektrické pole, můstkové metody měření 31 Obrázek 3.7: Demonstrace odvození dráhy elektronu při průchodu rozhraním mezi poloprostory s různými potenciály. Úkoly 1. Určete rozložení ekvipotenciálních čar v okolí dvouvodičového vedení tvořeného rovnoběžnými válcovými vodiči. 2. Ověřte výpočtem experimentálně získané rozložení ekvipotenciálních čar - nakreslete vypočtené ekvipotenciální čáry do naměřeného rozložení. Varianta B: Rozložení potenciálu v elektrostatické čočce. Konstrukce dráhy elektronu v elektrostatickém poli Známe-li průběh ekvipotenciálních čar ve vyšetřovaném systému, můžeme sestrojit přibližný průběh dráhy nabité částice (např. elektronu), který by se v tomto systému pohyboval. Chování elektronu při průchodu rozhraním mezi dvěma poloprostory P\ a P2 s odlišnými potenciály Ví, V2 je schematicky uvedeno na obrázku 3.7. Předpokládáme, že rozhraní R má tloušťku konečně velkou, částice se v poloprostoru P\ pohybuje s rychlostí v\. V rozhraní se mění potenciál spojitě z hodnoty Ví na V2. Od bodu B se pohybuje částice opět konstantní rychlostí V2. Je-li V2 > Ví, pak V2 > v\. Z teorie elektromagnetického pole plyne [17], že při průchodu rozhraním se zachovávají tečné složky mechanické hybnosti částice. Musí se tedy měnit normálové složky rychlosti. Z obrázku 3.7 plyne, že sinai = v\tjv\ a sin «2 = V2t/v2- Protože v\t = V2t platí = 2*. (3.35) sin 0l2 vi Práce, kterou vykoná pole při průchodu elektronu z prostředí P\ do P2 je rovna e(V2 — Ví). Ze zákona zachování energie elektronu plyne: -mv2 = -mvl + e(V2 - VI), — = . H--1-^—. (3.36) Položíme-li kinetickou energii elektronu v prostředí P\ rovnu eV±, pak ^2/^1 = y/V2/Vi a výraz (3.35) lze psát sinai 1V2 sino!2 V Ví (3.37) 32 Elektrické pole, můstkové metody měření Obrázek 3.8: Konstrukce dráhy částice. Na základě vztahu (3.37) lze graficky určit přibližnou dráhu nabité částice, známe-li z měření systém ekvipotenciálních čar. Lze předpokládat, že mezi sousedními čarami příslušejícími potenciálu Ví a Vk je konstantní potenciál daný jejich aritmetickým průměrem Vik = (y-i + Vk)/2. Na obrázku 3.8 je znázorněna konstrukce dráhy částice. Nechť Vn+i > Vn. Aplikujeme-li vztah (3.37) na čáru Vn, dostaneme SÍn«l = y/(Vn + Vn+l)/2 = Aj sina2 y/iVn-x + Vn)/2 A2- V bodě B sestrojíme normálu n k ploše Vn. Kolem bodu B opíšeme kružnici k o libovolném poloměru. Směr dráhy dopadajícího elektronu prodloužíme až do bodu D; z tohoto bodu spustíme kolmici na normálu. Ze změřené velikosti úseku DD' vypočítáme délku úsečky CC tak, aby platilo = £ = (3.39) CC A2 Najdeme bod C na kružnici k tak, aby úsečka C C byla kolmá k normále n. Lomený paprsek bude mít směr BC. Popsané metody sledování elektrostatického pole lze užít i pro měření v magnetickém poli např. při modelování magnetických čoček. Podobně jako u varianty A model čočky, která je tvořena dvěma souosými válci s rozdílným potenciálem a obecně různým průměrem, studujeme v řezu, kdy válce jsou nahrazeny dvojicemi desek. Můžete experimentovat s tím, jaká konfigurace dá vhodně zakřivené elektrostatické pole. Úkoly 1. Určete rozložení ekvipotenciálních čar v elektrostatické čočce. 2. Zkonstruujte průběh dráhy elektronu v elektrostatické čočce. Úloha Pohyblivost částic Úkoly k měření Povinná část • Určete odporovou kapacitu elektrolytické cely. • Změřte teplotní závislosti pohyblivosti iontů v elektrolytu. Varianty povinně volitelné části A. Brownův pohyb. B. Teplotní závislost pohyblivosti volných elektronů v kovu. Povinná část Teorie Vložíme-li do vodného roztoku kyseliny, zásady, případně soli dvojici platinových elektrod připojených na zdroj stejnosměrného napětí, zjistíme, že obvodem protéká elektrický proud. Tento jev lze jednoduše vysvětlit. Látka, která je tvořena heteropolárními (iontovými) molekulami se nachází v rozpouštědle, které také obsahuje heteropolární molekuly. Vlivem tepelného pohybu molekul v takto vzniklém elektrolytu dochází k interakci molekul. Polární molekuly rozpouštědla působí na molekuly rozpouštěné látky a vzájemným působením elektrických polí dochází ke štěpení -elektrolytické disociaci molekul rozpuštěné látky. Tento jev má však dynamický charakter. V roztoku nastává štěpení rozpuštěné látky na ionty, současně však probíhá spojování iontů v neutrální molekuly - rekombinace iontů. Mějme v objemové jednotce roztoku no molekul rozpuštěné látky, z nichž je n disociováno. Pak podíl a = n/rio (4-1) se nazývá stupněm disociace. Koeficient a klesá s rostoucí koncentrací a stoupá s rostoucí teplotou elektrolytu. Označme q náboj přenášený iontem (q = ze, kde z - mocenství iontu a e - elementární náboj). Dále nechť E je intenzita elektrického pole mezi elektrodami ponořenými do elektrolytu. Vlivem tohoto pole jsou ionty přitahovány k elektrodám (obr. 4.1), přitom na ionty působí síla elektrického pole, proti kterému působí odpor prostředí. Například pro kladný iont má pohybová rovnice tvar m+a+ = q+E — k+v+ (4-2) kde m+ je hmotnost kladného iontu, a+ jeho zrychlení, v+ rychlost iontu a k+ je koeficient charakterizující odpor prostředí vzhledem ke kladným iontům. V okamžiku, kdy nastane rovnováha 33 34 Pohyblivost částic Anoda Katoda -0 ©- Obrázek 4.1: Pohyb iontů v elektrolytu. mezi silou vyvolanou elektrickým polem a odporem prostředí bude a+ = 0 a z rovnice (4.2) dostaneme q+e (a - = -g, (4-5) dostaneme j=nq(fi++fi-)E = aE (4.6) kde a je vodivost elektrolytu. Rovnici (4.6) můžeme nazývat Ohmovým zákonem pro elektrolyty. Ze vztahu (4.6) vyplývá o" = nq(n+ + //_), (4.7) přičemž tato rovnice dává do vzájemného vztahu pohyblivost iontů a jejich vodivost. V obecném případě je fi+ ^ //_ a při dalších úvahách musíme znát tzv. převodová čísla kationtů a aniontů definovaná t+ = t_ = , (4.8) Aí+ + A4- Aí+ + li- di s jejich pomocí stanovit pohyblivosti fi+ a Omezíme-li se v dalším na speciální případ úplně disociovaného roztoku, kde navíc fi+ = //_ = /x, pak ze vztahu (4.6) vyplývá 2n0q Poznámka: Tento předpoklad je splněn například pro roztoky KC1 s koncentrací n < O.lmol/1. Součin riQ a q je vlastně náboj v objemové jednotce, který lze vyjádřit pomocí Faradayova náboje F = 96485,34C.mor1 a molarity cm n0q = Fcm, (4.10) ^ = ^r- (4-11) Závislost pohyblivosti iontů na teplotě můžeme tedy stanovit v tomto zvláštním případě, určíme-li pro danou teplotu vodivost zkoumaného elektrolytu. Tuto veličinu lze poměrně snadno stanovit vzhledem k tomu, že pro odpor Rx elektrolytu platí vztah Rx = ~ (4-12) o b 4 Pohyblivost částic 35 T (°C) 15 0.1734 16 0.1782 17 0.1831 18 0.1880 19 0.1928 20 0.1976 21 0.2024 Tabulka 4.1: Měrná vodivost nasyceného roztoku sádrovce. kde S - plocha elektrod a L - vzdálenost mezi elektrodami. Problém se pak redukuje na zjištění odporu daného elektrolytu při zvolené teplotě. Rozbor však ukazuje, že ve skutečnosti by tento postup nevedl ke správným výsledkům, protože proudové čáry neprocházejí přesně rovnoběžně mezi elektrodami, ale zakřivují se. Pak jsou oba parametry L a S jiné než vyplývá z geometrie uspořádání elektrod. Proto je nutné hodnotu L/S ve vztahu (4.12) stanovit experimentálně. Naplníme-li měrnou nádobku stejným objemem různých roztoků budou odpory v jednotlivých případech dány vztahem Rx = - (4.13) c kde A = L/S je tzv. odporová kapacita nádobky (elektrolytické cely). Pro daný objem elektrolytu s určitou konfigurací elektrod je A konstantou nádobky. Tuto konstantu lze stanovit tak, že stanovíme odpor elektrolytu známé vodivosti a ze vztahu (4.13) parametr A vypočítáme. Postup měření V tabulce 4.1 je uvedena teplotní závislost nasyceného roztoku sádrovce. Známe-li tedy hodnotu parametru A lze pomocí vztahu (4.13) a (4.11) jednoduše určit pohyblivost iontů zkoumaného elektrolytu (KC1) při různých teplotách. Měření odporu elektrolytu se obvykle provádí pomocí střídavého mostu (viz úloha č. 3) v zapojení podle obr. 4.2. Pro měření užíváme v tomto případě střídavého mostu, aby nedocházelo k elektrolýze roztoku a polarizaci elektrod. Ze schématu je zřejmé, že v jedné větvi spolu s měrným odporem R je také proměnná kapacita C. Ukazuje se totiž, že při měření se uplatňuje také kapacita elektrické dvoj vrstvy na styku elektroda-elektrolyt [16]. Pro vyrovnání mostu, tj. splnění amplitudové i fázové podmínky je nutné tuto parazitní kapacitu eliminovat. V okamžiku rovnováhy pak platí (viz úloha č. 3) Rx = ^R- (4-14) tib Měření odporu roztoku sádrovce provádíme ve střídavém můstku zapojeném podle schématu 4.2. Měření teplotní závislosti odporu roztoku KC1 pro zjednodušení provádíme pomocí automatického RLCG mostu. Narozdíl od sériové kombinace R a C, která je použita v předchozím můstku (obrázek 4.2), předpokládá automatický most paralelní kombinaci, viz obrázek 4.3. Impedance sériové kombinace Zs a paralelní kombinace Zp jsou dány vztahy ZS = RS- i-^-, -L = -L+ icoCp, (4.15) ojk^ $ Zjp Tip kde oj = 2-nf a / je frekvence mostu. Nahradíme-li tedy při zachování stejné impedance sériové zapojení paralelním, pak jsou hodnoty odporu a kapacity svázány vztahy Rp _ 1 + uJ2C2pRl Ks~l + uj2ClRf Lo^CpRj • 1 bj 36 Pohyblivost částic Obrázek 4.2: Střídavý most pro měření vodivosti elektrolytů. E - elektrolytická cela, D - detektor (osciloskop), C - proměnná kapacita. (a) (b) c p Obrázek 4.3: Náhradní schéma elektrolytické cely v sériovém (a) a paralelním (b) zapojení. Frekvence automatického RLCG mostu v praktiku je / = 1kHz. Poznámka: Při měření teplotní závislosti pohyblivosti iontů roztoku KC1 je nutné uvážit teplotní interval ve kterém lze provádět měření tak, aby splňovalo předpoklady uvažovaného modelu. Bude zřejmě nutné, aby ve vztahu (4.11) mimo veličinu o byly ostatní parametry konstantní. Úkoly 1. Změřte odporovou kapacitu elektrolytické cely pomocí roztoku sádrovce. 2. Změřte teplotní závislost elektrolytické vodivosti roztoku KC1. Hodnoty měřené pomocí automatického mostu přepočtěte podle vztahu (4.16). 3. Stanovte pohyblivost iontů. Sestrojte grafy teplotní závislosti elektrické vodivosti a pohyblivosti a porovnejte s hodnotami tabelovanými. Varianta A: Brownův pohyb. Teorie Jsou-li v kapalině suspendovány malé kulové částice, pak se tyto částice sráží s okolními molekulami kapaliny. Jsou-li rozměry uvažovaných částic dostatečně malé (řádově stovky nm), nemusí být v každém okamžiku kompenzovány impulzy sil, kterými molekuly kapaliny působí na suspendované částice. Vlivem takto nevykompenzovaných impulzů se částice pohybuje, přičemž se v delším časovém intervalu směr pohybu náhodně mění. Tento druh pohybu se nazývá Brownův pohyb. Pohybující se částice předává při pohybu energii okolním molekulám a protože je mnohem větší než molekuly kapaliny, je možné její pohyb v kapalině popsat Stokesovým zákonem. Brownův pohyb byl prvním fyzikálním dějem, v němž se projevila existence molekul a měl tedy 4 Pohyblivost částic 37 velký význam při experimentálním ověření molekulární kinetické teorie hmoty. Neuspořádaný pohyb brownovské částice se řídí Einsteinovým zákonem: sledujeme-li polohy částice v definovaných časových okamžicích, pak střední kvadratické posunutí částice je úměrné zvoleným časovým intervalům. Ukážeme nyní odvození tohoto zákona a experimentální postup při jeho ověření. V dalším nebudeme přímo pracovat s vektory přemístění částice, ale budeme uvažovat průměty těchto vektorů do libovolného pevného směru. Pohybová rovnice má tvar m^ = Fi+F2 (417) kde m je hmotnost částice, F\ výsledná (nevykompenzovaná) síla způsobená srážkami s molekulami kapaliny, f2 síla způsobená odporem prostředí (okolními molekulami). Pak H T F2 = -k—. (4.18) Podle Stokesova zákona [7] je k = Qirqr, (4.19) kde rj je viskozita kapaliny, r poloměr částice a rychlost částice. Pak lze (4.17) psát ve tvaru d2x _ , dx m~d~fi = 1 ~ kTt (420) Vynásobením rovnice (4.20) veličinou x dostaneme: Jednoduše lze ukázat, že d2x dx mx—7t = Ftx — kx— (4.21) dí2 dí v ; ^ = 0375 (*2 " 37 (4-22) dí 2dí pak dosazením (4.22) a (4.23) do vztahu (4.21) dostaneme dí2 2 dí2 v ' \dt) dx 1 d , 9N x— = -— (x2) . (4.23) fn d2 , (dx\ _ 1, d , 9s ,. „.s (x2) - mi — =F1x- -k— (x2) . (4.24) 2 dí2 v ' \dt) 2 dí Zajímáme se ovšem pouze o střední hodnoty uvedených veličin, které je možné pozorovat v časovém intervalu t. Protože je pohyb částice chaotický, pak střední hodnota součinu F\x = 0. Označme dále d «*2» = h (4.25) "f = ~-™( (^) ) (4-26) Druhý člen na pravé straně rovnice (4.26) je dvojnásobek střední hodnoty kinetické energie částice. Aplikujeme-li na pohyb brownovské částice teorii ideálních plynů a zajímáme-li se o složku rychlosti částice pouze ve směru jedné osy (osy x), dostaneme pak 1 2 3RT fdx\2 RT . -mvz =-, ml — =-, (4.27) 2 2N ' V dí / N ' y J kde ./V je Avogadrovo číslo, T absolutní teplota kapaliny a R univerzální plynová konstanta. Dosazením (4.27) do vztahu (4.26) dostaneme _kh = mdh _ RT 2 2 dí N ' 1 ' ' 38 Pohyblivost částic dh k ^ -dt. (4.29) 2RT Nk Integrací této rovnice v mezích od 0 do t dostaneme k-2-^=Ce-^. (4.30) kde C je integrační konstanta. Je-li časový interval měření dosti velký, můžeme v poslední rovnici zanedbat člen na pravé straně a dostáváme Jestliže se vrátíme k původnímu významu parametru h a k dostaneme - <*2> = (4.32) dt Gnr/rN Rovnici (4.32) integrujeme za předpokladu počátečních podmínek i = 0,í = 0a dostaneme: což je výraz pro střední kvadratické posunutí brownovské částice. Postup měření Pozorování popsaného jevu se zpravidla provádí na projekčním mikroskopu se značným zvětšením. Preparát (suspense částic ve vodě na podložním sklíčku) je umístěn na stolečku mikroskopu a na matnici mikroskopu je umístěna průhledná folie na níž zaznamenáváme v pravidelných časových intervalech polohy vybrané, stále stejné, částice. Po delší době dostaneme na folii síť bodů odpovídajících chaotickému pohybu částice. Pro další zpracování měření je mnohdy vhodné znát zvětšení mikroskopu v daném uspořádání. V tomto případě se na stoleček mikroskopu místo preparátu umístí mřížka, přičemž vzdálenosti jednotlivých vrypů jsou předem známy. Zpracování výsledků měření Úkolem a smyslem měření je ověření platnosti Einsteinova vztahu (4.33). Je nutné si uvědomit, že vzdálenost mezi dvěma body na záznamové folii mikroskopu je zvětšené zobrazení projekce vektoru přemístění částice (za daný časový interval například 5 s) do roviny, na níž byl mikroskop zaostřen. K ověření vztahu (4.33) je nutno zjistit střední hodnotu čtverců projekcí vektorů přemístění do roviny nebo přímky. Jestliže se během měření neprojevovalo tečení preparátu jedním směrem, jsou vzdálenosti mezi jednotlivými body přímo průměty do roviny. Jestliže jsme naopak pozorovali tečení preparátu, musíme provést promítnutí všech vzdáleností do směru kolmého na směr tečení. Označme dále vzdálenosti sousedních bodů L. Střední kvadratické posunutí získáme vypočtením aritmetického průměru čtverců naměřených vzdáleností. Schéma měření vzdáleností a stanovení střední hodnoty čtverců vzdáleností je uvedeno v tabulce 4.2 Potom platí podle tabulky 4.2: \plO t-2 \p9 t-2 \p8 t-2 (£!)= <=110*+1, tóo)= V''+2, <^5>= 8M+3- (4-34) Je-li Einsteinův zákon pro studovaný chaotický pohyb splněn, musí podle (4.33) platit: (L2) : (L20) : (L25) = 1:2 : 3 (4.35) Poznámka: Je zřejmé, že pro ověření platnosti vztahu (4.33) je nutné odhadnout chybu středního kvadratického posunutí a také chybu v určení časových intervalů. Dále je nutné si uvědomit, 4 Pohyblivost částic 39 po 5 s po 10 s po 15 s T2 T2 ^1,3 T2 T2 ^2,3 T2 ^2,4 T2 T2 ^3,4 T2 ^3,5 T2 ^3,6 r2 r2 r2 r2 ^5,6 r2 ^5,7 r2 ^5,8 r2 r2 ^6,8 r2 ^6,9 T2 ^7,8 ^7,9 -^7,10 T2 ^8,9 T2 T2 T2 -^9,10 T2 ^9,11 r2 -^10,11 Tabulka 4.2: Čtverce vzdáleností pro částici, která byla naměřena vil polohách po sobě jdoucích. že Einsteinův vztah má charakter statistické zákonitosti a k jeho ověření je třeba provést měření na velkém souboru částic. Je-li shoda naměřených středních hodnot kvadrátu posunutí v rámci chyby měření dobrá se vztahem (4.35), lze rovnice (4.33) dále užít alespoň odhadu velikosti částice. Ve vztahu (4.33) je (x2) střední hodnota kvadrátu projekce vektorů přemístění do určitého směru (v našem případě jsme brali směr osy x) a nikoliv do roviny. Jestliže však na záznamové folii měříme přímo vzdálenosti L je nutné použít vztahu (L2) = 2(x2}, (4.36) který plyne ze stejné pravděpodobnosti zastoupení všech směrů v rovině. Jestliže se projevovalo tečení suspenze preparátu a byli jsme nuceni provádět před vlastním odečítáním vzdáleností promítání do přímky kolmé na směr tečení, pak bereme do výpočtu přímo = (x2), (4.37) Poznámka: Při stanovení velikosti poloměru r sledované částice ze vztahu (4.33) musíme znát skutečnou hodnotu veličiny (x2), kterou určíme ze záznamové folie pomocí známého zvětšení projekčního mikroskopu. Teplotu kapaliny T ve vztahu (4.33) musíme odhadnout, zpravidla není rovna laboratorní teplotě, protože preparát se obvykle zahřívá vlivem osvětlovacího zdroje. Úkoly 1. Zaznamenejte pohyb alespoň pěti částic 2. Ověřte platnost vztahu (4.35) a určete velikost poloměru částice. Varianta B: Teplotní závislost pohyblivosti volných elektronů v kovu. Teorie Podobně jako v elektrolytu je vodivost kovu dána pohybem volných nositelů náboje. Na rozdíl od elektrolytu jsou v tomto případě volné nositele náboje výhradně jednoho typu a jde o volné elektrony. Odpor drátu o délce L a plošném průřezu S je roven R = ~, (4.38) o b kde o je měrná vodivost. Obdobně jako v elektrolytu můžeme definovat pohyblivost nositelů náboje 40 Pohyblivost částic Materiál p (kg.m-3) A z n (1028 m-3) Cu 8960 63,55 1 8,5 AI 2700 26,98 3 18,1 Ag 10500 107,87 1 5,9 Tabulka 4.3: Hustoty, hmotnostní čísla, počet volných elektronů na jeden atom a koncentrace volných elektronů vybraných kovů [13]. kde eo je elementární náboj a n koncentrace volných elektronů. Pohyblivost volných elektronů se dá též vyjádřit pomocí relaxační doby r, která se dá interpretovat jako střední doba mezi srážkami elektronu s nečistotami či tepelnými kmity atomových jader v kovu. Platí ^ = —Q-, /i = —, 4.40 m m kde m je hmotnost elektronu. Koncentraci volných elektronů lze spočíst pro daný materiál ze známé hustoty p a počtu volných elektronů připadajících na jeden atom z n = z-?-, (4.41) Amu kde A je atomové hmotnostní číslo daného prvku a mu = 1,66.10-27 kg je atomová hmotnostní jednotka. Koncentrace a hustoty některých běžných kovů jsou uvedeny v tabulce 4.3. Úkoly 1. Změřte odpor měděného drátu za pokojové teploty. 2. Potom použijte ohřátou kapalinu z předchozí části, ponořte do ní měděný drát a změřte teplotní závislost jeho odporu při chladnutí kapaliny. 3. Ze známých rozměrů drátu (délka použitého drátu je 29 m a jeho průměr je 0,112 mm) vypočítejte teplotní závislost měrného odporu a pohyblivosti volných elektronů v mědi. Úloha 5 Magnetické pole Úkoly k měření Povinná část • Měření horizontální složky intenzity magnetického pole Země Gaussovým magnetometrem. Varianty povinně volitelné části A. Magnetická odezva feromagnetického materiálu (hysterezní smyčka). B. Stínění magnetického pole ve válcové dutině. Povinná část Teorie Znalost průběhu magnetického pole v okolí Země je důležitá pro mnoho oborů jako je například geografie, geologie a podobně. Vlastnosti magnetického pole Země popisuje intenzita magnetického pole, obvykle značená H. V každém bodě můžeme vektor intenzity rozdělit na horizontální a vertikální složku, v dalším se soustředíme jen na měření horizontální složky Hz. Princip metody měření Gaussovým magnetometrem spočívá v porovnání intenzity zemského magnetického pole s intenzitou permanentního magnetu pomocí magnetické střelky jako detektoru směru lokálního magnetického pole. Magnetické pole v okolí magnetického dipólu s dipólovým momentem rn je 3(r • m)r H( 47rr3 rn (5.1) kde r je polohový vektor vzhledem k poloze magnetického dipólu. V reálném případě se ovšem rozměry permanentního magnetu vzhledem ke vzdálenosti, ve které měříme, nedají zanedbat. Proto je třeba tento vztah integrovat přes celý magnet s danou objemovou hustotou dipólového momentu. Přibližně lze výpočet magnetického pole provést nahrazením tyčového permanentního magnetu dvěma fiktivními magnetickými monopoly o magnetickém množství +p a — p ve vzdálenosti l od sebe, jak je znázorněno na obrázku 5.1. Intenzita magnetického pole se pak spočte pomocí analogie s elektrostatickým dipólem magnetostatickou obdobou Coulombova zákona. Je však třeba zdůraznit, že tyto magnetické monopoly jsou pouze fiktivní a ve skutečnosti jako takové neexistují, slouží pouze jako pomůcka k usnadnění výpočtu. 41 42 Magnetické pole Obrázek 5.1: Schéma experimentálního uspořádání. Magnetické pole v Gaussových polohách (Pi první Gaussova poloha, P2 druhá) v okolí permanentního magnetu a jeho skládání s magnetickým polem Země. První Gaussova poloha označuje případ, kdy měříme pole v ose permanentního magnetu. Magnetická intenzita v bodě Pi je dána vztahem Hi 1 4tt/í0 P P _{r-l/2)2 {r + l/2)2 kde r je vzdálenost od středu magnetu a l jeho redukovaná délka. Po úpravě dostaneme vztah 1 2M (5.2) Hi 47T/ÍQ r3(l - A2)2 (5.3) kde A = a M = pl je magnetický moment magnetu. Magnetické pole v druhé Gaussově poloze P2, v přímce vedoucí středem magnetu a kolmé k jeho ose, sečteme z polí h+ & h_. 1 P 1 P 4tt/í0 r2 + Z2/4 47T/i0 r2(l + A2) Poměr intenzity h2 k h+ je dán vztahem El = 1 h+ ~ ry/1 + A2 ' Magnetická intenzita v druhé Gaussově poloze se pak spočte jako 1 M Ho 47r/i0r3(l + A2)3/2 ' (5.4) (5.5) (5.6) Známe tedy intenzitu magnetického pole v bodech Pi a P2. Umístíme magnet tak, aby jeho osa směřovala kolmo ke směru magnetického pole Země. Výchylka magnetky v první Gaussově poloze z jejího původního směru k magnetickému pólu Země je ípi, přičemž platí 5 Magnetické pole 43 Obdobně v místě P2 se střelka vychýlí o úhel ip2 H2 1 M . . tan^ = H-z= AwHzt*(1 + \*)W ■ (5"8) Z každého z těchto vztahů lze již určit velikost magnetického pole Země, známe-li redukovanou délku magnetu l a velikost magnetického momentu M. Kombinací obou vztahů však můžeme dospět k vyjádření, kde redukovaná délka magnetu přímo nevystupuje. Umocníme-li vztah (5.7) na třetí mocninu a (5.8) na čtvrtou, dostaneme yk)>=rw"'1-A'>* (5-9) (iÄ)'=r"taV(ltŕ|' (5-10) Vzájemným vynásobením těchto vztahů dostaneme M * = -r21 tan3 ipi tan4 l a tedy i A4 C 1, pak platí M A 3 7J f tan ipi ^=4W3y^^±J tan4^. (5.12) Na odmocninu na pravé straně se můžeme dívat jako na geometrický průměr, který můžeme nahradit aritmetickým a dostaneme tak zjednodušený vztah M 47r/i0r3 ^3tanyi \ — = —— +4tan^ j . (5.13) Tento výraz se od předchozího vztahu (5.12) liší o veličinu řádu A4, kterou můžeme zanedbat. Magnetický moment magnetu určíme z periody kmitů magnetu v magnetickém poli Země. Je-li osa magnetu stočena vůči magnetickému poli Země o úhel áB W) = -ä = -^S- , (5.26) kde <ř je celkový magnetický tok sekundární cívkou. Jestliže průřez jádra toroidu je S a počet závitů sekundárního vinutí N2, pak je magnetický tok roven <í> = N2SB. Indukované napětí je úměrné časové změně magnetické indukce. Abychom mohli měřit přímo napětí úměrné magnetické indukci, je v obvodu zařazen integrační RC člen. Průběh napětí na kondenzátoru o kapacitě C získáme z druhého Kirchhoffova zákona E2 = RI2 + Uc, UC = % h = ^-, (5.27) kde I2 je proud tekoucí obvodem a Q je náboj na kondenzátoru. Po úpravě získáme diferenciální rovnici pro náboj Q Tato rovnice má řešení ve tvaru 1 I'°° = -ň / E^ ~ r)e-^čdr . (5.29) R Jo Průběh napětí na kondenzátoru je potom dán vztahem 1 I'°° Uc(t) = -— E2(t- r)e-ič dr. (5.30) 5 Magnetické pole 47 Je-li časová konstanta integračního obvodu RC mnohem větší než perioda budicího střídavého proudu, lze exponenciální člen v integrálu položit přibližně roven 1. Potom po dosazení z rovnice (5.26) do vztahu (5.30) dostaneme výraz pro napětí Uc At, Uc(t)*^B(t). (5.31) Po převedení dostaneme vztah pro magnetickou indukci FtC B(t) = j^Uc(t). (5.32) V zapojení podle schématu na obrázku 5.4 nastavíme osciloskop do tzv. X-Y režimu, kdy zobrazujeme vzájemnou závislost napětí na jednotlivých vstupech. Jelikož podle vztahu (5.25) je napětí na prvním vstupu úměrné intenzitě magnetického pole a napětí na druhém vstupu je podle vztahu (5.32) úměrné indukci magnetického pole, zobrazujeme přímo hysterezní smyčku, tedy závislost indukce na intenzitě magnetického pole. Napětí naměřená na osciloskopu pak již převedeme na indukci a intenzitu magnetického pole ve zvolených bodech hysterezní smyčky pomocí výše zmíněných vztahů (5.25) a (5.32). Magnetizaci můžeme snadno spočíst z magnetické indukce s použitím vztahu (5.21) jako M = B- fj,0H. (5.33) Úkoly 1. Zapojte obvod podle schématu. 2. Z osciloskopu odečtěte napětí odpovídající koercitivnímu poli, remanentní a saturační magnetizaci. 3. Změřte rozměry jádra transformátoru. 4. Určete velikost koercitivního pole, saturační a remanentní magnetizace pro zadaný materiál podle vztahů (5.25) a (5.32). Varianta B: Stínění magnetického pole v dutém válci. Teorie Magnetická permeabilita materiálů fi vyjadřuje vztah mezi magnetickou indukcí a magnetickou intenzitou B = firfioH a lze studovat prostřednictvím stínění magnetického pole. Pro nefero-magnetické materiály nabývá relativní permeabilita fir hodnot velmi blízkých jedné takže jejich odezva v magnetickém poli se příliš neliší od vakua. Permeabilita feromagnetik souvisí s hysterezní křivkou; permeabilita je úměrná směrnici tečny k hysterezní křivce. Pro feromagnetika může nabývat velmi vysokých hodnot, avšak silně závisí na velkosti magnetického pole. Magneticky měkká feromagnetika (malá koercitivní pole) mají vysokou permeabilitu, zatímco magneticky tvrdé materiály mají permeabilitu nízkou. Magneticky tvrdé materiály mají permeabilitu v řádu desítek až stovek, zatímco magneticky měkké speciální materiály s vysokou permeabilitou mohou dosahovat hodnot až 106. Pro malá magnetická pole a magneticky měkké materiály můžeme předpokládat lineární závislost B = firfioH s konstantní permeabilitou. 48 Magnetické pole Stínění magnetického pole ve válcové dutině Umístíme-li dutý válec o poloměru R do homogenního magnetického pole velikosti BQ kolmého na osu válce, je pole uvnitř válce rovněž homogenní o nižší velikosti B;t. Kompletní výpočet je poněkud zdlouhavý [9, 10], zde se omezíme na uvedení předpokladů: • Magnetická intenzita a indukce splňují Maxwellovy rovnice bez přítomnosti vnějších proudů divB = 0, rotíř = 0. (5.34) • Magnetická indukce a intenzita jsou svázány lineárním materiálovým vztahem B = firfi()H. (5.35) • Tečná složka magnetické intenzity je spojitá na rozhraní dvou prostředí. • Normálová složka magnetické indukce je spojitá na rozhraní dvou prostředí. • Magnetická indukce ve velké vzdálenosti r od osy válce je B(r > R) = B0. (5.36) Výsledný průběh magnetického pole je znázorněn v obrázku 5.6. Poměr indukce vně BQ a uvnitř trubice B,t vyjadřuje stínící koeficient S, pro nějž platí vztah [9, 10] S =|.= 0*+ ')'-&*-')', (5.37) Bi 4/xr kde a je vnější poloměr a b je vnitřní poloměr dutého válce. Pro vysoké hodnoty magnetické permeability /ir>la malou tloušťku stěny trubice d vzhledem k jeho poloměru dcfí můžeme použít aproximativní vztah S=f,l + |f (5.38) Výše uvedené vztahy platí pro malá magnetická pole. Obzvláště uvnitř materiálů s vysokou per-meabilitou může maximální hodnota magnetické indukce (přibližně rovna Bma_x firB0) snadno překročit saturační magnetizaci materiálu (pro železo asi 2,2 T) a celkový stínící koeficient pak vyjde efektivně nižší. Tato vlastnost se projeví jako závislost stínícího koeficientu na vnějším poli, který s větším vnějším polem klesá. Hodnotu permeability pro nízká pole získáme z hodnot stínícího koeficientu pro nízká pole, kdy u stínící koeficient nezávisí na intenzitě pole. Homogenní magnetické pole v Helmholtzových cívkách Nejjednodušší možnost vytvoření homogenního pole představují tzv. Helmholtzovy cívky. Jsou to dvě cívky o stejném počtu závitů a poloměru R umístěné na společné ose ve vzdálenosti jejich poloměru R od sebe. Magnetické pole jedné cívky můžeme vypočíst pomocí Biotova-Savartova zákona H = í x ^ (5-39) 47rr3 kde / je proud protékající vodičem, r vzdálenost délkového elementu dl od místa měření pole. Magnetické pole na ose úzké cívky poloměru R o N závitech ve vzdálenosti z od středu cívky se spočte snadno jako zjí n NIR2 i** a nir2 ík An\ 4tv{R2 + z2)3/2 Jo * 2{R2 + z2)3/2 • Velikost magnetického ve středu dutiny Helmholtzových cívek získáme jako součet příspěvku obou cívek (vzdálenost středu dutiny od středu každé cívky je z = R/2) tj o nir2 /4\3/27V/ g = V + (W)3/2 = všJ -Ř- (5-41) 5 Magnetické pole 49 Obrázek 5.6: Vlevo: Průběh siločar magnetického pole v okolí a uvnitř dutého válce z feromagnetického materiálu s permeabilitou fir = 10. V blízkém okolí válce je homogenita magnetického pole poněkud narušena. Vpravo: Schéma zapojení Helmholtzových cívek. Vyznačena je poloha stínící trubky a Hallovy sondy pro měření magnetického pole. poloha (cm) poloha (cm) Obrázek 5.7: Vlevo: Průběh intenzity magnetického pole na ose Helmholtzových cívek s poloměrem R = 5 cm. Vpravo: Rozložení v rovině osy Helmholtzových cívek. Zobrazeny jsou vrstevnice pro hodnoty 0.90, 0.95, 0.99 a 1.01 hodnoty ve středu dutiny. Ve středové oblasti hvězdicovitého tvaru je odchylka velikosti magnetického pole menší než 1 %. 50 Magnetické pole i-©-1 Obrázek 5.8: Princip Hallova jevu. Měření magnetického pole Hallovou sondou K měření velikosti magnetického pole použijeme Hallova jevu. Při pohybu nositelů náboje ve vzorku v magnetickém poli (elektrony či díry v polovodiči) na ně působí Lorentzova síla kolmo ke směru jejich pohybu Fl = qvd x B, (5.42) kde q je jejich náboj a driftová rychlost jejich pohybu. V ustáleném stavu vzniká elektrické pole Eh, které eliminuje vliv Lorentzovy síly F h = qEH = —F ĺ- (5.43) Dosadíme za driftovou rychlost vd = = kde j je proudová hustota, n koncentrace nositelů náboje, d tloušťka a w šířka vzorku. Pak porovnáním těchto vztahů dostaneme vztah pro Hallovo napětí UH = EHw = ^-1 B, (5.44) kde Rh = ^ je Hallova konstanta a d je tloušťka vzorku. Znaménko Hallovy konstanty odpovídá znaménku nositelů náboje, umožňuje nám tedy určit typ vodivosti a měřit koncentraci nositelů náboje. Naopak Hallova sonda známých parametrů může sloužit k měření magnetické indukce. V našem případě použijeme komerční Hallovu sondu s integrovaným proudovým zdrojem a zesilovací elektronikou neznámých parametrů a provedeme proto nejprve její graduaci v Helmholtzových cívkách a ověříme její linearitu a symetrii vzhledem ke komutaci směru pole. Úkoly 1. Zapojte Helmholtzovy cívky do obvodu. 2. Změřte graduační křivku Hallovy sondy jako závislost výstupního napětí na magnetickém poli v Helmholtzových cívkách pro oba směry toku proudu. Ověřte linearitu Hallovy sondy a určete koeficient závislosti napětí na magnetické indukci. Měření provádějte pro oba směry komutace proudu. 3. Změřte stínící koeficient S a rozměry sady poskytnutých válcových trubek. Vnější pole BQ měřte ve středu dutiny bez zasunuté stínící trubky, hodnotu B,t po umístění stínící trubky. Měření proveďte pro několik hodnot proudu procházející cívkami (doporučené hodnoty 0,2 A, 0,5 A, 1,0 A a 2,0 A) a zjistěte zda je stínící koeficient nezávislý na intenzitě vnějšího pole. Měřte pro oba směry komutace proudu. 4. Vypočtěte jejich permeabilitu podle vztahu (5.38). Užití v praxi: Měření magnetického pole má význačné praktické aplikace. Lokální magnetické pole Země je ovlivněno také geologickými poměry a jeho měření se využívá při geofyzikálním průzkumu např. pohybu litosférických desek. Feromagnetické materiály mají také mnoho praktických fyzikálních a elektrotechnických aplikací, kdy je podstatná znalost jejich hysterezní křivky. Magneticky tvrdé materiály se 5 Magnetické pole 51 používají jako permanentní magnety, zatímco magneticky měkké materiály se používají při aplikacích vyžadujících snadnou změnu magnetizace jako jsou elektromagnety nebo transformátory. Magneticky měkké materiály se používají rovněž k odstínění vnějšího magnetického pole. Obzvláště důležité je stínění v elektronových mikroskopech, kde by parazitní vnější magnetické pole ovlivňovalo elektronovou optiku mikroskopu. Hallovy sondy měření magnetického pole jsou velmi rozšířeným typem měření a detekce magnetického pole. Hallova jevu se také užívá pro měření koncentrace nositelů náboje např. v polovodičové technologii, detailním studiem tohoto jevu se zabývá úloha 9 předmětu F6390 Praktikum z pevných látek 2(b). Úloha Relaxační kmity Úkoly k měření Povinná část • Relaxační kmity diaku. Varianty povinně volitelné části A. Lissajousovy obrazce. B. Výkonová regulace tyristorem Povinná část Teorie Diak je spínací polovodičová součástka, která se skládá ze dvou sériově uspořádaných PN přechodů. Název diak je počeštěnou verzí anglického diac (Dlode for Alternating Current). Schéma jeho struktury a voltampérová charakteristika jsou zakresleny na obrázku 6.1. Obrázek 6.1: Vlevo - schéma uspořádání a symbol diaku. Vpravo - voltampérová charakteristika diaku. Přiložíme-li na diak stejnosměrné napětí, je jeden z PN přechodů zapojen v propustném a druhý v závěrném směru, a proto diakem prochází pouze zanedbatelný proud až do dosažení spínacího napětí Ub- Dosáhne-li připojené napětí hodnoty Ub, dojde k lavinovému průrazu přechodu zapojeného v závěrném směru a napětí na diaku poklesne o hodnotu AU. Změna AU je závislá na proudu protékajícím diakem, s rostoucím proudem se zvětšuje. Snížíme-li napětí na diaku pod hodnotu Uzh = Ub — AU, přejde PN přechod zpět do zavřeného stavu. Charakteristika diaku je symetrická vzhledem k polaritě připojeného napětí, případné odchylky mohou být 52 6 Relaxační kmity 53 Obrázek 6.2: Schéma zapojení pro měření spínacího napětí diaku. způsobeny technologií výroby. Pro použité diaky řady DB je spínací napětí U b v intervalu 30 až 40 V, zhášecí napětí bývá kolem několika voltů. Diak se nejčastěji používá v kombinaci s dalším spínacím prvkem, triakem. Měření spínacího napětí diaku Použijeme zapojení podle obr. 6.2. Použijeme regulovatelný zdroj stejnosměrného napětí a reostat musí být nastaven na maximální hodnotu. Zvyšujeme napětí na diaku až do okamžiku, kdy dojde k průrazu, což se projeví vzrůstem proudu v obvodu a poklesem napětí na diaku. Relaxační kmity Obrázek 6.3: Oscilační obvod s diakem a RC členem. Voltampérová charakteristika diaku umožňuje použití mimo jiné též ke generování relaxačních kmitů. Schéma takového zapojení je zakresleno na obrázku 6.3. Paralelně k diaku je připojen kondenzátor C a oba tyto prvky jsou přes odpor R připojeny ke zdroji napětí E, které je větší než spínací napětí diaku E > U b- Po spojení obvodu diakem protéká pouze zanedbatelný proud. Kondenzátor C se bude nabíjet až do dosažení spínacího napětí diaku Ub- Jakmile napětí na kondenzátoru dosáhne hodnoty U = U b, dojde k sepnutí diaku, diakem poteče proud a kondenzátor se vybije až na hodnotu zhášecího napětí Uzh, při kterém přestane diakem téci proud. Diak přejde do nesepnutého stavu a jeho odpor se o několik řádů zvýší. Kondenzátor se znovu nabíjí a celý děj se opakuje. Setkáváme se zde s nespojitým elektrickým jevem, který je způsoben skokovým přechodem diaku z nesepnutého stavu do sepnutého a naopak. Předpokládejme nyní pro výpočet průběhu oscilací idealizovanou charakteristiku diaku reprezentovanou nulovým proudem procházejícím diakem v nesepnutém stavu podle obrázku 6.4. Tuto charakteristiku lze vyjádřit vztahem pro vodivý stav diaku U = U0 + RtI, (6.1) 54 Relaxační kmity un uzh uB u Obrázek 6.4: Idealizovaná voltampérová charakteristika diaku. kde Rí je vnitřní odpor diaku, který je v nesepnutém stavu nekonečný a v sepnutém stavu nabývá malé konstantní hodnoty. Z Kirchhoŕľových zákonů plynou následující vztahy pro oscilační obvod z obrázku 6.3 E = RI0 + U, I0 = IC + ID. (6-2) Pro proud nabíjející kondenzátor Iq platí r dQ dU a pro proud procházející diakem Id Rí (6.3) (6.4) Dosadíme-li předcházející vztahy do rovnic (6.2), dostaneme diferenciální rovnici pro napětí na diaku a kondenzátoru dU 1 A R\TT 1 (^ RTT Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru U(t) = Ae i+ JL Rí (6.5) (6.6) Zapojíme-li obvod v čase t = 0 bude diak nesepnutý. V nesepnutém stavu je řešení limitou předcházející rovnice pro nekonečný vnitřní odpor diaku Rí —> oo U(t) = E + Ae (6.7) Konstantu A určíme z počáteční podmínky U (ti) = 0, protože kondenzátor se v okamžiku zapojení začal nabíjet. Do doby r než dosáhne napětí U spínacího napětí diaku bude platit U(ť) = E 1 -e_flč Pro dobu r, kdy diak sepne, dostaneme z (6.8) t = RCln E E-UB (6.8) (6.9) V čase t = t diak sepne a začne pracovat jako konstantní odpor Rí. Zavedeme si substituci íi = t — t a počáteční podmínku U(t\ = ti) = Ub- Pro průběh napětí při vybíjení kondenzátoru dostáváme E + fU0 U(h + U b RC v Ra (6.10) 6 Relaxační kmity 55 h / AU O t Obrázek 6.5: časový průběh napětí na kondenzátoru a diaku v oscilačním obvodu. V obvyklém případě můžeme předpokládat velmi malý vnitřní odpor diaku i^Cfia zanedbatelnou hodnotu Uq 0. Vztah (6.10) se nám transformuje do tvaru (6.11) V čase íi = t\ dosáhne napětí hodnoty Uzh a diak opět pracuje jako nekonečný odpor. Ze vztahu (6.11) dostaneme pro dobu vybíjení přibližný vztah n = RiC ln Ub_ U zh (6.12) Průběh napětí pro následující nabíjení kondenzátoru dostaneme ze vztahu (6.7) substitucí t2 t — t — t\ s počáteční podmínkou U(t2 = 0) = Uzh jako Za čas t2 diak znovu sepne U(t2) = {Uzh-E)e-Rc +E. nn, Uzh-E t2 = RC m ■ (6.13) (6.14) UB-E a celý cyklus vybíjení a nabíjení kondenzátoru se opakuje. Celková doba jedné periody oscilací je T = n + t2 , jelikož je však n i) S sin(i) kde úhel 0 pro i/j < ^ a rp < 0 pro tp > (fs, kde ipB je tzv. polarizační (Brewsterův) úhel, pro nějž je rp = 0. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 uhel dopadu (°) Obrázek 7.2: Intenzita odraženého světla (renormována) na dielektriku v závislosti na úhlu dopadu. Tento fakt je významný pro optickou praxi. V tomto případě se totiž odráží pouze s-složka lineárně polarizovaného světla. To platí i pro odraz přirozeného světla a proto lze odrazem na povrchu dielektrického zrcadla při polarizačním úhlu dosáhnout lineárně polarizované vlny. Je-li rp = 0, pak jmenovatel v prvním vztahu (7.1) roste do nekonečna, tedy i = 7r/2; paprsek odražený a lomený jsou navzájem kolmé. Ze vztahu (7.3) pro rp = 0, dostáváme matematický zápis Brewsterova zákona tan ifB = n, (7.4) pokud no = 1. Předpokládejme, že intenzita dopadajícího světla Ip = I® = 1, pak je intenzita odraženého světla pro obě složky dána vztahy I« = rl If = rl (7.5) 7 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. 63 Závislosti Ip a /f na úhlu dopadu mají odlišný charakter (viz obr. 7.2). Veličina /f monotónně roste s rostoucí hodnotou ipo, a při úhlu dopadu 90 stupňů je rovná jedné. Intenzita Ip s rostoucí hodnotou úhlu dopadu nejprve klesá k nule, při ipo = ips je lp=0 a pro ipo > ips opět rychle roste: pro 90 stupňů je opět Ip = 1. Intenzita přirozeného světla odrazeného na rozhraní dvou neabsorbujících prostředí je dána vztahem IR = I?/2 + I?/2. (7.6) Dopadá-li na rozhraní světlo o intenzitě Iq, pak odrazivost p-složky je Rp = /fi/I° a odrazivost s-složky je Rs = I^/Iq. Z odrazivosti Rp a Rs jsme také schopni stanovit hodnoty indexu lomu měřeného dielektrika. Výrazy ±y/Řp~ a ±\fŘ~s odpovídají pravé straně vztahů (7.3), přičemž znaménko plus nebo mínus před odmocninou je dáno v každém konkrétním případě fyzikální podstatou problému. Za předpokladu, že se měření provádí ve vzduchu, platí no = 1 a můžeme např. z prvního vztahu (7.3) vypočítat cos\ VJL>, (7.7) pro případ P b pak M)(l + ^ (1-, /Rp) 1(1 + , /Rp) n= J y V--^=^. (7.8) V (1 - VŘ1){1 + v^) Tento postup v sobě skrývá určitou potíž spočívající v tom, že výpočet indexu lomu je v tomto případě založen na znalosti absolutních hodnot odrazivosti p- a s- složky lineárně polarizovaného světla. Pro větší úhly dopadu se v námi naměřených hodnotách odrazivosti Rs a Rp stále více projevuje efekt, jehož podstatu vyučující vysvětlí při vlastním měření úlohy. Experimentální provedení Smyslem této úlohy je zjistit průběh křivek Ip = f(tpo) a Is = f(tpo) pro danou neabsorbující látku a využitím vztahu (7.4) určit pro použitou vlnovou délku světla index lomu dané látky. Principiální uspořádání experimentu je uvedeno na obr.: úzký svazek paprsků vycházející z laseru (L) prochází polarizátorem (P). Zde se světlo lineárně polarizuje a otáčením polarizátoru lze docílit toho, že kmitová rovina je rovnoběžná (kolmá) s rovinou dopadu, což odpovídá p- (s-) složce amplitudy dopadajícího světla. Po odrazu světla na měřeném vzorku umístěném na stolečku (G) goniometru svazek světla dopadá na detektor (D) spojený s měřícím přístrojem. Otáčením stolečku se vzorkem kolem jeho svislé osy měníme úhel dopadu světelného svazku a odečítáme signál na měřicím přístroji detektoru. Chceme-li určit úhlovou závislost odrazivosti Rp a Rs, je třeba před začátkem měření odstranit ze stolečku měřený vzorek a v místě označeném (A) detektorem stanovit celkovou intenzitu svazku. Intenzity odraženého světla Ip, Is pak vyjádříme jako příslušnou část této intenzity, tedy ř? — Ie ř? — — -n-p — Tp — jS, -'o Jo kde Iq a Iq jsou intenzity v nepřítomnosti dielektrika. My budeme předpokládat, že detektor má lineární závislost své odezvy na dopadající intenzitu světla a všechny odrazivosti budeme proto moci určovat přímo z hodnot signálu na detektoru. Pro přirozené světlo zjevně platí Rs + Rp R = ^2—- 64 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. Laser Polarizator 0 Obrázek 7.3: Aparatura po měření odrazivosti; L laserová dioda, P polarizator, G goniometr se vzorkem, D detektor, (A) referenční pozice pro měření signálu bez vzorku. 1. Stanovte úhlové závislosti signálu detektoru, resp. odrazivosti Rp, Rs lineárně polarizovaného světla pro danou látku. 2. Určete hodnotu Brewsterova úhlu daného dielektrického zrcadla. 3. Stanovte ze vztahu (7.4) hodnotu indexu lomu dané látky. 4. Pro tři úhly dopadu stanovte index lomu destičky ze vztahu (7.7), případně (7.8). Výsledek porovnejte s předchozím výpočtem. 5. Vypočítejte a znázorněte průběh signálu detektoru (odrazivosti) přirozeného světla ze vztahu 6. Sestrojte grafy závislostí Rp a Rs na úhlu dopadu a porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahů (7.1) nebo (7.3). Varianta A: Průchod světla planparalelní deskou Při průchodu světla skleněnou planparalelní deskou dochází k posunu vystupujícího paprsku a vstupující a vystupující paprsky jsou rovnoběžné. Uvedené jevy budeme posuzovat jednak kvalitativně, jednak odchylky paprsků a příslušné úhly změříme a porovnáme je s hodnotami vypočtenými ze zákona lomu. Z těchto měření můžeme určit index lomu skla planparalelní desky. V této části odvodíme závislost posuvu z vystupujícího a vstupujícího paprsku na úhlu dopadu a, tloušťce desky d a indexu lomu skla n. Planparalelní deska je v prostředí s indexem lomu uq. Situace je znázorněna na obrázku: Protože obě rozhraní jsou rovnoběžná, je úhel dopadu a\ na první rozhraní roven úhlu lomu ot2 na druhém rozhraní, a\ = ot2 = a, a úhel lomu j3\ na prvním rozhraní je roven úhlu dopadu na druhém rozhraní, f3± = fa = Zákon lomu na prvním rozhraní je Úkoly (7.6). Teorie riQ sma = n sin (3 (7.9) 7 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. 65 Obrázek 7.4: Průchod světla planparalelní deskou Odchylka x vstupujícího a vystupujícího paprsku je x = \BC\ = \ AB\sm{a-p) Úpravou a použitím vztahů cos (3 = y 1 — sin2 (3 sm(a — (3) = sin a cos (3 — cos a sin (3 Obdržíme z (7.9)-(7.11) vztah pro odchylku paprsků, (7.11) x = 1 uq cos a n2 — rin sin2 a d sin a Z tohoto vztahu můžeme určit index lomu skla za předpokladu, že a / 0: n = noy sin a + I 1 d sin a -2 Experimentální provedení (7.12) (7.13) Pro měření úhlu dopadu deviace a posuvu x použijeme goniometru, jehož schéma je na obrázku 7.5. Indikátor posunu R1 p Šroub Obrázek 7.5: Uspořádání experimentu Goniometr obsahuje kruhovou stupnici, po které se pohybují tři ramena: Rl se zdrojem, kterým je laserová dioda, R2 s detektorem tvořeným Si fotodiódou a R3 se stolečkem umístěným ve středu kruhu. Na stolek klademe zkoumanou planparalelní desku nebo hranol. Detektorem lze posunovat šroubem S ve směru x kolmo na rameno R2. Posuv se měří číselníkovým úchylkoměrem I. Úhel 66 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. dopadu a určujeme z polohy ramen Rl a R3, úhel deviace S z polohy ramen Rl a R2. Před měřením je třeba nastavit stolek tak, aby paprsek dopadal kolmo na měřenou planparalelní desku nebo hranol. Dosáhne se toho pomocí tří stavících šroubů pod stolečkem. Kolmost dopadajícího paprsku na lámavou plochu poznáme podle chodu odraženého paprsku: oba paprsky musí mít totožnou dráhu - sledujeme stopu odraženého paprsku u výstupního otvoru zdroje Z. 1. Změřte opakované tloušťku vybrané planparalelní desky pomocí posuvného měřítka nebo mikrometru. 2. Proveďte justaci přístroje a určete závislost posuvu vystupujícího paprsku z planparalelní desky na úhlu dopadu. Naměřte asi 10 hodnot dvojic x a a. 3. Z naměřené závislosti určete pomocí vztahu (7.13) index lomu desky. Tloušťku planparalelní desky d určete pomocí posuvného měřítka nebo mikrometru. 4. Vyneste naměřenou závislost posuvu na úhlu dopadu do grafu a porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahu (7.12). Varianta B: Průchod světla hranolem Teorie Při průchodu světla hranolem dochází k úhlové odchylce vystupujícího a vstupujícího paprsku, tato odchylka je deviace a vstupující a vystupující paprsky jsou různoběžné. Je-li dopadající světlo bílé, dochází k jeho rozkladu na jednotlivé barevné složky. Tyto skutečnosti vyplývají ze zákona lomu a ze závislosti indexu lomu na vlnové délce. V této části odvodíme závislost úhlové odchylky 5 vystupujícího paprsku na úhlu dopadu a\ = a, lámavého úhlu oj, který svírají stěny hranolu jimiž vstupují a vystupují paprsky a na indexu lomu skla n. Zákon lomu na prvním rozhraní je Úkoly v Obrázek 7.6: Průchod světla hranolem no sin a = n sin f3± (7.14) a na druhém rozhraní n sin /?2 = no sin ct2 (7.15) 7 Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. 67 Deviace S je vnější úhel v trojúhelníků ABD při vrcholu D, S = (a - /3i) + (a2 - fo) (7.16) Lámavý úhel oj je vnějším úhlem při vrcholu C v trojúhelníku ABC, neboť strana AC je kolmá k prvnímu rozhraní AV a strana AC je kolmá k druhému rozhraní BV: oj = f31+f32. (7.17) Deviace ô je z (7.16) a (7.17) rovna ô = a + oj + a2. Vyjádříme -li a2 ze vztahů z (7.15), (7.17) a (7.14), obdržíme závislost deviace na úhlu dopadu a ve tvaru a — oj + arcsin n 2 ,2 srn oj \ i i — | — srn a — cos oj sm a n0 (7.18) Poznamenejme, že tato závislost má minimum óm pro takový úhel dopadu, kdy paprsky vstupující a vystupující leží symetricky vzhledem k rovině půlící lámavý úhel hranolu. Tento případ se používá k měření indexu lomu metodou minimální deviace a je popsán v [6], na str.148 - vztah pro výpočet indexu lomu v bodě minimální deviace má tvar '5m + oj sin n =-v u 7 . (7.19) sin — 2 Experimentální provedení Uspořádání je společné s variantou A - průchod světla planparalelní deskou. Úkoly 1. Proveďte justaci hranolu a naměřte závislost deviace 5 na úhlu dopadu a. 2. Z minima deviace určete index lomu hranolu pomocí vztahu (7.19). 3. Vyneste naměřenou závislost deviace na úhlu dopadu a porovnejte se závislostí podle vztahu (7.18). POZOR! ZÁŘENI LASERU JE NEBEZPEČNÉ PRO OKO!! Úloha VJ_ Měření parametrů zobrazovacích soustav Úkoly k měření Povinná část • Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky. • Měření ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky. Varianty povinně volitelné části A. Určení indexu lomu čoček z ohniskové vzdálenosti a měření křivosti. B. Měření ohniskové vzdálenosti tlusté čočky. Povinná část Teorie Průchod paraxiálních paprsků soustavou centrovaných kulových lámavých ploch je popsán základními zobrazovacími parametry, mezi než patří hlavní a uzlové body (respektive roviny), ohniska a ohniskové vzdálenosti. Dopadá-li na zobrazovací soustavu (obr.8.1) svazek paprsků rovnoběžných s optickou osou O, pak po průchodu soustavou se paprsky protínají v obrazovém ohnisku F'. Naopak, svazek paprsků vycházejících z bodu F (předmětové ohnisko) se změní po průchodu soustavou na rovnoběžný svazek. Rovina kolmá k optické ose procházející předmětovým, respektive obrazovým ohniskem se nazývá předmětovou, respektive obrazovou ohniskovou rovinou. B H H' B' A' y' o a a' Obrázek 8.1: Zobrazení pomocí tlusté čočky 68 8 Měření parametrů zobrazovacích soustav 69 Na obr.8.1 jsou obrazem bodů A, B body A', B'. Poměr úseček y' = A'B' a y = AB se nazývá příčným zvětšením f3, P = V-. (8.1) y Poměr úhlů u' a u, které svírají sdružené paprsky s optickou osou, se nazývá úhlové zvětšení 7, _ u (8.2) Hlavními rovinami soustavy nazýváme dvojici sdružených rovin, kolmých k optické ose, pro než je příčné zvětšení rovno jedné. Hlavními body nazýváme průsečíky hlavních rovin s optickou osou. Uzlovými rovinami nazýváme dvojici sdružených rovin kolmých k optické ose, pro než je úhlové zvětšení rovno jedné. Uzlovými body nazýváme průsečíky uzlových rovin s optickou osou. Vzdálenost předmětového (obrazového) ohniska od předmětového (obrazového) hlavního bodu se nazývá předmětová (obrazová) ohnisková vzdálenost soustavy. Je-li tloušťka čočky zanedbatelná ve srovnání s poloměry křivosti lámavých ploch, hovoříme o tenké čočce. V takovém případě hlavní roviny splývají a čočka je pak při výpočtech představována rovinou středního řezu. Znaménková konvence a zobrazovací rovnice čočky Předmětový a obrazový prostor jsou charakterizovány souřadnými soustavami, jejichž počátky v případě tenké čočky leží ve stejném bodě ve středu čočky.Při výpočtech je nutné rozlišovat kladné a záporné hodnoty v těchto souřadných soustavách. Definice kladného a záporného prostoru může být různá, avšak je-li zvolená určitá definice, všechny vztahy musí být v souhlasu s touto konvencí. Obrázek 8.2: Přímé měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky Budeme důsledně používat následující znaménkovou konvenci: vzdálenost měříme od středu čočky a sice tak, že leží-li bod napravo od počátku bereme vzdálenosti kladně a v opačném případě záporně; leží-li bod nad osou O bereme vzdálenosti kladně a v opačném případě záporně. Na obr.8.2 je znázorněno zobrazování spojkou - vidíme, že tady a < 0, a' > 0, / < 0, /' > 0, y > 0, a y' < 0. V uvedené znaménkové konvenci zobrazovací rovnice čočky má tvar ď a j' kde a je předmětová vzdálenost, a' je obrazová vzdálenost a /' je obrazová ohnisková vzdálenost. Experimentální provedení Úloha je sestavena na optické lavici, obsahující zdroj světla se zabudovaným předmětem (šipka s měřítkem), držáky pro měřené čočky a stínítko. Jednotlivé metody vycházejí z proměření poloh prvků optické lavice při zaostření obrazu na stínítku. 70 Měření parametru zobrazovacích soustav Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké spojky z polohy obrazu a předmětu Ze zobrazovací rovnice (8.3) vyplývá pro ohniskovou vzdálenost /' vztah aa a — a' (8.4) Určíme-li tedy vzdálenosti a a a', pak pomocí vztahu (8.4) vypočítáme /'. Měření se provádí na optické lavici s měřítkem, na které jsou umístěny předmět y (svítící šipka s vestavěným měřítkem), proměřovaná čočka S a stínítko, na něž zachycujeme obraz y' (viz obr.8.2). Změnou polohy čočky nebo stínítka při stálé poloze předmětu hledáme co nejlépe zaostřený obraz a odečteme na měřítku optické lavice hodnoty a, a'. 8.0.1 Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké čočky z příčného zvětšení Podle obr.8.2 pro příčné zvětšení platí a y Rovnici (8.4) přepíšeme do tvaru a/3 (8.5) (8.6) 1-/3 1-/3 Zvětšení /3 určíme tak, že na stínítku změříme určitou část osvětleného milimetrového měřítka. K změřenému /3 přiřadíme odpovídající vzdálenost a nebo a'. Z rovnice (8.6) vypočítáme ohniskovou vzdálenost. Z hlediska dosažení maximální přesnosti je vhodné volit vzdálenost a co největší, na druhé straně bereme zřetel na to, aby obraz byl dostatečně velký, aby zvětšení bylo dobře měřitelné. Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké spojky Besselovou metodou Uvažujeme uspořádání podle obr.8.3. Vzdálenost d předmětu od stínítka ponecháme pevnou. E "D >CB Q. a1 ' '« A »t Obrázek 8.3: Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké spojky Besselovou metodou. Dá se ukázat, že pro d > 4/ existují dvě polohy spojky, ve kterých se na stínítku vytvoří ostrý obraz. Uvědomíme-li si, že polohy předmětu a obrazu mohou být vzájemně vyměněny, a\ = — a,2, cl2 = —a'i (8-7) Dále platí (viz.obr.3) d = | a.11 + \a'i\ = | ci21 + \a2\ (8-8) A = \a'i\ — \a'2\ = | «21 — \ai\- (8-9) Ze vztahů (7)-(9) lze odvodit, že d2 - A2 = 4aiaí = 4a2a'2. (8.10) 8 Měření parametrů zobrazovacích soustav 71 Dosadíme-li do vztahu (4) za čitatele aa' ze vztahu (10) a za jmenovatele d ze vztahu (8), dostaneme vztah pro určení ohniskové vzdálenosti d2 - A2 Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky Rozptylky vytvářejí vždy neskutečný obraz skutečného předmětu. Proto je v tomto případě nutno postupovat tak, že k měřené rozptylce se přidá spojka tak, aby obraz vytvořený spojkou mohl být neskutečným předmětem pro rozptylku. Podle obr.4 umístíme na optickou lavici předmět ys, a spojkou S vytvoříme reálný obraz y's, v bodě A. Mezi tento obraz a spojku umístíme rozptylku i? a na stínítku zase nalezneme ostrý obraz y'r v bodě A'. t Y< % a' Obrázek 8.4: Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky. Obraz y's je vlastně předmětem yr pro rozptylku. Známe-li polohu rozptylky R, polohu obrazu spojky A a polohu obrazu rozptylky A', můžeme vypočítat a = A-R a' = A'-R (8.12) a pro výpočet ohniskové vzdálenosti rozptylky použit vztah (4). Pozn: Soubor náhodných hodnot ohniskových vzdálenosti dostaneme tak, že pro každé měření nastavíme jinou polohu čočky v úkolech 1., 2. a 4- o, jinou hodnotu vzdálenosti mezi zdrojem a stínítkem v úkolu 3. Úkoly 1. Změřte opakovaně ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou metodou. 2. Změřte opakovaně ohniskovou vzdálenost téže spojky ze zvětšení. 3. Změřte opakovaně ohniskovou vzdálenost téže spojky Besselovou metodou, výsledky všech 3 metod porovnejte. 4. Změřte opakovaně ohniskovou vzdálenost rozptylky přímou metodou. 72 Měření parametru zobrazovacích soustav Varianta A: Určení indexu lomu čoček z ohniskové vzdálenosti a měření křivosti Teorie Index lomu (tlusté) čočky určíme ze vztahu uvedeného v [6] na str. 136, 1 x/1 1\ d(n-l)2 -= n-1 (---+^-^, (8.13) j' Vri r2/ n r\ r2 kde /' je ohnisková vzdálenost, r\, r2 poloměry kulových ploch, n index lomu a d tloušťka čočky. Na obr. 8.5 jsou vyznačeny tyto parametry pro různé polohy čočky. Vztah (8.13) předpokládá použití znaménkové konvence, která je popsaná v [6] na str. 136. Na obr. 8.5 jsou uvedeny dvě polohy stejné čočky, kdy r\ > 0 a > 0 (schéma (a)) a r\ < 0 a < 0 (schéma (b)). Obrázek 8.5(a) představuje ten typ čoček, které budeme v této úloze měřit, tj. spojky s vypuklostí Q = (l/n — 1/^) > 0. Pro spojku je poloměr vypuklé plochy menší, než poloměr plochy vyduté. Pro záporné r\ a v2 na obr. 8.5(b) dostaneme Q > 0, protože poloměry číslujeme po směru chodu paprsku. Druhý sčítanec v (8.13) je rovněž pro náš typ čoček kladný. Ze vztahu (8.13) vyjádříme n jako funkci /', ri, t2 a d. Pro zjednodušení výsledného vztahu pro n označíme A =1', B = ---, C = —. (8.14) J n r2 n r2 Vztah (8.13) můžeme teď přepsat jako A = (n - l)B + (n - \fCjn (8.15) a n vypočítáme z kvadratické rovnice {B + C)n2 - {A + B + 2C)n + C = 0 (8.16) _ {A + B + 2C) + ^{A + B + 2C)2-AC{B+Č) 2{B + C) • 18 n Obrázek 8.5: Základní parametry tlusté čočky. 8 Měření parametrů zobrazovacích soustav 73 V rovnici (8.17) bereme pro výpočet takové znaménko, abychom dostali fyzikálně smysluplnou hodnotu n. Pro výpočet hodnot A, B a C potřebujeme znát hodnoty d, r\, r2 a /'. Tloušťka d je známa, ostatní veličiny změříme sférometrem a goniometrem. Experimentální provedení Měření křivosti lámavých ploch sférometrem Poloměry křivosti lámavých ploch r±, r-2 určíme sférometrem, viz [6] str. 139. Mechanický sférometr je nakreslen na obr. 8.6. Hodinkový indikátor s přesností čtení rozdílu výšek ±0.01 mm je upevněn v držáku s kruhovou základnou, jehož středem prochází dotykové čidlo. Nulovou polohu sférometru určíme tak, že jej umístíme na rovinné sklo. Pak postavíme sférometr na měřenou kulovou plochu s poloměrem křivosti r. Z obr. 8.7 je zřejmé, že kruhová základna sférometru s poloměrem z vytne na povrchu měřené plochy kulovou úseč s výškou h. Rozdíl údajů sférometru na čočce a na rovinném skle právě udává tento parametr. Změříme-li průměr sférometru 2z posuvným měřítkem, pak zřejmě Obrázek 8.7: Určení poloměru křivosti kulové Obrázek 8.6: Sférometr. plochy. Úkoly 1. Při zobrazení každou ze studovaných čoček změřte úhly, pod kterými v goniometru vidíte jednotlivé rysky kalibrační stupnice. 2. Změřte opakovaně posuvným měřítkem vnější a vnitřní hodnotu z sférometru a sférometrem opakovaně hodnotu h pro měřené čočky. 3. Poznamenejte si hodnotu tloušťky měřených čoček. Měření parametru zobrazovacích soustav Varianta B: Měření ohniskové vzdálenosti tlusté čočky Teorie Definice základních parametrů optických soustav a metody jejich měření jsou popsány v [6, 21]. Tady jen stručně zopakujeme vztahy nutné pro řešení uvedeného problému. Na obr. 8.8(a) jsou uvedeny základní parametry tlusté čočky, pro které platí čočková rovnice b-\'T (8'19) Příčné zvětšení je definováno P = y (8.20) a z obr. 8.8(a) je vidět, že pro j3 platí rovněž 13 = -. (8.21) a Při výpočtu pro vztahy (8.19)—(8.21) platí znaménková konvence, která je popsána v [6] a [21]. Nyní vynásobíme rovnici (8.19) a' nebo a a použijeme vztah (8.21). Pak dostaneme pro ohniskovou vzdálenost ^i^rÄ- <8-22> Pro spojku dostáváme skutečný převrácený obraz, tj. /' > 0, a' > 0, a < 0 a (3 < 0. Budeme měřit parametry spojky. Použijeme znaménkovou konvenci na vztah (8.22) a dále bereme jen absolutní hodnoty všech veličin. Na rozdíl od tenké čočky, pro kterou je možné pomocí vztahu (5) vypočítat /' z naměřených veličin a, a' nebo případně P, pro tlustou čočku je obtížné změřit přesně a, a'. Provedeme měření od některého bodu O (obr. 8.8). Vzdálenost předmětu od bodu O bude (a + l) a obrazu [a' + (5 — l)], kde l = OH a 5 = HH'. Pro dvě měření dostaneme rozdíl d-ij = a,t — a j a = a\ — a'-, tj. hodnoty d-ij a d\ - nezávisí na poloze bodu O a vzdálenosti hlavních rovin. Bod O nemusí ležet mezi hlavními rovinami, jak je znázorněno na obr. 8.8. Pro první část vztahu (8.23) máme /'(l + A) = (8.24a) f(l + Pj) = a) (8.24b) f'(l + /3i-l- Pj) = a'i- a'j = d'ij (8.24c) /, = Ä' (8-24d) Analogicky pro druhou část rovnice (8.23) dostaneme /' = • (8-25) Pí P j 8 Měření parametrů zobrazovacích soustav 75 Experimentální provedení Měřicí aparatura je sestavena na optické lavici a sestává se ze zdroje s kalibrovaným měřítkem velikosti, držáku čoček s clonou a stínítka. Metodu dvojího zvětšení budeme realizovat podle výše uvedeného návodu - měřením velikostí obrazu a posunem polohy spojky, potřebným k jeho vytvoření na stínítku (jehož umístění bude představovat náhodný prvek v měření). Ohniskovou vzdálenost tlusté čočky můžeme stanovit také z měření v obou směrech. Na obr. (a) a (b) je znázorněno zobrazení téhož předmětu stejnou zobrazovací soustavou. Chod paprsku v případě (b) je opačný než v případě (a). V obou případech je zachována vzdálenost předmětu od hlavní roviny, takže zůstává zachováno příčné zvětšení. Bod O je určitý bod spojený se soustavou; v našem případě je to ryska definující polohu čočky. Zavedeme označení: XX' = e, XH = a, X'H' = a', tedy v a) XO = Si a v b) XO = S2. Pak podle obr. 8.8 platí e = a + a' + 5 (8.26a) 51 = a + l (8.26b) 52 = a + 5-l, (8.26c) a' -a = e-(S1+S2). (8.27) odkud Ze vztahu (8.23) dostáváme a' = f(l + p) (8.28a) a = [/'(l+/?)]//? (8.28b) = m + f» {\ - 1) = W + f1-® = í^fŽl. (8.28c) Z (8.27) a (8.28c) dostáváme pro ohniskovou vzdálenost 'i+S2 r l{S--s:! 1 . (8.29) y f f F' X' X F a m- 0 y' a' - H H' Obrázek 8.8: Základní parametry tlusté čočky: předmětové a obrazové ohnisko F a F', hlavní roviny H a H', předmětová ohnisková vzdálenost / = H F a obrazová /' = H'F'. Velikosti předmětu a obrazu jsou označeny Y a Y'. Vzdálenost mezi předmětem a hlavní rovinou H a mezi obrazem a hlavní rovinou H' jsou a a a'. Na obrázku (a) jsou a, f > 0 a a', /' < 0. 76 Měření parametru zobrazovacích soustav Úkoly 1. Určete ohniskovou vzdálenost tlusté čočky metodou dvojího zvětšení: (a) Zafixujte polohu zdroje a pro různé polohy čočky změřte polohu stínítka a velikost obrazu. Měření proveďte 5 x až 10 x. (b) Pro různé dvojice měření vypočítejte ohniskovou vzdálenost čočky ze vztahu (8.24d) nebo (8.25). Naměřené hodnoty použijte pro výpočet ohniskové vzdálenosti ze vztahu (8.19). Porovnejte výsledky. 2. Určete ohniskovou vzdálenost tlusté čočky z měření v obou směrech: (a) Předmět a stínítko umístíme na vzdálenost e (e > 4f). Posunutím čočky dostaneme ostrý obraz na stínítku a odečteme 5*1 (XO) a zvětšení (3; otočíme čočku o 180° a po získání ostrého obrazu na stínítku odečteme 5*2. Zvětšení se mohou v obou případech lišit jen chybou měření. Měření proveďte pro 5 až 10 hodnot e. (b) Vypočítejte /' ze vztahu (8.29) a statisticky zpracovanou hodnotu porovnejte s hodnotou z předchozího měření. Úloha Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část • Měření závislosti indexu lomu skla na vlnové délce metodou minimální deviace. Varianty povinně volitelné části A. Měření indexu lomu polokulovým Abbého refraktometrem. B. Měření indexu lomu dvoj hranolovým refraktometrem. Povinná část Teorie Metodu minimální deviace lze použít ke stanovení indexu lomu vzorků (sklo, plasty, atd.) které mají tvar hranolu. Dvě sousední stěny, kterými vstupuje a vystupuje paprsek spolu svírají lámavý uhel oj, který spolu s indexem lomu tvoří parametry hranolu. Paprsek vystupující z hranolu je od vstupujícího paprsku odchýlen o úhel 5, nazvaný deviace. Ta závisí na úhlu dopadu a a na parametrech hranolu - můžeme ji vyjádřit ve tvaru S = f{a,u,n) (9.1) Z této závislosti bychom mohli index lomu určit, kdybychom změřili deviaci, lámavý úhel a úhel dopadu. Z průběhu deviace v závislosti na úhlu dopadu vyplývá, že funkce (9.1) má absolutní minimum pro určitý úhel dopadu. Toto minimum se nazývá minimální deviace óm a snadno se experimentálně najde jako bod obratu vystupujícího paprsku při monotónní změně úhlu dopadu. Z podmínky pro minimum funkce (9.1) lze určit vztah pro index lomu, lámavý úhel a minimální deviaci [6]: sin(íd/2) V 1 V tomto vztahu již nevystupuje úhel dopadu a k určení indexu lomu stačí změřit lámavý úhel hranolu oj a minimální deviaci óm vystupujícího paprsku určité vlnové délky. Tento postup se nazývá metoda minimální deviace. 77 78 Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr 4 4 4 4 4 44 4 1 2 3 4 5 67 8 Obrázek 9.1: Upravená fotografie spektra rtuťové výbojky. Očíslovány jsou čáry, jejichž vlnové délky jsou uvedeny v tabulce 9.1. barva vlnová délka (nm) označení v obrázku 9.1 fialová 404,6 1 fialová 407,8 2 modrá 435,8 3 modrozelená 491,6 4 zelená 546,1 5 žlutá 576,9 6 žlutá 579,1 7 červená 623,4 8 Tabulka 9.1: Vlnové délky vybraných čar spektra rtuťové výbojky. Index lomu látek je závislý na vlnové délce světla. Tomuto jevu se říká disperze a je způsobená závislostí rychlosti šíření monochromatické elektromagnetické vlny v látce a na její frekvenci. Disperze je příčinou existence tzv. rozkladu světla hranolem, o kterém se můžeme přesvědčit osvětlíme-li hranol paprskem bílého světla, nebo světlem z výbojky. Pozorujeme, že největší deviaci mají paprsky s barvou fialovou a nejmenší s barvou červenou. Tedy s rostoucí vlnovou délkou deviace klesá a protože podle (9.2) nebo (9.1) většímu indexu lomu odpovídá větší deviace, klesá index lomu s rostoucí vlnovou délkou. Tato závislost se nazývá normální disperze látky a její znalost je významná z hlediska použití dané látky pro optické účely. Našim úkolem bude zjistit tuto závislost pro sklo, ze kterého je vyroben hranol, tj. určit disperzní křivku hranolu. Teoreticky disperzi můžeme popsat pomocí Cauchyho vztahu: n(X) = A + ^ + ^. (9.3) Experimentální provedení Jako zdroje světla použijeme rtuťovou výbojku, která ve viditelné oblasti spektra obsahuje řadu čar o známých vlnových délkách uvedených v tabulce . Potřebné úhly: lámavý úhel oj hranolu a úhel óm minimální deviace paprsků změříme pomocí goniometru. Polohu paprsku budeme určovat vizuálně pomocí nitkového kříže umístěného v ohniskové rovině okuláru dalekohledu, do kterého zobrazíme vstupní štěrbinu kolimátoru osvětlenou výbojkou při měření úhlu minimální deviace. Vlastní měření se provádí na goniometru SG-5, který má pevné rameno s kolimátorem a otočný stolek s měřeným hranolem. Polohu stolku a dalekohledu lze velmi přesně nastavit hrubým a jemným posuvem a číst ji s přesností jednotek úhlových vteřin. Způsob manipulace a odečítání úhlů na stupnici je popsáno v návodu na obsluhu tohoto goniometru. Před měřením je třeba provést justování hranolu, které spočívá v nastavení lámavých ploch kolmo na optickou osu dalekohledu. Provádí se nakláněním stolečku regulačními šrouby. Kolmost se kontroluje autokolimační metodou: nitkový kříž osvětlený žárovkou v okuláru se po odrazu od justované lámavé plochy hranolu zobrazí zpět do ohniskové roviny okuláru dalekohledu. Při ztotožnění nitkového kříže ze svým obrazem je lámavá plocha kolmá k optické ose dalekohledu. Postup opakujeme několikrát. Měření lámavého úhlu oj hranolu provádíme tak, že změříme úhel, který spolu svírají paprsky kolmé k lámavým plochám. Je-li úhel mezi kolmicemi ip\ — ip2, je lámavý úhel oj = 180 - - V2), (9.4) 9 Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr 79 ipi a V>2 jsou úhlové polohy dalekohledu na stupnici spojené se stolečkem. Při měření otáčíme z polohy ipi do polohy -02 stolečkem spojeným se stupnicí, polohu dalekohledu neměníme. Obrázek 9.2: Průchod světla hranolem Měření úhlu minimální deviace óm provádíme pro každou spektrální čáru rtuti v bodě obratu paprsku. Najdeme ho změnou úhlu dopadu otáčením stolečku s hranolem. Protože nemůžeme změřit úhlovou polohu paprsku vstupujícího do hranolu (museli bychom sejmout hranol) postupujeme tak, že změříme úhlovou polohu 0i vystupujícího paprsku při jeho vstupu do hranolu první lámavou plochou, pak otočíme stolek s hranolem tak, aby paprsek vstupoval do hranolu druhou lámavou plochou a změříme jeho polohu 02 po výstupu z hranolu. Obrázek 9.3: Polohy minimální deviace Rozdíl těchto úhlů je dvojnásobek minimální deviace [6]: 5m = (0i - i) sm(i) kde ípo je úhel dopadu, ípi úhel lomu na rozhraní vzduch-dielektrikum. Lze dosáhnout situace, kdy rp = 0, tj. tehdy, když se tan( A/2 je úloha nejednoznačná a měření je třeba provádět pro dvě vlnové délky. Přesnost uvedené metody je ±(1—3) nm a závisí zejména na a) odrazivostech polopropustného zrcadla a krycí vrstvy. Požaduje se poměrně vysoká odrazivost obou, přičemž odrazivost krycí vrstvy musí být vyšší než odrazivost zrcadla, abychom dosáhli dobrého kontrastu interferenčních proužků; b) monochromatičnosti dopadajícího světla; c) povrchové drsnosti polopropustného zrcadla i krycí vrstvy. Experimentální provedení Metoda je založena na vícepaprskové interferenci světla na vzduchové mezeře vytvořené mezi měřeným vzorkem a polopropustným zrcadlem. Měřený vzorek je připraven tak, že na části podložky je měřená vrstva odstraněna (např. vrypem). Tento systém se pokryje nepropustnou 11 Interference a difrakce světla 93 vrstvou kovu s vysokou odrazivostí (např. AI, Ag). Předpokládá se, že krycí vrstva dokonale reprodukuje vryp. Mezi takto připraveným vzorkem a polopropustným zrcadlem se citlivým mechanizmem vytvoří vzduchová klínová mezera s malým úhlem klínu. Celý tento systém se pak osvětlí monochromatickým světlem o vlnové délce A. Principiální uspořádání experimentu je na obr. 11.2. Návod k obsluze mikroskopu bude k dispozici u úlohy. Obrázek 11.2: Principiální uspořádání experimentu. (1) je zdroj monochromatického světla, (2) kondenzor, (3) clona, (4) kolimátor, (5) dělící kostka, (6) vzorek a (7) objektiv mikroskopu. V zorném poli mikroskopu se objeví systém interferenčních proužků (obr. 11.3), kde úseky x\ a a?2 jsou jednoduše zjistitelné z měření odečítacím okulárem: nitkový kříž natočíme rovnoběžně se systémem pozorovaných proužků a následně jej posouváme z jedné strany zorného pole na druhou. Přitom jej zastavujeme jej vždy, když se ztotožní s některým z interfernčních proužků. Zapisujeme postupně polohu odečítacího okluráru, pro proužky na jedné straně do jednoho sloupce, pro proužky na druhé straně do sloupce druhého. Hodnota x2 se určí jako rozdíl po sobě jdoucích hodnot v kterémkoliv ze sloupců, hodnota x\ potom jako rozdíl sousedních hodnot mezi sloupci - nesmíme zapomenout poznačit si, jakou orientaci má pozorovaný schod v interferenci. Jednotka údajů polohy odečtených ze stupnice okuláru nehraje vzhledem ke tvaru vztahu (11.6) roli. Xl I I I x2 Obrázek 11.3: Schéma obrazu v mikroskopu. Vzhledem k tloušťce vrypu na vzorku se v zorném poli mikroskopu (kroužek) objeví pouze polovina skoku způsobeného v interferenci. 94 Interference a difrakce svetla Zpracování měření Ze získaných poloh odečítacího okuláru stanovte velikosti x\ a a?2 - počet vybraných po sobě jdoucích proužků pro určení a?2 přizpůsobte počtu zjistitelných x\ v každém měření a rozdělte je rovnoměrně mezi oba sloupce měření. Ze zjištěných hodnot stanovte hodnoty t, které statisticky zpracujte. Z měření na stejném místě vzorku, ale s různým sklonem proužků ověřte spolehlivost určení tloušťky vrstvy Tolanského metodou. Přesnost uvedené metody je ±(1—3) nm a závisí zejména na 1. odrazivostech polopropustného zrcadla a krycí vrstvy. Požaduje se poměrně vysoká odrazivost obou, přičemž odrazivost krycí vrstvy musí být vyšší než odrazivost zrcadla, abychom dosáhli dobrého kontrastu interferenčních proužků; 2. monochromatičnosti dopadajícího světla; 3. povrchové drsnosti polopropustného zrcadla i krycí vrstvy. 1. Nastavte za pomoci vyučujícího v zorném poli mikroskopu 5-10 interferenčních proužků a proměřte jejich polohu odečítacím okulárem. 2. Nastavte jiný počet interferenčních proužků na stejném místě vzorku a měření zopakujte. 3. Stanovte hodnotu tloušťky. 4. Totéž opakujte na jiném místě vzorku. 5. Zhodnoťte rovnoměrnost tloušťky vrstvy s přihlédnutím k chybě měření. Varianta A: Newtonova skla Teorie K měření vlnové délky světla se použije interferenční jev na tenké vzduchové mezeře mezi rovinnou skleněnou deskou a čočkou o poloměru R na ni položenou. Při pozorování v odraženém nebo v prošlém světle vidíme střídající se světlé a tmavé kruhové proužky s rostoucím poloměrem r, tzv. Newtonovy kroužky. Na styku kulové čočky s rovinnou skleněnou deskou se čočka i deska nepatrně deformují a z bodového kontaktu S vznikne plošný kruhový kontakt, který se v odraženém světle projeví jako tmavá a v prošlém světle jako světlá kruhová ploška, tzv. Hertzova skvrna, jejíž poloměr a/2 závisí na přítlačné síle. Situace v rovině řezu je na obrázku 11.4. Předpokládáme, že rovinná monochromatická vlna o vlnové délce A dopadá kolmo na rovinnou lámavou plochu čočky postupuje ke kulové lámavé ploše, kde se částečně odráží a s opačnou fází postupuje zpět. Část vlny postupuje dále vzduchovou mezerou a na rozhraní vzduch deska se bez změny fáze částečně odráží a se stejnou fází postupuje zpět. V bodech na kružnici o poloměru r se středem v bodě dotyku čočky s deskou to ukazují tři paprsky: vstupující „0" a dva odražené „1" a „2". Vystupující vlny interferují a výsledná intenzita závisí na rozdílu fází vln, respektive na dráhovém rozdílu obou odražených paprsků. Podle obrázku je dráhový rozdíl A paprsků „1" a „2" s ohledem na změnu fáze roven Minimum intenzity světla nastane na kružnicích o poloměrech r^, pro které je dráhový rozdíl roven lichému násobku A/2, tj. Úkoly A = 2Ar + -2 (11.7) resp. Ar k = k— 11 Interference a difrakce světla 95 kde k = 1, 2, ... je řád minima. Velikost vzduchové mezery Ar mezi čočkou a deskou ve vzdálenosti r od bodu dotyku S určíme z geometrie: (R - Ar - Aa)2 + r2 = R2 (11.9) ^2 , (a\2 _ d2 (R-Aay + ^-j =RZ (11.10) Výšku kruhového vrchlíku Aa vzniklého deformací kulové plochy čočky určíme z (11.10) za předpokladu, že 2R » Aa a2 Aa = — (11.11) 8R V ; Za předpokladu, že 2i? » Ar + Aa obdržíme z rovnice (11.9) 2i?(Ar + Aa) = r2 a použitím (11.11) získáme pro poloměr kružnice r, na které je velikost vzduchové mezery Ar a2 r2 = 2RAr + — (H-12) Jestliže velikost vzduchové mezery vyhovuje rovnici (11.8) získáme pro poloměry kružnic r\ s minimem intenzity světla rovnici a2 r2 = XRk + — (11.13) 4 Z rovnice (11.13) vyplývá, že druhá mocnina poloměru tmavého kroužku je lineární funkcí řádu minima k. Vyneseme-li závislost (11.13) do grafu, získáme rovnici přímky (Y = r2 a X = k) Y = A + BX (11-14) a z konstant A, B můžeme určit vlnovou délku a poloměr Hertzovy skvrny: A = | a- = VÄ (11.15) Chceme-li určit pouze vlnovou délku můžeme ji určit z rozdílu druhých mocnin dvojic poloměrů r\ a rn podle (11.13) takto: 96 Interference a difrakce svetla Postup měření Pro měření poloměrů Newtonových kroužků použijeme mikroskop s horním osvětlením a měřícím okulárem. Dvě čočky o stejném poloměru křivosti jsou uloženy v kovovém přípravku s válcovým otvorem, do kterého se volně zasunuje objektiv mikroskopu tak, aby bylo možné interferenční kroužky zaostřit. V takovém případě je velikost vzduchové mezery dvojnásobná oproti uspořádání čočka-planparalelní destička. Rovnice (11.13) pro poloměry kružnic r k s minimem intenzity potom přejde na vztah 2 r2 = \\Rk + ^ (11.17) a vztah (11.15) pro určení vlnové délky ze směrnice přímky na A = f f = >/I. (11.18) Podobně vztah (11.16) pro určení vlnové délky z rozdílu druhých mocnin dvojic poloměrů a rn přejde na: A = 2—j--^ (11.19) Z rovnice (11.17) vyplývá, že druhá mocnina poloměru tmavého kroužku je lineární funkcí řádu minima k. Pro osvětlení můžeme použít sodíkovou výbojku nebo luminiscenční diodu. Protože mikroskopem určíme poloměry Newtonových kroužků v dílkách stupnice okuláru, je třeba nejdříve určit pomocí testovacího sklíčka zvětšení mikroskopu Z = y'/y, kde y je vzdálenost vrypů na testovacím sklíčku v fim a y' je vzdálenost vrypů v dílkách. Skutečnou velikost Newtonových kroužků v /tm určíme jako r k = f'k/Z. Při měření postupujeme tak, že vložíme přípravek na stolek mikroskopu zaostříme interferenční kroužky a jemným pohybem přípravku nebo stolečku mikroskopu umístíme kroužky do středu zorného pole. Velikosti kroužků určujeme ze dvou krajních poloh na kroužku, jejichž rozdíl určuje průměr kroužku. Postupujeme od nejmenšího k největšímu kroužku tak, jak to umožní stupnice okuláru. Poznámka: Pro určení vlnové délky světla potřebujeme znát poloměr křivosti lámavé plochy čoček R. Pokud její hodnota není známá, nebo není uvedena s dostatečnou přesností, ale máme k disposici zdroj monochromatického záření o známé vlnové délce, např. sodíkovou výbojku s vlnovou délkou A = 589,30 nm, můžeme měřením poloměrů Newtonových kroužků poloměr čočky R z rovnic (11.17) nebo (11.19) určit. Úkoly 1. Sestavte přípravek s čočkou a deskou, vložte jej do objektivu mikroskopu, zaostřete interferenční proužky a umístěte střed kroužků do středu zorného pole mikroskopu. Ověřte funkci měřícího okuláru a případně zaostřete stupnici čočkou okuláru. 2. Osvětlete vzorek diodou LED (je napájena přes regulační odpor z baterie o napětí 4,5 V) a proměřte průměry všech kroužků v rozsahu stupnice. Určete vlnovou délku LED. 3. Z výsledků měření 1 a 2 určete průměr a Hertzovy skvrny. Varianta B: Difrakce světla na mřížce Teorie V této úloze se seznámíme s jednoduchým uspořádáním pro pozorování difrakce monochromatického světla na optické mřížce. 11 Interference a difrakce světla 97 Difrakční mřížka na průchod je planparalelní skleněná destička s velkým počtem tenkých, navzájem rovnoběžných a stejně vzdálených vrypů. Mezerami mezi vrypy prochází světlo beze změny směru, na vrypech je difraktováno. Osvětlíme-li takovou mřížku (obr. 11.5) rovnoběžným svazkem paprsků s vlnovou délkou A, stávají se vrypy podle Huygensova principu zdrojem elementárních rozruchů a šíří se do všech směrů. Interferencí se však zesilují pouze v určitém směru. Pozorujeme-li světlo prošlé mřížkou dalekohledem zaostřeným na nekonečno, protnou se paprsky vystupující ze všech štěrbin pod týmž úhlem a v ohniskové rovině objektivu. Z obr. 11.5 je zřejmé, že se tyto paprsky nesetkávají se stejnou fází. Označíme-li Sk, Sk+i středy dvou sousedních štěrbin, pak jejich vzdálenost d se nazývá mřížková konstanta a jejich střední paprsky mají dráhový rozdíl dsina. Splňuje-li dráhový rozdíl 5 podmínku zesilují se střední paprsky vycházející ze všech štěrbin. Parametr m je řád maxima. Monochromatické světlo vytvoří tedy ve směrech daných úhly a\, a2,... maxima. Pro tyto úhly platí 8 = d sin a = mX (11.20) sin a\ = X/d, sin a2 = 2X/d, sm a. mX/d. (11.21) Na základě vztahů (11.21) lze velmi přesně určit vlnovou délku světla. d d S, 'n-1 Sn S n+1 Obrázek 11.5: Princip činnosti difrakční mřížky. stinitko mrizka X Obrázek 11.6: Schéma měření s difrakční mřížkou na průchod. 98 Interference a difrakce svetla Experimentální provedení Na optické lavici je umístěn laser s téměř nerozbíhavým svazkem, optická mřížka a pozorovací stínítko s milimetrovým papírem, viz obr. 11.6. Mezi laser a mřížku vkládáme stínítko s malým otvorem pro světelný svazek, které zachytí paprsky vzniklé difrakcí při odrazu od mřížky a tím zamezíme nekontrolovanému pohybu laserového paprsku po laboratoři. Schéma uspořádání experimentu při pohledu shora je na obrázku. Při experimentu pozor — záření laseru je nebezpečné pro oko! Vzdálenost x mezi mřížkou a stínítkem lze měnit a měřit ji pomocí stupnice na optické lavici. Protože vrypy na optické mřížce jsou orientovány svisle, budou difraktované svazky odchýleny vodorovně vlevo a vpravo od přímého (primárního) svazku. Označíme-li obecně vzdálenost místa dopadu přímého a difraktovaného paprsku jako y, bude sin am= Vm m = 1,2,... (11.22) V V m + x2 Při měření nastavujeme různé vzdálenosti x a pro každou hodnotu pak odečítáme na milimetrovém papíře stínítka polohy maxim prvního a druhého řádu vpravo y[, y'2 a vlevo y'{, yí> °d primárního svazku. Úkoly 1. Pro dvě vybrané difrakční mřížky změřte pro jejich různé vzdálenosti od stínítka polohu nultého maxima a obě postranní polohy maxima prvního a druhého řádu difrakce (volte vhodné vzdálenosti, aby se na stínítku obou stranách od primárního svazku objevila alespoň 2 dif. maxima). 2. Určete u obou mřížek vzdálenost vrypů d a jejich hustotu N. Zjištěné hodnoty porovnejte s hodnotami uvedenými výrobcem mřížek. Vlnovou délku He-Ne laseru určete např. z tabulek [5]. Užití v praxi: Interferenčního zesílení či zeslabení světla se ve velkém měřítku užívá v různých optických filtrech, kam lze zařadit i antireflexní vrstvy optických prvků. Interferenční obrazce exponované ve fotografické emulzi představují základ hologramu, který při osvětlení světlem o stejné vlnové délce, jakou byl exponován, rekonstruuje prostorový obraz daného předmětu. Interferenční techniky pak nacházejí široké uplatnění v astronomii, zejména té radiové, kdy současným měřením signálu ze dvou vzdálených míst lze dosáhnout úhlového rozlišení tisícin úhlové vteřiny. Difrakční mřížky (narozdíl od praktika sledovány v odraženém světle) jsou základem naprosté většiny současných spektrometrů. Difrakční jevy pak lze pozorovat i na strukturách s řádově menší periodou, jako jsou atomové roviny nebo krystaly makromolekul. Úloha Spektroskopické metody Úkoly k měření Povinná část • Měření propustnosti skla, určení spektrální závislosti indexu lomu z měřené propustnosti. Varianty povinně volitelné části A. Určení tloušťky tenké vrstvy z měření propustnosti. B. Lambertův-Beerův zákon, měření absorpčního koeficientu. Povinná část Teorie Dopadá-li světelná vlna na rozhraní dvou různých optických prostředí, část energie se odráží (zákon odrazu), zbývající část energie prochází do druhého prostředí (zákon lomu), viz obr. 12.1. Při průchodu světelné vlny v tomto druhém prostředí se část energie může absorbovat. Není-li tloušťka druhého prostředí příliš velká, případně toto prostředí neabsorbuje, pak zbývající část světelné energie po odrazu na druhém rozhraní vystupuje ze zkoumané látky. Obrázek 12.1: Iq - intenzita dopadajícího světla, Ir - intenzita odraženého světla, It - intenzita světla prošlého danou látkou. 99 100 Spektroskopické metody n0 = l r2/n t2p2 i h Obrázek 12.2: Odvození vztahu pro propustnost neabsorbující tlusté vrstvy. Na výstupní straně intenzita prošlého světla I\ je součtem naznačených příspěvků paprsků se sudým počtem odrazů, na vstupní straně intenzita odraženého světla I2 vychází z paprsků s lichým počtem odrazů. V optice se zavádí intenzitní veličiny odrazivost R, propustnost T a absorpce A, které při kolmém dopadu světla charakterizují z optického hlediska danou látku [18]: R = Ir i Iq 1 (12.1) T = It/I0. V ' V souhlase se zákonem zachování energie platí R + T + A =1. (12.2) Spektrální průběh propustnosti, tj. závislost propustnosti na vlnové délce světla, je obecně užitečnou veličinou, ze které lze v některých případech usuzovat na procesy, které probíhají při interakci světelné vlny s látkou. 12.0.2 Stanovení indexu lomu neabsorbující látky Řešení problému ukážeme na příkladu měření propustnosti tlusté neabsorbující vrstvy (destička zkoumané látky). Tlustou vrstvou se rozumí taková tloušťka materiálu d, že platí tl > A, kde A je vlnová délka dopadajícího světla. Vzhledem k tomu, že jde o neabsorbující látku, platí A = 0. Na obr. 12.2 je znázorněno odvození vztahu pro propustnost neabsorbující tlusté vrstvy. Na destičku s rovinnými, planparalelními rozhraními charakterizovanými koeficienty odrazivosti p a propustnosti r dopadá monochromatické světlo o intenzitě Iq . Index lomu zkoumané látky označíme n, index lomu okolního prostředí (vzduch) = 1. Poznámka: Ve skutečnosti dopadá světelný svazek na zkoumaný objekt kolmo; pro přehlednost je na obr. 12.2 zakreslen šikmý dopad, což do úhlu dopadu 30° není na újmu obecnosti. Protože se jedná o tlustou vrstvu, neuplatňuje se v ní interference světla a intenzitu propuštěného světla li (resp. světla odraženého I2) dostaneme skládáním intenzit při vícenásobném odrazu světelné vlny na rozhraních vrstvy. Z obr. 12.2 je zřejmé, že pro intenzitu prošlého světla platí h = IQ (r2 + T2p2 + ry + r2p6 + _} _ (123) 12 Spektroskopické metody 101 Poměr intenzit I\/Iq jsme definovali jako propustnost dané látky, vztah (12.3) lze tedy psát t = t2+t2p2+t2p4+t2p(i + ... (12.4) Jednoduše se lze přesvědčit, že pravá strana uvedeného vztahu je nekonečná geometrická řada s kvocientem q < 1, jejíž součet T=-A~2- (12-5) 1 — pz Vzhledem k tomu, že se jedná o neabsorbující látku, platí podle (2) r = 1 — p. Vztah (4) lze přepsat pomocí koeficientů odrazivosti na tvar 1 — pz což po úpravě dává T = -—P- . (12.7) 1+P Pro odrazivost rozhraní vzduch-neabsorbující látka, která je charakterizována indexem lomu n, dostáváme z Fresnelových koeficientů P = £^£. (12-8) (1 + n)z Dosazením vztahu (12.8) do vztahu (12.7) dostáváme T = ^7> (12-9) nz + 1 odkud lze již snadno stanovit hledaný index lomu n neabsorbující látky, 1 ± y/1 - T2 n =-^- T Poznámka: Při řešení rovnice (12.9) je třeba vyloučit kořen, který nemá fyzikální smysl. Úkoly 1. Stanovte spektrální závislost propustnosti skleněné destičky v zadaném intervalu vlnových délek. 2. Změřte spektrální závislost propustnosti daných barevných filtrů v zadaném intervalu vlnových délek. 3. Vyneste graficky závislost indexu lomu na vlnové délce. 4. Proložte tuto závislost (její klesající část po delší vlnové délky) Cauchyovým vztahem n(X) = A + ^ + ^. (12.10) 102 Spektroskopické metody Postup měření K dispozici máte 2 spektrometry - klasický přístroj s monochromátorem Specord 40 a sestavu pro vláknový spektrometr AvaSpec EDU. V obou případech se používá stejný typ zdroje světla: kombinace halogenové žárovky (poskytující hladké spektrum černého tělesa) a deuteriové výbojky (umožňující rozšířit měření do blízké UV oblasti). U vláknového spektrometru je světlo z externího zdroje vedeno optickým vláknem k držáku vzorku, na jehož druhé straně prošlé světlo vstupuje do dalšího vlákna vedoucího ke spektrometru (viz obr. 12.3). Zde je světlo odrazem na mřížce rozděleno podle vln. délek a zrcadlem zaostřeno na jednotlivé pixely CCD detektoru (daný přístroj jich má zhruba 2000). V druhém případě (u přístroje Specord) je vše skryto uvnitř těla spektrometru: mřížka je zde ale ještě před vzorkovým prostorem a po odrazu na ní prochází světlo štěrbinou, která vybere světlo dané vlnové délky; během měření se mřížka natáčí a postupně vzorkem projde monochromatické světlo o všech vln. délkách ve zvoleném rozsahu. Měření zde tedy trvá podstatně déle, spektrální rozlišení může být ale vyšší (je určeno šířkou vstupní a výstupní štěrbiny) a detektor může být větší a citlivější. Měření povinné části úlohy tedy provádějte raději na tomto spektrometru, volitelné měření pak na vláknovém spektrometru. mřížka Obrázek 12.3: Schéma měřící aparatury s vláknovým spektrometrem Při měření propustnosti nebo odrazivosti je třeba vždy na začátku před vložením vzorku provést referenční měření (kalibraci): u měření na průchod se nechá obvykle světlo procházet prázdným vzorkovým prostorem (případně s vloženou stejnou clonou, jakou pak budeme používat pro vzorek), při měření odrazu světla musíme použít referenční vzorek se známou reflektivitou (křemík, hliník). Měříme pak relativní propustnost či odrazivost vůči vzduchu nebo referenčnímu povrchu. Tímto způsobem se zbavíme vlivu rozdílné intenzity zdroje, propustnosti vláken (či vzduchu) i citlivosti detektoru (CCD čipu) pro různé vlnové délky. U přístrojů s monochromátorem, kde se různé části spektra měří postupně, může výsledek ovlivnit i nestabilita zdroje (či detektoru, zvláště je-li chlazený). Pokročilejší přístroje jsou proto často navrženy jako dvoukanálové, kdy světlo střídavě prochází kanálem se vzorkem a bez něj. U našeho přístroje tomu tak není, doporučuje se tedy mu po zapnutí nechat jistý čas na stabilizaci. Výsledek měření budete mít uložen v textovém formátu. Vyjma měření tenké vrstvy bude počet naměřených bodů ve spektru řádově převyšovat vaši potřebu. Pro potlačení šumu v měření je vhodné, abyste pro výpočet vzali vždy průměr z několika (cca desítky) bodů v okolí zvolené vln. délky. Je možné použít též program pro vyhlazení spektra klouzavým průměrem (konvolucí), který je k dispozici na počítači připojeném k vláknovému spektrometru - sníží se tak míra šumu, ale samozřejmě také spektrální rozlišení vašeho měření. 12 Spektroskopické metody 103 Obrázek 12.4: Průchod světla tenkou vrstvou. Varianta A: Určení tloušťky tenké vrstvy z měření propustnosti Teorie Jedním z důležitých parametrů v optice tenkých vrstev je index lomu vrstvy n\, která je nanesena na podložku s indexem lomu n. V této úloze se budeme zabývat případem neabsorbující vrstvy na neabsorbující podložce. Dopadá-li na takový systém rovinná monochromatická vlna (obr. 12.4), pak se intenzita odraženého resp. prošlého světla v závislosti na vlnové délce dopadajícího světla A vlivem interference ve vrstvě periodicky mění mezi limitními hodnotami. Pro propustnost Tf systému podložka-vrstva lze odvodit vztah [18] rn =__ M2in f n\{n + l)2 -{n2 -n\){n\-\) sin2 (z/2) ' ^ ' ' kde x je fázový posun paprsků ve vrstvě. Při kolmém dopadu světla dráhový rozdíl interferujících paprsků je s = 2n\d, a pro jejich fázový posun x platí 2tv 2tt x = —s nebo x = —2riid. (12.12) A A Z výrazů (12.11) a (12.12) je zřejmé, že propustnost Tf se mění při změně vlnové délky A dopadajícího světla. Pro jisté vlnové délky při dané tloušťce vrstvy obdržíme maxima nebo minima propustnosti. Pro naše vzorky platí případ n\ > n. Tedy interferující paprsek 2 se odráží dvakrát od prostředí s menším indexem lomu a proto má stejnou fázi jako paprsek 1. Úvaha platí i pro další interferující paprsky. Navíc ze vztahu (12.11) vidíme, že pro n\ > n bude mít Tf maximum pro sin — = 0, tj. x = 2 tt , 4tv , ... ,2kiv, (12.13a) x minimum pro sin — = ±1, tj. x = tv , 3tt , ... ,(2k—l)ir, (12.13b) kde k je celé číslo. Ze vztahu pro fázový posun (12.12) dostaneme maximum a minimum propustnosti pro dráhový rozdíl maximum pro 2n\d = A , 2A , ... ,k\, (12.14a) minimum pro 2ri\d = — , — , ... ,---. (12.14b) 104 Spektroskopické metody Potom ze vztahu (12.11) dostaneme maximum a minimum propustnosti An = ľ* lT\ . (12.15b) Jestliže známe index lomu podložky n, pak vztah (12.15b) nám dává možnost stanovit index lomu vrstvy ri\ z rovnice nj^Tf11 - 2ni + n^Tfin = 0 , (12.16) tedy 1 ± A/l - 7Tin ni =-V/__ V^- (12-17) v / Experimentální provedení Spektrální závislost propustnosti změříme na jednokanálovém spektrofotometru. Jedná se o integrovaný přístroj, obsahující zdroje světla, monochromátor, filtry a detektor. Spektrofotometr je připojen k PC a návod k jeho ovládání bude k dispozici v laboratoři. Vrstva, jejíž index lomu chceme určit, je příliš tenká na to, aby mohla být vytvořena samostatně, bez nanesení na podložku. Tomuto faktu musíme podřídit i náš postup a v kyvetovém prostoru spektrofotometru změříme postupně propustnost Tss podložky bez vrstvy a propustnost Tfs podložky s vrstvou, a to ve stejném spektrálním rozsahu pro obě měření, viz také obr. 12.5. Abychom mohli interpretovat propustnost systému vrstva-podložka, zavedeme tzv. měřenou propustnost T Tm = Tfs/Tss . (12.18) Hledanou propustnost T f samotné vrstvy vypočteme ze vztahu [19] kde (n - l)2 (n + 1V je odrazivost samotné podložky, jejíž index lomu je n. Ten spočítáme podobně jako v předchozí úloze ze závislosti propustnosti podložky na vlnové délce, v našem případě i + yr^7f n=-ť-• ± ss Zpracování měření Výstupem z měření jsou soubory ve standardním formátu, obsahujícím v prvním sloupci vždy vlnovou délku a ve druhém sloupci změřenou propustnost odpovídající této vlnové délce. Protože budeme potřebovat provést zpracování všech měřených bodů, je výhodné použít tabulkový procesor, v němž spektrální zpracování znamená aplikaci zadaných vztahů postupně na všechny řádky souboru. Po stanovení spektrální závislosti relativní propustnosti Tm(X) v měřeném intervalu vlnových délek je klíčem k dalšímu zpracování přepočet této závislosti pomocí rovnice (12.19) na Tf(X). Získanou závislost Tf vyneste do grafu a nalezněte její minima. Pro vlnové délky, ve kterých tato minima nastala, stanovte hledanou hodnotu indexu lomu n\ vrstvy z rovnice (12.17). Získané hodnoty n\ zpracujte statisticky. 12 Spektroskopické metody 105 R.a T fs 'sklo sklo / vrstva Obrázek 12.5: Průchod světla podložkou a podložkou s vrstvou. Pro stanovení tloušťky tenké vrstvy doporučujeme následující proceduru. Z rovnic (12.14a) i (12.14b) vyplývá, že pro dvě sousední maxima i dvě sousední minima ve spektrální závislosti propustnosti, naměřená pro dvě vlnové délky A a A' < A, po vyloučení parametru k platí 2ní d 2rii d Odtud dostáváme vztah pro tloušťku vrstvy dl = , , -r • (12-22) 2(rí1\-n1X) V ; Pro všechny dvojice po sobě jdoucích zjištěných minim Tf určete hodnoty d\, které statisticky zpracujte. Úkoly 1. Naměřte spektrální závislost propustnosti podložky bez tenké vrstvy. 2. Naměřte spektrální závislost propustnosti podložky s nanesenou tenkou vrstvou. Varianta B: Lambertův-Beerův zákon, měření absorpčního koeficientu Uvažujeme-li o průchodu monochromatické světelné vlny homogenní vrstvou látky o tloušťce d, pak je propustnost dána Lambertovým zákonem T = exp(-ad) (12.23) kde a je koeficient absorpce světla, který obecně závisí na vlnové délce (frekvenci) dopadajícího záření. Ověření platnosti Lambertova zákona (12.23) lze provést jednoduše tak, že budeme měřit spektrální propustnost T(A) ve vhodném intervalu vlnových délek na planparalelních destičkách téže látky s různými tloušťkami. Vyneseme-li závislost ln T na tloušťce d vzorků dané látky pro určitou vln. délku, musíme v případě platnosti (12.23) dostat lineární závislost, z jejíž směrnice lze určit koeficient absorpce a. 106 Spektroskopické metody Hodnota absorpčního koeficientu je však ovlivněna zanedbáním reflexí na rozhraních vzorků. Můžeme využít popisu situace na obr. 12.6 s tím, že nyní je vrstva již absorbující. Uvažujeme vliv absorpce jen při průchodu látkou, tzn. pro index lomu zkoumané látky n a index absorpce k (imaginární složka indexu lomu) musí platit (n — l)2 k2 n0 = l n0 = l n + ik .2 4e-5adj h Obrázek 12.6: Propustnost absorbující destičky. Úkoly 1. Naměřte spektrální závislost propustnosti řady destiček téhož materiálu s různými tloušťkami. 2. Pomocí vztahu (12.23) ve zlogaritmované podobě ověřte, zda platí Lambertův zákon a určete absorpční koeficient dané látky za předpokladu, že nebereme v úvahu odrazy na rozhraních. 3. Pomocí vztahu (12.28) proveďte opravu předchozího odhadu s tím, že rigorózně uvažujeme odrazy na jednotlivých rozhraních. Oproti předchozímu případu použijte lineární regrese (můžete ověřit i výše uvedené tvrzení, že hodnota reflektivity p resp. ln(l — p)) je pro uvažované hodnoty vln. délek přibližně konstantní). Pozn.: Pokud vámi použitý program nebo výpočet neurčuje také nejistotu koeficientů lineární regrese, můžete jako odhad „kvality" proložení vypočíst hodnotu koeficientu a pro např. první 3 a poslední 3 měření a nejistotu řádově stanovit jako polovinu rozdílu 2 vypočtených hodnot. Užití v praxi: Spektroskopické metody jsou v průmyslové praxi velmi často využívané. Ve viditelné a blízké infračervené oblasti se často používají k určování tlouštěk tenkých vrstev deponovaných nebo rostených během výroby elektronických součástek planární technologií. Omezíme-li se pouze na tento obor průmyslové praxe, měřením spektrální závislosti odrazivosti se určují tloušťky např. neabsorbujících oxidů nebo vrstev polykrystalického křemíku na monokrystalickém křemíkovém substrátu. V infračervené oblasti se odrazivosti využívá k měření tloušťky slabě legovaných epitaxních vrstev na silně legovaném substrátu. Měření spektrální závislosti propustnosti v infračervené oblasti se využívá k určování obsahu intersticiálního kyslíku a substitučního uhlíku v slabě legovaných křemíkových deskách, které mají v této oblasti pouze lokalizované absorpční pásy. Z poklesu intenzity světla během průchodu (pro konkrétní vlnovou délku) a tloušťky desky lze určit koncentraci těchto příměsí. Literatura [1] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006) [21 J. Kuběna: Úvod do optiky. Skripta MU Brno, 1994. [31 B. Sedlák, I. Stolí, Elektřina a magnetismus, Academia Praha (1993). 41 J. Brož a kol., Základy fyzikálních měření I, SPN Praha (1983) 5] J. Brož, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzikální a matematické tabulky. SNTL Praha, 1980. 61 A.Kučírková, K. Navrátil, Fyzikální měření I, SPN Praha 1986. 7] Z. Horák, Praktická fyzika, SNTL Praha 1958. ] P. Malý: Optika, Karolinum, Praha, 2008. 9] J. Perry, Proc. Phys. Soc. London 13, 227 (1894). 10] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley h Sons, Inc. (1998), kap. 5. 11] A. Singh, Y.N. Mohapatra, S. Kumar, Am. J. Phys. 70, 424 (2002). 12] D. Griffith, Introduction to electrodynamics, Prentice-Hall (1999) 13] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid state physics, Brooks/Cole (1976). 14] RA. Millikan, Phys. Rev. 7, 355 (1916) 15] H. Frank, V. Šnejdar, Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL, Praha (1976) 16] V. Petržilka, S. Šafrata, Elektřina a magnetismus, NCSAV Praha (1956). 17] V. Votruba, C. Muzikář, Teorie elektromagnetického pole, NCSAV Praha (1955). 18] A. Vašíček, Optika tenkých vrstev, NCSAV Praha 1956 19] H.E. Bennett, J.M. Bennett: Physics of Thin Films, Vol. 4. Academic 20] S.M. Sze: Physics of semiconductor devices, John Wiley and Sons Inc., New York (1981) 21] Fyzikální praktikum I - Optometrie, úloha č. 8 22] Dokumentace k tyristoru C106D je dostupná na webových stránkách výrobce On Semiconductor http: //www. onsemi. com/Power Solutions / par ametr ics. do?id=816 108 Príloha a: Statistické zpracování měření 5mm Návody pro statistické zpracování měření byly podrobně probrány v předmětu F2180 Fyzikální praktikum 1. Zde se proto omezíme pouze na připomenutí základních vztahů. Statistický odhad přímo měřené fyzikální veličiny Předpokládejme, že naměříme sadu ./V hodnot {x±,x2, ■ ■ ■ ,xj^}, pak odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr x 1 N (A.l) i=l Směrodatná odchylka s se vypočte podle vztahu N N 1 N -Z i=l Odhad nejistoty na hladině spolehlivosti P je (A.2) (A.3) kde íp,iv-i je Studentův koeficient pro hladinu spolehlivosti P a počet stupňů volnosti v = N — 1. Intervalový odhad, ve kterém leží měřená hodnota s pravděpodobností P, je A = tpN-l—ř=, VN (x ± A) X ±tpN- (A.4) Statistické odhady nepřímo měřené veličiny Hodnota nepřímo měřené fyzikální veličiny y je dána funkcí jedné či několika přímo měřených veličin; obecně pro funkci n veličin platí y — f(xi, x2, • • •, xn ). Mějme pro i-tou veličinu odhad střední hodnoty x i a nejistoty Aj, pak odhad veličiny y je dán vztahem y = f{x1,x2 ,..., jjn) (A.5) a odhad její nejistoty Ay podle zákona přenosu nejistot A, \ \ dxi A\ + df_ dx2 A1 + -..+ df x2. dXr A2 (A.6) 109 110 Statistické zpracování měření Počet stupňů volnosti v Hladina spolehlivosti P 0,50 0,6827 0,90 0,9545 0,98 0,99 0,9973 1 1,000 1,838 6,314 13,968 31,821 63,657 235,784 2 0,816 1,321 2,920 4,527 6,965 9,925 19,206 3 0,765 1,197 2,353 3,307 4,541 5,841 9,219 4 0,741 1,142 2,132 2,869 3,747 4,604 6,620 5 0,727 1,111 2,015 2,649 3,365 4,032 5,507 6 0,718 1,091 1,943 2,517 3,143 3,707 4,904 7 0,711 1,077 1,895 2,429 2,998 3,500 4,530 8 0,706 1,067 1,860 2,366 2,896 3,355 4,277 9 0,703 1,059 1,833 2,320 2,821 3,250 4,094 10 0,700 1,053 1,812 2,284 2,764 3,169 3,957 11 0,697 1,048 1,796 2,255 2,718 3,106 3,850 12 0,696 1,043 1,782 2,231 2,681 3,055 3,764 13 0,694 1,040 1,771 2,212 2,650 3,012 3,694 14 0,692 1,037 1,761 2,195 2,625 2,977 3,636 15 0,691 1,034 1,753 2,181 2,603 2,947 3,586 16 0,690 1,032 1,746 2,169 2,584 2,921 3,544 17 0,689 1,030 1,740 2,158 2,567 2,898 3,507 18 0,688 1,029 1,734 2,149 2,552 2,878 3,475 19 0,688 1,027 1,729 2,141 2,540 2,861 3,447 20 0,687 1,026 1,725 2,133 2,528 2,845 3,422 25 0,684 1,020 1,708 2,105 2,485 2,787 3,330 30 0,683 1,017 1,697 2,087 2,457 2,750 3,270 40 0,681 1,013 1,684 2,064 2,423 2,704 3,199 50 0,679 1,010 1,676 2,051 2,403 2,678 3,157 100 0,677 1,005 1,660 2,025 2,364 2,626 3,077 oo 0,675 1,000 1,645 2,000 2,326 2,576 3,000 Tabulka A.l: Tabulka Studentových koeficientů tpy Poznámka Předchozí vztahy jsou odvozeny za mnoha předpokladů; mezi jinými jsou to předpoklady, že náhodné odchylky naměřených hodnot splňují Gaussovo rozdělení, jednotlivé naměřené hodnoty jsou statisticky nezávislé a podobně. Také v těchto vztazích nejsou zahrnuty další možné vlivy, jako odchylky měřicích přístrojů, či nevhodné metody zpracování. Tento návod je třeba brát pouze jako pomocný seznam několika potřebných vztahů. Pro detailnější rozbor odkazujeme na literaturu, která je dostupná v hojném počtu i v českém jazyce. Literatura [1] Pánek Petr, Úvod do fyzikálních měření, MU Brno 2001. [2] Humlíček Josef, Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984. [3] Meloun Milan, Militký Jiří, Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994. [4] Kučírková Assja, Navrátil Karel, Fyzikální měření - I., Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1986. 111 Príloha B Návod k použití osciloskopu Úvod V mnoha úlohách Fyzikálního praktika 2 i jinde se používá osciloskop k měření časově závislých signálů. Osciloskopy jsou analogové nebo digitální; klasický analogový osciloskop pracuje s CRT obrazovkou, kdy se elektronový svazek vychyluje přivedeným napětím, zatímco digitální osciloskop převádí analogový vstupní signál do digitální podoby a s ním pak dále pracuje. Jiné dělení je možné podle počtu vstupních signálů (kanálů), které je možné současně měřit. Nejběžnější jsou jednokanálové a dvoukanálové osciloskopy, vyrábí se však i vícekanálové. V tomto návodu popíšeme základy práce na analogovém dvoukanálovém osciloskopu. Základní funkce a ovládání jiných typů osciloskopů jsou prakticky stejné; digitální osciloskopy umožňují komplexnější práci s naměřenými daty, případně jejich uložení na externí datové medium. Tento návod obsahuje popis nejdůležitějších funkcí a základního ovládání běžných osciloskopů, kompletní popis všech funkcí poskytuje manuál výrobce toho kterého přístroje. Základní ovládací prvky osciloskopu Dva typické analogové dvoukanálové osciloskopy jsou zobrazeny na obrázcích B.l a B.2. Tyto Obrázek B.l: Osciloskop MCP CQ5640. Čísla označují umístění ovládacích prvků zmíněných v textu. obrázky představují příklady umístění ovládacích prvků, skutečné umístění a přesné označení ovládacích prvků různých osciloskopů se může mírně lišit od označení zmíněných v textu. Naprostá většina dvoukanálových osciloskopů umožňuje funkce a má ovládací prvky zmíněné v tomto obecném návodu. 112 B Návod k použití osciloskopu 113 Základní ovládací prvky jsou hlavní vypínač (1), ostření stopy (obvyklé značení FOCUS) a nastavení intensity světelné stopy (2 - INTENSITY). Tato nastavení není obvykle třeba upravovat, špatné zaostření se projeví rozmazáním měřených křivek. Intensitu nastavujeme tak, aby byly měřené křivky dostatečně jasné, ale aby naopak nedocházelo ke zbytečnému „vypalování" obrazovky. Přivedení signálu Obvyklým vstupem osciloskopu je BNC konektor pro připojení koaxiálního kabelu (11). Pro měření nízkofrekvenčních signálů můžeme na BNC konektor připojit redukci na banánky jako na obrázku B.l. Jeden ze vstupních kontaktů obou konektorů bývá uzemněn (vnější kontakt BNC konektoru) a pokud je některý z kontaktů v obvodu také uzemněn, je třeba propojit uzemněné kontakty navzájem. Zejména je třeba mít tento fakt na paměti při měření dvou různých signálů z jednoho obvodu a připojit společný kontakt k zemněným kontaktům. Nepropojíme-li správně zemněné kontakty, můžeme v obvodu způsobit zkrat. Ovládání časové základny Základním prvkem je přepínač rozsahu časové osy (3 - TIME/DIV). Nastavený čas pak odpovídá jednomu dílku na obrazovce osciloskopu (obvykle odpovídá 1 cm). Časovou základnu je také možné spojitě měnit knoflíkem (4 - VARIABLE), chceme-li odečítat absolutní časovou hodnotu je nutno tento knoflík otočit do kalibrované polohy označené CAL. nebo CALIB. - obvykle krajní poloha vpravo. Další je otočný knoflík pro posun křivky vlevo či vpravo (5 - ^POSITION). Ovládání napěťové základny Každý z kanálů má vlastní ovládací prvky zřetelně oddělené, ale identické. Základem je opět přepínač rozsahů (6 - VOLTS/DIV), a spojitý měnič rozsahů (8 - VARIABLE). Podobně jako u časové základny pak napětí uvedené na přepínači odpovídá jednomu dílku na obrazovce osciloskopu, pouze pokud je knoflík spojité změny rozsahu v kalibrované poloze (obvykle krajní poloha vpravo). Posun křivky nahoru a dolů nezávisle pro každý kanál je možno knoflíkem (7 -^tPOSITION). Druhý kanál má obvykle k dispozici tlačítko pro zobrazení převráceného signálu (10 - INVERT nebo CH2 INV). Pro vybírání zobrazeného signálu slouží přepínač (9), který umožňuje vybrat zobrazení signálu z prvního nebo druhého kanálu, či obou současně nebo součtu signálů z obou vstupů. Pro zobrazení jejich rozdílu se použije zobrazení součtu vstupu prvního kanálu a invertovaného vstupu na druhém kanálu. Při sčítání nebo odečítání signálů je třeba dbát na nastavení stejného rozsahu na obou vstupech. Většina osciloskopů dále obsahuje přepínač, kterým můžeme odstranit stejnosměrnou složku, pokud pro nás není zajímavá. Tento přepínač bývá označen DC/AC/GROUND. V poloze AC Obrázek B.2: Osciloskop Hung chang 3502C. Čísla označují umístění ovládacích prvků zmíněných v textu. Knoflíky 4 a 8 jsou umístěny ve středu přepínačů 3 a 6. 114 Návod k použití osciloskopu Obrázek B.3: Odečítání z obrazovky osciloskopu v X-Y režimu. Oba kanály jsou přepnuty na rozsah 20mV/dílek. Vodorovná vzdálenost odpovídá 20 mV, svislá 46 mV. (alternating current - střídavý proud) je ke vstupu připojen kondenzátor, který odfiltruje stejnosměrnou složku. V poloze DC (direct current - stejnosměrný proud) je vstup přímo zobrazován včetně stejnosměrné složky. Pro odečítání absolutní hodnoty stejnosměrné složky je třeba porovnat s nulovou hladinou, pro tento účel můžeme použít polohu GROUND, kdy je vstup osciloskopu uzemněn. Zobrazení v X-Y režimu Gasto se používá také zobrazení napětí na druhém vstupu jako funkce napětí na prvním vstupu, tzv. X-Y režim. Používá se například pro zobrazení volt-ampérových charakteristik nelineárních prvků, kdy jako veličinu úměrnou proudu přivádíme napětí na sériově připojeném rezistoru, nebo hysterezní smyčky v úloze 5. Pro přepnutí do X-Y režimu slouží buď zvláštní přepínač, nebo se často objevuje jako krajní poloha přepínače časové škály (3), jako v případě obou zobrazených osciloskopů. Škálu na vodorovné ose pak ovládáme ovladači pro první kanál (6, 7, 8), ovladače časové základny (4, 5) nemají na zobrazení žádný vliv. Odečítání z osciloskopu Před zahájením odečítání na osciloskopu musíme nejprve nastavit ovladače napěťových a časových rozsahů do kalibrované polohy (ovladače 4 a 8). Opomeneme-li nastavit kalibrované polohy, odečítáme pak naprosto nesmyslné hodnoty! Další postup je pak už přímočarý - pro snazší odečítání si můžeme posunout křivky nahoru, dolů či do stran tak, aby se nám snadno odečítaly vzdálenosti pomocí zobrazené sítě. Jednomu dílku zobrazené sítě odpovídá nastavený rozsah přepínačem (přepínač časové základny 3, či napěťového rozsahu 6). Jeden dílek odpovídá obvykle lem, proto můžeme alternativně použít k odečítání pravítko. Měříme-li v X-Y režimu, pak se rozsah i na vodorovné ose přepíná napěťovým přepínačem prvního kanálu (6). Příklad odečítání z obrazovky v X-Y režimu je na obrázku B.3. Některé osciloskopy (převážně digitální) umožňují odečítání pomocí pohyblivých kurzorů, použití kurzoru je pak intuitivní, nastavíme si kurzory vzdálenost, kterou chceme měřit, a odečteme odpovídající číselnou hodnotu časového intervalu nebo napětí na obrazovce. Synchronizace Další funkce osciloskopů je nastavení synchronizace nebo také spouštěcího signálu (12 - TRIG-GER). Při zobrazení periodického signálu je vhodné, aby se opakovaný průběh zobrazoval stále do stejného místa. Jinak je pozorování stále se měnících křivek velmi nepohodlné a při vyšších frekvencích nemožné. K tomu slouží mechanismus synchronizace, který začne zobrazovat křivku B Návod k použití osciloskopu 115 v krajní levé poloze obrazovky vždy ve stejném nastaveném bodě. Toto nastavení vychází z předpokladu, že měřené napětí periodicky klesá a stoupá. V nastavení synchronizace je možné vybrat, zdali má zobrazení začít ve stoupající či klesající části průběhu a dále pak nastavit při dosažení jakého napětí má zobrazení začít. Dále je možné vybrat, který vstupní kanál se má pro synchronizaci použít, případně je možně k synchronizaci využít externí signál, pro který bývá vyveden zvláštní konektor (13). K synchronizaci je třeba použít signál, který má dostatečnou amplitudu vzhledem k šumu v obvodu. Pokud má přiváděný signál příliš malou napěťovou amplitudu (srovnatelnou se šumem), bývá dosažení správné synchronizace velmi obtížné.