vysokých škol technických. ureomce pro elektrotechnické fakulty Teoretické základy mikrovlnné techniky Prof. Ing. Václav Tysl, DrSc. doc. Ing. Vladimír Růžička, CSc. Praha 1989 SNTL — Nakladatelství technické literatury Kniha seznamuje čtenáře s teoretickými základy mikrovlnné techniky zahrnujícími Obsah zejména mikrovlnná vedení, rezonanční obvody, reciproční a nereciproční mikrovlnné obvody a základní měřicí metody používané v mikrovlnné oblasti. Kniha je celostátní vysokoškolskou učebnicí pro studenty elektrotechmckych fakult studijního oboru rádioelektronika, mohou ji však využit všichni inženýrští pracovnici, kten se zabývají mikrovlnnou technikou. M7K-TK Brno PŘEDMLUVA Lektoři: prof. Ing. Gojko Lončar, CSc. prof. Ing. Vladimír Mikula, CSc. Redakce elektrotechnické literatury Hlavní redaktor Ing. Josef Říha Odpovědný redaktor Ing. Milan Dufek, CSc. © Prof. Ing. Václav Ty* DrSc.. doc. Ing. Vladimír Růžička. CSc., 1989 ISBN «0-0340141-2 SEZNAM SYMBOLU 1. Ovod do problematiky velmi vysokých frekvencí (V. Tys 1).......... 17 1.1. Obvody se soustředěnými a rozloženými parametry............. 17 1.2. Základní rovnice elektromagnetického pole................. 18 1.2.1, Druhy prostředí............................ 19 1.2.2. Elektrická a magnetická polarizace.................... 21 J.3. Řešení Maxwellových rovnic....................... 22 1.3.1. Vektorový a skalární potenciál...................... 23 1.3.2. Hertzovy vektory............................ 27 1.3.3. Elektromagnetická pole příčná a podélná ................. 33 Literatura ke kapitole 1.............................. 34 2. Mikrovlnná vedení obecného příčného průřezu (V. Tysl)........... 35 2.1. Charakteristické případy řešení vlnové rovníce............... 36 2.2. Vlnovody s vlnami TM a TE....................... 42 2.2.1. Okrajové podmínky na plášti vlnovodu.................. 42 2.2.2. Charakteristická impedance vlnovodu................... 44 2.2.3. Výkon přenášený vlnovodem....................... 46 2.2.4. Rychlost Siření energie ve vlnovodu.................... 50 2.2.5. Geometrická představa o šíření elektromagnetické vlny ve vlnovodu...... 5,2 2.3. Vlnovod s konečnou vodivosti pláště................... 55 2.3.1. Charakteristická impedance vodice, pomerný vysokofrekvenční odpor..... 56 2.3.2. Pomerný útlum vlnovodu při šířeni vln.................. 60 2.4. Vliv ztrátového dielektrika na přenosové vlastnosti vlnovodu......... 66 2.5. Vedení s vlnou příčné elektricko-magnetickou (TEM)............ 68 2.5.1. Parametry vedení............................ 68 2.5.2. Výkon přenáSený vedením s vlnou příčné elektricko-magnetickou....... 72 2.5.3. Pomerný útlum vedení s vlnou příční elektricko-magnetickou......... 73 2.6. Dvouvodičové vedení s rozloženými parametry L0, C0, R<>, Ga........ 74 2.6.1. Telegrafní Tovnice vedeni ........................ 75 2.6.2. Impedanční poméry na vedení...................... 77 2.6.3. Transformace impedance na vedení.................... 78 2.6.4. Činitel odrazu na vedení......................... 78 2.7. Vlastnosti vlnovodu při úhlové frekvenci nižší než kritické.......... 80 Literatura ke kapitole 2.............................. 85 3. Mikrovlnná vedení nejčastěji používaná v technické praxi (V. Tysl)...... 86 3.1. Vlnovod obdélníkového průřezu a jeho vlastnosti.............. 86 3.1.1. Vlny příčné magnetické (TM, E) ve vlnovodu obdélníkového průřezu..... 87 27. --let). TO 2629979233 3.1.2. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.3. 3.3.1. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Vlny příčně elektrické (TE, H) ve vlnovodu obdélníkového průřezu Vlnovod kruhového průřezu a jeho vlastnosti.......... Vlny příční magnetické (TM, Ej ve vlnovodu kruhového průřezu Vlny příčně elektrické (TE, H) ve vlnovodu kruhového průřezu . . Koaxiální (souosé) vedeni.................. Vlnovodové vidy v koaxiálním vedení............. Deskové vedeni se středním vodičem ............. Dvoudrátové vedení..................... Symetrické páskové vedení.................. Nesymetrické páskové vedení................. Literatura ke kapitole 3......................... 4. Nehomogenní vedení {V. Tysl)................. 4.1. Podélně spojité nehomogenní vedení.............. 4.1.1. Vedení s exponenciální zménou impedance.......... . 4.2. Podélně nehomogenní vedení sc stupňovou změnou impedance . 4.2.1. Vedení se stupňovou /měnou impedance podle binomického rozložení 4.3. Příčně nehomogermí vedení .................. 4.3.1. Vlnovod obdélníkového průřezu s vloženou dielektrickou deskou . . 4.3.2. Metoda příčné rezonance .................. 4.4. Radiální vedení........................ Literatura ke kapitole 4......... .................... 5. Dielektrické vlnovody (V. Tysl) . . ........... 5.1. Zpomalení elektromagnetické vlny .................. 5.1. !. Šíření elektromagnetické vlny podél zpomalujícího prostředí......... 5.2. Šíření elektromagnetické vlny podél neohraničené dielektrické desky...... 5.2.1. Šíření vlny TM podél dielektrické desky.................. 5.2.2. Šíření vlny TE podél dielektrické desky ... ............ 5.2.3. Rozklad elektromagnetického pole na rovinné vlny............. 5 3. Šíření elektromagnetické vlny podel neohraničené dielektrické vrstvy umístěné na vodivé podložce ... ....................... 5.4, ' Šíření elektromagnetické vlny podél dielektrického válec -.......... 5.4.1. Mezní případy šíření vlny podél dielektrického válce............ 5.4.2. Vlny HE,„„ a EH», v dielekďickém válci................. 5.4.3. Vlny HEn v dieleklrickém válci.................... 5.4.4. Vlny TNV a TEo* v dielcktriekčm válci.................. 5.4.5. Grafická interpretace vidů Síření v dielcktrickém válci ........... 5.5. Šířeni vlny podél vodiče potaženého dielektrickou vrstvou.......... Literatura ke kapitole 5............... Periodické struktury (V. Růžička)...... Obecné zákonitosti v periodických strukturách Pomalé elektromagnetické vlny...... Povrchové vlny ... . Prostorově harmonické Šíření vln podél periodických struktur Šroubo v ico ve vede n i.......... llřebinkově vedeni........... d. 6.1. 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.2. 6.2.1 6 2.2 89 97 99 104 111 115 121 126 131 139 142 143 i 43 144 145 146 147 148 152 154 159 160 160 161 163 163 165 168 172 172 177 179 ISO 181 1X1 182 IK5 lbů 186 186 18« 189 191 !91 m Literatura ke kapitole 6........... 7 Mikrovlnné rezonanční obvody (V. Tysl) 199 200 7.1. 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.1.4. 7.1.5. 7.2. 7.3. 7.4. 7.4.1. 7.4.2. 7.5. 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6. 7.6 1 7.6.2 7.6.3. 7.8. 7.9. Rezonanční obvody s vlnami TEM.................... 201 Rezonálor vytvořený z úseku vedení na jednom konci otevřeného a na druhém konci uzavřeného nakrátko........................ 201 Rezonátor vytvořený z úseku vedení na obou koncích uzavřeného nakrátko . . 202 Rezonátor vytvořený z úseku vedení na obou koncích otevřeného....... 204 Rezonátor vytvořený z úseku vedení nakrátko a soustředěné kapacity .... 205 Rezonátor vytvořený z úseku vedení naprázdno a soustředěné kapacity . . . . 206 Činitel jakosti rezonančního obvodu.................... 207 Dutinové rezonátory, obecné vlastnosti..... ............ 209 Dutinové rezonátory vlnovodového typu.................. 211 Rezonátor s vlnou příčně magnetickou (TM, E)............... 212 Rezonátor s vlnou příčně elektrickou (TE, H)................ 217 Rezonátory vlnovodového typu s kruhovým průřezem............ 221 Diagram vidů rezonátoru s kruhovým průřezem .............. 221 Elektromagnetické pole vidů TM.,, ve vlnovodovém rezonátoru s kruhovým průřezem ............................... 223 Elektromagnetické pole vidů TEm„„ ve vlnovodovém rezOnátOTu s kruhovým průřezem ............................... 225 Činitel jakosti vlnovodových rezonátoru kruhového průřezu s vidy TM„„„ . . . 226 Činitel jakosti vlnovodových rezonátoru kruhového průřezu s vidy TE„»,..... 227 Vlnovodový rezonátor kruhového průřezu s videm TE0i„.......... 229 Rezonátory vlnovodového typu s obdélníkovým průřezem.......... 234 Diagram vidů vlnovodového rezonátoru s obdélníkovým průřezem...... 234 Elektromagnetické pole vidů TE,,,, ve vlnovodovém rezonátoru s obdélníkovým průřezem ............................. Činitel jakosti vlnovodových rezonátoru obdélníkového průřezu s vidy TE.,„r Otevřené rezonátory......................... Dielektrické rezonátory...................... Feritové rezonátory........................ Literatura ke kapitole 7.............. S. Nc^pojitosti na vedeních (V. Růžička) . . . 8.1. Ciony ve vlnovodu .... ...... 8.1.!. Indukční clona v obdélníkovém vlnovodu . 8.1.2. Kapacitní clona v obdélníkovém vlnovodu . 8.1.3. Indukční clona v kruhovém vlnovodu . 8.1.4. Kapacitní clona v kruhovém vlnovodu . , . 8.1.5. Rezonanční okénko........... H.2 Přizpůsobovací rezonanční kolík vc vlnovodu 235 236 237 242 245 246 247 7.49 250 257 257 258 258 260 Literatura kc kapitole S..............................261 !'. Reciproční mikrovlné obvody (V. Růžička)..... 9.1. Maticový popis mikrovlnných lineárních mnohobranů 9.1.1. Mikrovlnný dvojpól............... 9.1.2. Imitanční matice mikrovlnného obvodu ...... 9.1.3. Vlastnosti imiiančních matic......... 9.1.4. Rozptylová matice............... 9.15. Vlastnosti rozptylové matice........... 9.1 6. Vlnová přenosová matice........... 9.2. Prostorová symetrie mikrovlnných obvodů..... 9.2 1. Matematická formulace symetrických transformací 9.2.2. Reflexní grttpa operátorů symetrie........ 262 263 263 265 267 269 272 274 277 277 280 0 7 9.3. Analýza vlastnosti mikrovlnných mnohobranů...............281 9.3.1. Mikrovlnný dvoj bran - tlustá clona ve vlnovodu..............282 9.3.2. Mikrovlnný trojbran ..........................288 9.3.3. Mikrovlnné čtyřbrany..........................291 9.3.4. Kruhová polarizace v mikrovlnných obvodech...............305 9.3.5. Kruhové polarizátory..........................308 9.3.6. , Rozptylová matice knihového polarizátoru.................309 9.3.7. Kruhoví polarizované magnetické pole v obdélníkovém vlnovodu s vlnou TEm 311 9.4. Analýza mikrovlnných obvodů metodou orientovaných grafů.........313 9.4.1. Definice základních pojmů a jejich grafické interpretace...........313 9.4.2. Jednoduché úpravy orientovaných grafů..................315 9.4.3. Určováni hledaných veličin........................316 9.4.4. Řešení mikrovlnných obvodů metodou grafů................318 Literatura ke kapitole 9..............................320 10. Mikrovlnné nereciproční obvody (V. Růžička)...............321 10.1. Obecní vlastnosti nerecipročních mikrovlnných obvodů...........321 10.1.1. Složení a struktura feritů.........................321* 10.1 2. Rozdělení obvodů s ferity........................322 10.2. Gyromagnetické jevy ve feritech .....................323 10.2.1. Feromagnetická rezonance........................323 10.2.2. Vynucené kmity magnetizace.......................32Í 10.3. Šířeni vln v gyrotropnirn prostředí ....................330 10.3.1. Faradayůvjev.............................332 10.3.2. Dvojlom a příčná feromagnetická rezonance................333 10.4. Praktické využití gyromagnetických jevů..................335 10.4.J. Obvody s podélně magnetovaným feritem.................335 10.4.2. Obvody s příčně magnetovaným feritem..................337 Literatura ke kapitole 10.............................340 11. Mikrovlnné integrované obvody (V. Růžička)................341 11.1. Monolitické mikrovlnné integrované obvody.....:..........341 11.2. Hybridní mikrovlnné integrované obvody.................343 11.3. Mikrovlnné integrované obvody s rozloženými parametry..........344 11.3.1. Nesymetrické mikropáskové vedeni....................345 11.3.2. Štěrbinové vedení............................350 11.3.3. Koplanánií vedení...........................352 11.3.4. Porovnáni vlastnosti páskových vedeni...................353 11.3.5. " Vázaná vedení.............................354 11.3.6. Mikropáskové vedení na feritovém substrátu................355 11.3.7. Buzení mikropáskových vedení......................357 11.3.8. Nespojitosti v mikropáskových vedeních..................360 11.4. Mikrovlnné obvody a součástky v mikropáskovém provedeni.........361 114-1. Mikropáskové rezonátory........................362 11.4.2. Reciproční mnohobrany v mikropáskovém provedeni............364 11.4.3. Nereciproční obvody v mikropáskovém provedení.............. 367 • 11.5.- Mikrovlnné integrované obvody se soustředěnými parametry.........371 11.5.1. Pasivní součástky pro mikrovlnné integrované obvody se soustředěnými parametry ................................^372 11.5.2. Některá praktická provedeni mikrovlnných integrovaných obvodů se soustředěnými parametry.............................376 Literatura ke kapitole 11...........,.................378 12. Úvod do měření při velmi vysokých frekvencích (V. Tysl)...........379 12.1. Stojaté vlny na vedeni..........................379 12.1.1. Experimentální určeni činitele stojatých vln.........'........383 12.2. Kruhový impedanční diagram......................384 12.2.1. Zobrazeni konstantních reálných složek impedance.............385 12.2.2. Zobrazeni konstantních reaktancí.....................386 12.2.3. Zobrazení komplexní roviny přenosu...................387 12.2.4. Zobrazení činitele odrazu a činitele stojatých vln..............389 12.2.5. Zobrazeni konstantní fáze a konstantní absolutní hodnoty impedance.....391 12.3. Příklady použití kruhového impedančního diagramu.............394 12.3.1. Transformace impedance podél vedeni...................394 12.3.2. Určení zakončovacf impedance......................399 12.3.3. Přizpůsobování impedancí........................400 12.4. Měření impedanci............................402 12.4.1. Určení impedance z průběhu stojatých vln na vedení............403 12.4.2. Určení impedance pomocí můstkového T.................406 12.5. Určeni prvků náhradního obvodu mikrovlnného čtyřpólu..........408 12.6. Měření činitele jakosti rezonančních obvodů................412 12.6.1. Určení činitele jakosti'rezonanciiiho obvodu impedanční metodou.......413 12.6.2. Určení činitele jakosti z výkonu odraženého od rezonančního obvodu.....419 12.7. Měření výkonu.............................420 12.7.1. Bolometrické metody měření výkonu...................421 12.7.2. Kalorimetrické metody měřeni výkonu....................422 Literatura ke kapitole 12.............................424 Matematická příloha...............................425 A. Vektorový počet............................... 425 B. Besselovy funkce............................... 433 C. Lineární algebra ............................... 437 D. Schwarzovo — Christoffelovo zobrazení...................... 442 E. Střední hustota toku výkonu.......................... 443 F. Ortogonální vlastnosti vlastních funkci vlnovodu................. 445 G. Rovnice kružnice v komplexním tvaru...................... 445 H. Silové čáry elektrického a magnetického pole................... 446 Rejstřík.....................................448 8 9 Předmluva Označení velmi vysoké frekvence se v průběhu let vžilo pro elektromagnetické frekvenční spektrum 1 až 1 000 G Hz (tj. 109 až 1012 Hz), hranice však nebývají zcela ostré a často se kladou do oblasti 300 M Hz až 3 000 G Hz. Tomuto spektru frekvencí příslušejí vlnové délky 30 cm až 0,3 mm. Často se proto setkáme i s rozdělením tohoto spektra podle vlnových délek, takže sem patří vlny decimetrové, centimetrové, milimetrové a submilimetrové. Protože vyšší částí frekvenčního spektra příslušejí velmi krátké vlnové délky, používá se pro tuto oblast název mikrovlny. Rozvoj mikrovlnné techniky začal ke konci druhé světové války a byl úíce vázán na vývoj radiolokačních zařízení. Bylo to dáno tím, že velmi krátké elektromagnetické vlny lze soustředit pomocí relativně malých antén tí o velmi úzkého svazku, což zlepšuje rozlišovací schopnost radiolokátorů. Šířka svazku elektromagnetické viny vyzařované z antény je nepřímo úměrná poměru Dik, kde D je průměr antény a /. je vlnová délka. Například pro dosažení svazku šířky 2; je potřebný průměr antény D x 30/.. Tomu při frekvenci / = 10 GHz odpovídá průměr antény 1 m. při frekvenci / = 100 GHz průměr antény 10 cm, zatímco při frekvenci/ = 100 M Hz by byl průměr antény D = J0O m. Možnost soustředění elektromagnetických vln do úzkých svazků a velká šířka frekvenčního spektra předurčila mikrovlny k využití v tzv. směrových spojích. Zde se používají pro telekomunikační a radiokomunikační Ľičely (dálnopis, rozhlas, televize, telefonní spojení), a to nejen při spojení mezi pozemními stanicemi, ale i v družicových přenosech. Existence absorpčních jevů při Siření elektromagnetických vln určitých frekvencí daly podnět k rozvoji nového vědního odvětví, tzv. mikrovlnné spektroskopie plynú, par i pevných látek. Její pomocí bylo možné určit nejen absorpční frekvence nejrúznějších látek, a tím i jejich meziatomové vzdálenosti, ale našla uplatnění jako pracovni metoda v mnoha vědních oborech. Jednou z aplikací byio sestrojení tzv. kvantových etalonů frekvence využívajících např. par cesia (f = 9 192,631 M Hz) nebo atomárního vodíku {/= 1 420,405 MHz). Velmi významnou aplikací, využívající poznatků mikrovlnné spektroskopie, byla konstrukce tzv. mikrovlnných kvantových zesilovačů (maseru), na něž navázal vývoj kvantových generátorů viditelného, popř. infračerveného záření (laserů). Velmi citlivé mikrovlnné přijímače se používají v radioastroiiomii k detekci elektromagnetického záření vyzařovaného kosmickými objekty i k detekci záření vyzařovaného planetami naší sluneční soustavy. Tyto tzv. rr.diometry (umístěné na kosmických sondách) umožňují určit i povrchovou teplotu těchto těles. Pomocí mikrovlnných radiometrů je však možné snímat i rozložení teplot na povrchu Země a z něj usuzovat o výskytu vody, o vlastnostech sněhové pokrývky, o stavu vegetace, o znečištění oceánů apod. Významnou technickou aplikací mikrovlnné techniky jc mikrovlnný ohřev. Mikrovlnná zařízení se používají nejen k průmyslovému ohřevu a vysoušení nejrúznějších látek, ale i k ohřevu jídel ať již v restauračních zařízeních nebo v domácnostech. Jsou však možné ještě další aplikace. Mikrovlny se používají v mikrovlnných urychlovačích nabitých částic, k měření vlhkostí tuhých i sypkých látek, k měření rychlosti, ve zdravotnictví k lokální hypertermii aíd. Pro celou tuto oblast frekvencí je charakteristické použití obvodů s rozloženými parametry. K přenosu energie se používají různé druhy vedení, přičemž v nižší frekvenční oblasti převažují souosá (koaxiální) vedení, ve vyšší frekvenční oblasti pak tzv. vlnovody, vytvořené z kovových trubek různého průřezu (nejčastěji obdélníkového nebo kruhového). Elektromagnetické vlny se však mohou šířit i podél dielektrických vedení. Využití těchto vedení je zvlášf významné při frekvencích ještě vyšších, tj. v infračervené a viditelné oblasti frekvenčního spektra, kde bývají tato vedení označována jako planární, popř, vláknové světlo vody. Mikrovlnné rezonanční obvody se též liší od obvodů používaných při nižších frekvencích, V pásmu decimetrových vln se indukčnost obvykle nevytváří cívkou, ale úsekem vedení (nejčastěji zakončeným nakrátko), kapacita bývá ještě vytvořena kondenzátore m, V pásmech ceníimetrových a milimetrových vln se většinou používají tzv. dutinové rezonátory, pro pásmo vln submilimetrových je charakteristické použití tzv. otevřených rezonátorů. Rezonanční obvody je však možné realizovat i jinými způsoby. Zejména v mikrovlnné integrované technice nalézají pro své malé rozměry velké uplatnění dielektrické a feritové rezonátory. Vývoj mikrovlnné techniky, směřující k integraci dílčích obvodů i systémů, vede k tomu, že se ke konstrukci používají takové druhy vedení a rezonátorů, které integraci z technologického hlediska umožňují. Jsou to zejména obvody v mikropáskovém provedení. Obsah léto knihy je náplní studia dvousemestrálního předmětu na elektrotechnických fakultách studijního oboru radiotechnika a tvoří základ, na kterém by mel budoucí inženýr — radiotechnik stavět. Studenti, kteří se později specializují na mikrovlnnou techniku, mají možnosf rozšířit své znalosti studiem dalších specializovaných předmětů, jako jsou např. mikrovlnná integrovaná technika a základy optických komunikací. K úspěšnému osvojení látky účinně napomáhá řešení praktických problémů a proto předpokládáme, že na fakultách budou vydány .soubory řešených příkladů formou učebních textů. Jejich zařazení do učebnice by vyžadovalo pqdstatné zvětšení rozsahu. Za podnětné připomínky k textu, popř. k úpravě rukopisu jsme zavázáni jak oběma lektorům, prof. Ing. Vladimíru Mikulovi, CSc, a prof. Ing. Gojko 10 11 LonČarovi, CSc, tak i svým spolupracovníkům, Ing. Josefu Punčochářovi a doc. Ing. Jiřímu Svačinoví, CSc, z katedry rádioelektroniky FE VUT Brno a prof. Ing. Jaroslavovi Vokurkovi, DrSc., a doc. Ing. Jánu Zehentnerovj, CSc., z katedry elektromagnetického pole FEL ČVUT Praha. NáS dik patří rovněž odpovědnému redaktorovi Ing. Milanu Dufkovi, CSc, za mnoho věcných připo-jninek k rukopisu učebnice. Autoři Seznam symbolů A vektorový potenciál magnetického pole a vektorový potenciál elektrického pole a sloupcový vektor vlny vstupující do n-branu a(í) í-tý vlastní vektor a, b rozměry vlnovodu obdélníkového průřezu B vektor magnetické indukce S, b normovaná susceptance b sloupcový vektor vlny vystupující z n-branu C konstanta, kapacita, vazba c0 kapacita na jednotku délky c rychlost světla ve vakuu, c = l/Vr*o*o D vektor elektrické indukce D odbočný útlum d hloubka vniku vf proudu E vektor intenzity elektrického pole E velikost vektoru £ j£t velikost příčné složky vektoru B i"t velikost tečné složky vektoru E F operátor reflexe / frekvence /. mezní frekvence Go vodivost na jednotku délky g součinitel Síření H vektor intenzity magnetického pole H velikost vektoru H Hr velikost příčné složky vektoru H velikost tečné složky vektoru H h Planckova konstanta Laméovy koeficienty 1 operátor identity / izolace směrové odbočnice /(z) proud jako funkce souřadnice z normovaný proud v y-tém rameni i sloupcový vektor proudu m modifikovaná Besselova funkce 12 13 J Ur) j L l M M m NB(r) ft P P /■ R Ä0 r S s T T, t t ({") U n(z) M*) u u( 14 vektor magnetické polarizace, J = B - /j0H; vektor hustoty proudu Besselova funkce 1. druhu, w-tého řádu imaginárni jednotka modifikovaná Besselova funkce (MacDonaldova) vlnové číslo indukčnost, vložný útlum, perioda struktury indukčnost na jednotku délky délka vedení vektor magnetizace, M = J//i0 norma vlastní funkce vlnovodu magnetický moment magnetický moment spinu Besselova funkce 2. druhu, řj-tého řádu (Neumannova) jednotkový vektor ve směru normály vektor elektrické polarizace, P = D - e0E operátor inverze výkon ztrátový výkon činitel stojaté vlny činitel jakosti operátor rotace vysokofrekvenční odpor vodiče odpor na jednotku délky rozměry souosého vedeni normovaný odpor plocha, směrovost normovaná rozptylová matice prvek matice s obrysová křivka vlnovodu nenormovaná přenosová matice příčná funkce vlnovodu podélná funkce vlnovodu normovaná přenosová matice jednotkový vektor ve směru tečny přenos mezi j-tým a k-xým uzlem přenos smyčky n-tého řádu napětí normované napětí jako funkce souřadnice z normované napětí v j-tém rameni sloupcový vektor napětí (normovaného) objem, skalární potenciál rychlost fázová rychlost 11 i íl I W X X, x Y y0 y Ju y(z) z Z, z0 z z(z) (t , z válcové souřadnice r, — = 2k — Z toho je zřejmé, že okamžitá hodnota signálu nebude závislá na geometrických rozměrech obvodu pouze tehdy, jsou-li rozměry obvodu mnohem menší, než je vlnová délka, tj. je-li / 4 L V takovém případě považujeme členy obvodu za součástky s nulovou délkou, soustředěné v jednotlivých bodech, takže hovoříme o obvodu se soustředěnými parametry. Jestliže jsou rozměry porovnatelné s vlnovou délkou, tj. je-li / » X nebo / > A, je třeba při výpočtech brát v úvahu i rozměry součástek. Jejich parametry nejsou soustředěny v jednom místě, ale jsou spojitě rozloženy po celém objemu. V takovém případě hovoříme o obvodech s rozloženými parametry. I když obvody s rozloženými parametry jsou typické v technice velmi vysokých frekvencí, nelze říci, že se v této oblasti obvody se soustředěnými parametry nepoužívají. Moderní technologie výroby mikroelektronických obvodů umožňuje miniaturizací rozměrů realizovat i v mikrovlnné oblasti obvody se soustředěnými parametry, přičemž podmínka / <í X je zachována. 1.2. ZÁKLADNÍ ROVNICE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE V makroskopické elektrodynamice je možné vyjádřit vlastnosti elektromagnetického pole při obecné časové závislosti Maxwellovými rovnicemi r01 ~dt + divD = fl (1.1) rot E = —r-; div B = 0 ct Pro elektromagnetické pole ve vakuu platí vztahy D = «0£; B = p0H kde 107 b0 = —-r = 8,854 188 . 10 ~12 (F.m-1) 471 . c fi0 = 4ir. l(T7 = 1,256 637. 10'6 ) kde tg 5 = cjmť je činitel ztrát v daném dielektrickém prostředí. V obecném případě má komplexní charakter i permeabilita, kterou vyjadřujeme výrazem ŕ* = fi' - in' popř. i vodivost <7 = a' ■ Parametry prostředí se mohou měnit i v závislosti na frekvenci, tj. prostředí může vykazovat frekvenční disperzi. Příčina této disperze je' v tom, že hodnoty D a B nejsou určeny pouze okamžitými hodnotami E & H v určitém okamžiku, ale i jejich hodnotami v předcházejících časových intervalech. Fyzikální smysl závislosti e na frekvenci je zřejmý v mezním případě, kdy co -* oo, neboť při extrémně rychle se měnících polích nemůže vzniknout žádná změna v polarizaci dielektrika ae,-» 1. 1.2.2. Elektrická a magnetická polarizace Elektrickou polarizací nazýváme vektorovou veličinu P, která udává, jak se liší elektrická indukce v daném prostředí od elektrické indukce ve vakuu při téže intenzitě elektrického pole. Platí tedy P = O — c0E neboli P = 60E(er - 1) (1.3) Podobně pro magnetickou polarizaci J platí J = B - n0H (1.4) neboli J = fhH(jit - 1) Poznámka: Místo magnetické polarizace J se často používá magnetizace M, pro kterou platí vztah M - -B - H Vo (1.5) neboli J no V izotropních prostředích mají vektory P a ] souhlasný směr s vektory E a D, popř. H a B, a bývá zvykem psát P = box'*; 1 = ihxTH (1.6) popr. kde x" a j;m jsou elektrická a magnetická susceptibilita. Z uvedených vztahů vyplývá / = «r - i; je" = v, - i (1.7) V anizotropních prostředcích jsou susceptibility tenzorové veličiny. 20 21 V případě, že prostředí s parametry ,u a e je buzeno vlivy nezávislými na řešeném elektromagnetickém poli, můžeme vyjádřit celkovou polarizaci součtem dvou členů, z nichž jeden je na řešeném elektromagnetickém poli závislý, zatímco druhý je na tomto poli nezávislý. Platí tedy P = e0/E + P„ kde Pv„ je vnucená elektrická polarizace, Jn je vnucená magnetická polarizace. Rovnice (1.14) a (1.15) jsou vlnové rovnice, z nichž lze v konkrétních případech (při znalostech okrajových podmínek) určit složky vektorů intenzit elektrického a magnetického pole. Protože k určení všech složek musíme pracovat se šesti neznámými, což je nepohodlné (např. v kartézském souřadnicovém systému mohou být složky Ex, E,,EZ, Hx, Hy, Hz), zavádějí se tzv. elektromagnetické potenciály, jejichž pomocí se určeni složek vektorů intenzit elektrického a magnetického pole zjednodušuje. 1.3.1. Vektorový a skalární potenciál 1.3. ŘEŠENÍ MAXWELLOVÝCH ROVNIC Předpokládejme elektromagnetické pole bez nábojů v bezeztrátovém dielektriku při obecném časovém průběhu. Vzhledem k tomu, že e = 0, a = 0, lze psát Maxwellovy rovnice ve tvaru rotH=¥ cB rotE=-er div D = 0 div B = 0 D = eE B = iiH Provedeme-li rotaci rovnice (1.8), lze psát d rot rot H = -=- e rot t ot takže za použití rovnice (1.9) dostaneme vztah d2H rot rot H = —fit —-r-dt2 Vzhledem k tomu, že platí rot rot H = grad div H - AH dostaneme po úpravě rovnici Podobně bychom dostali AE - ns—4- = 0 dt2 (1.8) (1.9) 0.10) (1.11) (112) (1.13) (i.14) (1.15) Vzhledem k tomu, že vždy platí div B = 0 můžeme položit B = rot A 0.16) (neboť div rot A = 0). Veličinu A budeme nazývat vektorovým potenciálem. Dosadíme-li vztah B = rot A do Maxwellovy rovnice (1.9), dostaneme rovnici rot Tato rovnice je splněna např. tehdy, položíme-1 i ^ č>A E + -z— = — grad

je libovolná skalární funkce, tzv. skalární potenciál. Je tedy zřejmé, že veličiny B a £ lze určit z průběhu potenciálů A a tp. Jestliže do Maxwellovy rovnice t u ÔD dE rot H = —- = e-x-dt dt dosadíme vztah (1.16) ve tvaru H = —rot A lze psát 1 , cE — rot rot A = e -ti dt Intenzitu elektrického pole E lze vyjádřit podle (1.17) vztahem takže E - -grad p - — dE d d~A Čt2 22 23 Za použití uvedených vztahů dostaneme d2A neboli 1 ô -rot rot A = ——- grád tp-- ( d J ô2A\ grád div A — AA = - (ie \ grad

\ n Á

- /te — ■■- - 0 dŕ (1.20) (1.21) (1.22) Vztah (1.20) je tzv, Lorentzova nebo kalibrační podmínka. Z potenciálů A a kde y> je libovolná skalární funkce, vyhovující vlnové rovnici. Z Lorentzovy podmínky vyplývá dtp div A + ite-= 0 St neboli div A' + /ie —--h &y> = 0 St (kde jsme použili vyjádřeni div grad y = Ay). Protože funkce y vyhovuje vlnové rovnici Ay-/*É—r = 0 můžeme psát div A' + fie ■ ■ ■ ■ 4- fie--0 St ct1 nebol i popr. kde div A' 4- ,iiE dt (*+í)=° &ip' div A' + ue-= 0 dt "Š'i" Vektory intenzity magnetického a elektrického pole H a £ určíme z rovnic 1 H . -—rot A E = — ^grad

jdr, dostaneme po úpravě rovnici AV-fulJĹ + JL diva + ^ — j = 0 (1.26) dt2 dt \ St J Splníme-li v rovnicích (1.25) a (1.26) (vzhledem k možnosti volby potenciálů) vztah diva + íie— = 0 (1.27) ôt dostaneme rovnice Áa — ftt- dt1 = o d2

, které vyhovují vlnovým rovnicím (1.28) a (1.29) a které splňují Lorentzovu podmínku, lze odvodit vektorové veličiny H a £ elektromagnetického pole podle vztahů (1.23) a (1.24). 1.3.2. Hertzovy vektory Předpokládejme, že určité prostředí s parametry p0 a e0 je vybuzeno vlivy nezávislými na řešeném elektromagnetickém poli, a to v obecném případě vnucenou elektrickou polarizací Pvn a vnucenou magnetickou polarizací Jtn. Tyto vnucené polarizace mohou být vyvolány elektrickými a magnetickými dipólovými momenty, neboť polarizace můžeme vyjádřit jako objemové hustoty dipólových momentů p _ fyo^. i _ „ dmo rĽ„ — ... , Jvn — Ha • dV ' dV fcde po Je elektrický dipólový moment, m0 magnetický dipólový moment. Podle vztahů uvedených v odst. 1.2.2. lze psát (pro prostředí s parametry u0 a e0) D = EoE + Pín (1.30) B - tt0H + la (1.31) 27 jsou-ll vouivosl prosLrcui a uusiwia vuiiicuu uauujc nuiuvc, iix yaai jvioAYvtuvvj rovnice ve tvaru divB=0 vt rotE=—divD = 0 tit takže za použití vztahů (1.30) a (1.31) dostaneme T Ě°<>, = St (1.32) div H = —— divjvll /'o (1.33) rotE + ^0 et = -gp (1.34) div£ = —— divPv„ (1.35) Elektrický Hertzův vektor Předpokládejme nejprve /,„ = 0 a Pyn # 0. V takovém případě podle vztahů (1.32) až (1.35) platí (1.36) rotH-£o_-^- div H = 0 _ č H rotE + /io-gp = 0 div E = —— divPY1 (1.37) (1.38) <1.39) Vyjádříme-!i veličiny B a £ pomocí potenciálů A a

- takže rovnici (1.50) můžeme napsat ve tvaru _d_ . . dza dt __rotroto - — íi0grad

")•) K úplnému řešení elektromagnetického pole (tj. k určení všech složek intezity elektrického pole E a intenzity magnetického pole H) není třeba znát všechny složky Hertzových vektorů JI™ nebo JJ', ale stačí znát pouze průběh dvou složek Hertzova vektoru 7Jm nebo /íe příp. jednu složku vektoru IT" a jednu lľ. To vyplývá přímo z rovnic (1.62) a (1.63), uvážíme-li, že při rozepsání rot II a grad div 17 do složek, např. v pravoúhlých souřadnicích, platí'' rot JJ = x d 3x y dy z čí ~ \ry dT) + y\dz dx) + z\dx dy ) grad div JI = x + —~ + -ä— I + ox \ ox cy C2 f + Y vy \ dx + dy + dz ) dz\dx + dy + 8z } Ze složkového vyjádřeni rot JI je zřejmé, že k získání nenulových příspěvků do všech tří souřadnic, je třeba znát alespoň dvě složky Hertzova vektoru. Zavedeme-li Hertzovy vektory tak, aby měly pouze podélné složky (složky ve směru osy z) Iľ = (0, 0,/TJz); íT = (0.0, J7mz) dostaneme vztahy, které umožňují vyjádřit charakteristické vlastnosti vedení bez ohledu na použitou souřadnicovou soustavu. Rovnice (1.62) a (1.63) lze pak psát ve tvaru (pro prostředí s parametry e) E = k2Wz + grad div II* - jcúfi rot II™ (I.62a) H = jft>£ rot lil + k2TIf + grad div /I™ (1.63a) Rozdělíme-li pravé strany rovnic (1.62) a (1.63) na části závislé na Hertzově elektrickém vektoru a na části závislé na Hertzově magnetickém vektoru, lze psát E = Ei + E2 H = Hl + H2 kde Et = k2Iľz + grad div R\ (1.64) H, = jcoerotll' (1.65) E2 = -jcw/í rot ilsm (1.66) H2 = k2II™ + grad div IIm (1.67) Z těchto rovnic je zřejmé, že elektromagnetické pole označené indexem 1 nemá složku intenzity magnetického pole ve směru osy z, magnetické pole má pouze příčné složky. Toto elektromagnetické pole bývá proto označováno jako přiíně neboli transverzálně magnetické, zkráceně TM. Elektromagnetické pole označené indexem 2 nemá složku intenzity elektrického pole ve směru osy z, elektrické pole má pouze příčné složky. Toto elektromagnetické pole bývá označováno jako příčně neboli transverzálně elektrické, zkráceně TE1). Vzhledem k tomu, že elektromagnetické pole TM má v podélném směru pouze složku iyy/i = 0), bývá někdy označováno jako elektromagnetické pole typu E. Podobně elektromagnetické pole TE má ve směru podélném pouze složku Hz (£2 = = 0 za předpokladu dokonale vodivých stěn vlnovodu) a bývá někdy označováno jako elektromagnetické pole typu H. Úplné řešení elektromagnetického pole je dáno superpozicí pole TM a TE. Použijeme-li k určení elektromagnetického pole některé z příčných složek Hertzových vektorů, není možné rozdělit elektromagnetické pole na pole příčně elektrické a příčně magnetické. V takovém případě dostaneme pomocí Hertzova elektrického vektoru pole podélně (longitudinálně) magnetické, které označujeme LM a pomoc! ') Nemá-ti vlnovod dokonale vodivé stěny, může u vin TE existovat malá složka intenzity elektrického pole ve směru osy z, vyvoláni podélně procházejícím povrchovým proudem na plášti vlnovodu (víz dále). 32 33 Hertzova magnetického vektoru dostaneme pole podélně (tongiludinálne) elektrické, která označujeme LE. Podélné magnetické pole (LM) může mít obecně všechny .složky intenzity elektrického pole, magnetické pole bude mít složku podélnou a jednu složku příčnou (druhá příčná složka vždy chybí). Podélně elektrické pole (LE) může mít obecné všechny složky intenzity magnetického pole, elektrické pole bude mít složku podélnou a jednu složku příčnou (druhá příčná složka vždy chybí). Úplné řešení elektromagnetického pole je opět dáno superpozicí polí LM a LE. U hladkých vlnovodů vyplněných homogenním dielektrikem je výhodnější, jak již bylo řečeno, použít k určení elektromagnetického pole podélné složky Hertzo-vých vektorů. Použití příčných složek Hertzových vektorů k určení elektromagnetického pole je výhodné při řešení vlnovodů, popř. dutinových rezonátorú částečně vyplněných dielektrikem nebo při řešení vlnovodů se složitější geometrickou strukturou. V takových případech umožňuje jejich zavedení splnit okrajové podmínky na rozhraní. Literatura ke kapitole ! [1] Kvasil, B.: Theoretieké základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957. [2] Votruba, V.-Muzikář, Č.: Theorie eiektromagnetického pole. Praha, NČSAV 1955. [3] Strattoa, J. A.: Teorie elektromagnetického pole (překlad z angl.). Praha, SNTL 1961. 14] Hanka, L.: Teorie elektromagnetického pole. Praha, SNTL 1982. 15} Vajnštejn Ĺ. A.: Elektromagnitnyje volny. Moskva, Rádio i svjaz 1988. 2. Mikrovlnná vedení obecného příčného průřezu V mikrovlnné technice se používají k přenosu elektromagnetických vln různé druhy vedeni. Především to jsou vedení vytvořená dvěma, popř. i více vodiři.^ Průřez jednotlivých vodičů může mít obecně libovolný tvar, v praxi se však nejvíce používají vedení dvouvodilová s vodiči kruhového průřezu, s vodiči souosými nebo s vodiči ve tvaru pásků (obr. 2.1). fflh /TTv E2ZZ2ZZZZZZZZZZJ dvoiiwdilW vedeni páskové wdeni nesymetrické Gzzz obdélníkový vlnovod páskové yeijerti symetrické sauose vedeni kruhový vlnovod dielektrický vlnovod vodia s dielektrickou vrstvou Obr, 2.1. Nejpoužívanéjšl typy mikrovlnných vedeni Všechna tato vedení mohou přenášet energii ve velmi' Širokém frekvenčním rozsahu. Protože však jejich příčné rozměry (popř. vzájemná vzdálenost vodičů) musí být podstatně menši, než je vlnová délka přenášené elektromagnetické vlny, jsou tato vedení používána spíše v nižší frekvenční oblasti mikrovlnného pásma. 34 35 Výjimku tvoří mikropásková vedení, která jsou velmi vhodná i pro výrobu miniaturních mikrovlnných integrovaných obvodů. Další skupinu tvoří vedeni, nazývaná vlnovody, u nichž je elektromagnetická vlna vedena uvnitř kovové trubice určitého průřezu. Příčný průřez těchto vlnovodů může být libovolný, z praktických důvodů se však nejčastěji používají trubice s průřezem obdélníkovým nebo kruhovým (obr. 2.1). Charakteristickou vlastností vlnovodů je, že se jimi elektromagnetické vlny mohou siřit teprve od určité frekvence. Kromě vlnovodů tvořených kovovou trubicí je možné použít k přenosu elektromagnetické vlny tzv. dielektrické vlnovody, tvořené nízkoztrátovým dielektrikem nejčastěji kruhového nebo obdélníkového průřezu. Dielektrické vlnovody našly největší uplatnění zejména v infračervené a viditelné oblasti frekvečního spektra jako vláknové a planárni vlnovody. K přenosu elektromagnetické vlny lze použít i další typy vedení, např, vodiče potažené dielektrickou vrstvou, dielektrické trubice i holý drát. Pro speciální účely (např. při konstrukci některých typů mikrovlnných elektronek, urychlovačů elementárních částic apod.) se používají vedení s tzv. periodickými strukturami. 2.1. CHARAKTERISTICKÉ PŘÍPADY ŘEŠENÍ VLNOVÉ ROVNICE Při teoretickém řešení přenosových vlastností a geometrického uspořádání elektromagnetického pole vyjdeme vždy z řešení Maxwell o vých rovnic při respektování okrajových podmínek daných fyzikální představou. Z rovnic (1.45) a (1.57) vyplývá, že Hertzovy vektory vyhovují jistým vlnovým rovnicím. Předpokládejme nadále část prostoru, ve kterém je elektromagnetické pole bez zdrojů. V takovém případě budeme řešit místo nehomogenních rovnic (1.45) a (1.57) rovnice homogenní, tj, při harmonickém časovém průběhu rovnice A/ľ + k2Iľ = 0 A/7m + fc2i7m = 0 (2.1) (2.2) Zvolme Hertzovy vektory tak, aby měly pouze podélné složky. V takovém případě je možné vyjádřit celkové elektromagnetické pole jako superpozici pole příčně magnetického a pole příčně elektrického (viz odst. 1.3.3). Zavedeme-li tedy vztahy JT = (0, 0,/JJz) nm = (o, o, ir?z) platí pro složky Hertzových vektorů J7^ a TI), vlnové rovnice A/7' + k2ni = 0 A/7™ + ťn'?^ 0 Předpokládejme, že složky Hertzových vektorů IT, a 77™ lze vyjádřit součinem dvou funkcí. Vynecháme-li prozatím horní indexy rozlišující druh Hertzových vektorů, lze psát 77, = 7^ (2.3) kde Tt je funkcí příčných obecných souřadnic, T2 funkcí podélné souřadnice z. Vlnovou rovnici pro Hertzův vektor pak můžeme psát ve tvaru A(r,T2) + k2TtT2 = 0 neboli ■* T2 AT, + T1 AT2 + 2 (grad Tt . grad T2) + k2TiT2 = 0 Vzhledem k tomu, že vektory grad 7\ a grad T2 jsou vzájemně kolmé, je jejich skalární součin nulový a tuto rovnici lze upravit do tvaru (2.4) Rovnice (2.4) bude splněna tehdy, budou-li výrazy ATJTi a AT2jT2 rovny konstantám, neboť vlnové číslo k je konstantní. Pro další řešení je výhodné zvolit tyto konstanty takto T, ' T2 ~7 takže platí Ar, + r1Tx = 0 d2T; dz 2 - y2T2 = 0 (2.5) (2.6) (nebof T2 je funkcí pouze podélné souřadnice a operátor A se redukuje na d2fdzz). Rovnici (2.4) lze tedy vyjádřit vztahem (2.7) popr. 7 = + Vr2 - k2 (2.8) Řešení dílčí vlnové rovnice (2.5) bude závislé na průřezu vedení. Aby řešení bylo jednoznačné, je třeba k této rovnici přidat okrajovou podmínku pro funkci 7\. Přitom vyjdeme z fyzikální představy, že na dokonale vodivém povrchu vedení musí být každá tečná složka intenzity elektrického pole rovna nule. Řešením této rovnice s přihlédnutím k okrajové podmínce určíme vlastní funkci průřezu vedení 7*, a konstantu průřezu ľ (vlastní hodnotu r). Rovnice (2.6) má řešeni T2 = C, efI + C2 e"* (2.9) kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. 36 37 Je zřejmé, že funkce T2 udává charakter elektromagnetického pole ve směru podélné souřadnice z. Kvalitativní roli pro určení charakteru elektromagnetického pole má konstanta y, kterou budeme nazývat součinitel přenosu nebo součinitel šíření (konstanta přenosu). Je-li veličina y reálná, má elektromagnetické pole ve směru osy z monotónní (exponenciální) průběh — nenastává šíření vlny ve směru 2. Aby se po vedeni šířila elektromagnetická vlna, musí mít elektromagnetické pole ve směru z periodický charakter, takže veličina y musí být imaginární nebo komplexní (u ztrátového vedení). Zaveďme pro šířící se vlnu komplexní součinitel šíření ve tvaru y = P + ja (2.10) kde (i je poměrný útlum (konstanta útlumu), a poměrný posun (fázová konstanta šíření). Pro bezeztrátové vedeni je vždy ŕ = o takže y = ja Vztahy (2.7) a (2.8) lze potom vyjádřit ve tvaru k2 = T2 + a2 ' (2.11) (2.12) = + Vfe2 - F2 Velikost konstant k a F (popř. jejich vzájemný vztah) má vliv na charakter elektromagnetického pole. V praxi mohou nastat tyto případy: Případ 1. k> ľ, tj. 2njX > ľ neboli ct> J/ie > ľ Podle (2.8) platí y = ± Vr* - k2 - ± j V*2 ~ r2 = ± j« a tedy T2 = d e*1 + C2 e_J" (2.13) Elektromagnetické pole má ve směru osy z periodický charakter, ve směru osy 2 se šíří elektromagnetická vlna (přesněji dvě vlny, jejichž smysl šíření je opačný). Případ 2, k < ľ, tj. 2nfX < ľ neboli cd ^/íe < r Konstanta y je Číslo reálné, neboť platí y = ±v/r2 - k2 a tedy T2 = Ct e" + C2 e-" (2.14) Elektromagnetické pole má ve směru osy z exponenciální průběh, nenastává šířeni elektromagnetické vlny. Z obecného řešeni (2.14) budeme zpravidla brát v úvahu pouze druhý člen, nebof pro z -* 00 je T2 ~* 0. Případ i. k = T, tj. 2njX = ľ neboli (ú^JJie = ľ Toto je mezní stav mezi oběma předcházejícími. Při určité mezní úhlové frekvenci m = -7=-= kde «„, je mezní úhlová frekvence vedení. Lze tedy psát popř. (2.15) (2.16) Dosadíme-li tyto vztahy do výrazu (2.12) pro poměrný posun a, lze psát popř. kde jsme dosadili za vlnové Číslo k výrazy k = ct>v//iĚ - 2s/A a zavedli jsme označení v = Xm; o A Vl - v2- Skupinová rychlost šířeníl) »,k = -r- = —=Vl - _ dft) _ c Délka vlny na vedení ') ^ v^a / Vi - v2 neboli /v" 1: vVřer Vl - v1 / ví*ä ^ ') kde e = l/vŕiofio je rychlost světla ve vakuu takže T2 = C\ eJ" + C2 e-"* (2.17) Ze vztahů (2.15) a (2.16) vyplývá, že toto vedení nemá mezní frekvenci, a že se tedy po nem může šířit elektromagnetická vlna při jakékoliv ftekvenci. Vlnová rovnice (2.5) pro funkci Tí se redukuje na Laplaceovu rovnici AT, = 0 (2.18) která je charakteristická pro řešení dvourozměrných elektrostatických problémů. Povrch vedení při souřadnici z - konst musí být v jistém časovém okamžiku na konstantním potenciálu. Z uvedeného výkladu je zřejmé, že kovová mikrovlnná vedení mohou být v podstate dvojího druhu. Jsou to jednak vedení, v jejichž průřezu jsou dva nebo více vodičů a u nichž může být ľ = 0, dále vedení, jejichž průřez je ohraničen uzavřenou obrysovou křivkou libovolného tvaru, u nichž ľ 0. Vlastnosti elektromagnetických vln, šířících se po těchto vedeních, jsou uvedeny ve stručném přehledu v tab. 1. Je zřejmé, že vedení, kde platí ľ ^ 0, tj. u tzv, vlnovodů, jsou rychlosti šíření (fázová i skupinová) funkcemi frekvence. Tato disperzní vlastnost vlnovodu je tím výraznější, čím více se frekvence elektromagnetické vlny blíží mezní frekvenci vlnovodu. Fázová rychlost siření je u vlnovodu se vzduchovým dielektrikem vždy včtší než rychlost světla, skupinová rychlost je vždy menší. Z porovnání vztahů určujících fázovou a skupinovou rychlost ve vedení vyplývá, že platí 1 V,VA = c (2.19) takže pro vzduchové dielektrikum je «*U = c2 (2.20) i Průběh změny fázové a skupinové rychlosti šířeni v závislosti na frekvenci je znázorněn na obr. 2.2. -3 0 1 G, l 0 5 7 0,6 0, 9 . — — v N Sk \ \ 0,6 05 0,4 0,3 0/i Obr. 2.2, Rychlosti Siřeni ve vlnovodu 40 41 2.2. VLNOVODY S VLNAMI TM A TE Jak již bylo řečeno, pod označením vlnovod rozumíme kovovou trubici libovolného průřezu, přičemž předpokládáme, že se elektromagnetická vlna Síří uvnitř vlnovodu ve směru jeho osy. Použijeme-li k vyjádření elektromagnetického pole uvnitř vlnovodu Hertzovy vektory Tľ a nm, a to takové, že platí tľ = /7^z, [ľ1 = 77™z, je možné vyjádřit celkové pole jako superpozici polí TM a TE. U kovových vlnovodů mohou existovat elektromagnetické vlny TM a TE nezávisle na sobě. Složky intenzity elektrického a magnetického pole uvnitř vlnovodu určíme z rovnic (1.64) až (1.67) za předpokladu bezeztrátového vlnovodu pro vlny TM pro vlny TE E = k2Iľx + grad divily E = -jco/i rot fľ™ H = jcoe rot n't H = k2n? + grad div il™ přičemž předpokládáme, že platí (bez ohledu na horní index e nebo m) n2 = nzz, nt = TiT2 Pro funkci T2 jsme našli řešení (za předpokladu, že se vlna vlnovodem šíří) T2 = C, c*™ + C2 e--1"1 Funkce 7\ vyhovuje rovnici + r2T1 = 0 jejíž řešení je závislé na průřezu daného vlnovodu. Aby řešeni předcházející rovnice bylo jednoznačné, přidáme k ní okrajovou podmínku, kterou vyjádříme na základě fyzikální představy, že na vnitřním povrchu dokonale vodivého vlnovodu musí být každá tečná složka intenzity elektrického pole Et rovna nule. Kdyby zde tečná složka intenzity elektrického pole nebyla nulová, vznikl by v plášti s nekonečně velkou vodivostí nekonečně velký proud. Pří aplikaci v praxi není sice plášť vlnovodu dokonale vodivý, ale jeho vodivost je tak velká, že tečná složka intenzity elektrického pole je zanedbatelná. Pouze v případech, kdy vyšetřujeme velikost ztrát ve stěnách vlnovodu, nelze předpokládat, že et = 0. 2.2.1. Okrajové podmínky na plášti vlnovodu Vlny příčně magnetické (TM, F.) Intenzitu elektrického pole ve vlnovodu můžeme určit vztahem £ = k2n'z + grad div n\ Předpokládejme tečnou složku intenzity elektrického pote ve směru osy z (obr. 2.3). V takovém případě platí ec = E . z = (fc2n; + grad div 17') . z Vzhledem k tomu, že platí div H = V . 17, = dn, dz můžeme psát nebolí "i 2 ní dz ez = (k% - a2) r,r, = r2r,r2 Obr. 2.3. Tečné složky intenzity elektrického pole u vln TM Na plášti vlnovodu je es = e, = 0 pro jakoukoliv souřadnici z. Je tedy zřejmé, že na plášti vlnovodu musí pro funkci Tl platit 7\ = 0 (2-21) K vlnové rovnici pro funkci 7"t r, + rzTt = 0 přísluší tedy u vln TM okrajová podmínka T, = 0 na plášti vlnovodu. Vlny příčně elektrické (TE, H) Intenzitu elektrického pole ve vlnovodu můžeme určit vztahem E = -jta/i rot II? Obr. 2.4. Tečná složka intenzity elektrického pole u vln TE Tečná složka intenzity elektrického pole u dokonale vodivého vlnovodu může být u vln TE pouze v rovině kolmé na osu vlnovodu, předpokládejme tedy tečnou složku ve směru obrysové křivky vlnovodu (obr. 2.4). V takovém případě platí neboli Es = E . $ = -jn (grad Jľf x z) . * = -jo// grad JJ™ . (z x ») 42 43 Vektorový součin z x s — n je vektor kolmý k oběma jednotkovým vektorům, takže je jednotkovým vektorem ve směru normály k povrchu vlnovodu. Piati tedy Í73m . S T, „ Na plášti vlnovodu musí být E, = E, = 0 pro jakoukoliv souřadnici z. Proto je zřejmé, že na plášti vlnovodu musí pro funkci 7\ platit Ôn - 0 (2.22) K vlnové rovnici ATj + r2Tt = 0 přísluší tedy u vln TE okrajová podmínka dTijdn = 0 na plášti vlnovodu. Řešením vlnových rovnic pro funkci 7^ s přihlédnutím k okrajovým podmínkám určime prostorové rozložení funkce 7\ a konstanty ľ u vln TM nebo TE. Budeme-li znát tyto veličiny, můžeme určit složky vektorů intenzity elektrického a magnetického pole, mezní vlnovou délku, rychlosti šíření a další důležité parametry vlnovodu. 2.2.2. Charakteristická impedance vlnovodu Charakteristickou impedancí vlnovodu budeme rozumět veličinu danou poměrem vzájemně kolmých příčných složek vektorů intenzity elektrického a magnetického pole u nekonečně dlouhého vlnovodu (tj. u vlnovodu, ve kterém existuje pouze postupná vlna). Jak poznáme dále, při některých praktických aplikacích bývá výhodnější zavést jinou definici impedance, která je dána poměrem napětí a proudu nä vedení a kterou budeme nazývat vlnovou impedancí. Vlny příčně magnetické U vln TM platí pro vektory intenzity elektrického a magnetického pole vztahy (1.64) a (1.65) E = k2U\ + grad div IJ\ H = jojE rot Il\ — jcoe(grad n\ x z) V obecné ortogonální soustavě s příčnými souřadnicemi u, v a s podélnou souřadnicí z lze vyjádřit jednotlivé příčné složky vektorů takto EAu) - ET . u = (grad div JT;) . u = ^*LÉ2*- Er(v) = £T. v = (grad div HJ) . v = h.ôv ôz 01* HT(u) = HT . u = jo>eT2 grad Tj . (r x u) = jím —f- T2 HT(v) = HT . v = jtt)eT2 grad Ti. (z x v) = -jtae -j—f - Ti 44 kde u, v, z jsou jednotkové vektory (u = ult v = u2, z = u3\ ha, h„ Laméovy koeficienty křivočarých souřadnic (viz přílohu A, přičemž platí ET = £T(w) u + ET(v) y Hr = Hjiú) u + HT(i>) v Charakteristickou impedanci vyjádříme jako poměr vzájemně kolmých příčných složek elektrického a magnetického pole, tj. Z(«, v) — Z(y, «) = dT2 ôz Hi(v) —jcueTj (2.23) ôz HT(u) jweT2 Skutečnost, že impedance Z(u, v) a Z{v, u) se liší znaménkem, je dána smyslem šíření elektromagnetické vlny — viz dále. Pro postupnou vlnu platí T1 = Ce±j" (znaménko v exponentu udává smysl šířící se vlny), takže dT2jdz = ±'}«T2 a pro charakteristickou impedanci dostaneme po úpravě Z = (2.24) Pro poměrný posun a jsme jíž dříve odvodili výraz ot = fcVl - v2, takže lze psát Z= £vn^= M-í- kde A je vlnová délka v prostředí s parametry p, e, /l„ vlnová délka na vedení s parametry prostředí p, e. (2.25) Pro vzduchové prostředí platí p & p0, e x e0 & výraz V/to/eo — 120« (íl) = 377 £1 nazýváme charakteristickou impedancí volného prostoru (přesněji charakteristickou impedanci vakua). Je zřejmé, že charakteristickä impedance vlnovodu se vzduchovým dielektrikem je pro vlny TM vždy menši než charakteristická impedance volného prostoru (vakua). Vlny přilne elektrické U vln TE platí pro intenzity elektrického a magnetického pole vztahy E = -yop rot /7™ = - jcu^(grad J7 "x z) H = k2n™ + grad div fl™ 45 jednotlivé příčné složky elektromagnetických polí můžeme vyjádřit analogicky jako u vln TM výrazy £T(«) = ET . u = - jci}/íT2(grad ľ,xí).u= -)mn Kdv ■T2 Er{v) — ET v = -jíů/íT2(grad Tj x z) . v = jcoft _ÔT\_ h, du ■ T, HT(u) = Hr.u Hr(v)=HT.y h„du 02 dTx dT2 hv dv dz Charakteristickou impedanci vyjádříme jako poměr vzájemně kolmých příčných složek intenzity elektrického a magnetického pole, neboli Z(u, v) = Z(v, u) = takže pro postupnou vlnu platí £T(u) -Í^T2 ÔT2 dz 3T2 (2.26) Dosadíme-li a = k Vl — v2, dostaneme po úpravě Z = V e = IP *v (2.27) (2.28) kde X je vlnová délka v prostředí s parametry fi, e, AT vlnová délka na vedení s parametry prostředí /í, s. Je zřejmé, že charakteristická impedance vlnovodu sé vzduchovým dielektrikem je pro vlny TE vždy vetší než charakteristická impedance volného prostoru. 2.2.3. Výkon přenášený vlnovodem Výkon přenášený vlnovodem určíme integrací Poyntingova vektoru v průřezu vlnovodu, takže lze psát (viz přílohu E) p=4-Reí(£xH*)-zůs 2 / s kde z je jednotkový vektor ve směru osy z, s průřez vlnovodu. (2.29) 46 Platí tedy P = ~ Re J Í[Et(«) « + £t(»)v] x [ffí(f)« + »]} * dS = = y Re [ [£T(u) ffT(i>) (u x v). z + £T(i>) Ä? (u) (v x u). z] dS = = I Re J [£T(u) H*(v) - Er(v) H*(u)} dS z s (2.30) Mezi příčnými složkami intenzit elektrického a magnetického pole a charakteristickou impedancí platí vztahy (2.23), popř. (2.26), takže P = 4" Re í [z("> ") fft(ľ) #T(t>) - Z(r, m) Í/T(w) ÍÍÍ(h)] dS Protože ve vztazích (2.23) a (2,26) platí Z(«, u) = -Z(t>, «), lze psát F = 4- Re J [Z(u, v) HT(v) H$(v) + Z(u, v) HT(u) Jíí(w)] dS neboli P = 4-Re[Z]ílflTl2dS (2.31) Z výrazu (2.30) dostaneme za použití vztahu (2.26) po úpravě neboli P = -2-Re[i]|'^|ídS (2.32) přičemž platí HT = 7jT(tt) u + ifT(») v ET = Ej(u) u + £T(ť) v Při praktických aplikacích je lhostejné, který ze vztahů (2.30) až (2.32) použijeme k určení přenášeného výkonu. Vlny příčně magnetické Intenzity E a H elektrického a magnetického pole můžeme vyjádřit u vln TM pomocí Hertzova elektrického vektoru s ohledem na vztahy (1.64) a (1.65) takto E = Jt2/J| + grad div TI] H — joe rot II] takže pro příčné složky intenzit elektrického a magnetického pole platí sr2 Er = (gradTt)- dz HT = jtoefgrad T, x z) T2 47 Vyjádříme-li přenášený výkon např. podle vztahu (2.31), tj. P=ÍRe[Z]||//T|2dS L s potom platí P = ~Zu?ČT2Tl \ | grad Tt \2 dS £ s U bezeztrátového vlnovodu pro postupnou vlnu platí T2 — € e~j", takže T\ = = C eJ" a výraz pro přenášený výkon můžeme psát ve tvaru P = ~ C2Zo>V J* I grad r, \2 áS 1 s Integrál v tomto vztahu lze vyjádřit jednodušším výrazem na základě následující úvahy. Jsou-li í", * skalární potenciální funkce, potom podle Greenovy věty platí fígradíP-grad^dK-t- f !PAí>dF = f W~áS v v j on kde V je objem uzavřený plochou S, d$jdn derivace skalárního potenciálu

) dS, dz + J V A* dS, dz = = ÍV^~dzds^ i^^-dsds + ÍW — dzds Při d2 -ť 0 je St -* S2, takže integrály přes plochu S1 a S2 se vyruSÍ a dostaneme dvourozměrný tvar Greenovy identity f (gradT "P . gradT *)dS + J y AT#dS = f ť-^ds popř. pro ¥* = # = 7\ f Igrad T, |2dS + J T, A Ti dS = § r, -™ds (2.33) kde 5 je průřez vlnovodu, s obrysová křivka průřezu vlnovodu. Funkce Tí vyhovuje vlnové rovnici ATl + riT1 = 0, takže t Art - -r'r, Na povrchu vlnovodu, tj. na obrysové křivce platí pio funkci 7\ u vln TM 7, = 0 a u vln TE flr,/9w = 0. Lze tedy na základě Greenovy věty psát J I grad T, |2 dS = ľ2 J rj dS (2.34) s s a rovnici pro určení přenášeného výkonu u bezeztrátového vlnovodu můžeme psát ve tvaru p = 4-Zft)Vc2Jr2Jr2ds 2 s popí. ta použití vztahu (2.24) p = lc2^-rI|T2ds 2. Z s Konstanta C má u vln TM rozměr V . m. (2.35) (2.36) Vlny příčně elektrické Intenzity E a H elektrického a magnetického pole je možné vyjádřit u vln TE pomocí Hertzova magnetického vektoru použitím rovnic (1.66) a (1.67) takto p = ~](ůnrotn" - -jío/í(grad Í7™ x i) H = fc2/I™ + grad div J7™ takže pio příčné složky intenzity elektrického a magnetického pole platí ET--jcoMgrad Ti x z) T2 3T, HT = (gradT1)- dz Vyjádříme-li přenášený výkon např. vztahem (2.32), tj. p=TRe[xLíiETi*ds potom u bezeztrátového vlnovodu platí P^-^r^TiTtW^dT^dS neboli po úpravě p = 4-^yc2!r-2rr2ds (2.37) 48 49 popř. za použiti vztahu (2.27) P = ~ C Vzr2 j T\ áS (2.38) 2 s Konstanta C má u vln TE rozměr A . m. 2.2.4. Rychlost šířeni energie ve vlnovodu Výkon přenášený vlnovodem, můžeme vyjádřit množstvím energie, která prochází průřezem vlnovodu za jednu sekundu, tj. P = WC1 Předpokládejme, že se úsekem vlnovodu jednotkové délky l = 1 m Šíří energie elektromagnetického pole vlny TM rychlostí v. Pro přenášený výkon platí (obr. 2.6) P = Wv kde W')t energie elektromagnetického pole v úseku vlnovodu s délkou l = lm. (J-m1), v rychlost Šíření energie elektromagnetického pole ve vlnovodu (m . s ') I i W 1 m Obr. 2.6. Rychlost šíření energie můžeme proto vyjádřit výrazem P K určení přenášeného výkonu zvolme vztah (2.31) (2.39) P = i-Re[Z] jl77T|2dS L s Energii elektromagnetického pole W určíme jako součet energii elektrického a magnetického pole, takže W= W,+ »rm=i-Ej£.e*dF + i-/iJH.H*dF 4 y 4 y Protože u vln TM má elektrické pole jak složky příčné, lak i složku podélnou, lze psát e = et + e, 50 takže platí e.e* = et.eÍ + ez.e;=|Et|2+|£i!í H.H* = Hr.H*=\HT\2 Intenzity elektrického a magnetického pole lze vyjádřit pomocí Hertzova vektoru vztahy e = J^/ľ^ grad div Ji: H = jíoe rot 77' = jft>e(grad 77' x z) kde 77* = T^, T2 = Ce"'K. Lze tedy psát et = (grad 7\) = -j«(grad r,) T2 e: = (k2 - a2) tj-2z = r2r,r22 HT = jcuefgrad Tí x z) T2 takže platí et .ej = x2C2|gradT, \2 ez . e* = r*c2Tl HT. H* = í(YC2 | grad T, \2 Po dosazení všech těchto výrazů do vztahu (2.39) dostaneme pro rychlost šíření energie ve vlnovodu výraz 4-«VCJZ í|gradT,|2dS v = i i i i ^ ííqjVC2 J j I grad T, |2 dS dz + 4 eT4C2 J J ľj dS dz + 4 os 4 0 s i • + xe«2C3í j|gradTi|2dSdz a po úpravě [s dosazením vztahu (2.34)] - 2ů>2£Z (o2fiE + a2 + r2 Vzhledem k tomu, že podle (2.11) platí T2 + a2 = k2 - (o2fi£ dostaneme Z 51 Liiaiíiiticrisiicxa impeaance vlnovodu pro vlnu příčně magnetickou je podle (2.25) takže rychlost šíření energie ve vlnovodu je Pro vzduchové prostředí, kde p x p0, e k s0 , je v = c \I 1 — v1 Z toho vyplývá, že se energie šíří ve vlnovodu rychlostí, která je vždy menší než rychlost světla. Z porovnání výrazů (2.40) a z tab. 1 je zřejmé, že rychlost šíření energie je shodná se skupinovou rychlostí. Pro vlny TE bychom dostali výraz shodný s (2.40). 2.2,5. Geometrická představa o Síření elektromagnetické vlny ve vlnovodu Předpokládejme dvě identické rovinné elektromagnetické vlny, Sířící se různými směry rychlostí světla c. Předpokládejme, že je elektromagnetické pole v určitém okamžiku orientováno podle obr 2.7, kde plné čáry označují maxima intenzity magnetického pole. Elektrické pole, které je kolmé k poli magnetickému, má maxima označena křížky, popř. tečkami. (Aby byl zachován směr přenosu energie, musí se pH změně orientace magnetického pole změnit i orientace elektrického pole.) Obr. 2.7. Dví rovinné vlny Šířící se různými smery Výsledné elektromagnetické pole, které získáme superpozicí obou vln, má uspořádání uvedené na obr. 2.8. Výsledné elektrické pole má maximální intenzitu v místech, kde elektrická pole obou dílčích vln mají shodnou orientaci; v místech, kde je orientace obou polí rozdílná, je výsledná intenzita elektrického pole nulová. Součtem magnetických polí obou dílčích vln vznikne magnetické pole s uzavřenými siločárami. Z obr 2.8 je zřejmé, že superpozicí dílčích rovinných vln vznikla elektromagnetická vlna, postupující ve směru osy symetrie směrů Síření obou dílčích vln. Magnetické pole této výsledné vlny má vzhledem k tomuto směru postupu složku příčnou i podélnou, elektrické pole je pouze příčné, takže vznikla vlna příčně elektrická. Dále je zřejmé, že existují roviny, ve kterých je výsledná intenzita elektrického pole nulová, přičemž silokřivky magnetického pole jsou k těmto rovinám tečné. Z toho vyplývá, že rozložení pole nebude narušeno, vložime-li do Obr. 2.8. Superpozice dvou rovinných vln těchto rovin nekonečně tenké, dokonale vodivé stěny. Protože tyto stěny mohou být stěnami vlnovodu, je zřejmé, že vznik příčně elektrických vln ve vlnovodu lze vysvětlit jako superpozici dvou dílčích rovinných vln, šířících se pod úhlem 0 vzhledem k ose vlnovodu a mnohonásobně se odrážejících od vodivých stěn. Ke vzniku složitějších vidů by bylo třeba superponovat dvě dvojice dílčích rovinných vln v rovinách vzájemně kolmých. Záměnou E za H na obr. 2.7. bychom mohli analogicky vysvětlit vznik vln příčně magnetických. *1 fy A2 Bj obr. 2.9. Budeme-li předpokládat, že dílčí rovinná vlna šířící se rychlostí světla postoupila za časový interval A/ o úsek ÄB (viz obr. 2.9), potom za týž časový interval postoupilo čelo elektromagnetické vlny ve směru osy vlnovodu skupinovou rychlostí o úsek Ä7b7= »skAt přičemž rovina konstantní fáze postoupí fázovou rychlostí o úsek A2B2 - dfAi 52 53 A,B! = AB cos & — c cos 0 At A2B2 = AB 1 c Aí cos 0 cos 0 neboli ysk — c cos 0 c t?r = cos 0 takže platí vAvt = c1 což je vztah totožný se vztahem (2.20), který jsme odvodili již dříve. Vzhledem k tomu, že podle (2.40) a (2.20) platí VT - v2 je zřejmé, že platí cos 0 = Vl — v2 kde v = XjÁm = &v/íd = /„//. Pro /-* /m je cos 0 -» 0, © -» ít/2, v,y <š c, v, c. Pro / P fm je cos 0 -*■ 1, 0 0, vsk -» c, i>f ~> c. Je vidět, že úhel, který svírá dílčí rovinná vlna s osou vlnovodu, je závislý na veličině v. Jestliže se frekvence přenášené vlny/blíží frekvenci fm, úhel 0 vzrůstá. Tím vzrůstá i fázová rychlost, skupinová rychlost naopak klesá. Při velkém poměru f\fm se úhel 0 blíží nule, rychlost fázová j skupinová se blíží rychlosti světla. Obr. 2.10. Trojúhelník "f rychlosti Lze tedy říci, že přenos energie vlnovodem se zprostředkuje rovinnou vlnou šířící se pod určitým úhlem k ose vlnovodu tak, že dochází k mnohonásobným odrazům od stěn vlnovodu. Průmět této rychlosti do osy vlnovodu udává rychlost šíření této energie ve směru osy vlnovodu (obr. 2.10"). 2,3. VLNOVOD S KONEČNOU VODIVOSTÍ PLÁŠTĚ Nedokonalá vodivost pláště vlnovodu způsobuje ztráty energie, takže každý vlnovod má jistou hodnotu útlumu. Kromě toho v důsledku konečné vodivosti není na plášti tečná složka intenzity elektrického pole nulová. Protože vodivost pláště kovových vlnovodů je velká, můžeme použít k vyjádření poměrů na rozhraní vodiče a dielektrického prostředí přibližné okrajové podmínky. Obr. 2.11. Šíření elektromagnetické vlny na rozhráni dvou prostřed! Pro nekonečné rovinné rozhráni platí podle Snellova zákona při šíření rovinné elektromagnetické vlny (obr. 2.11) k, sin &y = k2 sin 02 kde k j je vlnové Číslo v prostředí 1 (dielektrikum), k 2 vlnové číslo v prostředí 1 (vodič), 0! úhel dopadu rovinné elektromagnetické vlny v prostředí I, 02 úhel, který svírá směr šíření elektromagnetické vlny v prostředí 2 s normálou. Po úpravě dostaneme cos 0i Vzhledem k tomu, že platí k\ = bŕjis' (1 ~ jcr/wť), 'zě vto vodivé prostředí psát k\ « —jcofia pro cae platí cos 02 « 1 neboli &2 & 0 při jakémkoliv úhlu dopadu 0lt Směr rovinné elektromagnetické vlny, šiřicí se v prostředí 2 bude téměř totožný se směrem normály k hraniční rovině. Tečné složky intenzity elektrického a magnetického pole et a i/i na rozhraní obou prostředí jsou složkami příčnými vzhledem k vlně šířící se ve vodivém prostředí a jsou vzájemně kolmé. Z jejich poměru můžeme vypočítat charakteristickou impedanci vodivého prostředí z =A. kde Z„ je charakteristická impedance vodivého prostředí, e, tečná složka intenzity elektrického pole, Ht tečná složka intenzity magnetického pole. (2.41). 54 55 Vzhledem k tomu, že charakteristickou impedanci vodivého prostředí lze určit z jeho parametrů výpočtem (viz následující odstavec), můžeme vypočítat velikost tečné složky intenzity elektrického pole z velikosti tečné složky intenzity magnetického pole a z velikosti charakteristické impedance vodiče vztahem Et = Zv/Í, (2.42) 2.3.1. Charakteristická impedance vodiče, poměrný vysokofrekvenční odpor Z vodiče nekonečné tloušťky vyřízneme kvádr alřky t a délky / (obr. 2.12). Předpokládejme, že na rozhraní vodivého a dielektrického prostředí jsou tečné složky intenzity elektrického a magnetického pole Ez, Hx, a vyšetřme nejprve rozložení elektromagnetického pole ve vodiči. \y Ol. Obr. 2.12. V mikrovlnné oblasti platí pro vodiče c > coe, neboť vodivost u kovů je řádu 107 S . m_t a součin a>e je přibližně řádu 10"1 až 10' S . m-1. Posuvný proud můžeme tedy zanedbat oproti vodivému proudu a Maxwellovy rovnice (1.2) lze psát ve tvaru rot H = co je E, -* 0. Lze tedy psát Ez = Ce~sy (2.46) Pro intenzitu magnetického pole Hx platí podle (2.44) H= -j-Lce-** (Of* (2.47) Z rovnic (2,46) a (2,47) je zřejmé, že amplitudy intenzit elektrického i magnetického pole exponenciálně klesají se vzrůstající souřadnicí y. Vzdálenost y — d, pro kterou platí 11 y = d = Re [g] tafia (2.48) a kde intenzity elektrického a magnetického pole poklesnou v poměru e"1 oproti hodnotám na rozhraní, bývá označována jako hloubka vniku vf proudu. Průběh amplitudy intenzity elektrického pole ve vodiči v závislosti na souřadnici y je znázorněn na obr. 2.13. (00%- j 3^8% Obr. 2.13. Utlum elektromagnetického pole ve vodivém prostředí 56 57 Charakteristickou impedanci vodiče určíme ze vztahu (2.41) Z„ = V našem případě jeet = e., ht = /r,, takže lze psát a po úpravě 2. = 2Ô~ d+j) Výkon vyzářený do vodiče je Px = i- Re [Z,] J | if, |2 dS = i- Re £i-J f | £t |1 dS Vzhledem k tomu, Že při>> = 0 je £, = C = platí P, = 1 1 c2 J f dxd*--,- c1 -u a Ma Výkon ztracený ve vodiči můžeme určit též ze vztahu Pl = yKvrl/l1 kde /JTf je vf odpor vodiče, / vf proud procházející vodičem. Vysokofrekvenční proud vodice určíme z Ampérova zákona (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) nebo t integrujeme po obvodu obdélníka podle obr. 2.12 o stranách /, co, t, co. Nenulový příspěvek k cirkulaci je pouze od strany t při v = 0 {na straně, / při y = oo je intenzita magnetického pole nulová, strany y -* co jsou kolmé ke směru intenzity magnetického pole). Podle Stokesovy věty platí § H . ás = J rot H . dS i s (kde S je plocha uzavřená křivkou s). Použijeme-li z Maxwellových rovnic vztah rot H = o£ můžeme psát /= \oEztáy o (2.53) Ze vztahů (2.53) a (2.52) vyplývá, že vf proud ve vodiči je možné určit bud pomoci intenzity magnetického pole, nebo pomocí intenzity elektrického pole. Použijeme-H k určeni proudu vztah (2.52), potom při y = 0 platí = -j —Cř takže a tedy í(l -i)C mu Pro výkon ztracený ve vodiči dostaneme na základě vztahu (2.51) výraz 2 Jf = Re [Zv] (2.55) (2.56) (2-57) (2.58) Hloubkou vniku vf proudu jsme označili takovou tloušťku vodiče d, pro kterou podle (2.48) platí d = 1 Ze vztahů (2.48) a (2.57) je zřejmé, že poměrný vf odpor vodiče lze též vyjádřit výrazem 1 ad (2.59) Vyjádříme-1 i vf odpor ÄTf vodiče šířky /, délky / a neomezené výšky y -*■ oo 58 59 a stejnosměrný odpor téhož vodiče stejné délky i šířky, ale výšky y = d, je _ l R - 1 l o td Položíme-li Ryi = R, dostaneme vztah 1 ť?vr = ad Z toho je zřejmé, že vf odpor Rvt celého průřezu vodiče je shodný se stejnosměrným odporem téhož vodiče stejné šířky, ale výšky rovné hloubce vniku vf proudu. V mikrovlnné technice se často používá jako vodič stříbro (c = 6 . 107 S . m-1). Hloubka vniku vf proudu je velmi malá (řádově 10"2 mm až 10'4mm) a na vf odpor má vliv i hladkost povrchu. Drsný povrch vodiče můžeme nahradit tak, jak je znázorněno na obr. 2.14. Z obrázku je zřejmé, že dráha vf proudu se prodlouží «^2 krát. Tím se zvětši ve stejném poměru i poměrný vf odpor qyf. Ar Obr. 2.14. Prodlouženi dráhy vf proudu v důsledku drsnosti povrchu vodiče U vodičů jiných průřezů než obdélníkových se vf proud šíří také pouze ve velmi tenké vrstvě na povrchu. Výpočet vf odporu proto zjednodušujeme tím, že vf odpor počítáme jako odpor tenkostenné trubky stejného tvaru jako má vodič. Vysokofrekvenční odpor vodiče, který má obvod průřezu s a délku /, je tedy ř Vzhledem k tomu, že vf proud vniká pouze do velmi tenké povrchové vrstvy, je možné vyrábět mikrovlnné konstrukční díly z materiálů s horší vpdivostí než má stříbro nebo měd, jejich povrch se však galvanicky stříbří. U obvodů, kde chceme dosáhnout co nejmenších ztrát (např. u dutinových rezonátorů), se postříbřeny, povrch leští do zrcadlového lesku. 2.3.2. Poměrný útlum vlnovodu při šíření vln Z odstavce (2.2.3) víme, že výkon, přenášený vlnovodem je možné určit např. vztahy P = i-Re[Z]JjfíT|2dS L s 60 |ET]2dS Jede pro příčné složky intenzit pole platí dz > pro^TM HT = jo>e(grad T, x z) T2\ £T = -jcu/í(grad Tj x z) T21 3T2 > pro TE HT = (gradTt)- dz Jelikož vlnovod má plášť s nedokonalou vodivostí, je třeba počítat s tím, že součinitel přenosu je komplexní a funkci T2 lze vyjádřit u postupné vlny výrazem T2 = Ce"lr+J,)I Vzhledem k tomu, že platí T2T*= CJe_2řI lze vyjádřit výkon přenášený vlnovodem při šíření vln TM např. výrazem (2.35) P = ~ Zvy VC2r2 e "J'* f T\ ŮS 2 s popř. při šířeni vln TE výrazem (2.38) P=^Za2C2r2e-2í,ífTfdS Z toho je zřejmé, že následkem nedokonalé vodivosti pláště vlnovodu, popř. i následkem ztrátového dielektrika uvnitř vlnovodu se výkon se vzrůstající vzdáleností z zmenšuje. Změnu tohoto výkonu ve směru osy z určíme z derivace uvedených výrazů podle z %--«> Označíme-li ztrátový výkon na jednotku délky dP áz je zřejmé, že poměrný útlum můžeme vyjádřit výrazem R 1 P* (2.60) Označíme-li P0 výkon na počátku vlnovodu (tj. při z — 0), výkon ve vzdálenosti z — 1 m (tj. při z = 1) Plt potom (viz obr. 2.15) 61 a pro poměrný útlum platí 2 - Pt Rozdíl výkonů P0 a Pí je roven ztracenému výkonu Pt, takže Pi=Po-P* a tedy P. - i\>(l - e"2') (2.61) z = 0 Z = í Výkon Pt, ztracený v nedokonale vodivém plášti úseku vedení dlouhém 1 m je Pz = -ReľZj j ([Ht\^-2flásůz L » o kde Zv je charakteristická impedance vodivého pláště vlnovodu, Ht tečná složka intenzity magnetického pole na plášti vlnovodu. Po částečné integraci dostaneme Pt = 1 Re [ZJ (1 - e"1') -1. 11 ift \2 ds což můžeme napsat ve tvaru kde označením Px0 jsme vyjádřili ztracený výkon na vedeni délky 1 m, vyvolaný tečnou složkou intenzity magnetického pole, odpovídající bezeztrátovému vedení. S použitím vztahů (2.61) a (2.61a) dostaneme pro poměrný útlum výraz 1 P,7 (2.61a) (2.62) 2 Po který je v podstatě shodný s výrazem (2.60) a který použijeme pro výpočet poměrného útlumu v konkrétních případech. Vlny příčně magnetické Předpokládejme vlnovod libovolného příčného průřezu, ve kterém se šíří vlna TM. Pro magnetické pole platí vztah H = }<ůě rot Il\ = JĚoefgrad n\ x z) a protože u příčně magnetické vlny může být tečná složka intenzity magnetického pole pouze ve směru obrysové křivky průřezu vlnovodu, platí (obr. 2.16) Hl = Hs = H . s = jcoe:r2(grad 7^ x z). s neboli po úpravě H, = }(obT2 grad TL.{z x i) i-O Obr. 2.16. Vektorový součin jednotkových vektorů z a i je jednotkový vektor ve směru normály k plášti vlnovodu, takže lze psát H% = jaisTi grad Tt . n = jcoí ar, 5n Výkon Pl0 ztracený v plášti vlnovodu jednotkové délky je />í0=^-Re[Zv]í Jl/f.fdjdz 1 S 0 kde j je obrysová křivka vlnovodu, takže po dosazení za H, a částečné integraci dostaneme ds Pro výkon přenášený vlnovodem platí podle (2.35) p0 = i-Zft>Vr2CJ ÍTÍdS * s takže na základě vztahu (2.62) lze po úpravě vyjádřit poměrný útlum vlnovodu výrazem P 2 Zr2jT2dS Pro charakteristickou impedanci vlnovodu, ve kterém se šíří vlna TM, jsme odvodili vztah (2.25) Z = Z0 Ví - v2 kde Z0 je charakteristická impedance volného prostoru (vakua), takže poměrný 62 63 útlum můžeme též vyjádřit výrazem \2 í(8Tl Ydj 2 z0 F2jT2dS (2.63) Vyšetřeme nyní, jak závisí průběh poměrného útlumu na úhlové frekvenci přenášené elektromagnetické vlny. Ve vztahu (2.63) jsou na úhlové frekvenci závislé pouze veličiny gTf a v, pro které platí Qyí ■■ (Úfi Ostatní veličiny jsou bud konstanty, nebo funkce na úhlové frekvenci nezávislé. Lze tedy psát jS = K kde pro K platí CO 1/2 (2.64) [T Jer, V ds r iTidS s Grafické zobrazení vztahu (2.64) je na obr. 2,17 Obr. 2.17. Frekvenční závislost poměrného útlumu u vln TM Z obr. 2.17 je zřejmé, že poměrný útlum příčně magnetických vln ve vlnovodu je při určité úhlové frekvenci minimální. Ze vztahu (2,64) bychom mohli zjistit, že toto minimum nastává při úhlové frekvenci ^ co = V3~wm kde com je mezní úhlová frekvence vlnovodu. V oblasti úhlových frekvencí w > tom je vzrůst útlumu způsobem vzrůstem vf odporu pláště vlnovodu. Při úhlových frekvencích, kdy platí to -* com, útlum vlnovodu narůstá, až při ví = otm se vlna přestane vlnovodem šířit. Protože jsme výpočet poměrného jútlumu provedli pouze pro stav, při němž se vlna vlnovodem šíří, nemůžeme dělat závěry o průběhu útlumu v oblasti, kde je co < a>m. V této oblasti se vlna vlnovodem nešíří, avšak později poznáme, že i zde má vlnovod konečný útlum. Vlny příčně elektrické Vlny příčně elektrické TE mohou mít na plášti vlnovodu (obr. 2.18) dvě tečné složky intenzity magnetického pole Ht. Jedna z nich bude vždy ve směru podélném, druhá může být ve směru příčném (u některých vidů může tečná složka ve směru obrysové křivky průřezu vedení chybět). Pro intenzitu magnetického pole platí H = k2nf + grád div JJf i-o Obr. 2.18. takže podélnou složku vyjádříme ze vztahu ri2nm Hs = H.z = k2n? + ^j-cz neboli po úpravě H._ = r277^ = r2r,T2 Tečnou složku intenzity magnetického pole ve směru obrysové křivky průřezu vedení určíme ze vztahu 77, = H . s =- (k2n™ + grád div n~).% neboli 32II? ČTi dT2 dsdz ds dz Výkon, ztracený v plášti vlnovodu jednotkové délky, je tedy = 4"Re lzJ § í I H* 12 <*» <»* + i Re [Zv] §\ | Hx |2 ds dz Protože platí |7ííi2 = 7íJHJ* = (-^-)2CV a podobně 177,12 = H,E*Z = rxT\C2 64 65 dostaneme pro ztracený výkon Pl0 = |^pí(^Jc5 + ^jTÍdS] Pro výkon přenášený vlnovodem platí podle (2.38) vztah p0 = jl cVzr2 t t\ dS 2 s takže na základě vztahu (2.62) lze po úpravě vyjádřit poměrný útlum výrazem ds + r2x~1§Tlds 1 z a dosadíme-li do tohoto výrazu rr2ds s (2.65) ľ1 = ö>i; «2 = coXl - v2); Z = Vl- Cl) 2 z0 f2 r T2 dS ds Vi- §t\ ds v2 + f T2ŮS Vl - v2 (2.66) Je zřejmé, že výraz pro poměrný útlum vedení s vlnou příčně elektrickou je podstatně složitější než pro vlnu příčně magnetickou. Je to způsobeno tím, že na plášti vlnovodu mohoy být u vln TE dvě tečné složky magnetického pole, jedna příčná a jedna podélná, zatímco u vln TM může být na plášti vlnovodu pouze jedna tečná složka magnetického pole. Průběh útlumu má u většiny vidů podobný charakter jako u vln TM s tím rozdílem, že minimum útlumu nastává u každého vidu při jiné úhlové frekvenci. Jak poznáme později, ve vlnovodech kruhového průřezu mohou existovat vidy šíření, u nichž poměrný útlum se vzrůstající úhlovou frekvencí se neustále zmenšuje. 2.4. VLIV ZTRÁTOVÉHO DIELEKTRIKA NA PŘENOSOVÉ VLASTNOSTI VLNOVODU V dosavadních úvahách o přenosových vlastnostech vedení jsme vycházeli z předpokladu, že dielektrické prostředí uvnitř vedení je bezeztrátové. V tomto odstavci ukážeme, že ztrátové dielektrické prostředí má vliv nejen na poměrný útlum /?, ale též na poměrný posun a. Při řešení vlnové rovnice pro Hertzův vektor jsme jako dílčí řešení této rovnice dostali pro součinitel přenosu y vztah (2.8), který po dosazení za k můžeme napsat ve tvaru y = ±Vf2 - íúV je-n vinovoa vypinen ztrátovým aieieiciricicym prostreoim, potom podle odst. 1.2.1 platí pro komplexní permitivitu prostředí e = E'(l-jtgí) Dosazením komplexní permitivity do vztahu (2.8) dostaneme y = ±sfr2 - a>2pz'{\ - jtgá) nebo po úpravě r = ±j vV - r2 - jk2 tg 5 kde k = cdv/ib' je vlnové číslo dané reálnou složkou komplexní permitivity e. Označíme-li y = 0 + ja lze psát p2 - £ V £ (2.75) (2.76) (2.77) Je zřejmé, že charakteristická impedance vedení s vlnou TEM závisí pouze na parametrech p. a e, ale nezávisí na příčných rozměrech vedeni. Aby impedance vedení byla závislá na jeho rozměrech, je třeba vyjít z jiné definice impedance než ET(u)IHT(v). Impedanci vedení je např. možné vyjádřit výrazem U Z - (2.78) kde U je napětí mezí vodiči, I proud procházející vodičem. Takto definovanou impedanci budeme označovat jako vlnovou impedanci. Napětí U a proud / vyjádříme pomocí vztahů U - J E . dl (2-79> / = L0)(Co + jwC0) kde 7 je součinitel přenosu. Obecné řešení pro proud získáme z rovnice (2.100) dosazením derivace rovnice (2.104) ľ C0 lf de Z„ je vlnová impedance vedení. Předpokládejme, že na počátku vedení, tj. pro 2 = 0, platí, že U — Í7p, / = /„. Dosazením těchto podmínek do (2.104) a (2.107) dostaneme up = ci + c2 7p = ^(C1 -C2) takže integrační konstanty jsou 1 T C, =^-([/p + Z0/|!) c2 = T(i/p-z0/p) Tyto konstanty dosadíme opět do rovnic (2.104) a (2.107) a po úprave dostaneme ■ V = y (e*1 + c"'1) í/„ - -Izoye* - e"?1) neboli V = t/„ cosh y2 - Z0J/„ sinh yz (2.109) a podobně 1 — Íp cosh yz —^ sinh yz (2.110) Vztahy (2.109) a (2.110) umožňují určit proud i napětí v libovolném místě vedeni, známe-li napětí t/„ a proud lv na počátku vedení. Vyjádřeme nyní napětí a proud v obecném místě vedení pomocí známých hodnot napětí a proudu na konci vedení. Předpokládejme, že pro z =*J. platí U = Uk, 1 = lk. Dosadíme-li tyto podmínky do vztahů (2.104) a (2.107), dostaneme ř/k = C, e~v' + C2 e7' ■(C,e- C2e") takže integrační konstanty jsou C, =y(L/k + Z0/k)e'' (2.111) C2 =y{u"'zms~" (2.112) Tyto konstanty dosadíme opět do rovnic (2.104) a (2,107), takže po úpravě dostaneme U = Uk cosh y(l - z) + IkZ9 sinh y(/ - z) I = fk cosh y(l - z) + sinh y(/ - z) Z0 (2.113) (2.114) Vztahy (2.113) a (2.114) umožňují určit napětí a proud v libovolném místě vedení, známe-li napětí Uk a proud /k na konci vedení. Vyjádříme-1 i napětí a proud na počátku vedení (U — Vv; I = Ip pra z = 0) pomocí napětí a proudu na konci vedení, dostaneme z rovnic (2.113) a (2.114) ř/p = Uk cosh yl + JkZ0 sinh yl /„ = 7k cosh yl + sinh y/ 2.6.2. Impedanční poměry na vedení (2.115) (2.116) Při aplikacích v praxi je vyjadřování poměrů na vedení pomocí napětí a proudu většinou nevýhodné, což vyplývá z obtíží, které vznikají při jejich experimentálním určování. Výhodnější je vyjadřovat poměry na vedeni pomoci impedancí. Definujeme-li impedance jako poměr napětí k proudu, je impedance na vstupu vedení zP = cy/p a impedance na konci vedení Zk = Uk[Ik Z rovnic (2.115) a (2.116) dostaneme po úpravě 2 _ 7 Zk + Z0tghyf " 0 Z0 + Zk tgh yl (2.117) Tento vztah umožňuje určit vstupní impedanci vedení s délkou /as vlnovou impedancí Z0, které je zakončeno impedancí Zt. Všechny vztahy, uvedené v tomto odstavci, byly odvozeny pro dvouvodičové vedení, které může přenášet vlnu TEM. Jak poznáme v kap. 9, jistá ekvivalentní napětí a proudy je možné zavést i u vedení přenášejících vlny TM nebo TE. Z obvodového hlediska je možné nahradit šíření každého vidu TM nebo TE ve vlnovodu určitým ekvivalentním dvouvodičovým vedením, přičemž počet těchto vedení je roven počtu přenášených vidů. Pro tato ekvivalentní vedení pak rovněž platí uvedené vztahy. 76 77 2.6.3. Transformace impedance na vědem Ukážeme nyní, že se na bezeztrátovém vedení impedance transformuje na tutéž hodnotu impedance po vzdálenostech / = n).J2, kde n je celé číslo. K tomu účelu upravíme vztah (2.117) tak, že do něj dosadíme v = }x, tj. tgh yl = tgh (ja/) = = j tg 7.1 Z" z°z0+jzktga/ kde a — 2njÁ,. Je-li / = nX^jl, pak otl = nrz. Tangenta je periodická funkce s periodou n, takže ZP - zk Vedení délky / = ni.,j2 se tedy chová jako transformátor impedanci s poměrem 1:1. Transformační vlastnosti vedení zvlášf vyniknou při extremních hodnotách zátěže, např. je-li vedeni na konci zkratované nebo otevřené. Předpokládejme vedení na konci zkratované, tj. Zt = 0. Vstupní impedance tohoto vedení je Z„, = Zp = jZ0 tg «/ (2.119) Z tohoto vztahu bezprostředně vyplývá, že úsekem vedení na konci zkratovaného lze realizovat libovolnou reaktanci Z„ = ]XP nebo admitanci Yp = ]BP v mezích od — joj do +joo podle toho, jak se zvolí délka úseku /. Pomocí úseku vedení na konci otevřeného můžeme rovněž realizovat reaktance jXv nebo susceptance }Bpt avšak tento typ úseku vedení se v praxi používá zřídka pro možnost vyzařování otevřeného konce vedení (zejména je-li to vedení souosé nebo vlnovodové). 2.6.4. Činitel odrazu na vedení V předcházejícím výkladu bylo řečeno, že k irrčování poměrů na vedení je výhodnější používat impedanci než napětí a proud se zřetelem k jejich obtížnému měření. K určení impedance bývá nutné znát činitel odrazu na vedení. Činitel odrazu definujeme jako poměr komplexních amplitud napětí (proudu) vlny odražené a vlny přímé, tedy Qu (2.120) kde horními indexy + jsou označeny vlny přímé a horními indexy — vlny odražené. Z rovnic (2.104) a (2.106) vyplývá e e = -Qu Napěťový a proudový činitel odrazu se liší od sebe pouze znaménkem. V dalším textu budeme používat pouze napěťový činitel odrazu q = qe. Vyjádříme činitel odrazu v libovolném místě vedení pomocí činitele odrazu na konci vedení. K tomu účelu dosadíme integrační konstanty (2.111) a (2.112) do (2.104) a dostaneme V = y(trt + Zo/Je*'"" + -(t/t - Z0/t)e kde vlnu přímou znamená člen U+ =y(l/k + Z0/k)e-'"'-a vinu odraženou clen 1 Na konci vedeni je z = /, u = u0, q = qo, takže u° = y(uk + z°ík) a tedy 00 ~ Z0/k _ Zk — Z0 vk + z0/k zk + zc (2.121) (2.122) (2.123) (2.124) (2.125) (2.126) Z tohoto vztahu je zřejmé, že činitelem odrazu q0 je určen charakter zátěže Zt a obráceně. Výrazy (2.124) a (2.125) dosadíme do (2.121) a dostaneme Konečný tvar vzorce pro činitel odrazu pak je b (2.127) (2.128) kde y = / - z je vzdálenost měřená od zátěže směrem ke zdroji. Pomocí činitele odrazu lze posoudit situaci na vedení. Je-li é? = 0, není na vedení vlna odražená, tedy U~ = 0. Z (2.126) vyplývá, 2e činitel odrazu je nulový, když Zk = Z0, tj. když je vedení zakončeno svou vínovou impedancí. Říkáme, že zátěž je přizpůsobena vedeni. Pro bezeztrátové vedení je y = yj. a činitel odrazu u bezeztrátového vedení je Q = Qo^'lhr (2.129 Vlnová impedance je v tomto případě reálná a pro přizpůsobování musí opět platit Zk = Z0, tj. zátéž musí mít charakter činného odporu. Není-li splněna podmínka Zt = Z0, vznikne na vedeni odražená vlna, která se skládá s vlnou přímou a výsledkem této superpozice je vznik stojatého vlnění. 78 79 2.7. VLASTNOSTI VLNOVODU PRI UHLOVÉ FREKVENCI NIŽŠÍ NEŽ KRITICKÉ V článku 2.1 jsme poznali, že pro součinitel přenosu y platí y = ± vi* - k2 neboli y = ±k V m- i kde Á je délka vlny, km mezní délka vlny daného vlnovodu. Vlna ve vlnovodu se šíří, je-li X < ;.m; oj > (om takže Platí-li však i- > potom je součinitel přenosu y reálný a elektromagnetické pole ve vlnovodu nemá charakter šířící se vlny, ale monotónní průběh. Funkci podélné souřadnice z můžeme pro tento případ vyjádřit výrazem (2.14) T2 = C, eTi + C2 c'yt Pro elektromagnetické pole vln TM platí rovnice (1.64) a (1.65) B = k2n\ + grad div /j; H = jwí rot B\ = jwe(grad II\ x z) takže při použití obecných příčných souřadnic u, v dostaneme po úpravě pro složky intenzity elektrického a magnetického pole £T(u)=E.U = 7^-^ = 77^-(C1e= -.2 hudu dz huvu ET(v) = E v ťlT, ÔT2 hvdu Dz £z = E . z = (k2 + v2) T1{Cl e" + C2 e"*) Jíx(iO = H. u = jto£ v-^- (C, eVi + C2 e "'''*) (2.130) Hr(v) = H . v - -jtuc (C, e*'" + C2 e ľl) //. = 0 Zavedme podle (2.120) činitel odrazu _ IT _ E~ 0 ~ ~VX ~ ^ neboť i takže z rovnic (2.130) vyplývá C) 2y; Q = ~7^e Na konci vedeni, tj. při z = I je činitel odrazu e0 Qo -takže platí r -lyl (2.131) c2e -č7 = e"e -2y(i-*> a tedy ť? = Co e Rovnice (2.130) můžeme s použitím vztahu pro g napsat ve tvaru ^0 = -y^c:e-(i + í?) £t = {k2 +y1)TlC2e-<*{\ - e) HT{u) = jawACje-"(| - e) //T(r)=-jft,É-^-C2e->I(í -(,) (2.132) (2.133) Protože plati y i; 2it tys = 1 ŕ V e - je zřejmé, že při ). j> /m je y ok. Z toho pak vyplývá, že u elektromagnetického pole převládá podélná složka intenzity elektrického pole Ez. Je-li činitel odrazu ve vztazích (2.133) nulový, jsou příčné složky intenzity elektrického a magnetického pole ET a fiT oproti sobě fázově posunuty o 90°, takže přenos energie vlnovodem neni možný. Je-li však imaginární složka činitele odrazu nenulová, je možný 80 81 určitý přenos energie i timto podkriiickým vlnovodem (tj. vlnovodem, pro který platí ). > /.m). Pro výkon přenášený vlnovodem platí vztah (2.30) P = ' Rc j [ET(W) H*(v) - £T(r) 7f »] dS 2 s takže lze psát P = — Re Činitei odrazu je komplexní výraz a platí = Re [g] + j Im [í?]; q* = Re [g] - j Im [ô] takže přenášený výkon je ' ľ--, I C |« Im M f * ($■)*]« Označíme-li P, výkon pro z = li a P2 výkon pro z = /2, je (2.134) ■ = e kde / = — takže útlum vedení délky / můžeme vyjádřit výrazem L-Un^^yl popí. v decibelech L = 10 log-—- = 8,68yí (dB) (2.135) (2.136) Je zřejmé, že útlum závisí lineárně na déice /, přičemž téměř nezávisí na frekvenci (pokud platí Áp Ám). Proto je výhodné použít tyto vlnovody ke konstrukci tzv. mezních zeslabovačů, které bývají označovány též jako reaktanční, popř. odrazové. Obr. 2.22. Schematické znázorněni proměnného zeslabovače (TMoi) Princip konstrukce mezního proměnného zeslabovače je znázorněn na obr. 2.22. Mezní zeslabovač je vytvořen úsekem kruhového podkritického vlnovodu, do něhož z obou stran zasahuje koaxiální vedení. Elektromagnetické pole ve vlnovodu odpovídá vidu TMot. Útlum se mění posuvem výstupního koaxiálního vedení. U vln příčně elektrických TE je elektromagnetické pole určeno rovnicemi £ = -jw/irot/ľ™ = -jWAtferad J7™ x a) H = k2n? + graddiv/7?1 takže podobně jako u vln TM můžeme vyjádřit složky intenzity elektrického a magnetického pole £T(«) £T(f) = £ u = £ v = jofi h„dv ar, ft„ dtl (C, ev: + C2e"") (C, ď> + C2c-») HT(u) = H . u = y Ht{v) = H . v = y Mu ar, M" (2.137) Hz = (A2 + 72) Ti(C, e" + ťľ2 e~?I) Zavedeme-li do těchto rovnic činitel odrazu stejným způsobem jako u vln příčně magnetických, můžeme podle (2.120) psát r? = -^-e2^ takže et(») = -jwp £T(t>) - yon hvde ČT, hudu Cze"^l +q) C2e"-(1 + e) 3TS ff, = (**+ yI)r,cIe-»(i+ e> Protože platí y » 2jt /-^atu/i = 2jiv/í/s/A, je zřejmé, že pří i> lm je y ^> ío^.Zu-vedených rovnic pak vyplývá, že u elektromagnetického pole převládá podélná složka intenzity magnetického pole Hz. Je-li činitel odrazu ve vztazích (2.138) nulový, jsou příčné složky intenzit elektrického a magnetického pole7iT, HT oproti sobě fázově posunuty o 90', takže přenos energie vlnovodem není možný. Je-li však imaginární složka činitele odrazu nenulová, je možný určitý přenos energie i tímto podkritickým vlnovodem (tj. při * > AJ. Výkon přenášený vlnovodem je P = ~ Re f [£T(u) flí(p) - £T(«) dS z s 82 83 takže za použití vztahů (2.138) dostaneme P = lRe^o»/rr|CJ|,e-3»l <'-««'-*/[(W-(&)>} Dosadíme-li q = Re [j?] + j Im [q]\ q* = Re [e] - j Im |>] je P = tó^|Cj|2Im [g] e" f 17 ar' Y i (aTi Y dS (2.139) Jestliže pří z = /t je výkon P, a při z = /, výkon P1, lze psát Pi _ -Jíl kde l — lt — !z, takže útlum vedení délky / můžeme opět vyjádřit vztahem L = yl (2.140) nebo (v decibelech) L = 8,68y/ (dB) (2.141) Princip konstrukce proměnného zeslabovace je stejný jako u vln TM, vazba však musí být magnetická. Schematické zobrazení možného provedení zeslabovace je na obr. 2.23, kde vazba z koaxiálního vedení do kruhového vlnovodu je provedena smyčkou. Elektromagnetické pole ve vlnovodu odpovídá pak vidu TEn. imaginární a má charakter indukčnosti, nebot podle (2.26) plati Z - ÔT2 ~dž~ Kombinací takového úseku vedení s kapacitní reaktancí (tvořenou např. kapacitním kolíkem) můžeme realizovat rezonanční obvod. Zařazením několika rezonančních vlnovodů za sebou lze zkonstruovat filtr požadovaných vlastností. V porovnání s filtry tvořenými klasickými rezonátory mohou mít tyto filtry podstatně menší rozměry. Literatura ke kapitole 2 [1] Kvasil, B.: Theoretické základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957. [2] Vajnítejn, L. A.; Elektromagnitnyje volny. Moskva, Sovětskoje radio 1957, {3J Collin, X. £.: Foundations for Microwave Engineering. New York, Mc Gr&w—Hill 1966. [4J Tysl, V.: Obvody a technika velmi vysokých kmitočtů I. Skriptum. Praha, Ediční středisko ČVUT 1982. 15] Růžička, V.-Punčochář, /.. Teorie obvodů V. Skriptum FE VUT. Praha, SNTL 1974. [6] Waldron R. A.; Theory of guided elektromagnetic waves. London, Van Nostrand 1970. -_ Obr 2.23. Schematické \ ,— i ■■ —■ ■ znázornení proměnného -1--" — - zeslabovace (TE,,) Velikost součinitele y určíme ze vztahu Je třeba poznamenat, že rovnice pro určení útlumu platí pouze pro vyjádření změny útlumu v závislosti na změně délky vedení a není možné je použít pro určení celkového útlumu (od nulové, počáteční délky zeslabovace). Hlavní důvod je v tom, že na přechodu mezi přenosovým vedením a podkritickým vlnovodem vzniká složitější rozložení elektromagnetického pole (vlivem vyšších vidů), které v této jednoduché úvaze nerespektujeme. Podkritické vlnovody lze použít i k realizaci filtrů. Zmenšíme-li např. rozměry obdélníkového vlnovodu přenášejícího dominantní vid TE10 tak, aby se elektromagnetická vlna nemohla šířit, je charakteristická impedance tohoto vlnovodu 84 85 3. Mikrovlnná vedení nejčastěji používaná v technické praxi Až dosud jsme předpokládali mikrovlnná vedeni libovolných, zcela obecných průřezů, pro která jsme odvodili všechny charakteristické vlastnosti v závislosti na funkci příčných souřadnic Tt a na hodnotě konstanty příčných souřadnic T. Výsledky získané pro vedení obecného průřezu budeme v této kapitole aplikovat na ta vedení, která mají pro praxi nej větší význam. 3.1. VLNOVOD OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU A JEHO VLASTNOSTI Nejvíce používaným vlnovodovým vedením je vlnovod obdélníkového průřezu (obr. 3.1). Jak poznáme v dalším, je to zejména proto, že má výhodné přenosové vlastnosti, že základní vid šíření má jednoduché a jednoznačné geometrické rozložení elektromagnetického pole a že z úseků obdélníkových vlnovodů lze poměrně snadno sestrojit složitější mikrovlnné obvody (i/-braný). Vlnovou rovnici A7\ + r2Ti = 0 budeme řešit v pravoúhlých souřadnicích vzhledem k tomu, že pak je snadné splnit okrajové podmínky. Předpokládejme, že funkci T, lze vyjádřit součinem funkcí X a Y, přičemž funkce X je závislá pouze na souřadnici x a funkce Y je závislá pouze na souřadnici y. Jestliže tedy platí Tí = XY Obr. 3.1. Vlnovod obdélníkového průřezu dostaneme po dosazení tohoto vztahu do vlnové rovnice a po úpravě rovnici 1 d2X 1 d2y „2 „ —_ _____ _|----1_ f2 — o (3.1) X dx1 Y dvz Vzhledem k tomu, že ľ — konst, musí být í ostatní členy této rovnice rovny konstantám. Pro další řešení je výhodné, zvolime-li tyto konstanty tak, aby platilo 1 d2X X dx 1 d2y - = -r 2 * (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) Řešení diferenciálních rovnic (3.2) a (3.3) můžeme tedy psát ve tvaru X = Ct sin £x 4- C2 cos ^x Y = C3 sin >iy + CA cos ny přičemž platí r2 = e + ť Funkci příčných souřadnic T, lze pak vyjádřit ve tvaru T, = (Ca sin £x + C2 cos í.v) (C3 sin r\y + cos qy) 3.1.1. Vlny příčně magnetické (TM, E) ve vlnovodu obdélníkového průřezu U vln příčně magnetických musí být splněna okrajová podmínka (2,21), že na plášti vlnovodu je 7\ = 0 V pravoúhlé souřadnicové soustavě podle obr. 3.1 je plášť vlnovodu určen souřadnicemi x = 0; x — a pro y = 0 až y = b y = 0; y = b pro x = 0 až x = a Obecné řešení pro funkci Tx je podle (3.7) r, = (CL sin £x + C2 cos £x) (C3 sin tjy + C4 cos ijv) Aby platilo 7^ = 0 pro x = 0 při jakékoliv souřadnici y, musi zřejmí být C2 = 0. Aby platilo 7\ = 0 pro x = a při jakékoliv souřadnici y, musí být sin S,a = 0'T to bude splněno např. tehdy, bude-li í« = nis (kde m je libovolné celé číslo). Z toho vyplývá f = mit Aby platilo Tt = 0 pro y — 0 pri jakékoliv souřadnici x, musí zřejmě být C4 = 0. Aby platilo T, = 0 pro y = b při jakékoliv souřadnici x, musí být sin tjb = 0; 86 87 iu Liuuc syuicnu uapi. iciiuy, uuuc-n i\v = nn i,*uc n je iiouvome ccjc cisiuj. i. lono vyplývá nit Pro funkci příčných souřadnic TL dostaneme tedy s dosazením okrajových podmínek výraz ... .< ■ "in . nit T, = Csin-xsin-7— y a b (3.8) kde C = C,C3. Konstantu ľ určíme na základě vztahu (3.6) výrazem (3.9) Známe-li konstantu r, můžeme určit mezní vlnovou délku vlnovodu ze vztahu (2.15) nebo po úpravě 2a h V(na)1 + (mbý mezní frekvenci vlnovodu ze vztahu (2.16) = _L i_ í(mn y /jí!y a poměrný posun a ze vztahu (2.12) a = /to /ie (3.10) (3.11) (3.12) Protože známe výraz pro funkci-příčných souřadnic Tx, je možné napsat výraz pro Hertzův vektor ve tvaru (pro vlnu, sířící se jedním směrem, tj. pro postupnou vlnu) „ , - . mít . n% ni-C sin-- x síň -r- y e a b (3.13) kde konstanta C zahrnuje jak konstanty funkce 7*,, tak konstantu funkce T2. Tato výsledná konstanta určuje amplitudu elektromagnetické vlny ve vlnovodu (má rozměr V. m) a její velikost závisí na buzení elektromagnetické vlny. Jestliže známe Hertzův vektor, můžeme určit veličiny elektromagnetického pole ve vlnovodu podle rovnic (1.64) a (1.65), 88 £ = k2n; + grad div Jí^ H = jcue rot ÍJ' = jcue(grad I7| x z) Složky intenzity elektrického a magnetického pole jsou d2m e, = e • y = e = E , z = 3x 5z = —ja —— c cos- b * — — ja-i—C'sin—-b a ■ x cos —r- y e o fc2I7, + —r1 = T2C sin-x sin — dz2 a b ye - jff3 (3.14) H = H H. j/r = H.y H . 2 dUz nn . mn nJt _<„ = jwE—— =jo>eC—r-sin—-xcos-r— ye J &y ba b . s/j: : ~~i<ůe ~š)T = ~Ja)£^ mít cos — x srn —j- y e = o Vzhledem k tomu, že vlnová rovnice pro funkcí T, má nekonečně mnoho řešení (co1) lišících se indexy m a «, může zřejmě ve vlnovodu existovat co2 samostatných elektromagnetických vln, které se budou vzájemně lišit. Každému jednotlivému řešeni budeme říkat vid elektromagnetické vlny. Je zřejmé, že jednotlivé vidy se budou lišit mezní vlnovou délkou, poměrným posunem i prostorovým rozložením elektromagnetického pole. V zápisu budeme označovat jednotlivé vidy takto: TMB popř. E„„ což značí vlnu příčně magnetickou vidu m, n. Z rovnice (3.8) vyplývá, že nejnižší indexy u vln příčně magnetických mohou být m = 1 a n = 1, které značí vlnu TMI(. Vid TMn má ze všech příčně magnetických vidů největší mezní vlnovou délku, tj. ze všech příčně magnetických vidů potřebuje ke svému šíření nejmenši rozměry vlnovodu. 3.1,2. Vlny příčně elektrické (TE, H) ve vlnovodu obdélníkového průřezu U vln příčně elektrických musí být splněna okrajová podmínka, že na plášti vlnovodu je on Obecné řešení pro funkci 7\ je podle (3.7) Ty — (Cj sin č,x + C2 cos £x) (C3 sin t\y + C4 cos ny) Normála k plášti vlnovodu může být bud ve směru osy x (na tužších stranách 89 vlnovodu, tj. při .v — O a x — «), nebo ve směru osy y (na širších stranách vlnovodu, tj. při y = 0 a y — b). Můžeme tedy psát 5Tt 8x ST, 8y = í(C, cos C2 sin £x) (C3 sin jjy + C4 cos ny) = íj(C, sin £x + C 2 cos £*) (C3 cos n y - C+ sin tjý) Aby platilo dTtjdx = 0 pro = 0 při jakékoliv souřadnici y, musí zřejmě být C, = 0. Aby platilo dT^dx — 0 pro x — a při jakékoliv souřadnici j', musí být sin í_t = 0; to bude splněno např. tehdy, je-li £a = mn (kde m je libovolné celé číslo). Z toho vyplývá mrt Aby platilo dT^dy - 0 pro y = 0 při jakékoliv souřadnici x, musí být Cj = 0. Aby platilo ôTt jôy = 0proj» = Ŕpŕi jakékoliv souřadnici x, musí být sin nb = 0; to bude splněno např. tehdy, je-li tjb = nu (kde n je 1 ibovolné celé číslo). Z toho vyplývá Pro funkci příčných souřadnic Tt dostaneme tedy s dosazením okrajových podmínek Tj = C cos-x cos-— y a b (3.15) kde C = C2C4. Pro konstantu i" dostaneme na základě vztahu (3.6) stejný výraz jako u vln TM takže výrazy pro mezní vlnovou délku a pro poměrný posun budou rovněž stejné jako u vln příčně magnetických, tj. jako (3.10) až (3.12), Protože známe výraz pro funkci příčných souřadnic Ti [rovnice (3.15)], můžeme podobně jako u vln TM určit výraz pro Hertz ův vektor (pro postupnou vlnu) ve tvaru n? = c cos -x cos nu y c (3.16) kde konstanta C zahrnuje jak konstanty funkce Tt, tak konstantu funkce T2. Tato výsledná konstanta určuje amplitudu elektromagnetického pole ve vlnovodu (má rozměr A. m) a její velikost závisí na buzení elektromagnetické vlny. Známe-li Hertzův vektor, můžeme určit složky intenzity elektrického a magnetického pole z rovnic (1.66) a (1.67) E = -jmfi rot /I™ = -jwiifgrad 77^X7) H = fc2/7™ + erad div JJ™ Složky intenzity elektrického a magnetického pole jsou Ex = E . x = n, _ nu mjr , nit -\aja—^~ — jtmiC^— cos-x sin —r- y e 1 ^ dy b a b díl" Ey = E . y = jaifi —~ = -ja>řiC mít sin fřJTt x cos -t— y e E.z = 0 = H. x = Ô . „ mrt mu nn -—^- — ictC-sin-x cos y e Hy = H . y = á2/!" . mti mu , , ■ - jaC -j— cos — ay cz b a njt -xsin-^— ye H, = dz2 = r C cos — x cos y e a b (3.17) Je zřejmé, že (podobně jako u příčně magnetických vln) může ve vlnovodu existovat též ooJ samostatných elektromagnetických vln neboli vidů příčně elektrických. Tyto vidy budeme označovat TE„ popr. H, což značí vlnu příčně elektrickou vidu m, n. Z rovnice (3.15) vyplývá, že nejnižší indexy u vln příčně elektrických mohou být m = I, n = 0, popr. m - 0, n = 1, což značí vlnu TE10, popř. TE0[. Mezní vlnové délky příslušející těmto vidům určíme podle (3.10) pro vid TE10 Xm = 2a a pro vid TE01 Xm = 2b Protože se v praxi používají vlnovody, u nichž je a > b, je zřejmé, že vid TE10 má ze všech vidů největší mezní vlnovou délku. Můžeme též říci, že ze všech příčně elektrických vidů potřebuje ke svému šíření nejmenší rozměry vlnovodu. Porov-náme-li mezní vlnovou délku vidu TE10 s vlnovou délkou nejnižšího vidu příčně magnetického TM,,, je vidět, že~mezní vlnová délka vidu TE10 je podstatně větší. Z toho vyplývá, že vid TEl0 potřebuje ke svému šíření nejmenší rozměry vlnovodu ze všech vidů TE i TM, Z toho důvodu bývá nazýván videm dominantním. Přehled charakteristických vlastností vlnovodů s vlnami TE a TM je uveden v tab. 2. 90 91 Tab. 2. Charakteristické vlastnosti vlnovodů obdélníkového průřezu ...... Oznaíení vlnovodu R 32 R 48 R 70 R 100 R 140 R 220 R 320 vnítfni rozmer a (mm) 72,14 47,55 34,85 22,86 15,80 10.67 7,11 vnitřní rozměr b (mm) 34,04 22,16 15,80 10,16 7,90 4,32 3,55 doporučeny rozsah vlnových délek (cm) 11,75 7,60 7,61 5,13 5,13 3,66 3,66 2,42 2,42 1,67 1,67 1,13 1,13 0,75 jmenovitá vlnová délka (cm) 10,20 6,7 4,9 3,2 2,2 1,5 1,0 charakteristická impedance Z (11) 530 530 530 530 530 530 530 maximální přenášený výkon P (kW) 10 350 4 380 2 290 990 530 194 107 poměrný útlum vlnovodu při jmenovité vlnové délce (povrch Ag) (dB . m-1) 0,02 0,035 0,06 0,12 0,18 0,39 0,6 mezní frekvence vidu TEl(i (GHz) 2,078 3,155 4,286 6,55 9,49 14,06 21,08 mezní frekvence vidu TE2(1 (GHz) 4,155 6,309 8,571 13,10 18,98 28,11 42,15 mezní frekvence vidu TEt i (GHz) 4,876 7,474 10,363 16,103 21,22 37,47 47,13 mezní frekvence vidu TEn (GHz) 6,061 9,256 12,744 19,698 26,48 44,67 59,61 mezní frekvence vidu TE2I (GHz) 9,959 14,92 20,83 32,29 42,43 74,87 94,39 l • Vlnovod obdélníkového průřezu s vlnou TEI0 Všimneme si nyní blíže dominantního vidu v obdélníkovém vlnovodu a jeho vlastností se zřetelem k tomu, že se tento vid šíření ve vlnovodové technice nejvíce používá. Víme již, že mezní vlnová délka tohoto vidu je určena pouze šířkou vlnovodu, tj. A. = 2a Je zajímavé určit mezní vlnové délky nejblíže vyšších vidů. Z tabulky 2 je vidět, že rozměry normalizovaných vlnovodů jsou takové, že platí a > 2b. To znamená, že nejbližším vyšším videm je vid TE20 s mezní vlnovou délkou ^m = a, dalším v pořadí je vid TE01 s mezní vlnovou délkou Xm = 2b, potom TEX1 atd. Chceme-li, aby se vlnovodem šířila pouze elektromagnetická vlna s videm TE10, musí její vlnová délka vyhovovat podmínce a < X < 2a Když by bylo X < a, mohl by se vlnovodem šířit současně i vid TE20, popř. vidy vyšší. Při X £ 2a se přestává vlnovodem šířit i vid TE10, Z uvedeného výkladu je zřejmé, že poměr největší možné vlnové délky k nej-kratší vlnové délce, při kterých je zaručeno šíření pouze vidu TE, 0, je 2 : J. Jestliže označíme největší možnou vlnovou délku Xl = 2a, nejkratší vlnovou délku X2 — a (pro zachování vidu TEI0), můžeme určit střední vlnovou délku vlnovodu výrazem J*t = 4TJT2 = a JI (3.18) Vzhledem k tomu, že mezni vlnová délka vidu TE10 závisí pouze na šířce vlnovodu, dostáváme jednoduché výrazy pro fázovou i skupinovou rychlost, pro délku vlny ve vlnovodu i pro charakteristickou impedanci Prostorové rozloženi elektromagnetického pole ve vlnovodu obdélníkového průřezu s vlnou TE10 TE 10 — — -- - \ i \ - H TE ZD H I"' / i ' I V 1 . Obr. 3.2. Rozložení elektromagnetického pole vidů TE,0 a TE;0 u vlnovodů obdélníkového průřezu 92 93 Pro vid TE10 (tj. pro m = 1, n = 0) vyplývá z rovnic (3,17) Ex=0 E„ = — }Ců(iC — sin — xe~j" ' a a H^jzC — sm-xe-* (3.19) a a Rozložení elektromagnetického pole vidu TE, 0 je znázorněno na obr. 3,2. Pro porovnání je na temže obrázku znázorněno také elektromagnetické pole vidu TE20. Elektromagnetické pole vidů TE,, a TM,, je znázorněno na obr. 3.3. Pro lepší Obr. 3.3. Rozložení elektromagnetického pole vidů TE,, a TM,, u vlnovodů obdélníkového průřezu 94 přehlednost obrázků je v podélných řezech vlnovodu zakreslena pouze jedna složka elektromagnetického pole. Zobrazovací rovnice siločar získáme ze vztahů uvedených v příloze H. Znalost rozložení elektromagnetického pole ve vlnovodu je v praxi velmi důležitá. Z tohoto rozložení můžeme např. určit, která rrústa na vedení jsou nejvíce ohrožena průrazem dielektrika při přenášení velkých výkonů. Znalost rozložení elektromagnetického pole nám také umožní provést takové konstrukční zásahy do vedení, které účinně potlačí šíření nežádoucích vidů, popř. podpoří šíření požadovaného vidu apod. Z rozložení magnetického pole můžeme určit směr a velikost vysokofrekvenčních povrchových proudů na vnitrní straně stěn vlnovodu. Tyto povrchové proudy jsou vždy kolmé k tečným složkám intenzity magnetického pole. Znalost rozložení povrchových proudů je důležitá i pro různé technické aplikace. Například při konstrukci tzv. měřicích vedeni, která slouží k indikaci stojatých vln na vedení, musí mít vedení podélnou štěrbinu, v níž se posouvá pohyblivá sonda. Aby taková štěrbina co nejméně porušovala vlastnosti vedení a aby co nejméně vyzařovala energii elektromagnetického pole do okolního prostoru, nesmí přetínat dráhu povrchových proudů. Z obr. 3.2 je např. zřejmé, že u vidu TE10 může být podélná štěrbina pouze uprostřed širší strany vlnovodu. Jak poznáme později, u vlnovodů kruhového průřezu mohou existovat některé vidy šíření, které maji povrchové proudy pouze v příčném směru, takže pro ně není možné zkonstruovat měřicí vedení s podélnou štěrbinou. V některých aplikacích naopak úmyslně umis f ujeme do vlnovodů štěrbiny takovým způsobem, aby co nejvíce narušovaly dráhu povrchových proudů. Je to zejména při konstrukci tzv. štěrbinových antén, vytvořených z vlnovodu, do jehož povrchu jsou vyříznuty štěrbiny tak, aby vyzařovaly elektromagnetickou energii. Výkon přenášený vlnovodem obdélníkového průřezu s vlnou TE10 Pro výkon přenášený vlnovodem jsme odvodili u příčně elektrických vln výraz (2.37) P = ~ C2ío V ~r2\T\ áS 2 Z s Konstantu C můžeme vyjádřit např. pomocí intenzity elektrického pole. Z rovnic (3.19) vyplývá, že platí | -ayiC— (3.20) a takže £t _ í 1 max 7t oni — a 95 Protože pro vid TP,lt platí ľ2 — (it/a)2, můžeme napsat výraz pro přenášený výkon po upraví ve tvaru 1 | £y \i„ " * 2±xdxá 2 Z Á í a takže po integraci dostaneme I I E i2 (3.21) Dosadíme-li za j Ey |maí maximální přípustnou dielektrickou pevnost, dostaneme maximálně možný výkon přenášený vlnovodem. Hodnoty maximálne možných výkonů pro dielektrickou pevnost vzduchu £ = 3 . 106 V . m_I jsou uvedeny v tab. 2. Poměrný útlum vlnovodů obdélníkového průřezu s vlnou TE10 Poměrný útlum vidů příčně elektrických určíme výrazem (2.66) 2 Z„ dj ľ2 J T2dS s Vl - v2 §Tlás ÍTJdS Vl - v2 Pro vlny TE10 platí T, = cos —x; a r = ÔT, ti . K _l =--s]n —X cs a a * takže dostaneme §T2ds = 2\ J cos3 — xdx + J dy) = a + 2b s \o a o / J T2 dS = J J cos2 — x dx dy = — ab Po dosazení do rovnice pro poměrný útlum můžeme po úpravě psát -.2 l a- — + —; 2a3 %L -Ju— (m"1) (3.22) Hodnoty poměrného útlumu pro vid TE i Q jsou uvedeny v tab. 2. Průběhy poměrného útlumu normalizovaných vlnovodů v závislosti na frekvenci signálu jsou na obr, 3.4 (oblast jednovidového přenosu je zakreslena tlustší čarou). ? 3 4 5 6 7 9 910 20 30 40 50 60706090100 —-f(GHz) Obr. 3,4, Frekvenční závislost pomerného útlumu vlnovodů obdélníkového průřezu. 3.2. VLNOVOD KRUHOVÉHO PRŮŘEZU A JEHO VLASTNOSTI Tento typ vlnovodu se k přenosu elektromagnetické energie nepoužívá tak často jako vlnovod obdélníkového průřezu. Je to zejména proto, že šířka frekvenčního pásma jednovidového přenosu je u něj menší než u vlnovodu obdélníkového průřezu a kromě toho při přenosu dominantního vidu není na první pohled zřejmá rovina polarizace elektromagnetické vlny. Jak vsak poznáme dále, v tomto vlnovodu se mohou šířít některé typy vln, které mají z hlediska aplikací velmi zajímavé vlastnosti. Vlnovou rovnicí A7\ + r2Ti =0 budeme řešit (se zřetelem ke snadnému splnění okrajových podmínek) ve válcových 96 97 souřadnicích. Ve válcových souřadnicích, pro než platí (příloha A) A Ti = - —( '•-TJ-1 + —2---"f r or \ dr J r2 + d2Ti dz2 dostaneme (vzhledem k tomu, že Tl je funkcí pouze příčných souřadnic r a (jt) vlnovou rovnici ve tvaru dr1 r dr ŕ díp1 (3.23) Obr. 3-S. Vlnovod kruhového průřezu Abychom mohli tuto rovnici řešit metodou separace proměnných, zavedme opět předpoklad, že funkci Tt lze vyjádřit součinem dvou funkci T, = R

= o r dr Vynásobíme-li tuto rovnici výrazem r2jR*P, dostaneme po úpravě r^ť^ rdR 2i = R Qj.1 R dr 1 ô2 d = 0 můžeme psát pro funkci # řešeni

= C, e** + C2 e~"*, které není periodické. 98 Rovnici (3.26) lze psát s použitím vztahu (3.27) ve tvaru _r_2 iŕR _r_£Ä + r2r2 - mJ - 0 Vynásobíme-li tuto rovnici výrazem Rjr2, dostaneme po úpravě Besselovu diferenciální rovnici ve tvaru črR_ \_ cR Fir2 r ôr (3.30) Řešení této rovnice, které je dáno součtem dvou partikulárních integrálů, můžeme vyjádřit pomocí Besselových funkcí prvního a druhého druhu, tj. R = C3 Jm(/» + Ct Nm(/» (3.31) Vzhledem k singularitě funkce Nm(/>) pri r = 0 [pro í> -+ Oplatí Nm(rr)-+ -co] je zřejmé, že z obecného řešení přichází v úvahu pouze funkce Jw(/>), Aby řešení mělo fyzikální smysl, položíme tedy C4 = 0. Později poznáme, že u souosých vlnovodů, kde poloměr nemůže nabýt hodnoty r — 0, je třeba do řešení zahrnout i funkci Nm(T>). Pro funkci příčných souřadnic Tt dostaneme tedy výraz 7\ = C3 ijľr) (C, cos m

) (C, cos mcp + C2 sin m) cos mq> (3.39) Ti = C2C} JJľr) sin my (3.40) Jestliže m ŕ 0, mohou ve vlnovodu existovat vždy dvě vlny, lišící se od sebe průběhem elektromagnetického pole ve směru souřadnice

e"*" E, = E.P Ex H=H.r = drčz d2TJx . m _ _ , „ . . _ 7^=F~CJ„(7>)Sinmí,e " fc2/je + = r2C J„(7>) cos m

) r dp d r: = 2ttC2 J r J^/V) dr s o o o což je tzv. Lommelův integrál (viz přílohu B), po jehož integraci dostaneme j Tj áS = jua2C2 JJftJa) = ica2C2 J2(ra) s S použitím uvedených vztfhň dostaneme po úpravě pro poměrný útlum výraz Z« a VT - v Použijeme-li vztahy ľa = oř (3.43) a vyjádříme-li útlum v decibelech, můžeme napsat výraz pro poměrný útlum ve tvaru 7I/Í i /-'2 ' 60c «01 V'v(l - v2) jehož graf je na obr. 3.7. (dfl.m1 . Hz-9'2) 102 103 Obr. 3.7. Porovnáni frekvenční závislostí pomerného útlumu vidů TM0i, TEU a TE0, u vlnovodu kruhového přířezu (závisle proměnnou na svislé ose je L (dB)//^'2) ,3.2.2. Vlny příčné elektrické (TE, H) ve vlnovodu kruhového průřezu U vln příčně elektrických musí být splněna okrajová podmínka, že na pláSti vlnovodu je ST, On - 0 Plášť vlnovodu je určen souřadnici r = a. Normála k plášti vlnovodu má směr radiální, takže platí ôTi ôn dTi Br Funkce T, je dána vztahem (3.32), takže můžeme psát 4^- = /' ym(rr) (Cj cos m

2/ie '■f-) (3.46) (3.47) (3.48) Protože známe výraz pro funkci příčných souřadnic Tx, můžeme napsat výraz pro Hertzúv vektor ve tvaru (pro postupnou vlnu) nT = C3 Jra(/>) (Ci cos m

) sin e J E E.z Hr rô

)cosm)cosmů>e"J" čz2 Z dvojznačné závislosti na souřadnici

e"jai Ez =0 (3.51) Hr = -jstrC j;(/>) cos yeT5" Hz = r'CJ^rrícospe"^1 Průběh elektrického a magnetického pole vidu TEU ve vlnovodu kruhového průřezu je znázorněn na obr. 3.6 (střední část obrázku, v podélných řezech je pro přehlednost zakreslována pouze jedna složka elektromagnetického pole). Je patrné, že vid TElä ve vlnovodu kruhového průřezu je určitou analogií vidu TEl0 vc vlnovodu obdélníkového průřezu. Výkon přenášený vlnovodem lze určit u vln příčně elektrických výrazem (2.37) P = TCW/i2~r2 JT2táS Dosadíme-li za funkci Tt výraz (3.39) Tx = J,(JV) cos (p můžeme psát í 7/,2dS = { $ SÍ(Tr)cos1 )dr = ~a2JÍ(ra)\l - o 2 L (ľa)2 J iůžeme vyjádřit výrazem takže přenášený výkon můžeme vyjádřit výrazem P - — xa2C2m2 4 (3.52) Konstantu C vyjádříme pomocí maximální intenzity elektrického pole. Vzhledem 106 107 k tomu, že vid TE,, má dvě příčné složky intenzity elektrického pole, E, a Ev, je vektor výsledné intenzity pole £ = Err + £> ■ Velikost výsledné intenzity elektrického poleje dána odmocninou ze součtu druhých mocnin velikostí složek, takže platí \E\ = V|£,|2 + |£J2 neboli i E | = Ca>n /-^r J,(/Y) sin2

Kdybychom stanovili maximum tohoto výrazu, přesvědčili bychom se o tom, žc maximum je při

) cos tnq> a pro element oblouku obrysové křivky vlnovodu a element plochy platí dí = a dtp; dS = r dtp dr takže jednotlivé výrazy ve vzorci pro poměrný útlum můžeme vyjádřit ve tvaru ČT, 1 ČT, ni .... . os a í*í> a § T2ds - J a J2(ro)cos2 m^a d) e">"; E, = 0 77ř = j«rC J^/V) e"J"; 75,-0 (3.57) //, - r2CJ0(rr)e-J«; 7^ = 0 Rozložení elektromagnetického pole vidu TE0i ve vlnovodu kruhového průřezu je znázorněno na obr. 3.6 (spodní část obrázku, v podélném řezu není zakresleno elektrické pole). Na plášti vlnovodu je pouze podélná tečná složka intenzity magnetického pole, a proto mají vysokofrekvenční povrchové proudy pouze příčný směr. Proto i u vlnovodu s nedokonale vodivým pláštěm existuje Čistý vid příčně elektrický (tečná složka intenzity elektrického pole na plášti vlnovodu má i zde pouze příčný směr). Vid TE01 má velmi zajímavý průběh poměrného útlumu v závislosti na frekvenci. Protože m = 0, můžeme vyjádřit podle vztahu (3.55) poměrný útlum výrazem Z° aJi - v01 takže za použití vztahů aói = ra'< (nT1) (3.58) —/■ / = ^=- rt Jan / „ a při vyjádření útlumu v decibelech můžeme napsat výraz pro poměrný útlum ve tvaru 3/2 = 8,68 c V-3 Vol 60c fflot Vl - v2,, (dB . m"1 . Hz"3/2) Graf tohoto vztahu je na obr. 3.7. Je zřejmé, že se poměrný útlum vidů TE0, monotónně zmenšuje s rostoucí frekvencí (obr. 3.7). Pokles útlumu u vidů TE01 je způsoben tím, že ztráty v plášti vlnovodu jsou závislé pouze na tečné složce intenzity magnetického pole Hz (při m = Oje 77,, = 0). Z uvedených vztahů i z obr. 3.7. je zřejmé, že útlum vidu TE0l může být podstatně zmenšen použitím vlnovodu, jehož poloměr je mnohem větší než minimální poloměr potřebný pro přenos tohoto vidu. Použití takových vlnovodů umožňuje přenos mikrovlnné energie na velké vzdálenosti s malými ztrátami. Je ovšem třeba si uvědomit, že se ve vlnovodu s rozměrem a podstatně větším, než je nutné k přenosu vidu TE01, může současně šířit mnoho jiných vidů, které nemají tak malý útlum jako vid TE01, a kteié proto mohou zhoršit účinnost přenosu. V praxi je však možné Šíření nežádoucích vidů účinně potlačit. 3.3. KOAXIÁLNÍ (SOUOSÉ) VEDENÍ Toto vedení je jedním z nejčastěji používaných. Jeho průřez je tvořen dvěma kovovými souosými válci s poloměry R0 a r0 (válec poloměru r0 může být plný vodič), mezi nimiž se šíří elektromagnetická vlna (obr. 3.8). Obr. 3.8. Souosé (koaxiální) vedení Rovnici ATj = 0 budeme řešit ve válcových souřadnicích. Obecně platí 0% i ar, i 6% a2T( ŮJi = —r + — —--1—r" . , + dr1 r dr dz* Vzhledem k tomu, že Tx je funkcí pouze příčných souřadnic a že plášť je při z = konsti ekvipotenciálou, platí e Ti = 0; 3Ti = 0 (3.59) dz "* dtp Laplaceova -rovnice se tedy zredukuje na rovnici d2T, | 1 dT, =)) dr2 r dr která má řešení 7", = C, ln r + C2 (3.60) Pro postupnou vlnu je možné vyjádřit funkci podélné souřadnice T2 výrazem T2 = Ce""1 takže platí U* = (C, !nr + C2)Ce"JÍI Složky elektromagnetického pole určíme ze vztahů (2.73), (2.74) £ = graddiv//^ H = jene rot II' = jo)e(grad 77' x z) takže lze psát Er (3.61) £.r =í?-= -jkC-U-* oroz r dr r (3.62) E. = 0; Hr = 0 110 111 kde konstanta C zahrnuje jak konstantu funkce T,, tak konstantu funkce 7*2; velikost této výsledné konstanty závisí na buzení elektromagnetické vlny a určuje amplitudu elektromagnetického pole ve vedení. Rozložení elektromagnetického pole je velmi jednoduché, a je zřejmé z obr. 3.9. Vysokofrekvenční proud na povrchu vodičů má pouze podélný směr. Vínovou impedanci určíme jako poměr napětí a proudu kde napětí mezi vodiči je *° Ka ár V = j£rdr = ~)kCe~iiz J" — = -jA:Cln Obr. 3.9. Rozložení elektromagnetického pote v koaxiálním vedení a proud ve vnějším vodiči je 1 = § H . di = f H^R0 dtp = -j2jrů)eC e J o takže po úpravě dostaneme Je-li >i = //0, platí popř. neboř 138 , /í0 20 i - ,_^.log—2- ± 120« ÍJ; e0 (3.63) (3.64) (3.65) Charakteristická impedance vyjádřená pomocí složek intenzity elektrického a magnetického poleje Z = -Juje jako u všech vedení s vlnou TEM. Výkon přenášený koaxiálním vedením můžeme určit pomocí vztahu (2.91) 2 Z„ takzc po uprave aostaneme (3.66) Konstantu C můžeme vyjádřit např. pomocí maximální hodnoty intenzity elektrického pole. Protože platí Er= -jkC — e-ik! r je zřejmé, že maximální hodnota intenzity elektrického pole bude pro r = r0. Lze tedy psát 1 takže C = I £r liMir0 a výraz (3.66) můžeme upravit na tvar P = *! |£,|2„ln^ r0 (3.67) Vyšetřme, při jaké hodnotě vlnové impedance je možné přenášet koaxiálním vedením se vzduchovým dielektrikem maximální výkon. Předpokládáme-li, že vnější poloměr koaxiálního vedení R0 je daná konstantní veličina, potom lze psát P = Krl In *° r0 kde podle (3.67) je X--^=-|Er|Í» Položíme-li dP je zřejmé, že maximum přenášeného výkonu bude při In (R0lr0) = 0,5, tj. při vlnové impedanci Z0 = 30 £í. Poměrný útlum koaxiálního vedení určíme ze vztahu (2.62) P = 1A 2 P kde ztracený výkon Pz vyjádříme jako součet dvou dílčích výkonů PIt a Pl3, 112 113 ztracenycn ve vnějším a vnitrním vodici, j"_ = rít + rí2 \odt. j.iv). z-traceny výkon můžeme vyjádřit pomocí vf odporu vodiče a vf proudu vztahem (2.94) Obr. 3.W. přičemž pro vf odpor vodiče Rvf platí vztah (2.56) kde Qy[ je poměrný vf odpor vodiče, / délka vodiče, t šířka vodiče. Vzhledem k tomu, že výkon přenášený vedením můžeme vyjádřit pomocí vztahu (2.92) p = |z0|/|2 je možné určit poměrný útlum výrazem 1 T Qyt\ Tíflľ' + "7 nebo po úpravě 0 = 1 řrf 1 r0 + 1 In (m"1) (3.68) Vyšetřme nyní optimální hodnotu vlnové impedance koaxiálního vedení se vzduchovým dielektrikem z hlediska minimálního útlumu. Protože vlnová impedance je funkcí poměru Rq/'o — x> můžeme při konstantním poloměru R$ psát x + 1 m x K = Položíme-li É*yf _ J_ Ro dx In x — (x + 1) 1 = K = 0 zjistíme, že minimum poměrného útlumu nastávává pro In x = 1 + 1/x. Řešením této rovnice určíme x = 3,6 a poměru R0fr0 = 3,6 odpovídá velikost vlnové impedance Z0 = 77 íí. Je zřejmé, že t uzná hlediska (maximální přenášený výkon a minimálni útlum) vyžadují různé poměry poloměrů Ro!r0 i. a tím i různé hodnoty vlnové impedance koaxiálního vedení. Ukazuje se však, že volba poměru R^jr0 není příliš kritická. z hlediska konstrukčního provedení by bylo nejvýhodnější takové vedení, u kterého by nepřesnosti rozměrů měly co nejmenší vliv na odchylky vlnové impedance. Tento požadavek se nejsnadněji splní u vedení, která maji co největší rozměry R0 a r0. Poznáme však, že pokud nechceme v koaxiálním vedení připustit možnost vybuzení i jiných vidů než TEM, není možné libovolně zvětšovat jeho rozměry. 3.3.1. Vlnovodové vidy v koaxiálním vedení V koaxiálním vedeni se za určitých podmínek mohou šířit kromě základní vlny TEM i vlny TM nebo TE. Tyto vlny mají, na rozdíl od základní vlny TEM, mezní frekvence závisející na velikosti příčných rozměrů vedení. Pro přenos elektromagnetické energie nemají zvláštní význam, je však třeba si uvědomit, že za jistých podmínek mohou ve vedení vzniknout. V praxi se snažíme jejich možnému Šíření zabránit vhodnou volbou rozměrů koaxiálních vedeni. Rovnici pro funkci příčných souřadnic Tt jsme ve válcových souřadnicích dostali ve tvaru dr1 rt or r dtp1 Substitucí 7\ = R$ jsme po separaci proměnných dostali dvě diferenciální rovnice Í3.30) a (3.28) e2 dr d2ů> d) + CtNJľr) * = C, cos m

= 0. U koaxiálního vedení se středním vodičem nemůže být nikdy Tr = 0, takže se musí počítat s řešením včetně Neumannovy funkce Nm(rr) T, = (C, cos mp + C, sin m) + C4 NB(J>)] (3.69) Neznámou konstantu T určíme z okrajových podmínek. F/ny příčně magnetické v koaxiálním vedeni Pro vlny příčně magnetické lze vyjádřit okrajovou podmínku vztahem, že na plášti vlnovodu je T, = 0. Vzhledem k tomu, že plášť koaxiálního vedení je určen souřadnicemi r = r0 a r = Ä0, vyplývají podle (3.69) z okrajových podmínek vztahy C3 3jrr0) + C+ NM(i>0) = 0 c, jm(rÄ0) + c* N„(rÄ0) = o Netriviální řešeni této soustavy rovnic dostaneme tehdy, jestliže se její determinant bude rovnat nule, tj. /j/>j nm(/-íí0) - j„(r/t0) NJ/>0) - o Dosadime-li J>0 = v., Äo/'o = *» ,ze P8^* j«0!) N„(xjí) - j„(xZ) nm(j() = 0 Mezní déJku vlny vyjádříme vztahem (3-70) (3.71) Tato rovnice je splněna při hodnotách kořene x„n, kde m je řád Besselových funkcí J„ a N„ a n určuje pořadí kořene. Poměr x je při daných rozměrech koaxiálního vedeni konstanta. Nulové hodnoty rovnice (3.71) jsou uvedeny v tab. 4. Tab, 4. Nulové hodnoty rovnice J„(j() NJjcj:) - .U*Jf)N_(z) = 0 Xoi I Jfii 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 15,70 6,27 3,12 2,07 i,55 1,02 15,73 6,32 3,20 2,16 1,64 1,11 15,81 6,47 3,41 2,39 1,87 1,33 31,41 12,56 6,27 4,18 3,13 2,08 31,42 12,59 6,31 4,22 3,18 2,13 2tu 2ti r„ (3.72) Kdybychom vyjádřili v závislosti na poměru x místo hodnot xmn hodnoty (x — 1) # zjistili bychom, že se výraz (x — 1) %m blíží násobkům čísla k, konverguje-li x k jedné. Velikost výrazu (x - 1) %m„ nezávisí na řádu Besselových funkcí, ale pouze na pořadí kořene (na číslu ri). Platí (x — 1) Xmm * mc RozSíříme-li vztah (3.72) na tvar . _ 2icr0(x - 1) m Xjfr ~ 1) je možné za použití vztahu (3.73) psát ; ~ 2Ttr0(x - 1) 2 (3.73) (3.74) kde « = 1, 2, 3,____ Hertzův vektor pro postupnou vlnu určíme podle rovnice (3.69) = (Ct cos mq> + C2 sin mip) [C, Jra(/>) + ' C4 N„(rr)] C e"J" (3.75) Podobně jako u vlnovodu kruhového průřezu mohou existovat při nenulových hodnotách m dvě elektromagnetická pole, vzájemně posunutá ve směru souřadnice

)] cos m

jsme vyjádřili funkcí cos m

) N„(r/f0) - j^r/to) nb(/» = zm(/>, r/t0) lze psát V - C Zm[Tr, rR0)cos m" (3.76) Složky intenzity elektrického a magnetického pole vyjádříme z rovnic (1.64) a (i.65) £ = k2n'z + graddiv/7^ H = jme rot Wz = jwe(grad 1% x z) takže E dz = ')ol~-C ZJTr, ľRo) sin m

příčně elektrické v koaxiálním vedení Pro vlny příčně elektrické je možné vyjádřit okrajovou podmínku vztahem, že na povrchu vodičů je BTJdn = 0. Podle (3.69) vyplývají z okrajových podmínek rovnice c3rm(rr0) +c4wm(rr0) =o (3.78) Ciľm(rR0) + C4N'm{ľR<>) = Q Netriviální řešení této soustavy rovnic dostaneme pro nulový deteiminant soustavy rm(rro)Wm(rR0) - j;(/^0)n;(í>0) = o Zavedeme-li vztahy i>0 = a R0jr0 = x, dostaneme rovnici rjjí) Kfx/) - j'm(xx') n_Gť) =» 0 (3.79) Tato rovnice je splněna při hodnotách kořene x™, kde m je Fád Besselových funkcí }'„ a N'„ a. n js pořadí nulové hodnoty. Nulové hodnoty (kořeny) rovnice (3.79) jsou uvedeny v tab. 5. Tab. 5. Nulové hodnoty rovnice JU.X)NÍ(*z') — Jit^x')Ni(x') = 0 x ~ Rajr0 Xti Xoi X>i 1,2 0,91 1,82 2,73 15,73 15,75 1,5 0,80 1,61 2,41 6,32 6,38 2,0 0,68 1,34 1,98 3,20 3,28 2,5 0,58 1,14 1,64 2,16 2,26 3,0 0,51 0,98 1,39 1,64 1,76 4,0 0,41 0,75 1,05 1.11 1,25 Mezní délku vlny vyjádříme opět podle vztahu (2.15) _ 2n 2ítr0 (3-80) Kdybychom vyjádřili v závislosti na poměru jc místo hodnot xL hodnoty (x + + ]) X™ pro « = 1 a hodnoty (x - 1) yjmn pro n > 1, zjistili bychom, že přibližně platí (x - 1)X™ ~ (* - 1)« (pro«>l) Úpravou vztahu (3.80) pro n = 1 dostaneme 2itr0(jc + 1) 27tr„(jc + 1) (3.81) neboli 2n R0 + r0 01 ^ m 2 a pro « > 1 můžeme psát _ 2nr0(x - 1) (x - 1)ju, neboli (s použitím 3.81) „ 2(*0 - r0) ^ ~ n - 1 2m (3.82), 2nr0(x — 1) (n - 1)« (3.83) Porovnáme-li výrazy pro mezní vlnové délky vidů TM a TE, je zřejmé, že největší mezní vlnovou délku má vid TEt!, pro který platí 2ji- (3.84) Mezní vlnová délka tohoto hlavního vlnovodového vidu v koaxiálním vedeni je rovna obvodu kružnice, jejíž poloměr je dán střední hodnotou velkého a malého poloměru (obr. 3.11). Obr. 3.11. Určeni mezní vlnové délky vidu TEM v koaxiálním vedení Jestliže tedy chceme mít zaručeno, že se v koaxiálním vedení nebude Střít jiný vid než TEM, musí být vlnová délka přenášené vlny větší než mezní vlnová délka vidu TE1L. Hertzův vektor pro postupnou vlnu určíme podobně jako u vln TM výrazem J7™ = (Cř cos m

0) C4= -C3 n;í/>0) TE 11 E •H TM 01 Obr. 3.12. Rozložení elektromagnetického pole vidů TE,, a TM01 v koaxiálním vedení 120 takže po úpravě lze vyjádřit Hertzův vektor výrazem = C[JJ(J>) iv;(rr0) - rm(rr0) N»(/V)] cos m

0). Použijeme-li zkrácený zápis Zm(J>, Tr0) = J„(rr)K(rr0) - ]'m(rr0) N^fr) dostaneme n? = CZ„(rr,rr0)cosm/i = j«)^ ™ C Z„(rr, í>0) sin m

=j<»iU dr = jcůjirC Z'm(rT> rr0) cos »t

, fV0) cos m

, J>0) sin mťp e'*" rocpoz r T2i7f - r2C ZJTt, ľr0) cos mp e_j" Rozložení elektromagnetického pole vidu TEjj v koaxiálním vedení je znázorněno na obr. 3.12. Na tomto obrázku je pro porovnání znázorněno i elektromagnetické pole vidu TM0I. Pro přehlednost je v podélných řezech zakreslena vždy pouze jedna složka intenzity pole. Pro praktické aplikace má v koaxiálním vedení význam vid TEM. Použití vlnovodových vidů v koaxiálním vedení není výhodné, nebot současně s kterým-koliv vlnovodovým videm se Síří i vid TEM. Protože mezní vlnové délky jednotlivých vyšších vidů jsou velmi blízké, je jejich oddělení obtížné. 34. DESKOVÉ VEDENÍ SE STŘEDNÍM VODIČEM V měřici technice se často používá deskové vedení £3], jehož průřez je schematicky znázorněn na obr. 3.13. Toto vedeni můžeme považovat za zvláštní případ koaxiálního vedení, jehož průřez je převeden z komplexní roviny (tť) pomocí konformního zobrazeni do komplexní roviny (z) zprostředkující funkcf w = tg z 121 3.14), takže můžeme psát u + ju = tg (x + j v) neboli tg x + j tgh v 1 -jtgxtgh^ u w-tgz Oŕr. 3.13. Průřez deskovým vedením Oddělením reálné a imaginárni části dostaneme tgx(l - tgh2 y) 1 + tg2 x tgh2 y v = tgh v(l + tg2x) 1 + tg2jctgh2 v Ekvipotenciály v rovině (tv) jsou určeny rovnicí kružnice (z) I (3.87) takže za použití vztahů (3.87) lze po úpravě psát tg2 x + tgh2 y r2 = 1 + tg2 x tgh2 j Předpokládejme, že vnější vodič koaxiálního vedení má poloměr r — 1, vnitřní vodič má poloměr r = a (obr. 3.15) a vyšetřeme, jak se zobrazí toto vedení v rovině (z). Při poloměru r = 1 vychází z rovnic (3.87): Obr. 3.15. Pro bod u = ± 1, u = 0 platí tg x = ± 1, tgh y = 0 neboli *=±£; y = 0 a podobné pro bod u = 0, p = +1 platí tg * = 0, tgh y = ±1 122 (3.88) (3.89) (3.90) (3.91) neboli x = 0; v = ±oo Při poloměru r = a dostaneme analogicky: Pro bod u = ±o, v = Q platí tg x = ±a, tgh y = 0 neboli x = + arctg a; >> = 0 a podobně pro bod u = 0, r = ±a platí tg x = 0, tgh>> = ±a neboli jc = 0; j> = ± argtgha Označíme-li rozměry deskového vedení podle obr. 3.16 A- — A~ 4 B = argtgh a = {a + y a1 + y a5 4- ...^ C = arctg a = - ~ a3 + y a5 - ...^ je zřejmé, že podle rovnice (3.89) by měl být rozměr D nekonečně velký. Poznáme však, že použití konečného rozměru má stejné důsledky jako zavedení podélné štěrbiny do koaxiálního vedení; šířka štěrbiny je závislá na poměru DjA. Z rovnic (3.92) a (3.93) vyplývá, že při malých hodnotách a je průřez vnitřního vodiče téměř kruhový, obecně však je eliptický. (3.92) (3.93) Obr. 3.16. Rozmery deskového veden f Obr. 3.17. Štěrbina v koaxiálním vedení Předpokládejme nyní, že v koaxiálním vedení jsou štěrbiny s úhlovou šířkou a> (obr. 3.17). Úhel

= sinh 2D Jestliže budeme počítat úhel

1, lze použít přibližný vztah 276 , 4D Z0, ^log- Ol 15) S. Rozložení elektromagnetického pole v souosém vedení je určeno rovnicemi (3.62). Elektrické pole je radiální, magnetické pole má kruhové siločáry (obr. 3.9). VySetřeme, jaké bude rozložení elektromanetického pole v nesouosém dvoudrátovém vedení. 20 Obr. 3.20. Rozměry dvoudrátového vedení Obr. 3.71. Elektrické pole v rovině (zj v souosém vedení je pole radiální, takže pro určitou siločáru platí podle obr. 3.21 tg? = konst = B Podle vztahů uvedených v příloze G lze psát *!»--(? + z*); >>,=•!(_■-z*) takže rovnici siločáry elektrického pole můžeme napsat ve tvaru jB = (3.116) * Vzhledem k tomu, že souosé vedení v rovině (z,) je možné převést ve vedení ne-souosé v rovině (z3) pomoci vztahů 1 neboli z_ = z2 - d; r_ = — je možné upravit rovnici (3.116) do tvaru ***** ~ z*{ii -j m) ~ z*(-éí+j w) =0 (3.117) 128 129 Porovnáme-H tuto rovnici s obecnou rovnicí kružnice s poloměrem q a se souřadnicemi středu m, n (viz přílohu G) zz* - zim - j«) - z*{m + jn) + m2 + ni2 - Q2 - 0 je zřejmé, že rovnice (3.117) je rovnicí kružnice se souřadnicemi středu 1 1 2Bd 1 + B1 a s poloměrem 1 e= 2d akže za použití rovnice (3.111) dostaneme J_ 1 2s/7Vo~ 1 m = ji - 2BV/V 1 + i (3.118) (3.119) 2jR0r0 V Magnetické pole v rovině (zj) u souosého vedení má kružnicové siločáry, přičemž kružnici poloměru q ,, můžeme vyjádřit rovnicí ZíZÍ-ef (3-120) Za použití vztahů Zj = z2 — d; z2 = ze psát po úpravě rovnici (3.120) ve tvaru d * d 1 Z3Z3 - Z3- 1 -o d2 - flf " <*' - eí . d - *i Porovnáním této rovnice s obecnou rovnicí kružnice dostaneme d m = —: 2 01 n =0 (3.121) a po dosazení vztahu (3.111) m = v'JVo , ; « = 0 TVo -

0) a integraci provedeme po polokružnici cr. Potom platí t rew(2 - reJ 0, kdy 0(r) -» 0, dostaneme . A, z něhož stanovíme konstantu Aí takže po dosazeni do vzorce (3.124) dostaneme zobrazovsicl funkci (3.127) = -~ln(l-í2) (3.128) Zobrazme dále horní polorovinu roviny (0 iia pás roviny (w) podle obr. 3.25. K. tomu použijeme vyjádření derivace dw/dC zobrazovací funkce w = w(0 ve tvaru dw (C _ tzý>l'-i (f _ C^""1 (C - U?**'1 (3.129) 133 přičemž za body d až £4 vezmeme již dříve použité body na reálné ose roviny (£)» C = co, Ci ■= -1, Í3 = 0 a C4 - L I (í) 3 \ — M / \ \ 2 I y -10 1 5 í?*".- i.ŕJ. Zobrazeni horní poloroviny roviny (í) na pás v roviné (tv) V rovině (w) orientujeme polygC." tak, jak je vyznačeno na obr. 3.25. Sestavme opět pro prehlédiicst velikosti úhlů flk pří jednotlivých vrcholech polygonu v rovině (»>) a hodnoty £t odpovídající v rovině (Q vrcholům polygonu do tabulky bod úhel fik 1 2 3 4 TC 0 ic 0 00 ~1 0 1 Potom můžeme vztah (3.129) napsat ve tvaru d^-od kud plyne = + l)_1(í - I)"' = dC kde se integruje po libovolné cestě ležící v horní polorovině (£) a spojující bod 0 s bodem í, Po provedení naznačené integrace dostaneme (3.130) kde znakem In označujeme hlavní hodnotu logaritmu. Aditivní konstantu 52 určíme z podmínky, že bodu w3 - j V odpovídá bod £3 = = 0. Platí tedy neboli j^=-^ln(~l) + B2 odkud plyne ^j(>'-4) i) pak můžeir Vztah (3.130) pak můžeme vyjádřit ve tvaru Činitel 5, lze určit ze vztahu lim w(C) = 0 odkud plyne podmínka 0 = A[ln(l)-jrt] +JV z níž dostaneme 2V Zobrazovací vztah pak nabude tvaru neboli £ - 1 V. w = — In „ ji £ + 1 odkud plyne dále KW , 1 — C Označíme-li 7iw lze vztah (3.133) zjednodušit na tvar 1 - C ln 1 + odkud plyne a dáte 1 -C 1 + C 2ew" 1 - C = —— e" + 1 c"' + I 134 takže 4 e" (eWl + iy cosh (3.135) Použitím tohoto vztahu a rovnice (3.128) dostaneme po úpravě jj- In cosh — Zavedeme-li substituci w,/2 = -jw2, dostaneme dále 712 — = In cos w2 (3.136) (3.137) odkud plyne e"'" = cosH-2 (3-138) Rovnice (3.137) a (3.138) jsou již transformační vztahy mezi komplexní rovinou (z), do které jsme umístili páskové vedení, a komplexní rovinou (w2). Protože proměnné w2 a w js0u vázány vztahem . Wi j Aw • \ neboli 2 K vidíme, že se zobrazením (3.137) a (3.138) polygon ve tvaru vodorovného pásu v rovině (w) zobrazuje do roviny (w2) na polygon tvaru svislého pásu šířky u/2 (obr. 3.26). Obr. 3.26. 1 i y 1 d) i li x i1 (Wr. J.27. Symetrické páskové vedení v rovinách (í) a (h-j) Vztah (3.138) je tedy zobrazením, kterým se zobrazuje část symetrického páskového vedení v rovině (z), na ideální kondenzátor v rovině (w2). K určení vlnové impedance je třeba znát kapacitu vedeni. Předpokládejme, že šířka vnitřního pásku je b a vyšetřme kapacitu vedení symetrického podle svislé roviny, umístěné ve vzdáleností x = i>/2 (obr. 3.27). Toto vedení zobrazíme vztahem (3.138) do roviny (w2), určíme příslušnou kapacitu a z té pak velikost vlnové impedance. Zapíšeme-li z a w2 ve složkovém tvaru z = x + ]y\ w2 = i<2 + .F2 a dosadíme-li do (3.138), dostaneme cos(u2 + jť2) neboli r.y 2~I j sin 2d cos u2 cosh t>2 — j sin u2 sinh y2 odkud pak oddělením reálné a imaginárni části vyplývá e'^cos^r = cosu2cosht)2 Za eM'iasin-^-^ -sin w2 sinh t>2 (3.139) (3.140) Po umocnění na druhou a sečtení obou posledních rovnic dostaneme vztah e**,d = cos2 u2 cosh2 v2 + sin2 u2 sinh2 v2 ze kterého určíme pro danou šířku pásku a: = b(2 odpovídající velikost t>2, jednak pro u2 = 0, jednak pro u2 = it/2. Pro «2 = 0 platí = cosh2 i>2(ř>) takže \v2(b)\ = argcosh e^4*1 Pro u2 = 7t/2 platí analogicky (3.141) takže = sinh v2(b) | v2(b) 1 = argsinh e*"4"1 (3.142) Protože při stejné hodnotě argumentu vždy platí argsinh e**4* > argcosh e"*'4' je zřejmé, že pro pásek konečné šířky b nedostaneme v rovině (w2) pásky stejné výšky | v2(b) |, rozdíl však rychle klesá s rostoucí hodnotou poměru b\d. Protože odchylka hodnot | v2(b) j je ve skutečnosti malá, můžeme hodnotu | v2(b) \ velmi dobře aproximovat aritmetickým průměrem hodnot daných vztahy (3.141) a (3.142), takže I "20) I = y (argsinh e"*'4' + argcosh e**'4") (3.143) Jestliže čáry «2 = konst jsou ekvipotenciály a čáry i>2 = konst jsou siločáry, pak 136 137 Kapacitu ttonuenzaioru v rovine (w2) určime poaie oor. ze vztanu _ "2(A) - «.(B) «2(0 - "2(H) kde e je permitivita prostředí. Obr. 3.28. SiLoCáiy r>_ a ekvipotenciály f/_ V našem případě platí pro kapacitu jedné čtvrtiny průřezu vedení takže pak pro celý průřez vedení dostaneme po dosazení ze vztahu (3,143) 4e C = — (argsinh e**'4** + argcosh e^4**) (3.144) Pro vlnovou impedanci vedení s vlnou TEM jsme v kap. 2. odvodili vztah (2.85) Z0 = kde C je kapacita na jednotku délky vedení, takže podle (3.144) lze vyjádřit vlnovou impedanci symetrického páskového vedení Z0 = JU IjL 4 V e argsinh e"*'*1 + argcosh e"*'4" Protože hyperbolo metrické funkce reálné proměnné x můžeme vyjádřit výrazy (3.145) argsinh x — In (.v + sfx1 + i); jc e( — 00, + 00) argcosh x = ln (v -f- \fx* — 1); rž 1 dostaneme jejich použitím po úpravě přibližný vzorec pro vlnovou impedanci 30it2 m(4e"*/:") (3.146) 138 který vyjaaruje vínovou impeaanci z,0 jaico lunKci poměru bjd. Graf této funkce jc na obr. 3.29. Vzorec (3.146) je použitelný s dostatečnou přesnosti (s chybou menší než 1 %) pro hodnoty bjd > 1. Při hodnotách bjd < 1 jeho chyba vzrůstá. i.'-------..... 10 Obr. 3.29. Závislost vlnové impedance na poměru bjd 3.7. NESYMETRICKÉ PÁSKOVÉ VEDENÍ Předpokládejme páskové vedeni podle obr. 3.30. Jestliže je dolní pásek mnohem širší než pásek horní, magnetické pole se uzavírá pouze kolem užšího horního pásku. To je z konstrukčního hlediska velmi výhodné, neboí vedení lze položit na jakoukoliv podložku bez nebezpečí, že se naruší jeho vlastnosti. I Obr. 3.30. Nesymetrické páskové vedení Toto vedení se obvykle vyrábí technologií plošných spojů, takže mezi páskovými vodiči je pevné dielektrikum (substrát) s malými ztrátami. Protože Šířka horního pásku je obvykle porovnatelná s tloušťkou dielektrického substrátu, nelze zanedbat rozptylové pole na okrajích horního pásku, které prochází jak dielektrickým substrátem, tak vzduchovým prostředím. Vedení má ve svém příčném průřezu dvě různá dielektrická prostředí, takže je příčně nehomogenní. Proto v něm nemůže 139 tAJín-vyYíit v; ui t íim i a,.»1, niv itv. i£jr t»wv*in viua, uwia ilia aujt.Ä.jr uii\.Li*,lt.j vjvrt trického a magnetického pole i v podélném směru (o možnosti Síření takových vln bude pojednáno v čl. 4.3 a 5.2). Protože však příčný rozměr těchto vedení je mnohem menäí než vlnová délka, jsou podélné složky intenzit pole v porovnáni s příčnými složkami zanedbatelně malé. Vlnu, která se na vedení šíři, považujeme přibližně za vlnu TEM, přičemž přibližnost vyjadřujeme tím, že hovoříme o Šíření vlny kvazi-TEM, Vlastnosti nesymetrického páskového vedení je možné analyzovat metodami, na které jsou uvedeny odkazy v kap. 11. Pro praktické použití zcela vyhovuje analýza pomocí přiblížení kvazi-TEM. U širokých pásků, kdy platí bjh > 1, je vliv rozptylového pole na kapacitu zanedbatelný, takže vlnová impedance, jejíž velikost závisí na kapacitě vedení podle vztahu (2,85), se blíži hodnotě Z0= e b (3.147) kde b je šířka horního pásku, h vzdálenost pásků. Obr. 3.31. Široké a úzké páskové vedení V případě, že je horní pásek úzký, tj. bjh 1, rozptylové pole naopak převládá a má podobný průběh jako pole vodiče kruhového průřezu, umístěného nad vodivou rovinnou plochou. Experimentálně bylo zjištěno, že kapacita vedení s úzkým páskem zanedbatelné tloušťky a vedení s vodičem kruhového průřezu jsou stejné, jestliže je splněn vztah b sí 2d kde b je šířka pásku, d průměr vodiče kruhového průřezu. K přibližnému vyjádřeni vlnové impedance úzkého páskového vedeni můžeme tedy použit upravený vzorec (3.115), odvozený v čl. 3.5 pro vlnovou impedanci b =2d Obr. 3.32. Vedeni ekvivalentních vlnových impedancí 140 avouaratoveno veaeni. ťrotože vlnová impedance vedení s vodičem kruhového průřezu, umístěným nad vodivou rovinou, je poloviční (vedení má v porovnání s dvoudrátovým vedením dvojnásobnou kapacitu), lze psát Z0 « 138 log AD takže pro páskové vedení se Šířkou pásku b dostaneme přibližný vztah Z6 * 138 log — (3.148) přičemž předpokládáme, že D = h. J K odvození přesnějších výrazu pro vlnové impedance než jsou rovnice (3.147) a (3.148) a k určeni průběhu elektromagnetického pole vedení lze použít konformní zobrazení analogicky jako u symetrického páskového vedení, přičemž základním problémem je nalezení vhodného transformačního vztahu, který by umožnil popsat vlastnosti vedeni pomoci jednoduchých funkcí. \ \ \ [V) Obr. 3.33. Prevod polygonálni oblasti z roviny (z) na pás do roviny (h-) Pro široké pásky, kde b\h > 1, můžeme použít k určení průběhu pole v okolí okraje horního pásku zobrazení uvedené na obr. 3.33. Funkci, zobrazující rovinu průřezu nesymetrického vedení do pásu mezí elektrodami ideálního kondenzátoru lze odvodit ve tvaru [2], [5] 2 =~(e"+ř>v+[1) (3.149) Z rovnice (3.149) můžeme vyjádřit parametrické vztahy pro určení průběhu elektrického pole i pro ekvipotenciální čáry. Vlnovou impedanci určíme pak analogicky jako u symetrického vedení z kapacity C na jednotku délky vedení. Protože polygon, použitý k odvození vztahu (3.149), předpokládá nekonečnou šířku pásků (obr. 3.33), je při konečné šířce pásků výsledek zatížen chybou, která vzrůstá s klesajícím poměrem bjh. Použití dokonalejšího modelu zobrazení, které respektuje konečnou šířku pásků, vede na eliptické integrály, což je pro technické použití nepraktické. Mnoho 141 autoru se proto pokusilo najit takové zoorazeni, Které oy veoio na jeanoaucnc funkční závislosti při dostatečně přesných výsledcích. Bližší podrobnosti k této problematice jsou uvedeny v kap. 11 a v příslušné literatuře. 4. Nehomogenní vedení Literalura ke kapitole 3 [1] Kvasil, B.: Theorctické základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957. 12] Grivet, The Physicj of Transmission Lines at High and Very High Frequencies. London, Academie Press 1970. Í3] Wholey, W. B.-Eldred, W. N.: A New Type of Slotted Line Section. Proc. IRE 1950, č. 3, str. 244 až 24S. [4] Fuks, B. A.-Sabat, B. V.: Funkce komplexní proměnné (překlad £ ruštiny). Praha, Přírodovědecké vydavatelství 1953. [5] Tysl, V.: Obvody a technika velmi vysokých kmitočtů I. Skriptum. Praha, Ediční středisko ČVUT 1982. [6] Angot, A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry (překlad z francouzštiny). Praha, SNTL 1960. [7] Růžička, V.-Punčochář, J.: Teorie obvodů V. Skriptum FE VUT. Praha, SNTL 1974. 18] Milovanou, O.S. - Sobenin, N.P.: Technika &vercbvysotóCh eastot. Moskva, \tomizdat 1980. 142 Nehomogenní vedení je charakterizováno tím, že se bud jeho vlnová impedance mění se vzdáleností, nebo že parametry prostředí nejsou v celém průřezu vedení stejné. Podle charakteru nehomogenit rozlišujeme pak vedení podélně nebo příčně nehomogenní. Úseky podélně nehomogenních vedení se často používají jako přechody spojující dvě vedení s různými vlnovými impedancemi, příčně nehomogenní vedení se používají k dosažení určitých zvláštních vlastností vedení (k dosažení určité fázové rychlosti šíření, ke konstrukci posouvače fáze apod.). V této kapitole naznačíme metodiku řešení podélně nehomogenních vedeni a na příkladu vlnovodu obdélníkového průřezu uvedeme řešení příčně nehomogenního vedení. V závěru kapitoly uvedeme vlastnosti radiálního vedení. 4.1. PODÉLNĚ SPOJITÉ NEHOMOGENNÍ VEDENÍ Předpokládejme úsek vedení s obecným spojitým průběhem změny impedance Z(z) a nahradme tento spojitý průběh nespojitým, stupňovitým průběhem nekonečně malých úseků délky dz [1], Předpokládejme současně, že se vlnová impedance na jednotlivých úsecích mění o dZ. Změna impedance o dZ vyvolá diferenciální změnu činitele odrazu dp podle vztahu (2.126) _ (Zz) + dZ(z) - Z(z) ^ dZ(z) 1 d áe ~ z(z) + dz(z) + z(zT ~ IzTzT T dF[in ZW (4.1) Obr. 4,1. Náhrada spojitého přechodu stupňovým přechodem Pfedpokládáme-li podle obr. 4. t kladný smysl souřadnice z směrem od zátěže Z2, můžeme vyjádřit výsledný činitel odrazu integraci výrazu (4.1) po celé délce / úseku 143 vedení neboli 1 « . J2al —[lnZ(z)]dz dz Q = ~ í P(z)e-i3«dz; P(z) = — [lnZ(z)] (4.2) (4.3) Tato rovnice je v podstatě Fourierova transformace funkce P(z), která je nulová mimo interval 0 S z S /. Její pomoci můžeme řešit problém analýzy daného úseku vedení, tj. můžeme ke známému průběhu vlnové impedance Z(z) určit Činitel odrazu. Složitější je problém syntézy, kdy k požadované hodnotě činitele odrazu máme určit průběh vlnové impedance úseku nehomogenního vedení. 4.1.1. Vedení s exponenciální změnou impedance U exponenciálního průběhu impedance platí Z(z) = Z2 e-"* takže pro z = l (na začátku vedení, viz obr. 4.2) je Z, = Z2 t'al odkud 1 . a = -r in (4.4) (4.5) Obr. 4.2. Exponenciální přechod mezi vedeními Ze vztahu (4.3) a (4.4) vyplývá P(z) = -^-lnZfz) = ^(lnZ2 - az) neboli P(z) - -a Použitím výrazu (4.3) dostaneme G-=-y«íe-JI"dz=-ya^r(e -j2al 1) takže po úpravě lze vyjádřit činitel odrazu výrazem 1 Z2 sin a/ j£ti e = -TlnzT-iíre (4.6) popr. 1 Z2 In 2 .Z, . i - ^2 I siná/1 ! e I = In —— - (4.7) Je zřejmé, že činitel odrazu bude nulový při hodnotě argumentu „(z) = lm^_L d Z„ (4.9) 144 145 a činitel odrazu q lze vyjádřit přibližným výrazem e-í- í ln^-Le^ (4.10) 2 B=o Z„ který je použitelný s vyhovující přesností v mezích 0,5 < Zfl+1/Z„ < 2, jak se můžeme přesvědčit porovnáním se vztahem (2.126). Funkce PJz), určené vztahem (4.9), mohou mít různé rozložení, které však vždy bývá symetrické. Velmi často se používají úseky vedení, kde rozložení funkce Pn(z) je úměrné binomickým koeficientům nebo Čebyševovým polynomům. 4.2,1. Vedení se stupňovou změnou impedance podle binomického rozložení Jestliže budeme předpokládat vedení s m stupni, je možné vyjádřit koeficienty binomického rozložení vztahem m! " (m-řOlít! kde m je celkový počet stupňů, n pořadí stupně. Přitom zřejmě platí c = c:_„ C" = Cl = 1 cr-c:_, = m Předpokládejme, že p*z) = cc takže platí P0(z) =C?C = C P,(z) = CTC - Cm (4.11) (rtl — rt)! řl! Pm_1(z) = C:_1í = Cm Provedeme-li součet na obou stranách těchto rovnic, dostaneme n-0 takže a s použitím (4.9) lze psát _l±an Zj. 2* (i \ " Zo + ln + ln- *m+ 1 ) neboli 2" ť' Zo (4.12) kde Z0 je vlnová impedance na vstupní straně, Zm+, vlnová impedance na výstupní straně. Vyjádríme-li činitel odrazu na vstupní straně výrazem (4.8) s použitím (4.11), dostaneme 1 m z ft=0 neboli C + Cme j3e + ... + C (m — n)! n! + ... -Ke - jziwej ^ takže s použitím (4.12) a po úpravě je 1 nebo 1 -jJitS 2" e = y^in^Íi)cosm6»e-Jme a modul činitele odrazu je li k,=y(ln%r)|cos6>r (4.13) (4.14) Je zřejmé, že činitel odrazu bude nulový při hodnotě argumentu & = jc/2, tj. při délce jednoho stupně vedení d = 1/4. 1 při odchylce od této hodnoty, dané např. změnou frekvence přenášené vlny, vykazují přechody s binomickým rozdělením impedance v poměrně širokém rozsahu frekvencí malou hodnotu činitele odrazu a mají velmi plochou frekvenční závislost činitele odrazu. 4,3. PŘÍČNĚ NEHOMOGENNÍ VEDENÍ V technické praxi se často setkáme s případem, že průřez vedení je částečně vyplněn dielektrikem s malými ztrátami. Metodiku řešení ukážeme na přikladu vlnovodu obdélníkového průřezu. 146 147 4.J. 1. Vlnovod obdélníkového průřezu s vloženou dielektrickou deskou Předpokládejme, že vlnovod obdélníkového průřezu je částečně vyplněn dielektrikem podle obr 4.5 Předpokládejme dále, že se v prázdném vlnovodu může Sířit vid TEio a vyšetřme vliv vložené dielektrické desky na vlastnosti elektromagnetické vlny. ——- 17-7-7 '■}>. "; (? = js) přičemž platí r2 = kl + k2 (4.17) Složky intenzity elektrického a magnetického pole stanovíme z rovnic (4.15) Ey - - a>uaí_4 cos kxx + B sin fc-jr) (C cos £_y + £> sin kry) e~J" Et - —}(úfikr(A cos k;X + B sin kxx) (C sin kyy - D cos k,y) e"J" Hx - {k2 + k2x) {A cos k^x + B sin fc-x) (C cos kty + 2> sin k,y) e"J" Hy = kxky{A sin kxx - B cos kxx) (C sin kyy - D cos k,y) a'1" (4.18) 77. - jzkx(A sin kxx - B cos kxx) (C cos A_>> + D sin kyý) e_i" Jednotlivá prostředí budeme při tom rozlišovat horními indexy (1), (2) a (3) ve shodě s obr. 4.5. Z rovnosti tečných složek intenzit pole E a H na rozhraní dielektrických prostředí vyplývá totožnost konstant ky ve všech třech oblastech. Z okrajových podmínek na plášti vlnovodu fCDI =F<2>! =Em\ „ = 0 Ľl hř-0 Ľi !y = 0 Ľ: j-0 u vyplývá Dť,) = D<2> = £><3) = 0 1*=* kde n je celé číslo. Z podmínek plyne _4(1) — Aiy) = G 148 149 plášti vlnovodu. Protože předpokládáme nejjednodušší případ elektromagnetického pole, který odpovídá v prázdném vlnovodu vidu TE10, položíme « = 0, a tedy i fcr = 0. V důsledku toho budou nulové i složky Ez a HT. Pro zjednodušení formulace okrajových podmínek zavedeme pomocné proměnné x' a x" (obr. 4.6), pro které platí x' = x - (c + 0 x" = x — a e ů > '//, // 3 -a ——/' _^ Obr. 4.6. Zavedeni -f. pomocných proměnných (4.19) (4.20) Z rovnic (4.18) dostaneme: Pro oblast (1) E?* = -w/taB^sinfc^xe-J" 7Í<1} = -jak^^sink^xe-J41 pro oblast (2) = -o>w(A.wcoskx2>x + fl(1)sin*?,*)«s~i". Jí<2> = )«k?\Al2> sin k^x - B<2> cos e"**1 a pro oblast (3) (kde předpokládáme #3) = fcc = A™ cos kx2h - B(2,sin fc<2)t fc*"*1* cos*?>c - 42>(^(2'sin+ J3<2)coski2>í) {422) (4.21) Am = 1(3) sin jejicnz řešeni mu^ciiic vyiuutciu iíliii!>ui.iu a po uprave napsat ve tvaru t<2) tg/í^c + tgk^d km i k(2iV (4.23) 1 přičemž platí k^ = >J(ů1iiíe1 kx2) = y/ctí2fi2e2 - OL2 kde /in e,, efl jsou parametry prostředí v oblasti (1), «2i £,2 parametry prostředí v oblasti (2), /„ je vlnová délka ve volném prostoru, A, vlnová délka ve vlnovodu s vloženou dielektrickou deskou. Řešením rovnice (4.23) můžeme určit při daných rozměrech a vlastnostech dielektrické desky poměrný posun a, popř. délku vlny ve vlnovodu Av. Umístíme-li dielektrickou desku ke kraji vlnovodu, bude např. d = 0 (obr. 4.7) a rovnice (4,23) se zjednoduší na tvar (4.24) c i Obr, 4.7. Dieleklrická deska u kraje vlnovodu "Z' 'v, á Obr. 4.8. Dielektrická deska uprostřed v! no vod u Umístíme-li dielektrickou desku do středu vlnovodu potom podle obr. 4.8 platí c = d = (a — /)/2 a rovnici (4.23) můžeme upravit na tvar (4.25) přičemž jsme použili vztah cotg 2

neboť platí l'a(x) = -Ji(x); N;(x)= -N,(x) Integrační konstanty C, a C2 vyjádříme pomocí napětí a proudu na konci vedení, tj. na maximálním poloměru 7f0. Označíme-li napětí a proud na konci vedení jako Uk a 7k, lze psát 156 k2d = C,J0(ícR0) + C2N0(fcR0) Z těchto dvou rovnic určíme konstanty C, a C2 J0(fcÄ0)N,(fcÄ0) - N0(fcR0)J,(fcR0) c, = j«íE 2nR0k k d_ Vzhledem k tomu, že platí (4.33) (4.34) N,.,WJ,W - N„(x)JB-1(x) = nx lze psát J0(kK0)N,(fcR0) - N0(fcÄ0) J ,(*£*„) = (4.35) a s použitím vztahů (4.33) až (4.35) můžeme po úpravě vyjádřit napětí a proud ve vzdálenosti r v symbolické formě takto U = UkCs(kr, kR0) + }Ik- ■ sn(kr, kR0) 2itR0 y £ JĽ ÍLl^-iVkS(l{kr,kR0) + ^— t^Ikcs(kr>kR0) 2ítr £ i7t7í0 Y £ kde Cs(/cr, kR0) značí ve7fcý radiální kosinus ntt. iro\ Ji(kR0)^0{kr) - n1(kR0)J0(kr) sn(fcr, /íTíg) značí malý radiální sinus n j n . Wo> n0(^r) - n0(feJ{o) J0(fcr) ^ D sn(kr,fcR0) =-^-"--nkK0 Sr\(kr, kR0) značí velký radiální sinus a cs(Ar, k7?0) značí «k//,i5 radiální kosinus n ,D* N„(fcR0)J1(fcr-> - J0(^0)N,(fcr) cs(Kr, fc/?0) =---~—s-—"--- 7Tfc7í0 (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) (4.41) 157 Rovnice (4.36) a (4.37), které udávají vztah mezi napětím a proudem na dvou paralelních deskách ve tvaru mezikruží v obecné vzdálenosti r, a napětím a proudem na konci vedení, tj. ve vzdálenosti r = R0, jsou obdobou vztahů získaných řešením telegrafních rovnic pro homogenní vedení. Všimněme si blíže zvláštních případů zakončení radiálního vedení. Je-li napr. radiální vedení zakončeno nakrátko, je napětí na konci vedení nulové, tj. ř/t = 0. Napětí a proud ve vzdálenosti r vyjádříme potom vztahy u=JA;^,&n(fcr,fcJs0) 2nR0 /kcs(/vr, kR0) Impedanci takto zakončeného radiálního vedení ve vzdálenosti r vyjádříme poměrem napětí a proudu U_ . d I Z - — J 2itr ~tn(fcr, kR0) (4.42) kde výraz tn(fcr, kR0) značí malý radiální tangens }Q(kRo)K<>(kr) ~ Ťi0{kR0)J0(kr) tn(«ř\ kRo) — (4.43) N0(fcÄ0)J,f» - JoCMWN^ir) Je-li radiální vedeni zakončeno naprázdno, je proud na konci vedení nulový, tj. /t = 0. Napětí a proud ve vzdálenosti r vyjádříme pak vztahy U = Uk Cs{kr, kR0) I=}~-¥±Sii(kr,kR0) e Impedanci takto zakončeného radiálního vedení ve vzdálenosti r vyjádříme opět poměrem napětí a proudu U .d 2nr Cl(kr, kR0) (4.44) kde výraz Ct(kr, kR0) značí velký radiální kontangens Výrazy {djnŕ) Jfijt v rovnicích (4.42) a (4.44) jsou ekvivalentní vlnové impedanci radiálního vedení ve vzdálenosti r. Protože tato ekvivalentní vínová impedance je funkcí poloměru r, je radiální vedení nehomogenní. Při praktických aplikacích je někdy třeba zavést další funkce: malý radiální ko tangens ct(fcr, kRo) = 1 - (4.46) tn(fcr, kR0) velký radiální tangens Tn(kr, kR0) = 1 (4-47) Ct(íír, kR0) Na obr. 4,14, je průběh funkce ct(fcr, kR0). Radiální vedení se často používají ke konstrukci rotačních spojek, vf tlumivek, dutinových rezonátorů apod. 5a- = 1 2346810 20 r Obr. 4.14. Průběh radiální funkce ctffcr, kR<,} (5] Literatura ke kapitole 4 [1 ] Sovčtov, N. M: Technika sverchvysokich častot. Moskva, Izd. VysSaja škola 1976. [2] Ghose, R. N.: Microwave Circuit Theory and Analysis. New York, Mc Graw-Hill 1963. [3] Kvasil, B.: Theoretické základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957. [4] Co/lin, R. E.: Foundations for Microwave Engineering. New York, Mc Graw-Hill 1966. i5] Montgomery, C. G. — Dicke, R. H.-Puree!!, E. M.: Principles of Microwave Circuits. New York, Mc Graw-Hill 1948. 158 159 Dielektrické vlnovody V předcházejících kapitolách jsme řešili taková mikrovlnná vedení, u nichž se elektromagnetická vlna šířila bud uvnitř kovového vlnovodu (vlny TM a TE), nebo mezi dvěma, popř. více vodiči různých tvarů (vlny TEM). V této kapitole ukážeme, že mohou existovat mikrovlnná vedení dielektrická, u nichž siření elektromagnetické energie není vázáno na přítomnost kovových stěn nebo vodičů. Tato vedení se v poslední době používají i v oblasti frekvencí podstatně vyšších, než je oblast mikrovln, a to zejména v oblasti infračervené a světelné, kde jsou známa jako tzv. planárm popř. vláknové světlovody. V dalším též ukážeme možnost šířeni elektromagnetické vlny podéí vodiče potaženého dielektrickou vrstvou. 5.1. ZPOMALENÍ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY U kovových vlnovodů, které měly parametry dielektrického prostředí |iae, byla fázová rychlost šíření vždy vyšší než rychlost šíření elektromagnetické vlny ve volném prostoru se stejnými parametry p a e. Pro příčnou konstantu vedení ľ podle (2.11) platí T = yV - a2 přičemž 2 k = tí) fiS = ~ • a2 = wVU - v2) = ví' kde v je rychlost šíření elektromagnetické vlny ve volném prostoru s parametry H a z (pro (i = |t0 a £ = e0 platí v = c), vf fázová rychlost šíření elektromagnetické vlny ve vlnovodu vyplněném prostředím s parametry p a e. Z toho vyplývá, že u dosud probíraných typů vlnovodů s vinami TM nebo TE (vlny TEM nebereme v úvahu, neboť u nich je a = k, takže ľ — 0) vždy platí vf > v a tedy r l 1 1 / = co / —;---r- V v2 v2T (5.1) Je zřejmé, že konstanta ľ je reálná, a to i v případě, že je vlnovod vyplněn dielektrickým prostředím s relativní permitivitou et > 1, které sníží rychlost šíření. Mohou však existovat vedeni, u nichž je vt < ľ V takovém případě platí podle (5.1) ľ = jca i± - i (5.2) Případ, že konstanta ľ je ryze imaginární, je charakteristický pro tzv. zpomalené elektromagnetické vlny. Typickými zpomalovacími vedeními, která umožňují podstatné snížení fázové rychlosti šíření, se budeme zabývat v další kapitole. V této kapitole vyšetříme jednoduché případy možnosti vzniku zpomalených vln, které však svými důsledky mají velký význam pro praktické aplikace. 5.1.1. Síření elektromagnetické vlny podél zpomalujícího prostředí Jestliže podle (5.2) platí r=jg. potom rovnice pro funkci příčných souřadnic (2.5) dostane tvar AT, - g2T, = 0 (5.3) Předpokládejme nejprve případ, že funkce TL závisí pouze na souřadnici y, takže dostaneme rovnici dy která má obecné řešení Tx = A e*' + Be~s* kde A a B jsou konstanty. (5.4) (5-5) zpomiívijioi f,-1 V/////,/7/77777^7777?: Broitř-sdí (eř>í) í V/////////A Obr. 5.1. Rozhraní dvou prostředí 160 161 Mějme ave prosireai ípro jeanoaucnosi íaeaini aieiejcinicaj, jejicnz roznram je pK v = 0 (obr. 5.1). Předpokládejme, že pro relativní permitivity těchto prostředí platí c2 > s, Představme si, že se oběma prostředími šíří ve směru osy z společná elektromagnetická vlna s poměrným posunem a a s fázovou rychlostí vf. Je zřejmé, že pro fázovou rychlost vt společné elektromagnetické vlny, šířící se podél rozhraní obou těchto prostředí, musí platit pro.jj > 0 pro y < 0 je je v, < p, vt > v2 kde v! je fázová rychlost elektromagnetické vlny v prostoru zcela vyplněném prostředím s relativní permitivitou Ej, v2 fázová rychlost elektromagnetické vlny v prostoru zcela vyplněném prostředím s relativní permitivitou s2. Určeme nyní vztahy pro společný poměrný posun a a pro funkci Tx v obou prostředích : Oblast y > 0, oblast zpomalené elektromagnetické vlny (pf < t:,) Protože při vt < vl platí podle (5.2) r = k má funkce Tt obecné řešení podle (5.5). Aby toto řešení odpovídalo fyzikální představě (pro y -+ oo musí být 7\ -> 0), položme A = 0, takže dostaneme Tt = fle- (5.6) Je zřejmé, že pro y > 0 funkce T,, a tím i příslušné elektromagnetické pofe klesá podle exponenciálního průběhu. Pro poměrný posun « platí vztah (2.11) v2) V oblasti y < 0 předpokládáme, že vf > t?a takže příčná konstanta r je reálná a rovnici (2.5) můžeme psát ve tvaru + r2T, = o dy2 (5.8) T, = C cos /> + £> sin ľy Pro poměrný posun a platí «2 = Jt2 - r2 (5.9) (5.10) 5.2. ŠÍŘENÍ ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY PODÉL NEOHRANIČENÉ DIELEKTRICKÉ DESKY Vyšetřme nyní případ šíření vlny podél dielektrické desky (obr. 5.2). Deska s tloušťkou 2d a s relativní permitivitou et > 1 je obklopena vzduchovým prostředím s relativní permitivitou eř = 1. Permeabilita vně i uvnitř desky je u0. y to, Po v/Á :w'/////// ///, ////////",. i-i Obr. 5.2. Neohraničená dielektrická deska Podle úvah, provedených v předcházejícím odstavci, lze psát: Pro | y | > d platí i?t < o, (t>t w c) přičemž řešení pro funkci 7\ budeme předpokládat ve tvaru (5.6) TL = B s-" Pro -~d < y < d piati vt > v2 přičemž řešení pro funkci Ty budeme předpokládat ve tvam (5.9) Ti = C cos Fy + D sin ľy 5.2.1. Šíření vlny TM podél dielektrické desky Hertzův vektor pro vlny TM můžeme vyjádřit na základě uvedených vztahů takto (předpokládáme postupnou vlnu): Pro -d < y < d n\ = (C* cos ľy + D' sin r y) e"j" (5.11) Pro | y | > d J7° = B'g'*^-1" (5.12) Složky intenzity elektrického a magnetického pole určíme podle vztahů (1.64) a (1.65) 162 163 Ex = E . x = grad div 17'. x - Dx dz vy H, = E . y = grad div /J*, y E . z = (fc2/I^ -+ grad div n\). z = (Jť2 - a2) T;T2 H. x (5.13) i ja)e(grad 17^ x z). x = jcue vy H.y H.z : j«e(grad nz x z), y = = O . 0T, -Jtt>£ —- CA" Pro —de cos ry) (5.14) Z charakteru funkce 7\ a Hertzova vektoru je zřejmé, že elektromagnetické pole má v dielektrické desce dvojí symetrii vzhledem k rovině y — 0 a že je můžeme rozdělit na dvě složky. Elektromagnetická vlna, jejíž příčné složky intenzit pole Er a /Yj, jsou sudými funkcemi souřadnice y, bývá nazývána sudou vlnou a elektromagnetická vlna, jejíž příčné složky intenzit pole Er a 77* jsou lichými funkcemi souřadnice y, bývá nazývána lichou vlnou. Pro | y | > d (vzduchové prostředí) platí Er = jgaU*e-we-j« Ez = (k% - íI)í'e'"e"tH 77, ;--jffle0řfl*e-we-j" Ex = 77y = Hz = 0 (5.15) Na povrchu dielektrické vrstvy musí být shodné tečné složky intenzity elektrického a magnetického pole v obou prostředích, takže pro \ y\ — d platí: Pro liché vlny na základě shodnosti složek Ez (k2 - a1) C cos r d = (k2 - a2) B* e~s* a na základě shodnosti složek Hx —jcúErc sin r d = - jcůEogB* e ~gi Pro sudé vlny na základě shodnosti složek Ez (k1 - a1) Ff sin r d = (k2 - z2) B' c'sd a na základě shodnosti složek H„ jwerZ)' cos rd = -]ws0gBc e-*1* (5.19) (5.16) (5.17) (5.18) Foužijeme-li vztahy (5.10) a (5.7) k1 - a2 = r1 kl - a1 = -g2 můžeme po úpravě získat z rovnic (5.16) až (5.19) vztahy, které umožňují určit fázovou rychlost vln šířících se podél dielektrické desky. Pro liché vlny platí 1 -fí* cotg TV = gd (5.20) Pro sudé vlny platí rd tg rd = gd (5.21) Vztahy (5.20) a (5.21) je výhodné zobrazit graficky (pro konkrétní hodnotu e(). 5.2.2. Šíření vlny TE podél dielektrické desky Hertzův vektor pro vlny TE můžeme vyjádřit takto: Pro — d < y < d II? = (C,n cos íy + Dm sin Fy) ť1™ a pro'| y | > d 77? = B^e'^e'*" (5.22) (5.23) Složky intenzity elektrického a magnetického pole určíme podle vztahů (1.66) a (1.67) Ex = E . x = -j«>M(grad 77™ x z) . x = -jo^-^ T2 E, =E.y = - jíUAiťgrad 77? x z) . y = jcou T2 = H . x = grad div 77? . x = ŕly — H .y ~ grad div 17? . y = dTj ST2 ex Dz ar, dT, (5.24) ay (j z HZ = H z = (k2II? + grad div 17?) . z = (fe2 - a.2) T,^ Pro —íf < y < J (dielektrikum) tedy platí Ex = -jwrJ0r(-Cm sin ľy + Dm cos Ty) e_i" Hy = -jctr(-Cm sin r y + Dm cos Ty) e"j" (5.25) Hz = (k2 - x2) (C™ cos r y + 7>m sin T) e~j" £j, — .//^ — Ez — 0 164 165 a pro [ y \ > d (vzduchové prostředí) platí K = jwíiogfi-e-^e-J" H, = jagB™ e'í'e (5.26) ŽY, = (k2 - «2) 2?" e E, = /Y, = E2 = 0 (5.27) (5-28) (5.29) (5.30) Na povrchu dielektrika musí být shodné tečné složky intenzity elektrického a magnetického póle, takže při | y | = d platí: Pro liché vlny na základě shodnosti složek Ex rcr sin rd = gBm c~si a, na základě shodnosti složek Hl (k* - a2) C" cos rd = (H - oi2) Bmt-'d Pro sudé vlny na základě shodnosti složek Ex -TDm cos ľd ~ gBm e~fi a na základě shodnosti složek Hz (fc2 - a2) sin r d = ik% - a1) B" ťgd Za použití vztahů (5.7) a (5.10) k2 — a1 - ľ2 k2 - a2 = -g2 můžeme získat po úpravě z rovnic (5.27) až (5.30) vztahy, které umožňují určit fázovou rychlost vln šířících se podél dielektrické desky. Pro liché vlny platí -Td cotg r d = gd (5.31) a pro sudé vlny platí rdtgrd = gd (5.32) Jednotlivá řešení rovnic (5.31) a (5.32) odpovídají různým vidům šíření, přičemž pro praktické aplikace je výhodné zobrazit tyto vztahy graficky (obr. 5.3). Při řešeni konkrétního případu šířeni zakreslíme do grafů na obr. 5.3 ještě kružnici, jejíž průsečíky s jednotlivými křivkami určují různá možná řešení. Poloměr této kružnice určíme z této úvahy: Podle vztahů (5.10) a (5.7) platí a2=k2-r2; r^kl+g1 takže lze psát k2 - kl = r2+g2 neboli kl(Er - i) = r2 + g2 popř. po vynásobení obou stran rovnice výrazem d1 (rd)2 + (gd)2 = (k0d)2 («, - 1) (5.33) což je rovnice kružnice s poloměrem v souřadnicích ľd a gd. Z jednotlivých průsečíků kružnice s různými křivkami určíme pro různé vidy hodnoty gd a z těch pak poměrný posun podle vztahu (5.7) rd,igrd=gr. Vlny TE v dielektrické desce 166 167 dostaneme podle obr. 5.3 pouze jeden kořen a v dielektrické desce se muže šířit jenom základní vlna, kterou označíme TEft. Při zvětšování poloměru R se může šířit více vidů, přičemž lze psáť kde n = 0, 1, 2, .... Pro n lichá dostaneme liché vidy (TE,, TE3, ...) a pro n sudá dostaneme sudé vidy (TE0, TE2, ...). Upravíme-li rovnice (5.7) a (5.10) do tvaru -fc2 k - nŕ ra, je zřejmé, že pro dielektrickou desku s určitou tloušfkou a s určitou relativní permitivitou mohou nastat tyto mezní případy: 1. Při gd > rd platí i -> k0 Ve,. V oblasti vně dielektrické desky nastává rychlý pokles elektromagnetického poie, vlna se šiří převážně v dielektriku. Tento případ nastane tehdy, je-li použitá frekvence podstatně vyššíjtež kritická frekvence. 2. při gd -» 0 platí a -* k0. Elektromagnetické pole zaujímá kolem dielektrické desky velký prostor. Tento případ nastává tehdy, když se frekvence blíží kritické frekvenci daného vidu. Při kritické frekvenci je g — 0, takže pro poměrný posun platí a = k0. Elektromagnetická vlna se šíří podél dielektrické desky rychlostí světla, přičemž pole ve směru osy y je neomezené. Zde je třeba si uvědomit rozdíl v pojímání kritické frekvence oproti kovovým vlnovodům, ve kterých se vlna při kritické frekvenci přestává šířit. Při určování možností šíření vidů TM je výhodné použít analogické grafy jako na obr. 5.3. Protože se však rovnice (5.20) a (5.21) liší od rovnic (5.31) a (5.32) činitelem l/er, budou mít tyto grafy poněkud odlišné průběhy, závislé na relativní permitivitě dielektrické desky. Podmínkou vzniku vln TM. je též nerovnost kde n — 0, 1, 2, .... Pro n lichá dostaneme liché vidy (TM,, TM3, ...) a pro n sudá dostaneme sudé vidy (TM0, TM2, ...). 5.2.3. Rozklad elektromagnetického pole na rovinné vlny V tomto odstavci ukážeme, že vznik elektromagnetické vlny v dielektric-kém vlnovodu můžeme vysvětlit též superpozicí dílčích rovinných elektromagnetických vln šířících se mnohonásobnými odrazy od rozhraní dielektrického a vzdu- chového prostředí. Výsledky, které získáme, jsou shodné s těmi, k nimž jsme dospěli v předcházejících odstavcích; zde pouze ukazujeme jiné možnosti způsobu řešení. Předpokládejme např. Hertzů v vektor pro vlny TE lichých vidů. Podle (5.22) lze psát, že uvnitř dielektrické desky platí 77™ = Cmcos rye~>" Pomocí Eulerova vzorce můžeme napsat tento vztah ve tvaru r" (5.35) Podobným způsobem můžeme rozložit i složky intenzity elektrického a magnetického pole. Protože podle (5.10) platí k2 — ľ2 + T.2 neboli kle, -= r2 + s2 a současně též platí k\z-t = Jtoíf(sin2 © + cos2 0) neboli k\ít = fc2«rsin2 & + /^e.cos2 0 můžeme po porovnání předcházejících vztahů vyjádřit T a a výrazy ľ = k0Js,$\n & a = /c^^í-cos & a můžeme výraz pro Hertzů v vektor (5.35) napsat ve tvaru ni C" [e ] (5.36) (5.37) (5.38) Z toho je zřejmé, že Hertzů v vektor uvnitř dielektrického vlnovodu lze rozložit do dvou složek, které svírají s osou z úhel ±0. Protože veličiny elektromagnetického pole lze odvodit z Hertzova vektoru, můžeme toto pole vyjádřit superpozicí dvou rovinných vln, které se šíří vzhledem k ose z pod úhlem ±© (obr. 5.4). Ze vztahů (5.36) a (5.37) vyplývá, že při 0 -* 0 je * « k0 Ve, a ľ 0 a tedy s použitím (5.7) lze psát Obr. 5.4. Dvě rovinné vlny v dielektrické desce 168 169 což je největší dosažitelná hodnota pro g. Při této hodnote g je elektromagnetické pole převážně soustředěno uvnitř dielektrického vlnovodu. Druhý mezní případ nastává pro g -* 0, kdy elektromagnetické pole ve vzduchovém prostředí slábne (ve směni osy y) velmi zvolna a podle (5.7) platí cc m /c q Úhel & můžeme pak vyjádřit např. za použití (5.37) vztahem 1 0 = arccos - (5.39) Potud se vlna dielektrickým vlnovodem šíří, je úhel ©, určený vztahem (5.39), nej větším možným úhlem dílčí rovinné vlny. Pro různé hodnoty « určíme úhel O ze vztahu (5.37) & = arccos----=. koV£r (5.40) prtcemz 1 0 < & < arccos Úhel dopadu dílčí rovinné vlny na rozhraní dielektrický vlnovod — vzduchové prostředí můžeme vyjádřit podle obr. 5.4 též výrazem takže platí a = k0 ^/e, cos 0 = k0 ^/e, sin

k0 a tento vztah můžeme vyjádřit ve tvaru fc0 yfe, sin

k0 neboli ^/e, sin

1 (5.42) což je podmínka pro vznik totálního odrazu na rozhřán í dielektrického a vzduchového prostředí. K představě o šíření elektromagnetické vlny uvnitř dielektrického vlnovodu mnohonásobnými totálními odrazy od rozhraní dielektrického a vzduchového prostředí můžeme dospět též pomoci geometrické optiky z následující jednoduché úvahy. Předpokládejme, že se směrem k rozhraní dvou dielektrik šíří rovinná elektromagnetická vlna pod úhlem dopadu i = %/£rsin 1, platí Ej = KE2 e ,jíeoz ^ír aiň)cos m" přičemž platí r - v'Av~«r Vně dielektrického vlnovodu předpokládejme řešení ve tvaru H* = B° K„(gr) sin m e_J" J7™ = Bm KJgr) cos my e~j" přičemž platí g = Va2 - kl Poměrný posun a je stejný pro vnější i vnitřní prostředí. Veličiny elektromagnetického pole určíme ze vztahů (1.62a) a (1.63a) £ = k2II' + grád div JI* - jwu rot/7™ H = k2nf + graddiv/J™ + jwe rot Wz takže pro azimutální a podélné složky intenzit pole platí vztahy (radiální složky pro větší přehlednost nevyjadřujeme) (5.46) (5.47) i d2ni . dn? r dtpdz or E: =E.z = k2m + ô2nt dz2 i d2n? r dq> dz - JCU£- oni dr Hz = k2nf + Hz2' Pro r < a (tj. uvnitř dielektrického vlnovodu) jsou tedy složky am E7 = (fc2 - ť)Ae J„(rr)siam)J cos niij) e (5.48) Sin niipt 174 (5.49) a pro r > a (vně dielektrického vlnovodu) jsou složky £, = (kl - «2) JT Kra(gr) sin nup e~J" H" = j \~?~ ^ Km(gr) ~ K"(gr)] m

*i'°'°r'"'l'-x- - Y-> (557> 1 Použijeme-) i vztahy ů)2/j0e0 = kl\ x2 = kl + g2; k2 - r2 a tedy popr. g2 + r2 = klu, - D a2 = **>> + ^ 8,-1 můžeme upravit rovnici (5.57) do tvaru \i a g a / \ l a gal Tato disperzní rovnice je analogická rovnicím, které jsme získali při řešení problémů šíření elektromagnetické vlny podél dielektrické desky. Pro řešení rovnice (5.58) počítačem je vhodné upravit ji tak, aby se ve jmenovateli výrazu X„ nevyskytovala funkce JJľá). Vynásobí me-li celou i o vnici výrazem 3m(ľä), můžeme ji upravit do tvaru F2 - F,F3 - 0 i 1 58) i kde (5.59) (5.59a) (5.59b) (5.59c) kde x = ľa, y — ga a kde závislost mezi veličinami x a v můžeme vyjádřit pomocí vztahů (5.7) a (5.10) ve tvaru V(fc0ÍJ)2 (£r - 1) - x1 (5.60) Rovnice (5.59) je splněna při daných hodnotách m, k0a a er pro řadu diskrétních hodnot x — ľa. Ze vztahu (5.60) je přitom zřejmé, že maximální hodnota argumentu musí vyhovovat nerovnosti x £ k0a V£r - 1 nebof pouze tehdy je hodnota y = ga reálná a elektromagnetické pole ve vnějším prostředí monotónně klesá. _>.**.i. jju}jau) aiitui vlil) j/vuvi u 1t j t 111 ^ k t 11 u vatce Proveďme nyní podrobnější analýzu možnosti šíření různých vidů. S použitím vztahů v pří-oze B lze psát J™(*) _ Jra-i(J£) m x J Označíme-! i xijx) xJ„(x) x* ' vKJy) yKJy) y2 Jm- l(x) platí Xm — ím _ „ - K"-1<)'> a rovnici (5.58) můžeme upravit do tvaru 1 m 7J který další úpravou převedeme na kvadratickou rovnici jejtz resem je (5.61) kde « = (er + l)/£r. Při mezní frekvenci jednotlivých vidů platí y = 0. Vyšetřme, jaké tomu odpovídají hodnoty ím a jaký je charakter příslušných vidů šíření. Při y ~* 0 můžeme rovnici (5.62) napsat ve tvaru , _ 1 takže po úpravě -T* Air)-7?'-I neboli 1 I" mx mx 8y2 ■ ~| 1 fíři>ř m« / 4y2 NI 176 177 Jtorerry Kvauraucnc rovmtc jsuu icuj piu y —r v mx ím(í) * í 111(2) * „„ Im 00 Protože piati je zřejmé, že pro splnění rovnice (5.63) musí být Ux) = 0 a pro splnéní rovnice (5.64) musí být J„-,W 2 1__1 xJJLx) xt, 2(m - 1) (er + \){m - 1) (přičemž jsme použili vztah lim nm — l/2(»i — I), viz přílohu B), Protože platí 2m JJ.x) = i„-i(x) + J„ + i(*) platí též 2(m~ l)J„_,(x) = J„_2(jc) + JM(x) takže m - 1 =\ rj„,aw .] ux) 2 l SJx) + J J„.t(x) a po dosazení do (5.64a) dostaneme po úpravě L-2JX) _ e, - 1 Jra(x) e, + 1 Při ím = 1 musíme použít jiný limitní vztah pro nlt a to (viz přílohu B) lim tii = -ln0,89>->-o takže rovnice (5.64) bude mít tvar Č, =--ln 0,89^-* co (5.63) (5.64) (5.63a) (5.64a) (5.64b) (5.64c) což je splněno při J,(x) = 0 (5.64d) Druhý krajní případ předpokládáme při y ~* oo, tj. pH frekvenci mnohonásobně vyšší, než je mezní frekvence. V takcwém případě se rovnice (5.62) zredukuje na takže 2m Protože platí " xim(x) můžeme, rovnici (5,65) napsat ve tvaru Jgi-il?) = _2m_ 3«(-^) x nebo s použitím vztahu [2mJm(.\:)]/jr = Jm_1(x) -t- lm + 1(x) (5.65) (5.66) (5.65a) - o a tedy Podobně rovnici (5.66) lze napsat ve tvaru (5.65b) (5.66a) Z uvedeného je zřejmé, že při limitních hodnotách y jsou příslušné hodnoty x určeny nulovými hodnotami Besselových funkcí. Tato skutečnost se blíže osvětlí při grafické interpretaci vidů šíření v odst. 5.4.5 a je zřejmá i z obr. 5.9. 5.4.2. Vlny HEmB a EHmn v dielektrickém válci Zda je daný vid videm HE nebo EH, to posoudíme z poměru konstant Ae a Amt které vyjadřují amplitudy modulů Hertzových vektorů v rovnicích (5.44) a (5.45). Protože konstanta Ac má rozměr V . m a konstanta Am má rozměr A . m, musí mít jejich poměr rozměr íl. Upravme rovnice (5.55) a (5.56) do tvaru [rovnici (5.56) vynásobíme výrazem (ůfi0jot, aby byla rozměrově shodná s rovnicí (5.55)] (5 + 7> ^V(£rXm- Ym)^ = ^ SeČteme-li levé a pravé strany těchto rovnic, dostaneme po úpravě pro poměr 178 179 A1 (i]r«.-w-[(iy,-.](^-^ (5.67) kde jsme použili vztahy X -£ - m m Ym - i), + — Dosadíme-íi do (5.67) za fm hodnoty z rovnic (5.63) až (5.66), je zřejmé, že rovnice (5.63) a (5.65) odpovídají vidům EH, rovnice (5.64) a (5.66) vidům HE. Z toho vyplývá, že kladné znaménko v rovnici (5.62) vede na vidy EH, záporné znaménko na vidy HE, 5.4.3. Vlny HE,, v dielektrickém válci Zvláštní místo ve spektru vidů má vid HE,,, pro který platí limitní vztahy (5.64d) a (5.66a). Při y -» platí podle (5.66a) J»W = 0 (což je splněno při hodnotě argumentu x = 2,404 8) alpři y -> 0 platí podle (5.64d) JiOO = o Protože očekáváme, že při y -» 0 by měla být hodnota argumentu a- menší než při y -»■ qo, vySetřme, zda x — O je možné řešení [další nulová hodnota rovnice J,(;r) = O je při x = 3,831 8]. Použijeme-li vztah xJa(x) dostaneme pro m — 1 a x -+ O přibližný vztah (s použitím limitních výrazů z dodatku B) Jot*) ^ 2 xJi(*) -x-takže po dosazení do rovnice (5.64c) dostaneme 2 2 -lnO,89y a po uprave y 0,89 Je zřejmé, že y -* 0 při x -* 0. Protože platí N/ue aViue ------- — j .iiM.ui nuii.,mn ajv LSU.J /.arLinLiiiiiii \uuminantnim) videm elektromagnetické vlny šířící se v dielektrickém vlnovodu. Příčné složky elektromagnetického pole tohoto vidu mají podobný průběh jako u dominantního vidu TE,, v kovovém vlnovodu, vid HE,, je však videm hybridním. 5.4.4. Vlny TM0„ a TE0„ v dielektrickém válci Vidy s kruhovou symetrií elektromagnetického pole (při m = 0) nejsou hybridní, neboř levá strana rovníce (5.58) je nulová a její řešení se redukuje na dva dílčí vztahy erX0 - Y0 = 0 X0 - Y0 = 0 které můžeme s použitím (5.54) napsat ve tvarech „ -U*) „ K0(y) ' J,(.v) > K,(y) ' J0(*) _ K0(y) ' * h(x) y K,(y) (5.68) (5.69) (5.68a) (5.69a) Elektromagnetická vlna, pro kterou je splněna rovnice (5.68) má podle (5.56) nulovou konstantu Am, takže je vlnou TM0„. Naopak vlna, pro kterou je splněna rovnice (5.69), má podle (5.55) nulovou hodnotu At a je tedy vlnou TE0„. Mezní frekvence těchto vidů určime z rovnic (5.68a) a (5.69a) nebo z limitních výrazů uvedených v odst. 5.4.1. 5.4.5. Grafická interpretace vidů Síření v dielektrickém válci Přehled možnosti šíření jednotlivých vidů elektromagnetického pole v dielektrickém vlnovodu kruhového průřezu získáme grafickým zobrazením řešení rovnice (5.58), kterou pro řešení na počítači upravíme do tvaru (5.59). Při konstantních hodnotách m, k0a a et je tato rovníce splněna pří různých diskrétních hodnotách x = ľa. Pro polystyrénový vlnovod s relativní permitivitou sr — 2,45 je řešení zobrazeno na obr. 5.9. Přiřazení vidů HE a EH bylo provedeno podle kritéria (5.67). Pro každou dvojici hodnot k0a a x = fa, která vyhovuje rovnici (5.59), můžeme určit poměrný posun a pomoci vztahu a = slk2 - r2 a hodnotu g, která určuje pokles elektromagnetického pole ve vnějším prostředí, pomocí vztahu (5.60) 180 181 rn veiKycn nounoiacn g jc puwcs ciCMroruaguciitA.ciiu puie v lauiaiimii amviu velmi rychlý, při malých hodnotách g je pokles pozvolný. (0 11 12 Obr. 5.9. Vidy šíření v dielektrickém vlnovodu 5.5. ŠÍŘENÍ VLNY PODÉL VODIČE POTAŽENÉHO DIELEKTRICKOU VRSTVOU Podobné jako existuje analogie mezi Sířením elektromagnetické vlny v dielektrické desce a v dielektrické tyči, je i analogie mezi Šířením v dielektrické vrství na vodivé podložce a šířením podél vodiče potaženého dielektrickou vrstvou (obr. 5 10). Obr. 5.10. Vodic s dielektrickou vrstvou Jako příklad zvolíme šíření kruhově symetrické vlny TM01. Řešení tohoto případu je analogické s případem šíření vlny v dielektrické tyči (vlnovodu). Opět předpokládáme zpomalenou vlnu, takže v prostředí, kde r > b, musí platit n] = B' K^e-i" v dielektrické vrstve, tj. pro a < r < b, musíme příslušný Hertzův vektor vyjádřit lineární kombinací Besseiových funkci prvního a druhého druhu, takže platí Protože složky intenzity elektrického a magnetického pole můžeme vyjádřit ze vztahů (1.64) a (1.65) E = kltl\ + grád div H = jtwe rot tl\ = jto£(grad \VZ x z) lze psát: Pro r > b d(p ôz = 0 (k2 r ■^r)/7; = (fc5-aí)lTK0(gr)e-J' £2 = E . z H„ = H .

)] e"* 7Í„ = H . «> = -} Na rozhraní dielektrických prostředí musí být spojité tečné složky intenzit polí, takže pro r = b platí: Na základě spojitosti složek E. {kl - x2) B< K0(gb) - {k2 - a2) A] J0(ľb) - N0(ľb) a na základě spojitosti složek 0gB< K^gb) = eľA\ \l'0(rb) - K0(rb)^l\ N0(/\i)J (5.71) '5 72) Použjerr.e-li vztahy a3 = k2 ~ r>; «» = *á + áŕ K^(gí>)= -K,(gt) 182 183 dostaneme po vydělení rovnic (5.72) a (5.71) a po úpravě K^gř.) _ g r0(rb)No{ra)~K{rb)urü) K0(gí>) ' r j0(rb) N0(rfl) - N0(rfe) i0{ra) (5.73) Řešení této rovnice můžeme provést grafickou metódou, podobně jako při řešení dielektrického vlnovodu. V případě, že platí b — a — t -4 a mažeme rozvést Bessdovy funkce obsahující argument Tb v Taylorovou radu ■v okolí ľa, takže lze psát J0(rí»)«j0(rfl) + ddJff} W ~ N0(rb) x N0(ra) + d^ff} W> - a) neboli Um = J0(ra) + Jóirfyrt N0(rfc) = N0(ra) + K(ľb) n Předpokládáme-li dále, že a <š A, je výraz gb pH malých hodnotách í velmi malý. V takovém případě platí přibližné vztahy (víz přílohu B) KoCř&) * - M0,89ří>) Vztah (5.73) můžeme pak vyjádřit v podstatně jednodušším tvaru r2t -g2Mn(0,89gt>) = (5-74) a za použití vztahů r1 = ír0(£r - 1) - g1 Jze po úpravě psát (0,89)2 (gb)2 ln (0,S9gb) = -(0,89)* frl(er - 1) k\i z. Řešením této rovnice určíme gy což nám dále umožni vypočítat hodnotu o. (5-75) [1] Vajnštfjn, L. A.: Elcktromagnitnyje volny, Moskva, SovĚtskoje radio 1957, [2] Gkose, R. N.\ Microwave Circuit Theory and Analysis. New York, Mc Graw-Hül 1963. [3] Collin, R. E.: Foundations for Microwave Engineering. New York, Mc Graw—Hill 1966. [4] Arnattd, J. A.: Beam and Fiber Optics. New York, Academic Press 1976. [5] Ktijfez, D.: Basic Principles Give Understanding of Dielectric Waveguides and Resonators. MSN, Vol. 13, 1983, No 5, str. 152 až 160. 6] Schröfel, J. - Movoiný. K.: Optické vlnovody. Praha, SNTL/ALFA 1986. 184 185 o. renoaicKe struktury Zvláštním druhem vedení jsou tzv. periodické struktury, v nichž se vlna může šířit fázovou rychlostí i menši, než je rychlost světla. Bývají též nazývány zpomalovacími vedeními. Periodické struktury našly velmi rozsáhlé uplatnění v mikrovlnné technice jako součásti elektronek s postupnou vlnou, součásti elektronek se zpětnou vlnou (karcinotronů) a součásti lineárních urychlovačů k dosažení účinné interakce vlny se svazkem elektronů. Tato interakce může nastat jedině tehdy, jsou-li rychlosti elektronů a vlny vzájemně blízké. V anténní technice se tyto struktury uplatnily pří konstrukci směrových antén v decimetrovém a metrovém pásmu vln. Některé typy těchto struktur jsou znázorněny na obr. 6.1a, b, c, d. Na obr. 6.1a je tzv. šroubovicově vedení1). Kruhový vlnovod s periodicky se opakujícími clonami bývá nazýván též hřebinkovou strukturou (obr. 6.1b). Plochá hřebinková struktura je na obr. 6.1c. Interdigitální struktura je na obr. 6. Id. Název těchto struktur má svůj původ v tom, že se zářezy nebo clony periodicky opakují podél vedení se vzdáleností L zvanou perioda struktury. U Šroubovicového vedení nazýváme periodou stoupání šroubovice. 6.1. OBECNÉ ZÁKONITOSTÍ V PERIODICKÝCH STRUKTURÁCH 6.1.1. Pomalé elektromagnetické vlny Z kapitoly 2 víme, že zpomalení elektromagnetické vlny lze dosáhnout zvětšením permitivity a permeability prostředí, v němž se šíří vlna. Snížení fázové rychlosti je v tomto případě nepřímo úměrné hodnotě \fer; c. V případě pomalých vln (vt < c, prostředí je částečně zaplněno dielektrikem) je a2 > k2. Rozdíl zlomků ve vzorci (6.3) je záporný, takže ľ' je ryze imaginární r' =jg Dílčí vlnová rovnice (6.2) tedy bude mít tvar AT, - g2Tt = 0 Předpokládejme dále, že pole nezávisí na souřadnici y, takže rovnice d T' „2T 0 (6.4) (6.5) (6.5) d*! má řešení ve tvaru Jj -.C,^ + C2e"rI (6.6) Bude-Ii prostředí ve směru x neomezené, musí být = 0 (neboť pro x -* 00 musí být 3", = 0), takže Protože v místě x _í 0 je zpomalující prostředí, vidíme že funkce 7^, a tedy i intenzita pole pomalé vlny exponenciálně klesá s rostoucí vzdáleností od povrchu x = 0. Provedeme nyní analogické řešení ve válcových souřadnicích pro případ zpomalovací struktury kruhového průřezu. Položíme-li r, = R(r)4K "* V" (6.8) (6.9) Řešení pravé strany je * = C cos rxp (6.10) a pro funkci R dostaneme modifikovanou Bessetovu diferenciální rovnici d2R 1 dR ( 2 nz\n n —r + — j--[g + —r)R = 0 dr1 r dr \" r* J (6.11) Obecný integrál této rovnice lze vyjádřit pomocí modifikovaných Besselových funkcí (viz matema_ickou přílohu, část B) ve tvaru Ji = CJJgr) + C2Kn(gr) (6.12) Výsledné řešení pro funkci T, bude po sdružení konstant 7\ - [C'l„(gr) + CKJfr)] cos n

co musí být 7\ -» 0, a tedy C = 0. Protože funkce I\ se vzrůstajícím poloměrem r monotónně klesá, je energie pomalé vlny převážně soustředěna v těsné blízkosti povrchu zpomalovací struktury jako v předcházejícím případě. Vlny s takovým charakterem rozložení pole se nazývají povrchovými vlnami. 6.1,3. Prostorové harmonické Vlivem složitého povrchu zpomalovací struktury není okamžité rozložení pole podél struktury harmonické, ale je deformováno. Prostorové rozložení pole je ve všech zářezech zcela identické a liší se pouze fází (obr. 6.3). Pro intenzitu elektrického pole ve dvou sousedních zářezech musí platit E(x, y, 2 + Ĺ) = £(.v, y, z) e~">L (6.15) kde y0 = pa + ja0 = (ia + j27t//v0 je součinitel šíření a /.v0 je vlnová délka zpomalené vlny ve struktuře. 188 189 Protože se zářezy opakuji periodicky podél souřadné osy z, je okamžitě prostorové rozložení pole periodickou funkcí souřadnice z s periodou rovnou periodě struktury L. Vynechámc-H časový činitel eJ n— — cd s amplitudami Ep„(x, y) a se součiniteli šíření ľ, = ľo + J 2 ji í? (6.20) (6.21) kde n = 0, ±1, +2, .... Dílčí postupná vlna s amplitudou Epn(x,y) má název n-tá prostorová harmonická (někdy též Hartreeova harmonická), zatímco výsledná vlna daná součtem (v určitém okamžiku t =• konsi) všech prostorových harmonických má název poly harmonická. Délka vlny n-té harmonické v periodické struktuře je /L„„ - 2rt 2n (6.22) 2tih 190 Fázová rychlost polyharmonické vlny nemůže být určena zcela jednoznačně, protože pro n-tou prostorovou harmonickou platí co 2n (6.23) Neni proto zcela jasné, kterou z těchto rychlostí je třeba brát v úvahu. Tato skutečnost je pochopitelná, protože vlnu ve struktuře nelze vyjádřit pomocí jednoduché harmonické funkce. Z rovnice (6.23) také vyplývá, že při zvyšování čísla prostorové harmonické se její rychlost zmenšuje a v souhlasu s tím se zkracuje i její vlnová délka. Při tom však všechny harmonické jsou charakterizovány jednou a toutéž frekvencí. Fázové rychlosti jednotlivých prostorových harmonických mohou být vzhledem ke skupinové rychlosti kladné nebo záporné. Je-li n > 0, má fázová i skupinová rychlost směr stejný, v případě n < 0 mohou mít směry opačné (vlny zpětné), je-li n < — L/Av0, jak plyne ze vztahu (6.22). Dílčí vlna odpovídající n = 0 je základní prostorová harmonická. Skupinová rychlost je však na čísle n nezávislá. Protože oj — konst pro všechna rj, je d«B X ~' dcy Na závě/ je třeba dodat, že jednotlivé prostorové harmonické nemohou existovat samostatně, protože jako jednotlivé vlny nesplňují složité okrajové podmínky. Poměry velikostí amplitud dílčích harmonických vln závisejí na geometrickém tvaru periodické struktury. Popsané prostorové harmonické nesouvisejí tedy nijak s různými vidy (např. TEj0, TEU, TMn), které se v běžném vlnovodu mohou zcela samostatně nejen vybudit, ale i šířit. V elektronkách s postupnou vlnou však může být k dosažení zesilovacího jevu využita kterákoliv prostorová harmonická. Obvykle se volí ta, která má největší amplitudu a nejmenší fázovou rychlost. (6.24) 6.2. ŠÍŘENÍ VLN PODÉL PERIODICKÝCH STRUKTUR Zde budeme vyšetřovat některé zvláštnosti šíření vln v nejpoužívanějších typech periodických struktur. Cíl rozboru struktury závisí na její aplikaci. Při všech aplikacích, ať již jde o mikrovlnné elektronky, urychlovače nebo spirálové antény, je třeba zjistit disperzní charakteristiku, tj. závislost fázové rychlosti na frekvenci. Vyšetříme tedy nejprve válcovou strukturu a pak plochou periodickou strukturu. 6.2.1. Šroubovicové vedení Šroubovicové vedení je znázorněno na obr. 6.1a. Vlastnosti tohoto vedení vyšetříme pomocí matematického modelu, v němž je vinutí šroubovice nahrazeno anizotropně vodivým válcem. Válec je vodivý pouze ve směru vinutí, v ostatních 191 směrech je vodivost nuiova. lenio mooei neumožňuje respeKiovai vuv průměru vodiče šroubovice. V praktické aplikaci bývá šroubovice upevněna keramickými izolátory, které také ovlivňují uspořádání pole. Zmíněný matematický model tuto okolnost rovněž nerespektuje. Okrajové podmínky Vnitřní prostor anizotropně vodivého válce není zcela oddělen od vnějšího prostoru. Okrajové podmínky na plášti takového válce musí být proto zcela jiné než u obyčejného válcového vlnovodu. U obyčejného vlnovodu musela být tečná složka elektrického pole na plášti nulová. Na šroubovici musí být tečné složky intenzity elektrického vnitřního pole £í° a vnějšího pole Ep nulové pouze ve směru vodiče a v místě vodiče (r = d). Mezi závity musí být při přechodu z vnitřního do vnějšího prostředí elektrické pole spojité. Dále je nutné, aby obě magnetická pole vnitrní Hín a vnější H{t) byla spojitá ve směru průchodu proudu, tj. Šroubovice. Vyjádříme nyní tyto podmínky analyticky. Zavedeme novoirsoustavu jednotkových vektorů e± e., podle obr. 6.4, který znázorňuje šroubovici rozvinutou do roviny. Obr. 6.4. Model šroubovicového vedeni Stoupání šroubovice jc S = lna tg »r. Nové jednotkové vektory jsou pak s jednotkovými vektory válcových souřadnic r, y a z vázány vztahy r x «|| = e±; — tp sin ý e(| = z sin ý + q> cos ý; eL = z cos Ý — (6.25) Uvedené okrajové podmínky můžeme pro r = a vyjádřit vztahy 11 ~ I; — U' C-L — -L ' II — II kde horní index (i) označuje vnitřní prostředí OírSaa horní index (e) označuje vnější prostředí s = ři!c. (6.26) Uvážíme-li, že vektor elektrického pole £ můžeme vyjádřit složkami ve směru pomocných jednotkových vektorů a také ve válcových souřadnicích jako £ - rEr + + ei£ľ±; E = rEr + + zEt převedeme snadno okrajové podmínky (6.26) pomocí (6.25) na tvar E<°sin Hzl) sin iA 4- Hj* cos (6.27) (6.28) (6.29) Získané okrajové podmínky pro šroubovicové vedení použijeme k řešení vlnové rovnice a k určení konstant y a g. Symetrická vlna ve šroubovicooém vedeni Vlnovou rovnici budeme řešit ve válcových souřadnicích jako u kruhového vlnovodu s tím rozdílem, že okrajové podmínky nemohou být splněny zvlášť pro vidy TM a vidy TE. V kruhovém vlnovodu je v ideálním případě vodivost stěn nekonečná. U šroubovice tomu tak není, takže okrajové podmínky je možné splnit pouze superpozicí vln TE a TM. Vlna ve šroubovici obecně není ani typu TM ani TE a má vždy složky Ez a H:. Známe-li oba Hertzovy vektory i7'/7", bude obecné řešení dáno známými vztahy (1.62) a (1.63), kde oba vektory vyhovují vlnovým rovnicím (index z vynecháme) A/I' +■ k2ne = 0; A/7m + k2nm = 0 (6.30) Předpokládáme, že Hertz ův vektor je dán součinem dvou funkci a že se vlna šíří pouze jedním směrem. Pak FI' = T\(r, _ cí,(i,I0(gr)e_1': .. /7m<«> = Cf K0(řr)e"': Pro zjednodušení psaní položíme-C?" - A; C^(i) - B; C°'1 H<'> ja)eCgK1(gr)e-ri = -Dg2 K0(gr)e-^ (6.41) 'I rji íjjwuu siuíca uyia zarietioana vutuvosi prosireai (a — uj a byly využity vztahy (B.12) až (B.19) matematického dodatku. Získaná řešení (6.40) a (6.41) musí vyhovovat okrajovým podmínkám (6.27) a (6.29) I0(g«) = JOP-B I((ga) cotg V (6.42) jto/iD K ,(ga) cotg i/» - Cg K0(go) (6.43) CK„W = ^I«(ga) (6.44) -%I0(ga) - jtoe/i I,(go)cotgi/ř = -DgKa(ga, + + jweC Kjfgíi) cotg ý (6.45) Z těchto rovnic určíme neznámé integrační konstanty, příčnou konstantu g a nakonec součinitel šíření. K tomu vyjádříme z (6.42) až (6.44) všechny konstanty pomocí jedné z nich (např. A) a dosadíme do (6.45) D - Ko(*fl) ' B = ft)/íi1(ga)cotg^ (6.46) o>iK1(gťi)cotgi/ř Po dosazení konstant do (6.45) dostaneme rovnici bez integračních konstant g2 IŽ(g«) K2(ga) - m V lí(g«) «i(ř«) cotg1 * = KÍ(go) Ji(ga) -—^T o01*1 * " !o<řfl) K«(sa> 'tí^) g2 (6.47) kterou již snadno upravíme, je-li ct>2tie = A-2, na tvar kde cotg^r = 2kojS. Řešení rovnice (6.47) je možné provést graficky nebo přibližně. Grafické řešení podle Pierce ([2], str. 23) je na obr. 6.5. i 2 3 4 —* o cotg iff Obr. 6,5. Přibližné řešení můžeme provést pro velké hodnoty argumentů modifikovaných Besselových funkcí. Pro velké hodnoty argumentu ga totiž platí K0(ga)l0(ga) « 1 194 195 Ir « tVÍ-(- g ä k cotg ip (6.48) Známe-li určíme rychlost zpomalené vlny. Protože i = Vfc2 — T'2, kde T' = jg- = jfc cotg ij/, bude a = fc/sin i/í a odtud co . . Vr = — ä c sin i/f (6.49) Z obr. 6.5 je zřejmé, že pro ka cotg ty > 4 dává přibližné řešení dobré výsledky. Jako příklad vypočítáme rychlost šíření vlny ve zpomalovací struktuře elektronky s postupnou vlnou (EPV). šroubovice EPV pro pásmo 6 cm je navinuta z drátu průměru 0,3 mm, má střední průměr 2a = 2,8 mm a stoupání S = 0,7 mm. Máme vypočítat rychlost zpomalené vlny a potřebné urychlovací napětí elektronů k dosažení účinné interakce elektronového svazku se zpomalenou vlnou. Vypočítáme nejdříve úhel ty a pak z (6.49) dostaneme i{ =^= 0,24, 10a m. s"1. Urychlovací napětí je dáno známým vztahem kde m0 je klidová hmotnost elektronu (m0 = 9,11 . 10~31 kg), e náboj elektronu (e = 1,602 . 10" 19 C), v « vf rychlost elektronů. Posazením d«d, = 0,24 . 108 m . s"1 dostaneme f/ = 1 650 V. ,6.2.2. Hřebínkové vedení Toto vedení je znázorněno na obr. 6.1c. Předpokládáme, že vedení je ví směru x neomezené. Výška velmi tenkých destiček upevněných na základní vodivé .desce je h. Ukážeme, že podél takové struktury se mohou šířit pomalé vlny. Od vlnovodu s clonami (obr. 6.1b) se liší tím, že se jeví jako vedení „otevřené", tj. pole může zaujímat neomezeně celý prostor ve směru y. Řešení provedeme zvlášť pro pole mezi deskami a zvlášť pro pole vně desek, určíme podmínky pro spojitý -přechod obou polí a pak stanoví ne disperzní charakteristiku. Pro praktické aplikace nás zajímá vlna TM (interakce elektronů s vlnou nastává prostřednictvím složky intenzity pole Ez). Předpokládáme tedy, že ve vnějším prostoru (y > 0) je velikost Hertzova vektoru dána vztahem 17; = T^'7* ■ přičemž příčná funkce vyhovuje rovnici AT, - g2T, = 0 Nezávisí-li pole na souřadnici .v, bude řešení této rovnice Ti = Ce"ř' (6.50) (6.51) v řešení být nemůže. Hertzův vektor pak je fí\ = Ce"ÍJe~ri a složky intenzity elektrického a magnetického pole jsou E, = ygC t'*" z-?* E, = -^Ce^'e"" Hx = -jaMgCe"ÍJ,e"ří E, = Hr = Hz = 0 (6.52) (6.53) Nyní vyřešíme pole v prostoru pro y < 0. Předpokládejme, že se fáze vlny ve směru z podél jedné periody mění velmi málo, takže platí yd < 1 (6.54) což znamená v prvním přiblížení, že destičky ovlivňují charakter vlny velmi málo. Je-li splněna tato podmínka, pak pole mezi dvěma sousedními deskami nezávisí na souřadnici z. Protože pro vnější prostor jsme předpokládali, že pole nezávisí na x, musí pole mezi deskami být rovněž nezávislé na této souřadnici. Za těchto okolností můžeme předpokládat, že pole mezi dvěma sousedními deskami má charakter vlny TEM ve směru y. Tuto vlnu budeme považovat za zvláštní případ vlny TM, takže vlnová rovnice Hertzova vektoru má tvar -—f + k2ni = o dr Jejím obecným řešením je TI' = C, cos ky + C2 sin ky (6.55) Pro splnění okrajové podmínky E, = 0 na vodivé stěně y = ~h musí být JJ' = 0 pro y = —h. Tedy C\ cos Vh — C2 sin kh = 0 a odtud r _ sin kh cos kh Položíme-li C2/cos kh = B, dostaneme pro Hertzův vektor LT2 = B sin k{y + h) (6.56) Známe-li Hertzův vektor, určíme již snadno složky intenzity elektrického a magnetického pole Et = k2B sin k(y + h) Hx = jcueBfe cos k(y + h) (6.57) Z obou vztahů je zřejmé, že závislost elektrického a magnetického pole mezi deskami na souřadnici y souhlasí s rozložením napětí a proudu stojaté vlny na 196 197 složek polí v místě styku obou oblastí (y < 0 a y > 0), dostaneme k2B sin kh--g2C f'1 (6,58) Bk cos kh = ~gCe~yz Z podmínky pro netriviální řešení obou rovnic dostaneme charakteristickou rovnici g = k tg kh (6.59) Výsledek dosadíme do vzorce pro n(as pomocí (6.33) a (6.34) upravíme na tvar vt = c cos kh (6.60) Obr. 6.6. Disperzní charakteristika hřebínkové struktury Disperzní charakteristika vedeni s hřebinkovou strukturou je na obr. 6.6. Podle vztahu (6.60) je vynesena křivka označena tj — oo. Na vodorovnou osu se nanáší bezrozměrná veličina h_ _ kh_ (6.61) úměrná frekvenci a na svislou osu poměr vsjc. Analyzujeme nyní získanou disperzní charakteristiku. Z obr. (6.6) vyplývá, že se povrchová vlna může podél vedení šířit pouze při splnění nerovnosti 0 < £ < 0,25, tj. pro délku destiček nepřevyšující čtvrtinu vlnové délky ve volném prostoru. Pro hodnoty 0,25 < £ < 0,5 povrchová vlna neexistuje, protože pravá část rovnice (6.59) je záporná. Pro hodnoty £ > 0,5 má rovnice (6.59) také řešení, avšak tímto případem se nemůžeme pro omezený rozsah učebnice zabývat. Při 0 bude g -> Oait,/f -* 1. Pak je y = jfc a podél osy z se šíří v tomto mezním případě rovinná vlna TEM s rychlostí c. Hodnotu £ -» 0 lze získat i tak, že položíme h -*■ 0, čímž přejde 198 hřebínkové vedení na vedení s hladkým povrchem. Jiná možnost je pro X ~* oo, což znamená, že dostatečně dlouhé vlny se šíři podél vedení stejně jako podél hladké stěny. Povrch vedení nemá v tomto případě žádný vliv na Šíření vlny. Všechny předcházející vztahy pro disperzi hřebínkového vedení jsou správné pouze tehdy, je-li splněna podmínka (6.54); proto také ve všech vztazích nevystupuje perioda struktury d. V případě f -» 0,25 je v,jc -» 0. Protože vf = co[a, bude a -► co a podmínka (6.54) nebude splněna pro konečnou hodnotu periody d. Z toho vyplývá, že pro malé hodnoty vtjc je naše přibližné řešeni nepoužitelné. Přesná teorie povrchových vln (viz např. [1]) tento závěr potvrzuje. Podle této teorie jsou na obr. 6.6 vyneseny výsledky výpočtu zpomalení vfjc pro hřebí o ková vedení s různými poměry n = hjd, které charakterizují tvar hřebínkové struktury. Je zřejmé, že se vzrůstajícím n je hřebínková struktura „hustší". Z grafu na obr. 6.6 je též vidět, že pomocí „řídkých" hřebínkových struktur nelze podstatným způsobem vlnu zpomalit. Literatura ke kapitole 6 [1] Vajnštejn, L. A.: Elektromagnitnyje volny. Moskva, Sovětskoje rádio 1957. [2] Pierce, J. R.: Lampa s bcgušcej volnoj (překl, z angl. ). Moskva, Sovětskoje rádio 1952. [3] Harwey, A. F.: Periodic and Guiding Structures at Microwave Frcquerjdes. IRE Trans. MTT-8, 1960, í. 1. [4] Collin, R. E.: Field TheOTy of Guided Waves. New York, Mc Graw-Hill Comp. 1960. [5] Kleen, W. /..- Vvedenije v elektroniku sverchvysokich čas lot ŕpítkl. z írgl.J. Moskva, Sovět skoje rádio 1963. 16] Brillouin, L.—Parodi, M.: Rasprostraneníje vo!n v periodifeskich strukturách, Moskva, Izd. ínostr. lit. 1959. |7] Punčochář, J.-Růžička, VI. — Svačina, J.: Technika velmi krátkých vln. Skriptum FE VUT Brno. Praha, SNTL 1979. 199 7. Mikrovlnné rezonanční obvody aeicej. Yznicucm a maiyiii ivuunum iyi\j i^tuncnuiy uuyjiijc umisiuji přímo do vedení (vlnovodu, páskového vedení nebo jiných typu vedení), takže odpadá zvláštní vazební prvek. To umožňuje konstrukci poměrné jednoduchých zařízení, která mají navíc velmi vítanou vlastnost — malé rozměry. Mikrovlnné rezonanční obvody jsou charakteristické tím, že je většinou nelze vytvořit formou soustředěné kapacity a indukčnosti, jak to je obvyklé při nižších frekvencích. Podle konstrukce je můžeme rozdělit na několik skupin. Především to jsou obvody využívající rezonančních vlastností vedení s vlnou TEM, zakončeného naprázdno nebo nakrátko. Do této skupiny můžeme zařadit též obvody vytvořené kombinací úseku těchto vedení a soustředěné kapacity. Použití takových rezonančních obvodů je typické pro oblast decimetrových vln a pro techniku mikrovlnných integrovaných obvodů. Další skupinu rezonančních obvodů tvoří dutinové rezonátory. Dutinovým rezonátorem může být dielektrikum zcela obecného tvaru, je-li uzavřeno vodivým pláštěm. Z praktických důvodů se však téměř výhradně používají dutinové rezonátory jednoduchých geometrických tvarů. Rezonanční frekvence závisí na tvaru a rozměrech dielektrika (dutiny), na vlastnostech dielektrika a na vidu kmitání. Protože rezonanční vlnová délka je stejného řádu jako rozměry dutiny, jsou dutinové rezonátory používány nejvíce v oblasti centimetrových vln. Jejich výhodnou vlastností je velký činitel jakosti, který bývá v mezích Q = I0S až 10s (v závislosti na vidu kmitání). Třetí skupina mikrovlnných rezonančních obvodů tvoří tzv. otevřeně rezonátory. Jsou vytvořeny dielektrikem omezeným soustavou dvou rovinných, popř. zakřivených zrcadel (nejčastěji kovových nebo dielektrických desek). Mezi zrcadly vznikne stojaté vlnění s velkou frekvenční selektivitou. Protože rozměry zrcadel musí být mnohonásobně větší, než je použitá vlnová délka, jsou tyto rezonátory nejčastěji používány v oblasti vln milimetrových a submilimetrových (používají se též jako rezonanční obvody v laserech). Jejich činitel jakosti bývá velmi velký (řádově 104 až 106). Do čtvrté skupiny můžeme zařadit rezonátory dielektrické a feritové. Dielektrický rezonátor je vytvořen dielektrikem jednoduchého geometrického tvaru a s velkou relativní permitivitou. Tvar a rozměry dielektrika jsou voleny tak, aby při jisté frekvenci vysokofrekvenčního elektromagnetického pole vyhovovaly rezonanční podmínce. Feritový rezonátor je vytvořen malým tělískem z feritu, zmagnetovaným vnějším statickým magnetickým polem. K. interakci mezi feritem a vysokofrekvenčním elektromagnetickým polem dochází tehdy, je-li frekvence elektromagnetického pole shodná s frekvencí feromagnetické rezonance feritu nebo je jí blízká. 1 když je fyzikální princip funkce těchto dvou typů rezonátorů odlišný, jsou jejich společným znakem malé rozměry (v poměru k použité vlnové 7.1. REZONANČNÍ OBVODY S VLNAMI TEM V článku 2.1 jsme poznali, že vlna příčně elektricko-magnetická (TEM) může vzniknout ve vedeních, která mají ve svém průřezu dva nebo více vodičů. Rychlost šíření vlny TEM nezávisí ani na rozměrech, ani na tvaru průřezu vedeni, ale pouze na vlastnostech prostředí (íj. na permitivitě a permeabilitě dielektrika). Poznáme, že z úseku takového vedeni lze vytvořit jednoduchým způsobem rezonanční obvod (rezonátor). V dalších úvahách předpokládáme, že rezonanční obvod může být vytvořen z vedení libovolného typu, tj. např. z vedení koaxiálního, dvot> vodičového (dvoudrátového) nebo páskového. 7.1.1. Rezonátor vytvořený z úseku vedení na jednom konci otevřeného a na druhém konci uzavřeného nakrátko Elektromagnetické pole vidu TEM je možné vyjádřit podle čl. 2.5 rovnicemi (obr. 7.1) ' - dT2 ET = grád div 11° = grad T, dz HT = jwe rot 17° = jcúE(grad T, x z) T2 přičemž pro funkci T2 platí T2 = C, e*1 + C2 t~il1 r-0 f Obr. 7.1. Vedení nakrátko V místě zkratu, tj. při z - 0, musí být E = 0 a protože platí £ = }k grad T^C, eJta - C2 e-jtl) dostáváme z této podmínky 0 - Ct - C2 (7.1) neboli 200 201 a lze icuy (Jiil r2 =* C(e,kl + e"Jtl) = 2C cos Jfcz (7.2) Intenzitu elektrického a magnetického pole můžeme pak vyjádřit výrazy E = -2Ck grad 7*, sin Jfcz (7.3) H = 2jCct)e(grad T, x z) cos fcz (7.4) Z uvedených rovnic je zřejmé, že intenzity pole E a H jsou proti sobě fázově posunuty o 90" a mají dvojnásobnou amplitudu v porovnáni s případem neomezeně dlouhého homogenního vedení. Předpokládejme, že na otevřeném konci, tj. při z = /, je intenzita elektrického pole maximální. To může být splněno pouze tehdy, je-li W = f>-l)-=- kde p = 1, 2, 3, .... Pro vlnové číslo fc platí (7-5) popř. k = ^-jp,£c takže odpovídající délku vlny nebo frekvenci můžeme vyjádřit pří použití vztahu (7.5) výrazy / = popr. 2p 4/ (7.7) Vztahy (7.6) a (7.7) vyjadřují stav rezonance na vedení délky /, zakončeném nakrátko. Je zřejmé, že úsek vedení bude v rezonanci při diskrétních hodnotách frekvence (vlnových délek), které příslušejí různým indexům p. Základní rezonanční frekvence (vlnová délka) je určena indexem p = 1. V takovém případě je délka rezonančního úseku rovna čtvrtině délky vlny. Kdybychom vyjádřili vstupní impedanci takového úse ku vedeni, zjistili bychom, že je teoreticky nekonečně velká (pro bezeztrátové vedení) — viz vztah (2.119). 7.1.2. Rezonátor vytvořený z úseku vedení na obou koncích uzavřeného nakrátko Je zřejmé, že v místě zkratu, tj. při z = 0 a z = / musí být intenzita elektrického pole nulová (obr. 7.2). Protože platí podle (7.1) E - jk grad r,(C, ejU - C2 c~>kz) dostaneme z podmínky E = 0 pro z = 0 0 = ct - c2 neboli c, = cz = C 1-0 Obr. 7.2. Vedení oboustranně zkratované a z podmínky E = 0 pro z = l 0 = ejU - e~*( neboli sin kt = 0 Tato podmínka bude splněna vždy, je-li kl = pn k = H kde p = 1, 2, 3, .... Protože vlnové číslo k můžeme vyjádřit vztahy nebo fc = o^/VoSo VAÍ 2it .- k - -rvM (7.8) (7.9) můžeme určit odpovídající délku viny, popř. frekvenci výrazy p J = —p Tyto vztahy vyjadřují stav rezonance na úseku vedení délky /, zakončeném na obou koncích nakrátko. Základní rezonanční vlnová délka (frekvence) je určena indexem p — 1. V takovém případě je délka rezonujícího úseku vedení rovna polovině délky vlny. Protože platí C, = C2 — C, je možné vyjádřit funkci T2 výrazem T2 = C(él1 + e~ikz) = 2C cos kz 202 203 a intenzity elektrického a magnetického pole lze vyjádřit výrazy, které jsou shodné s (7.3) a (7.4) E = -2Cfc grad T, sin kz H = 2jCaw(grad Ti x z) cos kz Intenzity elektrického a magnetického pole jsou proti sobě opět fázově posunuty o 90°, přičemž jejich amplitudy jsou dvakrát větší než v případě postupné vlny na dlouhém homogenním vedeni. Je zřejmé, že rezonanční obvod tohoto typu lze považovat za obvod složený ze dvou rezonančních obvodů popsaných v předcházejícím odstavci (obr. 7.3). 4 Obr. 7.3. Půlvlnný rezonanční obvod 7.1.3. Rezonátor vytvořený z úseku vedení na obou koncích otevřeného Předpokládejme, že na obou otevřených koncích je intenzita elektrického pole maximální. Při z = 0 a z = / je tedy (obr. 7.4) £ -Emil :=0 -1 Obr. 7.4. Vedení naprázdno Protože při z = 0 platí [viz (7.1)] £ = jfc grad T^C, - C2) musí zřejmě být C1 = -C2 - C takže funkci podélné souřadnice T2 můžeme vyjádřit výrazem T2 = C(eikl - e"jiI) - 2jCsin kz a při z = l je £ = 2jJkC grad T, cos kl Aby byla intenzita elektrického pole při z = / maximální, musí být kl = pn (7.10) 1 ■i .8 neboli jm_ t kde p = 1, 2, 3, .... Odpovídající vlnovou délku a frekvenci určíme z tohoto v2tahu a z výrazů pro vlnové číslo 21 .— (7.11) (7.12) Tyto vztahy opět vyjadřují stav rezonance na úseku vedení délky /, na obou koncích otevřeného. Základní rezonanční vlnová délka (frekvence) je určena indexem p = 1. Délka rezonujícího úseku vedení je v takovém případě rovna polovině délky vlny. Elektromagnetické pole vyjádříme vztahy (2.73) a (2.74), přičemž pro funkci podélné souřadnice T2 platí vztah (7.10) £ = 2jkC grad 7\ cos kz (7.13) H = -2Cw£ grad TL sin kz (7.14) Intenzity elektrického a magnetického pole jsou proti sobě fázově posunuty o 90° a jejich amplitudy jsou dvojnásobné v porovnání s případem postupné vlny. 7.1.4. Rezonátor vytvořený z úseku vedení nakrátko a soustředěné kapacity Kapacita C spolu s indukčnosti vedení nakrátko (obr. 7.5) tvoří paralelní rezonanční obvod, jehož rezonanční úhlovou frekvenci můžeme určit z Thom-sonova vztahu 1 co2 = LC Rezonanční úhlovou frekvenci víak můžeme určit též tak, že použijeme vztahy získané z řešení tzv. telegrafních rovnic vedení, odvozené v odst. 2.6.1. Obr. 7.5. Vedeni nakrátko s kapacitou na vstupu Vstupní impedanci vedení můžeme vyjádřit podle (2.117) takto Zt + Z0tgrry/ Z - i + -§Mg hyl 204 205 takže pro bezeztrátové vedení zakončené nakrátko (Zt = 0, y = jk) platí Z = jZ0 tg kl Připojíme-li k takovému vedení na vstup kapacitor s kapacitou C, je při rezonanci výsledná admitance obvodu nulová {při zanedbaní ztrát). To umožňuje vyjádřit jednoduchým způsobem rezonanční podmínku l takže popř. jťuC + jZ„ tg kt 1 = 0 2nCZ0 tg kl = 2itcCZ0 tg fc//V. kde c = lly/načo je rychlost světla ve vakuu Vztahy (7.16) a (7.17) můžeme upravit na tvar cotg kl _ cCZ0 1 který můžeme řeSit graficky nebo pomocí programovatelného kalkulátoru. Je zřejmé, že vztah (7.18) má smysl pouze pro některé hodnoty argumentu kl, a to pro (7.15) (7.16) (7.17) (7.18) neboli (p - l)n < kl <(2p - l)y (p-l)i-<í<(2p-l)j kde p = 1, 2, 3..... Pro praktické aplikace má význam základní vid kmitání (p - 1), při kterém je rezonanční frekvence nejnižäí. Je však třeba si uvědomit, že obvod může být v rezonanci i při jiných, vyšších frekvencích (při p > 1). 7.1.5. Rezonátor vytvořený z úseku vedeni naprázdno a soustředěné kapacity Vstupní impedanci vedení naprázdno vyjádříme ze vztahu (2.117) pro oo takže Z = -jZ0 cotg kl Připojíme-li k tomuto vedení na vstup kapacitor s kapacitou C (obr. 7.6), je při rezonanci výsledná admitance nulová (při zanedbání ztrát). Rezonanční podmínka je 1 jcoC - - jZ0 cotg kl (7.19) taKze popř. 1 -2nCZ0cotgk7 X = — 27rcCZ0 cotg M/V/ire, (7.20) (7.21) 1? J l Obr. 7.6. Vedení naprázdno & kapacitou na vstupu' Transcendentní rovnici (7.20) nebo (7.21) můžeme upravit do tvaru tgfcj _ cCZ$ 1 kl V (7.22) který lze řeait graficky nebo pomocí programovatelného kalkulátoru. Je zřejmé, že vztah (7.22) má smysl pouze tehdy, je-li argument kl v intervalu neboli y{2p - 1) < kl < pn T(2p-l) 1). 7.2. ČINITEL JAKOSTI REZONANČNÍHO OBVODU Činitel jakosti jakéhokoliv rezonančního obvodu s úhlovou rezonanční frekvencí w0 je dán vztahem (7.23) kde W je energie elektromagnetického pole v obvodu, Pj, ztracený výkon v obvodu. Je-li možné určit indukčnost a vf odpor obvodu (napr. u rezonančních obvodů tvořených úseky dvouvodičového vedení), lze vyjádřit v rezonanci energii a ztracený výkon výrazy 206 207 kde 1 je komplexní amplituda vf proudu procházejícího obvodem, RvS vf odpor vodičů, takže pro činitel jakosti dostaneme po úpravě výraz ců0L Q = (7.24) Činitel jakosti rezonančních obvodů vytvořených z úseku dvou vodičových vedení lze přibližně vyjádřit i jinými způsoby. Vyjdeme-li např. ze vztahu pro indukčnost na jednotku délky vedeni (2.86). ; _ JI 7 dostaneme po dosazeni do (7.24) a po úpravě výraz (7.25) kde k je vlnové číslo, / délka vedení. Protože výkon ztracený v úseku vedení jednotkové délky je úměrný poměrnému útlumu, můžeme vyjádřit činitel jakosti i pomocí poměrného útlumu úseku vedeni, z něhož je rezonanční obvod vytvořen. Podle (2.62) platí takže P, = 2Pp Vyjádříme-li výkon přenášený vedením jako součin energie W elektromagnetického pole obsažené v úseku vedení jednotkové délky a rychlosti Sířeni t>, platí (viz odst. 2.2.4) P =Wv a tedy P^ = 2WvfÍ Použijeme-li vztah (7.23), můžeme vyjádřit činitel jakosti po úpravě výrazem (7.26) Při výpočtu Činitele jakosti rezonančních obvodů vytvořených z úseku vedení nakrátko je však nutné respektovat i ztráty ve zkratech. 7.3. DUTINOVÉ REZONATORY, OBECNE VLASTNOSTI Jak již bylo řečeno, dutinovým rezonátorem může být dutina jakéhokoliv tvaru uzavřená vodivým pláštěm. Z čistě praktických důvodů používáme však téměř výhradně rezonátory jednoduchých geometrických tvarů. Na rezonátoru obecného tvaru však nejprve ukážeme některé vlastnosti, které jsou pro dutinové rezonátory společné. Předpokládejme, že dutinový rezonátor je vytvořen dielektrickým prostorem s objemem V, který je obklopen vodivým pláštěm s plochou povrchu 5. Protože předpokládáme zcela obecný tvar rezonátoru, nemůžeme zavést pro řešení elektromagnetického pole Hertzovy vektory, ale musíme řešit Maxwellovy rovnice přímo. Pro bezeztrátové prostředí a harmonický časový průběh lze psát Maxwellovy rovnice ve tvaru rot H — jcoeE rot E = —}(0fiH Jestliže aplikujeme na druhou rovnici operátor rot, dostaneme za použití první rovnice rot rot £ = k2E (7.27) kde fe je vlnové číslo. Řešením rovnice (7.27) s okrajovou podmínkou, že na plášti je Et = 0, bychom určili rozložení intenzity elektrického pole a pomocí druhé Maxwellovy rovnice by bylo možné určit rozložení magnetického pole. Pro intenzitu magnetického pole však můžeme dostat (analogickým způsobem jako v případě elektrického pole) rovnici rot rot H = k2H (7,28) Podle Gaussovy věty platí jdivvdV = jv.dS v s kde v je libovolný vektor, V objem, S povrch uzavírající objem V. Předpokládejme, že objem V je dán objemem dutinového rezonátoru a plocha S povrchem pláště téhož rezonátoru. Za vektor v považujme Poyntingův vektor v = £ x H*, takže lze psát a tedy div v = div (E x H*) = H* . rot E - E . rot H* jH*.rotEdV - jE.rotH*dP = J(ExH*).dS Plošný integrál na pravé straně rovnice je úměrný výkonu vyzářenému do povrchu pláště rezonátoru. 208 209 Protože z Maxwellových rovnic vyplývá E = -j— rot H dostaneme po úpravě J(H*. rotrotH)dV - j (rot H . rot H*)dV = j«£ J (Ex H*) . ndS v v s kde n je jednotkový vektor ve směru normály k ploše S. Použijeme-li dále vztah v7.28) rot rot H = k2H můžeme po úpravě psát J (rot H . rot H*) d F J (H . H*)dV + jcoe- |(ExH*). ndS H».H*)dV (7.29) Vztah (7.29) určuje vlnové číslo rezonátoru se ztrátovým povrchem pláště. Když bychom předpokládali dokonale vodivý povrch, musela by na něm být každá tečná složka intenzity elektrického pole nulová, takže ztráty by byly nulové. Pro vlnové číslo bychom pak dostali J(rotH.rotH*)dP J(H . H )dV v Dosadíme-li za rot H a rot H* z Maxwellových rovnic rot H = j(D0eE rot H* = — jco0eE* lze psát ío^2í(E.E*)dV r,2 _ ,.j,IB =__v__ (7.30) J(H.H*)dV takže po úpravě dostaneme s J(E.E*)dV =ní(H. H*)dV (7.31) Ze vztahu (7.31) vyplývá, že při rezonanci jsou střední hodnoty energie elektrického a magnetického pole v bezeztrátovém dutinovém rezonátoru stejně velké. Protože celková energie elektromagnetického pole rezonátoru je dána součtem energií elektrického a magnetického pcjle, je možné ji vyjádřit pouze energií elektrického pole nebo pouze energií magnetického pole W = We + Wn = 2Wt = 2Wm W -1« J(E . E*)dV = ~n\{H. H*)dV Z y d y Dílčí výrazy rovnice (7,29) můžeme vyjádřit ve tvaru (7.32) 2W f(ExH*).ndS = 2í\l = 27\(i j(H.H*)dV = s s P kde PÍ je komplexní výkon vyzářený do pláště rezonátoru, Pt reálná část komplexního výkonu, W celková energie elektromagnetického pole v rezonátoru, takže po dosazení do (7.29) dostaneme po úpravě K k = k0 + jo)/ie neboli W 22 P ft> pe = o>ape + jto/tó(l + j) -yí- Protože platí lze po úpravě psát «2 + «>(I -j)^._«,5-o Fyzikálně možné řešení této kvadratické rovnice můžeme napsat po úpravě ve tvaru (7.33) Rovnice (7.33) udává tzv. komplexní úhlovou frekvenci dutinového rezonátoru. Vyplývá z ní, že rezonanční úhlová frekvence dutinového rezonátoru se ztrátovými stěnami se liší od rezonanční úhlové frekvence bezeztrátového rezonátoru činitelem (1 - 1J2Q). Kromě toho je zřejmé, že ztrátové stěny rezonátoru způsobují tlumení kmitů se součinitelem útlumu w0/2Q. Vzhledem k tomu, že činitel jakosti bývá velmi velký (g = 103 až 105), můžeme obvykle počítat úhlovou frekvenci podle zjednodušeného vztahu CO Stí w0 (7.34) 7.4. DUTINOVÉ REZONÄTORY VLNOVODOVÉHO TYPU Dutinový rezonátor vlnovodového typu je tvořen úsekem válcového vlnovodu libovolného průřezu, který je uzavřen z obou stran vodivými stěnami. Příčné rozloženi elektromagnetického pole je stejné jako u vlnovodu a zvláštní 210 211 tvar ma pouze iuntce i2, aennujici poaeme rozloženi pole. Funkci 7*2 určíme z okrajové podmínky, Že na základnách rezonátoru, které budeme nejprve považovat za dokonale vodivé, musí být každá tečná složka intenzity elektrického pole nulová. 7.4.1. Rezonátor s vlnou příčně magnetickou (TM, E) Pro válcovou vlnovodovou část rezonátoru platí stejná okrajová podmínka jako u vlnovodu s vlnou TM, tj. 7\ = 0 na plášti (obr. 7.7). Intenzita elektrického pole je u vln TM určena vztahem (164) E = k2n\ + grad div J7] Obr. 7.7. Dutinový rezonátor vlnovodového typu (TM) Na příčných stěnách (základnách) rezonátoru musí být tečná složka intenzity elektrického pole nulová. Příčnou složku intenzity elektrického pole můžeme zřejmě vyjádřit výrazem £T = gradT div IV, tj. za použita vztahu ÍTZ = Tt T2 Er = gradT T, 3T2 Protože tento výraz musí být roven nule při z — 0 a z = / pří jakékoliv příčné souřadnici (v oblasti průřezu vlnovodu, z něhož je rezonátor vytvořen), musí zřejmě platit, že při z = 0 a z = / je dT2 čz = 0 (7.35) Pro funkci T2 jsme již dříve dostali obecné řešení T2 «- C, eJ" + C2e_i« takže ^-=j«(C1eJ"-C2e-n Tento výraz musí být roven nule při z = 0 a z = I. Pro z = 0 platí 0 = ct - c2 a z toho vyplývá C, = C2 takže je zřejmé, že funkci Tz můžeme vyjádřit výrazem T2 = C,(eJ" + e"J") nebo T2 = C cos az kde jsme označili C = 2C\ Při z = / pak platí (7.36) 0 = eJil - -jal tj- sin al = 0 Aby tento výraz byl vždy roven nule, musí být al — pn popř. pit a = -r kde p je libovolné celé číslo. Funkci T2 můžeme tedy vyjádřit výrazem T2 = C cos ~ z (7.37) (7.38) Z charakteru funkce T2 vyplývá, že v dutinovém rezonátoru vznikne stojaté vlnění, které má oproti postupné vlně dvojnásobnou amplitudu. Činitel p udává počet půlvln stojatého vlnění v podélném směru.1) Známe-li funkci T2, můžeme napsat výraz i pro Hertzů v vektor IT\ = TyT2t neboť funkce 7\ je závislá pouze na průřezu použitého vlnovodu. Složky intenzity elektrického a magnetického pole v rezonátoru určíme z rovnic (1.64) a (1.65) ŕ1 T £ = k2ni + grad div n\ = fe2T,T2z + grad Tt —2- oz H = jrae rot Tľz = jwe (grad ľ, x z) T2 K určení rezonanční frekvence nebo rezonanční vlnové délky vlnovodových rezonátoru použijeme vztah (2.11) mezi konstantami k, r a a fc2 = r1 + «2 Protože pro vlnové číslo platí ') Vzhledem k tomu, že funkce T2 je nenulová i při p = 0 (při p = 0 je T3 = konat), můře být nejnižší součinitel p roven nule. V takovém případe má elektromagnetické pole v podélném směru konstantní rozloženi (viz dále). 212 213 nebo k = 2jt lze psát X = / = 2b 2«> ^ \l J (7.39) (7.40) Z těchto rovnic je zřejmé, že dutinový rezonátor má řadu diskrétních rezonančních frekvencí, z nichž každá přísluší jinému rozloženi elektromagnetického pole. Tato rozložení pole, neboli vidy, jsou charakterizována indexy tn, n a p. První dva indexy m & n určují přitom vid elektromagnetické vlny ve vlnovodu, z něhož je rezonátor vytvořen, poslední index p určuje rozložení pole v podélném směru rezonátoru (tj. určuje počet půlvln stojatého vlnění v podélném směru dutiny). Pro činitel jakosti rezonátoru platí „ cúW kde W je energie elektromagnetického pole v rezonátoru, Pz výkon ztracený v rezonátoru. Budeme-li předpokládat, že se výkon Pz ztrácí následkem nedokonalé vodivosti pláště rezonátoru, můžeme jej vyjádřit výrazem neboli Pz = 4-Re f (£ x H*). ndS + Re f (£ x H*) . n dS 2 Si Si y Re J E&dS 4- Re j [E^u) H>) - E^) ií*(«)] ÓS Si Our. 7.«. Dutinový rezonátor s vlnou T M kde podle obr. 7.8 jsou ei, Hs,et& HT tečné složky intenzity elektrického a magnetického pole. Protože tečné složky intenzity elektrického pole můžeme určit pomoci okrajových podmínek z charakteristické impedance vodivého pláště a z tečných složek intenzity magnetického pole podle vztahu (2.42) El ~ ZyfÍj kde ET, HT jsou tečné složky intenzity elektrického a magnetického pole (vzájemně kolmé), neboť při z =< 0 a z = / je ET = £, a Hr = Ht ZT _ charakteristická impedance vodivého pláště, můžeme psát E. = ZyHa; - ZyHT(v); e^v) = -Z,HT{u) a výkon ztracený ve stěnách rezonátoru je tedy Px - 4 Re tZv] J HÄ* d« + [ZJ | [HT(t>) + H^u) H*(uY] ÓS neboli P, = yfivfCÍ íf^/dS + 2 J | ffT |2 dS] (7.41> kde qyf je tzv. poměrný vf odpor, pro který platí (viz odst. 2.3.1) erf=Re[zT] = ^|L Protože podle (1.65) je H = jo>E rot Iľz = j(oe(grad íl'x x z) lze psát pro složku magnetického pole ve směru obrysové křivky pláště rezonátoru H. = H . s = jwe (grad Í7* x z). s =-. jwt grád J7^. (z x s) neboli ô T h, = j(j)e(grad J7'. n) = jwe —-í- T2 on (nebof platí 1 x » = n a íi; = TV^). Pro funkci T2 platí u vln TM vztah T2 = C co* z takže můžeme psát J HSHUS = n rot JI™ = -jto^(grad Tt x z) T2 Na základnách rezonátoru musí být tečná složka intenzity elektrického pole nulová při jakékoliv příčné souřadnici. Z toho je zřejmé, že pro funkci Tz musí platit podmínka T2 = 0 pro z = 0iz = /. Podle (2.13) platí T2 = Ci c1" + C2 Q-'az takže pro z — 0 je 0 = Ci + Ci a z toho C2 = -C, Funkci T2 můžeme tedy vyjádřit výrazem T2 = C, (ej" - e"j") neboli T2 = C sin az (7.48) kde jsme označili C = 2j C, ' Pro z = / pak platí 0 = é"' - e"ja' neboli sin a/ = 0 216 217 nuy tcuiu vzuui oyi spmen, musí oyt a! = j7tc a — pit kde p je libovolné celé číslo. Funkci T2 můžeme tedy vyjádřit výrazem T2 = Csin-^-z í (7.49) V dutinovém rezonátoru je stojaté vlnění, přičemž činitel p opět udává počet půlvln na délku rezonátoru. Je zřejmé, že nejnižSI možný činitel může být p = 1. Známe-li funkci T2, můžeme určit i Hertzův vektor J7™ = Tt T2 neboť funkce příčných souřadnic je závislá pouze na průřezu použitého vlnovodu. Složky intenzity elektrického a magnetického pole v rezonátoru určíme pak z rovnic £ = -Jan rot 17™ = -jco/.(grad Tt x z) T2 67*, H = k2llf + grad div n? = k2Tt T2z + grad Tt dz Pro rezonanční frekvenci a vlnovou délku platí stejné vztahy jako u vln TM, neboť vztah (2.11) mezi konstantami Ar, f a a platí i pro vlny TE. Lze tedy psát podle (7.39) a (7.40) X = 2tí 2ttn/|í£ r2 Pří určování činitele jakosti je třeba si uvědomit, že na válcové části rezonátoru mohou existovat dvě složky magnetického pole, podélná a příčná (vzhledem k podélné ose rezonátoru). Příčná složka vyvolá v pláSti podélný proud, což má při konečné vodivosti za následek vznik tečné složky intenzity elektrického pole. Tato složka pole je v praktických případech o několik řádů menší než příčná složka intenzity elektrického pole, takže ji při určování geometrického rozložení pole zanedbáváme. Při výpočtu ztrát v plášti ji však zanedbat nemůžeme. Obr. 7.10. Dutinový rezonátor s vlnou TE 218 vyKon značeny v piasu icwiiaiui u mučenie vyjaum výrazem i^-^-Re í(ExH*).ndS + Re f (£ x H*). n dS 2 S, Si neboli podle obr. 7.10 Pz = 4-Re J EsHtáS + iRe j £,Hf*dS + L Si Z St + Re J [E^ú) H*(v) - Et(v) 7fÍ(u)] dS Si S využitím okrajových podmínek (2.42) lze psát tento výraz ve tvaru _L 2 Pz = 4 Rc [ZJ J Í?X dS + \ Re [zv] í HrfáS + Re [Zv] J | fft 1*dS ■'Si *■ Si S2 neboli J". = T^CJ H*H*áS + í W«»S + 2 J I Hr | MS] (7.50) Šl St Si Podle (1.67) můžeme vyjádřit intenzitu magnetického pole výrazem H = fc2TJ7*22 + gradT1- 2 takže jednotlivé tečné složky intenzity magnetického pole jsou H^H.z = k2T1T2 + Tl^ Bz2 H, = H.s = HT = grad 7\ ÔTt ÔT2 Bs dz dJ2 dz Funkce T2 je u vln TE dána výrazem (7.49) T2 = C Sin —p- z 2 í takže po úpravě lze psát hx = r27\Csin^-z [neboť podle (2.11) je Jt2 = T2 + (pn//)2] „ prc 5Tj pit HT = C grad Tf cos -y- z prc 219 1 1 fJ7íH*dS= § f H,H*dsdz = ^-ľ*C2l§Tlás J I HT |2 dS = (^Jc3 j | grad Ti \2dS = ^-y-Jc2r2^ T2 dS (Z=i) + (7.51) Celkový výkon ztracený v plášti rezonátoru je tedy + 4(")V'iH Energii elektromagnetického pole můžeme vyjádřit pomocí intenzity elektrického pole , W = ~e j(£.E*)dF Podle (1.66) platí £ = -jra/ť rot n™ = -jw/í(grad T, x z) T2 takže kde E.E* = |£T|2 =toV|grad Tt |2 T2T* T, = C sin Platí tedy W = ~ w VeC2 J í I grad T, |2 sin2 z dS áz takže po částečné integraci dostaneme pro celkovou energii IV = -1 «V eC2í 11 grad T, |2 d5 Činitel jakosti vyjádříme pak po úpravě výrazem k2 J T2dS (7.52) Si -r.íTfí, + (Jř)V",(^.)*d, + «(Í)V'jr!« kde k je vlnové číslo a (7.53) Jlgradľ.^dS = T3 jT2dS 5 s 220 S KRUHOVÝM PRŮŘEZEM Tento typ dutinových rezonátoru (obr. 7.11) se v praxi velmi často používá pro snadnou výrobu i dobré elektrické vlastnosti. Rezonanční frekvenci při daných rozměrech určíme pomocí vztahu .2 k1 = r2 + popř. graficko-početní metodou, která z tohoto vztahu vychází. Obr. 7.li. Rezonátoi z vlnovodu kruhového průřezu 7.5.1. Diagram vidů rezonátoru s kruhovým průřezem Jestliže uvážime, že platí fc2 = 4xyV; r ~ W ~ D2 kde TJ je průměr rezonátoru, y. kořen Besselových funkcí (u vln TM j = iD1au vln TE a = a^,„), můžeme napsat vztah (2.11) po úpravě ve tvaru (7.54) kde c je rychlost světla ve vakuu (a předpokládáme, že i ve vzduchovém prostředí). Označíme-li y = (JD)2; B můžeme napsat rovnici (7.54) ve tvaru y = A + Bx což je rovnice přímek se směrnicí B, jejichž počátek je posunut o konstantu A. Protože velikost konstant A a B je závislá na vidu kmitání, přísluší každému vidu jedna přímka. Grafickým zobrazením rovnice (7.54) získáme tzv. diagram vidů dutinového rezonátoru, ze kterého můžeme určit při dané frekvenci rozměry rezonátoru nebo naopak z daných rozměrů můžeme určit rezonanční frekvenci. Diagram základních vidů je na obr. 7.12. 221 25 20 ľ5 10 / / /tm, 20 1ÁW / / tm2)0 i / tm010 OAr. 7.i2. Diagram vidů rczonátoru kruhového průřezu j§ Tento diagram je zvlášť významný při návrhu přeladitelných rezonátorů, protože poskytuje přehled o všech videch, které mohou v rezonátorů daných rozměru při přelaďování vzniknout. Jestliže označíme a^, krajní frekvence přeladitelného rezonátorů, potom hodnoty (/^„Z))2, (fmiaD)2 a jim příslušející hodnoty (Djlmia)2 a {Djl^)1 vymezí v diagramu pro určitý vid tzv. pracovní oblast rezonátorů. Při volbě pracovní oblasti se snažíme o to, aby se přímka odpovídající tzv. pracovnímu vidu (tj. vidu, na kterém má rezonátor kmitat) neprotínala uvnitř této oblasti s některou jinou přímkou odpovídající jinému vidu kmitání. V takovém případě mohou vzniknout v rezonátorů určitých rozměrů při stejné frekvenci dva různé vidy kmitání, tzv. degenerované kmity, což má za následek zvětšení ztrát a pokles činitele jakosti. Příklad na nevhodně zvolenou pracovní oblast je uveden na obr, 7.13a, kde se přímky 2 a i protínají uvnitř pracovní oblasti rezonátorů. Z pracovní oblasti uvedené na obr. 7.13b je zřejmé, že se v daném frekvenčním rozsahu může vyskytnout i jiný vid kmitání (přímka 3), avšak průsečík přímek 2 a J je mimo pracovní oblast. Možnost vybuzení nežádoucího vidu (přímka J) se obvykle dá omezit (vhodným způsobem buzeni rezonátorů). . «) b) Obr. 7.13. Pracovní oblast přeladitelného rezonátorů Obecně je nutné počítat s tím, že se v dutinovém rezonátorů mohou vybudit i jiné vidy než ty, které se vyskytují v tzv. pracovní oblasti. Teoreticky vzato, v každém dutinovém rezonátorů určitých rozměrů se může vybudit neomezený počet vidů kmitání, záleží na použité frekvenci a na způsobu vybuzení. Rezonanční frekvence jednotlivých vidů určíme z rovnice (7.40) nebo z diagramu vidů 7.12 pro Djl = konst. Je-li rezonátor přeladitelný, je rozsah přeladitelnosti jednotlivých vidů určen polopásem mezi krajními hodnotami (Dfl^1 a {Dfl^2 (obr. 7.14). dr Hertzův vektor vyjádříme součinem funkcí Tx a 7*2, přičemž k vyjádření funkce 7\ použijeme (stejní jako u vlnovodu kruhového průřezu) výraz (3.39) r, = CJ„,(i>) cos a pro funkci T2 jsme odvodili výraz (7.36) T2 = CC0S^z Platí ledy pk TI\ = C im(ľr) cos m

/íroti7™ = -jít>/i(grad J7™ x z) H = k2Il™ + grád div/7™ V rezonátoru s kruhovým průřezem mohou existovat složky intenzit pole Er — E . r — —jwp E =E.,q> = jco/t rd

dr c ilt dr dz 1 ťn™ r ô

) sin m

sin -p- pít pít Hr - ľ — C J„(/>) cos r?i

) dr (7.59) 60) ne bor ST, = cr }'m{rr) cos m

) dr je tzv. Lommelův integrál, pro který platí (viz přílohu B) o ] r J2(i>) dr = 1 a2 [i'2(ra) + (l - J^l) takže frJ2(rr)dr = la2j;2(r0) o L (7.63) [neboť u vln TM vyplývá z okrajové podmínky, že na plášti, tj. při r = a musí být J„(ra) = 0 - viz (3.33)]. S použitím vztahů (7.59), (7.60) a (7.61) dostaneme po úpravě pro činitel jakosti pro vid TM„„p cofia 1 a pro vid TMmjl0 a>/ia 0 = 1 (7.62) (7.63) 226 iyiu luviiikc inuiciiic uaic upravit pomoct vxianu 6vt = pro vid TM^p do tvaru ev/- J_ /_!L 2 \J m (mi i + a pro vid TM„b0 do tvaru 2 V ne J> (7.64) (7.65) (7.66) (7.67) Vztahy (7.66) a (7.67) jsou pro c — 6,1 . 107 S. m 1 (vodivost stříbra) znázorněny grafy na obr. 7.15. 7.5.5. Činitel jakosti vlnovodových rezonátoru kruhového průřezu s vidy TEmn;) Pro činitel jakosti dutinových rezonátoru s vidy TE„„ř jsme odvodili výraz (7.53). Funkci T3 můžeme opět vyjádřit výrazem Ti - C Jm(f>) cos tntp a protože plaití' dS = r dtp dr ds = a dtp lze vyjádřit jednotlivé integrály výrazy i% J T2dS = j | C2 J2(rr)cos2 mq> r á)cos2m 227 Obr. 7.15. Činitel jakosti pro vidy TM u rezonátorů kruhového průřezu (obr. o) pro vidy TMW, obr. b) pro vidy TM_jj protože musí být 3'J.ľa) = O, což vyplývá z okrajové podmínky pro vlny TE -viz (3.44). S použitím vztahů (7.68) až (7.70) a vztahu (7.53) dostaneme po úpravě pro činitel jakostí 2 J ne (7.71) 7.5.6. Vlnovodový rezonátor kruhového průřezu s videm TE01, Dutinové rezonátory s tímto videm kmitání se často používají jako vlno-měry, neboť mají velký činitel jakostí a jsou konstrukčně velmi jednoduché. Rozložení elektromagnetického pole v rezonátorů určíme z rovnic (7.58). Protože u vidu TE01p je m = 0, jsou složky intenzity elektrického a magnetického pole Er =0 £„ = jmfiCr}'Q(rr) sin z = -jcjpCľJ^fr) sin z 77, = -y- Cr Jó(rr) cos -~ z = -^-Cľ JL(ľr) cos z Hv = 0 Rozložení elektromagnetického pole vidu TE0U je znázorněno na obr, 7.16, Obr. 7.16. Rozložení elektromagnetického pole vidu TE,jh u rezonátorů kruhového průřezu Lommelův integrál ze vztahu (7.68) vyjádříme opět výrazem Protože azimutální složka intenzity magnetického pole je u těchto vidů nulová (Hv = 0), mají povrchové proudy na plášti rezonátorů pouze příčný směr. Proto není nutné, aby základny rezonátorů měly s válcovou stěnou elektricky dokonalý styk. U přeladitelných rezonátorů je tedy možné použít při těchto videch kmitání bezkontaktní písty, což umožňuje velmi jakostní úpravu povrchu rezonátorů (zrcadlově vyleštěné plochy). 228 229 0,1 0,2 0.5 1 d p-1 a) b) Obr, 7.17. činitel jakosti u rezonátorů kruhového průřezu (obr. a) pro vidy^TE0ip a obr. b) pro vidy TEn,) Činitel jakosti určíme výrazem 7.71), z něhož pro m = 0 dostaneme 13/2 y^ 2 J *£ 1 + (7.72> Tento vztah je znázorněn grafem na obr. 7.17 (pro stříbrný povrch, a = 6,1 x xlfys.mT1). Ze vztahu (7.72) i z obr. 7.17 je vidět, žc maximální hodnota činitele jakosti je při poměru /)// = 1. Velký činitel jakosti však obvykle není při návrhu rezonátorů jediným požadavkem. Pro praktické použiti je důležité, aby u navrhovaného rezonátorů byla co nejmenší možnost výskytu nežádoucích vidů. Čím vyšší je vid, na kterém má rezonátor kmitat, tím větší je pravděpodobnost, že rezonátor bude v průběhu ladění kmitat i na jiných videch, než je požadovaný vid. Možnost výskytu nežádoucích vidů bude tím větší, čím větší bude při dané hodnotě činitele jakosti objem rezonátorů. Rozměry je tedy vhodné volit tak, aby rezonátor měl při dané hodnotě činitele jakosti minimální objem. Při použití substituce [11] a tedy 2aói T D (7.73> 2«ó, pn tg V muzeme psa t «ild + tg kde K = y'alK£/2. Protože platí i7--í— 1 \! 1 + tg* q>-- cos (p můžeme tento vztah upravit do tvaru «01 cosJ

pít Pro vlnové číslo dutinového rezonátorů platí obecně 230 231 takže po úprave k = D i + kde D = 2a. Za použili substituce (7.73) dostaneme neboli popr. cos

2«oi Podobně s použitím (7.73) a (7.75) dostaneme PK sin = kl Objem dutinového rezonátoru je V = l a s použitím vztahů (7.75) a (7.76) dostaneme po úpravě V = pn 2aó, fc3 sin 9>cos2 ^í> Podle výrazu pro činitel jakosti (7.74) lze psát Ka'0l pK 2a0i sin3

V = /c „ /tcos2

, dostaneme podmínku 5 cos3

//, má dutinový rezonátor při tomto poměru Djl maximální hodnotu poměru QjV. Na obr. 7.18 je zobrazen diagram vidů TE01r, ve kterém je zakreslena čára udávající optimální hodnotu Djl pro dosaženi maximálního poměru QjV. Závislost činitele jakosti na poměru Djl je podle vztahu (7.72) zobrazena na obr. 7.17 (pro konduktivitu stříbra a 6,1 . 107 S . m-1). Obr. 7.1 S. Diagram vidů TE0i, u rezonátoru kruhového průřezu 232 233 S OBDÉLNÍKOVÝM PRŮŘEZEM Protože vlnovody obdélníkového průřezu jsou v praxi nejrozšířenějším typem vlnovodu, používají se často i ke konstrukci dutinových rezonátorů (obr. 7.19). Obr. 7.19. Rezonátor vytvořený z vlnovodu obdélníkového průřezu 7.6.1. Diagram vidů vlnovodového rezonátorů s obdélníkovým průřezem Rezonanční frekvenci určíme pomocí vztahu k2 = r2 + Protože platí r1 můžeme psát popr. .t (7.84) kde x = ajb. Rovnici (7.84) můžeme zobrazit grafem, analogicky jako u rezonátorů s kruhovým průřezem. Protože rozměry vlnovodů, normalizované pro jednotlivá frekvenční pásma, nejsou voleny tak, aby byl ve všech pásmech zachován stálý poměr x = ajb, je nutné sestrojit zvláštní graf pro každý typ vlnovodu. Na obr. 7.20 je uveden graf pro vlnovod R 100. Pro použití tohoto grafu platí tytéž zásady, které byly uvedeny v odstavci 7.5.1. Z rovnice (7.84) i z grafu je zřejmé, že při shodných indexech m, «, p mají vidy lE„nf a TMmn(, shodné rezonanční frekvence. Tyto vidy můžeme od sebe oddělit pouze způsobem vybuzeni, a to tak, že budicí prvek umožní vybuzení bud vidu TÉ,,,, nebo TMMp. Jinak vzniknou tzv. degenerované kmity, jejichž vybuzení má za následek pokles činitele jakosti. 234 20 15 10 2« / 9/ m J —..... _P-. ._ i Obr. 7.20. Diagram vidů rezonátorů vytvořených z vlnovodu R 100 7.6.2. Elektromagnetické pole vidů TEMJV ve vlnovodovém rezonátorů s obdélníkovým průřezem Rozložení elektromagnetického pole určíme u vidů TE z rovnic £ = -jcw^rotl7"= -jwKgradff^xz) h = fe2JT™ + graddivlT? V rezonátorů s obdélníkovým průřezem mohou existovat tyto složky intenzity elektrického a magnetického pole en?_ (7.85) Ex = E ■ x = -)0)fi E, =£.y -jav-äi dy ÔJ7T 235 Bx Ě2 dydz (7.85) H = H. z = fc2/í? + Čz2 Hertzův vektor vyjádříme součinem funkcí 7\ a T2, přičemž použijeme vztahy (3.15) a (7.49) _ mrc nit Tj = C cos-x cos -r— y a b T2 = C sin ^ z Platí tedy II. = Ccos-xcos —r— y sin—— z (7.86) kde C je konstanta vzniklá sloučením dílčích konstant funkci Tt a T2. Složky intenzity elektrického a magnetického pole vidů TE,*,,, můžeme vyjádřit z rovnic (7.85) a (7.86) nu _ mTT . nir .pír £, = jru/í —j— C cos-x sin -r— y sin —r- z J b a b 1 mn . mn nn . pn E„ = —jíou-C sin-x cos —r- y sin -V- z 'a a b l ' ' „ mít pn „ . mít nit pn Hx = —— —— C sin-■ * cos —r- y cos —p- z a l a b J i nn pit . mír nit pic H, - —=-—r-Ccos-x sin -j— y cos ~ z ' b l a b l (7.87) Hz = r2C cos - nit P71 — x cos —— y sin -v z a b J 1 7.6.3. Činitel jakosti vlnovodových rezonátorů obdélníkového průřezu s vidy TEm„f Pro činitel jakosti dutinových rezonátorů s vidy TEm„r jsme odvodili výraz (7.53). Protože funkce T, je určena výrazem (3.15) T „ mít nn T, = C cos--- x cos y můžeme vyjádřit dílčí integrály výrazu pro činitel jakosti takto J T\ dS = C2 / /cos2 x cos2 ~ y dx dy = 1 C2ao JT2ds = J T2dx+ J T2dy- J Tídx- j T1 dy = C\a ■+ b) J 0 U a i (,= 0) ()( = ») (ot = 0) S použitím těchto vztahů dostaneme po úpravě pro činitel jakosti při vidu TE,^,,, + ^H, e-«"+f» - ... neboli ,2.1-1 .-j*<2i«t-l> 2»»-J*(2'»'-í) = 1 »=1 n-1 kde £V, /Tj jsou vzájemně kolmé intenzity polí v místě z — 0, q je činitel odrazu zrcadla, k vlnové číslo. Po provedení součtu nekonečných řad dostaneme .-jaw = Ei (e i/ = H1(e-jfc-eite-^ e2e"J2M i-e2e-J21d 1 - ô2e -jím y -J2M /)2 e"J2W 1 -jki G e_ l-fl'c-J"1, " Z těchto vztahů lze zjistit, Že maximálních hodnot dosáhnou intenzity elektrického a magnetického pole v případě, že vzdálenost mezi deskami je rovna cehstvému násobku půlvln (d - pXj2). V tom případě je £~tlC i-e2 \ fí = rí,e -Jte i-ge'2b l-q2 (7.90) (791) Činitel jakosti rezonátorů určíme z obecného vztahu „ wW přičemž platí ~ z s o Pi = 2i-Re í Eíf* dS ^ s kde S je plocha odrazného zrcadla. 238 u« letům viituiu výrazy ^/.yuj a (.'-^l). můžeme psát, že platí (při e = i Q I) i „ i + lřl2 2 (1-lel2)2 i Dosazením Z = = ^jpjs dostaneme Pi= i -LdejL j|£l|2dS z (i-lel2)2 « takže činitel jakosti můžeme vyjádřit po úpravě výrazem kd 1 + | g |2 2 Protože činitel odrazu zrcadel je blízký hodnotě 1, J q | = 1, lze psát kd i-leľ (7.92) Skutečné provedení otevřeného rezonátorů Fábryho — Perotova typu má samozřejmě omezený rozměr zrcadel, přičemž rezonátor musí být určitým způsobem navázán na vedení. Konečný rozměr zrcadel způsobuje, že elektromagnetické pole má ve směru příčných souřadnic amplitudové změny a na hranách zrcadel je zanedbatelná intenzita pole. V takovém rezonátorů již není čistá vlna TEM a může v něm existovat velké množství vidů kmitání. Jsou-li však příčné rozměry zrcadel značně větší než vlnová délka, vidy kmitání jsou velmi blízké vidům TEM a bývají označovány jako vidy TEMmp. Rezonátory tohoto typu lze použít i v oblasti infračerveného a viditelného spektra. Nahradíme-li rovinná zrcadla sférickými zrcadly, soustředí se elektromagnetické pole do oblasti blízko osy rezonátorů a požadavky na nastavení zrcadel nejsou tak přísné jako u planparalelních zrcadel. Teorie otevřených Fabryho —Perotových rezonátorů je podrobně popsána v literatuře [5], [6], [7] a [8]. Obecné řešení vychází obvykle z Huygensova — Kottlerova vzorce, přičemž se určují intenzity pole na jednom zrcadle jako součet příspěvků od elementárních ploch druhého zrcadla. Výsledná integrální rovnice se obvykle řeší numericky. Obr, 7.22. Otevřený rezonátor se sférickými zrcadly 239 V následujícím textu uvedeme stručný přehled nejdúležitéjších vlastnosti otevřených rezonátorů se sférickými zrcadly kruhového průřezu (obr. 7.22). Při návrhu rezonátorů nás zajímá rezonanční podmínka, křivost a velikost zrcadel, jejich vzdálenost, stabilita kmitání a činitel jakosti. Každý rezonátor může být charakterizován třemi parametry, tj. stabilizačními faktory gt, g2 a Fresnelovým číslem N. Pro tyto parametry platí JĽ R2 Si ä,' gi = i - N = O-I0-2 Ad Podmínka stability rezonátorů byla odvozena a formulována takto 0 < gtf2 < 1 Obr. 7.-25. "Diagram stability otevřeného rezonátorů Tato nerovnost je graficky interpretována na obr. 7.23. Stabilní oblast je vyšrafo-vána a je ohraničena osami gx = 0, g2 - 0 a hyperbolami g&2 = 1. Ve stabilní oblasti je splněna podmínka, že poměry djRí a djR2 musí být oba současně menší nebo větší nezjedná. Přímka procházející body (-1, -1) a (1, 1) charakterizuje uspořádání zrcadel, která mají zrcadla se stejným poloměrem křivosti R. Bodu (-1, -1) odpovídá koncentrický rezonátor, pro který platí Rj^ = R2 = dj2 a který je na mezi stability. Dalším význačným bodem diagramu je bod (1, 1), který představuje planparalelni rezonátor vytvořený dvěma rovinnými zrcadly Rx = = R2 = oo. V počátku souřadnic je gx = g2 - 0, neboli Rt = R2 = d. Takovému uspořádání říkáme konfokální a rezonátor má při něm nejmenší difrakční ztráty. Nevýhodou tohoto uspořádání je to, že leží na mezi stability a malá odchylka jej může převést do nestabilní oblasti. Pro praktické aplikace je výhodnější používat takové uspořádání, které leží ve stabilní oblasti. Z hlediska malých difrakčních ztrai je zaaouct, aoy nyio n > i a nejvynoanejst je uspořádání kvazikonfokální, pro které platí, že vzdálenost d je o málo větší nebo menší než poloměr křivosti zrcadel. Takové uspořádání zachovává výhodné vlastnosti konfokálního uspořádání a zároveň leží ve stabilní oblasti. Přímkou gx = 1 jsou popsány hemisfěrické rezonátory, které jsou vytvořeny jedním zrcadlem rovinným a jedním sférickým. Rezonance nastává v případě, že se fázový posun elektromagnetické vlny změní při průchodu od jednoho zrcadla k druhému o celistvý násobek %. Rezonanční podmínka pro rezonátor se zrcadly kruhového tvaru a pro vidy TEM^,. má tvar: Pro sférická zrcadla 2d 1 __ = p + —(2m + n + l)arccos á it pro sférická zrcadla v konfokálnim uspořádání {R^ = R2 = d) — = 2p + 2m + n + 1 pro hemisfěrické uspořádání (R1 < oo, R2 = oo) -— = p + — (2m + n + 1) arccosJI —~ a pro planární uspořádáni (Rt = R2 = co) 2d ~T = P Maximum energie elektromagnetického pole je soustředěno v ose rezonátorů (pro základní vidy TEM00p). Na sférických zrcadlech se ekvifázové plochy shodují s plochou zrcadla. U symetrických rezonátorů je ekvifázová plocha uprostřed rezonátorů rovinná a je tam též nejužší svazek elektromagnetické energie, jehož šířku definujeme jako vzdálenost od osy, ve které intenzita elektromagnetického pole klesne na (l/e)násobek hodnoty, kterou má v ose rezonátorů (obr. 7.24). Obr. 7.24. Šířka svazku elektromagnetické energie Šířka svazku základního vidu TEM00p je: uprostřed rezonátorů 240 241 a na zrcadlech w2 = XR 1 Profil svazku v radiálním směru má přitom Gaussovo rozloženi (intenzita pole klesne např. na 1/100 hodnoty, kterou má v ose rezonátoru, při poloměru r = = 2,15h>). Při zanedbatelně malých difrakčních ztrátách (tj. při dostatečně velkém poloměru zrcadel) můžeme určit činitel jakosti rezonátoru výraze*m (7.92) 1 - lei" přičemž výraz ve jmenovateli bývá označován jako činitel reflexních ztrát /J,. Vyjádříme-li činitel odrazu podle vztahu (2.126), lze pro kovová zrcadla psát _ Zv — Zo Zv + Zq kde Z„ = ^VoAo Je charakteristická impedance vakua (a přibližně též vzduchu), Zv charakteristická impedance vodivého zrcadla [viz (2.49)], takže po úpravě můžeme vyjádřit činitel reflexních ztrát výrazem Ä = 2 2ca« kde a je konduktivita materiálu zrcadel. Reflexní ztráty jsou nezávislé na tvaru zrcadel. 7.8, DIELEKTRICKÉ REZONÄTORY Dielektrické rezonátory byly vyvinuty na základě požadavku realizace rezonančního obvodu malých rozměrů a s činitelem jakosti Q = 103 až 104, který by byl vhodný jako konstrukční prvek v mikrovlnné integrované technice. Použiti rezonančních obvodů vytvořených např. z úseků vedení naprázdno je též možné, avšak pro radu aplikací mají takové obvody příliš malý činitel jakosti. Dielektrické rezonátory se vyrábějí z dielektrik s velkou relativní permitivitou (er > 30, tg ô = 1 . 10"3 až 1 . 10~4). V nejjednoduššim provedení mají tvar nízkého válce, jehož délka je menší než průměr (záleží zde ovšem na použitém vidu elektromagnetického pole). V důsledku velké relativní permitivity jsou rozměry těchto rezonátoru v porovnaní s dutinovými rezonátory velmi malé, přičemž jejich výrobní cena je nižší než cena rozměrnějsich a výrobně náročnějších dutinových rezonátoru. I když mají dutinové rezonátory větší činitel jakosti, je mnoho aplikací, kde je mohou dielektrické rezonátory nahradit. Protože mají navíc velmi malé rozměry, je jejich nejtypičtější použití v mikrovlnné integrované technice při konstrukci mikrovlnných filtrů a stabilizovaných oscilátorů. Analogicky, jako můžeme vytvořit rezonátor z úseku kovového vlnovodového vedení tím, že úsek vlnovodu délky / = pKfi- zkratujeme kovovými stěnami, lze vytvořit i rezonátor z dielektrického vlnovodu (obr. 7.25). Protože elektromagnetické pole zasahuje i do prostoru vně dielektrické tyče, musí mít kovové desky, 22* Obr. 7.25. Dielektrický rezonitor s kovovými čelními stěnami jimiž vedení zkratujeme, větší průměr, než je průměr dielektrické tyče. K vyjádření rezonanční podmínky můžeme použít stejný vztah (2.11) jako u jiných rezonátoru, vytvořených z úseku vedení k2 = r2 + a2 Použijeme-li dále vztah k2 = kh; «2 = (^fj dostaneme po úpravě rezonanční podmínku koa^Er = J{ra)2 + Av/2 vodivými stěnami.. Příklad takového diagramu pro e, = 40 (keramika s malými'ztrátami) a pro poměr ajl = 1,15 je uveden na obr. 7.26. Při použití jiného pomeru ajl (při téže hodnotě relativní permitivity) by měly křivky, příslušející hodnotám p = konst jiný průběh — určili bychom jej z rovnice (7.93). V důsledku Joulových ztrát v kovových čelních stěnách, které se přičítají ke ztrátám dielektrickým, není toto uspořádání dielektrických rezonátoru výhodné se zřetelem k činiteli jakosti. Odejmutím kovových čelních stěn se činitel jakosti zvětší, avšak vlivem okrajových polí na koncích rezonátoru se zkomplikuje určeni rezonanční frekvence. Přibližně můžeme určit rezonanční frekvenci za předpokladu, že na koncích dielektrického rezonátoru jsou místo vodivých stěn magnetické stěny (pT -* co, er = 1). v takovém případě dostaneme pro určení rezonance stejnou rovnici jako (7.93), ale s tím rozdílem, že nejnižší index p může být roven nule. 242 243 t- / o er-W j T "V5 í f HE21 / /HE„ ____ I OJ ii II ' ct. II D- —*-k0« OĎr. 7.26\ Orientační diagram vidů dielektrického rezonátoru ideolizovpK skutetr^ Obr. 7.27. Približné rozložení elektromagnetického pole v dieíektrickém rezonátoru (TEola) _ .-----_______.—c úv/no vc sNuiccnost! o něco změní a index p, který udával celistvý počet půlvln na délku rezonátoru, není již celé číslo. Proto bývá zvykem přidávat k indexu p malé číslo ô (0 < ô < l), takže jednotlivé vidy kmitání mají pak označení např. HEmTE0i„iP+í apod. Pro praktické aplikace má největší význam vid TE01i (tj. pro p — 0). Rozdíl mezi geometrickým rozložením vidu TE0)Q (což je fiktivní případ za předpokladu magnetické stěny) a skutečným videm TE0l{ je naznačen na obr, 7.27, Pro orientační určení rezonanční frekvence, popr. vidu kmitání, můžeme použít diagram na obr. 7.26, sestrojený pro případ, že rezonátor je omezen vodivými nebo magnetickými stěnami. K získání přesnějších výsledků pro izolované dielektrické rezonátory je třeba použít podstatně složitějaí aproximační metody. 7.9. FERITOVÉ REZONÁTORY Feritové kuličky, vyrobené z monokrystalů typu yttriových granátů (označovaných YIG), mohou být využity v mikrovlnné technice jako rezonátory s velkým činitelem jakosti (řádově 103) a s možností snadného přeladění v Širokém pásmu-frekvencí. Průměry těchto vysoce leStěných kuliček bývají od několika desetin milimetru do několika milimetrů. Rezonanční úhlová frekvence je přímo úměrná intenzitě statického magnetického pole a je (u izotropní kuličky umístěné v homogenním magnetickém poli) dána vztahem (10.11) kde y je tzv. gyromagnetický poměr, h0 intenzita statického magnetického pole. V důsledku přímé úměrnosti rezonanční úhlové frekvence intenzitě magnetického pole, je možné dosáhnout při přelaďování pomocí elektromagnetu lineární závislosti na proudu elektromagnetu. Rezonance v kuličce YIG nastane tehdy, jestliže úhlová frekvence precese elektronů souhlasí s úhlovou frekvencí vysokofrekvenčního magnetického pole superponovaného ke statickému magnetickému poli (viz odst. 10.2.1). Šířka rezonanční křivky je přímo úměrná tlumeni precesnfho pohybu magnetických dipólů. Na obr. 7.28 je schematicky zobrazeno navázání feritového rezonátoru na va- ří. Li Obr. 7.2S. Schematické znázorněni vazby feritového rezonátoru na vedení 245 Statické magnetické pole je orientováno vždy kolmo ke směru vysokofrekvenčního magnetického pole, zaváděného smyčkou. V náhradním schématu vyjadřují prvky Ry a L, impedanci vazební smyčky, prvky i, C a G jsou náhradní prvky vyjadřující parametry feritového rezonátoru. Pro své malé rozměry nalézají feritové rezonátory uplatnění hlavně v technice mikrovlnných integrovaných obvodů. Používají se zejména při konstrukci široce preladitelných polovodičových oscilátorů a přeladiteiných filtrů [3], Literatura ke kapitole 7 [I] Kvasil, B,; Theoretické základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957. [2] Collin, R. E.: Foundations for Microwave Engineering. New York, McGraw-Hill 1966. 13] Helsiajn, f.: Passivnyje i aktivnyje cepi SVČ (překlad z angl.). Moskva, Radio i svjaz 1981. [4] Sovitou, N. M.: Technika svřrchvysokich častot. Moskva, Izd. VysSaja skola 1976. [5] Kvasil, B.: Teorie otevřených rezonátoru. Praha, Academia 1971. [6] Fox, A. G.-Li, T.: Resonant Modes in a Maser Interferometer. Bell Syst. Tech. Journal 1961, č. 2, str. 453-488. (7] Boyd, G. D.-Kogelnik, H.: Generalized Confocal Resonator Theory. Bell Syst. Techn. Journal 1962, č. 4, str. 1347-1369. (8] ValitQv, R, A.: Technika submillimetrovych voln. Moskva, Sovetskoje radio 1969. [9] Tysl, V.: Obvody a technika velmi vysokých kmitočtů I. Skriptum, Praha, Ediční středisko ČVUT 1982. [10] Svačina, J.: Mikrovlnná technika. Skriptum FE VUT. Praha, SNTL 1982. [11] Hinter. J. P.—Wilson, IG.: Some Results on Cylindrical Cavity Resonators. Radar Systems and Components (sborník). Bell Laboratories StafT, 1949, str. 985. ö. in es poj i tost i na vedeních Nespojitost na vedení, podél něhož se šíří elektromagnetická vlna, způsobí deformaci jmenovitého rozložení pole, tj. takového rozložení, které by vzniklo bez této nespojitosti. Při praktickém použití vedení bývá někdy nutné takovou nespojitost na vedení vytvořit úmyslně bud k dosažení přizpůsobení, nebo k jinému účelu. Ve vlnovodech a souosých vedeních to bývají různé clony, kolíky, dielektrické destičky apod. Předpokládejme, že na vedení se šíří pouze dominantní vid.. Kromě deformace pole vznikne nespojitosti na vedení ještě odražená vlna. Deformaci pole lze vysvětlit vznikem vyšších vidů, které se exponenciálně tlumí se vzrůstající vzdáleností od místa nespojitosti. Charakter nespojitosti můžeme popsat pomoĽÍ tří veličin: velikosti činitele odrazu | q j, jeho fázového úhlu

r. S./. Skoková zmena průměru vnějšího vodice souosého vedení a) deformace elektrického pole v místé nespojitosti, b) průběhy proudu okolo nespojitosti, c) ekvivalentní schéma Podobná situace (napětí spojité, proud nespojitý) může nastat jen tehdy, při-ppjíme-li v daném místě k homogennímu vedení paralelně admitanci. Ekvivalentní obvod takové nespojitosti může být proto reprezentován admitanci YA v místě z' = 0 (8.3) Teoretickým rozborem bychom zjistili, že nespojitost má kapacitní charakter [4]. Z téhož rozboru vyplývá, žc /4 lze vyjádřit pomocí nekonečné řady, jejíž členy, jak již bylo řečeno, interpretujeme jako vyšší vidy. Ze vztahu (8.3) je tedy zřejmé, že admitance nespojitosti pro dominantní vid závisí do jisté míry na střední hodnotě příspěvků vyšších vidů vzniklých v místě nespojitosti. 8.1. CLONY VE VLNOVODU Nespojitosti nejčastěji používanou pro impedanční přizpůsobování vlnovodu k zátěži je clona. Na obr. 8.2 jsou znázorněny dva základní typy clon -indukční a kapacitní. Clona je dokonale vodivá kovová přepážka, jejíž plocha je kolmá k ose vlnovodu. Při navrhování ji považujeme teoreticky za nekonečně tenkou. Z konstrukce clony je zřejmé, že její rozměry nemohou být proměnné, je tedy jako přizpůsobovací prvek neladitelná. w77, lil U-d-J MU »1 T t "'J "T m -n "T I AA' AA1 Obr. 8.2. Clony ve vlnovodu a jejích ekvivalentní schémata a) indukční clona, b) kapacitní clona Určit susceptanci nebo reaktanci clony v závislosti na jejích rozměrech je velmi obtížné. Metodám řešení nespojitosti ve vlnovodech je v literatuře věnováno velké množství prací, a to jak metodám analytickým, tak i metodám numerickým s použitím počítačů. Všechny metody jsou matematicky velmi náročné. Jmenujme z nich: řešení integrálními rovnicemi ([l], [2]), řešení jako variační úloha ([3], [4]), řešení pomocí konformního zobrazení [1], sešívání oblastí [5], metoda Wienerova — Hopfova ([5], [7]) a jiné. V dalším odstavci popíšeme metodu řešení nespojitosti -indukční clony — spočívající v řešení integrální rovnice. Tato metoda se v porovnali í s ostatními vyznačuje větší fyzikální názorností. Ekvivalentní obvod tenké clony ve vlnovodu je znázorněn na obr. 8.3. Předpokládáme přitom, že vlnovod napravo od nespojitosti je přizpůsoben. Je-li vlnová X___j Obr. 8.3. 248 249 admitance vlnovodu Y0 a susceptance clony ]B, pak podle (2,126) platí pro činitel odrazu (napěťový) y o - yk e = vfx (8'4) kde podle obr. 8.3 je Yí = jB + Y0. Zavedeme normované veličiny tak, že čitatel a jmenovatel dělíme Y0. Je-ii j£/T0 = jS, pak z (8.4) po úpravě vyplývá 2q jif = 1 + q (8.5) Tím jsme vyjádřili závislost hledané susceptance na činiteli odrazu. 8.1.1. Indukční clona v obdélníkovém vlnovodu V tomto odstavci provedeme podrobný rozbor clony v pravoúhlém vlnovodu a ukážeme, že jsou-li hrany clony rovnoběžné s užgí stěnou vlnovodu, je susceptance v ekvivalentním obvodu záporná - má tedy taková clona indukční charakter [l]. Rozměry a uspořádání clony ukazuje obr. 8.4. Označíme šířku štěrbiny d = d2 - rf, a souřadnici středu otvoru v cloně xa = (dl + d2)j2. Obr. 8.4. Rozměry indukční clony Předpokládejme, že vlnovod je jednovidový a že se v něm šíří dominantní vid s jednotkovou amplitudou. Pak pro elektrické pole dominantního vidu přímé vlny platí E = sin — x e a (8.6) lato vlna dopadá na clonu ze strany z = -ooaza clonou je v bodě z = co vlnovod přizpůsobený. Po dopadu vlny se pole v místě clony deformuje, vzniklé vyšší vidy a dominantní vid se částečně odrazí a část jich projde za clonu. Intenzitu elektrického pole v otvoru clony neznáme, označíme ji E(nxja). Pro intenzitu elektrického pole před otvorem (z < 0) lze psát Ey - (e - j" + g Ó sin ^ x + £ Qm e»- sin — * (8.7) 250 a pro intenzitu elektrického pole za otvorem (z > 0) £. = te~ rsin —.v + £>me' a ? „ . WlJt 'sin-x (8.8) kde q je činitel odrazu, t činitel přenosu, 0, z < 0) pro z = 0, dostaneme -Ml - e)sin--x + 2, ema«sjn-x = u 2 C . Ji „ , mít = jat sin — x — > t_a„ sin-x a ^ a Odvozeni integrálni rovnice a její úprava pro ťŕ, < x < d2 (8.13) Dosadíme-li (8.12) do předcházejícího vztahu, vyloučíme tím koeficienty q„ a t„, tedy 2gsin — jí = 2j > — sin-xí — E(tcx a)sin — x dx a i OL a a a (8.14) DĚlfme-li obě strany rovnice (8.11) dvojčlenem (1 + q), dostaneme na její levé straně jedničku, kterou vynásobíme levou stranu rovnice (8.14), a dostaneme 2q -sin — x f Eínx'la) sin — x' dx' 1 + o a J a „ tt„ , mu r 2 ,, . mít , . , 2jY —srn-x í —ftfTtx/aUin-jí dx j a a a c (8.15) Normovaná susceptance B ve vlnovodu pro z = 0 je dána vztahem (8.5), takže po dosazení do (8.15) je 5sin — x f E(itx'/a)sin—x'dx' = a a = 2 \ — sin _ x f £(tcx /a) sin-x dx 2 « i a (8.16) Odvozená rovnice je v podstatě integrální rovnicí vzhledem k neznámé E(-xx'ja). Jejím vyřešením můžeme určit hledanou susceptanci clony S. Předtím však musíme rovnici ještě upravit. Elektrické pole vyjádřené funkcí E(nx'ja) má vzhledem k hranám clony x - d! a x = d2 pouze tečný směr, a je tedy na těchto úsečkách nulové. Integrály v (8.16) budeme proto integrovat per partes a dostaneme f £(TEx'/a)sin — x'dx' = - e'ÍKx'la)— cos — x' \ -f, a L 51 0 Jí. r £'(jix'/ d

(8.18) K 2 v níž se obě proměnné 3 a (p mění v mezích od nd^a do nd2ja- Obtížnost řešení integrálních rovnic tohoto typu spočívá v tom, že vlastní funkce sin (mjtx/a) jsou ortogonální2) v oboru celého příčného průřezu vlnovodu, tj. v intervalu <0, a>, zatímco integrální rovnice (8.18) je definována jen v oboru apertury clony, tj. v intervalu d, < x < d2. Při řešení tedy nelze ortogonálnosti vlastních funkcí využít. Tento rozpor překonal Schwinger3) jednoduchou goniometrickou transformací proměnných tak, že ortogonální vlastnosti zůstanou zachovány i ve zmenšeném oboru apertury clony. Schwingerova metoda řešení integrální rovnice Zavedeme podle Schwingera [l] nové proměnné u a v, které se mění v mezích 0 až n. Pro danou clonu je cos 3 = c + s cos u; cos

| [cos m(3 + Tento důležitý vztah odvodil Schwinger. Vztah však není ještě upraven natolik, aby byl vhodný k dosazení do (8.18). V (8.18) jsou totiž na obou stranách součiny sin 9 cos (p, z.čehož vyplývá, že podobné součiny musíme získat i v (8.24). To znamená, že obě strany (8.24) je nutné derivovat podle proměnné 9. Avšak proměnné 9 a u jsou vázány jedním vztahem z (8.19), a proto není derivování jednoduché, Uvážíme-li tedy, že platí d _ dii d dä ~ 19 ď7 cos 9 = ť + S cos u pak (8.25) Z transformačního vzorce (8.19) je cos 9 — c u = arccos - Potom Au d» d d 9 dV sin ^ s sin 9 s sin u sin 9 d s sin n ůu s. a tento vztah použijeme k výpočtu derivace pravé strany (8.24), neboť derivace levé strany (8.24) je jednoduchá. Tedy sin 9 d r 1 , JS, cos mu cos mv ~| --_ inj + V _„--- s sin u du |_ 2 \ m J sin 9 £ sin mu cos mv ssinu j Porovnáním vypočítaných derivací levé a pravé strany (8.24) dostaneme s sin u £ sin m9 sin m

sin mw cos mt) s sin w ^ a po jeho dosazení do (8.18) dostaneme aS . , —r— j E (tp) sin 9 cos

) -^cos v dv = /■v o au Ä dt^ * = f E'((p) —— [(1 — s2) sin h cos u + Y sin mu cos miH du — ' av y ' J o s sin u d

. (8.29) 254 255 Kratístatickě řešení Pravá strana integrální rovnice (8.29) obsahuje dvě nekonečné řady. Druhá řada obsahuje koeficient S„ definovaný vztahem (8.17). Z tohoto vzorce vyplývá, že pro velká m je <5m -* 0. Můžeme proto chápat tuto řadu jako opravný člen zbývající části rovnice. V tomto členu zůstaly také „staré" proměnné 3 a cp, protože se do jeho řady musí dosazovat transformační vztahy (8.19) postupně člen po členu. Rovnice bez tohoto opravného členu má kvazistatický charakter v tom smyslu, že v ní není vyjádřen vliv vyšších vidů. Zanedbáme-li v integrální rovnici tento opravný člen, dostaneme tedy tzv. kvazistatické přiblíženi. Je-li potřeba dosáhnout větší přesnosti řešeni, zvolíme aproximaci vyššího rádu, tj. v opravné řadě ponecháme jen několik členů. Je zřejmé, že se zvyšujícím se počtem opravných členů narůstá těžkopádnost řešení. Zanedbáme-li všechny opravné členy v (8.29) na pravé straně, dostaneme aB 2 . J . dep ——s sin u t E (ffl)-r--cos vdv = = (1 — s2)sinu J E'() — ^siuímm cos mv Jdu (8.30) Vyšeťříme-li tuto rovnici podrobněji, zjistíme, že její pravou stranu tvoří Fourie-rova řada s proměnnou u v intervalu <0, it>. Odtud vyplývá, že koeficienty u funkce sin mu se musí sobě na obou stranách rovnat. Z toho vyplývá f E '( 1 i ^' dv (8.31) (8.32) Z toho je zřejmé, že při kvazistatickém přiblížení nemusíme integrální rovnicí vůbec řešit a z (8.31) dostaneme přímo S ■H'-t) (8.33) Po dosazení za s z (8,21) a algebraické úpravě dostaneme známý vzorec pro určení normované susceptance clony v závislosti na jejích rozměrech B=---cotg2^-(l + sec2--cotg2—2. a 2a \ 2a a J (8.34) Vidíme, že susceptance je 2áporná, má tedy clona indukční charakter, což souhlasí též s fyzikální představou, že v apertuře clony nastává „zhuštění" magnetického pole. 256 Pomocí stejné metody bychom zjistili, že v kvazistatickém přiblížení je normovaná susceptance tenké clony s hranami rovnoběžnými s delším rozměrem vlnovodu (obr. 8.5) dána vztahem _ 46 / nd B = -x— ln co sec -rr- cosec K \ 2b (8.35) Obr. 8.5. Rozměry kapacitní clony Uvážíme-li rozložení elektrického pole vidu TEI0, nastává v průřezu clony „zhuštění" elektrického pole, je to tedy clona kapacitní. 8.1.3. Indukční cíona v kruhovém vlnovodu Vytvořit čistě indukční nebo kapacitní clonu v kruhovém vlnovodu lze jen tehdy, šiří-li se v něm osově symetrický vid TEot nebo TM01. t a) b) Obr. 8.6. Indukční clona v kruhovém vlnovodu Šíří-li se v kruhovém vlnovodu vid TE01, můžeme v něm realizovat clonu indukčního charakteru takovým způsobem, že-v přepážce tvořící clonu zhotovíme otvor ve tvaru mezikruží (obr. 8.6). Její normovaná reaktance je dána vztahem [8] r ŕltdY 17\JŘ j5_Íľ!iíl 0,162 (8.36) 257 clony je zřejmé z obr. 8.6a. Na vedlejším obrázku 8.6b je znázorněno elektrické pole v qtvom. Vidíme opět, že hrany clony jsou rovnoběžné se siločarami intenzity elektrického pole Ev. Meze použitelnosti vzorce jsou v rozsahu 0,896 R < k < < 1,04 R. 8.1.4. Kapacitní clona v kruhovém vlnovodu Obr. 8.7. Kapacitní clona v kruhovém vlnovodu Vložením nekonečně tenkého kovového kroužku (obr. 8.7) do kruhového vlnovodu s videm TM01 vytvoříme clonu kapacitního charakteru s normovanou susceptancí [8] "■(-*) S = 0,269 (8.37) kde «01 = 2,405 je kořen Besselovy funkce nultého řádu. Meze použitelnosti tohoto vzorce jsou 1,14 R < }. < 2,61 R. 8.1.5. Rezonanční okénko Kombinací indukční a kapacitní clony můžeme ve vlnovodu vytvořit rezonanční okénko (obr, 8.8), Taková clona může mít bud kapacitní, nebo indukční charakter. Rozměry clony můžeme však zvolit také tak, žc její susceptance bude nulová a v tomto případě bude ekvivalentní schéma clony paralelně laděný obvod. Clona pak nebude mít na šíření vlny ve vlnovodu žádný vliv [10], TJ i s i i H Obr. 8.8. Rezonanční okénko s vyznačením integrační dráhy k výpočtu podélného proudu 1 - ^ - —----------------------'-- — • - --".v. .« ■ V1VA1J 11J kl/ l~ 11J lw pokládat za vlnovod. Nemá-li clona vyvolat odrazy, je nutné, aby v místě přechodu byl podélný proud lz spojitý a napětí U uprostřed vlnovodu a clony bylo stejné. Šíří-li se ve vlnovodu dominantní vid, určíme napětí a proudy z křivkových inte-i grálů U(z) - jE.d* = JEydy = J C sin — xe_J"dy = Cbe~it: i a 0 a pro x = — (8.38) Celkový podélný proud /. v horní stěně vlnovodu vyvolává magnetické pole s intenzitou fíx, je tedy = í H.ds = í y0Csin — xe^dx = Cľ0—e"j" i o a ji (8.39) kde ľ~0 = HJEy'yz charakteristická admitance vlnovodu daná reciprokou hodnotou vztahu (2.25). Stejným způsobem dostaneme pro napětí a proud na hraně clony (z = 0) V = C'b' (8.40) (8.41) Obě veličiny musí být na rozhraní spojité, tj. musí platit U' = V a Jz = íz. Dosadí me-li do těchto podmínek, dostaneme Cb = C'b' cy„-^ = c'y0--^ 71 Tt které mají netriviální řešeni vzhledem k neznámým konstantám C a C, je-li de-, terminant soustavy nulový. Odtud vyplývá — A - J_ JĹ Dosadíme-li do této rovnice za Y0 reciproké hodnoty (2,25), je b 1 ŕ' 1 tel (8.42). Pro dané hodnoty nah proměnné a' a. b' je tato rovnice rovnicí hyperboly, jejíž velká poloosa je rovna A/4. Rohy obdélníků tvořených vlnovodem a clonou leží na této hyperbole (obr. 8.9). Jsou-li tedy rozměry clony navrženy tak, aby byla splněna rovnice (8.42), nemá clona na šíření vlny vliv a ekvivalentní schéma je tvořeno paralelním připojením paralelního rezonančního obvodu k vlnovodu. 258 259, rr M2 a!? al2 Obr, 8.9. Rozměry rezonančního okénka při rezonanci Obr. 8.10. Přizpůsobovací kolfk s proměnnou délkou 8.2. PŘIZPŮSOBOVACÍ REZONANČNÍ KOLÍK VE VLNOVODU Velmi často používanou nespojitostí k účelům přizpůsobování je kolík ve vlnovodu (obr. 8.10). Je-li průměr kolíku zanedbatelný v porovnání s vlnovou délkou A¥, pak zhruba při hloubce ponoru / < A/4 má kapacitní charakter a indukční má při hloubce / > A/4. Změnou ponoru při ladění lze dosáhnout jak kladné, tak i záporné susceptance; chová se tedy jako rezonanční člen. Přizpůsobovací kolik může být konstruován nejen s proměnnou hloubkou ponoru, ale i s možností Obr. 8.11. TříkoUkový impedanční transformátor změny polohy podél osy vlnovodu. Takto konstruovaný přizpůsobovací kolík pracuje jako impedanční transformátor. Ke zvýšení frekvenčního rozsahu je možné podobný impedanční transformátor konstruovat v tzv. tříkolíkověm provedeni (obr. 8.11). Všechny tři kolíky mají proměnnou hloubku, avšak vzájemná vzdálenost je konstantní a rovna 3A„/8. Podrobné vztahy pro výpočet susceptancí (reaktancí) přizpůsobovacích kolíků v závislosti na jejich poloze a rozměrech zde nebudeme uvádět pro omezený rozsah učebnice. Zájemce je nutné odkázat na citovanou literaturu. Z hlediska ekvivalentních obvodů popisovaných nespojitostí v předchozím textu tvořily tyto obvody v podstatě čtyřpólové soustavy. Teorie nespojitostí ve vlnovodech je velmi rozsáhlá, takže není možné zabývat se všemi možnými sou- stavami z hledisek této teorie. Vynechali jsme zejména popis nespojitostí způsobených štěrbinami ve stěně vlnovodu, protože tyto problémy náležejí spíše do oboru mikrovlnných antén. Soustavy vícepólové (n-brany) budou probírány v deváté kapitole, nikoliv však z hlediska teorie nespojitostí, tj. stanovení velikosti parametrů prvků ekvivalentních obvodů, ale z jiných hledisek používaných v praxi. Literatura ke kapitole 8 [1] Lewin, L.: Teoiija volnovodov (překi. z angl.). Moskva, Izd. Radio i svjaz I9S1. [2] Lewin, L.: Sovremennaja teorija volnovodov (překl. z angl.). Moskva, Izd. Inostrannoj literatury 1954. [3] Collin, R. E.: Field Theory of Guided Waves. New York, McGraw-Hill Comp. I960. t+J Ghose, R. N.: Microwave Circuit Theory and Analysis. New York, McGraw-Hill Comp. 1963. [5J Mittra, R. — Lee. S. W.: Analitičeskijc metody teoriji volnovodov (překl. z áng!.). Moskva, Izd. Mír 1974. [6] Collin, R. E.: Grundlagen der Mikrowellentechnik (překl. z angl.). Berlin, VEB Verlag Technik 1973. 17] Young, L.-Sobot, H.: Advances in Microwaves, Vol. 8. New York, McGraw-Hill Comp. 1948. [8] Marcuvitz, N.: Waveguide Handbook. New York, McGraw-Hill Comp. 1948. [9] Tolstov, G. P.: Rjady Furje. Moskva, GITTL 1951. [10] Kvasil, B.: Theoretické základy techniky centimetrových vln. Praha, SNTL 1957, 260 261 7. ,r\eciprocm miKrovinne ODVOdy V této kapitole se budeme zabývat obecnou teorií různě rozvětvených vlnovodných útvarů, tzv. mikrovlnných mnohobranů. Mezi mikrovlnnými obvody s rozloženými parametry a obvody se soustředěnými parametry není ostrá hranice, ale pozvolný přechod. Existují mezi nimi četné analogie. V některých jednoduchých případech můžeme přibližně (zpravidla v nevelkém rozsahu frekvencí) mikrovlnný prvek (např. clonu ve vlnovodu nebo rozvětvení nahradit prvky se soustředěnými parametry. Obr. 9.1. Obecný mikrovlnný mr.ohobran Mikrovlnným mnohobranem (obr. 9.1) rozumíme část nevodivého (dielektrického) prostředí ohraničeného vodivými stěnami, z něhož vychází n různých mikrovlnných vedeni (zpravidla vlnovodů). O vnitřním prostředí mnohobranů předpokládáme, že jeho elektrické parametry '(C! eja-+ C2e ' ) b a b . nn m-K . jiti „. r -ilt. H = -yx—r- cos— xsm —— y(C, eJ — C2e ) " b a b muřeme napsat obecněji ve tvaru vhodném i pro jiné vlnovody Ex = »(z)fjx, y) Hf = i(z) gr(x, y) (9-1) (9.2) 262 263 e, = a[z)ýy[x, y) (9.3) H* = (9-4) kde u(z) je fiktivní „svorkové" napětí, i(z) fiktivní „svorkový" proud. Funkce f(x, y) a g(x, y) jsou reálné a popisují prostorové rozložení složek polí v příčné rovině (referenční) vlnovodu. Komplexní veličiny u(z) a i(z) jsou noimovány tak, aby pro funkce f(x, y) a g(x, y) platilo [1] í UxIT ~ Jyg*) dx dy = -1 (9.5) Potřebnou vazbu mezi integrálními veličinami teorie obvodů u(z) a i(z) a diferenciálními veličinami pole £ a H dostaneme pomocí Pttyntingovy věty. Přitom vyjdeme z Maxwellových rovnic ve tvaru rot H = (cr -f- j cos) E (9.6) rot £ = — jw/j H (9,7) Do vektorové identity (A.47) dosadíme A = £, B = H*, takže div (£ x H*) = H* rot E - E rot H* = -j oj/j H . H* - - ffE . E* + jwíE . £* (9,8) Integrací přes objem našeho dvojpólu a použitím Gaussovy věty dostaneme j div (Ex H*) áV = J(ExH*).ndS- v s = -jto/i \H H*dV + ja>e J E . £* d V - (iy„- Htí + P, (9.12) Tento vztah můžeme interpretovat fyzikálně také tak, že napětí u(z) přiložené na svorky vyvolá proud jdoucí do dvojpó.u; v něm se nahromadí energie (IV H — WB) a vzniknou ztráty Pz konečnou vodivostí prostředí uvnitř dvojpólu. Lze dokázat, že takto zavedené veličiny u(z) a i(z) jsou určeny jednoznačně příčnými složkami intenzit polí E a H ve vlnovodu. Vzhledem k tomu, že podélné složky intenzit polí E. nebo Hz nemají vliv na výkon přenášený ve vlnovodu, nemají tyto složky víiv ani na velikost svorkových veličin. Jsou-li u(z) a i(z) určeny jednoznačně, můžeme definovat impedanci na vstupu dvojpólu (v referenční rovině) n(z) i(z) = z(z) (9.13) Z linearity Maxwellových rovnic vyplývá, že závislost mezi u(z) a i(z) je také lineární. K dosažení větší obecnosti (zejména později u mnohobranů) budeme předpokládat, že impedance z(z) je normovaná. Jak jsme poznali v kap. 2, může být charakteristická impedance vlnovodu definována několika způsoby, takže není nutné brát v úvahu určitou normovači bázi. Protože u = zi, můžeme přepsat (9.12) na tvar ~ziÍ* = 2juj(Wfi - Wz) + Px a odtud 4jaKWn - WE) + 2P,_ (9.14) (9.15) Podobným způsobem dostaneme pro admitanci dvojpólu 4Jft>(rV£ - W„) + 2PZ (9.16) Z takto získaných vzorců můžeme učinit některé závěry o charakteru impedancí nebo admitanci. Je-li Pí = 0 (dvojpól je bezeztrátový), je impedance ryze imaginární. Je-li WH = WE, což je případ rezonance, je impedance reálná. 9.1.2. Imitančni matice mikrovlnného obvodu Pojmy „napětí" a ,.proud'' v teorii mikrovlnných obvodů jsou zvláště užitečné při vyšetřování mikrovlnných mnohobranů. Napětí v j-té bráně (obr. 9.3) může být chápáno jako výsledné napětí složené z příspěvků vnucených proudů do jednotlivých bran. Považujeme-li Maxwellovu rovnici (9.7) za ,.rovnici příčin-nosti", pak např. magnetické pole s intenzitou Hk v k-tě bráně vyvolá elektrické 264 265 poie v.k-ie orané. z,avojnasoot-n se toto magnetické pole v fc-té bräne, jeho příspě-vek se také zdvojnásobí. Přitom príspevky z ostatních bran zůstanou nezměněny. Je tedy u, dáno lineární kombinací proudů it, tedy UJ - I Mt nebo v maticovém tvaru u — zi (9.17) (9.18) brnro k Obr. 9.3. Mikrovlnný n-bran, schematické znázorněni Maticový prvek zJk je impedanční koeficient (bezrozměrný) takový, že součin tjkh znamená příspěvek proudu k napětí o,- v referenční rovině >tého vlnovodu. Ještě je vSak nutné se zmínit o impedanci Zj na svorkách 7-tého vlnovodu mnoho-branu. Tato impedance je vždy určena vztahem Zy(Zy) = (9.19) Je však samozřejmé, že z/zy) je také funkcí proudů vnucených ostatními rameny a není tedy konstantou (parametrem) daného mnohobranu. Předpokládáme-li naopak, že uk je vnucené napětí a výsledkem je i,, pak opět můžeme psát v maticovém tvaru 1 = yu kde yík je bezrozměrný admitanční koeficient. Analogicky pak je W = ] u/z,) Z/Zj) (9.20) (9.21) normovaná admitance na svorkách ./-tého vlnovodu. Tato admitance opět není konstantou (parametrem) mnohobranu. Matematický a fyzikální počet bran Fyzikální a matematický počet ramen vlnovodového útvaru se nemusí vždy vzájemně rovnat. Pokud se v každém rameni šíří jen jeden vid při nadkritické poanunce (i» > wn), rovna se iyzinauii pocci iuaieiuaucKcmu poem ramen. Vy-budí-li se na jedné frekvenci v jednom rameni dva nebo více vidů, musíme každý vid posuzovat jako zvláštní přenosovou cestu. Matematický počet ramen může být proto větší než fyzikální počet ramen. Jako příklad lze uvést kruhový polari-zátor s kovovou nebo dielektrickou lištou ve vlnovodu kruhového průřezu. K tomu, abychom mohli vystihnout všechny vlastnosti polarizátoru, považujeme jej z matematického hlediska za čtyrbran, i když ve skutečnosti má pouze dvě brány (viz dále odst. 9.3.5). Naopak nepočítáme za rameno útvar, v němž se mikrovlnná energie nešiří, i když v tomto útvaru mohou existovat vidy za podkritické podmínky. Předpokládáme totiž, že každé fyzikální rameno vlnovodového rozvětvení je tak dlouhé, že tzv. podkritické vidy jsou v referenčních rovinách zanedbatelně malé. 9.1.3. Vlastnosti imitančních matic Před vyšetřením vlastností impedanční a admitanční matice musíme nejdříve stanovit energetickou bilanci n-bránu podobně jako u mikrovlnného dvoj-pólu. Energetická bilance dvojpólu je dána vztahem (9.12), získaným integraci Poyntingova vektoru pres vnitrní plochu dvojpólu. Budeme-lí integrovat Poyn-tingův vektor přes vnitřní plochu n-branu, bude ploäný integrál opět všude nulový vyjma ploch $lt S2, S„ průřezů referenčních rovin v jednotlivých ramenech. Je tedy ■i- í(£xH*).ndS= -™ J ~ S L Si+Sí + ,..+S, (£xH*).ndS = l Íuji; = = 2jío(irH - fVE) + (9.22) když jsme předpokládali, že na všech „svorkách" v referečních rovinách máme napětí a proud. Energie a ztráty v /i-branu jsou tedy dány příspěvky ze všech vlnovodových ramen. a) Symetrie imitančních matic Ukážeme nyní, že impedanční a admitanční matice jsou symetrické, tj. že pro jejich maticové prvky platí Zji = zkJ (9.23) yjt = Jtj (»■») K. důkazu této důležité vlastnosti použijeme Lorentzův princip reciprocity [2]. Princip reciprocity lze matematicky vyjádřit takto div [(£(i) X H<»>) - (£<"> x Hw)] = 0 (9.25) kde E(a>, H("> a £tb), H)] . dS = O í, [(E1" x Hw) - (E<6> x H(a')] ■ dS = O (9.26) x1+5j + ...+s„ Polím „vidu a" E(s), H(a) odpovídá v >té referenční rovině u'f\ ija> a polím „vidu b14 E(b), H(b) jsou úmerné v téže rovině veličiny u|b), if". Pak pomocí (9.22) můžeme vyjádřit vztah (9.26) takto f [(E(l»xH(b))-(£wxH(s))].dS = Ů(b)i(l) = o (9.27) kde symbolem ~ jsou označeny transponované matice. Za sloupcové vektory napětí v (9.27) dosadíme (9.18) (9.23a) a dostaneme ~,WliM _ f 2) nejsou imitanční matice výhodné. U takových n-branů je užitečnější použít k popisu tzv. rozptylovou matici, která v podstatě vyjadřuje vztahy mezi vlnami vstupujícími do mnohobranu a vlnami z něj vystupujícími. Rozptylová matice závisí pouze na konstrukci mnohobranu a definuje všechny jeho vlastnosti jako mikrovlnného obvodu. Předpokládejme, že kladný směr osy z ve všech vstupních vlnovodech směřuje dovnitř n-branu1). Porovnáním rovnic (9.1) až (9.4) s obecnými výrazy pro složky intenzit polí ve vlnovodových ramenech libovolného průřezu, vidíme, žp např. pro j-té rameno můžeme psát Ujíz) = u0 e + u0 e i/z) = j) = *w(Wlt - WE) (9.54) 272 Vyjádříme (9.54) v maticovém tvaru a uvážíme, žc pro bezeztrátový mnohobran je Pz = 0, takže äa* - bb* = 0 Je-li b = sa a b = as, dostaneme po dosazení a úpravě vztah i(1 - ss*) a* = 0 který musí platit identicky pro jakékoliv a. Odtud 1 - ss* = 0; ss* = 1 Protože pro reciproční mnohobran je matice s symetrická, platí s"1 = š* c) Totálně přizpůsobený mnohobran má nulové diagonální prvky rozptylové matice Napájíme-li z generátoru napr. j-ié rameno, zatímco ostatní jsou zakončena bezodrazově, může nastat situace, že bj = 0 při &j # 0. Interakční prostor mnohobranu rozdělil vstupující výkon do všech ostatních ram«n tak, že se žádný výkon nevrací do napájeného ramene a sy;- = 0. Podobná situace může nastat i v případě napájení a přizpůsobení některých jiných ramen. Takovou situaci nazýváme dilčim přizpůsobením mnohobranu. Podaří-li se přizpůsobit mnohobran ve všech ramenech, nazývá se takový mnohobran totálně přizpůsobeným a jeho rozptylová matice má na diagonále pouze nulové prvky, tj. sjj = 0 pro všechna j (9.55) Analýzou konkrétních mnohobranu zjistíme, že některé z nich lze totálně přizpůsobit poměrně snadno, zatímco u jiných nelze dosáhnout totálního přizpůsobení vůbec (např. reciproční trojbran). d) Transformace rozptylové matice při posunu referenčních rovin Změníme-li polohu referenční roviny v některém rameni mnohobranu, prodloužíme nebo zkrátíme tím dráhu vlny vstupující nebo vystupující daným ramenem. Tato skutečnost se musí projevit ve změně fáze a i b, a tím také v rozptylové matici. Vyšetříme nyní tuto změnu. Předpokládejme, že v y-tém rameni jsme posunuli referenční rovinu z místa z do místa z' = z 4- d, tj. směrem k mnohobranu (obr. 9.4). Pak z (9.31) vyplývá takže u/z') = <■ e**"-1*') + aô ei(,í,+ar'> „7 =□+e*"—'e'1*1 =B/e-í>J j(ml+iz) jud kde 9j = 2ndj?.j je elektrická délka posunu referenční roviny, X, vlnová délka y-tého vlnovodu. 273 Z uvedeného vyplývá, že vlny a a b se při posunu referenční roviny transformují takto a, = a,-e (9.56) (9.57) Obr. 9.4. Nová rozptylová matice s' odpovídající změně referenčních rovin o úhly Bt, .92, --•, flj, , 0,, je b' = s'a' Odtud pro j-'-tý řádek vyplývá b; = s'n*[ + s;2aj + ... + s>; + ... + s'}x avšak před transformací bylo by = s;ia, + sJ2a2 + ... + sjk»t + ... s^a. Dosadíme nyní do (9.58a) transformační vztahy (9.56) a (9.57) b; « byei9j = aj.i.e-"' + s>2 e"jS! + ... + Odtud např. pro fc-ty člen (9.58) (9.58a) + s>„ e' b^ J3n nebo takže (9.59) V případě posunu referenční roviny směrem od mnohobranu bude transformační vztah s;t = Sjie-*Sj + 9,> (9.59a) 9.1.6, Vlnová přenosová matice Vlnová přenosová matice má podobné vlastnosti jako kaskádní matice známá z teorie čtyřpólů. Rozptylová matice definovaná v předcházejícím odstavci je nepoužitelná pro řešení kaskádního řazení čtyřpólů, protože v definiční rovnici vystupují odražené vlny by jako závisle proměnné a vlny jako nezávisle proměnné. ľŕi kaskádním zapojení někoJika čtyřpólů jsou vždy výstupní vlny čtyřpólů vstupními vlnami následujícího čtyřpólů. Uspořádáme-li vztahy mezi těmito vlnami jinak, dostaneme nový soubor parametrů tjk, které po uspořádání vytvoří známou vlnovou prenosovú matici. Předpokládejme normované veličiny a,, b,, a2, b2, které pro čtyřpól na obr. 9.5 lze napsat v maticovém tvaru nebo po rozepsání a, ■= t. ,b, bi = t21b2 + ť22a2 (9.60) (9.61) Obr. 9.5. Ji J a, Q _-Q Obr. 9.6. Zapojíme-li např. dva čtyřpóly do kaskády podle obr. 9.6, můžeme psát pro takové zapojení Máme-li zapojeno v kaskádě n čtyřpólů, pak je [í]-Ä:]-G: :!:]&:;] (9.62) (9.63) odkud vyplývá, že výsledná přenosová matice je dána součinem vlnových přenosových matic jednotlivých obvodů řazených v kaskádě. a). Vztah mezi normovanou a nenormovanou vlnovou přenosovou maticí Vlnová přenosová matice se velmi často používá k návrhu mikrovlnných obvodů v mikropáskovém provedení. V mikropáskovém vedení se Šíří vlna TEM nebo kvazi-TEM, takže zde lze jednoznačně definovat napětí a proud. Z toho důvodu je někdy velmi užitečné znát vztahy mezi normovanými a nenormovanými veličinami. Dosadíme-li do (9.60) za ay a by explicitní normovači vztahy pro Uj a uj", dostaneme u; <7 = t,, — v. + t ^ \/Z02 274 275 a pu úprave Tyto rovnice můžeme psát ve tvaru Ut = T.tf/; + T12l/"í Z0! (9.64) nebo maticově r2,i/ľ + T2at/ ^]=E:í;][S]-K] kde T je nenormovaná vlnová přenosová matice. Z těchto rovnic vyplývá, že vztah mezi nenormovanou a normovanou vlnovou přenosovou maticí je T = '4i '-0Z (9.65) b) Vztah mezi rozptylovou matici a vlnovou přenosovou maticí Rozepsáním (9.45) pro čtyřpól dostaneme bi = Sna! -f s12a2 b2 = s21a, -f s22a2 Odtud vyjádříme veličiny a! a b, explicitně ve tvaru 1 »21 S »21 b2-^a2 b,=llib2 + S12SI1 — slls22 nebo v maticovém zápisu i 1 S21 Sil «21 s2t dets - t a2 L J (9.66) čímž jsme vyjádřili normovanou vlnovou přenosovou matici pomoci maticových prvků normované rozptylové matice. Je tedy 1 S22 s21 dets (9.67) J21 s21 upine stejným zpusoDem vyjaarime expucune z \y.oi) venciny oí a o2, takže 1 h _ . i *U*22 — t12*21 "l — "i—«1 h— til »2 b2 =7^-8! - ^"«2 nebo maticově b = Hl b, b2 til dett til tu 1 t.2 t,l tu = sa (9.68) kde s je vyjádřena pomocí prvků normované vlnové přenosové matice ve tvaru s = dett tu tu 1 t,2 tu tu (9.69) 9.2. PROSTOROVÁ SYMETRIE MIKROVLNNÝCH OBVODŮ U některých plošných nebo prostorových útvarů, ať již jsou vytvořeny přírodou nebo uměle, se setkáváme často s vlastností nazývající se geometrická pravidelnost. Zvláštním případem této pravidelnosti je souměrnost. Tato souměrnost může být středová, osová nebo rovinná. Jako příklady vytvořené přírodou můžeme uvést listy a květy rostlin, krystaly nerostů. Uměle člověkem vytvořené jsou ornamenty a stavby. V mikrovlnné technice se rovněž vyskytují symetrické vlnovodové útvary. Lze říci, že téměř všechny mikrovlnné obvody se vyznačují určitým typem symetrie. Některé typické příklady symetrie mikrovlnných obvodů jsou na obr. 9.7a, b, c, d. Symetrie je charakterizována tzv. zákrytovými pohyby, po nichž útvar zaujme opět tutéž část prostoru nebo tutéž polohu v prostoru jako před pohybem. Zákrytovým pohybům se také říká symetrické transformace. Na rozdíl od skutečného pohybu nepřihlížíme při zákrytovém pohybu ani k časovému průběhu (k rychlosti), ani k tomu, po jaké dráze se jednotlivé body útvaru dostaly z původní do nové polohy. Tím rozumíme, že dva zákrytové pohyby platí za stejné, jestliže vedou z téže výchozí polohy útvaru do téže polohy konečné. 9,2.1. Matematická formulace symetrických transformací Symetrické transformace třírozměrných útvarů jsou: a) reflexe neboli zrcadlení podle roviny symetrie, b) rotace neboli otočení kolem osy symetrie, c) inverze neboli zrcadlové otočení, d) identita (ponechává útvar v klidu). 276 277 Obr. 9.7. Prostorová symetrie mikrovlnných obvodů a) symetrie vzhledem k jedné rovině (magické T), b) symetrie vzhledem ke dvěma rovinám (člen T v rovině „H"), c) trojčetná osa symetrie (Člen Y v rovině ,,H"), d) úplná symetrie Jednotlivé typy transformací probereme podrobněji, a) Reflexe Je-li v pravoúhlém souřadnicovém systému rovinou symetrie rovina yz (obr. 9.8), pak při reflexi převádíme všechny body symetrického útvaru na druhou stranu roviny symetrie po kolmicích tak, že vzdálenosti od roviny zůstanou zachovány. Bod M{x, y, z) se transformuje do bodu M'(x', y', z'). Mezi „starými" a „novými" souřadnicemi budou platit vztahy x -*■ x = —x y -» / = y (9.70) 278 Zavedeme tormální operátor Fx, kterým vyjádříme tuťo změnu znaménka souřadnice x fx.x^x'— -x (9.71) nebo Fx . (*, y, z) = (*', /, z') = (-x, y, z) (9-72) Obr. 9.8. Zrcadlení podle roviny symetrie Obr. 9.9. Otočení kolem osy symetrie Zcela analogicky pro symetrické transformace podle roviny xz platí F, . (x, y, z) = (*', y', z') « (.v, - y, z) (9.73) a podle roviny xy F, . (x, y, z) = (x'; y', z') = (x, y, -z) (9.74) Je zřejmé, že dvojnásobnou reflexí dostaneme opět původní vztah, tedy F, . F, . (x, y, z) = F, . (- x, y, z) = (x, y, z) (9.75) b) Rotace Otočení útvaru kolem osy symetrie je převedení všech bodů útvaru na druhou stranu osy po kolmicích tak, aby jejich vzdálenost od osy zůstala zachována (obr. 9.9). Pro případ otočení kolem osy z zřejmě platí x -* x — — x y -»/ = -y z -»■ z' = z (9.76) Tuto symetrickou transformaci kolem osy z vyjádříme matematicky operátorem R, • (x, y, z) = y', z') = (- x, - y, z) (9.77) Podobně vyjadríme symetrickou transformaci kolem zbývajících dvou os ope- 279 laiwiy nx a ny Rx . (x, y, z) = {x, -y, -z) R,, (x, y, z) =i-x, y, -z) (9.78) c) Inverze Symetrická transformace zvaná inverze znamená prevedení všech bodů symetrického útvaru po paprscích procházejících středem symetrie na opačnou stranu od stredu tak, aby byla zachována původní vzdálenost od středu symetrie (obr. 9.10). Snadno zjistíme, že inverzi získáme složením dvou předcházejících zákrytových pohybů reflexe a rotace - otočením bodu M kolem osy z a pak zrcadlením kolem roviny xy. Odtud také pochází jiný název inverze - zrcadlové otočení. , , . i 0= stfed symetrie Obr. 9.10. Zrcadlové otočení (inverze) (9.79) Matematicky vyjádříme inverzi operátorem P P . (x, y, z) = (*', y', z') = (-jc, -y, -z) d) Identita Posledním operátorem symetrických transformací je tzv. operátor totožnosti, který ponecháva souřadnice beze zrniny, tedy I . (x, y, z) = (*', y', z') = (x, y, z) (9.80) 9.2.2. Reflexní grupa operátorů symetrie Podle změn znaménka souřadnic bodů tvořících symetrický útvar při zákrytových pohybech zjistíme velmi snadno vztahy mezi jednotlivými operátory. Platí řřejmě "\ • F, = F, - F, = R, fy . Fz — Fz . ff _ P F, • F, = F,. F, = R, F* F,.. Fz (9.81) 280 ato. Množina vsecn osmi operátoru symetrie uveaenycn v preacnazejicicn odstavcích, včetně zákona jejich vzájemného skládání (násobení), se nazývá grupa. Protože v ní platí zákon komutativní, nazývá se grupa Ábelova2). Prvky grupy Fx, Fy a F,. tvoři podgrupu, a protože z těchto prvků lze vytvořit postupným násobením všechny prvky ostatni, tvoří tyto prvky tzv. generátory grupy. Grupa samotná bývá proto někdy nazývána grupou reflexní. Nás zajímají především aplikace teorie symetrie k vyšetřování elektrických vlastností mikrovlnných obvodů. Každý mikrovlnný obvod se vyznačuje určitým typem symetrie a každý typ symetrie (obr. 9.7a, b, c, d) vyjádřený příslušnými operátory tvoři podgrupu reflexní grupy. Toto použití teorie symetrie umožňuje invariantnost Maxwellových rovnic k sy-metrícRým transformacím. Řešení Maxwellových rovnic však invariantní k těmto transformacím být nemusí. Tak např. vlna šířící se zleva doprava bude po reflexi transformována na vlnu šířící se zprava doleva. Umístíme-li však rovinu symetrie v uzlu nebo kmitně stojaté vlny, bude toto řešení k reflexi invariantní. Prostorově symetrické mnohobrany budeme vyšetřovat tak, že nalezneme symetrická řešení Maxwellových rovnic splňujících okrajové podmínky v mnoho-branu. Odvození těchto symetrických vlastností či" spíše odvození rozptylové matice, která tyto vlastnosti vyjadřuje, je založeno právě na zmíněných symetrických transformacích3). Je-li prostorová symetrie mnohobranu vyjádřena některým operátorem symetrie reprezentovaným maticí, pak vzájemná souvislost prostorové symetrie a elektrických vlastností mikrovlnného obvodu je zdánlivě velmi jednoduchá: Fs = sF, tj. rozptylová matice je zaměnitelná s maticí operátoru zákrytového pohybu. Vlastnostmi takových matic se zabývá teorie vlastních hodnot a vlastních vektorů. Některé důležité výsledky této teorie jsou uvedeny v matematické příloze. Na závěr je třeba dodat, že rozptylová matice s a imitančni matice z a y popisují vlastnosti n-branu tak, jako kdyby tento obvod byl „černá schránka". Dávají totiž zcela minimální informace o skutečném poli uvnitř mnohobranu. Zpravidla však inženýr navrhuje vlastní mnohobran empiricky nebo poloempiricky. Tvar matice s a její vlastnosti (jako je symetrie nebo unitárnost) mu zcela jasně „řeknou", které vlastnosti obvodu jsou dosažitelné a které ne, bez ohledu na vynakládané úsilí. 9.3. ANALÝZA VLASTNOSTÍ MIKROVLNNÝCH MNOHOBRANU Zde vyšetříme některé mnohobrany používané v praxi. Cílem rozboru je stanovení rozptylové matice daného mnohobranu vyjma dvoj bránu, jehož vlastnosti vystihuje lépe impedanční nebo admitanční matice. 2) Na počest norského matematika Nielse Henrika Ábela, 1802—1829, který se zabýval teorií eliptických funkcí a lineární algebrou. 3) Pozor však, symetrie matice s nevyplývá z geometrické symetrie. 281 Pomocí teorie symetrie určíme náhradní schéma tlusté clony v obdélníkovém vlnovodu (obr. 9.11). Clona je symetrická podle roviny xy. Označíme obé ramena čísly a vyznačíme směry svbrkových napětí a proudů. Ukážeme nyní jak nám pomůže nejjednodušŠí zákrytový pohyb — zrcadlení podle roviny symetrie -určit elektrické vlastnosti tlusté clony ve vlnovodu. Obr. 9.11. Tlustá clona ve vlnovodu Symetrickou transformaci můžeme provést dvojím způsobem: bud transformujeme „hmotné" body mnohobranu, přičemž elektromagnetické pole uvnitř zůstane nedotčeno, nebo zůstanou nedotčeny body sítě a transformujeme pole. Zvolíme první způsob. Při zrcadlení nastane záměna svorek (bodů) a na svorkách budou jiné hodnoty svorkových veličin, které označíme čárkovaně. Transformované veličiny porovnáme s původními veličinami, takže dostaneme u, -* n, = u ■2 i f2 ~* «2 = «1 Tyto vztahy můžeme napsat také takto u[ = 0 . u, + 1 • u2 Uj = 1 . u, + 0 . u, nebo maticově to Líto (9.82) (9.82a) (9.82b) nebo ještě stručněji u' = Fu (9.82c) Tím jsme získali maticový tvar operátoru reflexe F, přesně řečeno matematicky: reprezentovali jsme prvek F reflexní grupy maticí. Podobným způsobem získáme maticovou reprezentaci operátorů symetrie i u složitějších mnohobranu. Stejným způsobem můžeme vyjádřit i proudy i' = Fi (9.83) Zaměnitelnost matic z, y a s s matici F u tcazeme aaie, ze ímiiancm mauce a Tozpiyiova mauce jsou zaměnitelné s maticemi operátorů symetrie. KirchhoiTův zákon platí před transformací i po transformaci, tj. u = ií (9-84) u' = (9.85) Obvod je však lineární, což znamená, že jeho impedanční matice nemůže záviset na velikosti přiložených napětí a proudů, je tedy u' = zV Dosadíme-li nyní do tohoto vztahu (9.82c), (9.83) a (9.84), zjistíme po opravě, že platí identicky (Fz - zF) i = 0 (9.86) z čehož vyplývá, že matice F a z jsou zaměnitelné, tedy Fz = zF (9.87) Násobíme-li tento vztah operátorem F"1 a uvážíme-h ortogonálnost jeho matice, JC z = FzF (9-88) Podobným způsobem lze odvodit y = Fy F (9-89) Zbývá ještě ukázat, že matice s je také zaměnitelná s maticí operátoru reflexe F. Platí-lt transformační vztah (9.82c) pro napětí, platí i pro jeho složky a, b, takže b' = Fb (9.90) a' - Fa (9.91) Platí-li před transformací b = sa (9.92) je po transformaci b' = «' (9-93) tj. matice s se transformací nemůže změnit, protože stěny obvodu zaujaly tutéž polohu v prostoru jako před transformací (podmínky přenosu se nezměnily). Stačí nyní dosadit v (9.93) za čárkované veličiny příslušné vztahy, abychom dostali identitu Fs - sF = 0 (9-94) a odtud vztah vyjadřující hledanou zaměnitelnost Fs - sF nebo s = FsF (9.95) (9.96) 282 283 oicjnc viasmosu, juxu ma upcrítiur iciicac lunugonamosi, zamenueinosi s maticemi s, z a y), mají i ostatní operátory reflexní grupy, uváříme-li, že tato grupa je Ábelova. Vztah (9,96) využijeme výhodně k určení vlastností i složitějších n-branú. Symetrická řešení dvojbranu Symetrická řešení polí v dvojbranu získáme pomocí rovnice vlastních hodnot a vlastních vektorů matice operátoru F [viz vztah (C.3S) v příloze C] Fa=/a (9.97) Vlastní hodnoty / určíme z charakteristické rovnice det(F-/1) = 0 (9.98) když dosadíme za F z (9.82b), takže -(GKÍD-'--'- (9.99) Vlastní hodnoty jsou zřejmě fi.i = ±1 (9.100) Nyní můžeme určit pomocí (9.97) vlastni vektory a(l) a a(2> odpovídající vlastním hodnotám/ = +1. Je tedy F«"> =/>">; ;=1,2 (9.101) nebo po dosazení [ľ J]fe]-±[^] (9.102) Z této soustavy rovnic můžeme zjistit, že pro prvky prvního vektoru a(1) musí platit (9.103) a pro prvky druhého vektoru a<2) musí platit ar=~W; a[2) = -a{2) (9.104) Oba vektory aw> můžeme však normovat tak, že budou mít jednotkovou velikost. Pomoci (C.34) se snadno přesvědčíme, že když je napíšeme ve tvaru (9.105) mají oba jednotkovou velikost a že jsme respektovali požadavky (9.103) a (9.104). Kromě toho jsou oba vektory lineárně nezávislé [viz (C.37)] a ortogonální [viz (C.36)]. Nyní jíž snadno určíme impedanční matici tlusté clony ve vlnovodu. V předcházejícím odstavci bylo ukázáno (9.87), že impedanční matice je zaměnitelná O lllAIrlVJ \J |SV<1 UIU1 U 1 VU^Ať* mají stejné vlastní vektory. Platí tedy pro impedanční matici podobné rovnice vlastních hodnot a vlastních vektoru'jako (9,101) ia0)- zya0); i - 1,1 (9.106) Vlastní hodnoty impedanční matice Zyíj = 1, 2) jsou pochopitelně jiné než (9.100). Předtím, než určíme prvky impedanční matice, provedeme rozbor dosud získaného řešení. V odstavci 9.2.2 bylo řečeno, že vyhledáme symetrická řešení Maxweliových rovnic (samozřejmě invariantních vzhledem k symetrické operaci odpovídající reflexi). Tato úloha mohla být řešena dvojím způsobem, bud z fyzikálních představ o symetrickém uspořádáni polí v referenčních rovinách, nebo matematicky pomocí rovnice vlastních hodnot a vlastních vektorů matice F, což v podstatě matematicky interpretuje symetrické uspořádání polí v našem dvojbranu. Pokusíme se nyní interpretovat fyzikálně výsledky řešení (9.100) a (9.105) rovnice (9.97). Jediná řešení i variantní vzhledem k F jsou: řešeni sudé neboli symetrické, což odpovídá /, = +1 a řešení liché neboli antisymetrické odpovídající vlastní hodnotě — 1. rovino symetrie | elektrická střno Ef=0 „svorhy" -d i+d „svorky" „Cl> rovinq symetrie —rpz: fmaqnfftíchjl rifno J I ky* -d '-nf -1- I ,svorky" 211 a) b) Obr. 9.12. Symetrická řeSení tlusté clony ve vlnovodu a) sudé (symetrické) řešeni, b) liché (antisymetrické) řešeni Obě řešeni jsou schematicky znázorněna na obr. 9.1,2a, b. Prostorové uspořádání pole symetrického řešení je na obr. 9.12a. Takové uspořádáni by vzniklo, kdyby např. v rovině symetrie byla hypotetická magnetická stěna, na níž je Ht = 0 a Ey — Eyraax, Antisymetrické uspořádáni pole je na obr. 9.12b a opět odpovídá takové situaci, jako kdyby v rovinř symetrie byla elektrická stěna, na níž je Ex = s Ey ■= 0. Taková situace by nastala v případě nekonečně tenké clony, tj. pro d -» 0. Má-li clona konečnou tloušťku neboje dokonce tlustá jako v našem případě, 284 285 jc yuiima cicft.ii iv.Ac sicny pus nu u m z misia z — u ao misi z = + a. luto skutečnost musíme vzít v úvahu při určování velikosti prvků impedanční matice. Na polohu magnetické stěny tloušťka clony nemá vliv. Vlastní hodnota Zj, je příčná „impedance" v rovině symetrie pro sudé řešení, zatímco z2 je „impedance" v rovině symetrie pro liché řešení. Výsledné řešení bude dáno lineární kombinací obou dílčích řešení. Dosadíme-li nyní do (9.106) za vektory a(j) z (9.105), dostaneme vztahy vyjadřující závislost prvků impedanční matice zy na vlastních hodnotách 1 (9.107) z21 — ^12--2~^Zl — nebo obráceně z, = z, ^11 + z12 z2 — Zll — z12 (9.108) (9.109) (9.110) Z rovnic (9.107) a (9.108) vyplývají některé důležité poznatky, získané právě pomocí rovnice vlastních hodnot. Výsledek, že Zj 1 = z22. je dán právě prostorovou symetrií našeho dvojbranu, zatímco výsledek it2 = z21 může být chápán jako běžná podmínka symetrie impedanční matice platící nezávisle na prostorové symetrii dvojbranu (reciproční člen). Pomocí (9.107) a (9.108) už bychom mohli sestavit impedanční matici dvojbranu a nakreslit ekvivalentní schéma tlusté clony ve vlnovodu. Vzhledem k tomu, že uvedenou matematickou metodu lze použít i při vyšetřování složitějších «-bránu, budeme postupovat formálně jiným způsobem (u složitějšího n-branu nejsou rovnice vyjadřující závislost prvků impedanční matice na jejích vlastních hodnotách jednoduché). Zápis rovnic (9.106) může být upraven do jedné rovnice maticové, tvaru zA = Azí (9.111) kde (9.112) (9.113) Všimněme si, že A má sloupce vytvořeny z vektorů atu a a(í>, které jsou normovány na jednotkovou velikost a jsou ortogonální. Takto vytvořená matice je také ortogonální, tj. platí pro ni Ä = A-1. Matice daná vztahem (9.112) je symetrická. Zaměníme-li vlastní hodnoty zt a z2, dostaneme matici nesymetrickou, což však na výsledek nemá vliv. Z (9.111) dostaneme Az(tÁ = Azl(A (9.114) z - AzjA" 286 = fall Zl2~| = jT(Zl + Z2) (Zl - Z2>1 (9.115) Zvolíme jako ekvivalentní obvod článek T. Velikosti jeho prvků jsou uvedeny na obr. 9.13. Charakter jednotlivých prvků můžeme ještě upřesnit analýzou okrajových podmínek symetrických řešení. O charakteru vlastni hodnoty zt z teorie vlastních hodnot matice z již nic víc zjistit nemůžeme. Bylo řečeno, že antisymetric-ké řešení má prostorové uspořádání takové, jako kdyby v rovině symetrie byla D—r-í Obr. 9.13. I *(0> i iW1 1 1 *(ll \ 1 , 1 ,, z .1 l t Obr. 9.14. nekonečně vodivá elektrická stěna, na níž je Et = 0 a vlastní hodnota z2 je v tomto místě nulová. Je-li však clona tlustá, posune se poloha této vodivé stěny do míst z' — ±d a příčná impedance odpovídající vlastní hodnotě z2 v rovině symetrie se transformuje na jinou hodnotu, tj. z2 tam již nulová nebude. Vypočítáme tedy tuto transformovanou hodnotu z2. Pomocí vztahů (2,109) a (2.110) zjistíme, že [známe-li impedanci v místě vedení z = 0, tedy z(0)], určíme impedanci z(z) v libovolném místě pomocí vztahu z(0) cos ar — j sin olz z(z) = (9.116) z(z) = (9.117) cos az — jz(0) sin az který můžeme upravit na tvar (viz obr. 9.14) z(z') cos of(z — z') — j sin a(z — z')_ cos ot(z — z') ~ jz(z') sin a(z — z') Pomocí tohoto vztahu lze vypočítat, jak se transformuje zkrat v místě z' = — d (posunutá elektrická stěna) do místa z = 0 (rovina symetrie). Po dosazení, je-li z(—ď) — 0 a a «š ).v, bude impedance v rovině symetrie neboli vlastní hodnota z2 dána vztahem ^ j sin ad Z 2 = z(0) =----— „ . w cos ad áv Z dosaženého výsledku je zřejmé, že podélné impedance v ekvivalentním článku T maji kapacitní charakter. Příčná impedance v tomto článku má indukční charakter, což vyplývá z teorie nespojitostí ve vlnovodu pro daný tvar clony při d-fC; při této hodnotě tlouáfky clony podélné impedance mizí, ekvivalentní schéma má pouze příčnou indukčnost, a tak i tento výsledek se shoduje s výsledky . 2n , -j — d 287 .„ ..„jiujiwäu >t tiiiuvuuu, v^aicuuc cKvivaientm scnema je znázorněno na obr. 9.15. Na tomto obrázku si všimneme skutečnosti, že čJánek T vyhlíží tak, jakoby nemel podélný rozměr, tj. je umístěn pouze v rovině symetrie. svcrky t f rovino I svetre Obr. 9.15. Ekvivalentní schéma tlusté clony Na závěr je třeba dodat, že pro praktické účely je nutné parametry Zj a z2 náhradního obvodu získat měřením nebo výpočtem pomocí jiných metod. Tyto metody výpočtu velikosti náhradních parametrů však předpokládají nějaký typ náhradního obvodu. Jeden z možných typů jsme v této části právě určili, a to bylo mimo jiné také naším cílem. 9.3.2. Mikrovlnný trojbran Z mikrovlnných trojbranů se nejčastěji používají: člen T v rovině „H" (obr. 9.7b) a člen T v rovině „E" (obr. 9.16). Oba trojbrany jsou symetrické vzhledem ke dvěma rovinám, takže mají i osu symetrie danou průsečnicí obou rovin. Symetrický rozvětvený člen ve tvaru Y v rovině „H" (obr. 9.7c) se používá jej) s feritovým prostředím uvnitř ve funkci nerecipročního cirkulátoru. Člen Y má tři roviny symetrie a jednu trojčetnou osu symetrie. Ukážeme dále, že mikrovlnné trojbrany s izotropním prostředím uvnitř nelze totálně přizpůsobit a oba členy T lze použít ke konstrukci laditelného impedančního transformátoru. Obr. 9.16. Mikrovlnný trojbran — člen T v rovině „E" Člen T v rovině „H" bývá též nazýván paralelním T, protože rameno 3 je připojeno paralelně k ramenům I a 2. Označíme svorkové parametry u,-. S obvodem můžeme provést tři zákrytové pohyby, z nichž praktický význam má pouze operace reflexe vzhledem k rovině . Operace reflexe vzhledem k F2 mění pouze znaménka všech polí na svorkách, takže je triviální. Tvar matice R odpovídající otočeni 3 obvodu o mu" je stejný jako tvar matice Ft až na znaménka víech prvků. Provedením zákrytových pohybů zjistíme, že operátory Ft a R můžeme reprezentovat maticemi 1 0 0 0 0 1 R -= 0 -1 -1 0 0 o o o -1 (9.118) (9.119) Pro rozptylovou matici opět platí (9.96) s = FsF Rozepsáním a vynásobením dostaneme Sil Sl2 913 "o 1 o" *11 s12 »13* 0 1 «12 = 1 0 0 «i2 S2 2 S23 1 0 j5l3 S23 Sj3^ 0 0 1 „Sl3 »23 0 0 S22 S12 «23 B12 Sil S13 «23 s13 (9.120) Porovnáme-H odpovídající prvky výsledné matice s původní maticí, dostaneme SU = s22 "p s23 = S13 Položíme sa = s22 = «, s23 = s,3 = ó, s33 — fi, si2 = 7, takže rozptylová matice členu T má obecně tvar a y Ô s = y a S S S ft Vyšetríme dále některé tvary rozptylové matice vyskytující se v praxi. a) Mikrovlnný bezeztrátový trojbran nelze totálně přizpůsobit Aby důkaz této důležité věty byl krátký, provedeme jej sporem. Předpokládejme, že obecný trojbran je totálně přizpůsobený. Tím se zmenší počet nenulových prvků rozptylové matice trojbranů, neboť by měla mít tvar 0 y ô' (9.122) s = Matice je unitární, takže pro prvky jejich řádků platí m2 + m2 = i lv!2 + |5|J = i \ô\2 + \5\2 = 1 288 289 oaiua i o \ - — i/z, | y |" unitární matice platí J j'2. ľro hermitovský součin druhého a třetího řádku yS* = 0 neboli —e — e V2 V2 (9.123) což nelze splnit, protože výraz e**-*' se nikdy nerovná nule. Nemohou tedy prvky na hlavní diagonále být současně všechny nulové, z čehož vyplývá, že trojbran nelze totálně přizpůsobit. Protože tvar rozptylové matice trojbranu byl zvolen obecně, platí iato věta pro libovolný mikrovlnný trojbran s izotropním prostředím uvnitř. b) Současné přizpůsobeni ramene 1 a 2 Při současném přizpůsobeni ramen 1 a 2 musí být a — Q a rozptylová matice (9.121) přejde na tvar 0 y ô y 0 ô ô 5 p (9.124) Z hermitovského součinu prvního a druhého řádku vyplýva, že ÔS* = 0, tedy ó — 0. Pak | v J = 1 a | ŕ I = 1 (z vlastností řádků unitární matice). Rozptylová matice je v tomto prípade s = 0 1 0 1 0 o 0 0 1 (9.125) Dosáhli jsme toho, že rameno i je od zbývajících dvou ramen zcela odděleno. Vlna vstupující do ramene 1 vystupuje ramenem 2 a naopak. Vlna vstupující do ramene 3 se úplně odrazí nazpět. Má-li být rameno 3 od ostatních zcela odděleno, musíme to zařídit, tj. do vlnovodu ramene 3 se vloží kovová přepážka (zkrat) tak, aby vlna vystupující z třetího ramene b3 = 1. Je-li tento zkrat ve vzdálenosti ^v/4 od osy vlnovodu ramen I a 2, nastane v rovině symetrie taková situace, jako kdyby rameno 3 v trojbranu neexistovalo. c) Člen T jako přizpůsobovací prvek Vložíme-li do ramene J posuvný zkrat, např. ve formě pístu, můžeme ve vlnovodu tvořícím ramena J a 2 v rovině symetrie realizovat libovolnou paralelní reaktancí. Stači uvážit, jak se tento zkrat v rameni 3 transformuje podél roviny symetrie do osy podélného vlnovodu ramene / a 2. Normovaná vstupní impedance úseku vedení délky / na konci zkratovaného je dána známým vztahem zm = j tg 2nljAv. Můžeme tedy takovým způsobem realizovat v podélném vlnovodu v rovině symetrie libovolnou reaktancí od nuly do j co. Na tomto principu je založena funkce některých impedančních transformátorů. rnzpusooem ramene i V tomto případě je p — y Š] 0 a rozptylová matice paralelního T má tvar 5 = 0 (9.126) K určení konkrétních velikosti prvků matice využijeme vlastností její unitárnosti. Z třetího řádku vyplývá 2 | ô j2 = 1 neboli | 5 |2 = 1/2. Dosadime-li tento výsledek do hermitovského součinu druhého a třetího řádku y5* + oiÔ* = 0, dostaneme y = — ; v bodě d) ve funkci třídecibelového děliče, ale s tím rozdílem, že vlna vystupující z ramene 3 do ramen J a 2 se dělí na dvě poloviny, avšak v protifázi. Rozptylová matice v tomto případě (p = 0) se liší od (9.127) jen ve znaménkách, tedy i i V2' (9.128) 1 J2 i -V2 ■y/2 0 9.3.3. Mikrovlnné čtyřbrany Ze Čtyřbranů budeme analyzovat podrobněji tzv. magické T (někdy též dvojité T nebo můstkové T) a popíšeme Činnost směrové odbočnice v různých provedeních. 290 291 a) Magické i {mustKově l) Tento Čtyřbran je symetrický podle jedné roviny, jak je vidět na obr. 9.7a. Po zákrytovém pohybu — reflexi — se svorková napětí zřejmě transformují takto «2 . = U 1 i U, lli — u 3 ) »1 «1 U4 U4 — - u4 K získáni matice operátoru reflexe F napíšeme tyto transformační vztahy ve tvaru u[ = 0 , Ut + 1 . U2 + 0 . u3 + 0 . u4 ut + 0 . u2 + 0 . u3 + 0 . Uj + 0 . u2 + 1 . u3 + 0 . ■i = l. n3 =0. u; = o. nebo maticově (9.129) u, + 0 . n, - 1 "4 nebo »2 «3 _V u' = = Fu 0 o 0 o 1 o 0-1 (9.129a) (9.129b) Známe-li nyní tvar matice operátoru F, určíme rozptylovou matici daného čtyřbranu snadno pomocí vztahu (9.96). Předpokládáme, že je čtyřbran bezeztrá-tový, pak jeho matice s je unitární a je-li prostředí uvnitř čtyřbranu izotropní, pak je matice s symetrická. Dosadíme-li do (9.96) v explicitním tvaru, dostaneme S|, s12 S12 S22 s13 s23 _S14 S24 s3« »14 S24 S34. S*4 0 1 0 0 Sil S12 S13 S14 0 1 0 0 1 0 0 0 S12 s3J «23 s24 1 0 0 0 0 0 1 0 sl J s23 s33 S34 0 0 1 0 0 0 0 -1 8l* S24 S34 s44 0 q 0 -1 (9.130) Po vynásobení pravé strany dostaneme rovnost dvou matic 511 512 «13 S14 12 »13 S 14 522 S23 S24 523 S33 SJ4 s24 S34 S44 Odtud porovnáním dostaneme Si 1 = s22 = a; S|4 = -s24 — 8; s44 — S44 — 1 "12 »23 — S 24 S11 —S, »33 — S 24 -Stj. S-* -S34 S44 (9.131) 12 /j; Sil — S j Sj3 — S23 — f, S34 — — S34 0; Rozptylová matice magického T má po dosazení těchto vztahů tvar ŕ I ľ s1 s = (9.132) p a j y —ô y y j s o ô -6 j 0 n_ Předpokládejme, že dovnitř ramen 3 a 4 lze vložit přizpůsobovací prvky tak, že obě ramena budou přizpůsobena. Přizpůsobovací prvky vsak nesmi narušit prostorovou symetrii čtyřbranu. Pak bude a fi i y ô' s = y -ô o oj (9.133) (9.134) Matice musí být unitární, platí tedy pro jednotlivé řádky (C.31) i«ij + i/íi2 + m2 + m2 = 1 21 r I* = 1 2|51J = 1 Z této soustavy rovnic vyplývá l«l2 + !ČI2 =0 součet kladných čísel může být nulový, jen jsou-li samotná čísla nulová, je tedy ar = 0 i /f = 0. Ze zbývajících dvou rovnic pak dostaneme 1 nebo fi y = v/2 kde úhly

; V2 ^4 = 1 T |b4|2 = ^-l^-a,!2 (9.138) Z těchto rovnic vyplývá: a) Napájime-H rameno /, tj. 8! # Ó; a2 = a3 = a4 = 0, je bt = b2 = 0; Pt - P2 = 0 b3 = V2 r3 = Tla1|2 (9.139) b4 = ^=at; = ^ í »i |2 Vlna vstupující ramenem 1 se rozdělí do ramen 3 a. 4, polovinami svého výkonu a obě vlny jsou ve fázi. b) Napájíme-li rameno 2, tj. a2 ^ 0; a, = a3 = a4 = 0, je 0; b3 = --\_--a2; P3 - ~[ a2 l2 V2 4 (9.140) Vlna vstupující ramenem 2 se rozdělí do ramen 3 a 4 v protifázi opět polovinami svého výkonu. 294 c) Napájíme-li rameno 3, tj. a3 0; at = a2 0,je bi = b2 = 1 V2 (9.141) b3 = b4 = 0; P3 = P4 = 0 Vlna vstupující ramenem 3 se rozdělí do ramen 1 a 2, polovinami svého výkonu a obě vlny jsou ve fázi. d) Napájíme-li rameno 4, tj. a4 t4 0; aJL = a2 = a3 = 0, pak 1 V2 a+; b2 = - *3 1 V2 b4 = 0; Pi=^l«4ľ P3 = P4 = 0 (9.142) Vlna vstupující ramenem 4 se opět rozdělí do ramen } a 2, a to v protifázi. Její výkon se dělí na poloviny. Tento případ si můžeme názorně představit podle obr. 9.17. Na tomto obrázku jsou znázorněna ramena /, 2 a 4 ve středovém řezu kolmém na rovinu symetrie. Předpokládáme, že ve vlnovodových ramenech se Síří vid TE10. Z uspořádání silových čar elektrického poleje zřetelně vidět dělení vlny do ramene 1 a 2 v protifázi. Obr. 9.17. e) Velmi zajímavý je též případ současného napájení ramene 1 a 2. Napájíme-li obě ramena v protifázi, bude (9.143> «1 = -a2; as = a4 = 0 bl = ba = 0; Pt = />2=0 b3 = 0; Pz = 0 b4 = V2«i; i°4 = 1 a, l2 29& Protože svorky 1 a 2 jsou ve stejné vzdálenosti od roviny symetrie, budou obě vlny na vnitřním vstupu ramene 3 v protifázi. Vybuzení ramene 3 není tedy možné. Pod ramenem 4 bude prostorové uspořádání pole takové, jak je znázorněno na obr. 9.17, takže toto rameno může být vybuzeno. Budou-li ramena 1 a 2 současně napájena se shodnou fází, nemůže být vybuzeno rameno 4 a obě vlny budou vystupovat ramenem 3. b) Kruhové T Poslední dva případy buzení magického T dvěma rameny současně nám umožni podobnými úvahami určit rozptylovou matici jiného čtyřbranu, tzv, kruhového nebo prstencového T, (obr. 9.18), aniž bychom museli použít poznatky z teorie 3V4 Obr. 9.18. Kruhové T v rovině „E" symetrie. Uvážíme-li délky drah ve vlnovodovém prstenci a skutečnost, že vlny vystupující z ramen do vlnovodového prstence se dělí na poloviny vzájemně v protifázi, zjistíme, že tento čtyřbran má úplně stejnou rozptylovou matici jako magické T, danou vztahem (9.136). Všimněme si ještě, že rozměry užších stěn b vlnovodových ramen a rozměr b' vlnovodového prstence se liší, aby se dosáhlo přizpůsobení ramen připojených v sérii s vlnovodem prstence. c) Smerová odboČnice Směrová odbočnice (někdy též nazývaná směrový vazební člen) je patrně nejčastěji v praxi používaný čtyřbran. Směrová odbočnice je název mikrovlnného čtyřbranu, který je reciproční, totálně přizpůsobený a v němž nenastává přenos mezi dvěma dvojicemi bran. Princip činnosti odbočnice objasníme na příkladu. Jedno z možných provedení směrové odbočnice je odbočnice se dvěma otvory, schematicky znázorněná na obr. 9.19. Vbi----s .----st- -Ks Obr. 9.19. Směrová odbočnice se dvěma otvory stěnami. Ve vlnovodech se šíří vid TE1C. Nazvěme vlnovod spojující brány 1 a 2 ..základním" a vlnovod mezi 3 a 4 vlnovodem „vedlejším". Mezi oběma vlnovody je slabá vazba kruhovými otvory průměru d(d < Av) vzdálenými vzájemně oAT/4. Vlna a! vstupující prvním ramenem se šíří do ramene 2 a část její energie vstoupí oběma vazebními otvory do vedlejšího vlnovodu, kde se dělí na poloviny a šíří se v obou směrech k ramenům 3 a 4. Vlna postupující směrem ke třetímu rameni je tvořena ze dvou amplitudově stejně velkých příspěvků b'3 a \>l, avšak fázově vzájemně posunutých o 180° (rozdíl jejich drah je AT/2), takže vlnovod ramene 3 nemůže být vybuzen. Vlna postupující směrem ke čtvrtému rameni je také složena ze dvou amplitudově stejných částí a b^, které jsou naopak ve fázi, takže vlnovod ramene 4 může být vybuzen. Z toho vyplývá, že nenastává přenos mezi dvojicí ramen 7 a i. Tuto vlastnost můžeme nazvat též. izolací mezi rameny 1 a 3. Protože čtyřbran je symetrický, tak při napájení ramene 2 bude vlna vystupovat z ramene / a 3 a přenos nenastane mezi ramenem 2 a 4. Známe-li činnost směrové odbočnice, můžeme vysvětlit též přívlastek „směrová" v jejím názvu; přítomnost vlny ve třetí nebo čtvrté bráně odbočnice závisí na směru šíření vlny v základním vlnovodu. Z principu činnosti směrové odbočnice vyplývá, že vedlejší a základní vlnovod je ve své funkci vzájemně zaměnitelný, nejsou-li jednotlivá ramena zvlášť konstrukčně upravena k jiným účelům. Ukážeme nyní, že každý reciproční čtyřbran, který je bezeztrátový a totálně přizpůsobený, musí být ideální směrovou odbočnicí. Důsledek tohoto důkazu bývá někdy zván větou o existenci směrové odbočnice. Rozptylová matice recipročního a totálně přizpůsobeného čtyřbranu má tvar s — 0 «12 s13 s12 0 s23 S2* s13 S23 0 s3* S14 «24 0 (9.144) Je-li obvod bezeztrátový, musí být rozptylová matice unitární. Minory nulových prvků unitární matice jsou nulové [viz (C.33)], takže platí '0 S23 det s23 0 S24 S34 "O S13 det SlS 0 S34 0 »12 det Sl2 0 .814 SI4 — 2 S23S34S24 — 0 — 2 8,383*8,4 = 0 — 2 *ä12S24S14. — 0 (9.145) (9.146) (9.147) 296 297 det Uii [S13 — 2 Sj2s13S2j — O (9.148) s23 O Mají-li být všechny čtyři rovnice současně řešitelné (vyjma řešení triviálního), musí vždy platit jeden ze vztahů sJ3 — s34 — 0 S14 = S23 = 0 S12 = S34 — 0 (směrovost 1. druhu) (směrovost 2. druhu) (směrovost 3. druhu) (9.149) (9.150) (9.151) přičemž ostatní prvky pro každý případ jsou nenulové. Autoři [5] rozlišují jednotlivé případy izolace mezi dvojicemi ramen a nazývají je odbočnicemi se směrovostí 1., 2., 3. druhu. Všechny tři případy směrovosti jsou schematicky znázorněny na obr. 9.20. Z uvedeného rozboru je zřejmé, že v definici směrové odboČrúce je požadavek na vzájemnou izolaci dvojic ramen přebytečný, protože tato vlastnost je přímým důsledkem jiných vlastností (reciprocita, přizpůsobení a bezeztrátovost). _ j ___i a) 1 druhu b) ! druhu c) 3.druhu Obr. 9.20. Směrová odbornice a) 1. druhu (s13 = sit = 0), b) 2. druhuj = s13 = 0), c) 3. druhu (stl = s2* = 0) Definici směrové odbočnice splňuje i magické T nejen ve vlnovodovém provedení, ale také všechny jeho hybridy s koaxiálními nebo mi kro páskovými vedeními. Všechny tyto čtyřbrany se vyznačuji dělením výkonu na poloviny, jsou tedy pouze zvláštními případy směrové odbočnice. Pomocí směrové odbočnice můžeme uskutečnit rozděleni výkonů na dvě nestejně velké části v libovolném poměru. K tomuto účelu určíme rozptylovou matici ideální směrové odbočnice a vyšetříme možnosti dosažení jejich provozních parametrů. Rozptylová matice ideální směrové odbočnice Určíme rozptylovou matici směrové odbočnice 1. druhu. K jejímu vyšetření nepoužijeme rovnice vlastních hodnot operátorů symetrie, protože analýza odbočnice je následkem degenerovaných vlastních hodnot dost složitá a výsledky této metody nedávají mnoho nových poznatků, které by nebylo možné získat i jinak. Vyjdeme z požadavků na směrovou odbočnicí. Odbočnice I. druhu má izolaci mezi rameny 1 a 3 a mezi 2 a 4. Odtud vyplývá, že s13 = s24 = 0. Pro totálně přizpůsobený obvod musí platit sjV = 0. Rozptylovou matici můžeme tedy psát s — 0 s12 0 S14 «12 0 0 Sl3 0 s34 0 0 S34 (9.152) Zbývá určit velikost jednotlivých prvků a jejich argumenty. Obvod je beze-ztrátový, proto jeho matice je unitární. Tedy li.al' + l-i*.1-.; |si2l2 + |S2312 = 1 «i+í2 + IS34I1 = 1 12 I + t »14 1 + js. S23 i; 3* 2 — 1; (9.153) Položíme | s14 | — do (9.152) je sí3 I = P a I s12 I s = Vi - p2^'2 p s p 0 I s34 I = V1 — p2. Po zpětném dosazení (9.154) -p2é*'* 0 0 p si _ o (9.155) Součet dvou komplexních čísel je nulový tehdy, jestliže se rovnají jejich moduly a argumenty se liší o n. Musí tedy pro argumenty platit P12 + 2$ = /2. Velikost výkonu píecházejícího ze základního vlnovodu do vedlejšího závisí na způsobu provedení vazby a na její velikosti. Provozní parametry reálně směrové odbornice Kromě parametrů vyjádřených prvky rozptylové matice se v praxí používají jednodušší parametry směrových odbočnic. Směrové odbočnice se zpravidla konstruují tak, že výkon vstupující do odbočnice se dělí do dvou určitých ramen, a to v přesně definovaném poměru. K tomu účelu se definuje odbočný útlum při napájení ramena 7 pomocí vztahu (pro odbočnici 1. druhu) D = lOlog^ (dB) (9.158) kde P2 a P* jsou výkony vystupující z příslušných ramen. Odbočný útlum můžeme definovat též pomocí prvků rozptylové matice, dosadime-li P2 = ] b2 |1 a P4 = = 11>4 |2 a uvážlme-li, že a2 D = 10 log [sní2 = a3 = a+ = 0; Pak (dB) (9.159) |s14|2 ■ 30 dB, pak ramenem 4 vystupuje tisíckrát menší výkon než Tak např. je-li D ramenem 2. V reálné směrové odbočnici není možné dosáhnout toho, aby v určitém frekvenčním pásmu byly dvč dvojice ramen dokonale odděleny nebo izolovány, a aby napr. u odbočnice 1. druhu platilo Si3 = s2+ = 0. Není to možné proto, že nastává odraz od vazebních otvorů a od nepřizpůsobených zátěží ramen zejména na okrajích pásma. Dokonalost této izolace definujeme tzv. směrovostí, vztahem S = 10 log- (dB) (9.160) tedy poměrem výkonů ve vedlejším vlnovodu, přičemž „prosakující" výkon P3 je nežádoucí. Z toho vyplývá, že ideální odbočnice máS -* co. Analogicky můžeme vyjádřit směrovost pomocí prvků rozptylové matice 2 S = lOlog |S,4I (dB) (9.161) Odbočný útlum i směrovost v decibelech udává výrobce odbočnice ve frekvenčním pásmu, v němž nepřekroči činitel stojatých vln v základním vlnovodu určitou hodnotu. Směrovost 20 dB až 30 dB bývá pro mnohé účely považována za dostatečnou. Typy směrových odbočnic Směrové odbočnice můžeme roztřídit podle provedení vazby mezi vlnovody. V podstatě je můžeme rozdělit na odbočnice s jedním nebo se dvěma vazebními otvory a na odbočnice s rozloženou nebo spojitou vazbou. V dalším tedy vyšetříme -j — Jt----- -------■ —..... . ........ ii.L. u j t lutvua pri konstrukci směrové odbočnice, je způsob dosažení směrové vazby. Nejjednodušším způsobem je směrová vazba vyřešena u odbočnice se dvěma otvory. Princip činnosti tohoto typu s vazebními otvory v širší stěně vlnovodu byl popsán na začátku odst. 9.3.3c. Odbočnice tohoto typu může být realizována i takovým způsobem, že „základni" a „vedlejší" vlnovod jsou spolu vázány svými užšími stěnami, napr. jako na obr. 9.7d. Tento typ odbočnice má vzdálenost obou otvorů A,/4, tedy teoretická směrovost S -* oo by mohla být dosažena pouze pro jednu frekvenci. Při jiných frekvencích není amplituda vlny vstupující do třetího ramene zanedbatelná a tak, aby dalšími případnými odrazy nebyly narušeny vlastnosti směrové odbočnice, vkládá se do třetího ramena absorbční Člen, v němž je energie nežádoucí vlny pohlcena. Tento způsob zakončení třetího ramena je znázorněn na obr. 9.21. zkrobwpci přepoika deštil:ha s odporovou vrstvou Obr. 9.21. Bezodrazové zakončení ramene odbočnice A Absorbce vlny nastane v odporové vrstvě nanesené na povrch dielektrického pásku. Sirka pásku se plynule zvětšuje s cílem dosáhnout přizpůsobení. Na konci pásku i na konci ramene je zkrat. Komerční provedení tohoto typu odbočnice má tedy jen tři vlnovodové výstupy, a to ramena 1,2a 4. ■i: Obr. 9.22. Schwingerova odbornice Jiným typem odbočnice se dvěma otvory je tzv. Schwingerova4) odbočnice (obr. 9.22). Tato odbočnice má směrovost 2. druhu, i když jsou oba otvory vzdáleny o Av/4, ale ve směru příčném jsou vzájemně posunuty. Otvory nejsou kruhové, ale podlouhlé, čímž je právě zabezpečena vazba mezi oběma vlnovody. Ukážeme nyní, že při takto uspořádané vazbě se vlny vybuzené oběma otvory v rameni 3 sčítají, kdežto v rameni 4 se odčítají. Předpokládáme vid TE10. Uvážíme-li geometrické rozložení složek intenzit pole Er a Hx ve vedlejším vlnovodu S -4 4) Julian Schwinger, * 1918, americký teoretický fyzik. Za práce v kvantové elektrodynamice a fyzice elementárních částic obdržel v r. 1963 Nobelovu cenu. 300 301 mají sinusové rozloženi v příčném směru, takže jejich velikost je v místě Štěrbin téměř nulová). Vazba je tedy uskutečněna podélnou složkou intenzity magnetického pole Hz. Pro tuto složku platí Hz= Cr2 cos — xe_j" 2 o V místě štěrbiny A je tato složka (z = 0) ff,A = Cr2cos v místě B /flB = Cr2 cos— x2e~J 77-4T= cr2cos — x2e-M2 (9.162) Dosadíme-li x2 = a — xVt je jílB = jcr2cos™x1 (9.163) Do ramene 4 budou postupovat dvě vlny vybuzené otvory A a B, které se budou skládat ve vlnu výslednou, a ta má v tomto ramenu zaniknout. Je tedy pole v blízkosti otvoru B .2« 1, HB = HzB + HlK 1B = jer cos — xx + íflA e = jCr2 cos — x, + HlX e-'""2 = }Cr2 cos *t - jCF2 cos £ Výsledné pole v rameni 4 tedy skutečně zaniká. Naopak v blízkosti otvoru A, tj. směrem ke třetímu rameni, HA - JřlA + HzB|A = Cr2cos— xt + fflDe ' * = = Cr2cos— xt +jCr2cos-x1 e^j*/2 = Cr2cos— xt - fcrcos^Xi = 2Cr2 cos —xt Obě dílčí vlny se sčítají, rameno j je tedy vybuzeno. Magnetická vazba je také u křížové směrové odbočnice se dvěma kruhovými otvory, jejíž vazební systém je schematicky znázorněn na obr. 9.23. Rameno 4 bývá ukončeno bezodrazovou zátěží podobného typu jako na obr. 9.21. K vysvětlení principu činnosti je třeba odkázat na speciální literaturu, např. [3], [4], Podrobněji se budeme zabývat principem činnosti odbočnice s jedním vazebním otvorem neboli tzv. Betheho odbočnici znázorněnou na obr. 9.24. Tyto odbočnice mají název podle autora*) teorie vyzařování malými otvory. Vyznačují se také směrovostí 2. druhu. Čtvrté rameno je také zakončeno bezodrazovou zátěží. ') Hans Albrecht Bethe, * 1906, německý teoretický fyzik, od r. 1935 v USA. Zabýval se kvantovou a nukleární fyzikou. Získal v r. 1967 Nobelovu cenu. .J____ V4I j M ^2 -1 k bezfldrtrcoví ol>r- Schéma vazby tfltíři křížové odbočnice Obr. 9.24. Betheho smčrová odbornice s bezodrazovou zátěží v ramení 4 Předtím, než popíšeme princip její činnosti, musíme analyzovat elektrickou a magnetickou vazbu generátoru s vedením. Elektrickou vazbu si lze představit jako sondu volně vázanou k vedení. Sonda napájená generátorem může být reprezentována ekvivalentním schématem podle obr, 9.25, v němž je generátor k vedeni připojen paralelně. Vlny vybuzené na vedení lze matematicky vjádřit vztahy « = <70 e*0"-^; í = ~-c*""*" pro z > 0 » = t/0eí(a"+iI>; ř=-^eiíB' pro 2 < 0 (9.164) (9.165) Poznamenejme, že při tomto způsobu buzení jsou napětí v symetrických bodech vedení na obou stranách ve fázi, zatímco proudy jsou v protifázi. z-0 l Obr. 9.25. Ekvivalentní schéma elektrické vazby Obr. 9.26. Ekvivalentní schéma magnetické vazby Magnetickou vazbu lze uskutečnit smyčkou volně vázanou k vedení a napájenou generátorem zapojeným v sérii s vedením. Ekvivalentní schéma této vazby je na obr. 9.26. Matematicky formulováno je «• = (70eiímf-fc); Z0 17' pro z > 0 pro z < 0 (9.166) (9.167) 302 303 obon stranách zdroje jsou napětí v protifázi a proudy ve fázi. Pomocí těchto dvou způsobů buzení vedení můžeme vysvětlit směrovou vazbu potřebnou ke konstrukci odbočnice. Předpokládejme, že vedení je buzeno v jednom bode paralelní a sériovou vazbou současně. Oba vazební prvky.musí být pochopitelně napájeny týmž generátorem, jinak by obě vlnění nebyla koherentní. Výsledné vlny budou dány součtem jednotlivých vln u = (U 0 + U0)e ii = (U0- UÍ)cK-, + b); í-ts -(l/o - Vó)e- jímí + tz) pro z > 0 (9.168) pro z < 0 (9.169) Dosáhneme-li pak vazbou toho, že U0 = V'a, je « = 0 pro z < 0 a vlna šířicl se doleva zaniká. Opačně zase dosáhneme-li U0 = -UÓ, zanikne vlna Sířící se doprava. Princip činnosti Betheho odbočnice vysvětlíme pomocí kmitajícího elektrického a magnetického dipólu ve vazebním otvoru. Oba dipóly podle Betheho teorie vzniknou působením pole postupné vlny v základním vlnovodu. Předpokládá se, že průměr otvoru je malý v porovnání s vlnovou délkou a že je otvor daleko od bočních stěn vlnovodu. Oba dipóly generují elektromagnetické vlny podobně jako při paralelní a sériové vazbě generátoru k vedení. Vznik elektrického a magnetického dipólu ve vazebním otvoru si lze představit podle obr. 9.27. Elektrické pole ^-—-y a) Obr. 9.27. Vazba malým otvorem a) elektrická vazba a odpovídající elektrický dipól, b) magnetická vazba a odpovídající magnetický dipól vybuzené elektrickým dipólem v horním vlnovodu je v blízkosti otvoru symetrické na jeho obou stranách, souhlasně se vztahy (9.164) a (9.165). Magnetický dipól rovněž vybudí elektrické pole po obou stranách otvoru, avšak toto pole je vzhledem k otvoru antisymetrické opět v souhlasu se vztahy (9.166) a (9.167). Oba případy jsou znázorněny na obr. 9.28. Z tohoto obrázku je zřejmé, žc vlny směřující do ramene 4 se vzájemně ruší a v rameni 3 se sčítají. Vzhledem k nestejné velikosti obou vazeb je nutné osu vedlejšího vlnovodu pootočit o úhel 3. Změnou tohoto uůiu lze měnit magnetickou vazbu činitelem cos S, a tím dosáhnout rovnosti amplitud symetrického a antisymetrického pole, jak to vyžadují vztahy (9.168) a (9.169). Podrobnější vzorce k určení velikosti vazebních otvorů viz [7], Větších Šířek frekvenčního pásma směrových odbočnic pro danou směrovost a odbočný útlum lze dosáhnout složitějšími vazebními systémy, avšak tuto úlohu musíme již ponechat speciální literatuře, např. [3], [4], [6], [7]. 4 o) n a g n etický dipól elektrický dipól Obr. 9.28. Vazba malým otvorem a) elektrické pole vybuzené elektrickým dipólem, b) elektrické pole vybuzené magnetickým dipólem 9.3.4. Kruhová polarizace v mikrovlnných obvodech Vektor intenzity elektrického pole £ = Exx -f Eyy rovinné vlny šířící se ve volném prostoru zachovává neustále svůj směr. Rovina daná směrem šíření vlny a vektorem elektrického pole se nazývá rovinou polarizace a o samotné vlně říkáme, že je lineárně polarizovaná (obr. 9.29). Je-li směr vektoru E libovolný, Obr. 9.29. Lineárne polarizovaná vlna můžeme jej rozložit na dvě vzájemně kolmé složky Ex a Ef. Je-li Ey = 0 a E = Exx, říkáme, že je vlna polarizovaná horizontálně; je-li Ex ~ 0 a E = Efy, je vlna polarizovaná vertikálně. Obě složky Ex a Ey mohou mít různé amplitudy i fáze, avšak obě složky mají stejnou frekvenci, vlnovou délku i fázovou rychlost. Z toho je zřejmé, že každá vlna, jejíž elektrický vektor svírá s rovinou xOz libovolný úhel 9, může být rozložena na dvě vlny; vlnu polarizovanou vertikálně a vlnu polarizovanou horizontálně. 304 305 Vyšetříme nyní superpozici takových vln. Předpokládejme, že obě jsou vzájemně fázově posunuty o úhel tp a mají různé amplitudy Ä1 a Ab. Tedy £,= y/ľej(a"-*I+*> (9.170) Ex = x/lV"-*1' (9.171) a) Je-li tp = 0, leží vektor £ v rovině polarizace svírající s rovinou xOz konstantní na Čase nezávislý úhel E A" 5 = arctg- arctg — A* j4 (9.172) a polarizace je lineární tak, jak bylo uvedeno na začátku se zvláštními případy vertikální (Ex = 0) a horizontální (Et = 0) polarizace, b) Položíme Ah = Ay = A a

= ±it/2 dostaneme analogicky Ex = A* cos (tot - kz) Ey= +Ä1 sin (oůt — kz) Vyloučením proměnné t z obou vztahů dostaneme rovnici elipsy li = 1 (9.176) (9.177) (9.178) s poloosami Ä1 a Ah. O takové vlně se říká, že je elipticky polarizovaná. Je tedy kruhově polarizovaná vlna zvláštním případem vlny elipticky polarizované. Je zřejmé, že se vektor intenzity magnetického pole rovněž otáčí, avšak jeho koncový bod se pohybuje po jiné elipse. Pro praktické účely je důležité znát směr otáčení vektoru intenzity elektrického pole. Směr otáčení porovnáme se směrem pravotočivého šroubu. Pravotočivé 1 Krunove polarizovaná vlna bude taková, jejíž vektor se bude otáčet doprava, jestliže se vlna šiří směrem od pozorovatele. Nakreslíme-li časovou posloupnost vektorových součtů vztahů (9.173) a (9.174) tak, jak je to znázorněno na obr. 9.30, zjistíme vztahy pro vzájemně kolmé složky vektoru intenzity elektrického pole: pro pravotočivé vlny E, = jAt*"'**-™ a pro levoto čivé vlny £, = x^eií0"-^ E, = yAČ"-**™ (9.179) (9.180) Obr. 9.30. Časová posloupnost polohy vektoru E pravotočivé kruhové polarizované vlny Zajímavá situace nastane při odrazu kruhově polarizované vlny. Levotočivá vlna se šíři v kladném směru z a dopadá na rovinu odrazu v místě z — 0, takže E = A(x+jy)eiat Vlna se odráží a v místě odrazu (z = 0) je kde Q0 je činitel odrazu v místě z — 0. Vlna se po odrazu šíří opačným směrem, tj. ve směru —z, což vyjádříme činitelem ék', takže v libovolném místě je E = M(*+Jy)eK",*bti (9-l81> Směr otáčení zůstal stejný, ale směr šíření se vzhledem k pozorovateli změnil. Pro původního pozorovatele je to tedy vlna pravotočivá. d) Každá lineárně polarizovaná vlna může být rozložena na dvě kruhově polarizované vlny — pravotočivou a levotočivou. Tak např. horizontálně polarizovanou 306 307 vtnu rozložíme nebo E - x Ae"*1 = y [(x + jy) + (x - jy)] e'**1 E = y (x + yé"1)^ + y (x + y e-*"72) e-*1 (9.182) První člen na pravé straně představuje zřejmě vlnu levotočivou a druhý vlnu pravotočivou. Rozklad je znázorněn na obr. 9.31. Obr. 9.31. Rozklad lineárně polarizované vlny na dvě kruhové polarizované vlny 9.3.5. Kruhové polarizátory V tomto odstavci se budeme zabývat způsoby vytváření kruhově polarizované vlny z vlny lineárně polarizované ve vlnovodu kruhového průřezu. K tomu je nutné lineárně polarizovanou vlnu rozložit na dvě vzájemně kolmé složky se stejnými amplitudami a pak jednu oproti druhé fázově posunout o 90°. Z vidů v kruhovém vlnovodu se k tomu hodí dominantní vid TEU. Pro vytvořeni kruhově polarizovaných vln z vln lineárně polarizovaných se používají tzv. kruhové polarizátory. Kruhový polarizátor s dielektrickou lištou je znázorněn schematicky na obr. 9.32a, b. Na obr. 9.32a je nakresleno rozložení příčné složky elektrického pole @ smír Střeni Obr. 9.32. Kruhový polarizátor s dielektrickou liítou vidu TElt, která je polarizována lineárně. Rozklad intenzity pole na dvě vzájemně kolmé složky je znázorněn na obr. 9.32b. Obě složky Ej a E2 svírají s vektorem £ úhel 45°. Ve směru vektoru E2, tj. pod úhlem 45° ke svislé ose, je ve vlnovodu umístěna dielektrická liata, činnost tohoto typu polarizátoru lze vysvětlit zhruba tak, že se vlna E2 šíří v dielektrickém prostředí lišty, zatímco vlna £4 v prostředí vzduchovém, takže se vlna E2 oproti £( opožduje. Délka, tloušťka a permitivita dielektrické lišty musi být zvoleny tak, aby zpoždění bylo právě 90°. Všimněme si, že pro přizpůsobení je šířka líšty oboustranně zkosena. Hlavní nesnázi při návrhu tohoto polarizátoru je určení délky vlny ve vlnovodu, který je v podstatě v příčném průřezu nehomogenní. Jiný podobný typ polarizátoru dostaneme, nahradime-li dielektrickou lištu kovovou lištou (obr. 9.33). Činnost tohoto polarizátoru můžeme -opět zhruba vysvětlit tak, jakoby se vlnovod pro vlnu s intenzitou pole Et zúžil, čímž vzroste její fázová rychlost. Vlna s intenzitou pole £, fázově předběhne vlnu s E2. Délka a tloušťka lišty opět musí být určeny tak, aby vznikl fázový rozdíl 90°. j Ay/4_ | ^ ( JÁVŘ Obr. 9.33. Kruhový polarizátor s kovovou liStou Fázový rozdíl 90° může být dosažen i jinými Členy, např. pomocí kapacitního a indukčního kolíku nebo clonou ve vlnovodu. Zájemce o podrobnější výklad vytváření kruhově polarizovaných vln je nutné odkázat na speciální literaturu, např. [1], [3]. 9.3.6. Rozptylová matice kruhového polarizátoru Odvodíme nyní rozptylovou matici kruhového polarizátoru. Z hlediska dříve uvedené teorie by se mohlo zdát, že polarizátor je dvojbran, ale tak bychom nemohli vystihnout vlastnosti rozdílného chování polarizátoru ke dvěma vzájemně kolmým složkám intenzity elektrického pole. Budeme proto formálně předpokládat; že je polarizátor čtyřbran; první rameno pro Elt druhé rameno pro E2, ze třetího a čtvrtého ramene budou vlny jen vystupovat, a to s intenzitami pole £3 a E4, mezi nimiž bude fázový posun -903. Můžeme tedy pro vlny vstupující a vystupující psát b = e" 0 0 1 kde

n ® J-----*S Ux<0 I W,>0 %\ '/smířeni V.*..-i'*.. smery ota&ni i-T- t.-|f0 T 8 * 4 Oi*-. 9.5í. Kruhová polarizace magnetického pole vidu TEio v obdélníkovém vlnovodu Smysl otáčení vektoru magnetického pole vzhledem ke kladnému směru osy v zjistíme opět nakreslením časové posloupnosti polohy vektoru H tak, jak to je, znázorněno na obr. 9.36. Z něj vyplývá, že přímá vlna má magnetické pole v rovině Xi Ievotočivé vzhledem ke kladnému směru osy y. Vzhledem k podélné symetrii je pole v rovině x2 pravotočivé. Pro zpětnou vlnu jsou oba směry otáčení v rovinách xx a x2 opačné. K určení smyslu otáčení zvolíme např. ve (9.187) a (9.188) z = 0 a uvážíme směry polí v různých časových okamžicích kolem hodnoty / = 0. K tomu účelu položíme tíx = }H = Re fj/f e5"*] = - H sin col lif = H = Re [// e'""] = H cos raf (9.194) (9.195) Přímá vlna: Zpětná vlna: V rovině x — : levotočivá pravotočivá V rovině x — x2. pravotočivá levotočivá Pomocí kruhově polarizovaných magnetických vln lze vysvětlit některé jevy v mikrovlnných obvodech. V obvodech s izotropním prostředím např. směrovost křížové odbočnice se dvěma otvory. V obvodech nerecipročních např. nereciproční rezonanční absorpci nebo činnost hvězdicového cirkulátoru apod. (viz odst. 10.4.2). 9.4. ANALÝZA MIKROVLNNÝCH OBVODŮ METODOU ORIENTOVANÝCH GRAFŮ V analýze lineárních obvodů se soustředěnými parametry se často používá metoda orientovaných grafu (také někdy nazývaná metodou grafů signálových toků). Tuto metodu můžeme úspěšně použít i při vyšetřování obvodů s rozloženými parametry. Zopakujeme nejdříve některé základní pojmy používané v této metodě. Orientovaný graf je tvořen soustavou uzlů, které reprezentují všechny nezávisle i závisle proměnné veličiny obvodu, tzv. uzlové signály. Uzly jsou navzájem spojeny orientovanými větvemi, které vyjadřuji vztahy mezi příslušnými uzlovými signály (tzv. přenosy větví), šipka na větvi směruje od nezávisle proměnné k závisle proměnné veličině. Tak např. přenos tkj vyjadřuje větev mezi j-tým a k-tým. uzlem,, s orientací (šipkou) ve stejném směru. Uzlový signál Ä-tého uzlu xk]e určen algebraickým součtem signálů vcházejících vetví, tedy J-t pro k= 1,2,3,... kde n je počet větví vcházejících do k-tého uzlu. Tento vztah můžeme vyjádřit orientovaným grafem podle obr. 9.37. Obr. 9.37. 9.4.1. Definice základních pojmů a jejich grafické interpretace Větev je přímá spojnice dvou uzlů (obr. 9.38a). Vlastní smyčka je větev, která začíná a končí v temže uzlu (obr. 9.38b). Cesta je spojení souhlasně orientovaných větvi mezi dvěma uzly (obr. 9.38c). 312 313 2sL -o <3z 0) b) *3 o i) f) t« *32 h) OAř. 9.38. Přímá cesta je cesta, v níž se každý uzel vyskytuje jen jednou (obr. 9.38d). Smyčka (smyčka prvního řádu) je cesta, která má shodný počáteční a koncový uzel (obr. 9.38e). Přenos přímé cesty je dán součinem přenosů všech větví přímé cesty. Na obr. 9.38d to je /41 = /21ř42. Přenos smyčky je součin přenosů všech větví smyčky. Přímý graf má pouze přímé cesty. Smyčkový graf obsahuje alespoň jednu smyčku nebo vlastní smyčku (např. graf na obr. 9.45). Zřídlo je uzel, který není koncovým uzlem žádné větve. Větve z něj pouze vystupují (obr. 9.38f). Nora je uzel, který není počátečním uzlem žádné větve. Větve do nory pouze vstupují (obr. 9.38g). Smyčka n-tého řádu je tvořena n smyčkami prvního řádu, které nemají společné uzly. Na obr. 9.38h je znázorněna smyčka druhého řádu. Přenos smyčky n-tého řádu ŕ*"' je roven součinu přenosů jednotlivých « smyček prvního řádu. Na obr. 9.38h to je ř(2) = t2Xtí2t4it34. jcunouutuc úpravy ortentuvanyen graiu K zjednodušení orientovaného grafu používáme některé operace, z nichž uvedeme pouze základní. 1. Reziduálni graf přímého grafu je tvořen pouze dvěma uzly a jedinou větví. Libovolný přímý orientovaný graf můžeme převést na reziduálni graf. Uzly rezi-duálního grafu odpovídají těm uzlům původního grafu, jejichž vzájemný přenos vyšetřujeme. Přenos spojovací větve reziduálního grafu je roven součtu přenosů všech přímých cest mezi vyšetřovanými uzly. Tuto úpravu vysvětlíme na příkladu. o- 1 -o 4 b) Obr. 9.39. Orientovaný graf na obr. 9.39a převedeme na reziduálni graf mezi uzly 1 — 4. Podle definice jsou v tomto grafu tři přímé cesty s přenosy ^ = t2ít32U3, t2 = = '21*42 i'i = Í3i'*3- Výsledný přenos reziduálního grafu na obr. 9.39b je tedy *R = 'l + h + l3 = '21*32f43 + hlUz + ř31ř43 2. Inverze je vzájemná záměna závislých a nezávislých veličin, tj. záměna počátečního a koncového uzlu větve nebo cesty. Inverze izolované větve (tj. větve, k jejímž uzlům není připojena žádná další větev) spočívá ve změně orientace větve a změně přenosu větve na reciprokou hodnotu původního přenosu (obr. 9.40). o- +2L Obr. 9.40. Invertujeme-li neizolovanou větev, pak se kromě orientace a přenosu změní i ty větve grafu, které původně končily v koncovém uzlu neinvertované větve. Po inverzi budou tyto větve končit v novém koncovém uzlu invertované větve a jejich původní přenosy je nutné vynásobit přenosem invertované větve s opačným znaménkem. Přiklad inverze neizolované větve mezi uzly - x2 je znázorněn na obr. 9.41. Uzlový signál x2 (závisle proměnná) před inverzí je x2 — ^21^1 "t" t 15as a po inverzi této větvě bude uzlový signál jct (nová závisle proměnná) 1 tlí '26 xt —~~x2 , xs — '21 ■ X6 + f13X3 t21 314 315 *6 Obr. 9.41. Jf5 Obr. 9.42. 1-thk Obr. 9.43. 3. Rozštěpení vnitřního uzlu grafu. Každý vnitřní uzel grafu (uzel, který není ani norou, ani zřídlem) lze rozštěpit na dva uzly, na něž pohlížíme jako na samostatné uzly. Příklad rozštěpeni je na obr. 9.42, kde je rozštěpen uzel x2. 4. Vyloučení vlastní smyčky a smyčky. Vlastní smyčku v uzlu xk s přenosem tkK nahradíme rezidualnim grafem mezi uzly x'k a x"k s přenosem 1/(1 — rt») podle obr. 9.43. Vyloučení vlastní smyčky a vnitřního uzlu je postupně naznačeno v obr. 9.44. ~ o~ t?1 1 1-ta fot. 32 '3? -o — 2Z 9.4.3. Určování hledaných veličin Po sestrojení grafu obvykle hledáme přenos mezi dvěma uzly grafu bud1 postupným zjednodušováním, nebo použitím Masonova vzorce. Tento vzorec umožňuje přímý výpočet přenosu mezi zřídlem a libovolným uzlem grafu bez předběžných úprav. Přenos /í0 mezi zřídlem x0 a libovolným uzlem x; grafu je dán 316 f t-.n = k (3) kde A je determinant grafu, t(f přenos /-té smyčky n-tého řádu, tk přenos &-té přímé cesty i r, do x,, Ak determinant té části grafu, jejíž ^ větve se nedotýkají uzlů k-tě přímé cesty. ij^j Obr. 9.45. Použití Masonova vzorce objasníme příkladem výpočtu přenosu mezi uzly x0 a x2 v grafu na obr. 9.45. Daný graf obsahuje osm smyček prvního řádu s přenosy ,<1> = l6 — '13'31> ll — '22 j ,<>) (D _ 3 — tV — ř12f23'31 ! '5 — '23*32! Z těchto osmi smyček prvního řádu nemá 6 dvojic smyček společný uzel, tj. graf obsahuje 6 smyček druhého řádu s přenosy *l2) - t t • 'l — í11j22j l5 — I22'13I31> .(2>_, f . •2 — <11'33> ř22ř3 ŕ(1>-f t t *4. — Ml ř2 V* .(2) _ '6 — *33r12*21 V grafu jsou dále 3 smyčky, které nemají společný uzel neboli tzv. jedna smyčka třetího řádu s přenosem Determinant grafu podle Masonova vzorce je tedy d = 1 — /[ j — hl ~ f13 ~ tlltl\ ~ '23*32 — hlhl ~~ 'l2^23r31 — 'l3r32ř21 "Ť 'llř22 + '11*33 + '22*33 H" 'llř23'32 + í22í13,31 + + hihlf2l ~ 'n'22'33 Ze zřídla xa do koncového uzlu x2 jsou v grafu dvě přímé cesty. I. přímá cesta: x0 — xt — x2 s přenosem tt — J2i. Determinant části grafu nedotýkající se této cesty je Ax — \— t33. II. přímá cesta: x0 - xL — x3 - x2, s přenosem r2 = /31ř33 a determinantem 4a = 1. 317 ťo dosazeni do Masonova vzorce dostaneme nieoany prenos /20 — —-- 9.4,4. Řešení mikrovlnných obvodů metodou grafů V tomto odstavci uvedeme několik příkladů aplikace metody grafů k řešeni mikrovlnných obvodů. PŘÍKLAD 1: Grafický převod normovaných rozptylových parametrů mikrovlnného dvoj bránu na normované admitanční parametry. oj Obr. 9.46. Orientovaný graf mikrovlnného dvojbranu popsaného vztahy (9.45), (9,33) a (9.34) je na obr. 9.46a. Máme tedy převést vztahy přičemž Vj = ay + bj-ij = *}. - b, í/=l,2) na tvar ^1 ~ Sllal S12a2 b2 — 82181 + 822*2 ii = yn»i + yi2u2 »í = ľll»l + y22«2 V těchto posledních dvou rovnicích jsou veličiny ut a u2 známé, tj. v terminologii metody grafů jsou to zřídla, Z toho důvodu musíme v grafu na obr. 9.46a invertovat větve 8] - «! a a2 - a2. Z takto získaného grafu (obr. 9.46b) můžeme pomocí Masonova vzorce snadno vyjádřit admitanční parametry dvojbranu yu yi2 = yj2 ii [ = (i 4- s22)(l -s„) + s12s21 "l |Uí=0 (1 + SllX1 + S2í) - S12S21 =_2fii_ »2 L=0 (1 +SM)(1 +S12) -S12S2l *2__2s21___ "i Bl = o (1 + 9ti)(l + 922) -S,2S21 Í2 = (1 +Slt)(l - S22) + S12S21 «2 11, =0 (1 + sn)(l + s22) - s12s2, 1 ivjn.i.niy i. vjíiEiimvauy grai tiyxuranu. Soustava rovnic získaná rozepsáním vztahu (9.45) pro čtyřbran může být reprezentována orientovaným grafem podle obr. 9.47, Je-li tento čtyřbran magické T, pak z (9.136) vyplývá sn = s22 = s33 = s44 =s,2 = s34 = 0 a graf se zjednoduší na tvar podle obr. 9.48. Na příkladu výpočtu přenosu mezi některými rameny můžeme ukázat přednosti použití popisované metody. ťa S33 °3 SK \%3 f22 50, Obr. 9.47. Obr. 9.48. Máme vyšetřit přenos mezi rameny 3 a 4 magického T napájeného do třetího ramene, jsou-li k ramenům 1,2 a 4 připojeny zátěže s činiteli odrazu qlt q2 a e4. Podle obr. 9.49 platí vztahy bi = si3»3 + s14a4; a, = b2 = s23a3 + s24a4; a2 = g2b2 b3 = Sji«t + s32*i; a4 = S<*4 b4 = s41a! + s42a2 ; Obr. 9.49. Řešením těchto rovnic dostaneme pro přenos mezi rameny 3 a 4 výraz r„ - -=- = s23Í?2S4-2 + S13gls41 1 - e4(rlS4iS14 + 02S42S2+) Použijeme-li Masonův vzorec, dostaneme výsledek rychleji: 1. v grafu jsou dvě smyčky prvního rádu s přenosy eiS4ie4si4 a ť?2s42e4s24, takže determinant grafu je a = 1 — q1&41q4s1^ - f22s42£4s24. 2. V grafu jsou dvě přímé cesty a3 — b4 s přenosy s2J£2s42 a Si^GiS^. 318 319 uetenninaniy času graiu neaoiyícajicicn se lecmo cest jsou a, = zi2 = i. uosaai-me-li dílčí výsledky do Masonova vzorce, bude se konečný výsledek shodovat s výsledkem získaným analyticky, Je však zřejmé, že použití metody grafů vede k cíli podstatně rychleji. Další příklady použití metody grafů viz např. [10]. Literatura ke kapitole 9. [1] Montgomery, C. G.-Dicke, R. H.-Purcell, E. M.: Principles of Microwave Circuits, New York, McGraw- Hill Book Corap. 1948. [2] Hanka, L.: Teorie elektromagnetického pole, Praha, SNTL 1975. [3] Altman, J. L.: Microwave circuits. New York, D. Van Nostrand Comp. Inc. 1964. [4] Boudouris, G. — Chenevier, P.: Cepi svérchvysokfch častot (překl. z franc). Moskva, Sovět- skoje radio 1979. [5] Feldštejn, A. L. — Javič, L. R.: Sintéz četyrechpoljusnikov i vosmipoljusnikov na SVČ. Moskva, Izd. Svjaz 1971. [6] Montgomery, C. G.: Technique of Microwave Measurťtnents. New York, McGraw-Hill Book Comp. 1947. [7] Vrba, J.: Měřeni na centimetrových vlnách, díl I. Praha, SNTL 1958. [8] Sazonov, D. M-Gridin, A. N. — Mi fust in, B. A.: Ustrojstva SVČ. Moskva, Vysšaja Škola 1981. [9] Helszajn, J.: Passivnyje i aktivnyje cepi SVČ (překl. z angU Moskva, Radio i svjaz 1981. [10] Silajev, M. A.-Brjaneeo, S. F.: PriloŽe nije matric i grafov k analizu SVČ ustrojstv. Moskva, Sovčtskoje radio 1970. [11] Kvasil, B.: Teorie prostorových 2«-pólů. Praha, Academia 1967. [12] Tysi. V.: Obvody a technika velmi vysokých kmitočtů II. Skriptum. Praha, Ediční středisko ČVUT 1983. X ■i 3 "1U. Mikrovlnné nereciproční obvody 10.1. OBECNÉ VLASTNOSTI NERECIPROČNÍCH MIKROVLNNÝCH OBVODŮ V této kapitole se budeme zabývat šířením elektromagnetických vln v anizotropním prostředí, a to v tzv. gyrotropním prostředí. Anizotropie tohoto prostředí je způsobena precesním pohybem mikroskopických magnetických dipólů nebo elektrických nábojů. Prostředí, v němž je permeabilíta tenzorovou veličinou a permitivita skalární veličinou, nazýváme gyromagnetickým a prostředí, v němž je naopak permitivita tenzorovou veličinou a permeabilíta skalární veličinou, nazýváme gyroelektrickým. Představitelem gyroelektrického prostředí je např. ionosféra v magnetickém poli Země. Představitelem gyromagnetického prostředí jsou ferity — syntetické magnetodíelektrícké materiály. 10.1.1. Složení a struktura feritů Ferity jsou feromagnetické látky s velkou rezistivitou [g = (IQ4 až 10*) íí . m, sr — 8 až 17, tg S = 10~2 až 10~3]. V podstatě jsou to sloučeniny kysličníků trojmocného železa a některého dvojmocného kovu typu MOFe2Oa, kde M znamená některý dvojmocný kov (Mn, Ni, Co, Mg apod.). Jejich vlastnosti závisejí na krystalické struktuře. Ferity mohou být polykrystalícké i mono krystalické. Zmíněné typy feritů krystalují v kubické mřížce minerálu spinelu, bývají proto nazývány ferospinely. Zvláštní skupinu mezi magnetickými polovodiči tvoří ferity1) vzácných zemin se strukturou granátu 3 M203. 5 Fe203, kde M je symbol prvku vzácných zemin (Y - yttrium, Gd — gadolinium atd.). Nejčastěji používaný je monokrystalický yttrioželeznatý ferit2) Y3Fe3(FeOi)3 pro svou vysokou kvalitu (velmi úzká rezonanční křivka). Polykrýstalické ferity se získávají spékáním a mechanickými vlastnostmi se podobají keramice. Monokrystaly se vyrábějí krystali-zací z roztoku nebo krystalizaci z taveniny (metoda Verneuilova). V současné praxi mikrovlnných obvodů se používá mnoho různých typů feritů. J) Názvem ferit se v naší technické praxi označují všechny ferimagnetické nebo feromagnetické látky uvedeného typu. Rozlišují se pouze ferity se spinelovou, granátovou nebo hexagonální strukturou. V americké literatuře se jako ferity označuj! pouze sloučeniny se spinelovou strukturou. 2) V anglosaské literatuře bývá tento typ feritu označován zkratkou YIG (Yttrium Iron Garnet). 320 321 i\a zaver aoaejme, ze v pol y Krystalických tentecíi se amzotropie vyvoláva pomocí vnějšího magnetického pole, kdežto monokrystalické ferity jsou anizotropní i bez tohoto pole. 10,1.2. Rozdělení obvodů s ferity Mikrovlnné obvody s ferity mohou být rozděleny v podstatě do dvou skupin. V první skupině jsou nereciproční zařízení: gyrátory, izolátory a cirku-látory. Jsou definovány takto: Gyrátor je nereciproční dvojbran, u něhož v jednom směru šíření vlny nastává fázový posun o 180°, kdežto ve směru opačném je fázový posun nulový. Schematicky je tento dvojbran znázorněn na obr. 10.1a. 7T c) d) 0br jqj^ Izolátor je nereciproční dvojbran, který propouští elektromagnetickou vlnu v jednom směru téměř bez útlumu, kdežto ve směru opačném vzniká velmi velký útlum. Dodejme k tomu, že útium ve směru opačném není způsoben odrazy. Název „izolátor" vznikl z jeho nejpřirozenější aplikace — izolace generátoru od odrazů způsobených zátěží. Jeho schematické označení je na obr. 10.1b. Cirkulátor je nereciproční přizpůsobený trojbran (nebo Čtyřbran), v němž přenos energie nastává jen v jednom směru. Energie přivedená do ramene 1 bude vycházet pouze z ramene 2, energie vstupující ramenem 2 vystoupí pouze ramenem 3 atd. Jiný přenos než v uvedeném sledu není možný (obr. 10.1c). Cirkulátor s n rameny lze vytvořit ze dvou cirkulátorů s (n + 2)/2 = n/2 + 1 rameny. Na obr. 10.Id je čtyrramenný cirkulátor vytvořený ze dvou třiramenných. Druhou skupinu mikrovlnných zařízení s ferity tvoří řídicí obvody — fázové posouvače, spínače a přepínací proměnné děliče výkonu a preladitelné filtry. Tyto obvody jsou ovládány proudem ve vinutí elektromagnetu magnetujících ferit. Z toho vyplývá, že rychlost ovládání těchto obvodů je omezena vlivem velké setrvačnosti magnetických obvodů. K dosažení vyšších spínacích nebo přepínacích rychlostí lze použít také feritové materiály s pravoúhlou hysterezní smyčkou, které iicpoircDuji tezKopaane irvaie magnety neoo elektromagnety. Tyto feritové součástky pracují ve dvojsměrném magnetickém poli vytvořeném vlastní remanencí po zmagnetování proudovým impulsem, který prochází vodičem vhodně umístěným přímo ve feritu. Převážná většina uvedených zařízeni pracuje v pásmu centimetrových vln. Použití feritů v pásmu decimetrových a milimetrových vln je také možné, avšak potíže s jejich konstrukcí již bývají značné. 10.2. GYROMAGNETICKÉ JEVY VE FERITECH 10.2.1. Feromagnetická rezonance Feromagnetickou rezonancí rozumíme rezonanční pohlcováni elektromagnetické vlny ve feromagnetické látce. Umístime-li ve vlnovodu feritovou tyčinku zmagnetovanou vnějším statickým magnetickým polem, bude vlna šířící se ve vlnovodu s feritem pohlcována. Velikost této absorpce závisí na úhlové frekvenci vlny to a na feromagnetické rezonanční úhlové frekvenci t»0. Rezonanční úhlovou frekvenci to0 lze měnit v určitých mezích změnou intenzity statického magnetického pole H0 magnetujícího ferit. Při to = t»0 je absorpce maximální. Jak uvidíme dále, je tato rezonance v podstatě rezonancí vlastních kmitů vektoru magnetizace. Z kvantové elektroniky víme, že elementárními nositeli magnetismu každé látky jsou spinové momenty elektronů. Oba spinové momenty, jak mechanický tak magnetický, jsou kvantovány. Magnetický moment spinu je roven Bohrovů magnetonu [l] ">SP=±/0m = ~yn0H0{m x z) (10.8) a z ní tři rovnice skalární )w0mx + ynoHottif = 0 -víto/ZořM* + } X Ho) Získaná vektorová rovnice je stručným zápisem tří rovnic skalárních s neznámými mz, my a m,, tedy jwmx + p0yH0my = noyM0hf -p.^yH0mx + jaw!, = -p^yM^K jwmt = 0 (10.18) Odtud řešením dostaneme pro složky vektoru vynucené magnetizace H0yM0h0 my = j m1 - úy2Hl a>p0yM0 I K - j to2 - h,- or - nfrHi (10.19) Z výsledku je zřejmé, že podélná složka střídavého magnetického pole vlny nemá na vynucené kmity vektoru magnetizace žádný vliv. Příčné složky intenzity magnetického pole hx a hr vyvolávají nejen paralelní, ale i kolmé složky magnetizace. Oba vektory h i m nejsou zřejmě paralelní tak, jak by to bylo v prostředí izotropním, Uvážíme-li tedy vztah (1.6), vyplývá z něj pro náš případ, že magnetická susceptibilita x je veličina tenzorová. Složky tohoto tenzoru můžeme napsat v maticovém tvaru kde 326 X -JZa 0 ooo (10.19a) x = - Poy2M0H0 oj1 - úy2Hl X, = QiHoyMo 2 2 2 >j2 Použijeme dále vztah mezi permeabilitou a susceptibilitou, který můžeme pro tenzorové veličiny psát formálně zcela stejně jako pro veličiny v izotropním prostředí (i = /i0l + poZ (10.20) kde i je jednotkový tenzor, jehož složky lze vyjádřit pomocí jednotkové matice (viz vztah C.5 matematického dodatku). Tenzor permeability pak má tvar 0 ' (10.21) P 0 ~iP» P 0 0 Po Vezmeme-li v úvahu, že o0 — fí0yHn a položřme-li a>M = p.0yM0 (M0 má stejný rozměr jako H0), můžeme psát složky tenzoru permeability ve tvaru JL Po 1 - 2 2 Ol — 0)„ P> Po (10.22) Z obou vztahů je jasně vidět, že složky tenzoru permeability mají rezonanční charakter. Při rezonanční úhlové frekvenci odnímá feromagnetické prostřed! vysokofrekvenčnímu poli část energie, která se spotřebuje na krytí ztrát způsobených tlumením precese. Tenzor permeability odvodil Polder a publikoval jej v r. 1949 [3], Bývá proto v literatuře označován jeho jménem. Rozbor vlastnosti tenzoru permeability Závislost složek tenzoru permeability na intenzitě magnetického poleje znázorněna na obr. 10.4 [5], Měření se obvykle provádějí při konstantní pracovní úhlové frekvenci a>, takže veličina (o0lp0Hz; SHZ Čy 3HX dz dHy dx dH ôz dH Ôx m y = jcueEj. = jweE,, (10.33) dy - = )ů>£Ez rrcupuiviítucjme uaie, ze sc vma sin tc amt«u iítiuiu vugjmuu magnetiCKeno poie H0 = Haz a že nezávisí na souřadnicích a: a v. Z Maxwellových rovnic pak vyplývá, že vlna nemá podélné složky intenzit polí, tedy Ez=^ Hz — 0. Řešeni předpokládejme ve tvaru H = {Hxx + HfY)c'<,0''tz> E = (E^x + EyY)^'yz) (10.34) kde y je zatím neznámý součinitel šíření. Předpokládaná řešeni jednotlivých složek intenzit polí dosadíme do Maxwellových rovnic (10.33) a dostaneme yHy = (ůbEx ; yEy = -2£paHx Odtud vyplývá (10.35) (10.36) (y1 - 2t*fl + lO Veličina y má tedy dvě hodnoty (10.37) (10.37) y+ = Ti = (a^/E(fi - na); y' = y2 = wv'e(řt + íO což znamená, že se v daném směru z mohou šířit nezávisle na sobě dvě vlny s různými rychlostmi a s různými složkami intenzit polí. Fázové rychlosti těchto vln jsou 1 (10.38) v, 'fU.2) - Vl,2 js(fl + /tj Je zřejmé, že feritové prostředí má v tomto případě pro oba typy vln různé efektivní permeability /ieft = V- p - n*; (10.39) Tyto vztahy se shodují se vztahy (10.31) a (10.32). To svědčí o tom, že obě dílčí vlny jsou kruhově polarizované. Nemusí mít stejnou amplitudu. Jsou-li amplitudy obou kruhově polarizovaných vln nestejné, je výsledná vlna polarizovaná elipticky. Během Šíření nastává pootáčení hlavních os této elipsy, protože fázové rychlosti obou dílčích vln nejsou stejné. Jsou-li amplitudy obou dílčích vln stejné, je výsledná vlna polarizována lineárně a opět během šíření nastává u výsledné vlny stáčeni roviny polarizace jako důsledek rozdílné rychlosti obou vln. Pro úplnost ještě dodejme, že jedna vlna se součinitelem šíření může být při splněni podmínek rezonance w = to0 ve feritu intenzívně pohlcována. 330 331 ji m nuMijr u i j ^ r it J JJVJUrJ 1LHVV V odstavci 9.3.4d bylo ukázáno, že každá lineárně polarizovaná vlna může být rozložena na dvě vlny kruhově polarizované, a to pravotočivou a levo-točivou. Rozklad je znázorněn na obr. 9.31. Šírí-li se takové dvě vlny ve feritovém prostředí, mají obě vlny různé fázové rychlosti [viz (10.38)] a dochází k jejich fázovému posunu. Fáze výsledné vlny se sice nezmění, ale rovina polarizace bude pootočena o určitý úhel. Tímto způsobem vysvětlujeme tzv. Faradayuv jev, jehož podstata spočívá v natáčeni roviny polarizace, šíří-li se lineárně polarizovaná vlna feritem ve směru statického magnetického pole. Určíme nyní velikost úhlu natočeni roviny polarizace a ukážeme, že Faradayuv jev je nereciproční. Zjistíme vztah mezi složkami intenzity magnetického pole obou vln tak, že do jedné z rovnic (10.36) dosadíme (10.37) Uy - ±\HX (10.40) Dosadíme-li tento výsledek do první rovnice (10.34), dostaneme vlnové funkce obou vln ve tvaru Pravotočivá vlna Levotočivá vlna íí+ = Jřfx - jy)e*",_7**> H~ = H(\x+}y)e>ío'-y'z) (10.41) Z toho snadno určíme úhel natočení roviny polarizace. Vektorovým součtem obou intenzit pole dostaneme vlnu polarizovanou lineárně. Sečteme je nejdříve v místě' z = 0 a pak znovu po proběhnutí vzdálenosti z — L Vynecháme-li časový činitel eia\ bude v počátku H|I=D = H+ + H" |I=0 = 2Jíx (10.42) Ve vzdálenosti z — l bude výsledná intenzita magnetického pole HU, - H+ + H" U, - H[(x - jy)e-irt| + (x + jy^"1] = = /7e-j(í"+lft,,/2[íx-a po úpravě H = 2f/e-*^ + ) + W2[ Skládání polí v místech z jy)eJ + (* +jy)e ] X cos y - y I + y sin- 2 2 (1043) O a z ~ l je graficky znázorněno na obr. 10.7. Veličina (10.44) (10.45) vyjadřující úhel pootočení roviny polarizace na jednotk u déJky dráhy vlny se nazývá Faradayova konstanta. Faradayuv jev je nereciproční. Pozorujeme-li vlnu šířící se ve směru vektor" H0z konstantního magnetického pole tak, že se od pozorovatele vzdaluje, pak se při /ía > 0 rovina polarizace natáčí ve směru hodinových ručiček. Při šíření proti směru vektoru H0z se změní znaménko složky tenzoru permeability a pozorovatel zjistí u vzdalující se vlny otáčení roviny polarizace proti směru hodinových ručiček, Faradayova konstanta je v tomto případě záporná. Směry otáčeni roviny polarizace jsou znázorněny na obr. 10.8. t ^ 1 *>" v r * >• sr.iřr Itřem Obr. 10.8. Nereciprocnost Faradayova jevu Obr. 10.9. Kruhová polarizace magnetického pole mimořádné vlny Obr. 10.7. Faradayuv jev 10.3.2. Dvojlom a příčná feromagnetická rezonance V tomto odstavci budou analyzovány jevy vznikající ve feritu, šíří-li se v něm vlna ve směru kolmém k vektoru HQz statického magnetického pole. Kdybychom měli řešit tuto úlobu se zcela obecným směrem vektoru intenzity elektrického pole oproti vektoru H0z, bylo by řešení složité a nepřehledné. Rozdělíme proto řešení na dvě dílčí řešení: vektor intenzity elektrického pole je rovnoběžný s H0z a vektor intenzity elektrického pole je kolmý na H0z. Vyšetříme tedy nejdříve vlnu, jejíž vektor intenzity elektrického pole je rovnoběžný s vektorem Haz, tedy E = Ezz. Vlna nechť se šíří ve směru osy x (obr. 10.9). Položíme v (10.33) Ex — Ey = 0 a parciální derivace veličin podle vaz nechť jsou také rovny nule. Řešení předpokládáme opět ve tvaru H = (Hxx + Hyy)E = £lZ e-"* (10.46) Časový činitel eim byl vynechán a hledáme neznámý součinitel šířeni y. Po dosazení do Maxwellových rovnic (10.33) dostaneme y H- —coeEz tiHx = i^H, (10.47) yEz - -(d(ittaHx + uHy) 332 333 ĺ arune rovnice je zrejme, ze sieoovana nnearne potanzovana vina ma siozku intenzity magnetického pole Hx ve směru Šíření a ta je fázově posunuta oproti příčné složce Hr o 90°. Magnetické pole této vlny je tedy elipticky polarizováno. Vektor H svým koncem opisuje při šíření vlny elipsu v rovině xOy (obr. 10.9). Vyloučíme-li z (10.47) nejdříve Ez, můžeme pak ze zbývajících dvou rovnic vypočítat součinitel šíření této vlny, tedy Efektivní permeabilita vystupující v této rovnici 2 2 V- - ut (10.48) (10.49) obsahuje složku /ja tenzoru permeability v druhé mocnině a proto se (ic{t nemění se změnou znaménka H0. Popsaná vlna se nazývá vlnou mimořádnou*) jako analogie mimořádného paprsku v optice. V druhém dílčím řešení je vektor intenzity elektrického pole kolmý k vektoru intenzity statického magnetického pole H0z, tj. £ = Eyy, Ex= Ez — 0, parciální derivace podle vaz jsou nulové a tak z (10.33) vyplývá H = H,z. Předpokládáme-li, že obě složky £y i Hz mění se vzdáleností s činitelem e~'yX, pak po dosazení do (10.33) dostaneme takže yHz = (oeE ; yE = 2 - to1)2 a>0wM 2 2 m — a>0 3) Světelný paprsek se při průchodu čirým krystalem islandského vápence rozděluje na dva paprsky, řádný a mimořádný. Tento úkaz se nazývá dvojlom. ťo jeno uprave dostaneme i*±_ = i _ (cop 4- <ům) 0>m co - ai0(to0 + toM) Z tohoto vztahu je zřejmé, že rezonance nastane, když ftL = uoyM0, Je rezonanční úhlová frekvence Oj. = J Xm. Vstupuje-U vlna ramenem 3, transformuje se vid TE10 na TEU v kruhovém vlnovodu s takovou polohou vektoru intenzity elektrického pole, že v rameni 1 by mohl být vybuzen pouze vid TE01. Vlna se tedy šiří směrem k ramení 4, ve feritu se pootočí o 45° a pod ramenem 4 bude mít takové uspořádání, že toto rameno může být vybuzeno žádoucím polem TE10. Z toho je zřejmé, že přenos nastává ve směru ramen 1 -* 2S-* 3 -* 4 -+ 1. \ Při změně směru pole vnějšího magnetu nastane přenos v opačném sledu 1 -* 4 -* -> 3 -* 2 -* 1. Při realizaci bývá izolace mezi neprůchodnými rameny v mezích 20 dB až 30 dB a ztráty v průchozím směru 0,1 dB až 0,5 dB. Izolátor s Faradayovou rotací je schematicky znázorněn v podélném průřezu na obr. 10.11. Je sestaven z úseku vlnovodu kruhového průřezu, v němž je uložena iviiLuva lyviu&a iuiaguciuvaím jjvu&iiis puitui ynvjaiinj uvaieuu magneiu. (JDOU- stranné kuželové zakončení tyčinky slouží k impedančnímu přizpůsobení. Délka tyčinky je opět zvolena tak, aby natočení roviny polarizace bylo 45°. Kruhový vlnovod přechází na obou stranách roviny spojitě ve vlnovod obdélníkového průřezu, přičemž obdélníkový vlnovod na pravé straně je pootočen oproti levému vstupnímu vlnovodu o 45°. Ve vlnovodových přechodech jsou umístěny dielektrické destičky s povlakem odporové vrstvy. Elektrické pole vstupní vlny TE10 je kolmé k ploše destičky, takže její vliv na šířeni (útlum) je zanedbatelný. Vid TEj0 se plynule transformuje na TEt i v kruhovém vlnovodu. Po průchodu feritem se rovina polari- Obr. 10.11. Schéma podélného průřezu izolátoru s Faradayovou rotaci zace natočí o 45°, vlna projde opět vlnovodovým přechodem s druhou odporovou destičkou bez podstatných ztrát do výstupního obdélníkového vlnovodu, poněvadž její elektrické pole je kolmé k ploše destičky. Vlna postupující v opačném směru (odražená od zátěže) je feritem pootočena o 45° tak, že její vektoi intenzity elektrického pole je rovnoběžný s levou odporovou destičkou. Energie zpětné vlny je tedy v destičce intenzívně pohlcována. Neabsorbovaná Část vlny nemůže vstupní obdélníkový vlnovod vybudit, poněvadž má konfiguraci vidu TE01 s Xm = 2b; vstupní vlnovod by pracoval v podkritickém stavu (/ < /m). Předností obvodů s podélně magnetovaným feritem je poměrně malá intenzita magnetujícího pole H0 (ferit musí pracovat mimo oblast rezonance). Nevýhody spočívají v těžkopádnosti vlnovodových přechodů a v obtížnosti odvodu tepla z feritu a z odporové destičky. 10.4.2. Obvody s příčně magnetovaným feritem Umístíme-lí v pravoúhlém vlnovodu feritovou destičku tak, aby nezaplňovala celý průřez vlnovodu, můžeme při jejím příčném zmagnetování pozorovat stejné neieciproční jevy jako v neomezeném gyromagnetickém prostředí, které byly popsány v odst. 10.3.2. Je to příčná nereciproční feromagnetická rezonance, nereciproční fázový posuv a nereciproční rozložení intenzity polí v příčném průřezu ; vlnovodu. 336 4 337 iKi/im vi v yt týfusu jci i/rnugricduAUM f Cí.vtiUIH,l* T pi CUl/lia£GJlWl Eld^J. 7 9.3.7) bylo ukázáno, že v obdélníkovém vlnovodu s vlnou TE10 jsou dvě podélné roviny, v nichž je magnetické pole šířící se vlny kruhově polarizováno. Vložíme-li do jedné z těchto rovin feritovou destičku příčně magnetovanou, bude mít ferit na vlny ve vlnovodu stejný vliv jako magnetodielektrický izotropní materiál, jehož permeabilita závisí na magnetujícím poli a na směru šíření (viz obr. 10.6b) Křivka n"+ pro pravotočivou vlnu má rezonanční charakter, zatímco pro fi"~ nikoliv. Musíme proto destičku vložit do vlnovodu tak, aby pro přímou vlnu nenastávala rezonanční absorpce. Pak tedy podle obr. 9.36 musíme umístit destičku v místě x — Příčný průřez takového izolátoru je znázorněn na obr. 10.12. Ferit se magnetuje polem trvalého podkovovitého magnetu. Zvláštností rezonančních izolátorů je to, že absorpce zpětné vlny nastává přímo ve feritu. Použití tohoto způsobu izolace tedy závisí na možnostech chlazení feritu. Pro zvětšení šířky frekvenčního pásma a pro zvýšeni výkonových parametrů bylo vyvinuto velké množství různých modifikací této metody. Obr. 10.12. Rezonanční Obr. 10.13. Průřez koaxiálního izolátor rezonančního izolátoru Koaxiální rezonanční izolátor, jehož příčný průřez je znázorněn na obr. 10.13, pracuje na stejném principu jako předcházející typ izolátoru. K tomu je však nutné vytvořit podélnou složku vysokofrekvenčního magnetického pole a tím vytvořit kruhovou polarizaci magnetického pole. Vlna v souosém vedení je typu TEM. Částečným zaplněním příčného průřezu vedení dielektrikem s velkou permitivitou lze dosáhnout transformace vlny TEM na hybridní vlnu s podélnou složkou magnetického pole. Přímá vlna má magnetické pole s levotočivou kruhovou polarizaci, zatímco zpětná má magnetické pole s pravotočivou kruhovou polarizací, takže je ve feritu pohlcována. Koaxiální rezonanční izolátory mají výhodu velké šířky frekvenčního pásma. Dosažitelná šířka pásma může být až jedna oktáva. Izolátor s posunem pole v pravoúhlém vlnovodu je znázorněn na obr. 10.14. Feritová destička je umístěna ve vlnovodu v rovině x — Xi, v niž je magnetické pole přímé vlny piavotočivě kruhově polarizované. Intenzita příčného magnetujícího pole H0 se zvolí tak, aby permeabilita feritu p+ pro pravotočivou vlnu byla íapvuia. yvtí. uui. iw.ua, uuu o), ran. i. ^io.joj vypiyva, ze součinitel siřeni y — — —jy i je ryze imaginární a z (10.34) je zřejmé, že se vlna ve feritovém prostředí nešíří, pole je tedy z feritu vytlačeno4). Průběh intenzity složky elektrického pole Er přímé vlny je znázorněn na obr. 10.14 [6], Zpětná vlná je v rovině x = xz levo-točivě kruhově polarizovaná. Pro ni má ferit permeabilitu n~ > 0 (bod A na obr. 10.6a). Následkem větších hodnot u~ a e je zpětná vlna pomalá, takže má na rozhraní ferit — vzduch charakter povrchové vlny. Rozloženi intenzity elektrického pole Ey této vlny má jiný průběh, jak je zřejmé z obr. 10.14. Toto nereciproční rozložení pole se využije ke konstrukci izolátoru tak, že se na povrch feritu upevní destička s odporovou vrstvou, v níž je pole zpětné vlny pohlcováno, zatímco přímá vlna zůstává téměř nedotčena. Izolátory tohoto typu mají výhodu váhově lehčího magnetu (H0 < w0/n0y) a větší šířky frekvenčního pásma. Pro obtížný odvod tepla mohou však pracovat jen s malými výkony. Obr. 10.14. Izolátor s posuvem pole Obr. 10.15. Nereciproční (wo ŕ fiisyHt,), Grivet 16] fázový posouvač Nereciproční posouvač fáze s příčným magnetováním je znázorněn schematicky v přičném průřezu na obr. 10.15. K jeho činnosti je opět využita existence kruhově polarizovaného magnetického pole s různým smyslem otáčení a závislost perme-abilít feritových destiček na magnetujícím poli a na smyslu otáčení vektoru pole, podobně jako u předcházejících obvodů. Místo trvalých magnetů jsou použity elektromagnety k plynulé změně fázového posunu změnou magnetujícího proudu. Posouvač fáze je nereciproční, neboť smysl otáčení magnetického pole v destičkách je rovněž nereciproční. Ke zvětšení fázového zdvihu a ke zmenšení délky destiček jsou použity obvykle dvě destičky magnetované v opačných směrech [3]. Fázový posun je možný i pomocí jedné destičky, avšak se dvěma destičkami zůstává prostorové uspořádání pole ve vlnovodu symetrické ke střední vertikální rovině a tato vlastnost je velmi výhodná pro přizpůsobení vstupu a výstupu posouvače. *) To vyplývá z předpokládaného tvaru řešení podle (10.34). Předpokládá-li se řešení ve tvaru (2.9), pak vychází, že podmínkou siření vlny je imaginární nebo komplexní veliŕina y (jak bylo uvedeno v ČI. 2.1). 338 339 Hvězdicový cirkulátor je typem cirkulátoru, který z mikrovlnných obvodů vytlačil všechny ostatní typy díky své konstrukční jednoduchosti. Popis principu jeho činnosti je však o to nesnadnější. Nej po užívanější je tfiramenná modifikace nebo také tzv. cirkulátor Y v rovině „H" (obr, 10.16). Magnetující statické pole vytvářejí diskové trvalé magnety. Princip činnosti můžeme stručně vysvětlit opět pomocí kruhově polarizovaného magnetického pole v obdélníkovém vlnovodu. Dílčí vlny odpovídající oběma polím mají vzhledem k různým permeabilitám /í+ a /i~ při průchodu feritem různé fázové rychlosti. Rozměry a parametry feritu je třeba zvolit takovým způsobem, aby vlny přicházející z ramene J byly na vnitrním vstupu ramene 2 ve fázi a na vstupu ramene 3 v protifázi. Výsledné pole v rameni 3 je tedy nulové. Tímto způsobem je tedy zhruba dosaženo toho, že vlna vstupující ramenem 1 vystupuje ramenem 2. Vzhledem k rotační symetrii cirkulátoru lze právem očekávat, že^vlna vstupující ramenem 2 bude vystupovat ramenem 3 atd. Dielektrický kroužek obklopující feritový disk zlepšuje provozní charakteristiky cirkulátoiu. Dielektrické kolíky v jednotlivých ramenech pak slouží k přizpůsobení vstupních vlnovodů. Pracovní šířka frekvenčního pásma u vlnovodové varianty cirkulátoru dosahuje až 30 %, kdežto v páskovémp rovedení lze dosáhnout až jedné oktávy. Obr. 10.16. Cirkulátor Y ve vlnovodovém provedení Literatura ke kapitole 10. [1] Bfochincee, D. 1.; Osnovy kvantovoj mechaniki, 4. vyd. Moskva, Izd. Vysšaja Škola 1963. [2] Hanka, V.: Teorie elektromagnetického pole. Praha, SNTL 1975 (str. 250). [3] Lax, B. — Button, K. /.: Svěrchvysokočastotnyje ferrity i ferrimagnetiki (překl. z angl.). Moskva, Izd. Mir 1965. [41 Mikaeljan, A, L.: Teorija i primeněnije ferritov na SVČ. Moskva, Gosenergoizdat 1963- [5] Gareeič, A. C: Ferrtty na svěrchvysokich íastotach. Moskva, Fizmatgiz 1960. [6] Grivet, P.: The Physics of Transmission Lines at High and Very High Frequencies, Vol. 2. Microwave Circuits and Amplifiers. London, Academic Press 1976. [7] Hogan, C. L.: The Ferromagnetic Faraday Effect at Microwave Frequencies and its Applications — the Microwave Gyrator. Bell Syst. Tech. Journal 1952, £. 1, str. 1-31. 18] Fox, A. G. — Miller, S. E.-Welss, M. T.; Svojstva ferritov i jich primeněnije v diapazoně SVC (prifci. z ang). Moskva, lid. Sov. radio 1956. [9] Nejedlý, Z: Hvězdicový cirkulátor, SI. obzor 1964, í. 2, str. 85. [10] Sazoi??, D. M.-G'idin, 4. N.-Mišus tin, B. A: Ustrojstva SVČ. Moskva, Izd. Vysšaja škola 1981. 340 11. Mikrovlnné integrované obvody Přibližně do r. 1965 byly téměř ve všech mikrovlnných zařízeních používány vlnovody, souosá vedení nebo pásková vedení. Jednotlivé obvodové součástky byly vytvořeny vždy z částí nebo úseků zmíněných typů vedení. Aktivní součástky, jako mikrovlnné elektronky, směšovací diody, tunelové diody, varaktory a spínací diody, byly upraveny konstrukčně tak, aby mohly být v mikrovlnných obvodech vyměniteíné, tj. byly vždy, nějakým způsobem upevněny v pouzdrech. Mikrovlnná zařízení v tomto provedení mela mnoho výhod spočívajících ve snadné opravitelnosti, v nastavitelnosti parametrů, v odvádění tepla apod. Nevýhodné však byly rozměry, hmotnost, příkony a výrobní náklady. Úspěšný rozvoj planární polovodičové techniky a zejména pak rozvoj obvodové techniky kovových pásků na ploché dielektrické podložce (substrátu) dal vznik integrované technice i v mikrovlnných zařízeních. Vznik mikrovlnných integrovaných obvodů (MIO) je jedním z nejvýznamnějšich pokroků v mikrovlnné technice. V současné době se technikou MIO konstruují mikrovlnná zařízení na malé a střední výkony (řádově uW a mW), a to jak s pasivními obvody, tak i s obvody s polovodičovými součástkami nebo s ferity. Oblast velkých výkonových úrovni zůstává stále vyhrazena klasické vlnovodové nebo koaxiální technice. Mikrovlnné integrované obvody lze realizovat pomocí součástek se soustředěnými nebo rozloženými parametry, popř kombinací obou typů, přičemž základní kritéria pro toto rozdělení zůstávají v platnosti tak, jak bylo uvedeno v první kapitole. Provedení MIO může být dvojí: monolitické nebo hybridní. 11.1. MONOLITICKÉ MIKROVLNNÉ INTEGROVANÉ OBVODY Monolitické mikrovlnné integrované obvody (MM TO) představují nej vyšší stupeň miniaturizace. Jsou vyrobeny z polovodiče, který slouží jako dielektrická podložka pro mikropáskové vedení. Současně se na této podložce vytvářejí pasivní obvodové součástky (L, C, R) a aktivní polovodičové součástky (tranzistory, diody apod.). Tyto součástky se zhotovují vhodnou technologií jako je epitaxe, iontová implantace, naprašování, naparování, difúze nebo jejich kombinace. Příklad provedení epi laxní vrstvy v substrátu je znázorněn na obr. 11.1. Základni polovodičový substrát musí přitom zabraňovat vzniku parazitních vazeb a zároveň má mít co 341 nejmensi ziraty. v nízkotrekvenčnich obvodech nehrají ztráty tak důležitou roli jako při mikrovlnných frekvencích. Izolace mezí jednotlivými pivky může být při nízkých frekvencích vytvořena tzv. plošnou izolací, a to tak, že každá součástka je obklopena přechodem PN polovaným v závěrném směru. Jiná provedení izolace jsou např. dielektrická izolace nebo izolace pomocí polykrystalického křemíku. vrstva SlOj oihropásík ///////W/ä$rWrWwA n GaAs zemnici deska Obr. 11.1. Epitaxní vrstva v substrátu GaAs s velkou rezistivjtou q Tyto způsoby jsou však na velmi vysokých frekvencích nepoužitelné vzhledem k velkým parazitním kapacitám. V mikrovlnném pásmu musí být v monolitických obvodech použita izolace odporová. Podložky musí mít velmi velký odpor. Jako materiál pro podložku se používá křemík s velkou rezistivitou (q — 103íí .cm) nebo arsenid galia (p = 106 íí. cm). Protože se mikrovlnná energie Šíří v polovodičové podložce monolitického obvodu, musí mít materiál podložky při mikrovlnných frekvencích malé dielektrické ztráty. Důsledkem použití polovodičových substrátů s velkou rezistivitou je velký poměrný útlum MMIO. Naopak zase realizace pasivních i aktivních součástek bez parazitních vlastností pouzder a přívodů umožňuje dosáhnout velké širokopásmo-vosti obvodu (až několik oktáv) a vysokých pracovních frekvencí (několik desítek GHz). Realizace prvků se skutečně soustředěnými parametry je obtížná vzhledem k parazitním jevům daným přítomností zemnící desky pří malé tloušťce substrátu (0,1 mm). Jako vodiče pro spoje a mikropásková vedení se v MMIO používají kombinace molybdenu a zlata nebo titanu a zlata, přičemž první kov je adhezní a druhý vodivý. výkonový traniistor Ft7erty elektnck^rn j ole m \^ rezisto r můstek křiíem vodiiS 1 kapací tor ciikropasek 7 Obr. 11.2. Náčrt průřezu hypotetického MMIO Tloušťka vodivého kovu musí být přibližně 3krát až 5krát větší než hloubka vniku vf proudu. Příklad provedení hypotetického MMIO je na obr. 11.2. Na závěr je nutné poznamenat, že od r. 1980 se začíná technika MMIO velmi prudce rozvíjet zejména pro účely družicových komunikací a radiolokaci [I], [2], 11.2. HYBRIDNÍ MIKROVLNNÉ INTEGROVANÉ OBVODY V hybridních MIO jsou pásková vedení vytvářena na dielektrických podložkách a pasivní součástky a aktivní polovodičové součástky se k těmto vedením připojují ve tvaru zapouzdřených nebo nezapoudřených vsazovacích součástek (čipů) pájením nebo ultrazvukovým svařováním. To umožňuje optimalizaci aktivních součástek a obvodů z mikropáskového vedení nezávisle na sobě. Základním stavebním prvkem hybridních MIO je dielektrická podložka — substrát. Substrátem se šíří převážila část energie elektromagnetické vlny a tím jsou ťány velmi přísné požadavky na jeho vlastnosti: — Velká poměrná permitivita (er * 10), jejíž hodnota musí být konstantní v celém používaném rozsahu frekvencí a teplot. Zmenšení rozměrů obvodů je úměrné zkrácení vlnové délky v dielektriku, tj. úměrné hodnotě lA/e,. — Co nejmenší Činitel ztrát tg ô (řádově 10"4). — Velká čistota materiálu. — Konstantní tloušťka podložky a velmi hladký povrch, — Velká rezistivita, velká tepelná vodivost, malá teplotní roztažnost a dobiá adheze pro nanášené vodiče. — Všechny zmíněné parametry musí být během zpracování obvodu dostatečně stabilní. Takové požadavky splňují jen některé materiály. Nejčastěji se používá tzv. korundová keramika (99,5 % A1203). Další vhodný materiál je safír (monokrystal A1203). Jejich nevýhodou je malá tepelná vodivost, takže se nehodí pro výkonové MIO. Z hlediska tepelné vodivosti je výhodná beryliová keramika (99,5% BeO). Její výroba je však drahá, neboť práškový BeO je jedovatý. Ke konstrukci nerecipročních obvodů lze použit feritové substráty. Z feromagnetických materiálů jsou pro tyto účely vhodné yttrioželeznaté granáty (YIG) nebo lithné ferity, u nichž lze dosáhnout větší nasycené magnetizace. Rozměry čtvercových substrátů1) jsou 25 mm x 25 mm, 50 mm x 50 mm, 75 mm x 75 mm. Jejich tloušťky jsou h — 0,635 mm, 1 mm a 1,4 mm. Drsnost povrchu 0,05 mm, teplotní roztažnost 6. 10"* K"1, odchylka rovnobežnosti plochr 0,02 mm. Tolerance délky hrany 0,05 mm a tolerance tloušťky ±1 %. Elektrické parametry. er = 9,9 až 10 a tg<5 = 1 . 10"*. Z ilustrativního výčtu je vidět, že tyto parametry jsou téměř na hranici technologických a výrobních možností. ') Výrobce VÚEK Hradec Králové. 342 343 .ivinviwtiio suusiraiu se nanasi tzv, vodivý motiv mající tvar požadovaného páskového obvodu. Opačná strana substrátu se obvykle pokrývá souvislou vrstvou vodivého kovu. Tato vrstva tvoří zemnici desku. Pro nanášeni vodivých motivů na substráty byly z techniky nízkofrekvenčních IO převzaty obě technologie, jak tlustovrstvová, tak i tenkovrstvová. V technice MlO oba rozdílné názvy postrádají svůj smysl, poněvadž bez ohledu na použitou technologii musí být tloušťky vodivých vrstev třikrát až pětkrát větší než je hloubka vniku. Tlustovrstvová technologie spočívá v nanášení vodivé pasty na substrát přes masku a jejím následujícím vypálení. Tenkovrstvová technologie spočívá ve vakuovém naparování. Vodivé motivy jsou do konečného tvaru upraveny leptáním. U obou technologií musí být nanesené vrstvy zesíleny elektrolytickým plátováním. Vodivý motiv se skládá z několika vrstev. První vrstva je opět adhezní. Vazba mezi substrátem a adhezní vrstvou je chemická. Redukční kov, např. Cr nebo Ti, je oxidován ohřátým substrátem. Druhou vrstvu tvoří čistý chrom. Třetí vrstva je tvořena dobře vodivým kovem. Na třetí vrstvu je teprve nanesen vlastní vodič — nejčastěji zlato nebo měd. Vrstva Cr mívá tloušťku 0,01 um až 0,03 um, zatímco Cu nebo Au má tloušťku 2 um až 10 um. Další podrobnosti viz např. [1], [3]. 11.3. MIKROVLNNÉ INTEGROVANÉ OBVODY S ROZLOŽENÝMI PARAMETRY Základním obvodem hybridních MíO a M MlO jsou tzv, mikropásková vedeni. Jsou to v podstatě pásková vedení vytvořená na dielektrické podložce pro hybridní obvody nebo na polovodičové podložce pro MMIO. Ke konstrukci nerecipročních MIO se jako podložky používají ferity. Běžně používané druhy mikropáskových vedení jsou znázorněny na obr. 11.3. Nejčastěji používaným typem je nesymetrické mikropúskové vedení podle obr. 1 l.3a. Cílem jeho různých modifikací je potlačení některých nežádoucích vlastností. Ve sliněném vedeni (obr. 11.3b) je zabráněno vyzařování. V technologicky náročné modifikaci (obr. 11.3c) je odstraněna příčná nehomogennost původního vedení. Mikropáskové vedení na polovodičovém substrátu pro účely MMÍO má povrch pokryt tenkou izolační vrstvou Si02 k pasivaci povrchu, tj. k zabránění nebo potlačení prosakujících proudů (obr. 11.3d). Nevýhodou nesymetrického mikropásku je obtížné připojování paralelních součástek, což vyžaduje vyvrtání otvoru v podložce (obr. 11.3e). Dalším typem vedení pro hybridní MIO je symetrické mikropáskové vedení znázorněné na obr. 11-3f. V porovnání s nesymetrickým vedením má menší ztráty vyzařováním. Stíněné mikropáskové vedení se zavěšeným substrátem podle obr. 11.3g se vyznačuje vysokou jakostí. V porovnání se stíněným vedením podle obr. 11.3b se zde v dielektriku šíří jen menší část elektromagnetické energie, takže toto vedení má velmi malé dielektrické ztráty. Může být tedy použito ke konstrukci mikrovlnných obvodů s velkým činitelem jakosti. Další lypy mikropáskových vedení jsou znázorněny na obr. 11.3h až k. Jsou to postupně štěrbinově vedeni, 344 mikropáskových vedeni. 777777ť///////, n) b) á) e) i) 9) h) i) Ohr. 11.3. Typy mikropáskových vedeni 11.3.1. Nesymetrické mikropáskové vedení Toto vedení se v hybridních MIO a MMIO používá nečastěji. Z; 10 maximálně o 1 %. Vlnová impedance pro vedení s £t # 1 se v těchto aproximacích stanoví pomocí efektivní permitivity £ef, kterou již ve svých pracích zavedl Wheeler. Platí tedy podle Schneidera pro mikropásek s nulovou tloušťkou U = 0) 60 /8h ^ b \ b 120ti kde + 2,42 - 0,44-r + b £, + 1 6,-1 1 + 10 (11.8) (11.9) b Zavedením pojmu efektivní permitivita sef je velmi jednoduchým způsobem kvantitativně vystižena skutečnost, že se vlna šíří dvěma prostředími. Efektivní permitivita (relativní) je s vlnovými impedancemi vázána vztahem « Z0v VÍT Vztah (11.9) vyjadřují její hodnotu s přesností asi 2 %. Vlnová délka na vedení může být také vyjádřena pomocí ec( vztahem (11.10) (11.11) yíoilc pro vínovou impedanci pian pro nuiovou iiousrku pasKU. lenio predpoklad je v mnoha případech oprávněný, při některých výpočtech však tloušťku pásku zanedbat nelze. a) Oprava na nenulovou tloušlku pásku Vliv skutečné tloušťky páskového vodiče {t / 0) lze respektovat v analýze tak, že se do vzorců (11.7) a (11.8) dosadí místo šířky pásku b hodnota b' = b -f &br kde Áb je korek sre h lit nebo ., i / r . 2/i i Aí> = — —- 1 + ln- pro b i í r, , 4jtí>i * , Áb = — 1 + In- pro -— > b > 2t (11.12) (11.13) Při návrhu mikropáskového vedení se postupuje tak, že se šírka vodiče vypočítaná podle (11.7) a (11.8) zmenší o Aŕ> a tím zastane vlnová impedance Z0 nezměněna. b) Oprava na disperzní jevy Nahlédnutím do (11.7) a (11.8) zjistíme, že vzorce pro výpočet vlnové impedance jsou frekvenčně nezávislé. Tato skutečnost je způsobena tím, že byly odvozeny pomocí aproximace kvazi-TEM. Bylo již řečeno, že tato aproximace nerespektuje disperzní vlastnosti mikropásku. Vlna šířící se podél tohoto vedení je však vlna HEM, takže jeho disperzní vlastnosti se musí projevit a také se projevuji na frekvencích vyšších než 6 GHz až 8 GHz. Aby byly dříve uvedené vzorce použitelné i pro případ disperze, navrhl Schneider vyjádřeni frekvenční závislosti efektivní permitivity et( ve tvaru kde (11.14) (11.15) Nahradíme tedy ve všech předcházejících vztazích (11.7), (11.8) a (11.11) hodnotu eef hodnotou eet(f). Výsledky měření ukazují, že při tom se vypočítané výsledky liší maximálně o 3 % od skutečnosti. Výhodou rovnice (11.14) je její jednoduchost a snadný výpočet sef(f). Praktickou frekvenční hranicí bude frekvence, při niž nastane vyzařování z vedení nebo vybuzení vyšších (vlnovodových) vidů v mikropáskovém vedení [7]. Frekvenční opravu uvádí více autorů. Přehledný a podrobný popis disperzních jevů viz např. v [6], c) Ztráty v mikropáskovém vedení Ztráty v nesymetrickém mikropáskovém vedení vznikají v dielektriku, ve vodičích a vyzařováním. Ztráty v dielektriku jsou vzhledem k používaným jakostním dielektrikům (tg S sa 10~4) malé a tvoří asi 20% celkových ztrát. Ztráty vyzařo- 348 349 váním nejsou doposud zcela exaktně popsány a oyvaji nejcasicji uvjvci připojení mikropásku k napájecímu vedení. Toto vedení bývá do 18 GHz koaxiální a nad touto hranicí vlnovodové. Ztráty v dielektriku (dB . m~l) lze podle [1] vypočítat ze vztahu f£rtsb dsef A, = 27,3- (11.16) t-Eet der Tento vzorec opět odvodil Schneider. Efektivní permitivita eff> je dána vztahem 01.9). Ztráty ve vodičích jsou podle Schneidera [5] dány vztahy b/h g 1 (11.17) A = 6,12. 10-*-^ Z, V*., ~(*M*)'('-tf]' (11.18) v těchto vztazích je j?vf = %/o}fi0j2o~ poměrný vysokofrekvenční odpor vodičů s konduktivitou a a Bb 1 , 2h -?- - —ln — ; 6t n t db i , 4nŕ ^— = — ln — Čt K í 2rt > b > 2t 2n (11.19) (11.20) 11.3.2. Štěrbinové vedení Štěrbinové vedeni je tvořeno dvěma neomezenými vodiči umístěnými na jedné straně substrátu (obr. 11.6). V praktickém provedení bývá šířka páskových vodičů padesátkrát i vícekrát větší než šířka štěrbiny mezi nimi. Poněvadž analýza takového vedení je velmi složitá, omezíme se pouze na popis tohoto vedení. Štěrbinové vedeni se pro přenos energie používá velmi zřídka. Mnohem užitečnější je využití jeho zvláštních vlastností ke konstrukci některých obvodů a zařízení. Stojí kovové voriile Subítroi Obr. 11.6. Štěrbinové vedení 350 m cium&u, íc rezonanční steroiny i štěrbiny s postupnou vlnou byly použity již ve čtyřicátých letech ke konstrukci primárních zářičů v anténních systémech. První analýzu štěrbinového vedení vypracoval Cohn [4]. Cílem takové analýzy je určení vlnové impedance Z0 a vlnové délky na vedení xvS. Vedeni nemá mezní frekvenci (tom = 0) a šířící se vlna je typu HEM. Má-li být štěrbinové vedení použi- N s \ f c) Obr. H.7. Prostorové rozložení polí a proudů ve Štěrbinovém vedení ('V je posuvný proud v dielektriku) 351 teľné, musí být ztráty vyzařováním sníženy na minimum, řvimimamino vyzařovaní dosáhneme použitím substrátu s velkou relativní permitivitou Er Tím se dosáhne toho, že vlnová délka na vedení bude velmi matá v porovnání s vlnovou délkou volného prostoru. Vlna podél vedeni bude mít vlastnosti povrchové vlny s energií soustředěnou v největší blízkosti štěrbiny a ztráty vyzařováním budou minimální. Např. je-li e, = 20, pak 2, * 1/3 a z analýzy vyplývá, že intenzita pole je velmi utlumena již ve vzdálenosti r — 1/8, tj. 12,5 mm při frekvenci 3 G Hz [4]. Prostorové rozložení pole ve štěrbinovém vedení je znázorněno na obr. 11.7 ve třech pohledech. Mezi pásky je napětí. Elektrické poťe leží v rovině nákresu na obr. II.7a. Magnetické poleje kolmé k rovině štěrbiny. Vzhledem k tomu, že je mezi pásky napětí, je takové rozložení pote velmi výhodné pro připojování různých součástek (jako jsou diody, rezistory a kapacitory) pouhým přemostěním Štěrbiny. Pohled v obr. 11.7b na podélný průřez štěrbinového vedení ukazuje, že se siločáry magnetického pole ve vzduchu nad Štěrbinou zakíivují a vracejí se nazpět ke štěrbině v půlvlnných intervalech. Důsledkem toho je, že vlna sířící se podle vedení, má elipticky polarizované oblasti, což lze využít kc konstrukci feritových zařízeni (např. nereciproční fázové posouvače). Proudové dráhy na vodivé ploše pásků (obr. 11.7c) ukazují, že hustota povrchového proudu je největší podél štěrbiny a rychle se zmenšuje se vzdáleností od štěrbiny. Štěrbinové vedení umožňuje zajímavé aplikace pro MIO v kombinaci s nesymetrickým mikropáskovým vedením. Mikropáskové vedení je umístěno na jedné straně substrátu a na jeho druhé straně je štěrbinové vedení. Příklady takové kombinace vedení jsou uvedeny v odst. 11.3.7 a 11.4.2. 11.3.3. Koplanární vedení Koplanárním vedením rozumíme páskové vedení, jehož všechny vodiče leží v jedné rovině, tj. na jedné straně podložky, Ve smyslu této definice náleží mezi koplanární vedení i vedení štěrbinové popsané v předcházejícím odstavci. Do této skupiny vedení náleží dále třívodičové koplanární vedení (obr. 11.8a) a dvou- lemiia. desky kovové vodíte substrát střední vadli! Obr. 11.8. Koplanární vedení a) třívodičové, b) dvouvodicové 352 vodičové symetrické koplanární vedení (obr. 11.8b). Dvouvodicové koplanární vedení může být modifikováno do nesymetrického tvaru rozdílnou šířkou pásků. Štěrbinové vedení se však vzrůstajícím rozsahem praktických aplikací i rozvojem teorie postupné z této skupiny osamostatnilo. Koplanární vedení poskytují výhodu snadné paralelní montáže součástek do struktury, aniž by bylo nutné vrtat do podložky otvory. Dominantním videm třívodičového i dvouvodičového koplanárního vedení je vlna HEM s nulovou mezní frekvencí. Při nízkých frekvencích ji lze nahradit vlnou kviizi-TEM. Prostorové uspořádání polí v obou vedeních v přiblíženi kvazi-TEM jc na obr. 11,9a, b. — W a) b) Obr. i 1.9. Prostorové rozložení potí v koplanárním vedení a) v třívodičovém, b) ve dvouvodičovém Metody řešení koplanárních vedení k určení Z0, X, a disperzních jevů jsou však velmi složité. Vzhledem k omezenému rozsahu učebnice se jimi nemůžeme zabývat. Zájemce odkazujeme na citovanou literaturu, např. [4], [61. 11.3.4. Porovnání vlastností páskových vedeni Symetrické páskové vedení (obr. 11.3f), v němž se využívá dominantní vid TEM, se vyznačuje oproti vedením na podložkách větší šířkou frekvenčního pásma a větší možnou úrovní přenášeného výkonu. Jeho výroba s nejčastěji používanou vlnovou impedancí Z0 = 50 íl nečiní potíže, pokud má sloužit pouze pro přenos energie nebo ke konstrukci zařízení s rozloženými parametry (směrové odbočnice, děliče, filtry apod.). Montáž přídavných součástek, ať již aktivních nebo pasivních, je obtížná. Používané dielektrikum mívá menší hodnotu &r. Poměrný útlum tohoto vedení se Z0 = 50 £1 bývá přibližně 0,1 dB . cm"1. V páskových vedeních s dielektrickým substrátem je používána jako dominantní vid vlna HEM. Přímým důsledkem disperzních jevů, které na těchto vedeních vznikají, je omezení použitelné šířky frekvenčního pásma. Rozsah vlnových impedancí, jichž lze u páskových vedení dosáhnout, je dán šířkou pásku nebo šířkou mezery mezi pásky. Podle Pučela [2] lze dosáhnout šířky mikropásku bmin — 5 um až do bmíX = xv/8. Těmto hodnotám odpovídají dosažitelné hodnoty Z0 od 10 SI do 100 £1 pří frekvenci/ = 10 GHz. Rozsah dosažitelných hodnot Z0 u štěrbinového vedení je 55 fi až 300 íi, u dvouvodičového koplanárního vedení 40 íl až 250 íl 353 a u třívodičového koplanárního vedení 25 fi až 125 Q. Disperze, íj. závislost vf na frekvenci, je nejmenší u mi kro páskové ho vedení, střední u koplanárního a nej-větší u štěrbinového vedení. Ztráty jsou v podstatě dány převážně ztrátami ve vodičích. NejmenSími ztrátami se vyznačuje míkropáskové vedení. Koplanární vedení se vyznačují většími ztrátami v důsledku větší koncentrace nábojů a proudů v blízkosti hran vodičů. Typická hodnota poměrného útlumu mikropáskového vedení ze Z„ =- 50 íi na podložce s £r = 10, h = 1 mm, tg ô = 5 . 10"1 při frekvenci lOGHzje přibližně 0,15 dB cm"' [1]. 11.3.5. Vázaná vedení Ke konstrukci směrových odbočnic, filtrů a fázových posouvačů v mikrovlnné integrované technice se používají tzv. vázaná vedení. Vázanými vedeními rozumíme dvě jednoduchá vedení (popsaná v předcházejících odstavcích), která jsou umístěna paralelně vedle sebe tak blízko, aby mezi nimi vznikla elektromagnetická vazba. Různé způsoby vazby dvou symetrických páskových vedení jsou uvedeny na obr. 11.10. Analýza a syntéza těchto vedení je dostatečně propracována [6], [9]. II Obr. 11.10. Různé způsoby vazby vázaných symetrických vedení "Nejčastěji se používají vázaná štěrbinová vedení a vázaná mikropásková vedení znázorněná na obr 11,11a, b. Vedení jsou tvořena třemi vodiči. Vázané Štěrbinové vedení má všechny tri vodiče na jedné straně substrátu, zatímco vázané míkropáskové vedení má třetí vodič, tvořící současně zemnící desku, na opačné straně substrátu. b s b , -ŕfŕr t- a) Obr. 11.11. Vázáná vedení a) Štěrbinové, b) míkropáskové b) Z analýzy vyplývá, že ve vázaném mikropáskovém vedení se mohou Šířit dva dominantní vidy HEM s nulovou mezní frekvencí. Označujeme je jako sudý a lichý vid. Na nízkých frekvencích lze rozložení pole těchto vidů aproximovat sudým a lichým videm kvazi-TEM. Prostorové rozloženi polí obou vidů při aproximaci kvazi-TEM je uvedeno na obr. 11.12. Na vyšších frekvencích se oba vidy 354 - — sudý vid litr.v vid Obr. 11.12. Prostorové rozložení polí ve vázaném mikropáskovém vedení v aproximaci kvazi-TEM šíří současně s různými fázovými rychlostmi, tedy «f5 ^ va. Fázové rychlosti závisejí na rozměrech vázaného vedení a na permitivitě podložky s, stejně tak, jako vlnová impedance sudého vidu Z0i a vlnová impedance lichého vidu Z0I. Lze ukázat [10], že pro přizpůsobení zátěže Zk k takovému vedení musí platit (11.21) (11.22) kde As a ;.,jsou vlnové déiky sudého a lichého vidu na vedení. Je zřejmé, že vzhledem k různým fázovým rychlostem není obecně druhá podmínka splnitelná. Čím větší bude rozdíl me2i ^ a ).,, tím více bude zúženo použitelné frekvenční pásmo mikrovlnného obvodu, v němž je vázané vedení použito. Podél vázaného štěrbinového vedení se také mohou šířit dva dominantní vidy s nulovou mezní frekvenci. Oba vidy jsou opět typu HEM. Velikost vazby mezi oběma vedeními závisí na šířce í (viz obr. 11.11a) středního páskového vodiče. Odvozováním kvantitativního vyjádřeni poměrů ve vázaném štěrbinovém vedeni se pro jeho rozsáhlost nemůžeme zabývat. K usnadnění fyzikálních představ o rozložení polí obou vidů poslouží obr. 11.13. sudy vid tichý vid Obr. 11.13. Rozložení polí sudého a lichého vidu ve vázaném štěrbinovém vedení 113.6. Míkropáskové vedení na feritovém substrátu Feritové substráty v technice MIO se nejčastěji používají v nesymetrických mikropáskových vedeních. Šíření elektromagnetických vln ve feritovém prostředí bylo popsáno dostatečně podrobně v kap. 10. Zjistili jsme, že fyzikální jevy, vznikající pří šíření mikrovln 355 ternovým prostředím, jsou zavisie na smeru vnejsino magncncKeno poie magnetu-jicího ferit. Při šíření mikrovln podél mikropáskového vedení na feritovém substrátu nastává zcela podobná situace. Vzhledem k příčné nehomogenítě mikropásku s feritovou podložkou nemohou být Šířící se vlny typu TEM, ale jsou opét typu UEM. Analýza těchto vedení je ještě složitější a obecná teorie, která by vzala v úvahu všechny různorodé podmínky, nebyla dosud vypracována. Všechny veličiny potřebné k návrhu mikropáskového vedení s feritovou podložkou lze však zjistit s dostatečnou přesností aproximací kvazi-TEM [1]. V tomto odstavci velmi stručně popíšeme šíření zvláštního vidu podél širokého mikropásku na feritové podložce s příčnou magnetizací. Podle Hinese [11] můžeme předpokládat, že je-li horní páskový vodič dostatečně široký (b > fi), bude většina energie pole soustředěna ve feritu pod páskem a malý zbytek bude rozdělen do rozptylového pole na okrajích pásku. Je-li prostředí bezeztrátové a zanedbáme-li rozptylové poie (v prvním přiblížení), vede řešení Maxwellových rovnic k závěru, že výsledné pole šířící se vlny má pouze dvě složky intenzit pole Ey a Hx, tj, že vlna je typu TEM (11.23) A \ I* / kde (11.24) (11.25) (11.26) přičemž hodnoty p a pa jsou dány vztahy (10.22). Ze vztahů (11.23) a (11.24) vyplývá, že intenzita pole Ex exponenciálně klesá s rostoucí souřadnicí x. Energie pole je převážně soustředěna v blízkosti okraje pásku (x = 0). Vlna jakoby byla vedena hranou pásku, takže dostala název vlna vedená okrajem. Poněvadž ve veličinách a, a vystupují složky Polderova tenzoru permeability, je zřejmé, že rozložení pole je nereciproční. Průběh polí takového ' vidu ie na obr. 11.14. Vln vedených okrajem se používá ke konstrukci nerecipročních obvodů (izolátorů a ciikulátorů). Obr. 11.14. Průběh amplitudy intenzity elektrického pole vlny vedené okrajem. Hines 111] 356 I J .J* • • " v» ^ %. i ■ » mii\i vj.>ujny i j Vil T t U t 111. V tomto odstavci pojednáme o buzení mikropáskových a štěrbinových vedení. MÍO bývá obvykle součástí většího mikrovlnného zařízení, takže je nutné vyřešit přenos energie z běžného mikrovlnného vedení (vlnovodu, koaxiálního vedeni) do integrovaného obvodu na subst.átu. V podstatě tedy jde o konstrukci přechodu mezi různými typy vedení. Během vývoje MIO bylo vypracováno a experimentálně ověřeno velké množství různých přechodů. Zde budou popsány pouze nejjednodiišší a ncjpoužívanějšt konstrukce přechodů. Přechod souosé vedeni — symetrické mikropáskové vedení Tento přechod může být konstruován v axiálním provedení (obr. 11.15a) nebo v pravoúhlém provedení (obr. 11.15b). Souosé napájení je vhodné tehdy, je-li tloušťka dielektrika mikropáskového vedení b stejná jako vnitřní průměr vnějšího vodiče koaxiálního vedení. V obou vedeních se šíří vlna TEM, takže kompenzací parazitní kapacity v místě skokové změny rozměrů vedeni lze dosáhnout velké šířky použitelného frekvenčního pásma. Pravoúhlý typ tohoto přechodu je vhodnější pro nižší frekvence mikrovlnného pásma (/ < 3 GHz). vnjířní vodič , souosého vedeni JIL fT 1_. Til 't 11 W///////Ä \ Y////////////////////Á v) Obr. 11.15. Přechod souosé vedení — symetrické mikropáskové vedení a) axiální provedení, b) pravoúhlé provedení Přechod souosé vedení — nesymetrický mikropásek Nesymetrické mikropáskové vedení může být napájeno z koaxiálního vedení nebo z vlnovodu. Přechod nesymetrický mikropásek — souosé vedení může být opět axiální nebo pravoúhlý. Axiální provedení tohoto přechodu je na obr. 11.16a. Rozměry koaxiálních konektorů jsou přizpůsobeny k normalizovaným tloušťkám substrátů. Nejlepších výsledků lze dosáhnout, je-li výška substrátu stejná jako 357 v současné době zcela prevláda. Pravouhlý prechod (obr. 11.16b) se používa zřídka vzhledem k nutnosti vrtání otvoru do podložky. Vrtání otvoru do substrátu je nejen obtížné, ale i nákladné pro jeho tvrdost (u korundu 9. stupeň Mohsovy stupnice). U axiálního typu tohoto prechodu lze dosáhnout značné Šířky frekvenčního pásma; tak např. pro činitel stojatých vln < 1,1 lze dosáhnout 2 GHz až 8 GHz, 3 GHz až 10 GHz a 6 GHz až 13 GHz. x,!2 o) b) Obr. 11.16. Přechod souosé vedení — nesymetrický mikropásek a) axiální, b) pravoúhlý Přechod vlnovod — nesymetrický mikropásek Přes snahu konstruktérů nahrazovat vlnovody souosými vedeními zůstávají vlnovody v některých případech stále-nenahraditelné — v současné době přibližně od 18 GHz výse [3], Při konstrukci siiokopásmových přechodů vlnovod — pásek je nejúčelněji používat přechody s vlnovodem n. Při stejných rozměrech jako u obdélníkových vlnovodů, mají tyto vlnovody mnohem nižší mezní frekvenci. usek vlrwwufu ir Obr. 11.17. Přechod vlnovod — nesymetrické mikropáskové vedení Vlnovod n přechází stupňovitě (nebo spojitě) v obdélníkový vlnovod tak, jak je znázorněno na obr. 11.17. Vlnovod n je symetrický (v rovině „E"), takže v obdélníkovém vlnovodu se nemůže vybudit nesymetrický vid TEI0. Mezní vlnová délka vidu TE30 ve vlnovodu n je menší než ve vlnovodu obdélníkovém. Tato skutečnost umožňuje využit takový přechod prakticky v celém pásmu mezi mezními frekvencemi vidů TEJ0 a TE31 obdélníkového vlnovodu. Vlnová impedance výstupní časti vlnovodu n musí být rovna vlnové impedanci mikropáskového vedení a mezera mezi hřebenem a nižší stěnou vlnovodu musí bvt rovna tloušťce substrátu. Rozmery jednotlivých stupňů se určí z požadavku přizpůsobení v požadovaném frekvenčním pásmu, přičemž tato úloha je při návrhu základní. Přechod souosé vedeni — štěrbinové vedení Tento přechod podle Cohna [4] je vytvořen smyčkou z vnitřního vodiče souosého vedení (obr. 1 i. 18a). Smyčka jc připájena svým koncem fc jednomu vodiči štěrbinového vedení a vnější vodič je připájen k druhému vodiči. Uvážíme-li tozložení pole I -v a) h) Obr. 11.18. Přecliody na štěrbinové vedení a) axiální vedení - štěrbinové vedení, b) nesymetrický mikropásek - Štěrbinové vedení. Cohn [4] ve štěrbinovém vedení (obr. 11.7), je tato vazba magnetická. Pro lepší představu uvedeme výsledky [4]: Činitel stojatého vlnění byl menší než 1,2 v pásmu A/ = -■- 500 MHz na frekvenci / = 3 GHz. Vlnové impedance Zos = 75 íl, Z0 k„M = 50fi. Parametry substrátu: b = 0,787 mm, h 1.575 mm ac, = 16,0. Přechod nesymetrický mikropásek — Štěrbinové vedení Buzení štěrbinového vedení koaxiálním vedením narušuje planární koncepci MIO, takže tento způsob buzení štěrbinového vedení je méně vhodný. Užitečnější t t, (11.27) kde AI je korekce délky, Z0 je vlnová impedance a i\ je fázová rychlost. Hodnoty Ck pro různé z, substrátů a rozměrů míkropáskového vedení najdeme v [4]. Délka rezonujícího úseku vedení je tedy IJ2 I + 2AL 1 to o Obr. 11.19. a) Efektivní prodioužcr.í mikropásku naprázdno, b) rozptylové pole, c) ekvivalentní schéma. Sílveíter — Benedek [4] Přerušení vedení K oddělování stejnosměrného proudu v MIO s aktivními součástkami se používá příčná štěrbina v mikropáskovém vedení. Tato nespojitost je zobrazena i se svým náhradním schématem podle [4] na obr. 11.20. Známe-li vlastnosti otevřeného míkropáskového vedení, je pak náhrada takové štěrbiny článkem IT zcela pochopitelná, i když jiní autoři [4] nahrazují tuto nespojitost jednodušším modelem. Velikosti kapacit náhradního schématu najdeme opět v [4]. I I rovina T, t2 Obr. 11.20. Příčná štěrbina v mikropásku. Silvestr— - Benedek [4] Impedanční skok na vedeni Geometrické uspořádání a náhradní schéma této nespojitosti je na obr. 11.21. Závislost normované paralelní kapacity C!bt na rozměrech bjb2 nespojitosti pro různé hodnoty relativní permitivity eT substrátu lze najít v [4]. -1—l rovina T \ Obr. 11.21. Impedanční i skok na vedení. Silvestr-t -Benedek [4] Pravoúhlý ohyb mikropásku Geometrický tvar ohybu vedení a náhradní schéma je na obr. 11.22a. Závislost kapacity C na rozměrech vedeni je uvedena v [4]. Pravoúhlý ohyb vedeni je nepřizpůsobený na všech frekvencích a se vzrůstající frekvencí nepřizpůsobení vzrůstá. Nepřizpůsobení lze kompenzovat oříznutím rohu tak, jak je uvedeno na obr. 11.22b. Howe [7] uvádí, že optimální délka oříznuté hrany je bjb — 1,6 při Z0 = 50£L Ve stručnosti byly popsány nejčastěji se vyskytující nespojitosti na nesymetrickém mikropáskovém vedení. Ostatní důležité nespojitosti, jako členy T nebo křížení pásků atd., najde zájemce v citované literatuře. ! &l 4t 1 Obr. H.22. Pravoúhlý ohyb mikropásku a) náhradní schéma, b) kompenzace [4], f7) 11.4. MIKROVLNNÉ OBVODY A.SOUČÁSTKY V MIKROPÁSKOVÉM PROVEDENÍ V tomto článku budou stručně popsány některé pasivní mikrovlnné obvodové součástky používané v MIO. Témčr všechny součástky a obvody používané v klasické vlnovodové nebo koaxiální technice byly již zhotoveny v mikropáskovém provedení. Vzhledem k jejich velkému množství se omezíme pouze na typické představitele jednotlivých dTuhů prvků a obvodů. 360 361 ii.4.1. Mikropáskově rezonátory Rezonátory jsou v podstatě omezené prostory (uzavřené nebo otevřené), v nichž může na určitých frekvencích vzniknout stojaté vlněni. Nejjednodušší typ mikropáskového rezonátoru fze vytvořit z úseku vedení délky / = nXJ2 (n = 1, 2, 3, ...), který je na obou koncích zkratován nebo zakončen naprázdno. Zkratovaný mikropásek však není vhodný pro obtížnou realizaci zkratu, Z tohoto důvodu se výhradně používají úseky mikropásku na obou koncích otevřené nebo rezonátory diskové a prstencové (obr. 11.23). Rezonátor s velkou šířkou pásku o] M 0 d) Obr. 11.23. Mikropáskové rezonátory (obr. 11.23b) lze chápat jako „degenerovaný" páskový rezonátor. Zatímco na úzkém páskovém rezonátoru (obr. 11.23a) vznikají stojaté vlny pouze ve směru z, na širokém pásku může existovat současně stojatá vlna i ve směru x (příčném). ÉIřejmě však musí být jeho šířka rovna polovině vlnové délky nebo jejímu násobku. Rozložení pole je tedy závislé i na souřadnici x a bude složitější než na úzkém pásk u. Oscilace v diskovém rezonátoru (obr. 11.23c) mohou být interpretovány jako stojaté radiální vlny, které vznikají odrazy na okrajích a ve středu rezonátoru. Diskový rezonátor Určíme vlastní frekvence diskového rezonátoru. Vlastními frekvencemi rozumíme rezonanční frekvence nezatíženého rezonátoru, tj. bez vlivu vazby budicích pásků. Poněvadž přesná'řešení jsou velmi obtížná, budeme rezonátor idealizovat, čímž získáme pouze přibližné výsledky. V prvním přiblížení nahradíme skutečný rezonátor modelem podle obr. 11.24. Základny jsou tvořeny vodivými kotouči a plášť vytváří fiktivní magnetická stěna. Poloměr modelu r0 se předpokládá v prvním přiblížení stejně velký jako u skutečného rezonátoru. Rovněž tak i jeho výška h a permitivita materiálu ere0, jímž je objem rezonátoru vyplněn. Model vložíme do válcové soustavy souřadnic podle obr. 11.24b. Vzhledem k malé výšce rezonátoru v porovnání s vlnovou délkou (ve frekvenčním pásmu, které nás zajímá) mohou v něm vznikat pouze kmity nezávisející na souřadnici z. Tyto kmity bývají nazývány nulovými. Intenzita elektrického pole ve směru osy z může být vyjádřena ve tvaru Et = A 3„{kr) cos ntp (11.28) kde k = ravVo6oer Je vmové číslo. Pomocí Maxwellových rovnic můžeme vypočítat ze známé složky Ex složky intenzity magnetického pole ve tvaru n H. }O)fi0r k A Jn(kr) sin tup A J^(fcr) cos n

20 dB a činitel stojatého vlnění g 1,2. ccni6l(rte 'temnici desky ^ SiSrbino subs+rfft 1 spoUtny posek a) b) Obr. J 1.27. Mikropáskové odbočnice s rozdílenou 2emnfcí deskou a vazební kapacitou' de Rondě [4] Kruhová směrová odbornice Motiv tohoto typu odbočnice je na obr, 11.28. Délka středního obvodu prstence je 6Äv/4. Energie přiváděná do vstupního ramene / se rozdělí v poměru I : 1 do vedení výstupních, takže vazba C — — 3dB. Podle označení ramen má tato odbočnice směrovost druhého druhu (viz obr. 9.20). 3.U4 Obr. 11.28. Motiv kruhové smérové odbočnice [10] Větvová odbočnice Vodivý motiv větvové odbočnice je na obr. 11.29. Směrovost podle definice je prvního druhu. Vstupní energie (rameno /) se dělí opět v pomčru 1:1, takže vazba je také — 3 dB. Od předcházející odbočnice se liší tím, že vlny vystupující z ramen 3 a 4 jsou navzájem fázově posunuty o jt/2. S uvážením středních délek drah se snadno přesvědčíme, že rozptylová matice (je-li odbočnice totálně přizpůsobena) má tvar * — I V'2 602 1 P — 1 t------ so a o o i j' 0 0 j 1 1 j o o j 1 o o ■ sos 50£ (11.38) 50.Q H- 33 so a 3jvjiit jiamcsiiy. oirusy pascK na ientovem suostratu vedoucí svým okrajem vlnu je na vstupní i výstupní straně plynule zúžen k dosažení impedančního přizpůsobení. Na rozšířené části pásku je nanesena absorpční odporová vrstva. Tato vrstva nemá na vlnu Šířící se zleva doprava v přímém směru téměř žádný vliv, poněvadž pole této viny je převážné soustředěno pod spodním okrajem pásku. Vlna šířící se zprava doleva je touto odporovou vrstvou intenzívně pohlcována v důsledku nerecipročního rozložení pole. izolátor bývá také zapouzdřen [1], Cirkuláior v mikropáskovém provedeni Motiv tříramenného cirkulátoru typu Y na feritové podložce je znázorněn na obr. 11.34. Podložka však může být i dielektrická. Ferit v takovém případě má tvar disku se stejným poloměrem (není podmínkou) jako má kruhová sekce horního mikropásku. Do mikropáskových vedení bývají ještě zařazeny čtvrtvlnné impedanční transformátory. 50 mm řtvrtvlnnv ironsformímír vodivá vrstva řej A-A' Obr. 11.34. Mikropáskový cirkulátor typu Y s feritovým diskem v substrátu Tím jsme vyčerpali velmi stručný přebled MIO s rozloženými parametry. Je zřejmé, že nebylo možné zabývat se popisem všech možných variant MIO s rozloženými parametry. V současném stavu mikrovlnné integrované techniky by to vyžadovalo velmi rozsáhlou samostatnou publikaci. Domníváme se vSak, že k úvodu do problematiky MIO s rozloženými parametry probraný přehled zcela postačuje. 11.5, M V i_ IN LN Ľ i n J ĽUKUVAIN Ľ UJ3VUUY SE SOUSTŘEDĚNÝMI PARAMETRY V tomto článku se budeme zabývat popisem a použitím součástek se soustředěnými parametry v pásmu 1 GHz až 12 G Hz. Součástka se soustředěnými parametry je (podle definice) mnohem menší než použitá vlnová délka a vzniká na ní zanedbatelný fázový posuv podél libovolného rozměru. Je tedy frekvenční omezení součástek se soustředěnými parametry dáno jejich rozměry. S rozvojem fotolitografické tenkovrstvové techniky je možné zmenšit rozměry součástek tak, že mohou pracovat až v pásmu 10 GHz. Měření na velmi malých kapacitorech a induktorech ukázala, že tyto součástky zůstávají .skutečně „soustředěné'- i pro frekvence kolem 10 GHz, přičemž vykazují jen nepatrné jevy „rozloženosti". Pro součástky se soustředěnými parametry je typické, že iejich použití umožňuje podstatné zmenšeni rozměrů v pásmu 1 GHz a 3 GHz v porovnání se součástkami s rozloženými parametry. Cena integrovaného obvodu závisí na počtu obvodů, které lze vyrábět simultánně na jedné základní podložce keramické nebo polovodičové. Poněvadž na jedné podložce může být zhotoven simultánně větší počet (20 až 30) MIO se soustředěnými parametry jednoho a téhož typu, umožňuje tato technika podstatné snížení nákladů v porovnání s technikou, kde tento způsob není možný, tj. u IO s rozloženými parametry. Zmenšení rozměrů a sníženi nákladů zřejmě v budoucnu sehraje důležitou roli v systémech s MIO. Technika pro výrobu součástek se soustředěnými parametry je vhodná jak pro hybridní, tak pro monolitické nebo kvazimonolitické konstrukce používající dielektrickou izolaci. Obvody se soustředěnými parametry mají další výhodu v tom, že polovodičové součástky mohou být připojeny v nezapouzdřeném stavu. Vlivem parazitních kapacit oproti pouzdru se použitelná šířka pásma podstatně zmenšuje. Zapouzdření polovodičových součástek má také vliv na cenu, poněvadž pouzdro bývá mnohdy dražší než samotná součástka. Pro ukázku provedení obvodů se soustředěnými parametry vhodných ke konstrukci MIO jsou na obr. 11.35 znázorněny dva základní obvody: sériový a pára- ní Obr. 11.35. Rezonanční obvod se soustředěnými parametry (rozměry v mikrometrech). Aitcheson [4] a) sériový, b) paralelní 370 371 pacitor v dané verzi má název interdigitálni. šířka „prstů" kapacitoru je 100 um a mezera mezi nimi je 20 um. 4 V dalším textu popíšeme vlastnosti součástek se soustředěnými parametry použitelných v MIO. 11.5.1. Pasivní součástky pro mikrovlnné integrované obvody se soustředěnými parametry Vlastnosti součástek se soustředěnými parametry mohou být odvozeny ze vztahů pro vedeni s rozloženými parametry. Vstupní impedance vedení zakončeného impedancí Zt je dána vzorcem (2.117). Krátký úsek. vedení (yl <š 1) má při zkratu na konci (Zk — 0) vstupní impedanci Zvsl = Z0 tgh yl % Z0yl = R0l + yjiLJ (11.39) Z tohoto vztahu vyplývá, že model induktoru odvozený z krátkého úseku vedení je sériová kombinace rezistoru RJ — R a induktoru L01 — L v podélné větvi vedení (obr. 11.36). Podle velikosti poměru toLÍR lze takový úsek považovat bud za induktor (u)LÍR > 1), který má určité ztráty, nebo za rezistor (coLfR S> 1), který má určitou malou indukčnost. 2 V Obr. 11.36. Induktor se soustředěnými parametry vytvořený z úseku krátkého veden í Caulton [1] Induktor z páskového vodiče Vzorec pro výpočet indukčnosti páskového induktoru (obr. 11,36) je dán vztahem L = 21 i ln b + t + 1,19 '-f 0,22 b + I cm) (11.40) Hodnoty indukčnosti jsou při velmi vysokých frekvencích menší než při nižších frekvencích vlivem povrchového jevu. Zmenšení bývá něco méně než 10%. ín-duktory tohoto typu můžeme použít tehdy, má-li být L £ 2 nH. Větších hodnot indukčnosti dosáhneme jinými typy induktoru. Výpočet činitele jakosti páskového induktoru viz např. [1]. Spirálový induktor Větších hodnot indukčnosti se dosáhne plochým spirálovým induktorem (obr. 1 f .37), Jeho indukčnost při nízkých frekvencích je podle [1] dána přibližným L = 39,37 8íj + Uc (nH; mm) (11.41) kde a = (d0 + d,)l4, c = (d0 — d{)!2 a ;i je počet závitů. K dosažení vysokého Q induktoru by měl být vnější průměr spirály dQ malý a páskový vodič co nejširší (velké b), což vyžaduje malou mezeru s mezi závity. Dolní hranice mezery je dána technologií. Je-li tato mezera malá, vznikají mezi závity parazitní kapacity, které omezují horní použitelnou frekvenci. Obr. JI.37. Plochý spirálový induktor Obr. 11.38. Faktor blízkosti pro souběžné válcové vodice Kromě kruhového spirálového induktoru se používají ještě obdélníkové nebo čtvercové spirálové induktory (viz např. obr. 11.44). V těchto úvahách byl zcela zanedbán účinek blízkosti jednoho vodiče na druhý vodič, prochází-li jimi proud. Tento jev (jak uvádí Terman [8]) může zvětšit vysokofrekvenční odpor až o 35 %, jsou-li vodiče velmi blízko sebe (s je malé). Tyto ztráty vznikají vířivými proudy vybuzenými magnetickým polem druhého vodiče. Tento jev lze vyjádřit kvantitativně faktorem blízkosti, jehož závislost ria rozměrech a vzdálenostech vodičů je znázorněna na obr. 11.38. Člen c/djs podobný členu (.f — b)/b pro páskový vodič. Parazitní indukčnost V předcházejících odstavcích byly probírány některé typy induktoru, přičemž uváděné vzorce pro jejich indukčnost platí pro induktory ve volném prostoru, tj. nebyl brán v úvahu vliv okolních vodičů. Vpraxi však jsou integrované induktory umístěny na podložkách, které mají na spodní straně pokovenou vrstvu tvořící zemnící desku. Kromě této základní vodivé desky mohou být v blízkosti i jiné pokovené části tak, jak je znázorněno na obr. 11.39. Změnu indukčnosti páskového induktoru posouriíme kvantitativně. Takový induktor společně se zemnící deskou 372 373 vvLYuii y puuaiflLt »cuciii, jciiuz niijjcuitíiĽc zmenšuje inuuKcnosi inuuřuoru vc volném prostom. indukční prvek till prvtt< 7„ munici desko tninimclinice paroTitnich jevů ■ A>20b.s>4b Obr. 11.39. Induktor obklopený sousedními vodiči. Caulton [1] Je-li fázová rychlost vlny na vedení dána vztahem a vlnová impedance vztahem pak (11.41) (11.42) (11.43) kde %.0, C0 jsou primární parametry vedení na jednotku délky. Krátký úsek takového vedeni, je-li na konci zkratovaný, má vstupní impedanci (yl ^ 1, 7=j«, a ~ ta/vf) Z*„ * jZ0a/ = )o>L0l = jaL* (11.44) Odtud pak dostaneme pro efektivní indukčnost Lt = ^-^Zcj7r-L (11.45) Ze získaného vztahu je zřejmé, že efektivní indukčnost Lt se zmenšuje se zmenšujícím se Z0, což odpovídá zmenšující se vzdálenosti h od ostatních vodivých součástí [1]. Pro představu: při safírové podložce er = 9,4, je-li h > hmia — 20b a s > > smia — 4r>, nebude indukčnost přítomností vodiče na druhé straní podložky ovlivněna. Rezistor NejjednoduŠší provedení rezistoru použitelného v MIO je krátký úsek zkratované vedení s rozměry podle obr. 11.36. Je-li wL/R <š 1, můžeme jeho parazitní sériovou indukčnost zanedbat. Rozvineme-li ve (11.39) hyperbolickou tangentu v Taylorovu radu a vezmeme první dva členy řady, je (11.46) ]*o dosazeni za a y oostaneme po uprave fí„r Z « - 1 + Náhradní obvod takto vzniklého rezistoru má tedy odpor R = R0l — Pvr^ přemostěný para'elním kapacitorem s kapacitou c = Tcy kde R0 a C0 jsou p.imární parametry pásku na jednotku déiky [1]. (11.47) (11.48) (11.49) KapacitOT Kapacitor se soustředěným parametrem C můžeme realizovat v MIO v podobě sendvičového nebo interdigitálního kapacitoru. Sendvičový typ vyžaduje více-vrstvovou strukturu. Náhradní schéma kapacitoru (obr. 11.40) odvodíme z vlastností krátkého úseku (yl <í 1) vedení se šířkou b a s dielektrikem výšky h. Vedeni předpokládejme na konci otevřené a zanedbejme jeho indukčnost L0. Obr. 11.40. Sendvičový kapacitor se soustředěnými parametry vytvořený z úseku krátkého vedení. Caulton [I] Vstupní impedance takového úseku vedeni pak je Z.« = Z0 cotgh yl = J ^ cotgh [i JR^G* + ja>C0)] ^ R0i 1 g0__j__ 3 w2Cll <»Q' (11.50) Při úpravě tohoto vztahu jsme opět použili Taylorův rozvoj hyperbolické kotan-genty. Kapacita kapacitoru je bl C = C0l = e - (11.51) První rezistor v (11.50) představuje ztráty v elektrodách a druhý ztráty v dielektriku, Kapacítory sendvičového typu tvoři spodní elektroda pokrytá vrstvou dielektrika SiOs a na něm je pak nanesena druhá elektroda. Jejich kapacita může být v rozsahu 0,1 pF až 50 pF. 374 375 Jednodušší oproti předcházejícímu typu je kapacitor interdigitaini, znázornený na obr. 11.41, který je jednovrstvový. Může být vyroben v přimčřené velikostí a hodnotami kapacit 0,1 pFaž 15 pF. Vzhledem k větším délkám pásků tvořících „prsty" kapacitoru rezonují kapacitory s velkou kapacitou na nižších frekvencích. N prstů iq kontující pisek V jednotkový substrit Obr. 11.41. Int.-rdigitální kapicitor, A'tcy [4] Obr. II .42. Ekvivalentní ;chémi interdigitálního kapacitoru d — vlastni kapacita, Cr — kapicita zakončujícího pásku Z toho vyplývá, že na vyšších frekvencích jsou použitelné pouze m^lé kapacitory s malou kapacitou (menši než 2 pF). Náhradní schéma interdigitálního kapacitoru při nízkých frekvencích je na obr. 11.42 [4], [í]. Kapacita interdigitálního kapacitoru podle Alleye [4] je dána vztahem 25,4——ř[(N - 3) A, + AT] w (pF na jednotku délky) kde Ax je příspěvek jednoho vnitřního a A1 dvou vnějších prstů. Pro nekonečně tlustý substrát (nebo bez zemnící desky) je At = 8,$5 . 10"2 pF . mm-1 a A2 = = 9,92. lO^pF.mm-1. Celková kapacita interdigitálního kapacitoru vzdáleného od zemnící desky je tedy dána hodnotou C2 podle vzorce (11.52) (s uvedenými hodnotami Aj a A2) krát šířka w kapacitoru. Délka / je v milimetrech. Tloušťka vodičů t nemá na kapacitu podstatný vliv. ''' ■ Interdigitální kapacitory jsou velmi výhodné, neboť mohou být vyráběny stejnou technologií jako mikropásková vedení. 11.5.2. Některá praktická provedení mikrovlnných integrovaných obvodů se soustředěnými parametry Provedení paralelního a sériového rezonančního obvodu s interdigitálním kapacitorem a induktorem ve formě jednoho závitu je znázorněno na obr. 11.35. Na obr. 11.43 je zobrazeno provedeni pásmové zádrže se soustředěnými parametry spolu s ekvivalentním schématem a s hodnotami použitých součástek L, Ca Ä. Zádrž má průchozí útlum 30 dB na frekvenci 9 GHz ([4], str. 341). i. = 1,6 tiH C -0,2 pF S = 2S \50Ví vstup Obr. 11.43. MlO pásmové zádrže se soustředěnými parametry. Ailcheton [1] ?- výstup vsřupni kontakt koirrokt t mitoru Obr. 11,44. MIO tranzistorového zesilovače se soustředěnými parametiy. CauSton [1] Na obr. 11.44 je zobrazen mikrovlnný integrovaný obvod tranzistorového zesilovače se soustředěnými parametry pracující v pásmu 1,8 GHz až 2,5 GHz [1]. Obvod je konstruován na safírovém čipu s tloušťkou 0,254 mm. Rozměry čipu jsou 3,09 mm >- 3.96 mm. Tento obvod byl vyráběn simultánním způsobem v počtu 25 kusů na safírové podložce o rozměrech 19,05 mm x 25,4 mm. ZemnícT"deska je přibližné ohraničena plochou hustě vyšrafovanou. Na této ploše je vytvořena izolační vrstva Si02 tloušťky asi 1 um. Na kysličníkové vrstvě jsou vytvořeny kapacitory CL, C3 a C2 sendvičového typu. Všimneme si, že kapacitory Cí a Cs mají horní elektrodu dělenou na čtvercové plošky k dodatečnému doladění obvodu. Doladění se provádí paralelním připojováním částí kapacitoru pomocí drátkCi pripájaných ke vstupnímu kontaktu. Na izolační vrstvu jsou pak naneseny poměrně velké vodivé plochy kontaktů emítoru a kolektoru k připojení 376 377 nezapouzdřeného tranzistoru. Tyto plochy tvoří spodní elektrody kapacitorů C2 a C4. Horní elektrody jsou rovněž dělené pro účely ladění. Separace sousedních kapacitorů je asi 0,025 mm. Izolace sendvičových kapacitorů z Si02 má tloušťku 1 um. Plošný součinitel kapacity je 0,023 pF na 0,025 mm2. Je tedy možné vytvořit nejen kapacitory s matou kapacitou 0,1 pF (0,05 rrm x 0,05 mm), ale i s poměrně velkou az 50 pF (1,25 mm x 1,25 mm). Literatura ke kapitole 11 [1] Young, L.~ Sobot, H.: Advances in Microwaves, Vol. 8. New York, Academie Press 1974. [2] Pučel, R.A.: Design Considerations for Monolttic Microwave Circuits, Trans. IEEE MTT-29, C. 6, 1981, str, 513-543. [3] Oxiey, T. H.: Microwave Integrated Circuit Techniques. GEC Journal of Science and Technology, Vol. 43, No I, 1976. [4] Frey, J.: Microwave Integrated Circuits (sborník článků o MIO). Dedham, Massachusets, Artech House, Inc. 1975. [5] Schneider, M, V,: Microstrip Lines for Microwave Integrated Circuits. Bell Syst. Techn. Journ. Vol. 48 (1969), č. 5, str. 1421. [6] Zehentner, J,: Mikrovlnná integrovaná technika. Skriptum FEL ČVUT. Praha, Ed. středisko 'ČVUT 1983. [7] Howe, H. J.: Stripline Circuit Design. Dedham, Massachusets, Artech House, Inc. 1974. [8} Termon, F. £.: Radio Engineers' Handbook. New York, McGraw-Hill Comp. 1943. [9] Young, L.: Parallel Coupled Lines and Directional Couplers. Sborník článků. Dedham, Massachusets, Artech House, Inc. 1972. [10] Fuchs, G, a kot,: Hochstfrequenz-Hybrid integral ion. Učební texty TH llmenau 1975. lit) {fines, M. E.: Reciprocal and Nonreciprocal Modes of Propagation in Ferrite Stripline and Miscrostrip Devices. IEEE Trans., MTT-19, 1971, č. 5, str. 442-451. [I2J Wolff, f.-Knoppik, /V.; Microstrip-Scheibenresonatoren AEU, Bd. 28, Heft 3, Márz 1974.. 12. U vod do měření při velmi vysokých frekvencích Mikrovlnné měřicí metody prodělávají spolu s měřicími přístroji neustálý vývoj. Kvalitativní zvrat v přístrojové technice způsobilo zavedení mikrovlnné integrované techniky a použití mikroprocesorů. Dnešní měřicí přístroje umožňují rychlá, přesná a velmi často i automatizovaná měření. Jejich vývoj se neustále zdokonaluje a není možné ani účelné uvádět jejich podrobnější popis v publikaci, která má být především základní učebnicí. - V této kapitole se omezíme, po seznámení se základními pojmy, na výklad nej důležitějších měřicích metod, které z hlediska vytvořeni správné fyzikální představy mají a budou mít své stálé místo v mikrovlnné technice. 12. výrazem STOJATÉ VLNY NA VEDENÍ Napětí ve vzdálenosti y od konce vedení můžeme vyjádřit podle (2.127) U = V S e" + U ä e"1" = ť/0+ c"^t + i^-e-2^ (12.1) (12.2) takže za použití vztahu (2.128) dostaneme U= Uíew(l +ŕ?0e-2»') kde g0 je činitel odrazu zátěže, pro který platí podle (2.126) — ^° _ — Z0 ° " U; ~ 2k + Z0 neboli kde Zt je impedance připojená na konec vedení, Z0 vlnová impedance vedení. Předpokládejme bezeztrátové vedení, pro které platí y = ja a vyjádřeme absolutní hodnotu výsledného napětí U, určeného rovnici (12.1) I u | = | C0+ ! {[I + I q0 I e**"1""] [1 + | ff0 | e-"*-2""]}"2 Po úpravě dostaneme I V\ = | C/ÍIĽl + le0|2 + 2|ť?0tcos(# - 2«v)]"2 (12.3) 378 379 (12.5) a za použití vztahu | q0 | = | Uô |/| Uo I, viz oor- 12.1 i 0' |2 = l ttf |2 + | Uô I2 + 2 | U0+ | | UÔ |cos( - 2ay) (12.4) Tento výraz bude mít maximum při í> — 2ay\ = —2im, kde « = 0, 1, 2, 3, ..., takže * |ĽDiaJJ = |í/0+|J + |L/0-|2 + 2|f70+| [UVt a tedy I Umí% | = | IřJ ! + | I/Ô | Minimum bude při <ř - 2«y2 - — {2n + 1) n, kde n - 0, 1, 2, 3, ... l[/mtn|2=|U0+|2 + iĽ0-|2-2|[70+| \ v~\ a tedy I U_,B I = ll/í I - I Ľo" I Vzdálenost mezi místy maximálního a minimálního napětí bude ' (í> - 2aj>1) - (<ř> - 2ay2) = -2wjt + (2n + 1) ic neboli takže (12.6) J'2 - J1! ji 2ČT T (neboť a = 2icM). Vzdálenost mezi místy minima a maxima napětí je tedy A/4, vzdálenost mezi sousedními místy maxima (nebo minima) je A/2 atd. Poměr maximální hodnoty napětí ku minimální hodnotě budeme nazývat Činitelem stojaté vlny (bývá označován též jako napětový poměr stojatých vln) V. * IUnd.1 takže za použití vztahů (12.5) a (12.6) dostaneme (12.7) P - neboli 1 + Uo i iííLL wu i + i Qo i i e/q I 1 — I eo I I c/í I (12.8) popr. s použitím vztahu (12,2) _ [ Zk + Z0 | + I Zk ■ Z0I | Zk + z01 - i Zk - Z0 i (12.9) Podle rovnice (12.8) tedy platí p- 1 [0o I = P+ 1 (12.10) Ze'vztahů (12.7) až (12.10) vyplývá, že Činitel stojaté vlny je vždy reálné číslo P ä 1 kdežto činitei odrazu může být číslo komplexní, pro jehož absolutní hodnotu, kterou můžeme určit ze vztahu (12.10), platí tel ě i Vrátíme-li se zpět ke vztahu (12.4), je zřejmý, že tento vztah vyjadřuje v podstatě kosinovou větu pro trojúhelník se stranami j U |, ] t/0+ [ a | Uq |, viz obr, 12,1, Obr. 12.1. Obr. 12.2. Budeme-li odměřovat úhel mezi napětími | Uq | a | Uó j od minima napětí, potom podle obr. 12.2 je (

l — H'* 2r ------+ i + W l + IV* (12.25) Tento vztah upravíme na takový tvar, který lze porovnat s obecnou rovnicí kružnice v komplexním tvaru a určíme souřadnice středu i poloměr. Úpravou vztahu (12.25) dostaneme r r r — 1 WW* + W ■ ■ + w*----- - + ---- - = 0 r H- 1 r -j- 1 r + 1 (12.26) Protože rovnici kružnice můžeme vyjádřit vztahem (viz přílohu G) zz* - z(m - jrí) - z*(m + jn) + m2 + n1 - Rl = 0 je při porovnání s rovnicí (12.26) zřejmé, že pro souřadnice středu kružnice platí m = —-------- ; n = 0 r + 1 (12.27) 384 -385 a pro poloměr R m2 + n -R* = r + 1 neboli R - 1 r +T (12.28) Zobrazíme-li tedy v komplexní rovině (z) konstantní reálné hodnoty normovaných impedancí přímkami (obr. 12.5) r = konst zobi azí se tyto reálne hodnoty v rovině (w) kružnicemi, pro které platí R = r + 1 m = ————, n — 0 t + 1 r-0 Obr. 12.5. Zobrazení konstantních reálnych hodnot normovaných impedancí 12.2.2. Zobrazení konstantních reaktancí Vztah (12.24c) můžeme napsat pomocí zobrazovacího vztahu (12.22) ve tvaxu 2jx = 1 — iv 1 — w* 1 + w 1 + w* jehož úpravou dostaneme ww* + w 1+jx .... l-j> + 1=0 J* J* Porovnámc-li tuto rovnici s obecnou rovnicí kružnice z2* - z(m - jn) - z*(m + jn) + m2 + n1 + R2 = 0 dostaneme po úpravě pro souřadnice středu J_ x m — — 1; n =-- (12.29) (12.30) 386 a pro poloměr R Ä-± x (12.31) Zobrazíme-li tedy v komplexní rovině (z) konstantní normované reaktance přímkami (obr. 12.6) x = konst zobrazí se tyto reaktance v rovině (h>) kružnicemi, pro které platí R =--; m = — 1; n =-- x x t - r + }x i* í;) í-l(Dllst. Jí-0 Obr. 12.6. Zobrazení konstantních normovaných reaktancí 12,2.3. Zobrazení komplexní roviny přenosu Použijeme-li vztahy w = u + }v: y = /3+ja: g = b + ja můžeme napsat zobrazovací vztah (12.23) ve tvaru « + jv = e"2(*L+r,,[cos 2(aL + «/) - j sin 2(oL + ctí)] takže platí u = e'2cos2(aL + ai) v= -V2sin2(aí. + «0 a tedy (12.32) — = -tg2(aL + vl) n2 + v1 = e-4,*L+p,) (12.33) (12.34) 387 Rovnice (12.33) je rovnicí soustavy přimele procnazejicicn pocai&em suumumt se směrnicí —tg 2(aL + 2ttI/X). Hodnota aL charakterizuje délku fiktivního ztrátového vedení, kterým jsme nahradili zakončovací impedanci, a je různá u různých hodnot impedance. Přímka konstantní fáze, která této hodnotě aL odpovídá, určuje počátek měřítka fáze (tj. pro / = 0). Z praktických důvodů je však při konstrukcí kruhového diagramu vhodné umístit počátek měřítka fáze do takové polohy, která odpovídá hodnotě L — 0. Z rovnice (12.33) je dále zřejmé, že směrnice přímek, pro něž je rozdíl vzdáleností na vedení roven celistvému násobku /.ji, jsou totožné. Rovnice (12.34) je při bL + jil = konst rovnice kružnice s poloměrem R = e-(12.35) Ne!ze-li poměrný útlum vedeni zanedbat, p =ŕ 0, mění se R exponenciálně v závislosti na hodnotě útlumu p7, takže v rovině (w) dostaneme místo kružnice spirálu. Hodnota bL charakterizuje útlum fiktivního vedení nakrátko, kterým jsme nahradili zakončovací impedanci, a je různá při různých hodnotách impedance. Kružnice, jejíž poloměr odpovídá hodnotě bL, určuje počátek měřítka útlumu (tj. pro / = 0). Při rostoucí hodnotě / je poloměr bud konstantní (v případě bezeztrátového vedení, /? — 0), nebo se poloměr s rostoucí hodnotou vzdálenosti / zmenšuje (při respektování ztrát na vedení, kdy P ^ 0). Ortogonální soustavu přímek konstantního fázového posunu («/ = konst) a přímek konstantního útlumu (/?/ = konst) z roviny (z) převedeme tedy zobrazovacím vztahem (12.23) do roviny (w) na ortogonální soustavu přímek («/ = konst) a kružnic (fíl = konst), viz obr. 12.7. «[ * konst 0,125 Obr. 12.7. Zobrazení konstantního útlumu a konstantního fázového posunu Současným zakreslením ortogonální soustavy přenosu a ortogonální soustavy normovaných impedancí do roviny (w) bychom dostali velmi nepřehledný diagram a proto je obvyklé zakreslovat do něj pouze soustavu kružnic normovaných impedancí, přičemž z roviny komplexního přenosu se kružnice konstantního útlumu obvykle nekreslí a z přímek konstantního fázového posunu se zakresluje pouze 383 měřítko na obvodu diagramu (přitom se místo hodnot aí = 2nlJX = konst uvádí pouze l\l = konst). Příklad nejčastějšího provedení kruhového diagramu ie na obr. 12.8. J Obr. 12.8. Kruhový impedanční diagram 12.2.4. Zobrazení činitele odrazu a činitele stojatých vln Velkou předností kruhového impedančního diagramu je možnost zobrazení činitele odrazu a činitele stojatých vln. Činitel odrazu můžeme vyjádřit vztahem (2.126), který lze upravit do tvaru z - 3 z + 1 Dosadíme-li za z zobrazovací vztah (12.22), dostaneme Qo = -w (12.3ti) (12.37) 389 takže platí lH (12.38) což je rovnice kružnice s poloměrem J q0 | a se středem v počátku souřadnic u, v. Použijeme-li vztah (12.23), lze napsat vztah (12.37) ve tvaru (položíme gL = 0) Qo = -e ■tyl neboli I Co I e- i* _ -2rle-<2«l-«) takže argument činitele odrazu můžeme vyjádřit výrazem (12.39) (12.40) a pro modul činitele odrazu platí ltfol=e~2" 02.41) Z toho je zřejmé, že v rovině kruhového impedančního diagramu (w) můžeme, zobrazit též komplexní činitel odrazu q. Pří konstantní hodnotě útlumu fil = konst jsou geometrickým místem modulu činitele odrazu | q0 | kružnice totožné s kružnicemi konstantního útlumu. Měřítko poloměrů kružnic konstantního modulu . činitele odrazu je lineární (obr. 12.9). Kružnice konstantního činitele odrazu se obvykle kreslí na průsvitku, která se na kruhový impedanční diagram přikládá. lpi -tonst. Obr. 12,9. Kružnice konstantních modulů činitele odrazu Použijeme-li vztah mezi činitelem stojatých vln a modulem činitele odrazu (12.10), můžeme vyjádřit vztah (12.38) též ve tvaru P-i p+ i (12.42) neboli Z toho je zřejmé, že konstantní hodnoty činitele stojatých vln můžeme zobrazit v rovině (w) kružnicemi, které mají střed v počátku souřadnice (tj. uprostřed kruhového diagramu) a poloměr Jí = P- 1 p + 1 (12.43) Pro činitel stojatých vin jsrr.c odvodili též vztah (12.9), který můžeme upravit do tvaru _ | z + 1 | + | z - 1 j P I z -f- 1 i — I z — 1 I Jestliže ve výrazu pro normovanou impedanci z = r + jx položíme x = 0, můžeme napsat tento vztah ve tvaru r + 1 + Ir - 1 I P = r + 1 - I r - takže po úpravě lze psát p-\ (r-ll (12.44) (12.45) P + 1 r + 1 Z porovnání vztahů (12.45) a (12.43) vyplývá, že měřítko poloměru kružnic konstantního činitele p je shodné s normovanými reálnými složkami impedancí v oblasti r > 1. Je tedy stupnice reálných částí impedance r od 1 do oo na reálné ose kruhového diagramu (x = 0) současně i stupnicí činitele stojatých vln (obr. 12.10). rnířltko tinitíle stojotých vífl / Obr. 12.10. Měřítko kružnic konstantního činitele stojatých vln Obr. 12.11. Konstantní amplituda a konstantní fáze impedance Kružnice konstantního činitele stojatých vln se zakreslují do impedančního diagramu až při řešení konkrétních úloh (viz dále). Při častém používání impedančního diagramu je výhodné nakreslit měřítko Činitele stojatých vln na průhledné ramen ko, které je otočné kolem středU( diagramu. Stupnice činitele stojatých vln p může být doplněna též stupnicí modulů činitele odrazu | q \ a stupnici hodnot konstantního útlumu p7. 12.2.5, Zobrazení konstantní fáze a konstantní absolutní hodnoty impedance Kromě výše uvedených zobrazeni je pro některé aplikace výhodné zakreslit do impedančního diagramu průběhy konstantní fáze a konstantní absolutní hodnoty impedance. 390 i 391 Pro normovanou hodnotu impedance v rovine (z) ve tvaru z = r + jx platí | z |2 = r2 + i* x tg<ŕ> = — (12.46) (12.47) V rovině (z) se zobrazí konstantní absolútni hodnoty impedancí kružnicemi, určenými rovnicí (12.46), obr. 12.11. Označíme-li určitou hodnotu konstantní amplitudy A, je 1*1* neboli zz* = A% Dosadime-li za z transformační vztah (12.22), platí 1 — W 1 — w* _ ^2 1 + w l + w* — což můžeme napsat po úpravě ve tvaru A1 + 1 j4 — I x2 + l + 1 =0 (12.48) Z porovnání této rovnice s obecnou rovnici kružnice zz* - z(m - jn) - z*(m + jn) + m1 + «2 - R2 = 0 je zřejmé, že m = — R A2 + í A2-\ 2A n =0 ,42- 1 (12.49) (12.50) V rovině kruhového impedančního diagramu (n>) se tedy konstantní amplitudy zobrazí kružnicemi s poloměrem určeným rovnicí (12.50) a se souřadnicemi středu, určenými rovnicemi (12.49), viz obr. 12.12. Obr. 12.12. Kružnice konstantních amplitud normované impedance (12.47). Označí me-li platí tg

tg

(12.53) V rovině kruhového impedančního diagramu (w) se zobrazí konstantní fáze impedanci kružnicemi určenými rovnicemi (12.52) a (12.53), viz obr. 12.13. f = -50' 9> = 0C Obr. 12.13. Kružnice konstantních fází JO" normované impedance 392 393 nich fází tvoří v rovině {w) ortogonální soustavu. Pro praktické použití je výhodné nakreslit tuto soustavu kružnic na průsvitku, kterou lze v případě potřeby na impedanční diagram přiložit. Při Fešení některých úloh je výhodnější používat místo impedančního diagramu admitančni kruhový diagram. Admitančni diagram bychom mohli odvodit analogickým způsobem jako u impedančního diagramu, můžeme jej však získat jednodušeji přímo z impedančního diagramu, a to inverzí kolem bodu 1 (středu diagramu), viz obr. 12.14, neboť platí 1 y = — Obr. 12.14. Nalezeni příslušné admitance k dané impedanci je pak velmi jednoduché. Admitančni diagram je na pohled shodný s diagramem impedančním, rozdíl je však v označení. Místo z = Z/Z0 dostaneme y = YjY0, místo r = R/Z0 dostaneme g = G/y0, místo x = X!Z0 dostaneme b = B/Y0, místo označení reaktance napíšeme označení susceptance. Přitom jc třeba si uvědomit, že kladná susceptance má kapacitní charakter, záporná susceptance má indukční charakter. 12.3. PŘÍKLADY POUŽITÍ KRUHOVÉHO IMPEDANČNÍHO DIAGRAMU V tomto článku uvedeme několik typických příkladů použití kruhového impedančního diagramu. Je však třeba zdůraznit, že těmito příklady není rozsah použití kruhového diagramu zda!eka vyčerpán. Jeho použití je např. možné rozšířit i na oblast aktivních impedancí (tj. se zápornou reálnou částí), používá se při řešení vlastností mikrovlnných generátorů apod. Bližší podrobnosti lze najít ve speciální literatuře. 12.3,1. Transformace impedance podél vedení PŘÍKLAD 1: Bezeztrátové vedení je zakončeno zkratem. Máme určit normovanou hodnotu impedance ve vzdálenosti / = 3/1/8 od místa zkratu. ŘEŠENÍ; Zkrat je nulová impedance, takže výchozím bodem na kruhovém diagramu je bod nulové impedance. Z tohoto bodu se budeme pohybovat směrem ke zdroji po kružnici konstantního činitele stojatých vln až do vzdálenosti / = 3A/8, čili !/X - 0,375. V této vzdálenosti přečteme normovanou hodnotu impedance z _ o - j. Vedení nakrátko má tedy při délce / = 3A/8 charakter jednotkové kapacity (absolutní hodnota reaktance je stejně velká jako impedance vedení), viz obr. 12.15. PŘÍKLAD 2: Bezeztrátové vedení je zakončeno naprázdno. Máme určit normovanou hodnotu impedance ve vzdálenosti / = A/4 od konce. ŘEŠENÍ: Vedení zakončené naprázdno st představíme jako vedení zakončené nekonečně velkou impedancí, takže výchozím bodem na kruhovém diagramu je bod nekonečné impedance. Z tohoto bodu se budeme pohybovat směrem ke zdroji po kružnici konstantního činitele stojatých vln o délku / = A/4, čili l/l = 0,25. Bod oo leží na přímce ///. = 0,25, takže po přičtení / = A/4 se dostaneme na přímku //;. - 0,5, čili do bodu nulové impedance. Vedení naprázdno má tedy při délce A/4 nulovou vstupní impedanci, viz obr. 12.16. PŘÍKLAD 3: Bezeztrátové vedení je zakončeno normovanou hodnotou impedance zk = 0,8 4- j. Máme určit normovanou hodnotu impedance ve vzdálenosti / = 0,2A od konce vedení. 394 395 j, Aivijr i/iipu v ma /.aft.uhlu val." 1 impedanci zt = 0,8 + j. Bodem zt proložíme přímku konstantního ul a přečteme na obvodu diagramu příslušnou hodnotu l/L Z bodu zk se budeme pohybovat po kružnici konstantního p směrem ke zdroji o délku / = 0,2íí, kde přečteme hodnotu normované impedance zp = 0,8 — j (obr. 12.17). PŘÍKLAD 4: Jaké vlastnosti (délku a útlum) by muselo mít vedení nakrátko, aby na svém vstupu vytvořilo impedanci zp = 0,8 - j (stejnou jako v předcházejícím příkladu). Obr. 12.16. Obr. 12.17. Obr. 12.18. ŘEŠENÍ: Potřebnou délku / určíme z rozdílu vzdáleností, odpovídajících konstantním hodnotám a! pro zp = 0,8 — j a zk = 0. Z diagramu přečteme, že tento rozdíl je / = 0,35L Pro poloměr kružnice konstantního útlumu platí R = e"2pl. Má-li kruhový diagram jednotkový poloměr, pak změřením zjistíme, že zp je na poloměru R = 0,496. Platí tedy 0,496 = e~lf!, takže 0/ ^ 0,35 = 3,04 d B Impedanci zp = 0,8 — j lze vytvořit vedením nakrátko s délkou / = 0,351 a s útlumem 3,04 dB. Z příkladu je zřejmé, že geometrickým místem činitele stojatých vln u ztrátového vedení je spirála (obr. 12.18). 397 je zakončeno normovanou impedancí zk = 0,8 + j2,2. Má se určit normovaná vstupní impedance zp a činitel stojatých vin, je-li ). = 0,44 m. = 300 íl, má-li toto vedení vytvořit s připojeným kondenzátorem s kapacitou C = 1,0 pF rezonanční obvod při frekvenci / = 1 000 MHz, tj. X = 0,3 m. 12.19. ŘEŠENÍ: Nejprve určíme přímku konstantního «/, na níž bude ležet vstupní impedance. Z kruhového diagramu zjistíme, že impedance zk leží na přímce konstantního al při IJX = 0,188. Na počátku vedení bude tedy hodnota l2/X = = 0,188 + 20/0,44 ■-- 45,642. Vzhledem k tomu, že posuv o 1/2 je na diagramu otočení o 360°, znamená posuv o / = 20 m otočení fázoru více než 90krát oproti původní poloze. Odečteme-li celistvý počet půlvin (l/X — 45,5), dostaneme pro vstupní impedanci polohu l2/X = 0,142. Poloměr, na němž bude ležet, vstupní impedance zp, dostaneme ze vztahu R2 = /ř,/? = Rt e"2"' kde Rt je poloměr impedance zk. Pro poměrný útlum 0,5 dB . m~1 je útlum vedení lOdB při délce vedení / = 20 m, a. tedy R = 0,1. Platí tedy R2 = 0,lfiL takže odpovídající impedance je zp = 1,16 (obr. 12.19). 1,02 + j 0,15 při činiteli stojatých vln p Obr. 12.20. ŘEŠENÍ: Rezonanční podmínku vyjádříme vztahem ľc + y l = o (celková admitance v místě připojení kondenzátoru musí být v rezonanci nulová). Keaktance kondenzátoru pri frekvenci/ = 1 000 MHz je X-c= —1-=* -159 íi wC takže normovaná hodnota reaktance je ■Vc - = -0.53 Odpovídající normovanou susceptanci dostaneme pomocí kruhového diagramu inverzi kolem jeho středu, popř. výpočtem yc-jb = j1,886 Vedením nakrátko je třeba vytvořit susceptanci stejné velikosti, ale opačného znaménka. Podle obr. 12,20 určíme potřebnou hodnotu ■j = 0,078 takže při X = 0,3 m musí být déika vedení nakrátko / = 0,078 . 0,3 - 0,0234 m 12.3.2. Určeni zakončovací impedance Známe-li činitel stojatých vln p a vzdálenost prvního minima stojatých vln od konce vedení /0, je snadné určit pomocí kruhového diagramu neznámou zakončovací impedanci. Postup pří určování zakončovací impedance je tento (viz obr. 12.21): a) Do kruhového diagramu nakreslíme kružnici odpovídající naměřenému činiteli stojatých vln p. 398 399 uj i lUÄtiB inu m uuiin o jjí jiijiwu i^amvLii iiuuuui iinpcutllU-l v ipvc poiuvmc diagramu udává velikost normované impedance zmiI1 ve vzdálenosti /„ od konce vedení. c) Abychom mohli určit normovanou hodnotu impedance na konci vedení, je nutné se z bodu zmin pootočit po kružnici konstantního p směrem k zátěži o hodnotu iJX. Obr. 12.21. Není-li z jakéhokoliv důvodu možné určit vzdálenost prvního minima od konce vedení, pak si pomůžeme tím, že na konec vedení místo měřené impedance připojíme zkrat. Napěťová minima jsou při tomto zkratu vzdálena od konce vedení o celistvý násobek půlvln, takže na měřicím vedení označí celou řadu míst (fiktivních konců vedení), která mají elektricky stejné vlastnosti jako konec vedení. Vzdálenost minima stojatých vln při zapojení měřené impedance můžeme pak oďmířovat od těchto míst. V takovém případě je lhostejné, určujeme-Ji vzdálenost minima impedance od fiktivního konce, který je blíže zátěži nebo ke zdroji (viz obr. 12.22). Hodnotu ťjX budeme vynášet směrem ke zdroji, hodnotu IJX směrem k zátěži. Na kruhovém diagramu se dostaneme vždy do stejného místa (z^), neboť platí (obr. 12.23) 12.3.3, Přizpůsobování impedanci Jedna z nejčastějších úloh, které se řeší pomocí kruhového impedančního diagramu, je tzv. přizpůsobování impedancí. Zatěžovací impedance se snažíme přizpůsobovat hlavně proto, abychom do nich dostali co největší výkon. Princip impedančního přizpůsobování neboli kompenzace je velmi jednoduchý. Na vedení najdeme takové místo, ve kterém je reálná složka impedance rovna vlnové impedanci a v tomto místě vykompenzujeme jalovou složku impedance reaktancí stejné velikosti, ale opačného znaménka. Zavedení kompenzační reaktance se dá provádět nejrůznějším způsobem. Používá se hlavně vedení nakrátko nebo naprázdno, připojené k hlavnímu vedení paralelně nebo sériově, ve vlnovodu se používají též kapacitní nebo indukční clonky nebo kolíky. Kromě těchto způsobů se k přizpůsobení impedancí používají též tzv. impedanční transformátory. q) pfíbíh nopĚti při pŕipojän'i, nejnimé imjjeianso b) jtrůHli rqjfií při připojeni lYrítt rovina, i mí jt , připojeno iVilrína impedancí nebo zkrat I I Obr. 12.22. Obr. 12.23. PŘÍKLAD 1: Přizpůsobení sériovým členem. Vedení s vlnovou impedanci Z0 = = 300 íl je zakončeno impedancí Zt = (540 - jó0)íí. Tuto impedanci máme přizpůsobit sériově připojeným vedením nakrátko tak, aby výsledný činitel stojatých vln byl p = 1. Vlnová délka je }. = 0,5 m. ŘEŠENÍ: Nejprve určíme vzdálenost ve které má impedance na vedení jednotkovou reálnou složku (reálná složka impedance je stejně velká jako vlnová impedance), Zi = 1 - jx. V této vzdálenosti připojíme sériové vedení nakrátko s takovou délkou !2, aby jeho vstupní impedance byla z2 = 0 + jx. Výsledná impedance bude pak rovna z = Zj + z2 = 1, takže vedení bude přizpůsobeno. Z kruhového diagramu určíme (viz obr. 12.24) pro zt = 1,8 — j 0,2 4 = 0,088; a h. = 0,086; Zi = 0,044 m l2 = 0,043 m Pro přizpůsobení jsme mohli zvolit též místo, kde je z, = 1 + jx. Toto místo by však bylo méně vhodné, neboť je od zátěže dále (z toho vyplývá větší frekvenční závislost) a kompenzační vedení nakrátko by muselo být k vytvoření reaktance z2 = -jx zbytečně dlouhé (delší než XjA). 400 401 ■y I Obr. 12.24. PRÍKLAD 2: Přizpůsobení paralelním členem. K přizpůsobení vedení z předcházejícího příkladu použijeme místo sériového členu vedení nakrátko připojené paralelně. ŘEŠENÍ: Normovanou impedanci zk převedeme na admitanci yk, určíme vzdálenost /,, ve které je admitance vedení y, = J ± jb a v této vzdálenosti připojíme paralelně vedení nakrátko s takovou délkou /2, aby jeho vstupní admitance byla y2 = 0 + Výsledná admitance pak bude y = yt + y2 = 1. Zvolirne-li pro přizpůsobení místo, kde je yt = 1 + jb, pak z kruhového diagramu přečteme (obr. 12.25) = 0,134; /, = 0,067 m = 0,164; i2 = 0,082 m 12.4. MĚŘENÍ IMPEDANCÍ Určení neznámé impedance patří k nejčastějším úlohám v mikrovlnné laboratorní i provozní praxi. Pro tyto účely jsou dnes na trhu speciální měřici přístroje, umožňující rychlá a širokopásmová měření. Klasické metody určování Obr. 12.25. 4.....L-J obr- 12.26. impedanci pomocí stojatých vln se dnes již používají méně často, mají však stále svůj význam při vytváření správných představ o impedančních poměrech na vedení. 12.4.1. Určení impedance z průběhu stojatých vln na vedení Tato metoda je obdobou metody uvedené v odst. 12.3.2, kde jsme použili k určení neznľímé impedance kruhový impedanční diagram. Jestliže vedeni s délkou /, vlnovou impedancí Z0 a se zanedbatelnými ztrátami je zakončeno neznámou impedancí Zk, kterou nahradíme vedením nakrátko se součinitelem přenosu 402 403 g — b + ja, s délkou Las vlnovou impedancí Z0 (analogicky jako v č!. 12.2, obr. 12.26), platí pro normovanou hodnotu vstupní impedance vztah (12.21) zp m tgh (gL + y í) Pri zanedbatelných ztrátách lze předpokládat 0 = 0, takže y = jx, a tedy Zp = tgh (gL + jat/) neboli tgh bL + j tg(aL + «l) Zp = 1 + j tgh bL tg (ťiL + alf a po uprave tgh />L[1 + tg2 (aL + «/)] + j tg(aL + a/)(l - tgh2 bL) (12.54) " 1 + tgh1 bL tg2 (aL + xt) Extrémní hodnoty tohoto výrazu jsou čistě reálné a nastanou při tg(oL + a/o) = 0 (12.55) a pn (12.56) tg(aL + «/,) = Qo Z podmínky (12.55) vyplývá aL = -xt0 (12.55a) takže pro normovanou hodnotu vstupní impedance dostaneme po dosazení do (12.54) ip = tgh bL (12.57) Protože ze vztahu (12.57) je zřejmé, že z„ < 1, je ve vzdálenosti /0 od konce veden' minimum impedance a tedy též minimum napětí. Z podmínky (12.56) vyplývá aL + ař, (12.56a) takže pro normovanou hodnotu vstupní impedance po dosazení do (12.54) dostaneme 1 (12.58) íp~ tghř-L Je zřejmé, že z„ > 1, takže ve vzdálenosti lL je maximum impedance a tedy též maximum napětí. Ze vztahů (12.56a) a (I2.55a) vyplývá V místě maximální impedance je maximální napětí a minimální proud, v místě minimální impedance je minimální napětí a maximální proud. Platí tedy Zmln Víme, že poměr V. = p Protože mezi napětím a proudem je lineární závislost, je zřejmě možné vyjádřit činitel stojatých vin i pomocí proudů, takže platí též a tedy P - ^max _ ^msK _ 2 - p Dosadíme-li za amat a z„.in výrazy (12.57) a (12.58), dostaneme P = tgh3 bL takže p = 1 tgh bL Vzdálenost / ve výrazu (12.54) je libovolná vzdálenost měřená od konce vedení. Položíme-!i / = 0, je Zp = Zt, takže podle (12.54) 1 (1 + tg2ař0) -jtg«/0 Zfc — Zk^o — 1 + ~ tg2 L = y; aL = -a/0; í = 0 Protože Zk = + j^,,, platí p(l + tg2 <*/0) p + tg* ar/o p2 + tg2 a/0 (12.59) (12.60) Z rovnic (12.59) a (12.60) určíme reálnou a imaginární složku zakončovaci impedance, známe-li činitel stojatých vln p a vzdálenost prvního minima stojatých vln od konce vedení l0. 404 405 12.4.2. Určení impedance pomocí můstkového T Rozptylovou matici můstkového T můžeme napsat ve tvaru (9.136) J2 0 0 0 o 1 1 1 -1 1 1 1 -1 o o o o takže s použitím vztahu b = sa dostaneme pro výstupní signály v jednotlivých ramenech b, = £(a3 + a4) b2 = £(»3 - a4) b3 = K(»i + a2) b4 = £(a, - a2) kde K = e5*/^ (při vhodné volbě referenčních rovin je ŕ = O) a a, až a4 jsou vstupní signály. |gtnerétef Obr. 12.27. Měření impedance porovnávací metodou Předpokládejme, že podle obr. 12.27 je detektor v rameni 4 impedančně přizpůsoben a že ramena 1 a 2 jsou zakončena zátěžemi s činiteli odrazu q„, q,. Budeme-li napájet můstkové T do ramene S signálem s jednotkovou amplitudou, dostaneme (položíme a! = enb,, a2 = Qxb2, a3 = 1, a4 = 0) ■2--- ■. ■ J2 ej* e'* h*= Tyl (e°blř*b^ a po úpravě (12.61) Protože při qn = qx je signál v detektoru nulový, můžeme můstkové T použít k určeni neznámé impedance s činitelem odrazu qx. Potřebnou hodnotu činitele odrazu q„ je možné realizovat napr. pomocí absorpčního zeslabovače a posuvného zkratu, neboť platí přičemž modul činitele odrazu souvisí s poměrným útlumem vztahem (12.41) lei =e-lřl a argument činitele odrazu je závislý na poměru l/X < I_C 1 t Z ' 3 genírcrtor Oŕr. Můstkové měření impedance pomocí posuvného zkratu Jestliže místo proměnné impedance připojíme k rameni / posuvný zkrat s činitelem odrazu | lohy zkratovacího pístu, kdy je výkon v rameni 4 minimální. V tom případě musí být splněna podmínka -y-zmin = ^-{l - t0) ± 2nir Jede n je celé číslo, takže platí Po určení p a /0 můžeme zjistit impedanci Z„ např. pomocí kruhového impedančního diagramu, popř. ze vztahů uvedených v odst. 12.4.1. J2.5. URČENÍ PRVKŮ NÁHRADNÍHO OBVODU MIKROVLNNÉHO ČTYŘPÓLU Oblast nespojítosti mezi dvěma libovolně zvolenými referenčními rovinami T\ a T2 může být popsána pomocí napětí a proudů jednoduchými vztahy Ux = ZliIl + Zl2l2 U2 ~ Z±2l\ + Z22J2 kde Uít Ij jsou napětí a proud v rovině T,. í/2,12 napětí a proud v rovině T2, Z ' koeficienty s rozměrem impedance. Těmto rovnicím odpovídá náhradní schéma na obr. 12.29. (12.64) \\ 1 1 l 1 ■_jij 1 1 ľu'ľ„ Obr. 12.29. Náhradní schéma odpovídající rovnicím (12.64) Je zřejmé, že k určení vlastností čtyřpólu musíme určit tři nezávislé parametry. K určeni těchto parametrů postačí tři na sobě nezávislá měření vstupní impedance. Je výhodné provést tato měření při výstupu (rovina T2) zakončeném naprázdno, nakrátko a bezodrazově (vlnovou impedancí Z2). Kro vypočet zaveame normovane noemoty impeaanci Z¥5t — 2^ * zvýst 2 kde Zvst, Zvýsl jsou vstupní a výstupní impedance, Z,, Z2 jsou vlnové impedance: vedení na vstupu a na výstupu. Pro vlastní čtyřpól dále platí *n ~^T' 22 ~ z2 ' 12 z,z2 a) Bude-li čtyřpól zakončen v rovině T2 naprázdno, pak je zřejmě I2 = 0* takže z rovnic (12.64) dostaneme t/, = Z1t/, ; U2 = Z12/, a tedy z --^-z m Vzhledem k tomu, že jsme vstupní impedanci Zví, změřili při výstupu naprázdno, označíme ji jako impedanci Zn. Platí tedy Z„ — Zít neboli <12-65> b) Uzavřeme-li čtyřpól v rovině T2 zkratem, bude í/2 = 0, takže z rovnic (12.64) dostaneme Ul = Z.t/t + 2ia/2; 0 = Zl2/t + Z3J/2 Z těchto dvou rovnic dostaneme po úpravě pro vstupní impedanci V, 7 — w 1 — 7 ^nt — i ^ 11 11 72 z22 Označime-li tuto vstupní impedanci Zk (při výstupu nakrátko), platí Z21 71 neboli Z12 (12.66) Z, i — Zk c) Zakončíme-li čtyřpól v rovině T, bezodrazovou impedancí, je U2 takže z rovnic (12.64) dostaneme po úpravě z™- /t Z2 +Z32 408 409 Z\2 = (Z„ ^ZÍSl)(Z2 + Z22) Protože jsme vstupní impedanci určili při bezodrazové zátěži, označme ji Z0, takže Z\2 = (Z,, -Z0)(Z2 + Z22) a pro nqrmované hodnoty platí A% = - z0)(l + z22) (12.67) S použitím vztahů (12.65) a (12.66) dostaneme po úpravě 2 _ (»n ~ Sp) (^ ~ Zk) Zj2 — 20 — Zk a dále *22 (12.68) (12.69) Je-li čtyřpól včetně referenčních rovin symetrický, platí zn = z22 — zn takže s použitím rovnice (12.66) můžeme vyjádřit normovanou hodnotu z12 pouze z měření naprázdno a nakrátko Ai = - Zi) (12.70) Oir. 12.30. Téže metody můžeme použít i k určení rozptylových koeficientů čtyrpólu. Pro Čtyřpól zobrazený na obr. 12.30 platí podle (9.45) rovnice bi — *i 1*1 + s12a2 b2 = SjiSj + 822*2 Podle označení na obr. 12.30 můžeme vyjádřit činitele odrazu na vstupní a výstupní straně vztahy 0vSt = ; t?TýIi = 4i" (12.72) a£ o2 takže s použitím rovnic (12.7J) můžeme po úpravě vyjádřit činitel odrazu na vstupní straně výrazem 1 (12.73) (12.71) ŕyst — Sl 1 + Sl 1 říjit CySt = s,, (12.74) Analogicky jako při určování impedancí označme tuto hodnotu činitele odrazu indexem 0, takže S11 = í?o (12.75) Jestliže zakončíme měřený čtyřpól zkratem, gvist = -1, dostaneme úpravou vztahu (12.73) (s22 + l)(Sll - a) = s2j (12.76) kde í>k je vstupní činitel odrazu při zkratovaném výstupu (j>TSt = Qk, e„íst = —1). Zakončíme-li čtyřpól na výstupní straně naprázdno (tj. nekonečně velkou impedancí), je gvý5t = + 1, takže úpravou vztahu (12.73) dostaneme (s22 ~ l)(»ii -e„) = »ía (12.77) kde qb je vstupní činitel odrazu pri zakončení výstupní strany nekonečně velkou impedancí (při zakončení naprázdno, r>lst = q„, q,ís1 = +1). Z rovnic (12.75), (12.76) a (12.77) lze určit rozptylový koeficient s22 2^o ~ Qn-Qk Qk ~ Qa Rozptylový koeficient s12 můžeme pak určit z rovnice (12.76) a (12.77) 2 _ ÄQo - en) (e<> - Qk) si 1 — — Qk ~ Qa Jestliže je čtyřpól symetrický, potom platí sn — S22 — 80 (12.78) (12.79) takže s2 2 6a + On 2 -1- Qn - Ok popr. Su = (Vo + 0 (So ~ Qk) A2 = (Qo - D (00 - e«) (12.80) (12.81) (12.82) Určení prvků náhradních obvodů podle této metody je jednoduché, nedostatkem je vsak okolnost, že každá nepřesnost v určení jednoho parametru způsobí při výpočtu velké chyby, jak je vidět ze vzorců (12.75) až (12.82). Mezi koeficienty Z obvodu a rozptylovými koeficienty s platí vztahy (12.83) (12.84) (12.85) Z11 1 + «11 - s22 -{«} Zi 1 - Si, - s22 + W 1 - sn + s22 -{»} z* 1 - sM - s22 + {■} 2s, 2 i/ZjZj 1 - Sn - s22 + {S} 410 411 a udic pian s12 — {Z} - z21z( + ZiiZ2 -Zlz2 fZ} -I- z„z, + ZnZ2 + ZA {Z} + z„z, — Zy [Z2 {Z} + ZJ2Zt + z,,z2 + z,z2 2Z(2 ^'Z]Z2 {2} + Z^Z, + zltz2 + ZjZ2 (12.86) (12.87) (12.88) kde {s} — stls22 s2, {Z} = ZnZ22 — Z\z Pomoci rovnic (12.83) až (12,88) je tedy možné převést rozptylové koeficienty čtyřpólu na koeficienty náhradního obvodu T nebo naopak. 12.6. měření Činitele jakosti rezonančních obvodů Je-li frekvenční rozsah v okolí rezonance dostatečně malý (tj. takový, aby v rezonátoru nevznikly jiné, nežádoucí vidy kmitání), mají mikrovlnné rezonanční obvody při rezonanci a jejím blízkém okolí stejné vlastnosti jako obvody se soustředěnými parametry L, R, C a k jejich popisu můžeme použít stejná náhradní schémata. Rezonátor bývá navázán na vedení elektrickým nebo magnetickým polem a při určování jeho vlastností bude záležet na poloze referenční roviny, v níž tyto vlastnosti určujeme. Zvolí me-Ii např. při měřeni vstupní impedance rezonátoru polohu refereční roviny v takovém místě, kde je při značném rozladění rezonátoru uzel napětí, chová se rezonátor (bez ohledu na >působ vazby) jako paralelní rezonanční obvod, kdežto ve vzdálenosti A/4 od této roviny má charakter sériavého rezonančního obvodu. Bez ohledu na způsob vazby můžeme tedy použit v náhradním schématu sériový nebo paralelní rezonanční obvod. 1 j Obr. 12.31. Náhrada vazebního prvku ideálním transformátorem Nahradme rezonátor sériovým rezonančním obvodem, připojeným pomocí ideálního transformátoru ke zdroji s vnitřní impedanci Z0 (obr. 12.31). Ideální transformátor s převodem 1 : n představuje v náhradním schématu vazbu mezi rezonátorem a vedením s vlnovou impedancí ZQ (vazba může být při tom realizována elektrickým nebo magnetickým polem). Vlastnosti rezonančního obvodu můžeme charakterizovat třemi hodnotami činitele jakosti a) činitelem jakosti nezatíženého rezonančního obvodu O0, počítáme-li pouze ztráty ve vlastním rezonátoru oj0L <2o = (12.89) b) činitelem jakosti zatíženého rezonančního obvodu Q^, když se ke ztrátám v rezonančním obvodu přičítají ztráty způsobené napájecím vedením (podle náhradního schématu převedeme vlnovou impedanci Z0 přes vazební prvek — ideální transfer-mátor — do rezonančního obvodu) R + n2Zc (12.90)- c) vnějším činitelem jakosti Qy, když místo ztrát ve vlastním rezonátoru počítáme pouze ztráty způsobené napájecím vedením w0L 2v = n2Z0 Zavedeme-Ii činitel vazby x vztahem í0 x = ■ «2Zn R je možné napsat vztahy (12.90) a (12.91) s použitím (12.89) ve tvaru 6o 1 + X Qo (12.91) (12.92) (12.93) (12.94) 12,6.1. Určení činitele jakosti rezonančního obvodu impedanční metodou Předpokládejme, že budeme určovat vlastnosti rezonančního obvodu v takové referenční rovině (1), kde jeho vlastnosti odpovídají sériovému rezonančnímu obvodu. Impedanci sériového rezonančního obvodu můžeme vyjádřit výrazem takže s použitím vztahu 1 lze psát Zr = R + )w0L «__(X>0\ 3o íú ) 412 413 1+jÄo ■ J 1 "JJl h"" kde b je tzv. pomerné rozladěni, pro které platí 25 6l> CO — ÍOq Ir. Obr. 12.32. Impedanci rezonančního obvodu převedeme na vedení vztahem (v náhradním schématu prostřednictvím ideálního transformátoru, viz obr. 12.32) z -h. neboli Z, = 4-0 takže pro normovanou hodnotu vstupní impedance platí R z, = n2Z, (1 +J2Qo^) a s použitím (12.92) 1 , . 2Q0ď (12.95) V rovině komplexních normovaných impedancí (z) budou ležet koncové body těchto impedancí na přímce konstantní reálné hodnoty, kterou je určena velikost činitele vazby rezonančního obvodu (Re[z] = \lx). Na tuto přímku je možné nakreslit i lineární měřítko poměrného rozladění ó (obr. 12.33). Určíme-li při měření takové hodnoty poměrného rozladění při nichž platí 2QA = 1 2Q051 = -1 platí pro činitel jakostí QQ vztah 1 (oa fo Ôt-S2 col - a>2 Í1-/2 přičemž pro normovanou hodnotu vstupní impedance platí 1 . 1 (12.96) (12.97) 4 š Re [z,] - |lm[i,]| (12.97a) Dosadíme-!i do vztahu pro normovanou hodnotu vstupní impedance vztah (12,93), dostaneme (12.98) Obr. 12.33. Geometricky místo normovaných vstupních impedancí rezonátoru Určíme-li při měření takové hodnoty poměrného rozladění 53A, pří nichž platí 2&S3 = 1 2CA = -1 platí pro činitel jakosti Qz vztah rt - 1 /o přičemž pro normovanou hodnotu vstupní impedance platí 1 Zl = — + j H (12.99) (12.100) Je 2řejmč, že při frekvencích/, a/4, potřebných k určení činitele jakosti Qz, platí | Im[z,]| = Re [z,] + 1 (12.100a) Jestliže dosadíme do vztahu pro normovanou hodnotu vstupní impedance vztah (12.94), dostaneme- z, =-L +J2Q.S Určíme-li takové hodnoty poměrného rozladění ós 6, při nichž platí 2QA = 1 2<3A = -l (12.101) 414 415 piati pro činitel jaKosu tyv vzian 1 /o s* - K h - h přičemž pro normovanou hodnotu vstupní impedance platí Zi = — ± j x (12.102) (12.103) Z toho je zřejmé, že při frekvencích /s a /6, potřebných k určení činitele jakosti Qy, platí | Im = 1 (12.103a) Určení jednotlivých činitelů jakosti je s použitím výše uvedených vztahů velmi jednoduché a můžeme je shrnout do tohoto postupu: 1. Pri dvou různých, libovolných frekvencích (v okolí rezonance) určíme normované hodnoty vstupních impedancí, zakreslíme je do komplexní roviny (z) a proložíme jimi přímku konstantní reálné složky, na kterou interpolujeme frekvenční měřítko. T If -2 Obr, 12.34. Určení frekvenci pro výpočet činitele jakosti 2. Frekvence ft a f2, potřebná k určení činitele jakosti Q0, stanovíme podle (12.96) konstrukcí uvedenou v obr. 12.34. 3. Frekvence f3 a /4, potřebné k určení činitele jakosti Qz, stanovíme podle (12.99) konstrukcí uvedenou v obr. 12.34. 4. Frekvence fs a f6, potřebné k určení činitele jakosti Qv, stanovíme podle (12.102) konstrukcí uvedenou v obr. 12.34. Protože z polohy přímky konstantní reálné složky normované impedance můžeme určit velikost činitele vazby, je též možné stanovit činitele jakosti Qz a Qv pomocí O0 a Činitele vazby y. Podle velikosti činitele vazby rozeznáváme: volnou vazbu při x < 1 (_Q0 < Qv) těsnou vazbu při x > 1 (Q0 > Qv) kritickou vazbu při x — 1 (Q0 = Qv) Použijeme-li k zobrazení normovaných hodnot vstupních impedancí rezo. nančního obvodu kruhový impedanční diagram, dostaneme kružnice (obr. 12.35)- ae< 1 *.>1 Obr. 12.35. Geometrická místa normovaných hodnot vstupních impedancí rezonátoru Protože na reálné ose kruhového diagramu je měřítko normovaných hodnot reálných složek impedancí shodné s měřítkem činitele stojatých vln, je zřejmé, že při x < 1 je Po 1 při x > 1 je p0 = x kde po je činitel stojatých vln při rezonanci. Lineární frekvenční měřítko leží na přímce procházející středem kruhového diagramu a je kolmé k ose reálných hodnot impedancí. Že tomu tak je, můžeme se přesvědčit z této úvahy: Činitel odrazu rezonančního obvodu vyjádříme podle (2.126) - íLi^- z -1 e ~ zT+Zo i + i a s použitím vztahu (12.95) 1 - x + j 2Q0Ô neboli e = 1 + x + j 2Q0S 1 - V + (2Qaôý + j- (1 + xÝ + (2Q0Ô)2 (1 + x)2 + (2Qa5)2 V komplexní rovině činitele odrazu (obr. 12.36) platí a = R tg * = tg *; (R — 1) im M (12.104) (12.105) tg# = L - Re OJ 416 417 a podle (.12. J 05) l_ReM=.._.2?^> (I + x)' + (2Q0ŕ>)^ tedy takže tg<ŕ = 2Q0o 1 + x £1 = 2Qo* 1 + x Z toho je zřejmé, že frekvenční měřítko na ose AB v kruhovém diagramu je lineární {obr. 12.37). i ° 1 [ 1 Oŕr. /J.jó". Oir. 12.37. Určení frekvencí pro výpočet činitele jakosti Jednotlivé druhy činitelů jakosti určíme v kruhovém diagramu též ze vztahů (12.96), (12.99) a (12.202). Jestliže normovanou vstupní impedanci vyjádříme výrazem pro určení Q0 pro určení Qz pro určení Qv x | = r se zobrazí v kruhovém diagramu jako kružnice konstantní z = r + jx musí být splněny vztahy I x | = r 1*1 = r + 1 1*1 = 1 Vztah fáze 45°. Vztah | x | = r + 1 se zobrazí jako přímka spojující body oo a ± j. Vztah | x | = 1 se zobrazí jako kružnice konstantní reaktance. Příklad zobrazení normovaných hodnot vstupních impedancí s určením frekvencí, potřebných pro výpočet jednotlivých činitelů jakosti, je uveden na obr. 12.37. Kdybychom místo referenční roviny (1), v níž se rezonátor chová jako sériový 418 m '■Í'.V rezonanční obvod, použili rovinu (2), vzdálenou o A/4, zobrazily by se normované vstupní impedance vztahem 1 x 1 z, ]+}2Q06 což je rovníce kružnice s průměrem rovným činiteli vazby x. K zobrazení v rovine (2) je výhodnější použít admitanční diagram, neboť platí Yl z2 X * X při němž je měřítko poměrných rozladění (v pravoúhlém diagramu) lineární. 12.6.2. Určení činitele jakosti z výkonu odraženého od rezonančního obvodu Tato metoda je výhodná při použití rozmítaného generátoru, když průběh odraženého signálu zobrazíme na osciloskopu. Protože měříme rezonanční obvod, který je určitým způsobem navázán na napájecí vedení, je odražený signál závislý na činiteli zatíženého rezonátoru Qz. Činitel odrazu rezonančního obvodu s činitelem jakosti Qz můžeme vyjádřit podle (2.126) a pomocí (12.98) vztahem ] - x + j 2(2,(1 + x) S 1 +* 4-J2&ÍI +x)Ô takže platí 2 d - x)2 + (2&*r 1 1 - Není-li možné odhadnout, zda je vazba volná nebo těsná, je nutné ji určit jinou metodou (např. změřením vstupní impedance). 12.7. MĚŘENÍ VÝKONU Měření výkonu patří mezi základní mikrovlnná měření. U většiny metod používaných k měření výkonu se převádí vf výkon na teplo, které se pak měří bud přímo některou z kalorimetrických metod, nebo se využívá ke změně elektrického odporu vhodného rezistoru (bolometrické metody). P. = vysoKoireKvencni výkony dělíme obvykle podle velikosti na výkony malé (menší než 10 mW), střední (10 mW až 1 W) a velké (větší než 1 W). Kalorimetrické metody jsou typické pro měření velkých výkonů, pro měření malých výkonů je naopak typické použití bolometrických metod. Oblast středních výkonů bývá překrývána jak kalorimetrickými, tak bolometrickými metodami. Předřadí-li se před bolometrický prvek vhodný útlum známé velikosti, je možné měřit bolo-metxicky i výkony velké. Při všech těchto měřeních určíme tzv. střední hodnotu výkonu. Při měření impulsového výkonu je nutné impulsový výkon vypočítat z naměřené hodnoty středního výkonu, z opakovací frekvence a z délky impulsu podle vztahu P "tí kde Pt je impulsový výkon (W), P střední hodnota výkonu (W), x délka impulsu (s), f i opakovací frekvence impulsů (Hz). 12.7.1. Bolometrické metody měření výkonu Tyto metody používají odporové prvky, tzv. bolometry, jejichž odpor je značně závislý na teplotě. Nejčastěji používanými bolometry jsou dnes termistory. Termistor, používaný k měření mikrovlnného-výkonu, je obvykle tvořen malou polovodičovou perličkou z kysličníku mědi, niklu, manganu nebo kobaltu, která je opatřena tenkými přívodními drátky. Při měření výkonu se bolometrický prvek umístí do vedení tak, aby se v něm vf výkon plně absorboval. Změnu odporu bol o metrického prvku určíme pakvmůstko-vém zapojení. Napájení můstku může být stejnosměrné i střídavé. Principiálně je možné rozdělit bolometrické metody na metody měření s vyváženým můstkem a na metody měření s nevyváženým můstkem. Měření s vyváženým můstkem Můstek se nejprve vyváží při vypnutém vysokofrekvenčním zdroji. Při rovnováze můstku je výkon ztracený v bolometrickém prvku (obr. 12.39) Rif (12.110) Obr. 12.39. Můstkové zapojení bolometrického členu 420 421 Zavedením vf výkonu se rovnováha můstku poruší, neboť bolometr je přihříván též vf výkonem. Po opětovném vyrovnání můstku (při proudu I2) bude celkový výkon ztracený v bolometrickém prvku p = pví + 1ri21 (12.111) kde Py[ je výkon, dodávaný vysokofrekvenčním zdrojem. Z porovnání rovnic (12.110) a (12.111) vyplývá, že vf výkon je p,r = ±r{tf-i2) (12.112) Měřeni s nevyváženým můstkem Při použití této metody vyrovnáme můstek pří vypnutém vf zdroji. Po zavedení vf výkonu se rovnováha můstku poruší a protože výchylka indikátoru vyvážení je úměrná přiváděnému vf výkonu, je možné kalibrovat indikátor v jednotkách výkonu. Citlivost můstku lze zvýšit tím, že se můstek napájí střídavým proudem a indikátor vyváženi je selektivní voltmetr s velkou citlivostí, laděný na frekvencí zdroje střídavého proudu. Při zvyšování citlivosti můstku se začíná nepříznivě projevovat vliv kolísáni okolní teploty. Mění-li se teplota okolí, mění se i odpor bolometru a měřeni je nepřesné. Aby se vliv změny teploty okolí omezil, zavádí se teplotní kompenzace můstku. Můstek s teplotní kompenzací má obvykle dva termistory a jeho zapojení je již podstatně složitější než u můstku bez teplotní kompenzace. Můstek bývá proveden jako dvojitý a je napájen střídavým i stejnosměrným proudem. Kompenzační termistor je umístěn co nejblíže měřícího termistoru. Velikost střídavého napětí, dodávaného oscilátorem, se automaticky reguluje zpětnovazební smyčkou napětím z měřícího můstku. 12.7.2. Kalorimetrické metody měření výkonu Tyto metody jsou typické pro měření velkých výkonů, je ovšem možné je používat i při měřeni středních a výjimečně i při měření malých výkonů. Jsou založeny na úplné přeměně energie dopadající elektromagnetické vlny v teplo. Pomocí kalorimetrických metod se urči vf výkon přímo ze základních fyzikálních veličin — hmotnosti, času a teploty. Teplo, vzniklé absorpcí vysokofrekvenčního výkonu, může být určeno bud z přírůstku teploty absorbujícího prostředí, nebo z přestupu tepla z absorbujícího prostředí do okolí. Kalorimetrické metody dělíme dále na metody statické a průtokové podie toho, zda je absorbující prostředí v klidu nebo zda cirkuluje. 422 Statické kalorimetrické metody Je-li vf výkon přiváděn k tepelně izolovanému absorpčnímu prostředí, které nemá tepelné ztráty do okolí, pak je zvýšení teploty absorpčního prostředí přímo úměrné vf výkonu a době, po kterou působí vf výkon. Výkon můžeme určit jako součin rychlosti přírůstku teploty kalorimetrického prostředí a jeho tepelné kapacity. Můžeme tedy psát P= C AT At (12.113) kde c je tepelná kapacita absorbujícího prostředí (J . K '), T teplota (K), P výkon (W). Předpokládáme-Ii, že v okamžiku t — ta je teplota absorbujícího prostředí T0t potom na základě vztahu (12.113) platí p — c T T0 t - ín (12.114) kde T — T0 je rozdíl teplot absorbujícího prostředí na konci a na počátku měřeny / — t0 doba trvání měření. Vzorec pro určení vf výkonu (12.114) můžeme psát též ve tvaru p = mc, T~T0 t - t0 (12.115) kde m je hmotnost prostředí (kg), c měrná tepelná kapacita prostředí (J . kg"1 . K"'). Průtokové metody V těchto kalorimetrických měřičích výkonu protéká absorbující prostředí konstantní rychlostí prostorem, v němž je zahříváno vf elektromagnetickou energií. Důsledek toho je, že teplota protékajícího absorpčního prostředí je na výstupu z kalorimetru vyšší než na jeho vstupu. Střední výkon můžeme pak určit z rozdílu těchto teplot podle vztahu P = vqcpAT kde P je výkon (W), v rychlost průtoku absorbujícího prostředí (m . s"1), q hustota absorbujícího prostředí (kg . m-1), tp měrná tepelná kapacita absorbujícího prostředí (J . kg"1 . K"1), AT rozdíl teplot na výstupu a vstupu (K). (12.116) 423 U vinovoaovycn Kat on metru se jaico aosorpcnt prostředí pouztva nejčastěji voaaj která protéká vlnovodem v Šikmo umístěné trubici (viz obr. 12.40). natemacicKa pniona Obr. 12.40. Schematické zobrazení průtokového měřiče výkonu Literatura ke kapitole 12 [1] Barlow, H. M.~Cul\en> A. L.: Micro-wave measurements. London, Constable 1950. [2] Tischer, J. F.: Mikrowellen-Messtechnik. Springer-Verlag 1958. (31 Ginzton, E. L.: Microwave Measurements. New York, Mc Graw—Hill 1957. [41 Vŕba, J.: Mířeni na centimetrových vlnách I. Praha, SNTL 1958. (5| Vrba, J.: Míření na centimetrových vlnách II. Praha, Nakladatelství dopravy a spojů 1978. [6j Sucher, M.—Fox, J.: Handbook of Microwave Measurements. Brooklyn, Polytechnic Pres 1963. [7] Tysl, V.: Obvody a technika velmi vysokých kmitočtů II. Skriptum. Praha, Ediční středisko ČVUT 1983. 424 A. VEKTOROVÝ POČET 1. VEKTOROVÁ ALGEBRA V pravoúhlé soustavě souřadnic x, y, z je vektor A A = Axx + ayy + azz kde x, y, z jsou jednotkové vektory ve směru souřadných os. Složky vektoru v pravoúhlé soustavě jsou jeho průměty do A —■ -f- Ay -\- A^ Velikost vektoru | A | = a; a = JáI + a) + a\ Polohový vektor (radiusvektor) bodu (x, y, z) je r = xx + yy + zz; r = Jx1 + y1 + z2; r0 = kde r0 je jednotkový vektor ve směru r. Skalární součin dvou vektorů A . B = AB cos a = axbx + ayb„ + azbi kde a je úhel mezi nimi. Jiné značeni skalárního součinu A. B = (AB) = (A.B) Pro skalární součin platí A. B = B . A; A.(B + C) = A.B + A.C kA = kAxx + kAyy + kAzz k(A . B) = kA . B = A . kB (A + B)1 = A2 ± 2AB + B1 (věta kosinová) A. A = A2 * =1; x. y = 0; ŕ =i; y . x = 0; Z* = 1; z . x = 0; y . x = 0 atd. Složky vektoru vypočítáme pomocí součinů Ax = A. x; Ay = A. y; At = A. z (A. 11) (A. 12) (A. 13) Vektorový součin dvou vektorů A x B = C; \ A x B \ = AB sin a (A.14) Vektorový součin je velikostí roven obsahu rovnoběžníku tvořeného oběma vektory. Výsledný vektor je kolmý k rovině rovnoběžníku a tvoří pravotočivý trojhran ABC. Jiné označení vektorového součinu A x B = [AB] A x B = (^Br - AtBy) x + (AZBX - AXBZ) y + (AxBy - AyBx) z (A. 15) Vyjádření vektorového součinu pomoci determinantu A x B = Bx By Bt Pro vektorové součiny platí Axí=-BxA; (A + B) x C = A x C + B x C k(A x B) = kA >: B = A x kB Vektorové součiny jednotkových vektoru x x x = 0; yxy = 0; * x y = z; y x x = -z; y x z = x; z x y = -x; r x z = 0 z x y = —x x x z 3= —y Složené součiny vektoru A. (B x C) = B . (C x A) = C. (A x B) A x (B x C) = (A. C) B - (A. B) C » C x (B x A) (A x B) . (C x D) = (A . C) (B . D) - (A . D) (B . C) (A x B) x (C x D) = B . [A. (C x D)] - A. [B. (C x D)] (A x B) x (C x D) = [(A x B). D] . C - [(A x B). C] . D (A. 15a) (A.16) (A. 17) (A. 18) (A.19) (A. 20) (A.21) (A.22) (A. 22a) 426 Derivace vektoru podle skalární proměnné t - A* + Afr + A*; A^^ _ dAy , dA, ^" dt > z dt ' (A. 23) Diferenciál vektoru dA(ŕ) = A'(í) dr Je-li | A j = &ť>«íŕ, je diferenciál vektoru dA -i- A. Diferenciály součinů vektora d(A . B) = dA . B + A . dB d(A x B) = dA x B + A x dB Derivace polohového vektoru rit) = x{t)x + XOy + z(t)z dr (A.24) (A. 25) (A.26) dt = x'x + y'y + z'z; dr = r'(ť) dí = x dx + y dy + z dz (A.27)- Derivace podle oblouku. Nezávisle proměnnou je oblouk prostorové křivky, který opisuje hrot vektoru r. Derivace ve směru vytčeném elementem oblouku ds je dr dx dy , dz ds ds ds ds (A.28) kde t je jednotkový vektor ve směru tečny a ve smyslu rostoucí délky oblouku. Gradient skalárního pole Část trojrozměrného prostoru, v němž je definována skalární funkce ) -

. n; dr = n dn Derivace skalární funkce v libovolném směru s -r- = grad = div grad

((0 = + 2 (grad

+ -^-^iMa) + -xr-(AiMí)l CA.66) č?u3 rot A = 1 *^L^(M3)-^(M2)_h mi 1 nebo ve tvaru determinantu «2 + rot A = M2 Ms a a g ôui du2 ôu3 h^ h2A2 h3A3 (A.67) (A. 67a) v2[/ = 1 I" g /Mi , a /Mi ^t/\ M2*s \_dUi \ hl a«j / du2 ^ h2 du2) + *(^™)] du3 \ h3 du3f\ (A.68) Válcové souřadnice: uy = r, u2 = ; z = z (A.69) Délky elementárních oblouků: díi = dr, ds2 = r d.dí) = . d*) = 0 (A.75) PloSný integrál vektoru A(x, y, z) po ploše S s elementem dS = n dS, kde n je jednotkový vektor směru vnější normály. J A. dS = l A. nůS = jj(Adydz + ^dzdx + ^dxdy) (A.76) s s s je plošný integrál vektoru nebo tok vektoru plochou S. Transformace integrálů Věta Stokesova J rot A.dS = j A.ds; dS = ndS; d* = tds (A.77) s í kde n je jednotkový vektor normály plochy takového smyslu, že ze strany, k níž normála směřuje, se jeví oběh křivky kladně (proti směru pohybu hodinových ruček). Věta Gaussova JdivAdF = f A. dS; dS = ndS (A.78) v s kde V je objem uzavřený plochou S; n je jednotkový vektor normály směřující z uzavřeného prostoru ven, A je vektorová funkce mající divergenci a rotor. Je-li

dS (A.79) r s Věty Greenovy Jsou-li a ý skalární funkce dvou proměnných, S je uzavřená plocha omezená křivkou í a n jednotkový vektor kolmý k s, je 1. věta Greenova dána vztahem (p tity uď = j

grad \b dV + f

dS (A. 86) div A = lim ~ § A. dS (A.87) rot A = lim ~ tf A x dS (A.88) BESSELOVY FUNKCE Diferenciální rovnice drJ r dr \ r2 J (B.l) kterou můžeme převést substitucí /> == x na rovnici d2Ä 1 dR / m2\ „ dx2 * ^ V x2J (neboť dx = T dr, dx2 = r2 dr2)je Besselova diferenciální rovnice druhého řádu, má dvě lineárně nezávislá řešeni, která se mohou vyjádřit tzv. Besselovýmifunkcemi. 433 Při řešení problémů v mikrovlnné technice budeme nejčastěji používat obecné řešení ve tvaru • if = C,Ux) + CjNJx) (B.2) kde JJx) je Besselova funkce 1. druhu m-tého řádu, N„(jí) Besselova funkce 2. druhu m-tého řádu, která bývá označována jako funkce Neumannova, Cj, C2 jsou konstanty. Pro tyto funkce platí řada důležitých identit. Označíme-li platí Z„_,(jc) + Zm+l(x) = 2m ZJx) Zm_i{jc) - Z„+1(x) = 2Z;(x) -^ix"ZK(x)} = xMZm^(x) Z&x) = -Z^x) (B.3) (B.4) (B-5) (B.6) (B.7) (B.8) (B.9) Průběhy Besselových funkcí 2. druhu 3~m(x) a Besselových funkcí 2. druhu N„(jf) jsou znázorněny na obr. B. 1 (pro řád m = 0 ať m = 2). 1,0 h 06r. 5.7. Průběhy Besselových funkcí J„,(jf) a N„(x) Z průběhu Besselových funkcí je zřejmé, Že mají nekonečně mnoho nulových hodnot (oEffl„, popř. a'„„). K rozlišení argumentů nulových hodnot jim přiřazujeme indexy m, n, přičemž m označuje řád Besselových funkcí a n označuje pořadí nulové hodnoty. Například a02 je v pořadí druhá nulová hodnota Besselovy funkce nultého řádu apod. Analogicky se označují i nulové hodnoty derivací Besselových funkcí «'. Jestliže v BesselovĚ diferenciální rovnici zavedeme vztah r* - -g* neboli r=jg dostaneme rovnici -»oo v *j' e' liml0(v) = -7==- Při řešení problémů mikrovlnné. techniky se často setkáme s J x J*(fcx) dx = 1 a2 [r2(ka) + (í~ -^j J>(ka)] a J Jm(fc1x)Jm(fc2x)xdx = ■[fc2 J^.^fc^JmífclO) - ^1 J«-l(m)Jm(m)] (B.16) (B.17) (b.18) (B.19) (B.20) (B-21) (B.22) (B.23) (B.24) (B.25) (B.26) (B.27) (B.28) Lommelovými (B.29) k\-k\ (B.30) 436 1. Matici nazýváme soustavu čísel (reálných nebo komplexních) uspořádaných do tabulky s m řádky a n sloupci A = all °22 aI3 «1. «2. Jiný zápis matice A = Oy]; (» = 1. 2, m; j = 1, 2, .... n) 2. Matice řádková (řádkový vektor) 3. Matice sloupcová (sloupcový vektor) 'a, a = a3 La„J 4. Matice diagonální 5. Matice jednotková "l 0 ... o' 1 = 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 1 Jiný zápis jednotkové matice 1 = Py] kde = -1 pro i = j iJ ^-0 proi#j je Kroneckerův symbol 6. Rovnost matic: A = B, když (Cl) (c2) (C.3) 0 0 . , 0 A = 0 (t2 0 . . 0 (C.4) 0 0 0 . • a" (C.5) (C.6) (C.7) 437 A + B = C, když atJ + = cu Pro součet a rozdíl platí zákon komutativní a asociativní, tj, A + B = 8 + A (A + B) + C - A + (B ± C) 8. Násobeni matice skalárem k k A — B, když kal} = bl} 9. Součin čtvercových matic n AB = C, kde cu = £ íi;A; *= t a) Součin je obecně nekomutativní: AB # BA b) Platí zákon asociativní: (AB) C = A(BC) c) Platí zákon distributivní: A(B + C) = AB + AC (C.8) (C9) (CIO) (C.H) (Cl 2) (C.13) (C.14) (Cl 5) 10. Matice transponovaná Ä (nebo AT) se získá záměnou sloupců za řádky. Diagonální prvky zůstávají nedotčeny. 11. Součin Čtvercové matice A je sloupcovým vektorem a je sloupcový vektor b Aa = b, kde b, = £ aikak (Cl6) *= i 12. Součin řádkového vektoru a se čtvercovou maticí A. je řádkový vektor b n äA = b, kde b} = Y (C 17) 13. Součin řádkového vektoru ä se sloupcovým vektorem b je číslo, tj. äb = i>,í.( (c i?) 14. Nejsou definovány součiny matic Aa, aA, ab. 15. Dělení matic není definováno. Matici je však možné dělit číslem [viz (Cli)]. 438 id. ueiermmuní mutiít. ívttiuc ktvci wvc iimuvi pusiuai utici■iiiiiam vytvořeny z jejích prvků. Označíme jej det A. Determinant matice det A je číslo uiŕené známými pravidly pro výpočet hodnot determinantů. 17. Minor maticového prvku au}t determinant získaný vynecháním ř-tého řádku a y-tého sloupce matice A. 18. Algebraický doplněk Al} prvku ai} je minor prvku at] vynásobený Činitelem (-Dř+i. 19. Adjungovaná matice adj (A) = A'. Prvky aý adjungovafté matice jsou algebraické doplňky prvků ajt v determinantu původní matice. Danou matici A nejdříve transponujeme a pak místo každého prvku této transponované matice píšeme jeho doplněk v determinantu transponované matice. 20. Inversní matice A-1 k matici A je taková, pro níž platí AA"1 = A-1A = J; je dána vztahem A"=detÄA' (C19) 21. Vlastnosti inverzní matice det A"1 = [det A]"1 (ABC)"1 = C^B^A1 (Ä-1) - (Är1 22. Vlastnosti transponovaných matic Je-li Ä = C, je Č = A Je-li A+B = C,jeČ = A+ B Je-li AB = C, je Č= BA 23. Matice B komplexně sdružená k matici A, B = A* má prvky bi} = o*-, 24. Hermitovská matice A je taková, pro ní Ž piati A = Ä*, tj. au = a*, 25. Ortogonální matice má prvky reálné a platí pro ni AA = 1 26. Unitární matice A je taková, pro níž platí Ä*A = 1 (C.20) (C.21) (C.22) (C.23) (C.24) (C.25) (C.26) (C.27) (C.28) 439 a) pro vektory vytvořené z řádků platí: S aika% = 0; pro i 4=; b) pro vektory vytvořené ze sloupců platí: E akfih = °; Pro i * j *=i c) pro každý řádek platí: »=1 k-t d) pro každý sloupec platí: e) minory nulových prvků unitární matice jsou rovny nule, 28. Velikost reálného vektoru a je (C.29) (C.30) (C.31) (C.32) I »| - y/at + ai + ... + a1 29. Velikost komplexního vektoru a je I a | = VMi ľ + \a3\1 + ... + {oj2' 30. Sloupcové vektory a(l) a a1'* jsou ortogonální platí-li = 0 31. Vektory a(1\ a,2t, .... a.ln> jsou lineárně nezávislé, plati-U n Y, Cj-a = 0 pouze pro ct — c2 — ... = c„ = 0 Ke snadnějšímu pochopení lineárně nezávislých vektorů zvolíme příklad. V odstavci 9.3.1. jsou určeny dva vektory (C.34) (C.35) (C.36) (CM) nebo 440 ají být lineárně nezávislé. Musí tedv pro ně platit ['•■Jat"^!"^-e'->]-pi'' odtud dostaneme dvě rovnice s neznámými c( a c2 c, —— c2 ^ =0 V2 "W2 Řešení obou rovnic je zřejmě triviální, protože determinant soustavy D = Oba vektory a(1) a a(2) jsou tedy lineárně nezávislé. - I. 32. Vlastni hodnoty a vlastni vektory matice Pro čtvercovou matici A, sloupcový vektor x a nějaké Číslo a se rovnice Ax = ax (C.38) nazývá rovnici vlastních hodnot. Vektor x je vlastní vektor a a je vlastní hodnota. Tato rovnice může být splněna pouze pro zcela určité hodnoty a. K tomu účelu ji přepíšeme na tvar (A — ai) x = 0 ÍC39) Tato rojnice je stručným zápisem n rovnic s n neznámými. Netriviální řešeni vzhledem k x existuje pouze tehdy, je-li determinant soustavy nulový, tedy det (A - cti) = 0 (C.40) Získaná rovnice se nazývá charakteristickou rovnicí. Rozvinutím tohoto determinantu dostaneme pro a polynom n-tého stupně, tzv. charakteristický polynom. Tento polynom má n kořenů (vlastních hodnot), z nichž některé si mohou být rovny. Je-li »i-kořenů stejných, říkáme, že vlastní hodnoty jsou m-násobně degenerovány. Jsou-li všechny kořeny různé, říkáme jim nedegenerované vlastní hodnoty. a) Nedegenerované vlastni hodnoty Věta 1. n vlastních vektorů matice A odpovídajících n nedegenerovaným hodnotám jsou vektory lineárně nezávislé. Věta 2. Libovolný n-rozměrný vektor může být vyjádřen jako lineární kombinace n lineárně nezávislých vektorů ,(0) _ to (C.41) Z obou vět vyplývá, že každé vlastní hodnotě (nedegenerované) odpovídá pouze jeden vlastní vektor lineárně nezávislý. Další vlastní vektory (odpovídající této nedegenerované vlastní hodnotě) mohou být získány z tohoto vektoru jeho vynásobením konstantami. b) Degenerované vlastní hodnoty Vlastní vektory odpovídající degenerovaným vlastním hodnotám nejsou určeny jednoznačně. Každá jejich lineární kombinace je opět vlastním vektorem odpovídajícím této vlastní hodnotě. Existuje tedy neomezený počet vlastních vektorů odpovídajících degenerovaným vlastním hodnotám. 441 Věta 3. Je-li matice A hermitovská, pak její vlastní hodnoty jsou reálné. Věta 4. Je-li matice A hermitovská, pak její vlastní vektory odpovídající nede-generovaným vlastním hodnotám jsou ortogonální. Věta 5. Je-li matice A reálná a symetrická, jsou všechny její vlastní hodnoty reálné a vlastní vektory mohou být zvoleny reálné. Věta 6. Vlastní hodnoty ryze imaginární symetrické matice jsou ryze imaginární a vlastní vektory mohou být reálné. d) Zaměnitelné matice Pro zaměnitelné matice (AB = BA) plati velmi důležitá věta: Věta 7, Jsou-li A a B zaměnitelné matice a Aa(í) = txfiu\ kde af jsou nedegenero-vané vlastní hodnoty matice A, pak vlastní vektory a{0 matice A jsou také vlastními vektory matice B. Je zřejmé, že nebo BAa<*"> = «.Bam A(Ba"') = «((Ba10) (C.42) Vektor Ba(í) je tedy vlastním vektorem matice A odpovídající nedegenerované vlastní hodnotě ař. Vektor Ba(í) se může HSit od a(i) nanejvýš multiplikační konstantou, neboť Ba<" = ßta! (0 (C.43) Je tedy a(í) vlastním vektorem matice B (vlastní hodnoty /f( jsou vsak odlišné od a,). D. SCHWARZOVO - CHRISTOFFELOVO ZOBRAZENÍ Schwarzovo -Christoffelovo zobrazení zprostředkuje konformní zobrazení vnitřku polygonálni oblasti z roviny (z) komplexní proměnné z = x + jy na horní polorovinu roviny (^) komplexní proměnné D Vlastnosti zobrazení: 1. Polohu tří z bodů Ci až C„ lze volit libovolně. Ostatní body spolu s integračními konstantami Kt a K2 se určí z podmínek zobrazení. 2. Konstanta Jfľ, způsobuje natočení o úhel rovný arg Kt a ovlivňuje rozměr zobrazení A^-krát. Konstanta K2 způsobuje posuv zobrazení. 3. Vnitřní úhly polygonu musí splňovat podmínku a, + «2 + ■■■ + a„ = (n - 2) it 4. Zobrazovací vztah je platný i tehdy, když jsou některé vrcholy polygonu v nekonečnu. Za vnitřní úhel afc pří vrcholu Zk = oo bereme záporně vzatý úhel sevřený příslušnými stranami v konečném průsečíku (pro nesouhlasně rovnoběžné strany ak = —jc, pro souhlasně rovnoběžné strany eth = 0). 5. Jestliže přiřadíme některý z vrcholů mnohoúhelníku Zk nevlastnímu bodu C* = oo v rovině (O, zobrazovací vztah zůstává v platnosti, ale vymizí z něj činitel E. STŘEDNÍ HUSTOTA TOKU VÝKONU Při používání komplexních veličin musíme mít na zřeteli, že některé fyzikální veličiny (např. výkon) je nutné vyjádřit reálnými funkcemi. Předpokládejme např. komplexní veličinu A ve tvaru A = (a + jb) e~j0" = a cos wt + b sin cot + j(í> cos cot - a sin ojí) (E.l) takže pro komplexně sdruženou veličinu A* platí A* — (a ~ jb) ej"" = a cos mi + b sin wt - j(b cos tot - a sin )(c - )d)ei2m A*B = (a- jb) (c+jď) = ac+ bd - }{bc - ad) AB* = (a + jí>) (c - jrf) = ac + bd + j(*c - ad) (E.4) (E.5) (E.6) (E.7) (E.8) (E.9) (E.10) Vyjádříme-li časově střední hodnotu součinu reálných složek veličin A, B, lze psát = -^(AB* + A*B) (E.ll) neboť pro ryze harmonické časové funkce platí, že jejich časově střední hodnoty jsou rovny nule <^B>=^ ${AB)dt = 0 1 o = l ]{A*B*)dt = Q 1 o Protože z uvedených vztahů dále vyplývá AB* + A*B = 2 Re[yiB*] lze psát = Í-Re[^B*] (E.12) (E.13) (E-14) (E.15) Střední hustotu toku výkonu harmonického elektromagnetického pole s komplexními amplitudami vektorů £ a H lze tedy vyjádřit vztahem i -.1

= = ~ Re (£ x H*) (E.16) K ORTOGONÁLNÍ VLASTNOSTI VLASTNÍCH FUNKCÍ VLNOVODU Označme určitou kombinaci vidových čišel nt, n řeckým písmenem v a jinou kombinaci písmenem /». Pak vlastní funkce Tl¥ popisuje příčné uspořádání v-tého vidu ve vlnovodu a vlastní funkce Ttfl uspořádání /j-tého vidu. Obě funkce ľ,, a r(ll samozřejmě splňují odpovídající vlnovou rovnici s příslušnou okrajovou podmínkou. Dosadíme-li do (A.81) ý = Ttí a tp = Tlfl, dostaneme JíT^Äľi, - t„ HTtJŮS = j (tu-^- + 7i,-^)d* V této rovnici je S plocha průřezu vlnovodu a s obrysová křivka průřezu vlnovodu. Se zřetelem k okrajovým podmínkám pro vlny TM a TE je pravá strana této rovnice nulová. Dosadíme-li z dílčích vlnových rovnic pro vlastni funkce Tlv a T1k, dostaneme (r2-r2)JrlřlrlBds = o (F.2) Tento vztah definuje ortogonální vlastnosti vlastních funkcí vlnovodu, neboť pro u # v je r„ ž r„, takže musí být fTMTívdS = 0 (F.3) Pro u = v je r„ = rv a z (F.2) vyplývá f T2„ dS # O nebo j X2V dS = My (F.4) kde veličina Ař, je tzv. norma vlastní funkce Tt t. Podobným způsobem lze ukázat, že i vlastní funkce rezonátorů Ev a jsou ortogonální. Ortogonální vlatnosti vlastních funkcí vlnovodu a rezonátorů se využívají při řešení teoretických úloh v mikrovlnných obvodech. ROVNICE KRUŽNICE V KOMPLEXNÍM TVARU Obecná rovnice kružnice v rovině (z) je (obr. G. 1) (x - m)2 + (y -n)2 = R2 neboli *2 + v2 - 2mx - 2ny + m2 + «2 = R2 Zavedeme-li komplexní proměnnou z = x + jy z* = x - jy (G.l) (G.2) (G.3) (G.4) 445 pian T<2 + 2*> y -2f(z-z*) a rovnici kružnice můžeme napsat ve tvaru zz* - zim - jn) - z*(m + jn) + m1 + n1 - R1 = 0 (G.5) (G.6) (G.7) H. Obr. G.l. SILOVÉ CARY ELEKTRICKÉHO A MAGNETICKÉHO POLE Směr vektoru intenzity elektrického nebo magnetického pole je obecně určen třemi složkami tohoto vektoru. Rovnici silové Čáry ve vektorovém tvaru můžeme určit z podmínky, že vektor intenzity elektrického nebo magnetického pole musí mít smír jednotkového vektoru ve směru tečny silové čáry, přičemž směr tečny je totožný se směrem elementárního oblouku silové čáry. Předpokládáme-li ortogonální souřadnice ut, u2, u3, pak pro elementární oblouk platí ds = dLs1u1 + díjUj + díjUj kde ds1, dr2, dj3 jsou elementární oblouky křivočarých souřadnic ve směru jednotkových vektorů ut, u2, u3. Pro elementární oblouky platí díj = h1 du1; ds2 = fJa du2; dr3 = ft3 du3 kde hj, ft2, ř»3 jsou Laméovy koeficienty, takže d* = kí duiUi + h2 du2u2 + ft3 dw3w3 Aby směr vektoru intenzity pole byl totožný se směrem elementárního oblouku d* silové čáry, musí platit E x dí = 0 n xai = u Rozvedeme-li vektorový součin do jednotlivých složek ve směru ut, u2, u3, pak např. pro elektrické pole dostaneme £ x dí = "i Eml hí dwt J«2 -ml n, dw, ft, du. = «i(J?a*3 d«3 - Ev3h2 du2) + u^E^h, d«t - Eulh3 du3) + + u3(Eulh2 du2 - Eu2h, dut) = 0 Tato rovnice bude splněna tehdy, budou-li koeficienty u jednotlivých složek jednotkových vektorů nulové, takže musí platit £■„2*13 dw3 - Eaih2 du2 = 0 E«íhi d«i - Ettlh3 d«3 = 0 EMíh2 du2 — EMlhí dw, = 0 Z těchto rovnic dostaneme 3.1 h1 d«! h3 dw2 ft3 dw3 Pro magnetické pole bychom dostali analogicky ht d«t h, du. Hu3 ft, du. 446 447 Rejstřík admiíance d v oj pól u 265 apertura clony 253, 255 aproximace kvazi-TEM 347, 349, 353 cirkulátor 322, 336, 340, 369, 370 clona indukční 249, 250, 257 — kapacitní 249, 257, 258 — tlustá ve vlnovodu 282 činitel jakosti 207, 413 — odrazu 78, 247, 250, 262, 379, 382 — přenosu 247, 251 — reflexních ztrát 242 — stojaté vlny 380, 381, 383 — vazby 413 — ztrát 20 číslo Fresnelovo 240 — vlnové 32 člen T v rovině „E" 288, 291 — - - „H" 278, 288 — Y v rovine „H" 278, 288 Ctyřbran mikrovlnní 291 délka vlny mezní 39 — — ňa vedení 40 dělič výkonu třídecibelový 291 diagonalizace tenzoru permeability 329 diagram admitanční 394 — impedanční Smithův 385, 394 — vidů dutinového rezonátoru 221 dipól elektrický 304 — magnetický 304 dvojbran mikrovlnný 282, 318 dvojlom 334 dvojpól mikrovlnný 263, 267 energie elektrického pole 210 — elektromagnetického pole 73, 207, 210 — magnetického pole 210 ferity 321 frekvence úhlová komplexní 211 - — mezní 39 graf orientovaný 313 grupa operátorů symetrie 280 gyrátor 322, 335 hloubka vniku 57 charakteristika disperzní 191, 196 impedance dvojpól u 265 - charakteristická 45, 46 - příčná 152 - vlnová 69, 76, 379 - - roikropáskového vedeni 348, 353, 359, 374 - vodiče 58 —, transformace na vedení 78 identita, symetrická transformace 277, 280 indukčnost vedení 72, 74 induktor páskový 372 - spiráloví 372 inverze, symetrická transformace 277, 280 izolace smĚrové-odbornice 365 izolátor 322, 336, 338, 369 jev Faradayův 332, 335, 336 jevy disperzní 348, 349 kapacita vedení 71, 74 kapacitor interdigitální 376 - sendvičový kmity degenerované 222 - magnetizace vlastní 324 - — vynucené 325 kolík rezonanční 260 konstanta Faraday ova 333 - fázová 38 - útlumu 38 - průřezu vedení 37 - imitanční 265, 281, 283 - ortogonální 286 - rozptylová 269 - vlnová přenosová 274 metoda orientovaných grafů 313 mnohobran mikrovlnný 262 moment dipólový elektrický 27 - — magnetický 27 napčti fiktivní 263, 264 n-bran mikrovlnný 266 nespoj itost na vedeni 247 posouvač fáze nereciproční 339, 367 — — reciproční 367 princip reciprocity Lorentzův 267 prostředí gyrotropni 321 — ztrátové dielektrické 67 proud fiktivní 263, 264 přenos přímé cesty 314 — smyčky 314 přechod, mikropásek-Štěrbinové vedeni 359 —, souosé vedení-mikropásek 357 —, vlnovod-mikropásek 358 přizpůsobení totální 273, 298 obvod integrovaný hybridní 343 - — monolitický 341 odbornice Betheho 302 - křížová 303 - Schwingerova 301 - směrová 296 odpor vf pomírný 59 okénko rezonanční 258 operátor identity 280, 281 - inverze 280 - reflexe 279, 282 - rotace 279 ortogonálnost vlastních funkci vlnovodu 253 permeabilita efektivní 331, 367 - relativní 19 —, tenzor 20 permitívita dynamická 364 - efektivní 348 - komplexní 20 - relativní 19 -, tenzor 20 podmínka Lorentzova 25, 27 - rezonanční 206, 399 polarizace elektrická 21 - eliptická 306, 331 - horizontální 305 - kruhová 305, 306, 331, 368 - magnetická 21 - vertikální 305 - vnucená 22 polarizátor kruhový 308 - půlvlnný 311 pole elektromagnetické LE 33 - - LM 33 - - TE 33 - - TM 33 reflexe, symetrická transformace 277, 278, 288, 292 rezistor v MlO 374 rezonance feromagnetická 200, 323 — - příčná 333, 334 — příčná 152 rezonátor 201 —, pracovní oblast 222 — dielektrický 242 — diskový 362 — dutinový 209 — feritový 245 — mikropáskový 362 — otevřený 237 rotace Faradayova 336, 337 rovina polarizace 305 rovnice disperzní 176 — charakteristická 284 rozložení pole nereciproční 339 rychlost Siření energie 50 — - fázová 40 — — skupinová 40 signál uzlový 313 směrovost odbornice 298, 300, 364, 365 součinitel přenosu 38, 73 — - komplexní 38 struktura feritů 321 — hřebínková 86, 187 — interdigitální 186, 187 — periodická 186, 191 substrát feritový 355, 367 -, GaAs 342 —, požadavky 343 svorky fiktivní 263 symetrie mikrovlnných obvodů 277 448 449 1 UVUJ1M? - kruhové 296 - magické 291, 292, 319 - můstkové292 - paralelní 288, 291 - prstencové 296 - sériové 291 tenzor permeabifity 20, 327, 328 - susceptibility 326, 328 transformace symetrická 277 transformátor impedanční 260, 400 trojbran mikrovlnný 288 útlum odbočný směrové odbornice 300 - poměrný 38, 60, 62, 67, 73 - vložní mikropáskové odbornice 365 vazba směrová 301 - odbornice mikropáskové 365 vedení deskové 121 - dvoudrátové 126 - hfebínkové 196 - meandrové mikropáskové 368, 369 - měřicí 383 - mikropáskové 36, 342, 344 - — koplanárnf 345, 352 - - nesymetrické 344, 347, 348, 355 - — symetrické 344 - - štěrbinové 344, 350 - páskové nesymetrické 139 - — symetrické 131 - radiální 154 - Šroubovicové 186, 187, 191 - zpomalovací 186 vektor Hertzů v elektrický 28 - - magnetický 30 - vlastni 284 věta Floquetova 190 - Poynttngova 264 vid elektromagnetické vlny 89, 91, 101, 105, 250 - dominantní 91, 105, 181 vlna elektromagnetická zpomalená 161 - hybridní 140, 173, 179, 346, 347, 349, 351 -, kvazi-TEM 140, 353, 354, 356 - mimořádná ve feritu 334 —, prostorová harmonická 189, 190 - příčně elektrická 43, 45, 49, 65 - - magnetická 42, 44, 47, 62 - řádná ve feritu 334 - TEM 68, 275, 346 - - vedená okrajem 356 vlny pomalé 186, 196 - povrchové 186, 188, 189 - v gyrotropnim prostředí 330 vlnovod dielektrický 160, 172 - koaxiální 116 - knihového průře2U 97 - obdélníkového průřezu 86 - ti 358 výkon komplexní 211 - přenášený vedením s vlnou TEM 72 - — vlnovodem 46 - ztracený ve vodiči 58, 62 vzorec Masonův 316, 318, 319, 320 zákon Snellův 55, 170 zeslabovač mezni 82 - stavitelný 383 ztráty, mikropáskové vedení 349 - nepřizpůsobením 383 I Prof. Ing, Václav Tys!, DrSc, doc, Ing. Vladimír Růžička, CSc. Teoretické základy mikrovlnné techniky DT 621.37/39 (075.8) Vydalo SNTL - Nakladatelství technické literatury, n. p., Spálená 51, 113 02 Praha 1 v roce 1989 jako svou 10899. publikaci Redakce elektrotechnické literatury Odpovědný redaktor Ing. Milan Dufek, CSc. Vazbu navrhl Josef Kalousek Grafická úprava a technická redakce Šárka Panošova Vytiskl Tisk, knižní výroba, n. p., Brno, závod 1 452 stran, 279 obrázků, 5 tabulek Typové číslo L26-C3-IV51/58642. Vydání první Náklad 800 výtisků. 33,25 AA, 33,99 VA 05/38 Cena vázaného výtisku Kčs 31,— 104/21,852 Publikace je určena studentům elektrotechnických fakult studijního oboru rádioelektronika. Mohou ji však využít všichni inženýrští pracovníci, kteří se zabývají mikrovlnnou technikou 04-543-89 Kčs 31.-