Matematika pro chemiky
Nekonečné řady
Eva Dobrovolná, Petr Liška, Šárka Uchytilová
Tento text vznikl v rámci projektu Matematika pro chemiky podpořeného Fondem rozvoje Masarykovy
univerzity.
Nekonečné řady
Ve fyzice a chemii existuje mnoho důležitých funkcí, které jsou definovány jakou součty nekonečných
řad. Navíc je i obvyklé, že při studiu mnoha reálných problémů se uvažovaná funkce nahradí několika
členy nekonečné řady, která danou funkci reprezentuje. Tento trik se také často používá k integrování
některých funkcí. V této kapitole se proto seznámíme se základními poznatky o konvergenci posloupností
a nekonečných řad, ukážeme si jak sečíst nekonečně mnoho čísel, případně jak funkci nahradit nějakou
řadu.
Posloupnosti
Definice 1. Posloupnost je funkce definovaná na množině M ⊆ N. Posloupnost označujeme {an} nebo
{an}∞
n=1, n-tý prvek označujeme f(n), fn a nejčastěji an.
Posloupnost bývá zadána výčtem členů
1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . . ,
explicitním vzorcem pro n-tý člen
an =
(−1)nn!
3n
nebo tzv. rekurentním vzorcem
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3 .
Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže existuje takové číslo L, ke kterému se můžeme
s prvky posloupnosti libovolně málo přiblížit, pokud vezmeme dostatečně velké n. Zapisujeme
lim
n→∞
an = L.
Pokud takováto limita existuje říkáme, že posloupnost konverguje. Přesnější definici této limity můžeme
uvést takto.
Definice 2. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N
takové, že pro každé n > n0 platí |an − L| < ε.
Jestliže se an neustále zvětšuje s rostoucím n, používáme zápis lim
n→∞
an = ∞. I tuto skutečnost
můžeme říct přesněji.
Definice 3. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže ke každému M ∈ R existuje n0 ∈ N
takové, že pro každé n > n0 platí an > M.
Podobně můžeme definovat lim
n→∞
an = −∞. Má-li posloupnost limitu ∞ nebo −∞, říkáme, že diverguje.
Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje.
Například pro tzv. geometrickou posloupnost {qn}∞
n=1 = {q, q2, q3, . . . }, kde q ∈ R je kvocient, platí
lim
n→∞
qn
=
0 je-li |q| < 1,
∞ je-li q > 1.
2
3
Některé další příklady posloupností a jejich limit:
{ 1
n}∞
n=1 = {1, 1
2, 1
3, . . . } lim
n→∞
1
n = 0
{ n
n+1}∞
n=1 = {1
2, 2
3 , 3
4 . . . } lim
n→∞
1
n = 1
{(−1)n}∞
n=1 = {1, −1, 1, −1, . . . } lim
n→∞
(−1)n neexistuje
Poznámka 4. Pro limity posloupností platí všechna pravidla a vlastnosti, které jsme uvedli pro limity
funkcí jedné proměnné. Navíc platí: Jestliže lim
x→∞
f(x) = L a f(n) = an pro n ∈ N, pak lim
n→∞
an = L.
Tento fakt nám umožňuje použití L’Hospitalova pravidla při počítání limit posloupností.
Číselné řady
Jestliže budeme sčítat členy nekonečné posloupnosti {an} dostaneme výraz
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · ,
který nazýváme nekonečnou řadou. Je ovšem otázkou, zda-li má smysl mluvit o součtu nekonečných řad,
tj. jestli takovýto součet vůbec existuje, případně čemu je roven. Odpověďmi na tyto otázky se budeme
teď zabývat.
Definice 5. Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
∞
n=1
an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞
n=1, kde
s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . ,
nazýváme posloupnost částečných součtů této řady.
Existuje-li vlastní limita lim
n→∞
sn = s, řekneme, že řada
∞
n=1
an konverguje a má součet s. Neexistuje-li
vlastní limita lim
n→∞
sn, řekneme, že řada
∞
n=1
an diverguje.
Součet řady je tedy limita posloupnosti částečných součtů této řady. Již přímo z této definice můžeme
určit součty některých řad.
Příklad 6. Určete součet geometrické řady
a + aq + · · · + aqn
+ · · · =
∞
n=1
aqn−1
, kde a = 0, q = 0.
Řešení. Nechť |q| = 1. Pak
sn = a + aq + · · · + aqn−1
,
qsn = aq + aq2
+ · · · + aqn
.
Odečteme-li druhou rovnici od první, dostaneme
(1 − q)sn = a − aqn
.
Odtud n-tý částečný součet je
sn = a
1 − qn
1 − q
.
Je-li |q| < 1, pak lim
n→∞
qn = 0 a součet
s = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
a
1 − qn
1 − q
=
a
1 − q
.
4
Pro q ≥ 1 je lim
n→∞
sn = ∞ a řada diverguje, pro q ≤ −1 lim
n→∞
sn neexistuje.
Geometrická řada je konvergentní pro |q| < 1 a má součet
∞
n=1
aqn−1
= a + aq + · · · + aqn
+ · · · =
a
1 − q
.
Příklad 7. Určete součet řady
∞
n=1
1
n(n + 1)
.
Řešení. Určíme n-tý částečný součet řady
sn =
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
(n − 1)n
+
1
n(n + 1)
.
Na základě rozkladu výrazu pro člen an na parciální zlomky
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
můžeme předchozí částečný součet sn přepsat ve tvaru
sn =
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
+
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
.
Jelikož pro součet s řady platí
s = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
1 −
1
n + 1
= 1,
dostáváme
∞
n=1
1
n(n + 1)
= 1.
Obecně je obtížné určit součet nekonečné řady a proto se často orientujeme na to, zda řada konverguje
či diverguje, aniž bychom určovali její součet. K tomu slouží zejména tzv. kritéria konvergence.
Kritéria konvergence
Nejzákladnější informaci o konvergenci (tedy spíše divergenci) řády nám poskytuje tzv. nutná podmínka
konvergence.
Věta 8. Nechť
∞
n=1
an konverguje, potom lim
n→∞
an = 0.
Zdůrazněme, že obrácené tvrzení neplatí (jak ukážeme na následujícím příkladě), tj. že z rovnosti
lim
n→∞
an = 0 neplyne konvergence příslušné řady. Můžeme ale říci, že jestliže lim
n→∞
an neexistuje nebo
lim
n→∞
an = 0, potom
∞
n=1
an diverguje.
Příklad 9. Ukažte, že tzv. harmonická řada
∞
n=1
1
n
diverguje.
5
Řešení. Jelikož platí lim
n→∞
1
n = 0 je splněna nutná podmínka konvergence a momentálně nám nezbývá
nic jiného než zkusit ukázat divergenci dané řady přímo podle definice. Uvažme tedy částečné součty
této řady a vyberme si součty s2, s4, s8, . . . , máme tak
s2 = 1 +
1
2
s4 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
= 1 +
2
2
s8 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
= 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
= 1 +
3
2
.
Podobně dostaneme, že s16 > 1 + 4
2, s32 > 1 + 5
2 a obecně
s2n > 1 +
n
2
.
Ukázali jsme, že s2n → ∞ pro n → ∞, proto {sn} diverguje a tedy diverguje i daná řada.
Následující kritéria udávají postačující podmínky pro konvergenci řad s nezápornými, případně kladnými,
členy, tj. takovými, že platí an ≥ 0, případně an > 0. Posloupnost částečných součtů těchto řad je
určitě neklesající a tak tyto řad buď konvergují nebo divergují k ∞.
Věta 10 (Limitní podílové kritérium). Nechť
n→∞
an je řada s kladnými členy a nechť existuje
lim
n→∞
an+1
an
= q.
Je-li q < 1, pak
n→∞
an konverguje a je-li q > 1, pak řada
n→∞
an diverguje.
Případ q = 1 nelze tímto kritériem rozhodnout a je třeba použít jiné kritérium.
Příklad 11. Rozhodněte o konvergenci řady:
a)
∞
n=1
n2
n!
b)
∞
n=1
nn
n!
Řešení. a) Podle limitního podílového kritéria dostáváme
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
(n+1)2
(n+1)!
n2
n!
= lim
n→∞
(n + 1)2n!
n2(n + 1)n!
= lim
n→∞
n + 1
n2
= lim
n→∞
1
2n
= 0 < 1
a daná řada konverguje.
b) Opět užitím limitního podílového kritéria
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
(n+1)n+1
(n+1)!
nn
n!
= lim
n→∞
(n + 1)(n + 1)nn!
(n + 1)nnn!
= lim
n→∞
n + 1
n
n
= lim
n→∞
1 +
1
n
= e > 1,
a proto daná řada diverguje.
Typickým příkladem na použití limitního podílového kritéria jsou posloupnosti, které obsahují faktoriál,
pro posloupnosti, které obsahují mocninu, se zase hodí limitní odmocninové kritérium.
Věta 12 (Limitní odmocninové kritérium). Nechť
n→∞
an je řada s nezápornými členy a nechť existuje
lim
n→∞
n
√
an = q, kde q ∈ R⋆
.
Je-li q < 1, pak
n→∞
an konverguje a je-li q > 1, pak řada
n→∞
an diverguje.
6
Případ q = 1 nelze tímto kritériem rozhodnout a je třeba použít jiné kritérium. Dá se navíc ukázat,
že nelze-li rozhodnout limitním odmocninovým kritériem, nelze rozhodnout ani limitním podílovým
kritériem.
Příklad 13. Rozhodněte o konvergenci řady:
a)
∞
n=1
a
arctg n
n
b)
∞
n=1
n
2 + 1
n
n
Řešení. a) Podle limitního odmocninového kritéria dostáváme
lim
n→∞
n a
arctg n
n
= lim
n→∞
a
arctg n
=
a
π
2
= a
2
π
a daná řada tedy konverguje pro 0 < a < π
2 a diverguje pro a > π
2 . Pro a = π
2 neumíme dle kritéria
rozhodnout, ale jelikož lim
n→∞
π
2
arctg n
n
> 0 není splněna nutná podmínka konvergence a daná řada
tedy diverguje i pro a = π
2 .
b) Podle limitního odmocninového kritéria dostáváme
lim
n→∞
n
n
2 + 1
n
n = lim
n→∞
n
√
n
2 + 1
n
=
1
2
< 1
a řada tedy konverguje. V předchozím jsme použili, že lim
n→∞
n
√
n = 1, což můžeme určit pomocí
L’Hospitalova pravidla
lim
n→∞
n
1
n = e
lim
n→∞
ln n
n
= e
lim
n→∞
1
n
= 1.
Důležitým kritériem je integrální kritérium, které navíc také ukazuje souvislost mezi nekonečnými
řadami a nevlastními integrály.
Věta 14 (Integrální kritérium). Nechť funkce f je kladná a klesající na intervalu [1, ∞). Nechť an = f(n).
Pak
∞
n=1
an konverguje právě tehdy, když konverguje integrál
∞
1 f(x) dx.
Příklad 15. Rozhodněte o konvergenci řady:
a)
∞
n=1
1
n
, b)
∞
n=2
1
n · ln n
.
Řešení. a) Užijeme integrálního kritéria. Funkce f(x) = 1
x je na intervalu [1, ∞) nezáporná. První
derivace f′(x) = − 1
x2 ≤ 0 pro každé x ∈ [1, ∞) a proto je daná funkce nerostoucí na tomto intervalu.
Zbývá tedy vyšetřit integrál
∞
1
1
x dx. Platí
∞
1
1
x
dx = lim
t→∞
t
1
1
x
dx = lim
t→∞
[ln x]t
1 = lim
t→∞
ln t − ln 1 = ∞.
Jelikož integrál diverguje, diverguje i daná řada.
b) Funkce f(x) = 1
x·ln x je pro všechna x ∈ [2, ∞) nezáporná. Platí f′(x) = − 1+ln x
(x·ln x)2 ≤ 0 pro všechna
x ∈ [2, ∞) a proto je daná funkce nerostoucí. Můžeme tedy užít integrálního kritéria a vyšetřit
integrál
∞
2
1
x·ln x dx. Platí
∞
2
1
x · ln x
dx = lim
t→∞
t
2
1
x · ln x
dx = lim
t→∞
ln t
ln 2
1
s
ds = lim
t→∞
[ln s]ln t
ln 2 = lim
t→∞
ln ln t − ln ln 2 = ∞,
proto daná řada diverguje. Při výpočtu jsme užili substituce s = ln x.
Poznámka 16. Podobně jako v první části předchozího příkladu bychom mohli vyšetřit i konvergenci
řady
∞
n=1
1
na . Tato řada konverguje pro a > 1 a diverguje pro 0 < a ≤ 1.
Poznamenejme, že existují i další a obecnější kritéria, která se dají použít i v případě, kdy výše
uvedená kritéria nefungují.
7
Alternující řady
V této části se budeme věnovat řadám, které nemají všechny členy nezáporné a zavedeme i nový a silnější
typ konvergence, tzv. absolutní konvergenci.
Definice 17. Nekonečná řada
∞
n=1
an se nazývá alternující, právě když platí
sgn an+1 = −sgn an
pro všechna n ∈ N.
Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechny členy jsou nulové, můžeme každou alternující řadu psát ve
tvaru
∞
n=1
(−1)n−1
an nebo
∞
n=1
(−1)n
an,
kde an > 0 pro všechna n ∈ N.
Pro alternující řady máme následující kritérium konvergence, které vlastně říká, že nutná podmínka
konvergence je i dostatečná.
Věta 18 (Leibnitzovo kritérium). Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující
řada
∞
n=1
(−1)n−1an konverguje právě tehdy, když platí lim
n→∞
an = 0.
Podle Leibnitzova kritéria konverguje například řada
∞
n=1
(−1)n−1 1
n nebo řada
∞
n=1
(−1)n−1 1
n−ln n .
Platí, že konverguje-li řada
∞
n=1
|an|, pak konverguje i řada
∞
n=1
an, přičemž obrácené tvrzení neplatí
(např. řada
∞
n=1
(−1)n−1 1
n konverguje, ale
∞
n=1
1
n diverguje). Má tedy smysl pro řady s obecnými členy
zavést silnější vlastnost než konvergence.
Definice 19. Řekneme, že řada
∞
n=1
an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada
∞
n=1
|an|. Jestliže
řada
∞
n=1
an konverguje a
∞
n=1
|an| diverguje, říkáme, že řada
∞
n=1
an konverguje neabsolutně.
Tedy například řada
∞
n=1
(−1)n−1 1
n konverguje neabsolutně a řada
∞
n=1
(−1)n−1 1
n2 konverguje abso-
lutně.
Pravidla pro počítání s číselnými řadami
Zdrojem mnoha omylů je skutečnost, že s nekonečnými řadami nelze libovolně zacházet jako s normálními
konečnými součty. Jedním z nejznámějších historických příkladů je tzv. Grandiho řada
1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · =
∞
n=1
(−1)n
.
Tato řada zřejmě diverguje, jelikož její posloupnost částečných součtů nemá limitu. Řadu můžeme ovšem
uzávorkovat dvojím způsobem a dostaneme následující řady. Řada 1 + [(−1) + 1] + [(−1) + 1] + · · ·
konverguje a její součet je 1 a řada [1+(−1)]+[1+(−1)]+· · · konverguje a její součet je 0. Navíc pokud
provedeme následující výpočet, dostaneme poněkud zneklidňující výsledek.
0 =0 + 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) · · · =
=1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · = 1 − 0 − 0 − 0 − · · · =
=1
8
Zřejmě tedy takovýto výpočet musí chybný, jmenovitě nemůžeme použít asociativní zákon. V následujícím
tedy uvedeme, jak s nekonečnými řadami můžeme zacházet. Nejjednodušší operací je součet
dvou řad.
Věta 20. Nechť
∞
n=1
an a
∞
n=1
bn jsou konvergentní řady a nechť
∞
n=1
an = u a
∞
n=1
bn = v. Pak je
konvergentní i řada
∞
n=1
(an + bn) a platí
∞
n=1
(an + bn) = u + v.
Následující věta je analogie distributivního zákona.
Věta 21. Jestliže řada
∞
n=1
an konverguje, pak pro libovolné k ∈ R konverguje též řada
∞
n=1
k · an a platí
∞
n=1
k · an = k
∞
n=1
an.
Naopak konverguje-li řada
∞
n=1
k · an, kde k ∈ R, k = 0, konverguje i řada
∞
n=1
an.
Uvedená pravidla nám umožňují například určit součet řady
∞
n=0
3 · 4n − 2n
6n
.
Jelikož obě řady
∞
n=0
4n
6n =
∞
n=0
2
3
n
,
∞
n=0
2n
6n =
∞
n=0
1
3
n
konvergují můžeme podle předchozího psát
∞
n=0
3 · 4n − 2n
6n
= 3
∞
n=0
2
3
n
−
∞
n=1
1
3
n
a protože
∞
n=0
2
3
n
=
1
1 − 2
3
= 3,
∞
n=0
1
3
n
=
1
1 − 1
3
=
3
2
dostáváme
∞
n=0
3 · 4n − 2n
6n
=
15
2
.
Následující věta má poněkud obtížnější formulaci, ale ve své podstatě jen analogií asociativního
zákona, tj. uvádí, kdy můžeme členy nekonečné řady libovolně sdružovat.
Věta 22. Nechť
∞
n=1
an je konvergentní řada a nechť {nk} je rostoucí posloupnost přirozených čísel.
Položme n0 = 0 a pro k ∈ N označme
bk = ank−1+1 + ank−1+2 + ·ank
.
Pak řada
∞
k=1
bk konverguje a platí
∞
k=1
bk =
∞
n=1
an.
Všechna uvedená pravidla se tedy dají aplikovat na konvergentní řady, odtud tedy pochází i zdůvodnění
proč operace na úvodním příkladu Grandiho řady nebyly korektní. Chybí ještě analogie komutativního
zákonu, která vyžaduje absolutní konvergenci řad, jak uvádí následující věta.
Věta 23. Nechť řada
∞
n=1
an konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada
∞
n=1
akn
vzniklá přerovnáním řady
∞
n=1
an a platí
∞
n=1
an =
∞
n=1
akn .
9
Mocninné řady
Kromě číselných řad hrají v matematice a jejích aplikacích důležitou roli i řady, jejichž členy jsou funkce
fn(x). Mluvíme pak o řadě funkcí
∞
n=1
fn(x). Součtem takové řady je zase nějaká funkce f(x). Pro takovéto
řady se dají zavést pojmy bodová a stejnoměrná konvergence a jejich kritéria konvergence.
My se v této části ovšem budeme zabývat jen speciálním případem, kdy funkce fn(x) jsou mocninné
funkce, tj. fn(x) = anxn. Tyto řady se často používají k aproximaci funkce v bodě x = 0.
Definice 24. Buď {an}∞
n=0 posloupnost reálných čísel a x0 libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se
středem v bodě x0 a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru
a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ · · · =
∞
n=0
an(x − x0)n
.
Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat, že středem mocninné řady je číslo x0 = 0, jelikož pomocí
substituce x − x0 = y můžeme převést řadu se středem v libovolném bodě x0 na řadu se středem v bodě
0.
Podobně jako u číselných řad je důležitá otázka pro která x mocninná řada konverguje. To určíme
pomocí tzv. poloměr konvergence r, který můžeme spočítat podle vzorce
r = lim
n→∞
an
an+1
. (1)
Celkem mohou nastat tři možnosti:
1. Je-li 0 < r < ∞, pak řada konverguje pro x ∈ (−r, r) a diverguje pro |x| > r. Pro hodnoty x = ±r
musíme rozhodnout zvlášť pomocí některého z kritérií konvergence z předchozí části.
2. Je-li r = ∞, pak řada konverguje pro všechna x.
3. Je-li r = 0, pak řada diverguje pro všechna x = 0 a říkáme, že řada vždy diverguje.
Příklad 25. Určete poloměr konvergence pro řadu
∞
n=0
(−1)n
xn
= 1 − x + x2
− x3
+ · · ·
Řešení. Dosazením do vzorce (1) dostáváme
r = lim
n→∞
(−1)n
(−1)n+1
= 1,
tedy poloměr konvergence je 1 a řada určitě konverguje pro |x| < 1. V takovémto případě můžeme
dokonce určit součet této řady jako součet geometrické řady, kde a = 1 a q = −x, tj.
1 − x + x2
− x3
+ · · · =
1
1 + x
.
Tři základní otázky o mocninných řadách (a celkově o funkčních řadách) jsou:
1. Je součtem řady spojitých funkcí na intervalu I, také funkce spojitá na intervalu I?
2. Pro která x můžeme mocninou řadu derivovat člen po členu?
3. Pro která x můžeme mocninou řadu integrovat člen po členu?
Klíčovou roli v odpovědích na tyto otázky hraje poloměr konvergence.
Věta 26. Nechť mocninná řada
∞
n=1
anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak součet této řady je spojitá
funkce na intervalu (−r, r).
10
Věta 27. Nechť mocninná řada
∞
n=1
anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x ∈ (−r, r)
platí
∞
n=0
anxn
′
= (a0 + a1x + a2x2
+ · · · )′
= a1 + 2a2x + 3a3x2
+ · · · ,
x
0
∞
n=0
anxn
dx =
x
0
(a0 + a1t + a2t2
+ · · · ) dt = a0x +
a1x2
2
+
a2x3
3
+ · · · .
Přitom výrazy na pravé straně mají stejný poloměr konvergence.
Integrace a derivace řady prakticky využíváme při rozvoji funkcí do řad a při hledání součtů řad.
Příklad 28. Vyjádřete funkci ln(1 + x) mocninou řadou.
Řešení. Podle předchozího příkladu platí pro x ∈ (−1, 1)
1
1 + x
= 1 − x + x2
− x3
+ · · · ,
a dále víme, že
x
0
dt
1 + t
= ln(1 + x),
dohromady tak dostáváme, že pro x ∈ (−1, 1) platí
ln(1 + x) dt =
x
0
dt
1 + t
=
x
0
(1 − t + t2
− t3
+ · · · ) dt =
= x −
x2
2
+
x3
3
−
x4
4
+ · · · =
∞
n=1
(−1)n−1 xn
n
.
Příklad 29. Určete interval konvergence a součet mocninných řad:
a)
∞
n=0
(−1)nx3n = 1 − x3 + x6 − x9 · · ·
b)
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n = x − x2
2 + x3
3 − x4
4 + · · ·
c)
∞
n=0
(x−1)2n+1
2n+1 = (x − 1) + (x−1)3
3 + (x−1)5
5 + · · ·
d)
∞
n=1
nxn−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · ·
e)
∞
n=1
n(−1)n−1x3n−1 = x2 − 2x5 + 3x8 − 4x11 + · · ·
f)
∞
n=1
nxn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · ·
Řešení. a) Jedná se vlastně o geometrickou řadu s kvocientem q = an+1
an
= −x3. Jelikož geometrická
řada konverguje pro |q| < 1, proto | − x3| < 1 a daná řada konverguje pro x ∈ (−1, 1). Pro součet
geometrické řady platí
s(x) =
a1
1 − q
=
1
1 + x3
.
Proto platí
∞
n=0
(−1)n
x3n
=
1
1 + x3
pro x ∈ (−1, 1).
11
b) Pro interval konvergence platí
r = lim
n→∞
an
an+1
= lim
n→∞
(−1)n+1
n
(−1)n+2
n+1
= lim
n→∞
n + 1
n
= 1
a tedy řada konverguje pro x ∈ (−1, 1). V tomto intervalu tedy existuje součet řady a řadu lze člen
po členu derivovat
s′
(x) =
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
′
=
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
′
=
∞
n=1
(−1)n+1
xn−1
= 1 − x + x2
− x3
+ · · · .
Po derivaci dostáváme geometrickou řadu s kvocientem q = −x, jejíž součet je roven 1
1+x . Proto pro
součet s(x) původní řady platí
s′
(x) =
1
1 + x
pro x ∈ (−1, 1).
Odtud integrováním dostáváme
s(x) =
1
1 + x
dx = ln(1 + x) + c.
Konstantu c určíme dosazením konkrétního čísla z konvergenčního intervalu, např. x = 0
s(0) =
∞
n=1
(−1)n+1 0n
n
= 0 ⇒ 0 = ln(1 + 0) + c ⇒ c = 0.
Součet řady je roven
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
= ln(1 + x) pro x ∈ (−1, 1).
c) Využijme toho, že řada a řada z ní vzniklá derivováním, případně integrováním, mají stejný poloměr
konvergence. Derivujme danou řadu člen po členu
s′
(x) =
(x − 1)2n+1
2n + 1
′
=
∞
n=1
(x − 1)2n+1
2n + 1
′
=
∞
n=1
(x − 1)2n
= 1 + (x − 1)2
+ (x − 1)4
+ · · ·
Po derivaci dostáváme geometrickou řadu s kvocientem q = (x − 1)2, jejíž součet je roven
1
1 − (x − 1)2
=
1
2x − x2
.
Geometrická řada konverguje pro
|q| < 1 ⇒ |(x − 1)2
| < 1 ⇒ x ∈ (0, 2).
Pro součet původní řady platí
s′
(x) =
1
2x − x2
a odtud integrováním
s(x) =
1
2x − x2
dx =
1
2
ln x −
1
2
ln(x − 2) + c = ln
x
x − 2
2
+ c.
Konstantu c určíme dosazením čísla např. x = 1 ∈ (0, 2)
∞
n=0
(1 − 1)2n+1
2n + 1
= 0 ⇒ 0 = ln
1
1 − 2
2
+ c ⇒ c = 0.
Součet řady je roven
∞
n=0
(x − 1)2n+1
2n + 1
= ln
x
x − 2
2
pro x ∈ (0, 2).
12
d) Určeme poloměr konvergence
r = lim
n→∞
an
an+1
= lim
n→∞
n
n + 1
= 1.
Proto pro x ∈ (−1, 1) můžeme danou řadu integrovat člen po členu
s(x) dx =
∞
n=1
nxn−1
dx =
∞
n=1
nxn−1
dx =
∞
n=1
xn
+ c.
Dostáváme tak geometrickou řadu s kvocientem q = x a součtem x
1−x. Proto platí
s(x) dx =
x
1 − x
+ c
a odtud derivováním
s(x) =
x
1 − x
+ c
′
=
1
(x − 1)2
.
Dostáváme tak
∞
n=1
nxn−1
=
1
(x − 1)2
pro x ∈ (−1, 1).
e) Pro poloměr konvergence platí
r = lim
n→∞
an
an+1
= lim
n→∞
|(−1)n+1n|
|(−1)n+2(n + 1)|
= 1.
Pro x ∈ (−1, 1) můžeme danou řadu integrovat člen po členu
s(x) dx =
∞
n=1
n(−1)n−1
x3n−1
dx =
∞
n=1
n(−1)n−1
x3n−1
dx =
1
3
∞
n=1
(−1)n−1
x3n
+ c.
Dostáváme tak geometrickou řadu se součtem x3
1+x3 . Platí
s(x) dx =
1
3
x3
1 + x3
+ c
a odtud derivováním
s(x) =
1
3
x3
1 + x3
+ c
′
=
x2
(1 + x3)2
.
Proto pro součet řady platí
∞
n=1
n(−1)n−1
x3n−1
=
x2
(1 + x3)2
pro x ∈ (−1, 1).
f) Obdobně jako v předchozích příkladech určíme interval konvergence x ∈ (−1, 1). Upravme n-tý člen
tak, abychom jej mohli vyjádřit pomocí derivace
(xn
)′
= nxn−1
, pak nxn
= x · (xn
)′
.
Nyní dosaďme do řady
∞
n=1
nxn
=
∞
n=1
x · (xn
)′
= x ·
∞
n=1
(xn
)′
= x ·
∞
n=1
xn
′
.
Přičemž
∞
n=1
xn je geometrická řada se součtem x
1−x a proto
∞
n=1
nxn
= x ·
x
1 − x
′
=
x
(x − 1)2
pro x ∈ (−1, 1).
13
Poznámka 30. Je-li dána funkce f, která má v bodě x0 derivace všech řádů, pak řadu
f(0) +
f′(0)
1!
x +
f′′(0)
2!
x2
+ · · · =
∞
n=0
f(n)(0)
n!
xn
nazýváme Maclaurinovou řadou funkce f. Není úplně snadné říci, kdy platí rovnost
f(x) =
∞
n=0
f(n)(0)
n!
xn
,
tj. kdy můžeme nahradit funkci v okolí nuly její Maclaurinovou řadou, ale například pro všechny níže
uvedené elementární funkce jsou tyto rovnosti korektní.
ex = 1 + x
1! + x2
2! + · · · + xn
n! + · · · =
∞
n=0
xn
n!
sin x = x − x3
3! + · · · + (−1)n x2n+1
(2n+1)! + · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n+1)!
cos x = 1 − x2
2! + · · · + (−1)n x2n
(2n)! + · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
ln(1 + x) = x − x2
2 + · · · + (−1)n+1 xn
n + · · · =
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
Pomocí předchozích vztahů můžeme dokázat například tzv. Eulerův vztah
eix
= cos x + i sin x,
který hraje svoji roli mimo jiné při řešení lineárních diferenciálních rovnic druhé řádu. Platí
eix
= 1 +
ix
1!
+
(ix)2
2!
+ · · · = 1 +
ix
1!
−
x2
2!
−
ix3
3!
+
x4
4!
+ · · · =
= 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · · + i
x
1!
−
x3
3!
+ · · · = cos x + i sin x.
Fourierovy řady
V této části se budeme zabývat dalším speciálním případem funkčních řad a to tzv. Fourierovými řadami.
Jedná se o funkční řady složené se základních goniometrických funkcí sin nx a cos nx. Setkáváme se s nimi
v různých přírodních i technických aplikací, kde se používají pro aproximaci různých periodických funkcí.
Definice 31. Nechť funkce f(x) je integrovatelná na [−π, π]. Pak nekonečnou řadu
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx),
kde pro an a bn platí
an =
1
π
π
−π
f(x) cos nx dx, n ∈ N ∪ {0},
bn =
1
π
π
−π
f(x) sin nx dx, n ∈ N,
nazýváme Fourierovou řadou funkce f v intervalu [−π, π] a koeficienty an, bn se nazývají Fourierovy
koeficienty funkce f.
Poznámka 32. 1. Je-li f sudá funkce, má její Fourierova řada tvar
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx, kde an =
2
π
π
0
f(x) cos nx dx (n ∈ N ∪ {0}).
14
2. Je-li f lichá, má její Fourierova řada tvar
∞
n=1
bn sin nx, kde bn =
2
π
π
0
f(x) sin nx dx (n ∈ N).
Předchozí definice tedy funkci formálně přiřazuje jakousi řadu, zbývá ještě velmi důležitá otázka, kdy
je součtem Fourierovy řady funkce f právě tato funkce, tj. kdy můžeme korektně psát rovnost
f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx).
Odpověď na tuto otázku dá následující věta. Pro úplnost uveďme, že funkci f nazveme po částech spojitou
na intervalu [a, b], jestliže na tomto intervalu existuje pouze konečný počet bodů, ve kterých je nespojitá
a navíc v každém z těchto bodů obě jednostranné limity a jsou vlastní. Navíc funkci f nazveme po částech
monotonní, jestliže existuje konečný počet bodů, které dělí interval [a, b] na kratší intervaly takové, že
v každém z nich je daná funkce monotonní.
Věta 33. Nechť f je po částech spojitá a po částech monotonní na [−π, π]. Pak její Fourierova řada
konverguje na [−π, π] a její součet je roven:
1. f(x0) v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f spojitá,
2. 1
2[f(x−
0 ) + f(x+
0 )] v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f nespojitá,
3. 1
2[f(−π+) + f(π−)] v krajních bodech intervalu [−π, π],
kde výrazem f(x−
0 ), resp. f(x+
0 ), rozumíme číslo lim
x→x−
0
f(x), resp. lim
x→x+
0
f(x), pokud tyto limity existují.
Poznámka 34. Můžeme si všimnout, že pokud Fourierova řada konverguje k funkci f na intervalu
[−π, π], pak konverguje i na intervalu (−∞, ∞) a to k tzv. 2π-periodickému rozšíření funkce f.
Příklad 35. Funkci f(x) = x rozviňte na intervalu [0, π] do kosinové řady.
x
y
0 π−π
Obrázek 1: Sudé periodické rozšíření funkce x, x ∈ (0, π)
Řešení. Jelikož máme najít řadu, která má obsahovat jen funkci kosinus, hledáme tedy rozvoj sudé
funkce, zkonstruujme tedy sudé periodické rozšíření funkce (viz obrázek). Jelikož máme sudou funkci,
platí bn = 0 a
a0 =
2
π
π
0
f(x) dx =
2
π
π
0
x dx =
2
π
x2
2
π
0
= π
a pro koeficienty an, n = 1, 2 . . . máme
an =
2
π
π
0
f(x) cos nx dx =
2
π
π
0
x cos nx dx.
Pomocí metody per-partes spočteme
an =
2
π
π
0
x cos nx dx =
2
nπ
[x sin nx]π
0 −
2
nπ
π
0
sin nx dx =
2
n2π
[(−1)n
− 1].
Tedy pro x ∈ [0, π] platí
x =
π
2
+
2
π
∞
n=1
(−1)n − 1
n2
cos nx =
π
2
−
4
π
∞
n=1
cos(2n − 1)x
(2n − 1)2
.
15
Příklad 36. Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) = x2 na intervalu [−π, π] a pomocí získaného výsledku
určete součet číselné řady
∞
n=1
1
n2
.
Řešení. Funkce f(x) je sudá, tedy bn = 0 a
a0 =
2
π
π
0
f(x) dx =
2
π
π
0
x2
dx =
2
3
π2
an =
2
π
π
0
f(x) cos nx dx =
2
π
π
0
x2
cos nx dx.
Dvojím užitím metody per-partes dostaneme
π
0
x2
cos nx dx =
1
n
x2
sin nx
π
0
−
2
n
π
0
x sin nx dx
=
1
n
π2
sin nπ −
2
n
−
1
n
[x cos nx]π
0 +
1
k
π
0
cos kx dx
=
1
n
π2
sin nπ +
2
n2
π cos nπ −
2
n3
sin nπ.
Jelikož sin nπ = 0 a cos nπ = (−1)n pro n ∈ Z dostáváme
an =
2
π
2
n2
π(−1)n
=
4
n2
(−1)n
.
Pro x ∈ [−π, π] tedy platí
x2
=
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos nx.
Dosadíme-li za x = π, obdržíme
π2
=
π2
3
+ 4
∞
n=1
1
n2
a odtud
∞
n=1
1
n2
=
π2
6
.
Poznámka 37. Ukažme, jak lze odvozených výsledků využít k nalezení Fourierových řad periodických
funkcí s periodou p = 2π. Označme kvůli jednoduchosti p = 2h a předpokládejme, že f je integrovatelná
funkce na intervalu [−h, h]. Pak funkce
g(t) = f
h
π
t
je periodická s periodou 2π, je-li přitom f po částech spojitá a po částech monotonní na [−h, h], zřejmě
je také funkce g po částech spojitá a po částech monotonní na [−π, π]. Proto lze funkci g rozvinout
do Fourierovy řady na [−π, π], odkud zpětnou transformací tπ
h x obdržíme Fourierovu řadu funkce f na
[−h, h] ve tvaru
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπ
h
x + bn sin
nπ
h
x ,
kde Fourierovy koeficienty jsou dány vzorci
an =
1
h
h
−h
f(x) cos
nπ
h
x dx (n ∈ N ∪ {0}),
bn =
1
h
h
−h
f(x) sin
nπ
h
x dx (n ∈ N).
Příklad 38. Najděte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x na intervalu [−1, 1].
16
x
y
0 1−1
Obrázek 2: Periodické rozšíření funkce x, x ∈ (−1, 1)
Řešení. V tomto případě je h = 1, dále je f lichá, a proto an = 0pron ∈ N ∪ {0} a
bn = 2
1
0
x sin nπx dx =
= −
2
nπ
[x cos nπx]1
0 +
2
nπ
1
0
cos nπx dx =
= −
2
nπ
cos nπ +
2
n2π2
[sin nπx]1
0 =
2
nπ
(−1)n−1
.
Tedy
x =
2
π
∞
n=1
(−1)n−1
n
sin nπx pro x ∈ (−1, 1).
Poznámka 39. Animace zobrazující Fourierovy řady je možno nalézt na
https://www.math.muni.cz/~plch/nkpm/html/index.htm.
Některé aplikace nekonečných řad
Příklad 40. Pacientovy je denně podáváno 150 mg léku a každý den 70 % množství tohoto léku z krve
absorbováno. Určete dlouhodobé maximální a minimální množství léku v krvi.
Řešení. Jeden den po podání léku je 70 % dávky vstřebáno a zůstává tak 30 %, po dvou dnech zůstane
30 % z těchto 30 % atd. Maximální množství M látky bude ihned po podání poslední dávky léku a dá
se vyjádřit nekonečnou geometrickou řadou
M = 150 + 150 · 0.3 + 150 · (0.3)2
+ 150 · (0.3)3
+ · · · =
=
150
1 − 0.3
≈ 214 mg.
Tedy maximální dlouhodobé množství léku v krvi je rovno 214 mg a nastane po podání dávky. Nejmenší
dlouhodobé množství m léku v krvi bude před podáním dávky a je rovno 30 % maxima (70 % je absorbováno),
tj.
m = 0.3 · 214 ≈ 64 mg.
Příklad 41. Normální rozdělení pravděpodobnosti se používá při předpovídání chování mnoha jevů,
například náhodných chyb měření. Tímto rozdělením se také řídí mnoho technických a fyzikálních veličin.
Křivka tohoto rozdělení je dána rovnicí
f(x) =
1
√
2π
e− x2
2 .
Tedy obsah pod touto křivkou od čísla nula po nějaké číslo x (vyjadřující pravděpodobnost nějakého
jevu) je dán integrálem
1
√
2π
x
0
e− t2
2 dt.
Vypočtěte tento integrál.
17
Řešení. Tento integrál není možné přímo vypočítat. Primitivní funkce sice existuje, ale nelze ji vyjádřit
pomocí elementárních funkcí. Použijeme proto Maclaurinův rozvoj funkce ex, tj.
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
+ · · · .
Dosazením za x = −t2
2 dostáváme
e− t2
2 = 1 −
1
2
t2
+
1
222!
t4
−
1
233!
t6
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n
2nn!
.
Danou řadu můžeme integrovat člen po členu a dostáváme
1
√
2π
x
0
e− t2
2 dt =
1
√
2π
x −
1
3 · 2
x3
+
1
5 · 22 · 2!
x5
=
=
1
√
2π
∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)2nn!
.
Příklad 42. Pozitivní impuls nějakému systému, například skokový nárůst počtu narozených jedinců,
tzv. „baby boom“, je obvykle následován malými fluktuacemi ve vývoji (tzv. ozvěnou). Tyto fluktuace
mohou být poměrně dobře modelovány například funkcí
f(t) =
sin x
x
.
Během prvních t jednotek času je tak přínos takového impulzu roven
t
0
sin x
x
dx.
Určete Maclaurinův rozvoj této řady a pomocí prvních čtyř členů tohoto rozvoje určete přírůstek k danému
systému za dvě jednotky času.
Řešení. Pro výpočet daného integrálu musíme opravdu použít Maclaurinův rozvoj, jelikož neexistuje
žádná elementární funkce, která by byla primitivní funkcí k sin x
x .
K nalezení rozvoje dané funkce použijeme známý rozvoj funkce sin x
sin x
x
=
1
x
x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ · · ·
= 1 −
x2
3!
+
x4
5!
−
x6
7!
+ · · ·
Danou řadu můžeme integrovat člen po členu a dostaneme tak
t
0
sin x
x
dx =
t
0
1 −
x2
3!
+
x4
5!
−
x6
7!
+ · · · dx =
= x −
1
3!
1
3
x3
+
1
5!
1
5
x5
−
1
7!
1
7
x7
+ · · ·
t
0
=
= t −
t3
3 · 3!
+
t5
5 · 5!
−
t7
7 · 7!
+ · · · =
∞
n=1
(−1)n+1 x2n−1
(2n − 1) · (2n − 1)!
Tato nekonečná řada udává přesnou hodnotu daného integrálu, dosazením t = 2 do prvních čtyř členů
dostaneme přibližnou hodnotu přírůstku
2 −
23
3 · 3!
+
25
5 · 5!
−
27
7 · 7!
≈ 1.605
Příklad 43. Vypočtěte
1
0
1
0
dxdy
1 − xy
.
18
x
y
0
1
Obrázek 3: Graf funkce f(x) = sin x
x
Řešení. Jelikož víme, že platí
1 + a + a2
+ · · · =
1
1 − a
,
můžeme daný integrál přepsat jako uvedenou geometrickou řadu
1
0
1
0
dx dy
1 − xy
=
1
0
1
0
(1 + xy + x2
y2
+ · · · ) dx dy =
=
1
0
x +
1
2
x2
y +
1
3
x3
y2
+ · · ·
1
0
dy =
=
1
0
1 +
y
2
+
y2
3
+ · · · dy =
= y +
y2
22
+
y3
32
+ · · ·
1
0
= 1 +
1
22
+
1
32
+ · · · .
Pomocí výsledku příkladu 36 tak dostáváme
1
0
1
0
dxdy
1 − xy
=
∞
n=1
1
n2
=
π2
6
.
Pokud bychom chtěli počítat tento integrál přímo, museli bychom daný integrál transformovat (otočit
souřadný systém kolem počátku) a i po této transformaci by byl výpočet nepříjemný.
19
Cvičení
1. Určete poloměr konvergence a součet mocninných řad:
a)
∞
n=1
x4n−1
4n−1 , b)
∞
n=1
n(n + 1)xn,
c)
∞
n=0
(−1)n x2n+1
2n+1 , d)
∞
n=1
(−1)n+1 xn+1
n(n+1) .
2. Rozviňte funkci do mocninné řady:
a) y = arctg x, b) y = ln(1 − x).
3. Nalezněte Fourierovu řadu funkce f(x) = sgn(x) na intervalu [−π, π]
sgn(x) =



−1, x ∈ [−π, 0),
0, x = 0,
1, x ∈ (0, π].
4. Rozložte ve Fourierovu řadu funkci f(x) = |x| na intervalu (−l, l).
Výsledky:
1. a) 1
4 ln 1+x
1−x , |x| < 1, b) 2x
(1−x)2 , |x| < 1,
c) arctg x, |x| < 1, d) (x + 1) ln(1 + x) − x, |x| < 1.
2. a)
∞
n=0
(−1)n x2n+1
2n+1 , x ∈ (−1, 1), b) −
∞
n=1
xn
n , x ∈ (−1, 1).
3. sgn(x) = 4
π
∞
n=1
sin(2n−1)x
2n−1 ,
4. |x| = l
2 − 4l
π2
∞
k=1
1
(2n−1)2 cos (2n−1)πx
l .