Komplexní čísla
(Seminář z matematiky I - m1130/02 2015)
(1) Zapište v algebraickém tvaru čísla:
(a)
2-i     l + 2i
(b) 2 +
(c)
3 + i    1 — 3i 3i ~ P
2
1 + i
+
1-i
(2) Vypočtěte:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
l-i +
l + 2i
3-i
V3 + iV2
|2 + 3i|2 + (2 + 3i)2
V6 + V2   y/6-y/2.
H--:-1
4
4
V/2+V3 + iV/2+V3
3 —4i
5i
+
2+i
1 — 2i
l+2i
(3) Řešte rovnice v oboru C:
1 2."
\ 10."
T1
-2]
yi3ô" 10
5
[4>/Í3]
[1]
"2 4 " š"?1
(a) |z|-z= l+2i
(b) z2 + \z\ = 0
1
(c)   2--  ž + 2z=10i
(d) ž(z-l) = |z-l|
Í2"2ÍJ [0; i;-i]
[10-40Í]
[1]
(4) Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí:
(a) \z- 1 + i| = z
[neexistují]
(b) |z+l| = |z-2i|
(5) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou komplexní jednotky:
VŠ-i  1 + i  (2 +
;30
1-i
2    '   2  ' 3-4i'   *  ' V2"'COSW + 1SmW
[A, N, A, A, A, A]
(6) V Gaussově rovinně znázorněte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:
(a) |z+i| ^ |z+l| 1
l + i 1 — 2i
	1 — 2i
	ZH--:-
	1
(b)   Z-j^r <M
(c)   Z+t^   > \Z~ 1|
(d)
(7) V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
(a) 2
(b)
-1 + i -3 +i 2+i
(c) |3+2i|
(d) i
80
/ n  i 7t     .   . 7t
(e) 1 + cos — + i sin — 4 4
(f) 1 + cos <p + i sin <p
(g) sin <p + i cos <p
^ cos a + i sin a cos /3 + i sin j5
(8) Vypočtěte:
V 2  cos--h i sin —
V   4      4 /
" 37r    . . 3n\
V 2  cos--h i sin —
.  V   4      4;
[VT3(cos0+isin0
[cos0 + i sinO]
\Jl-\-     f cos — + i sin — V     8 8
m /     m (D 2cos — cos —h i sin — 2 V     2 2
cos I - - <pj + i sin ^- - <p
[cos (a - j3) + i sin (a - j3)]
(a) (-1 + i)66-i (1 + i)80
( k (b) (^1+cos — + i sin
3.
[-129 - 233 • i] [36]
(c) (VŠ-i)
(d)
1 + i 1-i
-25
(e) (tgl-i
; \4
1 _ VŠ .
cos4 + i sin4 cos4l
(9) Určete argument <p tak, aby platila rovnost:
, , ,     2rc    . . 27t\ . ....
(a) ( cos — + i sin — I (cos <p + i sin <p) = i
(b) I cos — + i sin — ] (cos <p + i sin <p) = — 1
(c)
(d)
4 4 7
cos n-f + i sin ^ cos <p + i sin <p cos f + i sin f cos <p + i sin <p
ft
~6 3tt'
T
~8~
(10) V oboru komplexních čísel řešte rovnice:
(a) (x2+x+l) (x2+x- 1) =0
„ . x + 2   x—1 x — 5 x+l
(c) 2x2+x+l = 0
-liiv^. —1±n/5 2      ' 2
l±iVŠ9
4
4
(11) Určete, pro které hodnoty p E IR mají rovnice dva reálné kořeny, resp. jeden dvojnásobný reálný kořen, resp. imaginární kořeny:
(a) px2+2(p- l)x + p-5 = 0
-5.-W0-.-I;
-oo--
(b) (p + 3)x2 + 3(p-6)x + 5- 18/7 = 0        [pro p ^ -3 má rovnice 2 reálné kořeny]
(c) /?x2 + (2/?- l)x + p = 0
(12) Rozložte na součin lineárních dvojčlenů:
(a) x2+x+l
(b) 3*2 + 2;t+ 2
(c) x2-3x + 5
(13) Řešte v C binomické rovnice:
(a) x3 - i = 0
(b) x6 + 64 = 0
(c) *8 + 1 = 0
(d) *5-l-iv/3 = 0
(e) x3 - 1 + i = 0
(14) V množině C řešte rovnice:
(,-i(3+iVň))(x-i(3-iVň;
>/3    1.    V3    1. .
[±v/3±i;±2i]
cos----h i sin---, k = 0,1,2,3,4,5,6,7
8
8
v^fcos
f + 2/br f + 2/br
+ i sin
V 2  cos ——---h i sin
5
7-f + 2k7t
£ = 0,1,2,3,4
,£ = 0,1,2
(a) *2-2* + 9 + 6i =0
(b) x2 + (2-3i)x-5(l + i)=0
(c) ^2-4 = 3i
(d) x2
(e) x2
12
; \Í00
(1- i)96-i (1 + i)98
[3i;2-3i]
[l + 2i;-3 + i] 3^/2    .y/2     3y/2 .y/2
±i
[±64]
.2y/Š'