Domácí úloha z 27. listopadu 2015 (odevzdává se 4. prosince 2015)
Polynom / = x4 + ax3 + bx2+cx+d G C [x] má kořeny a±, «2, «3, «4 (každý kořen je zde uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Nalezněte normovaný kubický polynom g(x) = x3 + Ax2 + 5x + C mající kořeny
Ä = («1 + «2) («3 + "4),
/32 = («1 + a3)(a2 + a4), Ä = ("i + "4) ("2 + "3),
tj. vyjádřete koeficienty A, B, C pomocí koeficientů a, b, c, d.
[Poznámka: tento postup umožňuje řešit polynomiální rovnice 4. stupně, umíme-li řešit polynomiální rovnice 3. stupně (na což máme Cardanovy vzorce). Substitucí y = x + ^ převedeme daný polynom do tvaru, kdy je koeficient u y3 nulový. Bez újmy na obecnosti tedy lze předpokládat, že pro daný polynom / platí a = 0. Pak kořeny vzniklého kubického polynomu g(x) = x3 + Ax2 + Bx + C splňují
Pi = (cti+ct2)(ct3 +ct4) =-(cti+ct2)2, h = (cti + ct3)(ct2 + ct4) = — (cti + ct3)2, Ä = ("i + ct4)(a2 + ct3) = -(cti + ct4)2,
neboť ai + a2 + ct3 + ct4 = 0. Vypočteme-li /3i, /32, j33l dostaneme
cti + a2 = ±1/—
ai + "3 = ±y/-@2, ai + a4 = ±1/—/33,
odkud snadno dopočítáme všechny kořeny původního polynomu /, dostáváme například 2ai = (ai + a2) + (cti + 0:3) + («1 + a4), 2a2 = (cti + ct2) — (cti + ct3) — (cti + «4) atd.]
1