Domácí úloha z 23. října 2015 (odevzdává se 30. října 2015)
V podokruhu Z [i] = {a + 62; a, & G Z} tělesa komplexních čísel C jsou dány podmnožiny J, J takto:
I = {a + bi; a,b £ Z, 11 |a + 56}, J = {a + bi; a, b G Z, 13|a + 56}.
Pro každou z množin J, J rozhodněte, zda je ideálem okruhu Z[i] (své rozhodnutí dokažte). A pokud skutečně jde o ideál, zjistěte, zdaje to ideál hlavní (je-li hlavní, nalezněte nějaké číslo, které jej generuje, a tento fakt dokažte; není-li hlavní, z předpokladu o existenci generátoru odvoďte spor).
[Návod pro hledání generátoru ideálu v okruzích Z[iy/m\ = {a + bi^/m; a, & G Z}, kde m G N, či pro důkaz, že takový generátor neexistuje: Jestliže pro nějaká x, y G Z máme hlavní ideál I = (x + yiyfm) okruhu Z[iy/m\, pak pro libovolná a, & G Z taková, že a + bi^/m G I, nutně existují c, d G Z tak, že a + bi^/m = (c + di^/m) ■ (x + yiy/m). Protože absolutní hodnota součinu dvou komplexních čísel je rovna součinu jejich absoulutních hodnot, plyne odtud \a + bí^/m\ = \c+ diy/m\ ■ \x + yiy/m\, a tedy umocněním a2 + b2m = (c2 + d2m) ■ (x2 + y2m), a proto celé číslo x2 + y2m je dělitelem celého čísla a2 + b2m. Neznámý generátor ideálu / v takovém okruhu lze tedy hledat tak, že pro několik prvků a + bí^/m G / nalezneme největší společný dělitel d čísel a2 + b2m v Z, a k tomuto nalezenému d projdeme všechny dvojice celých čísel x, y splňující x2 + y2m | d (takových dvojic je jen konečně mnoho) a pro každou zjistíme, zda je x + yi^/m hledaný generátor.]
1