Domácí úloha z 20. listopadu 2015 (odevzdává se 27. listopadu 2015)
a) Nechť K = Zp(c) je libovolné konečné těleso mající pm prvků, kde p je prvočíslo. Označme / minimální polynom prvku c nad Zp, tedy st / = m. Nechť L je také konečné těleso mající pm prvků. Na přednášce jsme dokázali, že pak K = L, neboť obě tělesa mají stejný počet prvků. Protože polynom / má kořen c v tělese K, musí mít také nějaký kořen d v tělese L. Víme, že 1, c, c2,..., cm_1 je bází K jakožto vektorového prostoru nad Zp, proto každý prvek tělesa K lze napsat jediným způsobem ve tvaru + a\c + g^c2 + • • • + am-icm_1, kde clq, a±,..., am_i G Zp, tedy ve tvaru r(c), kde r G Zp[x], str < m. Dokažte, že zobrazení ip : K —^ L určené předpisem y?(r(c)) = r(d) pro každý polynom r G Zp[x], str < m, je izomorfismus těles.
b) Nechť p je libovolné prvočíslo, a G Zp, a / 0. Dokažte, že polynom xp — x + a G 1ip[x] je ireducibilní nad Zp.
[Návody:
a) Patrně jediné obtížné místo důkazu se týká toho, zda zobrazení ip zachovává součin. Lze postupovat tak, že nejprve dokážete, že zobrazení ip splňuje tp(r(c)) = r(ď) pro každý polynom r G tedy i pro polynomy splňující str > m.
b) Zvolme libovolný normovaný ireducibilní polynom /, který je dělitelem daného polynomu xp — x + a. Sestrojme těleso L = Zp[x]/(/) a označme a = x + (/). Pak a je kořenem polynomu /, a tedy i polynomu xp — x + a. Opakovaně užijte úvahu, že obraz kořene polynomu / ve Frobeniově automorrismu je opět kořen polynomu /, k tomu, abyste ukázali, že polynom / má alespoň p různých kořenů, a tedy st / > p. Odtud odvoďte / = xp — x + a. ]
1