Domácí úkol z 19. 10. 2015
Příklad 3. V afinním prostoru je dáno 8 různých bodů A, B, C, D, K, L, M, N. Určete
barycentrické souřadnice bodů K, L, M, N vzhledem k bodovému repéru {A, B, C, D} (tyto
body jsou v obecné poloze).
A = [3, 0, 0], B = [6, −5, 2], C = [4, 1, 3], D = [1, 1, 1],
K = [20, −19, 2], L = [−12, 10, −10], M = [1
2
, 7
2
, 2
3
], N = [7
2
, −3
4
, 3
2
].
Řešení. Z definice barycentrických souřadnic hledáme koeficienty ki, li, mi, ni takové, že
budou platit následující rovnice:
K = k1A + k2B + k3C + k4D
L = l1A + l2B + l3C + l4D
M = m1A + m2B + m3C + m4D
N = n1A + n2B + n3C + n4D
Dosazením všech známých souřadnic a vyjádřením jednotlivých rovnic dostaneme 4 soustavy
tří rovnic, každá o čtyřech neznámých:
20 = 3k1 + 6k2 + 4k3 + k4 −12 = 3l1 + 6l2 + 4l3 + l4
−19 = − 5k2 + k3 + k4 10 = − 5l2 + l3 + l4
2 = + 2k2 + 3k3 + k4 −10 = + 2l2 + 3l3 + l4
1
2
= 3m1 + 6m2 + 4m3 + m4
7
2
= 3n1 + 6n2 + 4n3 + n4
7
2
= − 5m2 + m3 + m4 −3
4
= − 5n2 + n3 + n4
2
3
= + 2m2 + 3m3 + m4
3
2
= + 2n2 + 3n3 + n4
Všimněme si, že možných řešení bude zdánlivě nekonečně mnoho. To ale není pravda – uvědomme
si, že musí platit 4
i=1 ki = 4
i=1 li = 4
i=1 mi = 4
i=1 ni = 1 (z definice). Proto
můžeme vyjádřit např. čtvrtou souřadnici jako doplněk ostatních do jedničky (konkrétně
třeba k4 = 1 − k1 − k2 − k3 apod.) a dosadit do rovnic. Poté dostaneme čtyři soustavy tří
rovnic, každá o třech neznámých:
19 = 2k1 + 5k2 + 3k3 −13 = 2l1 + 5l2 + 3l3
−20 = −k1 − 6k2 9 = −l1 − 6l2
1 = −k1 + k2 + 2k3 −11 = −l1 + l2 + 2l3
−1
2
= 2m1 + 5m2 + 3m3
5
2
= 2n1 + 5n2 + 3n3
5
2
= −m1 − 6m2 −7
4
= −n1 − 6n2
−1
3
= −m1 + m2 + 2m3
1
2
= −n1 + n2 + 2n3
Obdobně jako v prvním úkolu budeme řešit všechny čtyři soustavy najednou úpravou levého
bloku následující matice na jednotkovou matici.


2 5 3 19 −13 −1
2
5
2
−1 −6 0 −20 9 5
2
−7
4
−1 1 2 1 −11 −1
3
1
2

 ∼ · · · ∼


1 0 0 2 3 1
2
1
4
0 1 0 3 −2 −1
2
1
4
0 0 1 0 −3 1
3
1
4


V pravém bloku vystupují ve sloupcích první tři barycentrické souřadnice bodů K, L, M, N.
Čtvrtou souřadnici dopočítáme snadno doplněním do jedničky. Výsledek tedy vypadá ná-
sledovně:
K = 2, 3, 0, −4
L = 3, −2, −3, 3
M = 1
2
, −1
2
, 1
3
, 2
3
N = 1
4
, 1
4
, 1
4
, 1
4
– jedná se o těžiště čtyřstěnu ABCD.