Domácí úkol z 22. 10. 2015
Příklad 4. Skripta, příklad 53 na straně 126. Nalezněte přímku r, která protíná
přímku p, rovinu α a prochází bodem M. Přitom:
• p : X = [0, 0, −6, −7] + t(1, 1, 2, 1), t ∈ R;
• α : X = [2, 1, 1, 1] + r(1, 2, −1, 1) + s(−1, 2, 1, 2), r, s ∈ R;
• M = [7, −2, −1, 0].
Řešení. Dá se řešit různými způsoby, ukážeme dva z nich:
1. Geometrický. Přímka p a bod M zadávají jednoznačně jistou rovinu σ, ve které leží
hledaná přímka r. Počet řešení pak bude záležet na vzájemné poloze rovin σ a α.
• pokud nastane případ α ∩ σ = ∅, úloha nebude mít žádné řešení;
• v případě α ∩ σ = {N} úloha bude mít právě jedno řešení – přímku r = MN;
• pokud budou roviny splývat nebo se protínat v přímce, úloha bude mít nekonečně
mnoho řešení.
Pokud označíme bod [0, 0, −6, −7] (z vyjádření přímky p) jako P, dva směrové vektory
roviny σ mohou být (1, 1, 2, 1) (z téhož vyjádření) a
# »
PM = (7, −2, 5, 7). Protože
M ∈ σ, parametrické vyjádření bude tvaru
σ : X = [0, 0, −6, −7] + u(1, 1, 2, 1) + v(7, −2, 5, 7), u, v ∈ R
.
Nyní můžeme zjistit průnik rovin σ a α. Protože hledáme jen konkrétní průnik, nebudeme
se „zatěžovat“ obecným postupem jako na cvičení a přejdeme rovnou k věci.
[0, 0, −6, −7] + u(1, 1, 2, 1) + v(7, −2, 5, 7) = [2, 1, 1, 1] + r(1, 2, −1, 1) + s(−1, 2, 1, 2)
u(1, 1, 2, 1) + v(7, −2, 5, 7) − r(1, 2, −1, 1) − s(−1, 2, 1, 2) = [2, 1, 7, 8]
Rozepíšeme a dostaneme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých, kterou vyřešíme.
Stačí přitom znát jen jednu z dvojic u, v a r, s, protože pak jsme již schopni hledaný
podprostor z příslušného vyjádření vypočítat.




1 7 −1 1 2
1 −2 −2 −2 1
2 5 1 −1 7
1 7 −1 −2 8



 ∼ · · · ∼




1 0 0 0 1
3
0 1 0 0 2
3
0 0 1 0 1
0 0 0 1 −2




Protože nám vyšly konkrétní hodnoty parametrů, průnikem obou rovin bude konkrétní
bod N. Dosadíme tedy např. do vyjádření roviny α za parametry r a s příslušné
hodnoty a vypočítáme souřadnice bodu N.
N = [2, 1, 1, 1] + (1, 2, −1, 1) − 2(−1, 2, 1, 2) = [5, −1, −2, −2]
Nyní už můžeme vyjádřit přímku r – prochází bodem M a jako směrový vektor
zvolíme
# »
NM.
r : X = [7, −2, −1, 0] + w(2, −1, 1, 2), w ∈ R
2. Analytický. Pomocí parametru si vyjádříme rovnice všech přímek, které prochází bodem
M a jsou s přímkou p různoběžné. Poté budeme zkoumat jejich polohu vůči
rovině α a určíme, jestli a za jakých podmínek mohou tyto přímky protínat rovinu α.
Pokud bod R leží na přímce p, musí jeho souřadnice vyhovovat parametrickému vyjádření
této přímky – jinými slovy, R = [t, t, −6 + 2t, −7 + t]. Každá přímka r , která
prochází bodem M a je různoběžná s přímkou p (tedy existuje R ∈ p takové, že
R ∈ r ) má následující parametrické vyjádření:
r : X = M + a
# »
MR = [7, −2, −1, 0] + a(t − 7, t + 2, 2t − 5, t − 7)
Nyní způsobem známým ze cvičení prověřme polohu přímky r a roviny α.




1 2 −1 1
−1 2 1 2
t − 7 t + 2 2t − 5 t − 7
5 −3 −2 −1



 ∼ · · · ∼




1 2 −1 1
0 4 0 3
0 0 3t − 12 −12 + 3t
4
0 0 0 3t−1
t−4




Aby se přímka r a rovina α proťaly, musí řádek pod vodorovnou čarou obsahovat
samé nuly, tedy musí být t = 1. (Během úprav bylo ještě třeba ověřit, zda by také
nemohlo vyhovovat t = 4, což ale nebyla pravda.) Dosazením do vyjádření přímky r
dostaneme přímo hledanou rovnici přímky.
r : X = [7, −2, −1, 0] + s(−6, 3, −3, −6), s ∈ R