Domácí úkol z 26. 10. 2015
Příklad 5. Skripta, příklad 60 na straně 128. V A3 nalezněte parametrické vyjádření
příčky v mimoběžek p, q, která je rovnoběžná s rovinami a σ. Přitom:
• p : X = [−5, 2, 2] + t(2, 0, 1);
• q : z − 2 = 0, 5x − 8y + 9z + 100 = 0;
• : X = [3, 0, 0] + r(3, 2, 0) + s(1, 0, 2);
• σ : x − 4y − 3z + 12 = 0.
Řešení. Úlohu převedeme na hledání příčky mimoběžek p, q zadané směrem. Tento směr
bude přitom zřejmě totožný se směrem průsečnice rovin a σ – nejprve tedy najdeme
jejich průsečnici.
Převedeme vyjádření roviny na obecný tvar. Protože (3, 2, 0) × (1, 0, 2) = (4, −6, −2)
a [3, 0, 0] ∈ , obecná rovnice roviny je 2x−3y−z−6 = 0. Nyní můžeme vyřešit soustavu
dvou rovnic (vyjádření rovin a σ) o třech neznámých.
2 −3 −1 6
1 −4 −3 −12
=⇒
x = 6 + u
y = u
z = 6 − u
Hledaný směr příčky mimoběžek p, q je tedy vektor (1, 1, −1). Způsobem popsaným
na cvičení dále zjistíme její parametrické vyjádření.
Směr (1, 1, −1) a přímka p zadávají rovinu α, která protíná přímku q v jistém bodě Q
– ten bude průsečíkem hledané příčky s přímkou q. Parametrické vyjádření roviny α
je tedy zřejmě α : X = [−5, 2, 2] + t1(2, 0, 1) + t2(1, 1, −1) – protože je přímka q
vyjádřena neparametricky, bude vhodné i vyjádření roviny α převést na obecné. Protože
(2, 0, 1) × (1, 1, −1) = (−1, 3, 2) a [−5, 2, 2] ∈ α, obecná rovnice roviny α je
x − 3y − 2z + 15 = 0. Nyní můžeme vyřešit soustavu tří rovnic (vyjádření roviny α a
přímky q) o třech neznámých.


1 −3 −2 −15
5 −8 9 −100
0 0 1 2

 =⇒ Q = [−38, −9, 2]
Hledané parametrické vyjádření příčky v je tedy v : X = [−38, −9, 2] + a(1, 1, −1).