Domácí úkol z 26. 11. 2015
Příklad 6. Skripta, příklad 111 b) na straně 136. Nalezněte ortogonální projekci
y a ortogonální komponentu z vektoru x na podprostor W = L(u, v, w), je-li
x = (14, −3, −6, −7), u = (−3, 0, 7, 6), v = (1, 4, 3, 2) a w = (2, 2, −2, −2).
Řešení. Nejprve vybereme z generátorů podprostoru W bázi (dosazením souřadnic generátorů
do matice a úpravou na schodovitý tvar):


−3 0 7 6
1 4 3 2
2 2 −2 −2

 ∼ · · · ∼


−3 0 7 6
0 3 4 3
0 0 0 0


Bázemi W jsou tedy vektory u1 = (−3, 0, 7, 6) a u2 = (0, 3, 4, 3). Protože platí (z definice),
že x = y+z a y ∈ W (tedy y = k1u1 +k2u2), dále můžeme psát x = k1u1 +k2u2 +z.
Tuto rovnici vynásobíme skalárně nejprve vektorem u1 a poté vektorem u2 (využíváme přitom
toho, že tyto vektory jsou kolmé s vektorem z, který patří do W⊥
).
u1 · x = k1 · u1 · u1 + k2 · u1 · u2 + u1 · z
u2 · x = k1 · u2 · u1 + k2 · u2 · u2 + u2 · z
Nyní vyčíslíme všechny skalární součiny a rovnici o dvou neznámých k1 a k2 vyřešíme.
−126 = 94k1 + 46k2 + 0
−54 = 46k1 + 34k2 + 0
94 46 −126
46 34 −54
∼ · · · ∼
47 23 −63
23 17 −27
∼ · · · ∼
1 0 −5
3
0 1 2
3
Tedy platí y = k1u1 + k2u2 = −5
3
u1 + 2
3
u2 = (5, 2, −9, −8). Ortogonální komponentu
dostáváme jako z = x − y = (9, −5, 3, 1).