M5120 - cvičení
Náhodné vektory, číselné charakteristiky a jednoduché transformace
Ondřej Pokora (pokora@math.muni.cz)
Ustav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
(podzim 2015)
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
Náhodný vektor, číselné charakteristiky
Definice 1 (Náhodný vektor)
(Reálný) Náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)f je měřitelná vektorová funkce
X= (X1,...,Xn)f : (C1,A) -> (^n,Bn)
na pravděpodobnostním prostoru (Cl, A, P)
Složky náhodného vektoru jsou náhodné veličiny, Xj : (Cl, A) —(K,B),
Definice 2 (Střední hodnota = expectation)
Střední hodnota náhodného vektoru je definována po složkách
EX = (E(X1)/.../E(X„))' .
Definice 3 (Kovarianční matice = variance-covariance matrix)
Kovarianční matice náhodného vektoru je definována po složkách:
DX = covX= {Cť>/}" 1 ,  kde Qv = C(X;/Xy) .
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
2/10
Kovarianční matice, korelační matice
Definice 4 (Korelační matice = correlation matrix)
Korelační matice náhodného vektoru je definována po složkách:
RX = corX= 1 ,  kde Rť#;-= R(Xf-,X;-) .
Věta 5
► DX, RX jsou čtvercové řádu n, symetrické,
► hlavní diagonálu DX tvoří rozptyly DX;,
► RX má na hlavní diagonále jedničky
► DX je pozitivně semidefinitní (tzn. \/u G !Rn : ur DXu > 0).
► platí:
RX = D 1 DX D"1,   DX = D RX D,    kde D = diag(y/ĎX^fy/ĎX^).
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
3/10
Jednoduché transformace náhodných vektorů
Věta 6
Lineární transformace Rn —> Rm:
E(a + BX) = a + BEX D(a + BX) = BDXB'
Lineární forma Rn —> R:
E(a + b'X) =a + b'EX D(a + b'X) = b'DXb
Kvadratická forma Rn —> R:
E(X'AX) = EX'AEX + Tr [ADX; kde a G Rm; B G Rnxm; a G R; b G Rm; A G Rnxn pozitivně definitiv'.
Stopa (Trace) matice: Tr(C) = Ylf=i{ci,i} Platí: Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB)
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
4/10
Příklady
Příklad 1
Výpočty ověřte, že v maticovém zápisu lze vyjádřit:
► i-tá složka náhodného vektoru
Xi = e\ X,       kde e{ = (Oi,..., Oť_i, \if Oť+i,..., %)' je jednotkový vektor
► výběrový průměr
x=^f;xi = i(i/-/i)x=(i/.../i)x
z=l
► druhý výběrový moment
1 n    2     1 /
n ~ n
i=i
► čtverec výběrového průměru
(x)2 = x'x = \xfjnx,
kde In je jednotková matice řádu n
kde Jn    {1}^=1 je matice jedniček
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
5/io m
Příklady
V následujících příkladech spočítejte EX, DX, RX náhodného vektoru X.
Příklad 2
Znáte: E(Xť) = 10 i, C(Xť,X/) = i), {i,j = 1,2).
Příklad 3
Znáte: E(Xf) = 10 z, D(Xf) = z2, (z,; = 1,2,3); R(Xf/X7-) = 0,5 pro i^j.
Příklad 4
X ye náhodný výběr rozsahu 4 z rozdělení U (10,4)
Příklad 5
X je náhodný výběr rozsahu 5 z rozdělení Ex(A).
Příklad 6
Spočítejte E(Y) a D (V) transformovaného náhodného vektoru
Y
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
6/10 m
Příklady
Příklad 7
/XA      /20\       /XA      /100   0 25 Zniře: E   X2   =   30   , D   X2   =     ?    9    ? ] . Spočítejte střední
W     V2/       \X3/      V ?    9 16 hodnoty, rozptyly, kovariance, korelační koeficienty náhodných veličin Xi,X2,Xs
S využitím vhodných transformací dále spočítejte:
► E(10X3)
► E(2Xi -5X3 -X2)
► C(10X3/2X! -5X3 -X2)
► C(X1+X2/X3-X2)
► D(10X3)
► D(2Xi-5X3-X2)
► R(10X3,2X! -5X3-X2)
► R(X! + X2/X3-X2)
reseni				j
► E(10X3) =20		► D(10X3) = 1600		
► E(2Xx -5X3 -	X2) = 0	► D(2Xx -5X3 -X2)	= 399	
► C(10X3/2X1-5X3	- X2) = -390	► R(10X3/2X1-5X3-X2)	« -0,488	
► C(X1+X2/X3-	■ X2) = 25	► R(X1+X2/X3-X2)	w 0,905	
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
7/10
Příklady
Příklad 8
Spočtěte střední hodnotu m — E (Y2 + Y\ + Y2) a kovarianční matici D (V), /cafe Yi = Xi, Y2 = Xi + X2, Y3 = Xi + X2 + X3 ysotv transformace vzájemně nezávislých náhodných veličin X1/X2/X3, E(Xi) = 10, E(X2) = 20, E(X3) = 30, D(Xi) = 1, D(X2) =4,D(X3) = 9.
Příklad 9
Spočtěte střední hodnotu m — E (YiY2 + Y2Y3 + Y3Yi) a kovarianční matici D(Y), /cafe Yi = X2 + X3, Y2 = Xi + X3, Y3 = Xi + X2 jsou transformace vzájemně nekorelovaných složek náhodného vektoru X, EX = (10,10,10)', D(X/) = z2.
E(Y) =
/10\ 20 30 U0/
, m = 3800 + 38 = 3838, D(Y) =
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
(12    3 4\
2 4    6 8
3 6    9 12 \4   8   12 16/
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
8/10
Příklady
Příklad 10
Spočtěte E(Y), D(Y) a m = E (Ý[ + Y^ + Y§ + Y\ + 2YXY4), /cde Xi,X2,X3,X4 ysoi/ náhodné veličiny, E(X/) = 10, C(X;,Xy) Známe transformační vztahy X\ — Y\, X2 = Y2 — Y\, X3 — Y3
1.
Y2/ X4
= Y,- Yo.
řešení			1
/13	9		
m    1200 +14 = 1214, D(Y) 9	10		
	1	5/	
Příklad 11
Spočítejte střední hodnotu povrchu hranolu s podstavou tvaru čtverce. Délka hrany podstavy je náhodná veličina se střední hodnotou 10 a rozptylem 1, výška hranolu je náhodná veličina se střední hodnotou 20 a rozptylem 9 a její korelační koeficient s délkou hrany podstavy je 0,1.
Střední hodnota povrchu uvedeného hranolu je rovna 1000 + 3,2 = 1003,2.
Ondřej Pokora, PřF MU (2015)
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
9/10
Příklady
Příklad 12
Ověřte, pro že výběrový průměr X náhodného výběru rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou jí a rozptylem o2 platí: E (X) = //, D (X) = o2/n.
Příklad 13
Ověřte, že pro výběrový rozptyl Sj^ náhodného výběru rozsahu n z rozděleníN(^,o ) platí: E (S|) = o2.
Obtížnější varianta: ověřte, že D (S^) — 2(74/ (n — 1).
Příklad 14
Ověřte, pro že pro náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou ]i a rozptylem o2 platí vztah E [3Qi — Q2] — (n — 3)<72,
kde Qi = Lf=i (X - X)2 a Q2 = (X„ - Xx)2 + L^CX - X^)2.
řešení Příkladu 6
/ 9 \ / 7    8    50 \
E(Y) =21   , D(Y) =8    13 70
\100/ V50   70 400/
M5120 - cvičení - Náhodné vektory
10/10