M5120 - podzim 2015 - Zadání zápočtových úkolů - instrukce naleznete v interaktivní osnově v ISu
1. (Cesta ) Cestu z kampusu na letiště je možné uskutečnit trasou A nebo trasou B. Dojezdové doby tras považujte za náhodné veličiny s normálním rozdělením pravděpodobnosti. Každá z tras byla dosud použita čtyřikrát, přičemž byly naměřeny následující dojezdové doby:
trasa A:  34,5 min, 35,0 min, 34,0 min a 34,5 min;       trasa B:  33,0 min, 32,0 min, 19,0 min a 34,0 min. Současný host se potřebuje dostat z kampusu na letiště do 35 minut. Doporučte mu vhodnou trasu pomocí 2 přístupů:
(a) Testujte hypotézu, že dojezdové doby obou tras mají stejné střední hodnoty, proti alternativě, že jedna z tras (která?) je v průměru rychlejší. Formulujte nulovou a alternativní hypotézu, zvolte správnou testovací statistiku a spočítejte její hodnotu. Pomocí kritického oboru (uveďte potřebné kvantily) na hladině významnosti 0,05 potom rozhodněte
0 výsledku testu a doporučte vhodnou trasu.       K řešení úlohy můžete využít i vhodné funkce v R.
(b) Pro každou trasu na základě 4 pozorování odhadněte parametry normálního rozdělení pravděpodobnosti a spočítejte pravděpodobnost, že následující cesta na letiště bude trvat nejvýše 35 minut. Na základě těchto spočítaných pravděpodobností pak doporučte vhodnou trasu.
2. (Diamanty2) V únoru roku 1992 byl v Singapore Straits Times uveřejněn inzerát na prodej 48 prstenů s diamanty. Datový soubor diamanty.txt (viz též /Vyuka/R/M5120/data/diamanty .txt) obsahuje hmotnosti diamantových kamenů těchto prstenů v miligramech a jejich cenu přepočtenou na CZK.
(a) Načtěte datový soubor a vykreslete histogram a boxplot cen prstenů.
(b) Zkoumejte závislost ceny prstenu, Y, na hmotnosti diamantu, x. Vyřešte 3 lineární regresní modely s následujícími regresními funkcemi (o jaké funkce se jedná?):
(l)y = fa + fax;      (2) y = fa + fax + fax2;      (3) y = fax + fax2.
(c) Pro každý regresní model zapište (např. ve formě tabulky) hodnoty R2, R2, Se a určete významné koeficienty.
(d) Nakreslete grafy 3 odhadnutých regresních funkcí spolu s původními daty do jednoho obrázku. Rozsah osy pro hmotnost zvolte od 0 mg do 100 mg, nezapomeňte na popisky os a grafické rozlišení jednotlivých funkcí.
(e) Porovnejte výsledky. Který model byste vybrali jako nejlepší? Své rozhodnutí doprovoďte komentářem a zhodnoťte
1 reálnost použití jednotlivých regresních funkcí v praxi.
3. (Transformace) Uvažujme náhodný výběr X = (X1,... ,Xn)' rozsahu n z rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou /i a rozptylem a2. Zavedeme transformované veličiny
n
U=X;      V = Yi{xk-xf.
fc=i
(a) Vyjádřete veličiny U, V maticovým zápisem (lineární nebo kvadratické forma) pomocí náhodného výběru X.
(b) Potom pomocí vhodných vzorců spočítejte rozptyl DL/ a střední hodnotu EV.
4. (Odhady) Uvažujeme rozdělení pravděpodobnosti s hustotou pravděpodobnosti
f(x;h) = ^e-h^, X€R
závisející na neznámém parametru h > 0 a náhodný výběr X = (X1}... ,Xn)' rozsahu n z tohoto rozdělení.
(a) Metodu momentů odvoďte odhad hM parametru h.
(b) Metodou maximální věrohodnosti odvoďte odhad hML parametru h.
(c) Pro náhodný výběr      X= (-0,34; -1,09; -0,10; 0,34; -0,13; -0,77; 1,09; 0,06; 0,58; -0,03)'
číselně spočítejte oba odhady. Dále vykreslete grafy věrohodnostní a logaritmické věrohodnostní funkce a nalezněte bod lokálního maxima.
5. (Nepovinná úloha) Nalezněte maximálně věrohodný odhad neznámého parametru 6 e R pro hustotu
/(X;0) = Ie-l'-el, X€R.
Klasický přístup přes nalezení stacionárního bodu (logaritmické) věrohodnostní funkce tu nebude úspěšný, pomoci může např. geometrická úvaha se zobrazením složek náhodného vývěru na reálné ose.
1 podle Anděl, Jiří: Matematika náhody. MATFYZPRESS, Praha, 2007.
2podle Chu, Singfat: Diamond ring pricing using linear regression. Journal of Statistics Education 4 (3), 1996.