Obsah
1 Explicitní rovnice prvního řádu 1
1.1 Separovatelné rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Rovnice typu x′ = f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Rovnice autonomní x′ = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x′ = f(t)g(x) . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Rovnice typu x′ = f(at + bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Homogenní rovnice x′ = f
x
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.6 Rovnice typu x′ = f
at + bx + c
αt + βx + γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exaktní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Integrační faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Lineární homogenní rovnice x′ = a(t)x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x′ = a(t)x + b(t) . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Bernoulliova rovnice x′ = a(t)x + b(t)xr, r ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Implicitní rovnice prvního řádu 17
2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Rovnice tvaru x = f(t, x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Rovnice tvaru t = f(x, x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Rovnice Clairautova a Lagrangeova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Clairautova rovnice x = tx′ + g(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Lagrangeova rovnice x = tf(x′) + g(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Rovnice tvaru Pn(x′) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Lineární rovnice vyššího řádu a lineární systémy 25
3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Lineární rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Eulerova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Partikulární řešení nehomogenní rovnice – variace konstant . . . . . . 34
3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého řádu 38
i
ii OBSAH
3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Homogenní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Další explicitně řešitelné rovnice 45
4.1 Riccatiho rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x′′ = f(x) . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2 Rovnice typu F(t, x(k), x(k+1), . . . , x(n)) = 0, k ∈ {1, . . . , n − 1} . . . . 48
4.2.3 Autonomní rovnice typu F x, x′, x′′, . . . , x(n) = 0 . . . . . . . . . . 48
4.2.4 Rovnice homogenní v x, x′, x′′, . . . , x(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Ekvidimensionální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Některé klasické elementární úlohy 51
5.1 Traktrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Ciolkovského rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Archimédova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Romeo a Julie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5 „Psí křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model) . . . . . . . . . . . . . 65
5.8 Udržitelný rybolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.9 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
OBSAH iii
Následující text má sloužit jako pomůcka k první části cvičení z předmětu M5858 Spojité
deterministické modely I. Je věnován explicitním (elementárním) metodám řešení obyčejných
diferenciálních rovnic; někdy se také mluví o integraci diferenciálních rovnic nebo o řešení
diferenciálních rovnic v kvadraturách. Jedná se o klasickou problematiku, která byla již mnohokrát
zpracována. Při kompilaci textu jsem zejména vykrádal následující knihy a skripta.
1. E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Ruský překlad: £º Ã Ñ ËÔÖ ÚÓÕÒ ÔÓ Ó Ý ÒÓÚ ÒÒÝÑ Ö Ò
 Ð ÒÝÑ ÙÖ Ú¹
Ò Ò Ñº Æ Ù , Moskva 1965.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
2. J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis základních metod integrace obyčejných diferenciálních rovnic.
3. R. Rychnovský: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. SNTL, Praha 1963.
Základní explicitní metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic doplněné jednoduchými
metodami přibližnými.
4. J. Nagy: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha
1978.
Metody výpočtu řešení obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu a popis metod výpočtu
řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu.
5. J. Nagy: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha 1980.
Metody výpočtu řešení soustavy lineárních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty.
Doplněno o analýzu chování trajektorií autonomních systémů v okolí rovnovážných
bodů.
6. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Skripta PřF MU, Brno 1998,
96 stran (druhé přepracované vydání).
Popis základních elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic.
7. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic II. Skripta PřF UJEP v Brně,
SPN Praha 1989, 61 stran.
Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
8. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. Skripta PřF MU, Brno
1995, 29 stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Tato verze textu není zdaleka definitivní. Text bude (doufám) v průběhu semestru doplňován
a upravován. Budu vděčný za všechny připomínky k němu a za upozornění na chyby,
překlepy, nedůslednosti, nejasnosti . . .
Zdeněk Pospíšil
září 2015
Kapitola 1
Explicitní rovnice prvního řádu
1.1 Separovatelné rovnice
1.1.1 Rovnice typu x′
= f(t)
Jedná se v podstatě o rovnost, jíž je definována primitivní funkce k dané funkci f. Obecné
řešení této rovnice tedy je
x(t) = f(t)dt
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku
x(0) = x0 (1.1)
je dáno určitým integrálem
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ)dτ;
samozřejmě za předpokladu, že příslušná primitivní funkce nebo určitý integrál existují.
Příklad:
Řešení rovnice
x′
=
1
√
t(1 + t)
je dáno integrálem
x(t) =
dt
√
t(1 + t)
=
2sds
s(1 + s2)
= 2
ds
1 + s2
= 2 arctg s + C = 2 arctg
√
t + C,
kde C je integrační konstanta; při výpočtu jsme použili substituci s =
√
t.
Příklady na užití rovnice tohoto typu je nalezení rovnice křivky traktrisa (tractrix) 5.1
nebo Ciolkovského rovnice 5.2.
1
2 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
1.1.2 Rovnice autonomní x′
= g(x)
Na pravé straně autonomní rovnice není explicitně přítomná nezávisle proměnná t. Derivaci
vyjádříme jako podíl diferenciálů a rovnici přepíšeme do tvaru
dx
dt
= g(x),
který formálně upravíme na tvar
dx
g(x)
= dt;
na levé straně je diferenciál funkce
1
g(x)
, na pravé diferenciál nezávisle proměnné. Z rovnosti
diferenciálů funkcí plyne rovnost příslušných primitivních funkcí
dx
g(x)
= dt.
Touto rovností je implicitně zapsáno řešení dané diferenciální rovnice.
Při hledání řešení autonomní rovnice s počáteční podmínkou (1.1) takovou, že g(x0) = 0,
nahradíme neurčité integrály určitými. Na levé straně integrujeme v mezích od x0 do x a na
pravé v mezích od t0 do t; přitom musíme přeznačit integrační proměnné. Řešení počáteční
úlohy je tedy imlicitně dáno rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
dτ
a poněvadž integrál na pravé straně lze snadno vyjádřit, zapíšeme řešení počáteční úlohy
v implicitním tvaru
x
x0
dξ
g(ξ)
= t − t0. (1.2)
Příklad
Řešme počáteční úlohu
x′
= x − x3
, x(0) = 1
2.
V tomto případě je t0 = 0, x0 = 1
2, g(x) = x − x3. Na pravé straně rovnosti (1.2) je nyní t a
na její levé straně je
x
1
2
dx
ξ − ξ3
=
x
1
2
1
ξ
−
1
2(ξ + 1)
−
1
2(ξ − 1)
dξ =
1
2
ln
ξ2
|ξ2 − 1|
x
ξ= 1
2
=
1
2
ln
x2
1 − x2
+ ln 3 ,
neboť x(t)2 − 1 = 1
4 − 1 < 0 pro t = 0 a tedy v okolí 0 je |x(t)2 − 1| = 1 − x(t)2. Řešení úlohy
je proto implicitně dáno rovností
1
2
ln
x2
1 − x2
+ ln 3 = t,
1.1. SEPAROVATELNÉ ROVNICE 3
po úpravě
2t − ln 3 = ln
x2
1 − x2
.
Odtud vyjádříme
x2
1 − x2
= 1
3e2t, takže řešení úlohy můžeme napsat v explicitním tvaru
x(t) =
1
√
1 + 3e−2t
.
1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x′
= f(t)g(x)
Tuto rovnici můžeme pomocí diferenciálů zapsat ve tvaru
dx
dt
= f(t)g(x).
Za předpokladu g(x) = 0 můžeme rovnici formálně přepsat na tvar
dx
g(x)
= f(t)dt
a po integraci obou stran dostaneme
dx
g(x)
= f(t)dt. (1.3)
Touto rovností je implicitně zadáno nějaké řešení dané rovnice.
Rovností g(x) = 0 je implicitně zadáno singulární (konstantní) řešení. Poznamenejme, že
singulární řešení může, ale nemusí, být zahrnuto v řešení (1.3) pro nějakou volbu integrační
konstanty. Pokud je singulární řešení zahrnuto ve formuli (1.3), pak je rovností (1.3) implicitně
zadáno obecné řešení dané rovnice.
Rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
f(τ)dτ
je implicitně zadáno partikulární řešení dané rovnice, které splňuje počáteční podmínku (1.1)
takovou, že g(x0) = 0. Pokud g(x0) = 0, pak řešením dané rovnice s počáteční podmínkou
(1.1) je konstantní funkce x(t) ≡ x0.
Povšimněme si, že rovnice typu 1.1.1 bez hledané funkce na pravé straně je zvláštním
případem rovnice se separovanými proměnnými a s g(x) ≡ 1; rovnice autonomní 1.1.2 je
speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými a s f(t) ≡ 1.
Příklad na užití rovnice se separovanými proměnnými je uveden v 5.5.
1.1.4 Rovnice typu x′
= f(at + bx + c)
Pokud b = 0, jedná se o rovnici tvaru 1.1.1.
Nechť b = 0. Zavedeme novou neznámou funkci u = u(t) rovností
u = at + bt + c.
4 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Pak je x(t) =
1
b
(u(t) − at − c) a tedy x′ =
1
b
(u′ − a). To znamená, že daná rovnice se
transformuje na tvar
1
b
(u′
− a) = f(u),
po úpravě
u′
= bf(u) + a,
což je rovnice autonomní 1.1.2.
1.1.5 Homogenní rovnice x′
= f
x
t
Zavedeme funkci u = u(t) =
x(t)
t
. Pak x(t) = tu(t), x′ = u + tu′. Dosazením do původní
rovnice dostaneme
u′
=
f(u) − u
t
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
Příkladem na užití homogenní rovnice je Archimédova úloha 5.3.
1.1.6 Rovnice typu x′
= f
at + bx + c
αt + βx + γ
1. c = γ = 0. Pak f
at + bx
αt + βx
= f
a + bx
t
α + β x
t
a daná rovnice je homogenní.
2. c2 + γ2 = 0,
α
a
=
β
b
= k.
Zavedeme funkci u = u(t) = at + bx. Pak u′ = a + bx′ a tedy x′ =
u′ − a
b
. Dosazením
do původní rovnice dostaneme
u′
= a + bf
u + c
ku + γ
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
3. c2 + γ2 = 0, aβ = bα.
Nechť m a n jsou řešením soustavy lineárních algebraických rovnic
am + bn = −c
αm + βn = −γ .
Zavedeme funkce u = u(t) = t − m
v = v(t) = x − n.
Pak dt = du, dx = dv,
at+bx+c = a(u+m)+b(v +n)+c = au+bv +(am+bn)+c = au+bv,
αt+βx+γ = α(u+m)+β(v+n)+γ = αu+βv+(αm+bn)+γ = αu+βv
Daná rovnice přejde na tvar
dv
du
= f
au + bv
αu + βv
,
což je rovnice typu 1. pro neznámou funkci v = v(u).
1.2. EXAKTNÍ ROVNICE 5
1.2 Exaktní rovnice
Exaktní diferenciální rovnice v explicitním tvaru je
y′
= −
f(x, y)
g(x, y)
. (1.4)
Funkce f a g přitom splňují podmínku
∂f(x, y)
∂y
=
∂g(x, y)
∂x
. (1.5)
Obvyklejší implicitní tvar exaktní rovnice je
f(x, y) + g(x, y)y′
= 0.
Jeho výhodou je skutečnost, že není třeba předpokládat nenulovost funkce g.
Rovnici (1.4) lze také přepsat pomocí diferenciálů
dy
dx
= −
f(x, y)
g(x, y)
a pak formálně upravit
na tvar
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0. (1.6)
Za podmínky (1.5) je výraz na levé straně totálním diferenciálem nějaké funkce F dvou proměnných
(sr. např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno
1999, kap. 4), pro kterou platí dF(x, y) = 0. Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně
zadáno rovností F(x, y) = C, kde C je reálná konstanta.
Příklad x(x2 + y2 − a2) + y(x2 + y2 + a2)y′ = 0
V tomto případě je f(x, y) = x(x2 + y2 − a2), g(x, y) = y(x2 + y2 + a2). Platí
∂f
∂y
= 2xy,
∂g
∂x
= 2xy,
takže podmínka (1.5) je splněna. Diferenciální tvar dané rovnice je
x(x2
+ y2
− a2
)dx + y(x2
+ y2
+ a2
)dy = 0.
Pro kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu na levé straně platí
∂F
∂x
= x(x2
+ y2
− a2
),
∂F
∂y
= y(x2
+ y2
+ a2
).
Z první rovnosti vyjádříme
F(x, y) = x(x2
+ y2
− a2
)dx = 1
4 x4 + 1
2x2(y2 − a2) + ϕ(y)
a dosadíme do druhé rovnosti
x2
y + ϕ′
(y) = y(x2
+ y2
+ a2
).
Tím dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici
dϕ
dy
= y3
+ a2
y
6 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
pro dosud neznámou funkci ϕ. Řešení této rovnice je podle 1.1.1 dáno integrálem
ϕ(y) = (y3
+ a2
y)dy = 1
4y4 + 1
2 a2y2 + const.
Celkem dostáváme
F(x, y) = 1
4x4 + 1
2 x2(y2 −a2)+ 1
4y4 + 1
2a2y2 +const = 1
4(x4 +2x2y2 +y4)+ 1
2a2(y2 −x2)+const.
Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně dáno rovností
x2
+ y2 2
+ 2a2
y2
− x2
= C,
kde C je libovolná konstanta.
Ještě si povšimněme, že rovnici
dx
dt
= ϕ(t)ψ(x) se separovanými proměnnými (sr. 1.1.3)
můžeme přepsat do tvaru
ϕ(t)dt −
1
ψ(x)
dx = 0.
Přitom platí
∂
∂x
ϕ(t) = 0 =
∂
∂t
1
ψ(x)
,
takže se jedná o rovnici exaktní. Rovnice se separovanými proměnnými je tedy zvláštním
případem rovnice exaktní.
1.2.1 Integrační faktor
Pokud funkce f a g v rovnici (1.6) nesplňují podmínky (1.5), tj. pokud rovnice tvaru (1.6)
není exatní, lze z ní někdy rovnici exktní učinit tím, že ji vynásobíme nějakou vhodnou funkcí
P = P(x, y). Pokud taková funkce existuje, nazýváme ji integrační faktor.
Rovnice (1.6) vynásobená funkcí P má tvar
fP + gPy′
= 0
a aby tato rovnice byla exaktní, musí platit
∂fP
∂y
=
∂gP
∂x
.
Parciální derivace součinů rozepíšeme a podmínku upravíme na tvar
P
∂f
∂y
−
∂g
∂x
= g
∂P
∂x
− f
∂P
∂y
. (1.7)
To je parciální diferenciální rovnice pro neznámou funkci P. Ve speciálních případech – pokud
funkce P závisí pouze na jedné z proměnných x, y – se však může stát diferenciální rovnicí
obyčejnou.
1.2. EXAKTNÍ ROVNICE 7
1. Integrační faktor P závisí pouze na proměnné x, P = P(x).
V tomto případě je
∂P
∂y
= 0,
∂P
∂x
=
dP
dx
= P′
a rovnice (1.7) je tvaru
1
P
dP
dx
=
1
g
∂f
∂y
−
∂g
∂x
. (1.8)
Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na proměnné x. Aby rovnost mohla být
splněna, musí výraz na její pravé straně také záviset pouze na proměnné x. Dostáváme
tak závěr: Pokud výraz na pravé straně rovnosti (1.8) nezávisí na proměnné y, pak
existuje integrační faktor P = P(x) rovnice (1.6); najdeme ho jako řešení obyčejné
diferenciální rovnice (1.8).
2. Integrační faktor P závisí pouze na proměnné y, P = P(y).
V tomto případě je
∂P
∂y
=
dP
dy
= P′
,
∂P
∂x
= 0
a rovnice (1.7) je tvaru
1
P
dP
dy
=
1
f
∂g
∂x
−
∂f
∂y
. (1.9)
Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na proměnné y. Aby rovnost mohla
být splněna, musí výraz na její pravé straně také záviset pouze na proměnné y. Odtud
usoudíme: Pokud výraz na pravé straně rovnosti (1.9) nezávisí na proměnné x, pak
existuje integrační faktor P = P(y) rovnice (1.6); najdeme ho jako řešení obyčejné
diferenciální rovnice (1.9).
Příklad:
2xy + (y2
− x2
)y′
= 0
Máme f(x, y) = 2xy, g(x, y) = y2 − x2, takže
∂f
∂y
= 2x,
∂g
∂x
= −2x
a daná rovnice není exaktní. Avšak výraz
1
f
∂g
∂x
−
∂f
∂y
=
1
2xy
(−4x) = −
2
y
závisí pouze na proměnné y. Existuje tedy integrační faktor P = P(y) zadané rovnice. Ten je
řešením obyčejné diferenciální rovnice
1
P
P′
= −
2
y
,
což je rovnice se separovanými proměnnými, jejíž řešení je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností
dP
P
= −2
dy
y
, tj. ln |P| = −2 ln |y| + const.
8 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Odtud dostaneme ln y2|P| = const a tedy
P(y) =
const
y2
.
Stačí volit const = 1.
Danou rovnici vynásobíme získaným integračním faktorem P(y) = y−2 a dostaneme
2x
y
+ 1 −
x2
y2
y′
= 0. (1.10)
Poněvadž platí
∂
∂y
2x
y
= −
2x
y2
,
∂
∂x
1 −
x2
y2
= −
2x
y2
,
je rovnice (1.10) exaktní. Najdeme kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu
2x
y
dx + 1 −
x2
y2
dy.
Postupně vypočítáme
∂F
∂x
=
2x
y
, tedy F(x, y) =
2x
y
dx =
x2
y
+ ϕ(y),
∂F
∂y
= −
x2
y2
+ ϕ′
(y) = 1 −
x2
y2
, tedy ϕ′
= 1, ϕ(y) = y + const.
Obecné řešení dané rovnice je proto implicitně dáno rovností
x2
y
+ y = const.
Označíme-li const = 2C, dostaneme x2 + y2 − 2Cy = 0, neboli
x2
+ (y − C)2
= C2
.
Příklad:
a(x)y + b(x) dx − dy = 0 (1.11)
Máme f(x, y) = a(x)y + b(x), g(x, y) = −1 a tedy
∂f
∂y
= a(x),
∂g
∂x
= 0,
takže rovnice (1.11) obecně není exaktní. Avšak výraz
1
g(x, y)
∂f(x, y)
∂y
−
∂g(x, y)
∂x
= −a(x)
1.2. EXAKTNÍ ROVNICE 9
nezávisí na proměnné y. Existuje tedy integrační faktor P rovnice (1.11), který je funkcí jedné
proměnné x a je řešením diferenciální rovnice
1
P
P′
= −a(x), tj. P′
= −a(x)P.
To je rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností
dP
P
= − a(x)dx.
Neurčitý integrál na levé straně je roven ln |P| + const, kde const je libovolná integrační
konstanta. Tedy
ln |P| + const = − a(x)dx,
|P| = exp const − a(x)dx ,
P = const · exp − a(x)dx .
V poslední rovnosti stačí zvolit const = 1 a dostaneme integrační faktor
P(x) = exp − a(x)dx .
Rovnice
a(x)y + b(x) e− a(x)dx
dx − e− a(x)dx
dy = 0
je již exaktní. Najdeme kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu na levé straně rovnice.
∂F
∂y
= −e− a(x)dx
tedy F(x, y) = −ye− a(x)dx
+ ϕ(x),
∂F
∂x
= −y − a(x) e− a(x)dx
+ ϕ′
(x) = a(x)y + b(x) e− a(x)dx
,
tedy
ϕ′
(x) = b(x)e− a(x)dx
.
Řešení této jednoduché diferenciální rovnice je podle 1.1.1 dáno neurčitým integrálem
ϕ(x) = b(x)e− a(x)dx
dx
a řešení rovnice (1.11) je implicitně dáno rovností
−ye− a(x)dx
+ b(x)e− a(x)dx
dx = −C.
Z ní můžeme vypočítat řešení rovnice (1.11) ve tvaru
y(x) = C + b(x)e− a(x)dx
dx e a(x)dx
,
kde C je libovolná konstanta.
10 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
1.3 Lineární rovnice
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je tvaru
x′
= a(t)x + b(t); (1.12)
na její pravé straně je polynom prvního stupně v proměnné x, tedy lineární funkce. Pokud je
funkce b na pravé straně rovnice (1.12) identicky nulová, b(t) ≡ 0, nazýváme rovnici homogenní,
v opačném případě nehomogenní.
1.3.1 Lineární homogenní rovnice x′
= a(t)x
Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení této rovnice s počáteční podmínkou
(1.1) je:
x
x0
dξ
ξ
=
t
t0
a(τ)dτ
ln x − ln x0 =
t
t0
a(τ)dτ
x = x0 exp
t
t0
a(τ)dτ
Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat jako
x = C exp
t
t0
a(τ)dτ, (1.13)
kde C je libovolná t0 je nějaké číslo z definičního oboru funkce a.
1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x′
= a(t)x + b(t)
Uvedeme tři možné způsoby nalezení řešení lineární nehomogenní rovnice. V prvních dvou
předpokládáme nějaký tvar výsledku; za takovými předpoklady jsou dvě různé možné interpretace
nehomogenní rovnice. Třetí metoda je obecná. Očekávaný tvar řešení a jeho následné
konkrétní vyjádření ponechává nejistotu, zda by nemohlo existovat také nějaké jiné řešení.
První dvě metody tedy odpovídají na otázku po existenci řešení, třetí metoda ukazuje jednoznačnost
řešení.
Duhamelův princip
Nejprve budeme hledat řešení nehomogenní rovnice (1.12) se speciální počáteční podmínkou
x(t0) = 0. (1.14)
Můžeme si představovat, že rovnice s touto počáteční podmínkou popisuje (modeluje) nějaký
proces, při kterém má veličina x na počátku (v čase t0) nulovou hodnotu a v průběhu času
1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 11
se v ní akumulují (integrují) nějaké vnější vlivy. Budeme tedy očekávat, že řešení xP rovnice
(1.12) s počáteční podmínkou (1.14) je tvaru
xP (t) =
t
t0
w(t, s)ds,
kde w je zatím neurčená spojitá funkce dvou proměnných. Takto zavedená funkce xP samozřejmě
splňuje počáteční podmínku (1.14). Podle věty o derivaci integrálu podle parametru
platí
x′
P (t) = w(t, t) +
t
t0
∂w(t, s)
∂t
ds.
Aby byla splněna rovnice (1.12), musí platit
w(t, t) +
t
t0
∂w(t, s)
∂t
ds = a(t)
t
t0
w(t, s)ds + b(t),
nebo po úpravě
w(t, t) − b(t) =
t
t0
a(t)w(t, s) −
∂w(t, s)
∂t
ds.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když
w(s, s) = b(s) (1.15)
pro všechna s a
∂w(t, s)
∂t
= a(t)w(t, s) (1.16)
pro všechna t ∈ R a všechna s ∈ (t0, t).
Nyní budeme proměnnou s považovat za parametr a proměnnou t za nezávisle proměnnou.
Rovnici (1.16) tedy chápeme jako obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci w
nezávisle proměnné t. která také závisí na parametru s. Je to rovnice lineární homogenní,
počáteční podmínka je dána rovností (1.15) – je-li počáteční čas t0 roven parametru s, je
hodnota funkce w rovna hodnotě b(s). Řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní rovnici
bylo v 1.3.1 odvozeno ve tvaru
w(t, s) = b(s) exp
t
s
a(τ)dτ.
Dostáváme tak řešení xP počáteční úlohy (1.12), (1.14) ve tvaru
xP (t) =
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds.
12 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Již také víme, že řešení xH lineární homogenní rovnice x′ = a(t)x s obecnou počáteční podmínkou
(1.1) je
xH(t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
.
Nyní snadno ověříme, že funkce
x(t) = xH(t) + xP (t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds
je řešením úlohy (1.12), (1.1). Vskutku
x′
(t) = x′
H(t) + x′
P (t) = a(t)xH (t) + a(t)xP (t) + b(t) =
= a(t) xH (t) + xP (t) + b(t) = a(t)x(t) + b(t),
x(t0) = xH(t0) + xP (t0) = x0 + 0 = x0.
Tento výsledek můžeme přečíst tak, že řešení nehomogenní lineární rovnice (1.12) s počáteční
podmínkou (1.1) je součtem řešení homogenní rovnice s touto počáteční podmínkou a
nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou.
Řešení počáteční úlohy (1.12), (1.1) jsme dostali ve tvaru
x(t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds. (1.17)
Metoda variace konstanty
Řešení hledáme ve stejném tvaru (1.13), v jakém je řešení rovnice homogenní, avšak hodnotu C
nepovažujeme za konstantní, ale za proměnnou (závislou na nezávisle proměnné t). Můžeme
si představovat, že nehomegenita b v rovnici nějak perturbuje (pozmění, rozkolísá, poruší
. . . ) řešení „čisté, neporušené lineární rovnice. Z této úvahy plyne název metoda variace
konstanty. Řešení tedy očekáváme ve tvaru
x(t) = C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ.
Pak x′ = (C′(t) + a(t)C(t)) exp
t
t0
a(τ)dτ. Dosazením do dané rovnice dostaneme
C′
(t) + a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ = a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ + b(t),
C′
(t) = b(t) exp
t0
t
a(τ)dτ,
1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 13
což je rovnice typu (1.1.1). Integrací v mezích od t0 do t dostaneme
C(t) − C(t0) =
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ
Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je
x(t) =

const +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.1) je
x(t) =

x0 +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ. (1.18)
Užití integračního faktoru
Lineární rovnici (1.12) můžeme (při změně označení proměnných) přepsat v „diferenciálním
tvaru (1.11). Tuto rovnici lze vynásobit integračním faktorem
P(t) = exp − a(t)dt
a tak převést na rovnici exaktní.
U lineární rovnice není třeba hledat kmenovou funkci příslušného diferenciálu, stačí rovnici
integračním faktorem vynásobit a postupně upravit:
x′
− a(t)x = b(t) / e− a(t)dt
x′
e− a(t)dt
− a(t)xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
d
dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
dt
x = e a(t)dt
b(t)e− a(t)dt
dt
Tím jsme dostali obecné řešení lineární rovnice (1.12) ve tvaru neurčitých integrálů. Při
hledání partikulárního řešení rovnice (1.12) s počáteční podmínkou (1.1) postupujeme analo-
14 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
gicky:
x′
(t) − a(t)x = b(t) / e
−
t
t0
a(τ)dτ
x′
(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
− a(t)x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
= b(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
d
dt

x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ

 = b(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
− x(t0) =
t
t0
b(s)e
−
s
t0
a(τ)dτ
ds
x(t) = e
t
t0
a(τ)dτ

x0 +
t
t0
b(s)e
−
s
t0
a(τ)dτ
ds

 (1.19)
Třemi různými postupy jsme dospěli k vyjádření řešení počáteční úlohy (1.12), (1.1) pro
lineární rovnici. Snadno nahlédneme, že výsledky (1.17), (1.18) a (1.19) jsou stejné.
Jsou-li koeficienty lineární rovnice konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, pak je její partikulární
řešení s počáteční podmínkou (1.1) dáno formulí
x(t) = x0 +
B
A
eA(t−t0)
−
B
A
.
Příklad na užití lineární rovnice je 5.6.
1.4 Bernoulliova rovnice x′
= a(t)x + b(t)xr
, r ∈ R
Zavedeme funkci u = u(t) = x(t)1−r. Pak x = u
1
1−r , x′ =
1
1 − r
u
1
1−r
−1
u′. Dosadíme do dané
rovnice:
1
1 − r
u
r
1−r u′
= a(t)u
1
1−r + b(t)u
r
1−r / (1 − r)u
r
r−1
u′
= (1 − r)a(t)u + (1 − r)b(t) .
To je lineární rovnice pro neznámou funkci u.
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, lze použít substituci
x = y −
B
A
− 1
r−1
.
pak
x′
= −
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y′
1.5. CVIČENÍ 15
a tedy
−
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y′
= A + B y −
B
A
−1
y −
B
A
− 1
r−1
−
1
r − 1
y′
= A + B
A
Ay − B
Ay − B
A
1
1 − r
y′
=
A2y − AB + AB
Ay − B
Ay − B
A
y′
= (1 − r)Ay,
což je lineární homogenní rovnice.
Příklady na užití Bernoulliovy rovnice jsou 5.6 a 5.7.
1.5 Cvičení
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
1) 2t(2x − 3)dt + (t2 + 1)dx = 0 2)
dx
dt
= et−x
3) texdx +
t2 + 1
x
dt = 0 4)
√
1 + t2 dx +
√
x2 − 1 dt = 0
5) t2dx + (x2 − tx)dt = 0 6)
dt
dx
=
t + x
x − t
7) t sin
x
t
− x cos
x
t
dt + t cos
x
t
dx = 0 8) 2
dx
dt
− x = et/2
9) tdx + xdt = sin tdt 10) (t − 1)3x′ + 4(t − 1)2x = t + 1
11) e2xdt + 2(te2x − x)dx = 0 12) (x2 + 1)dt + (2tx + 1)dx = 0
13) (t + x)dt + (t + x2)dx = 0 14) tdx − xdt + t3dt = 0
15) (t2 + t − x)dt + tdx = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(π/2) = 0
17) x′ + 2x = t; x(0) = 2 18) (t + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(1) = 1
19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2 + bx2)dt + ctx dx = 0 byla exaktní a
vyřešte ji.
Výsledky:
1)x =
3
2
+
C
(t2 + 1)2
2)ex = et+C 3)ex(x−1)+
t2
2
+ln |t| = C 4)(x+
√
x2 − 1 )(t+
√
t2 + 1 ) = C
5)x =
t
ln |t| + C
6)
1
2
ln(t2 + x2) + arctg
x
t
= C 7)x = t arcsin
C
t
8)x =
t + C
2
et/2
9)x =
C − cos t
t
10)x =
t3 − 3t + C
3(t − 1)4
11)t =
x2 + C
2
e−2x 12)t =
C − x
x2 + 1
13)
t2
2
+tx+
x3
3
= C
14)x = Ct −
t3
2
15)x = Ct − t2 − t ln |t| 16)x = e1−sin t − 1 17)x =
t
2
+
9
4
e−2t −
1
4
18)x =
√
3t2 + 6 − 2t 19)c = 2b;
at3
3
+ btx2 = C
16 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Kapitola 2
Implicitní rovnice prvního řádu
Tyto rovnice nazýváme také diferenciální rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci. Jedná se
o rovnice tvaru
F(t, x, x′
) = 0. (2.1)
Obecný postup při řešení těchto rovnic spočívá v zavedení funkce p = p(t) = x′(t) a následném
derivování rovnice
F t, x(t), p(t) = 0
podle proměnné t. Tímto způsobem se v některých případech podaří najít řešení dané rovnice
v parametrickém tvaru
t = ϕ(p),
x = ψ(p);
proměnnou p přitom považujeme za parametr. Uvedený postup je použitelný zejména v případech,
kdy lze z rovnice (2.1) vypočítat proměnnou t nebo x, viz 2.1.
Je-li funkce F polynomem v proměnné x′ s koeficienty závisejícími na proměnných t a x,
není potřeba přepsanou rovnici
F(t, x, p) =
n
i=0
ai(t, x)pi
= 0
derivovat podle proměnné t; postup řešení ukážeme v 2.3.
2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x
2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f(x′
)
Označíme p = p(t) = x′(t), rovnici přepíšeme do tvaru
x(t) = f p(t)
a zderivujeme podle proměnné t,
p(t) = f′
p(t) p′
(t).
17
18 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Pokud je f′ p(t) = 0, tj. pokud je funkce f nekonstantní, můžeme z poslední rovnice vypočítat
p′(t). Dostaneme tak explicitní autonomní diferenciální rovnici pro neznámou funkci p
ve tvaru
p′
=
p
f′(p)
,
která má podle 1.1.2 řešení dané implicitně rovností
t =
p dp
f′(p)
.
To je parametrické vyjádření původní nezávisle proměnné t. Původní závisle proměnná x je
parametricky vyjádřena danou rovností
x = f(p).
Povšimněme si, že integrační konstanta se objevuje pouze u nezávisle proměnné t. Tato konstanta
je aditivní. To znamená, že řešení autonomní rovnice je invariantní vzhledem k posunutí
v nezávisle proměnné.
Pokud je nula v definičním oboru funkce f, pak je také konstantní funkce x ≡ f(0) řešením
dané rovnice.
Příklad: xx′ − 2(x′)4 + 2 = 0
S označením p = x′ tuto rovnici přepíšeme jako
xp − 2p4
+ 2 = 0.
Vidíme, že p = 0 není kořenem této (algebraické) rovnice. Můžeme proto vypočítat
x = 2
p4 − 1
p
. (2.2)
Tuto rovnost derivujeme podle proměnné t a upravíme:
x′
= 2
4p3p − (p4 − 1)
p2
p′
p = 2
3p4 + 1
p2
dp
dt
dt = 2
3p4 + 1
p3
dp
t = 2 3p +
1
p3
dp = 2
3p2
2
−
1
2p2
+ C
t =
3p4 − 1
p2
+ C. (2.3)
Rovnostmi (2.3) a (2.2) je vyjádřeno řešení dané rovnice v parametrickém tvaru.
2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 19
2.1.2 Rovnice tvaru x = f(t, x′
)
Při označení p = x′ máme rovnici
x = f(t, p), (2.4)
nebo podrobněji
x(t) = f t, p(t) ,
kterou derivujeme podle proměnné t. S využitím „řetězového pravidla pro derivaci složené
funkce dvou proměnných dostaneme
p(t) = ft t, p(t) + fp t, p(t)
dp
dt
. (2.5)
Pokud je p = ft(t, p), pak rovnici (2.5) přepíšeme do tvaru
dt
dp
=
fp(t, p)
p − ft(t, p)
,
což je explicitní diferenciální rovnice pro neznámou funkci t jedné proměnné p. Najdeme její
řešení t = ϕ(t) a dosadíme ho do dané rovnice (2.4). Dostaneme tak řešení dané rovnice
v parametrickém vyjádření
t = ϕ(p),
x = f ϕ(p), p ,
kde proměnnou p považujeme za parametr.
Příklad: x = 2tx′ − ln x′
Označíme p = x′, rovnici přepíšeme, zderivujeme obě její strany podle proměnné t a upravíme:
x = 2tp − ln p,
p = 2p + 2t
dp
dt
−
1
p
dp
dt
,
−p = 2t −
1
p
dp
dt
.
Poněvadž hodnota p je argumentem logaritmu, musí být p > 0. Rovnici tedy můžeme dále
upravit na tvar
dt
dp
= −
2
p
t +
1
p2
,
což je lineární rovnice, která má podle 1.3 řešení
t =
1
p
+
C
p2
.
Toto vyjádření dosadíme do dané rovnice a dostaneme
x = 2
1
p
+
C
p2
p − ln p = 2 1 +
C
p
− ln P.
20 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Obecné řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je
t =
p + C
p2
,
x = 2
p + C
p
− ln p.
V tomto případě lze parametr p eliminovat. Z první rovnice vypočítáme
p =
1 ±
√
1 + 4Ct
2t
a dosadíme do druhé. Po úpravách dostaneme
x(t) = 1 ±
√
1 + 4Ct − ln
1 ±
√
1 + 4Ct
2t
.
Řešení se znaménkem „+ je definováno na intervalu (0, ∞) a integrační konstanta C může
být libovolná; řešení se znaménkem „− je definováno na intervalu −∞,
−1
4C
a konstanta
C musí být záporná.
2.1.3 Rovnice tvaru t = f(x, x′
)
Označíme p = x′ a dostaneme rovnici
t = f(x, p),
kterou zderivujeme podle proměnné t,
1 = fx(x, p)
dx
dt
+ fp
dp
dt
.
Poněvadž platí
dx
dt
= p a
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
,
můžeme předchozí rovnici upravit na tvar
1 = pfx(x, p) + pfp(x, p)
dp
dx
,
tj.
dx
dp
=
1 − pfx(x, p)
pfp(x, p)
,
což je rovnice explicitní pro neznámou funkci x s nezávisle proměnnou p. Její řešení označíme
ψ(p). Řešení dané implicitní rovnice má tedy parametrické vyjádření
t = f ψ(p), p ,
x = ψ(p).
2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 21
Příklad: t = (x − x′)x′
Označíme p = x′, rovnici přepíšeme, zderivujeme podle proměnné t a upravíme:
t = (x − p)p
1 = p2
+ x
dp
dt
− 2p
dp
dt
1 − p2
= (x − 2p)
dp
dt
1 − p2
= (x − 2p)
dp
dx
p
1 − p2
= (xp − 2p2
)
dp
dx
.
Předpokládejme nejprve, že p2 = 1. Pak lze rovnici dále upravit na tvar
dx
dp
=
p
1 − p2
x −
2p2
1 − p2
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci x proměnné p. Její řešení najdeme užitím integračního
faktoru:
dx
dp
+
p
p2 − 1
x =
2p2
p2 − 1
p2 − 1
p2 − 1
dx
dp
+
p
p2 − 1
x =
2p2
p2 − 1
d
dp
x p2 − 1 =
2p2
p2 − 1
x p2 − 1 = 2
p2dp
p2 − 1
x =
1
p2 − 1
p p2 − 1 + ln p + p2 − 1 + const
x = p +
1
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 .
Vyjádření proměnné t jako funkce parametru p dostaneme dosazením tohoto výrazu do dané
rovnice. Řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je
t =
p
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 ,
x = p +
1
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 .
Ještě poznamenejme, že parametr p se pohybuje v intervalu (0, 1) nebo v intervalu (−1, 0) a
integrační konstanta C je nenulová a má stejné znaménko jako parametr p.
Nyní vyšetříme zatím vyloučený případ p2 = 1. Pokud p = x′ = 1, pak x = t + A a
dosazením do dané rovnice dostaneme t = (t + A − 1), takže A = 1. Další řešení dané rovnice
je tedy dáno explicitně rovností
x = t + 1.
22 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Pokud p = −1, pak x = −t + B a dosazením do dané rovnice najdeme B = −1. Třetí řešení
dané rovnice tedy je
x = −t − 1.
2.2 Rovnice Clairautova a Lagrangeova
2.2.1 Clairautova rovnice x = tx′
+ g(x′
)
Rovnici x = tp + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = p + t
dp
dt
+ g′
(p)
dp
dt
0 = t + g′
(p)
dp
dt
Musí tedy být
dp
dt
= 0 nebo t = −g′(p).
Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení
x(t) = ct + g(c),
kde c ∈ R je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření singulárního
řešení
t = −g′
(p)
x = −pg′
(p) + g(p) ,
kde p je parametr.
2.2.2 Lagrangeova rovnice x = tf(x′
) + g(x′
)
Rovnici x = tf(p) + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = f(p) + tf′
(p)
dp
dt
+ g′
(p)
dp
dt
p − f(p) = tf′
(p) + g′
(p)
dp
dt
Má-li rovnice p−f(p) = 0 řešení p ≡ c, pak x(t) = ct+c1 je singulárním řešením dané rovnice.
Konstantu c1 určíme dosazením do dané rovnice:
ct + c1 = tf(c) + g(c)
c1 = t f(c) − c + g(c)
a poněvadž f(c) = c, je c1 = g(c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je
x(t) = ct + g(c) ,
2.3. ROVNICE TVARU PN (X′) = 0 23
kde c je řešením rovnice c = f(c) (je pevným bodem funkce f).
Pro p = f(p) dostaneme
dt
dp
=
tf′(p) + g′(p)
p − f(p)
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její řešení
t = t(p) = ϕ(p), pak
t = ϕ(p)
x = f(p)ϕ(p) + g(p)
je parametrickým vyjádřením obecného řešení Lagrangeovy rovnice.
2.3 Rovnice tvaru Pn(x′
) = 0
Nechť Pn je polynom stupně n, jehož koeficienty jsou funkcemi proměnných t a x definovanými
na nějaké oblasti v R2. Hledáme tedy řešení rovnice
x′n
+ an−1(t, x)x′n−1
+ an−2(t, x)x′n−2
+ · · · + a1(t, x)x′
+ a0(t, x) = 0.
Při označení p = p(t) = x(t) máme rovnici
pn
+ an−1(t, x)pn−1
+ an−2(t, x)pn−2
+ · · · + a1(t, x)p + a0(t, x) = 0.
Pokud polynom na levé straně rovnice nemá reálné kořeny, pak uvažovaná diferenciální rovnice
nemá (reálné) řešení. Nechť tedy na nějaké oblasti G ⊆ R2 má polynom na levé straně k
reálných různých kořenů p1, p2, . . . , pk, které samozřejmě závisí na dvojici proměnných t, x,
tj. p1 = f1(t, x), p2 = f2(t, x), . . . , pk = fk(t, x). Řešení každé z explicitních diferenciálních
rovnic prvního řádu
x′
i = fi(t, x), i = 1, 2, . . . , k
je současně řešením dané implicitní diferenciální rovnice.
Další nejednoznačnost plyne z faktu, že některé z funkcí fi, i = 1, 2, . . . , k mohou nabývat
v některých bodech oblasti G nebo dokonce na nějakých otevřených podmnožinách oblasti
G stejných hodnot. V takovém případě může řešením dané rovnice např. funkce x, která
na nějaké části svého definičního oboru splňuje rovnici x′ = f1(t, x) a na jiné části rovnici
x′ = f2(t, x) a podobně.
Příklad.
Budeme hledat řešení rovnice
x′2
+ tx = 0. (2.6)
Při označení p = x′ máme
p2
+ tx = 0.
Polynom na levé straně má na množině G = (t, x) ∈ R2 : tx ≤ 0 (tedy na sjednocení druhého
a čtvrtého kvadrantu) dva reálné kořeny p1 =
√
−tx, p2 = −
√
−tx. Dostáváme tak dvě
explicitní diferenciální rovnice prvního řádu
x′
=
√
−tx, x′
= −
√
−tx.
24 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Každá z nich má konstantní řešení x0 = x0(t) ≡ 0. Ve druhém kvadrantu, tedy pro x ≥ 0 a
t ≤ 0, jsou tyto rovnice tvaru
x′
=
√
x
√
−t, x′
= −
√
x
√
−t,
což jsou rovnice se separovanými proměnnými. První z nich má podle 1.1.3 řešení v implicitním
tvaru
dx
√
x
=
√
−tdt, tj. 2
√
x = −2
3
√
−t3 + const.
Dostáváme tak další řešení dané rovnice
x1(t) = C1 − 1
3
√
−t3
2
definované na intervalu (−∞, 0]. Ze druhé rovnice dostaneme řešení
x2(t) = C2 + 1
3
√
−t3
2
definované také na intervalu (−∞, 0].
Analogicky dostaneme další dvě řešení
x3(t) = − C3 − 1
3
√
−t3
2
, x4(t) = − C4 + 1
3
√
−t3
2
definovaná na intervalu [0, ∞).
Rovnici (2.6) můžeme uvažovat s počáteční podmínkou
x(t0) = ξ0. (2.7)
Pokud t0ξ0 < 0 a t0 = 0, má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu t0 dvě diferencovatelná řešení,
která můžeme souhrnně zapsat jako
x(t) = − sgn t0 |ξ0| ± 1
3 |t0|3 − |t|3
2
;
pokud ξ0 = 0 = t0, má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu t0 dvě diferencovatelná řešení
x(t) = −1
9 sgn t0 |t0|3 − |t|3
2
, x(t) = 0;
pokud ξ0 = 0 = t0, má úloha (2.6), (2.7) dvě diferencovatelná řešení
x(t) = sgn ξ0 |ξ0| ± 1
3 |t|3
2
,
která jsou pro ξ0 < 0 definována na pravém okolí bodu t0, pro ξ0 > 0 na levém okolí bodu t0;
pokud ξ0 = 0 = t0, pak libovolná z funkcí
x(t) = 0, x(t) =
0, t ≤ 0,
−
√
t3, t > 0,
x(t) =
√
−t3, t < 0,
0, t ≥ 0,
x(t) = −t |t|
je diferencovatelným řešením úlohy (2.6), (2.7) na okolí bodu t0.
Kapitola 3
Lineární rovnice vyššího řádu a
lineární systémy
3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
Jedná se o rovnice tvaru
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a2x′′
+ a1x′
+ a0x = b(t). (3.1)
Přitom a0, a1, a2, . . . , an−1 jsou reálné konstanty, b je reálná funkce jedné reálné proměnné.
Pokud je funkce b na pravé straně identity (3.1) nulová, b(t) ≡ 0, rovnice se nazývá homogenní,
v opačném případě nehomogenní.
3.1.1 Homogenní rovnice
Budeme hledat řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ · · · + a1x′
+ a0x = 0. (3.2)
Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních rovnic n-tého řádu.
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení rovnice (3.2), pak také jejich
lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech funkcí, které
jsou řešením rovnice (3.2) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení rovnice (3.2) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem reálných
čísel.
• Báze prostoru všech řešení rovnice (3.2) se nazývá fundamentální systém řešení.
• Funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2) právě tehdy, když
každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
25
26 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
je nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné t (a v důsledku toho je nenulový
pro všechny reálné hodnoty t).
Nejjednodušším případem rovnice (3.2) je samozřejmě rovnice prvního řádu
x′
− ax = 0, (3.3)
která má podle 1.3.1 řešení x(t) = Ceat. Funkce y1(t) = eat je kladná, proto je wronskián
W(t; y1) nenulový. Funkce y1 je tedy fundamentálním (systémem) řešením rovnice (3.3).
Uvedené pozorování napovídá, že i rovnice vyššího řádu by mohla mít řešení ve tvaru
exponenciálních funkcí.
Rovnice druhého řádu: Rovnici pro jednoduchost zapíšeme ve tvaru
x′′
− ax′
+ bx = 0. (3.4)
Řešení budeme hledat ve tvaru x(t) = eλt se zatím neurčeným koeficientem λ. Očekávaný
tvar řešení dosadíme do rovnice a dostaneme
λ2
eλt
− aλeλt
+ beλt
= 0.
Poněvadž eλt > 0, můžeme předchozí rovnost funkcí eλt vydělit. Tím dostaneme (algebraickou)
rovnici pro neznámý koeficient λ,
λ2
− aλ + b = 0. (3.5)
Tato rovnice se nazývá charakteristická (algebraická) rovnice příslušná k (diferenciální) rovnici
(3.4), její levá strana se nazývá charakteristický polynom rovnice (3.4).
Charakteristická rovnice (3.5) je kvadratická. Mohou tedy nastat tři případy:
(i) a2 > 4b. V takovém případě má rovnice (3.5) dva reálné různé kořeny
λ1,2 = 1
2 a ±
√
a2 − 4b
a funkce dané výrazy
y1(t) = e
1
2 (a+
√
a2−4b)t
, y2(t) = e
1
2 (a−
√
a2−4b)t
jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž
W(0; y1, y2) =
1 1
1
2 a +
√
a2 − 4b 1
2 a −
√
a2 − 4b
= − a2 − 4b < 0,
tvoří tyto funkce fundamentální systém řešení rovnice (3.4).
Pro zjednodušení zápisu ještě označíme ϕ = 1
2
√
a2 − 4b a fundamentální systém řešení
rovnice (3.4) zapíšeme ve tvaru
y1(t) = e
1
2
at
eϕt
, y2(t) = e
1
2
at
e−ϕt
.
Obecné řešení rovnice (3.4) tedy je
x(t) = Aeϕt
+ Be−ϕt
e
1
2
at
,
kde A, B jsou libovolné reálné konstanty.
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 27
(ii) a2 < 4b. V takovém případě má rovnice (3.5) dva komplexně sdružené kořeny
λ1,2 = 1
2 a ± i
√
4b − a2 .
Komplexní funkce dané rovnostmi
z1(t) = eλ1t
= e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t + i sin 1
2
√
4b − a2 t ,
z2(t) = eλ2t
= e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t − i sin 1
2
√
4b − a2 t
jsou řešením diferenciální rovnice (3.4) a podle principu superpozice také reálné funkce
y1(t) =
1
2
z1(t) + z2(t) = e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t,
y2(t) =
1
2i
z1(t) − z2(t) = e
1
2
at
sin 1
2
√
4b − a2 t
jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž
W(0; y1, y2) =
1 0
1
2a 1
2
√
4b − a2 = 1
2
√
4b − a2 > 0,
tvoří funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t) fundamentální systém řešení rovnice (3.4).
Pro zjednodušení zápisu ještě zavedeme označení ϕ = 1
2
√
4b − a2. Fundamentální systém
řešení pak zapíšeme ve tvaru
y1(t) = e
1
2
at
cos ϕt, y2(t) = e
1
2
at
sin ϕt.
Obecné řešení rovnice (3.4) pak je dáno jedním z ekvivalentních výrazů
x(t) = C1 cos ϕt + C2 sin ϕt e
1
2
at
= Ae
1
2
at
cos(ϕt − β),
kde C1, C2, a A, β jsou libovolné konstanty; konstanty C1, C2, A, β v předchozí rovnosti
jsou vázány vztahy
A = C2
1 + C2
2 , cos β =
C1
C2
1 + C2
2
, sin β =
C2
C2
1 + C2
2
.
(iii) a2 = 4b. V tomto případě diferenciální rovnice (3.5) a k ní příslušná charakteristická
rovnice mají tvar
x′′
− ax′
+ 1
4a2x = 0, λ2 − aλ + 1
4 a2 = 0. (3.6)
Charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen λ1 = 1
2a. Funkce y1 daná předpi-
sem
y1(t) = e
1
2
at
je řešením rovnice (3.4) a je kladná. Potřebujeme najít druhou složku fundamentálního
systému řešení rovnice (3.4). Spolu s rovnicemi (3.6) uvažujme „blízké rovnice
x′′
− (a + ε)x′
+ 1
4 a(a + 2ε)x = 0, λ2 − (a + ε)λ + 1
4a(a + 2ε) = 0. (3.7)
28 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Tyto rovnice přejdou pro ε → 0 v rovnice (3.6). Kvadratická rovnice v (3.7) má pro
ε = 0 dva různé kořeny
λ1 = 1
2a a λ2 = 1
2a + ε,
takže diferenciální rovnice v (3.7) má fundamentální systém řešení
y1(t) = e
1
2
at
, z1(t) = e(1
2
a+ε)t
.
Podle principu superpozice má tato rovnice také řešení dané vztahem
z2 =
z1(t) − y1(t)
ε
.
Poněvadž řešená diferenciální rovnice v (3.6) je pro ε → 0 rovna diferenciální rovnici
z (3.7), lze očekávat, že také limitní funkce z2 pro ε → 0 bude řešením diferenciální
rovnice v (3.6). Položme
y2(t) = lim
ε→0
y2(t).
S využitím de l’Hôpitalova pravidla vypočítáme
y2(t) = lim
ε→0
e(1
2
a+ε)t
− e
1
2
at
ε
= lim
ε→0
te(1
2
a+ε)t
1
= te
1
2
at
.
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce y2, y2(t) = te
1
2
at
, je skutečně řešením
diferenciální rovnice v (3.6). Dále platí
W(0; y1, y2) =
1 0
1
2 a 1
= 1 = 0,
a proto funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.6).
Obecné řešení rovnice (3.6) je tedy tvaru
x(t) = (A + Bt)e
1
2
at
,
kde A, B jsou libovolné konstanty.
Rovnice obecného řádu: Řešení lineární homogenní rovnice n-tého řádu (3.2) je bezprostředním
zobecněním řešení rovnice druhého řádu. K diferenciální rovnici (3.2) přiřadíme
algebraickou charakteristickou rovnici
λn
+ an−1λn−1
+ · · · + a1λ + a0 = 0. (3.8)
Její kořeny a jejich násobnosti jednoznačně určují fundamentální systém řešení diferenciální
rovnice (3.2); to podrobně shrnuje následující věta.
Věta 1. Každému reálnému k-násobnému kořenu λ charakteristické rovnice (3.8) odpovídá
k řešení
eλt
, teλt
, t2
eλt
, . . . , tk−1
eλt
,
diferenciální rovnice (3.2) a každé dvojici j-násobných nereálných kořenů α ± iβ charakteristické
rovnice (3.8) odpovídá 2j reálných řešení
eαt
cos βt, teαt
cos βt, t2
eαt
cos βt, . . . , tj−1
eαt
cos βt,
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 29
eαt
sin βt, teαt
sin βt, t2
eαt
sin βt, . . . , tj−1
eαt
sin βt
diferenciální rovnice (3.2). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice
(3.8) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého
řádu s konstantními koeficienty (3.2).
Důkaz věty provedeme ve třech krocích.
Lemma 1. Pokud λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce
x1(t) = eλt
, x2(t) = teλt
, x3(t) = t2
eλt
, . . . , xk(t) = tk−1
eλt
jsou řešení rovnice (3.2).
Důkaz: Označme an = 1 a P(λ) =
n
i=0
aiλi pravou stranu charakteristické rovnice (3.8).
Poněvadž λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, platí
∂i
∂λi
P(λ) = 0 pro i = 0, 1, 2, . . . , k − 1. (3.9)
Funkce xl = xl(t) = tl−1eλt, l = 1, 2, . . . , k vyjádříme ve tvaru
xl(t) =
∂l−1
∂λl−1
eλt
,
dosadíme je do pravé strany rovnice (3.2) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro vyšší
derivace součinu funkcí. Dostaneme
n
i=0
aix
(i)
l (t) =
n
i=0
ai
∂i
∂ti
∂l−1
∂λl−1
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
ai
∂i
∂ti
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
aiλi
eλt
=
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
n
i=0
aiλi
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
P(λ) =
l−1
i=0
l − 1
i
∂iP(λ)
∂λi
∂l−1−ieλt
∂λl−1−i
= 0
podle (3.9). Funkce xl tedy splňují rovnici (3.2).
Lemma 2. Nechť λ1, λ2, . . . , λl jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice
(3.8), přičemž kořen λi je ki-násobný, i = 1, 2, . . . , l, k1 + k2 + · · · + kl = n. Pak funkce
y1(t) = eλ1t
, y2(t) = teλ1t
, y3(t) = t2
eλ1t
, . . . , yk1 (t) = tk1−1
eλ1t
,
yk1+1(t) = eλ2t
, yk1+2(t) = teλ2t
, yk1+3(t) = t2
eλ2t
, . . . , yk1+k2 (t) = tk2−1
eλ2t
, . . . ,
...
yk1+k2+···+kl−1+1(t) = eλlt
, yk1+k2+···+kl−1+2(t) = teλlt
, yk1+k2+···+kl−1+3(t) = t2
eλlt
, . . . ,
yn(t) = tkl−1
eλlt
tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2).
30 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Důkaz: Každá z funkcí y1, y2, . . . , yn je řešením rovnice (3.2) podle lemma 1. Stačí tedy dokázat
jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y2′(t) . . . yn′(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
je nenulový pro všechna t ∈ R. Z teorie víme, že wronskián je buď pro všechna t, nebo je pro
všechna t nenulový. Připusťme, že W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 pro všechna t ∈ R. Wronskián má
lineárně závislé řádky a tedy existují konstanty c0, c1, . . . , cn−1, mezi nimiž je alespoň jedna
nenulová, takové že
c0yj + c1y′
j + · · · + cn−1y
(n−1)
j ≡ 0
pro všechna j = 1, 2, . . . , n.
Pro λ ∈ R a n-krát diferencovatelnou funkci x nyní položíme
q(λ) = c0 + c1λ + c2λ2
+ · · · + cn−1λn−1
,
M x(t) = c0x(t) + c1x′
(t) + c2x′′
(t) + · · · + cn−1x(n−1)
(t).
Pak q je polynom stupně nejvýše n − 1. Pro funkci M a pro libovolné κ ∈ {1, 2, . . . , k1} platí
0 = M yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
λ=λ1
=
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ciλi
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
q(λ)
λ=λ1
=
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
∂i
∂λi
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
ti
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
.
Zejména pro t = 0 dostáváme
0 =
∂κ−1
∂λκ−1
q(λ)
λ=λ1
.
To znamená, že λ1 je kořenem (κ − 1)-té derivace polynomu q pro každé κ ∈ {1, 2, . . . , k1},
tedy λ1 je k1-násobným kořenem polynomu q.
Analogicky ukážeme, že λi je ki-násobným kořenem polynomu q pro všechna i = 1, 2, . . . , l.
Polynom q tedy musí být stupně alespoň k1 + k2 + · · · + kl = n a to je spor.
Lemma 2 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice (3.2). Mezi
jeho prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické
rovnice (3.8) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce
z fundamentálního systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi.
Nechť λc = α + iβ je k-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice (3.8). Pak také
komplexně sdružené číslo λc = α − iβ je k-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve
fundamentálním systému řešení z Lemma 2 jsou funkce
tj
e(α+iβ)t
= tj
eαt
(cos βt + i sin βt), tj
e(α−iβ)t
= tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 31
Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že
y1(t) = tj
eαt
(cos βt + i sin βt), y2(t) = tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Lemma 3. Nechť y1, y2, y3, . . . , yn je fundamentální systém řešení rovnice (3.2) popsaný předchozí
konstrukcí. Položme
z1 = z1(t) =
1
2
y1(t) + y2(t) = tj
eαt
cos βt, z2 = z2(t) =
i
2
y2(t) − y1(t) = tj
eαt
sin βt.
Pak funkce z1, z2, y3, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2).
Důkaz: Funkce z1, z2 jsou řešením rovnice (3.2) podle principu superpozice. Ukážeme, že
funkce z1, z2, y3, . . . , yn jsou lineárně nezávislé.
Položme
C =










1
2 −i1
2 0 0 . . . 0
1
2 i1
2 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . 1










,
W(t) =





y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) y′
3(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) y
(n−1)
3 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





.
Pak
det C =
1
2 −i1
2
1
2 i1
2
· 1 =
i
2
= 0
a pro wronskián funkcí z1, z2, y3, . . . , yn platí
W(t; z1, z2, y3, . . . , yn) = det(W(t)C) = det W(t) det C =
i
2
W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0.
3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou
Uvažujme nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty (3.1). Lineární homogenní
rovnice rovnice (3.2), která má stejné koeficienty a0, a1, . . . , an jako nehomogenní rovnice
(3.1), se nazývá homogenní rovnice přidružená k této nehomogenní rovnici.
Řešení nehomogenní lineární rovnice a k ní přidružené homogenní rovnice mají vlastnosti:
• Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.1) je součtem obecného řešení xH přidružené
homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xP nehomogenní rovnice.
• Pokud funkce x1, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.1) s b = f, resp. s b = g, pak funkce
x = x1 + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = f + g.
Partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty
(3.1) lze v některých případech najít metodou neurčitých koeficientů:
32 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
(i) b(t) = Pm(t), kde Pm je polynom stupně m.
Je-li nula k-násobným kořenem charakteristické rovnice (samozřejmě připouštíme i k =
0), lze partikulární řešení hledat ve tvaru ˜x(t) = tkQm(t), kde Qm je polynom stejného
stupně jako Pm.
(ii) b(t) = eαtPm(t).
Substituce x(t) = eαty(t) převede rovnici na lineární rovnici n-tého řádu s pravou stranou
Pm (předchozí případ).
(iii) b(t) = cos(αt)Pm(t) nebo f(t) = sin(αt)Pm(t).
Najdeme partikulární řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x′
+ a0x = eiαt
Pm(t)
(to je rovnice předchozího typu). Jeho reálná část je partikulárním řešením uvažované
rovnice v prvním případě, imaginární část ve druhém.
3.2 Lineární rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je rovnice tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = b(t); (3.10)
x je hledaná funkce jedné reálné proměnné, koeficienty a0, a1, . . . , an−1 a pravá strana b jsou
spojité reálné funkce jedné proměnné takové, že průnik jejich definičních oborů obsahuje
nějaký otevřený interval J. Pokud je pravá strana nulová, b(t) ≡ 0, tj. rovnice je tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = 0, (3.11)
nazývá se homogenní, opačném případě nehomogenní. Mají-li rovnice (3.10) a (3.11) stejné koeficienty,
řekneme, že rovnice (3.11) je homogenní rovnice přidružená k nehomogenní rovnici
(3.10).
Lineární rovnice s obecnými koeficienty (3.10) má stejné obecné vlastnosti jako lineární
rovnice s konstantními koeficienty (3.1):
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení homogenní rovnice (3.11),
pak také jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech
funkcí, které jsou řešením homogenní rovnice (3.11) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení homogenní rovnice (3.11) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad
polem reálných čísel.
• Báze prostoru všech řešení rovnice (3.11) se opět nazývá fundamentální systém řešení.
• Funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.11) právě tehdy, když
každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián W(t; y1, y2, . . . , yn) je
nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné t (a v důsledku toho je nenulový pro
všechny hodnoty t ∈ J).
• Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.10) je součtem obecného řešení xH přidružené
homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xP nehomogenní rovnice.
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 33
• Pokud funkce x1, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.10) s b = f, resp. s b = g, pak funkce
x = x1 + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = f + g.
Pokud funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (3.11), pak
její obecné řešení je tvaru
xH(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) = y(t)T
c. (3.12)
3.2.1 Eulerova rovnice
Eulerova rovnice je lineární rovnice n-tého řádu ve tvaru
x(n)
+
an−1
t
x(n−1)
+
an−2
t2
x(n−2)
+ · · · +
a1
tn−1
x′
+
a0
tn
x = g(t),
kde a0, a1, . . . , an−1 jsou reálné konstanty a g je funkce definovaná na intervalu (0, ∞). Tuto
rovnici přepíšeme do tvaru
tn
x(n)
+ an−1tn−1
x(n−1)
+ an−2t(n−2)
xn−2
+ · · · + a1tx′
+ a0x = f(t); (3.13)
přitom f(t) = tng(t). Řešíme ji zavedením nové nezávisle proměnné τ, kterou definujeme
rovností t = eτ , tj. τ = ln t. Pak je
x′
=
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
x′′
=
d
dt
1
t
dx
dτ
= −
1
t2
dx
dτ
+
1
t
d2x
dτ2
dτ
dt
=
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
x′′′
=
d
dt
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
= −
2
t3
d2x
dτ2
−
dx
dτ
+
1
t2
d3x
dτ3
−
d2x
dτ2
dτ
dt
=
=
1
t3
d3x
dτ3
− 3
d2x
dτ2
+ 2
dx
dτ
...
Dosadíme-li do rovnice (3.13), vypadnou faktory t, t2, . . . , tn, takže dostaneme lineární
rovnici s konstantními koeficienty.
Příklad: t2x′′ − 2tx′ + 2x = 3t4.
Položíme t = eτ , tj. τ = ln t a dostaneme
x′
=
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
= e−τ dx
dτ
,
x′′
=
d
dt
x′
=
d
dτ
e−τ dx
dτ
dτ
dt
= −
dx
dτ
+
d2x
dτ2
e−τ
e−τ
= e−2τ d2x
dτ2
−
dx
dτ
.
Daná rovnice se tedy transformuje na tvar
d2x
dτ2
−
dx
dτ
− 2
dx
dτ
+ 2x = 3e4τ
a po triviální úpravě dostaneme rovnici s konstantními koeficienty
d2x
dτ2
− 3
dx
dτ
+ 2x = 3e4τ
. (3.14)
34 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Přidružená homogenní rovnice k této rovnici je
d2x
dτ2
− 3
dx
dτ
+ 2x = 0, (3.15)
její charakteristická rovnice λ2 − 3λ + 2 = 0 má dva reálné kořeny λ1 = 1, λ2 = 2, takže
obecné řešení homogenní rovnice (3.15) je
xH(τ) = Aeτ
+ Be2τ
.
Nehomogenní rovnice (3.14) má speciální tvar pravé strany. Podle 3.1.2 zavedeme novou
neznámou funkci y = y(τ) rovností
x(τ) = e4τ
y(τ). (3.16)
Pak máme
dx
dτ
= 4y +
dy
dτ
e4τ
,
d2x
dτ
=
d
dτ
4y +
dy
dτ
e4τ
= 4
dy
dτ
+
d2y
dτ2
+ 16y + 4
dy
dτ
e4τ
=
d2y
dτ2
+ 8
dy
dτ
+ 16y e4τ
a po dosazení do rovnice (3.15)
d2y
dτ2
+ 8
dy
dτ
+ 16y − 3 4y +
dy
dτ
+ 2y e4τ
= 3e4τ
,
d2y
dτ2
+ 5
dy
dτ
+ 6y = 3,
Partikulární řešení této rovnice je podle 3.1.2 polynom stupně nula, tedy konstanta, y ≡ c.
Po dosazení do rovnice dostaneme 6c = 3, tj. y(τ) = c = 1
2 . Partikulární řešení rovnice (3.14)
dostáváme zpětnou substitucí (3.16) ve tvaru
xP (τ) = 1
2e4τ .
Obecné řešení transformované rovnice (3.14) je dáno rovností
x(τ) = xH(τ) + xP (τ) = Aeτ
+ Be2τ
+ 1
2e4τ .
Z něho zpětnou transformací dostaneme obecné řešení dané rovnice ve tvaru
x(t) = At + Bt2
+ 1
2t4.
3.2.2 Partikulární řešení nehomogenní rovnice – variace konstant
Budeme hledat nějaké řešení nehomogenní lineární rovnice (3.10). Předpokládejme, že známe
fundamentální systém řešení y1, y2, . . . , yn přidružené homogenní rovnice (3.11). Obecné řešeni
xH této rovnice je dáno rovností (3.12).
Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme hledat v analogickém tvaru s tím rozdílem,
že vektor c nebude konstantní, ale bude vektorem diferencovatelných funkcí jedné
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 35
proměnné. Tuto myšlenku (a jejího autora) vystihuje název: Lagrangeova metoda variace
konstant.
Řešení rovnice (3.10) tedy předpokládáme ve tvaru
xP (t) = y(t)T
c(t)
složky c1 = c1(t), c2 = c2(t), . . . , cn = cn(t) vektorové funkce c budeme hledat.
Platí x′
P (t) = y′(t)Tc(t) + y(t)Tc′(t). Abychom si zjednodušili další výpočty, položíme
y(t)T
c′
(t) = 0.
Je tedy
x′
P (t) = y′
(t)T
c(t)
a proto x′′
P = y′′(t)Tc(t) + y′(t)Tc′(t). Podobně jako v předchozím kroku položíme
y′
(t)T
c′
(t) = 0
a dostaneme
x′′
P (t) = y′′
(t)T
c(t).
Takové výpočty a úvahy zopakujeme (n − 1)krát. Dostaneme tak
x
(j)
P (t) = y(j)
(t)T
c(t), j = 0, 1, . . . , n − 1, (3.17)
y(j)
(t)T
c′
(t) = 0, j = 0, 1, . . . , n − 2. (3.18)
Nakonec ještě vypočítáme
x
(n)
P (t) = y(j)
(t)T
c(t) + y(j−1)
(t)T
c′
(t). (3.19)
Výrazy (3.17), j = 0, 1, . . . , n−1, a (3.19) dosadíme do levé strany rovnice (3.10) a upravíme:
y(j)
(t)T
c(t) + y(j−1)
(t)T
c′
(t) +
n−1
j=0
aj(t)y(j)
(t)T
c(t) =
= y(j−1)
(t)T
c′
(t) +

y(j)
(t)T
+
n−1
j=0
aj(t)y(j)
(t)T

 c(t).
Poněvadž každá složka vektorové funkce y je řešením homogenní rovnice (3.11), je poslední výraz
v závorce roven nulovému vektoru. Levá strana rovnice (3.10) je tedy rovna y(j−1)(t)Tc′(t),
takže se tato rovnice transformuje na rovnici
y(j−1)
(t)T
c′
(t) = b(t). (3.20)
Celkem jsme dostali n algebraických rovnic (3.18), (3.20) pro n složek neznámého vektoru
c′(t). Jedná se o systém lineárních algebraických rovnic, který můžeme přepsat do tvaru
y1(t)c′
1(t) + y2(t)c′
2(t) + · · · + yn(t)c′
n(t) = 0,
y′
1(t)c′
1(t) + y′
2(t)c′
2(t) + · · · + yn′(t)c′
n(t) = 0,
...
...
...
...
...
y
(n−2)
1 (t)c′
1(t) + y
(n−2)
2 (t)c′
2(t) + · · · + y
(n−2)
n (t)c′
n(t) = 0,
y
(n−1)
1 (t)c′
1(t) + y
(n−1)
2 (t)c′
2(t) + · · · + y
(n−1)
n (t)c′
n(t) = b(t),
(3.21)
36 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
nebo maticově








y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
y
(n−2)
1 (t) y
(n−2)
2 (t) . . . y
(n−2)
n (t)
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)















c′
1(t)
c′
2(t)
...
c′
n−1(t)
c′
n(t)







=







0
0
...
0
b(t)







.
Determinant matice na levé straně této rovnice je wronskiánem lineárně nezávislých funkcí
y1, y2, . . . , yn tvořících fundamentální systém řešení rovnice (3.11). Je tedy pro libovolné t
nenulový a matice je regulární. Proto můžeme funkce c′
1, c′
2, . . . , c′
n jednoznačně vypočítat.
Jejich integrací získáme hledané funkce c1, c2, . . . , cn.
Partikulární řešení rovnice (3.10) splňující nulovou počáteční podmínku x(t0) = 0 získáme
tak, že integrujeme v mezích od t0 do t.
Příklad: Najdeme obecné řešení rovnice
x′′
+ x = f(t)
s obecnou pravou stranou; o funkci f předpokládáme, že je definovaná na intervalu, který
obsahuje nulu, a že je integrovatelná.
Přidružená homogenní rovnice x′′ + x = 0 má konstantní koeficienty. Její charakteristická
rovnice λ2 + 1 = 0 má dva ryze imaginární kořeny λ1,2 = ±i, takže fundamentální systém
řešení je
y1(t) = cos t, y2(t) = sin t.
Systém rovnic (3.21) je nyní tvaru
c′
1(t) cos t + c′
2 sin t = 0,
−c′
1(t) sin t + c′
2 cos t = f(t).
Odtud vypočítáme
cos t sin t
− sin t cos t
= (cos t)2
+ (sin t)2
= 1,
c′
1(t) =
0 sin t
f(t) cos t
= −f(t) sin t, c′
2(t) =
cos t 0
− sin t f(t)
= f(t) cos t
a dále
c1(t) = −
t
0
f(s) sin sds, c2(t) =
t
0
f(s) cos sds.
Partikulární řešení dané rovnice, které splňuje nulovou počáteční podmínku x(0) = 0 tedy je
xP (t) = sin t
t
0
f(s) cos sds − cos t
t
0
f(s) sin sds =
=
t
0
f(s)(sin t cos s − cos t sin s)ds =
t
0
f(s) sin(t − s)ds.
3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 37
Obecné řešení dané rovnice tedy je
x(t) = A cos t + B sin t +
t
0
f(s) sin(t − s)ds.
3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice
Může se stát, že známe nějaké nenulové řešení y1 = y1(t) lineární homogenní rovnice n-tého
řádu (3.11); takové řešení můžeme například uhodnou z tvaru koeficientů nebo ze znalosti
procesu, který rovnice (3.11) modeluje. Zavedeme novou neznámou funkci v = v(t) vztahem
x(t) = y1(t)v(t).
Pro zjednodušení zápisu zavedeme funkci an(t) ≡ 1 a levou stranu rovnice (3.11) zapíšeme
jako
n
k=0
ak(t)x(k)
=
n
k=0
ak(t) y1(t)v
(k)
.
Podle Leibnizovy formule pro vyšší derivace součinu funkcí platí
y1(t)v
(k)
=
k
j=0
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
.
Nyní tyto výrazy dosadíme do levé strany rovnice (3.11) a upravíme ji.
n
k=0
ak(t)x(k)
=
n
k=0
ak(t)
k
j=0
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
=
n
k=0
k
j=0
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
n
j=0
n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
=
n
k=0
ak(t)
k
0
y
(k)
1 (t)v +
n−1
j=1
n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
+ an(t)
n
n
y1(t)v(n)
=
=
n
k=0
ak(t)y
(k)
1 (t) v +
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)

 v(j)
+ y1(t)v(n)
.
Poslední výraz můžeme upravit na
y1(t)

v(n)
+
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)
y1(t)

 v(j)

 ,
neboť funkce y1 je nenulovým řešením rovnice (3.11).
38 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Nakonec zavedeme označení z(t) = v′(t). Rovnice (3.11) se uvedeným postupem transformuje
na rovnici
z(n−1)
+
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)
y1(t)

 z(j−1)
= 0,
nebo ekvivalentně
z(n−1)
+
n−2
j=0


n
k=j+1
ak(t)
k
j + 1
y
(k−j−1)
1 (t)
y1(t)

 z(j)
= 0,
což je lineární homogenní rovnice (n − 1)-ního řádu pro neznámou funkci z.
3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého
řádu
Lineární homogenní rovnice druhého řádu má dvojrozměrný prostor řešení. Pokud tedy známe
jedno nenulové řešení, stačí najít druhé – lineárně nezávislé – a rovnici máme vyřešenu. Avšak
známe-li jedno řešení, můžeme obecným postupem uvedeným výše snížit řád rovnice; tak
dostaneme lineární homogenní rovnici, kterou umíme vyřešit způsobem uvedeným v 1.3.1.
Tuto myšlenku ukážeme podrobně.
Nechť p, q jsou spojité funkce definované na intervalu J. Uvažujme lineární homogenní
rovnici druhého řádu ve tvaru
x′′
+ p(t)x′
+ q(t)x = 0 (3.22)
a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení y1 = y1(t), tedy jednu složku
fundamentálního systému řešení. Zavedeme substituci
x(t) = y1(t)v(t), (3.23)
kde v je zatím neznámá funkce. Pak x′ = y′
1v + y1v′, x′′ = y′′
1v + 2y′
1v′ + y1v′′, tedy
y′′
1 v + 2y′
1v′
+ y1v′′
+ py′
1v + py1v′
+ qy1v = 0
y1v′′
+ (2y′
1 + py1)v′
+ y′′
1 + py′
1 + qy1 v = 0
v′′
+ p + 2
y′
1
y1
v′
= 0 ,
Dostali jsme diferenciální rovnici pro neznámou funkci v = v(t), ve které se samotná funkce
v explicitně neobjevuje (podrobněji se takovým rovnicím budeme věnovat v 4.2.2). Položíme
z(t) = v′(t). Pak
z′
= − p(t) + 2
y′
1(t)
y1(t)
z.
To je lineární homogenní rovnice prvního řádu, takže její řešení je tvaru
z(t) = const · exp



−
t
t0
p(s) + 2
y′
i(s)
y1(s)
ds



=
= const · exp −2 ln
y1(t)
y1(t0)
exp



−
t
t0
p(s)ds



= const ·
1
y1(t)2
e
−
t
t0
p(s)ds
,
3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 39
kde t0 je nějaké číslo z intervalu J. Odtud integrací dostaneme hledanou funkci v ve tvaru
v(t) = A + B
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Zpětnou substitucí (3.23) dostaneme řešení rovnice (3.22) ve
tvaru
x(t) = Ay1(t) + By1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds,
tedy jako lineární kombinaci funkcí y1 a y2, kde
y2(t) = y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds. (3.24)
K tomu, aby funkce y2 byla druhou složkou fundamentálního systému řešení řešení rovnice
(3.22) stačí, aby byla lineárně nezávislá na funkci y1. To však je splněno, neboť
y′
2(t) = y′
1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds +
1
y1(t)
e
−
t
t0
p(σ)dσ
a wronskián funkcí y1, y2 je roven
W(t, y1, y2) =
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds
y′
1(t) y′
1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds + 1
y1(t) e
−
t
t0
p(s)ds
= e
−
t
t0
p(s)ds
> 0 .
Příklad: Najdeme fundamentální systém řešení rovnice
x′′
−
2t
1 − t2
x′
+
6
1 − t2
x = 0 (3.25)
na intervalu (−1, 1). Rovnici nejprve vynásobíme dvojčlenem 1 − t2,
(1 − t2
)x′′
− 2tx′
+ 6x = 0. (3.26)
Koeficienty této rovnice jsou polynomy. Dále víme, že derivace polynomu je polynom stupně
o jedna menšího, druhá derivace polynomu je polynom stupně o dva menšího. Pokud by tedy
funkce x = x(t) byla polynomem a dosadili bychom ji do levé strany rovnice (3.26), všechny
sčítance by byly polynomy stejného stupně. Tato pozorování mohou vést k nápadu, že rovnici
(3.26) by mohl řešit polynom.
Budeme tedy předpokládat, že rovnice (3.26) má řešení tvaru
y1(t) =
i=0
aiti
(3.27)
40 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
se zatím neurčenými koeficienty a neurčenou horní mezí pro sčítání. Pak je
6y1(t) = 6a0 + 6a1t +
i=2
6aiti
,
y′
1(t) =
i=0
iaiti−1
=
i=1
iaiti−1
,
2ty′
1(t) =
i=1
2iaiti
= 2a1t +
i=2
2iaiti
,
y′′
1 (t) =
i=1
i(i − 1)aiti−2
=
i=2
i(i − 1)aiti−2
=
i=0
(i + 2)(i + 1)ai+2ti
,
(1 − t2
)y′′
1 (t) =
i=0
(i + 2)(i + 1)ai+2ti
−
i=2
i(i − 1)aiti
=
= 2a2 + 6a3t +
i=2
[(i + 2)(i + 1)ai+2 − i(i − 1)ai] ti
.
Po dosazení do rovnice (3.26) dostaneme
6a0 + 2a2 + (4a1 + 6a3)t +
i=2
[(i + 2)(i + 1)ai+2 − (i + 3)(i − 2)ai] ti
= 0.
To znamená, že koeficienty hledaného polynomu splňují vztahy
a2 = −3a0, a3 = −2
3a1, a4 = 0,
ai+2 =
(i + 2)(i + 1)
(i + 3)(i − 2)
ai, i = 3, 4, . . . .
Odtud je vidět, že a4 = a6 = · · · = 0, tj. všechny koeficienty se sudými indexy většími než
2 jsou nulové. Pokud by koeficient a1 byl nenulový, byly by nenulové všechny koeficienty
s lichými indexy a na pravé straně rovnice (3.27) by nebyl polynom, ale nekonečná řada. Musí
tedy být a1 = 0. Zvolíme-li nyní a0 = 1, dostaneme a2 = −3. Jedno řešení rovnice (3.25) tak
dostáváme ve tvaru
y1(t) = 1 − 3t2
.
Lineárně nezávislé řešení y2 rovnice (3.25) dostaneme z formule (3.24), v níž zvolíme t0 = 0.
V rovnici (3.25) je
p(t) = −
2t
1 − t2
,
takže
−
s
0
p(σ)dσ =
s
0
2σdσ
1 − σ2
= − ln σ2
− 1
s
σ=0
= − ln(1 − s2
)
pro s ∈ (−1, 1). Platí tedy
e
−
t
0
p(σ)dσ
=
1
1 − s2
3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 41
a druhá složka fundamentálního systému řešení rovnice (3.25) je
y2(t) = (1 − 3t2
)
t
0
ds
(1 − 3s2)2(1 − s2)
.
Integrál na pravé straně je integrálem z racionální funkce, můžeme ho tedy vyjádřit explicitně,
t
0
ds
(1 − 3s2)2(1 − s2)
=
1
4
t
0
3
3s2 + 1
(3s2 − 1)2
−
1
s2 − 1
ds =
=
1
4
−3
s
3s2 − 1
−
1
2
ln
s − 1
s + 1
t
s=0
= −
3
4
t
3t2 − 1
−
1
8
ln
t − 1
t + 1
=
=
3
4
t
1 − 3t2
+
1
4
ln
1 + t
√
1 − t2
.
Dostáváme tak druhou složku fundamentálního systému řešení
y2(t) = 1
4 3t + (1 − 3t2
) ln
1 + t
√
1 − t2
a obecné řešení rovnice (3.25) můžeme zapsat ve tvaru
x(t) = A 1 − 3t2
+ B 3t + (1 − 3t2
) ln
1 + t
√
1 − t2
.
Ještě poznamenejme, že rovnice (3.26) je speciálním případem Legendreovy rovnice
(1 − t2
)x′′
− 2tx′
+ νx = 0.
Tato rovnice má řešení ve tvaru polynomu stupně n právě pro ν = n(n + 1).
3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty
Jedná se o soustavu obyčejných diferenciálních rovnic tvaru
x′
1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + b1(t)
x′
2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + b2(t)
...
...
...
...
...
...
x′
n = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn + bn(t).
(3.28)
Přitom aij, i, j = 1, 2, . . . , n, jsou reálné konstanty, bi = bi(t), i = 1, 2, . . . , n, jsou reálné
funkce jedné reálné proměnné. Pokud jsou všechny funkce b1, b2, . . . , bn na pravých stranách
rovnic (3.28) nulové, systém se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Lineární systém (3.28) můžeme zapsat v maticovém tvaru





x′
1
x′
2
...
x′
n





=





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann










x1
x2
...
xn





+





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





,
nebo stručněji
x′
= Ax + b(t).
42 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
3.4.1 Homogenní systémy
Homogenní systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty je tvaru
x′
1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
x′
2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn
...
...
...
...
...
x′
n = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn,
(3.29)
nebo v maticovém zápisu
x′
= Ax. (3.30)
Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních n-rozměrných sys-
témů
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení systému (3.29), pak také
jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech vektorových
funkcí, které jsou řešením systému (3.29) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení systému (3.29) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem
reálných čísel.
• Báze y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) prostoru všech řešení rovnice (3.29) se
nazývá fundamentální systém řešení systému (3.29). Matice
Y = Y(t) = y1(t) y2(t) . . . yn(t)
se nazývá fundamentální matice řešení systému (3.29). Fundamentální matice Y(t) je
regulární pro každé t a splňuje maticovou diferenciální rovnici
Y′
= AY.
Dvojrozměrné systémy: Uvažujme dvojrozměrný lineární homogenní systém s konstantními
koeficienty
x′ = ax + by,
y′ = cx + dy.
(3.31)
Při maticovém zápisu (3.30) tohoto systému je
x =
x
y
, A =
a b
c d
.
Pokud b = 0 = c, nejedná se o systém rovnic, ale o dvě samostatné rovnice
x′
= ax, y′
= dy.
To jsou lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem, které mají podle 1.3.1 obecná
řešení x(t) = Aeat, y(t) = Bedt. Fundamentální systém řešení a fundamentální matice systému
(3.31) jsou v tomto případě
y1(t) =
eat
0
, y2(t) =
0
edt , Y(t) =
eat 0
0 edt .
3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 43
Nechť |b| + |c| = 0; pro určitost předpokládejme, že b = 0. V takovém případě můžeme
řešení systému (3.31) najít metodou eliminace („dosazovací metodou ).
Z první rovnice systému (3.31) vypočítáme y,
y =
x′ − ax
b
, (3.32)
a dosadíme do druhé rovnice,
y′
= cx +
d
b
x′
− ax .
Dále zderivujeme první rovnici systému a pak do ní dosadíme z předchozí rovnosti. Dostaneme
x′′
= ax′
+ by′
= ax′
+ b cx +
d
b
x′
− ax ,
po úpravě
x′′
− (a + d)x′
+ (ad − bc)x = 0,
neboli
x′′
− (tr A)x′
+ (det A)x = 0. (3.33)
Dostáváme tak, že první složka řešení systému (3.31) je řešením rovnice (3.33), což je lineární
homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty; tato rovnice má stejný tvar jako
rovnice (3.4), kterou jsme řešili v 3.1.1. Druhá složka řešení je pak dána rovností (3.32).
Ještě si povšimněme, že charakteristická rovnice lineární homogenní diferenciální rovnice
(3.33) je
λ2
− (tr A)λ + (det A) = 0,
což je také charakteristická rovnice matice A.
Příklad na užití dvojrozměrného lineárního systému je uveden v 5.4.
Systémy obecné dimense: Jednorozměrný systém (3.30) je vlastně homogenní lineární
rovnice x′ = ax, která má podle 1.3.1 obecné řešení x(t) = Ceat, kde C je reálná konstanta.
Můžeme vyzkoušet, zda také systém (3.30) obecné dimense nemá řešení ve tvaru exponenciální
funkce, tj. řešení tvaru
y = y(t) = weλt
,
kde w je konstantní vektor dimense n a λ je zatím neurčená konstanta. Tento očekávaný tvar
řešení dosadíme do systému (3.30) a dostaneme
Aweλt
= λweλt
.
Výraz eλt je vždy nenulový, proto jím můžeme předchozí rovnost vydělit. Dostaneme rovnost
Aw = λw,
která říká,že λ je vlastní číslo matice A a w je příslušný vlastní vektor. Tedy platí: Je-li λ
vlastní číslo matice A a w je příslušný vlastní vektor, pak vektorová funkce y = y(t) = eλtw
je řešením rovnice (3.30). Toto řešení však nemusí být reálné.
Má-li matice A n různých reálných vlastních čísel λ1, λ2, . . . , λn, pak příslušné vlastní
vektory w1, w2, . . . , wn jsou lineárně nezávislé a proto vektorové funkce
y1(t) = eλ1t
w1, y2(t) = eλ2t
w2, . . . , yn(t) = eλnt
wn
tvoří fundamentální systém řešení systému (3.30).
44 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
3.5 Cvičení
Řešte rovnice
1)
d2x
dt2
+
dx
dt
= 0 2) x′′ + tx′ = 0 3) tx′′′ − 2x′′ = 0
Ukažte, že x = u(t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte.
4) u = t2; t2x′′ − 2x = 0 5) u =
√
t; x′′ +
x
4t2
= 0 (t > 0)
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
6) x′′ + 2x = 0 7) x′′ + 6x′ + 5x = 0
8) x′′ + 6x′ + 9x = 0 9) x′′ − 2x′ + 4x = 0
10) x′′ − x = 0; x(0) = 1, x′(0) = −2 11) x′′ + 4x = 0; x(0) = 0, x′(0) = 2
12) x′′ + x′ = t 13) x′′ + x = sin t
14) x′′ − x = et 15) x′′ − 3x′ − 10x = −3
16) x′′ − x′ = sin t 17) x′′ − 3x′ = e3t − 12t
18) x′′ + x = cotg t 19) x′′ − 8x′ = e8t
20) x′′ + 2x′ = t2 − et 21) t2x′′ − tx′ + x = t
22) t2x′′ − tx′ + 2x = (ln t)2
23) t3x′ − t4x2 − t2x = 2
Řešte systémy rovnic
24) x′ = −2x + y 25) x′ = −x − 2
3 y + 1
3et
y′ = 3x − 4y y′ = 4
3x + y − t
26) x′ + 3x + 2y = 5 sin t 27) 4x′ + 9y′ + 2x + 31y = et
y′ − 2x + 7y = 8 cos t 3x′ + 7y′ + x + 24y = 3
Výsledky:
1) x = C1e−t + C2 2) x = C1 e−t2/2dt + C2 3) x = C1t4 + C2t + C3 4) x =
C1
t
+ C2t2
5) x =
√
t (C1 ln |t| + C2) 6) x = C1 + C2e−2t 7) x = C1e−t + C2e−5t 8) x = (C1 + C2t)e−3t
9) x = et(C1 cos
√
3 t+C2 sin
√
3 t) 10) x =
3e−t − et
2
11 x = sin 2t 12) x = C1 +C2e−t +
t2
2
−t
13) x = C1 cos t + C2 sin t −
t cos t
2
14) x = C1et + C2e−t +
tet
2
15) x = C1e5t + C2e−2t + 3
10
16) x = C1 + C2et +
cos t − sin t
2
17) x = C1 + C2e3t + 2t2 +
te3t + 4t
3
18) x = C1 cos t + C2 sin t − sin t ln
1 + cos t
sin t
19) x = C1 + C2 +
t
8
e8t
20) x = C1 + C2e−2t +
t3
6
−
t2
4
+
t
4
−
et
3
21) x = t A ln t + B + 1
2 (ln t)2
22) At sin(B + ln t) + (1 + ln t)2 23) x =
2Ct − 1
t2(1 − Ct)
, x = −
2
t2
24) x = Ae−t + Be−5t, y = Ae−t − 3Be−5t
25) x = Aet/3 + Be−t/3 − 6t, y = −2Aet/3 − Be−t/3 + 9t + 1
2et + 9
26) x = Ae−5t +Bte−5t + 365
338 sin t− 307
338 cos t, y = A − 1
2 B e−5t +Bte−5t + 72
169 sin t+ 139
169 cos t
27) x = e−4t(A cos t + B sin t) + 31
26 et − 93
17 , y = e−4t((B − A) cos t − (B + A) sin t) − 2
13 et + 6
17
Kapitola 4
Další explicitně řešitelné rovnice
4.1 Riccatiho rovnice
Lineární homogenní rovnice druhého řádu
x′′
+ a(t)x′
+ b(t)x = 0 (4.1)
je homogenní rovnicí v proměnných x, x′, x′′ ve smyslu zavedeném v 4.2.4, neboť pro funkci
F : R4 → R danou předpisem
F(t, z0, z1, z2) = b(t)z0 + a(t)z1 + z2
a každou konstantu c ∈ R platí
F(t, cz0, cz1, cz2) = b(t)cz0 + a(t)cz1 + cz2 = c b(t)z0 + a(t)z1 + z2 = cF(t, z0, z1, z2).
Řešení uvažované rovnice lze proto hledat ve tvaru
x(t) = e
t
t0
y(s)ds
,
kde y je nová neznámá funkce a t0 je nějaké číslo z průniku definičních oborů funkcí a, b. Při
této substituci dostaneme
x′
(t) = y(t)e
t
t0
y(s)ds
,
x′′
(t) = y′
(t)e
t
t0
y(s)ds
+ y(t)2
e
t
t0
y(s)ds
= y′
(t) + y(t)2
e
t
t0
y(s)ds
a po dosazení do rovnice (4.1)
y′
(t) + y(t)2
+ a(t)y(t) + b(t) = 0.
Po úpravě dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci y:
y′
= −y2
− a(t)y − b(t).
45
46 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Lineární homogenní rovnici druhého řádu lze tedy převést na rovnici prvního řádu, která
má na pravé straně kvadratický polynom, jehož proměnnou je hledaná funkce. Takovými
rovnicemi se nyní budeme zabývat.
Riccatiho rovnice je rovnice tvaru
x′
= p(t)x2
+ q(t)x + r(t).
Tuto rovnici můžeme užitím Eulerovy substituce
x(t) = −
y′(t)
p(t)y(t)
převést na lineární rovnici druhého řádu. Platí totiž
x′
= −
y′′py − y′(p′y + py′)
p2y2
= −
y′′
py
+
p′y′
p2y
+
y′2
py2
a tedy
−
y′′
py
+
p′y′
p2y
+
y′2
py2
=
py′2
p2y2
−
qy′
py
+ r
−
y′′
py
+
1
py
p′
p
+ q y′
− r = 0
y′′
−
p′
p
+ q y′
+ pry = 0 ,
což je lineární homogenní rovnice druhého řádu.
Příklad: Uvažujme rovnici
t2
x′
− t2
x2
+ 3tx − 2 = 0.
Tuto rovnici můžeme přepsat na tvar
x′
= x2
−
3
t
x +
2
t2
, (4.2)
je tedy p ≡ 1, q(t) = −
3
t
, r(t) =
2
t2
. Zavedeme substituci
x = −
y′
y
. (4.3)
Pak je
x′
= −
y′′y − y′y′
y2
= −
y′′
y
+
y′
y
2
,
x2
−
3
t
x +
2
t2
=
y′
y
2
+
3y′
ty
+
2
t2
,
takže rovnice (4.2) se transformuje na tvar
−
y′′
y
=
3y′
ty
+
2
t2
4.1. RICCATIHO ROVNICE 47
a po úpravě
t2
y′′
+ 3ty′
+ 2y = 0. (4.4)
To je rovnice Eulerova, viz 3.2.1. Zavedeme tedy novou nezávisle proměnnou s vztahem
s = ln t. (4.5)
Pak je
y′
=
1
t
dy
ds
, y′′
=
1
t2
d2y
ds2
−
dy
ds
a po dosazení do rovnice (4.4) dostaneme rovnici
d2y
ds2
+ 2
dy
ds
+ 2y = 0, (4.6)
která je lineární s konstantními koeficienty. Její charakteristická rovnice λ2 + 2λ + 2 = 0 má
komplexně sdružené kořeny −1 ± i. To znamená, že rovnice (4.6) má obecné řešení
y(s) = (A cos s + B sin s)e−s
.
Zpětnou substitucí (4.5) dostaneme řešení Eulerovy rovnice (4.4)
y(t) =
1
t
(A cos ln t + B sin ln t).
Jeho derivace je
y′
(t) =
1
t2
(B − A) cos ln t − (B + A) sin ln t .
Po dosazení do transformačního vztahu (4.3) dostaneme řešení původní rovnice (4.2) ve tvaru
x(t) =
1
t
(A − B) cos ln t + (A + B) sin ln t
A cos ln t + B sin ln t
. (4.7)
Riccatiho rovnice (4.2) je však rovnice prvního řádu, její řešení by mělo záviset jen na jedné
konstantě. Proto výsledek ještě upravíme. Integrační konstanta A může být nenulová nebo
nulová. V prvním případě označíme C = B/A a řešení (4.7) Riccatiho rovnice (4.2) přepíšeme
ve tvaru
x(t) =
(1 − C) cos ln t + (1 + C) sin ln t
t(cos ln t + C sin ln t)
,
ve druhém případě A = 0 dostaneme řešení tvaru
x(t) =
sin ln t − cos ln t
t sin ln t
.
Příkladem na užití Riccatiho rovnice s konstantními koeficienty je model udržitelného
rybolovu 5.8.
48 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit
4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x′′
= f(x)
Rovnici vynásobíme 2x′:
2x′
x′′
= 2x′
f(x)
d
dt
x′2
= 2
dx
dt
f(x)
Položíme-li p = x′, máme
d
dt
p2
= 2
dx
dt
f(x)
dp2
dx
dx
dt
= 2f(x)
dx
dt
dp2
dx
= 2f(x)
p2
= 2 f(x)dx .
Položíme dále F(x) = 2 f(x)dx a dostaneme
p = ± F(x)
dx
dt
= ± F(x) ,
což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými.
Příklad na použití rovnice tohoto typu je model expandujícího Vesmíru 5.9.
4.2.2 Rovnice typu F(t, x(k)
, x(k+1)
, . . . , x(n)
) = 0, k ∈ {1, . . . , n − 1}
Položíme y = y(t) = x(k)(t) a dostaneme rovnici
F t, y, y′
, y′′
, . . . , y(n−k)
= 0 ,
což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice.
Řešením rovnice tohoto typu je například „psí křivka uvedená v 5.5.
4.2.3 Autonomní rovnice typu F x, x′
, x′′
, . . . , x(n)
= 0
Položíme p = p(t) = x′(t). Pak
x′′
=
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
x′′′
=
d
dt
p
dp
dx
=
d
dx
p
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
2
+ p
d2p
dx2
p .
Postupujeme-li tak dále, vidíme, že
x(k)
= fk p,
dp
dx
, . . . ,
dk−1p
dxk−1
4.2. ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU, U NICHŽ LZE ŘÁD SNÍŽIT 49
pro každé k ∈ N. (fk je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy
dostaneme
F x, p, p
dp
dx
, f3 p,
dp
dx
,
d2p
dx2
, . . . , fn p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
neboli
G x, p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
což je rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice.
Ještě si povšimněme, že rovnice tvaru 4.2.1 je speciálním případem dané rovnice.
4.2.4 Rovnice homogenní v x, x′
, x′′
, . . . , x(n)
Nechť F je funkce n + 2 proměnných splňující podmínky:
(t, z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F ⇒ (t, cz0, cz1, cz2, . . . , czn) ∈ Dom F,
F(t, cz0, cz1, cz2, . . . , czn) = cα
F(t, z0, z1, z2, . . . , zn) (4.8)
pro každou kladnou konstantu c, každou (n + 2)-tici (t, z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F a nějaké
α ∈ R. Řešení implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu
F t, x, x′
, x′′
. . . , x(n)
= 0 (4.9)
lze hledat ve tvaru
x(t) = e y(t)dt
, (4.10)
kde y = y(t) je nová neznámá funkce. Je totiž
x′
= ye y(t)dt
x′′
= y′
e y(t)dt
+ y2
e y(t)dt
= (y′
+ y2
)e y(t)dt
x′′′
= (y′′
+ 2yy′
)e y(t)dt
+ (y′
+ y2
)y e y(t)dt
= (y′′
+ 3yy′
+ y3
)e y(t)dt
...
Dosadíme-li pravé strany těchto rovností do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce
(4.8) faktor e y(t)dt a dostaneme rovnici řádu o jedna nižšího, než byla daná rovnice.
V lineární homogenní rovnici prvního řádu
x′
= a(t)x,
řešené v 1.3.1 je F(t, x, x′) = x′−a(t)x. Tato funkce splňuje podmínku (4.8) s α = 1. Substitucí
(4.10) převedeme lineární homogenní diferenciální rovnici na tvar
y(t)e y(t)dt
= a(t)e y(t)dt
.
Výsledná rovnice není diferenciální; v rovnici stupně nula se neobjevuje derivace hledané
funkce. Proto můžeme bezprostředně vyjádřit y(t) = a(t). Řešení lineární homogenní diferenciální
rovnice je tedy tvaru
x(t) = e a(t)dt
v souladu s výsledkem 1.3.1.
50 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Poznámka 1. Slovo „homogenní bez přívlastku se objevilo již u rovnice tvaru 1.1.5, rovnice
(4.9) však není jejím speciálním případem. Terminologie vychází z pojmu „homogenní funkce :
Řekneme, že funkce G : Rm → R je homogenní řádu α ∈ R, jestliže pro každou konstantu
c > 0 platí
G(cx1, cx2, . . . , cxm) = cα
G(x1, x2, . . . , xm).
Ve funkci F na levé straně rovnice (4.9) můžeme proměnnou t (čas) považovat za parametr
a podmínka (4.8) pak říká, že taková funkce je pro každou hodnotu parametru homogenní
řádu 1.
Funkce G : R2 → R daná předpisem
G(t, x) = f
x
t
,
kde f je nějaká funkce jedné proměnné, je homogenní řádu 0, neboť platí
G(ct, cx) = f
cx
ct
= f
x
t
= c0
f
x
t
.
Používaná terminologie je tedy opodstatněná.
4.3 Ekvidimensionální rovnice
Řekneme, že implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu
F t, x, x′
, . . . , x(n)
= 0
je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t → at
pro každé a ∈ R\{0} nezmění její tvar. Transformace t = eτ převede danou rovnici na rovnici
autonomní (typ 4.2.3).
Uvažujme například lineární homogenní rovnici tvaru
x′
=
α
t
x, tj.
dx
dt
=
α
t
x. (4.11)
Zavedeme novou nezávisle proměnnou s vztahem s = at, kde a je nějaká reálná konstanta.
Hledanou funkci x budeme chápat jako funkci proměnné s, která sama je funkcí proměnné t.
Vzorec pro derivaci složené funkce dává vyjádření
dx
dt
=
dx
ds
ds
dt
=
dx
ds
a.
Dosazením do rovnice dostaneme
a
dx
ds
=
aα
s
x, tj.
dx
ds
=
α
s
x,
což je rovnice stejného tvaru jako (4.11), takže tato rovnice je ekvidimensionální v nezávisle
proměnné. Její transformace t = eτ převede rovnici (4.11) na tvar
dx
dτ
=
dx
dt
dt
dτ
=
α
t
x
dt
dτ
=
α
eτ
xeτ
= αx,
tedy na rovnici autonomní
dx
dτ
= αx.
Významným případem ekvidimensionální rovnice je rovnice Eulerova vyšetřovaná v 3.2.1.
Kapitola 5
Některé klasické elementární úlohy
V této kapitole je uvedeno několik úloh vedoucích na obyčejné diferenciální rovnice, které lze
vyřešit elementárními metodami uvedenými v předchozích kapitolách. Lze ji tedy považovat
za jakousi sbírku řešených příkladů.
Úlohy vychází z různých oborů — kinematiky (úlohy 5.1, 5.5 ), geometrické optiky (Archimédova
úloha 5.3), dynamiky (úloha o reaktivním motoru 5.2), kosmologie (jednoduchý model
expandujícího Vesmíru 5.9), epidemiologie (model šíření neštovic 5.6), ekonomie (SolowůvSwanův
model ekonomického růstu 5.7), teorie řízení (problém „menežmentu obnovitelných
zdrojů 5.8) nebo psychologie (nepříliš vážně míněná úloha 5.4).
5.1 Traktrisa
Po stole táhneme hodinky na napjatém řetízku délky ℓ tak, že koncem řetízku sledujeme
hranu stolu. Na počátku svírá řetízek a hrana stolu úhel α ∈ (0, 1
2π]. Úkolem je určit dráhu
hodinek.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, že svislá osa splývá s hranou stolu a je
souhlasně orientovaná se směrem pohybu konce řetízku, viz obr. 5.1. Při této volbě budou
hodinky na počátku v bodě (−ℓ sin α, 0). Dráhu hodinek vyjádříme jako graf funkce y = y(x).
Hodinky se pohybují ve směru působící síly, síla působí ve směru řetízku. To znamená, že
přímka incidentní s řetízkem je tečnou ke grafu funkce y v každém bodě. Směrnice této tečny
je tedy rovna
y′
(x) =
√
ℓ2 − x2
−x
. (5.1)
Hledaná funkce je řešením této obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
y(−ℓ sin α) = 0. (5.2)
Na pravé straně rovnice (5.1) se nevyskytuje hledaná funkce y, proto můžeme řešení úlohy
(5.1), (5.2) bezprostředně psát ve tvaru určitého integrálu
y(x) =
x
−ℓ sin α
ℓ2 − ξ2
−ξ
dξ = ℓ ln
ℓ + ℓ2 − ξ2
|ξ|
− ℓ2 − ξ2
x
ξ=−ℓ sin α
=
= ℓ cos α − 1 −
x2
ℓ2
+ ln
ℓ +
√
ℓ2 − x2
−x
sin α
1 + cos α
.
51
52 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
y
x
√
ℓ2 − x2
αℓ
ℓ
Obrázek 5.1: Traktrisa
Úlohu o dráze hodinek tažených na řetízku po stole zformuloval Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646–1716). Křivku podrobně studoval v roce 1692 Christiaan Huygens, který jí také dal jméno
tractrix (z latinského trahere, táhnout).
5.2 Ciolkovského rovnice
Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné
vnější síly (tedy ve stavu beztíže). Nechť v čase t0 = 0 se raketa pohybuje rychlostí v0. V čase
t0 se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas T a v podobě plynů proudí z trysky na zádi
rakety rychlostí u vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného
manévru, tedy její rychlost v čase T.
Označme M . . . hmotnost rakety na počátku (v čase t0 = 0),
µ . . . hmotnost paliva vyhořelého za čas T,
m = m(t) . . . hmotnost rakety (s dosud nevyhořelým palivem) v čase t,
v = v(t) . . . rychlost rakety v čase t.
Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností
m(t) = M −
µ
T
t =
MT − µt
T
. (5.3)
Rychlost v neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí
svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase t je
p(t) = m(t)v(t). (5.4)
Uvažujme krátký časový interval [t, t + ∆t] ⊆ [0, T]. Během něho shoří palivo o hmotnosti
∆µ = µ(t) − µ(t + ∆t) = M −
µ
T
t − M −
µ
T
(t + ∆t) =
µ
T
∆t. (5.5)
5.2. CIOLKOVSKÉHO ROVNICE 53
Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase t rovna
v(t) − u a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu v(t + ∆t) − u.
Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako
pP (t, ∆t) = w(t, ∆t)∆µ, (5.6)
kde w(t, ∆t) je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky ∆t, tj.
w(t, ∆t) =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ) − u dτ =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ)dτ − u.
Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo η ∈ (0, 1) takové, že
t+∆t
t
v(τ)dτ = v(t + η∆t)∆t,
takže w(t, ∆t) = v(t + η∆t) − u. S využitím této rovnosti a rovnosti (5.5) vyjádříme hybnost
(5.6) vytékajícího plynu výrazem
pP (t, ∆t) = v(t + η∆t) − u
µ
T
∆t. (5.7)
Hybnost rakety v čase t + ∆t je vzhledem k (5.3) rovna
pR(t + ∆t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) = M −
µ
T
(t + ∆t) v(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t + ∆t).
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí
v(t + ∆t) = v(t) + v′
(t + ϑ∆t)∆t,
kde ϑ ∈ (0, 1). Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme
pR(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t) + v′
(t + ϑ∆t)∆t =
= m(t)v(t) −
µ
T
v(t) − m(t)v′
(t + ϑ∆t) ∆(t) −
µ
T
v′
(t + ϑ∆t)(∆t)2
. (5.8)
Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase t + ∆t rovna
p(t + ∆t) = pR(t + ∆t) + pP (t, ∆t).
Odtud a z (5.7), (5.8) dostaneme
p(t + ∆t) − p(t)
∆t
= v(t + η∆t) − u − v(t)
µ
T
+ m(t)v′
(t + ϑ∆t) −
µ
T
v′
(t + ϑ∆t)∆t.
Limitním přechodem ∆t → 0 a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy
rakety s palivem ve tvaru
p′
(t) = m(t)v′
(t) − u
µ
T
.
54 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Podle zákona o zachování hybnosti je p′(t) = 0, takže s využitím rovnosti (5.3) dostaneme
diferenciální rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru
v′
(t) =
µu
MT − µt
.
Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce v, stačí tedy integrovat obě strany rovnice
v mezích od 0 po t. S využitím počáteční podmínky v(0) = v0 dostaneme
v(t) = v0 +
t
0
µu
MT − µτ
dτ = v0 − u [ln |MT − µτ|]t
τ=0 = v0 + u ln
MT
MT − µt
=
= v0 + u ln 1 +
µt
MT − µt
.
Zejména pro t = T máme
v(T) = v0 + u ln 1 +
µ
M − µ
. (5.9)
Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.
Rovnici (5.9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro
Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na
ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku
ÓÐ ÓÚ× ¸ ú º ÁÞ×Ð ÓÚ Ò Ñ ÖÓÚÝ ÔÖÓ×ØÖ Ò×ØÚ Ö Ø ÚÒÝÑ ÔÖ Ó¹
Ö Ñ º Æ ÙÕÒÓ Ó ÓÞÖ Ò º 1903, Ó X, No. 5
zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným
prostředkem pro lety do vesmíru.
5.3 Archimédova úloha
Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).
Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku O, přicházející paprsky
byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 5.2).
Uvažujme přicházející paprsek p, který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném
bodě P = (x0, y0), x0 > 0, y0 < 0. Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí
y = y(x); přitom samozřejmě y(x0) = y0.
Označme τ, resp. ν, tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě P, q přímku incidentní s odraženým
paprskem PO, r vodorovnou přímku procházející bodem P. Nechť dále ϕ = ∢νq je
úhel, který svírá odražený paprsek s normálou ν. Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy
∢pν = ϕ. Odtud plyne, že ∢pτ = 1
2π − ϕ. Dále platí ∢rτ = 1
2π − ∢pτ = ϕ. Poněvadž τ je
tečnou ke křivce o rovnici y = y(x), platí
dy
dx
(x0) = tg(∢rτ) = tg ϕ. (5.10)
Poněvadž přímky p a r jsou kolmé, je ∢qr = 1
2 π − ∢pν − ∢νq = 1
2 π − 2ϕ a tedy
tg(∢qr) = tg
π
2
− 2ϕ = cotg(2ϕ) =
1 − (tg ϕ)2
2 tg ϕ
. (5.11)
5.3. ARCHIMÉDOVA ÚLOHA 55
τ
r
ν
p
q
ϕ
. P
x0
y0
O
y = y(x)
Obrázek 5.2: K Archimédově úloze: y = y(x) – zrcadlo, p – přicházející paprsek, q – odražený
paprsek, P – bod dopadu a odrazu paprsku, O – ohnisko, τ – tečna k zrcadlu v bodě dopadu
přicházejícího paprsku, ν – normála k zrcadlu, ϕ –úhel odrazu.
Současně
tg(∢qr) =
|y0|
x0
= −
y0
x0
. (5.12)
Spojením (5.10), (5.11) a (5.12) dostaneme rovnost
−
y0
x0
=
1 −
dy
dx
(x0)
2
2
dy
dx
(x0)
.
Poněvadž bod P = (x0, y0) byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici
dy
dx
2
− 1 = 2
y
x
dy
dx
.
To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou
rovnici pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru
dy
dx
=
y
x
±
y
x
2
+ 1 .
Pro y < 0 a x > 0 je
dy
dx
> 0, viz obrázek 5.2. Znaménko před odmocninou tedy musí být +.
Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla
dy
dx
=
y
x
+
y
x
2
+ 1 .
To je rovnice homogenní. Substitucí u = u(x) =
y(x)
x
, tedy y(x) = xu(x),
dy
dx
= u + x
du
dx
dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je
du
√
u2 + 1
=
dx
x
,
56 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
tedy ln u +
√
u2 + 1 = ln |x| + const. Odtud
u(x) =
1
2
x
C
−
C
x
,
kde C je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost
y(x) =
1
2
x2
C
− C ,
neboli x2 = C(C + 2y). To je rovnice paraboly s ohniskem (0, 0) a řídící přímkou x = −C.
Název „Archimédova úloha vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus
armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214–212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města
sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované
smolou.
5.4 Romeo a Julie
Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal
Julii dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů,
pokud by nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem.
Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme r = r(t) Romeův cit k Julii
a j = j(t) Juliin cit k Romeovi v čase t. Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat
jako okouzlení nebo zamilovanost1, cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť.
Romeův cit samozřejmě závisí na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra,
tedy dobyvatele: čím více náklonnosti Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně
přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu
je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova citu k Julii, tj. derivaci funkce r,
považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným koeficientem úměrnosti. Formálně
to zapíšeme rovností
dr
dt
= −aj, (5.13)
kde a je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy
náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako
dj
dt
= br, (5.14)
kde b > 0. Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl
nulový. Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak
podmínky
r(0) = 1, j(0) = 0. (5.15)
1
Používáme slovo „zamilovanost , nikoliv „láska . Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí
rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým způsobem. Samotný cit však
lze do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat.
5.4. ROMEO A JULIE 57
Diferenciální rovnice (5.13), (5.14) s počátečními podmínkami (5.15) představují model vývoje
Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními
koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v 3.4.1, konkrétně dosazovací
metodou popsanou na str. 3.4.1.
Derivováním rovnice (5.13) a dosazením z rovnosti (5.14) dostaneme
d2r
dt2
= −a
dj
dt
= −abr.
Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého
řádu s konstantními koeficienty
d2r
dt2
+ abr = 0. (5.16)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 + ab = 0 má dva různé ryze komplexní kořeny λ1,2 =
±i
√
ab. Obecné řešení rovnice (5.16) tedy je tvaru
r(t) = A cos
√
ab t + B sin
√
ab t .
Řešení musí splňovat počáteční podmínky (5.15), tedy
r(0) = 1,
dr
dt
(0) = −aj(0) = 0.
Odtud dostaneme A = 1, B = 0, takže r(t) = cos
√
ab t a podle rovnosti (5.13) dále platí
j(t) = −
1
a
dr(t)
dt
=
1
a
√
ab sin
√
ab t =
b
a
sin
√
ab t .
Model (5.13), (5.14), (5.15) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city
k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi.
Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně
do času
t =
π
2
√
ab
.
Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal
v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné
náklonnosti, čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme
si ještě, že v případě b > a kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě
b < a je tomu naopak. Jinak řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten
z dvojice, který je citově závislejší.
Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje
změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic
dr
dt
= α1r − aj,
dj
dt
= br + α2j,
(5.17)
s počáteční podmínkou
r(0) = 1, j(0) = 0.
58 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Záporný koeficient α1 může vyjadřovat, že Romeo se svých citů bojí, nechce ztrácet vnitřní
klid; kladný koeficient α1 může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient α1
lze tedy považovat za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus ; koeficient α2
lze interpretovat podobně pro Julii.
Modely vývoje milostných citů (5.13), (5.14) a (5.17) publikoval Steven H. Strogatz v článku
Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine. 1988,
Vol. 61, No. 1, p. 35.
Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a
pokud možno atraktivní způsob výkladu klasické látky – systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních
rovnic.
5.5 „Psí křivka
Pes pronásleduje zajíce. Zajíc se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí u, pes běží ve
směru k zajíci rovnoměrnou rychlostí v, v > u. Určete tvar dráhy psa a čas T, za který pes
zajíce dohoní.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose
souhlasně s její orientací a na počátku, tj. v čase t0 = 0, se zajíc nacházel v bodě (0, b) a pes
v bodě (−a, 0). Nechť pro určitost je a > 0; případ a = 0 je triviální a v případě a < 0 bude
tvar dráhy zřejmě obrazem tvaru pro a > 0 v osové symetrii kolem druhé souřadné osy.
Situace je znázorněna na obr. 5.3 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci y = y(x). V čase
t = 0 je x = −a a y = 0, tj.
y(−a) = 0. (5.18)
Pes k zajíci směřuje od začátku, tj.
y′
(−a) =
b
a
. (5.19)
V jistém čase t, t < T, se pes nachází v bodě (x, y), x ∈ (−a, 0), a zajíc v bodě (0, b + ut).
Poněvadž pes stále směřuje k zajíci, platí
y′
(x) =
b + ut − y(x)
|x|
=
y(x) − b − ut
x
,
neboli
ut = y − xy′
(x) − b. (5.20)
Za čas t urazí pes dráhu délky vt. Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu
funkce) y = y(x) od bodu (−a, 0) po bod (x, y), tedy
vt =
x
−a
1 + y′(ξ)
2
dξ.
Z této rovnosti vyjádříme t a dosadíme do (5.20),
u
v
x
−a
1 + y′(ξ)
2
dξ = y(x) − xy′
(x) − b. (5.21)
5.5. „PSÍ KŘIVKA 59
−a x
b
y
b + ut
u
v
y
x
b
−a
a) b)
y
x
−a
y
x
−a
b
c) d)
Obrázek 5.3: a) K odvození rovnice „psí křivky . Vektor rychlosti zajíce u má v každém
okamžiku souřadnice (0, u), vektor rychlosti psa v má v každém okamžiku velikost v a v čase
t směřuje k zajíci, tj. je rovnoběžný s vektorem o souřadnicích (|x|, b + ut − y).
b) „Psí křivka pro a < 0, b > 0.
c) „Psí křivka pro a > 0, b = 0.
d) „Psí křivka pro a > 0, b < 0.
60 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Označíme
s =
u
v
. (5.22)
Podle předpokladu je s < 1. Obě strany rovnosti (5.21) zderivujeme podle x. Dostaneme
s 1 + y′(x)
2
= y′
(x) − y′
(x) − xy′′
(x)
a po úpravě
xy′′
(x) + s 1 + y′(x)
2
= 0. (5.23)
Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu (5.23)
s počátečními podmínkami (5.18), (5.19).
Rovnice (5.23) je typu 4.2.2. Proto zavedeme novou neznámou funkci p = p(x) = y′(x).
Dosadíme ji do rovnice (5.23) a počáteční podmínky (5.19). Po snadné úpravě dostaneme
počáteční úlohu
p′
= −
s
x
1 + p2 , p(−a) =
b
a
.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle
1.1.3 je
p
b
a
dη
1 + η2
= −s
x
−a
dξ
ξ
.
Integrací dostaneme
ln
a p + 1 + p2
b +
√
a2 + b2
= ln −
a
x
s
a odtud
p =
1
2C
C2
−
a
x
s
− −
x
a
s
,
kde
C =
b
a
+ 1 +
b
a
2
. (5.24)
Poněvadž p = y′ a funkce y splňuje podmínku (5.18), dostaneme řešení úlohy integrací poslední
rovnosti, tedy
y(x) =
1
2C
x
−a
C2
−
a
ξ
s
− −
ξ
a
s
dξ =
=
Ca
2(1 − s)
1 − −
x
a
1−s
−
a
2C(1 + s)
1 − −
x
a
1+s
.
Za konstanty s a C dosadíme z rovností (5.22) a (5.24). Po úpravách dostaneme „psí křivku
ve tvaru
y(x) =
v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
−
v
2
b −
√
a2 + b2
v + u
x
a
1+ u
v
+
b +
√
a2 + b2
v − u
x
a
1− u
v
.
5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 61
Nalezená funkce y je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro a > 0 i pro a < 0; v prvním
případě bychom za definiční obor považovali interval [−a, 0], ve druhém interval [0, −a].
Pes dostihne zajíce v bodě 0, y(0) . To znamená, že zajíc rychlostí u urazí dráhu délky
y(0) − b a čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven
T =
y(0) − b
u
=
1
u


v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
− b

 =
ub + v
√
a2 + b2
v2 − u2
.
„Psí křivku („courbe chien ) jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre
Bouger (ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho
stupně zeměpisné délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit
curves, pojem poprvé použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations v roce
1859), které jsou definovány takto: jestliže body A a P se pohybují rovnoměrně, bod A po dané křivce
a směr pohybu bodu P stále míří k bodu A, pak bod P opisuje křivku sledování.
Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka.
5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho
Uvažujme chorobu, která trvá krátce, někteří pacienti na ni zemřou, jiní se uzdraví a získají
vůči nákaze imunitu; typickým představitelem takové infekce byly neštovice. Budeme modelovat
epidemii této choroby, tj. její šíření v nějaké kohortě. Kohortou rozumíme skupinu osob
narozených ve stejnou dobu.
Zavedeme označení: N počet osob zahrnutých do kohorty, a jejich věk (tj. čas od počátku),
S = S(a), resp. R = R(a) počet osob věku a, které neprodělaly, resp. prodělaly, chorobu. Při
tomto označení je N = S(0) + R(0) = S(0), neboť novorozenci chorobu neprodělali, tj.
R(0) = 0. Další symboly zavedeme na základě následujících předpokladů:
• Počet osob věku a, které zemřou z jiných příčin, než je uvažovaná infekce, je úměrná
délce (krátkého) časového intervalu sledování ∆a a počtu nenakažených osob S(a).
Konstantu úměrnosti — přirozenou úmrtnost ve věku a — označíme µ(a).
• Počet osob věku a, které se nakazí uvažovanou chorobou je úměrná délce sledování
∆a a počtu S(a) osob, které dosud chorobu neprodělaly a jsou tedy citlivé na infekci.
Koeficient úměrnosti — incidenci choroby ve věku a — označíme λ(a)
• Počet nemocných osob věku a, které se uzdraví za časový interval ∆a je úměrný počtu
infikovaných osob tohoto věku a délce intervalu ∆a. Koeficient úměrnosti — index přežití
choroby osobami věku a — označíme s(a).
Úmrtnost µ(a) lze interpretovat jako pravděpodobnost, že „zdravá osoba (tj. ta, která nemá
uvažovanou chorobu) věku a zemře během časového intervalu délky ∆a; incidenci λ(a) jako
pravděpodobnost, že se „zdravá osoba věku a, která není imunní vůči uvažované chorobě,
nakazí během časového intervalu délky ∆a; ukazatel přežití s(a) jako pravděpodobnost, že
nakažená osoba věku a se během časového intervalu délky ∆a uzdraví. Budeme předpokládat,
že onemocnění a uzdravení jsou jevy nezávislé, tj. že pravděpodobnost, že osoba citlivá
k infekci se během časového intervalu délky ∆a nakazí a uzdraví, je rovna s(a)λ(a). Dále
zavedeme letalitu choroby ve věku a vztahem
c(a) = 1 − s(a);
62 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
❄
✲ ✲
❄ ❄
✫✪
✬✩
nemocní
S(a)
náchylní k chorobě
R(a)
imunní
µ(a) µ(a)c(a)
λ(a) s(a)
Obrázek 5.4: Schéma vývoje kohorty ohrožené chorobou
lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že nemocná osoba věku a během časového intervalu
délky ∆a zemře. Proměnné
u = u(a) =
S(a)
N
, resp. w = w(a) =
R(a)
N
vyjadřují (klasickou) pravděpodobnost, že osoba se dožila věku a a neprodělala, resp. prodělala,
chorobu. Novorozenec určitě chorobu neprodělal, tedy platí
u(0) = 1, w(0) = 0. (5.25)
Vývoj kohorty, v níž probíhá choroba, lze schematicky znázornit obrázkem 5.4 a předpoklady
vyjádřit ve tvaru rovností:
S(a + ∆a) = S(a) − µ(a)S(a)∆a − λ(a)S(a)∆a = S(a) − µ(a) + λ(a) S(a)∆a,
R(a + ∆a) = R(a) + s(a)λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a =
= R(a) + 1 − c(a) λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a.
V první z uvedených rovností převedeme na levou stranu S(a) a ve druhé z nich R(a), rovnosti
vydělíme výrazem N∆a a provedeme limitní přechod ∆a → 0. Pro zjednodušení modelu
budeme předpokládat, že funkce u a w jsou diferencovatelné; takový předpoklad je v případě
velké kohorty dostatečně realistický. Dostaneme tak systém neautonomních diferenciálních
rovnic
du
da
= − µ(a) + λ(a) u,
dw
da
= 1 − c(a) λ(a)u − µ(a)w;
(5.26)
jejich řešení splňuje počáteční podmínky (5.25).
První rovnice systému (5.26) je lineární homogenní rovnicí pro neznámou funkci u. Její
řešení s počáteční podmínkou (5.25) je při označení
M(a) =
a
0
µ(α)dα, Λ(a) =
a
0
λ(α)dα (5.27)
podle 1.3 rovno
u(a) = e−Λ(a)−M(a)
. (5.28)
Toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice systému (5.26) a dostaneme
dw
da
= −µ(a)w + 1 − c(a) λ(a)e−Λ(a)−M(a)
,
5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 63
což je lineární nehomogenní rovnice pro neznámou funkci w. Její řešení s počáteční podmínkou
(5.25) je opět podle 1.3 rovno
w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 − e−Λ(a)−M(a)
. (5.29)
Dosud provedené úvahy a výpočty lze shrnout: Pravděpodobnosti u(a), resp. w(a), že se
osoba dožije věku a a neprodělá, resp. prodělá, chorobu, jsou řešením soustavy rovnic (5.26)
s počátečními podmínkami (5.25) a jsou dány výrazy (5.28), resp. (5.29), kde funkce M a Λ
jsou dány výrazy (5.27).
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a za předpokladu, že choroba se v kohortě
neobjevuje (tj. λ ≡ 0 a v důsledku toho také Λ ≡ 0), je rovna přímo funkci u s Λ ≡ 0, tj.
ℓ0(a) = e−M(a)
.
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a pokud se choroba vyskytuje, je rovna
ℓ(a) = u(a) + w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 =
= ℓ0(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 .
Pravděpodobnost dožití věku a je tedy součinem pravděpodobnosti dožití věku a při přirozené
úmrtnosti a faktoru, který závisí pouze na incidenci a letalitě choroby.
Označme dále
x(a) =
u(a)
ℓ(a)
, z(a) =
w(a)
ℓ(a)
=
ℓ(a) − u(a)
ℓ(a)
= 1 − x(a);
Veličina x(a), resp. z(a), vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, že osoba věku a neprodělala,
resp. prodělala, chorobu za podmínky, že se věku a dožila.
Poněvadž
x(a) =
e−Λ(a)−M(a)
e−M(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
=
e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
, (5.30)
platí rovnost x(0) = 1 a dále
dx(a)
da
=
−λ(a)e−Λ(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα + e−Λ(a)c(a)λ(a)e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2 =
= −λ(a)





e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
−
c(a)e−2Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2





=
= −λ(a)x(a) 1 − c(a)x(a) .
64 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Relativní zastoupení osob věku a, které v uvažované kohortě neprodělaly chorobu, je tedy
veličina x(a) daná formulí (5.30), která je současně řešením počáteční úlohy pro Bernoulliovu
rovnici
dx
da
= −λ(a)x 1 − c(a)x , x(0) = 1. (5.31)
Vývoj zastoupení osob, které neprodělaly chorobu, tedy nezávisí na přirozené úmrtnosti µ.
Úlohu (5.31) můžeme vyřešit metodami popsanými v 1.4 a přesvědčit se, že řešení je stejné
jako (5.30), nebo podrobněji
x(a) =
e
0
a
λ(α)dα
1 −
a
0
λ(ξ)c(ξ)e
ξ
a
λ(α)dα
dξ
.
Zejména pro incidenci choroby a letalitu choroby nezávislé na věku dostaneme
x(a) =
1
c + (1 − c)eλa
.
Poznamenejme ještě, že v teorii přežití se funkce ℓ0, µ, M nazývají funkce přežití, riziková
funkce a kumulativní riziková funkce (v uvedeném pořadí). Pokud
lim
a→∞
M(a) =
∞
0
µ(a)da = ∞,
pak pro funkci přežití platí
ℓ0(a) = 1 − F(a),
kde F je distribuční funkce náhodné veličiny „věk dožití jedince z kohorty .
Uvedený model šíření epidemie neštovic publikoval Daniel Bernoulli (1700–1782) v článku
Bernoulli, D. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole
et des avantages de l’inoculation pour la prévenir. Hist. Acad R. Sci. Paris. 1760/1766,
p.1–45.
v němž hledal odpověď na otázku, zda zavádět očkování proti neštovicím, přestože tato operace někdy
končí smrtí.
Na základě tabulek úmrtí, které publikoval královský astronom Edmond Haley (1656–1742)
Halley E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious
tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the
price of annuities upon lives. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1693, vol. 17, p. 596–610.
odhadl D. Bernoulli hodnoty incidence a letality neštovic nezávislé na věku jako λ = 1
8 , c = 1
8 ;
skutečnost, že mu koeficienty vyšly stejné, je náhoda.
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 65
5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model)
Budeme se snažit popsat dynamiku (vývoj v čase) základních makroekonomických ukazatelů
v uzavřené ekonomice, tj. v ekonomice, v níž nedochází k žádné výměně s okolními ekonomikami
(k exportu nebo importu). Za základní ukazatele budeme považovat:
Y = Y (t) . . . hrubý domácí produkt v čase t.
K = K(t) . . . kapitál v čase t. Kapitálem budeme rozumět nejen kapitál finanční, tj. peníze,
ale také kapitál hmotný, tj. budovy, stroje, zařízení ap. Celkové množství kapitálu lze
však vyjádřit pomocí peněžní jednotky.
L = L(t) . . . disponibilní pracovní síla v čase t. Lze si ji představit jako množství práceschopného
(nebo práceochotného) obyvatelstva.
I = I(t) . . . investice v čase t, tj. peněžní prostředky použité k tvorbě nebo obnově kapitálu.
S = S(t) . . . spotřeba v čase t. Za spotřebu budeme považovat peněžní prostředky k tvorbě
nebo obnově kapitálu nevyužité, tj. nejen realizovanou spotřebu ale také např. vládní
výdaje nebo úspory obyvatelstva.
Vyjdeme z několika jednoduchých a z ekonomického hlediska přijatelných předpokladů:
P1) Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
P2) Kapitál se vytváří investicemi.
P3) Kapitál se amortizuje (znehodnocuje) tak, že poměr znehodnoceného kapitálu za jednotku
času ke všemu kapitálu je konstantní.
P4) Relativní přírůstek pracovní síly v čase je konstantní; v podstatě odpovídá přirozenému
přírůstku obyvatel.
P5) Sklon ke spotřebě, tj. podíl spotřebovaného produktu, je v čase konstantní.
P6) Veškerý produkt se rozdělí na investice a spotřebu.
P2) a P6) nejsou ve vlastním smyslu předpoklady, je jimi pouze specifikováno, co se rozumí
pojmy „investice a „spotřeba .
Základní makroekonomické ukazatele budeme považovat za nezáporné diferencovatelné
funkce definované na intervalu [0, ∞), tj. zajímá nás vývoj od jistého okamžiku do budoucnosti.
Nyní můžeme předpoklady vyjádřit matematicky:
P1) Produkce je funkcí kapitálu a práce, tj.
Y (t) = f K(t), L(t) , (5.32)
kde f : [0, ∞)2 → [0, ∞) je nějaká diferencovatelná funkce rostoucí v každé ze svých
proměnných. Nazýváme ji produkční funkce.
P2) Množství kapitálu vytvořeného za časový interval délky ∆t, tj. od času t po čas t + ∆t,
je úměrné množství investic I(t) a času investování ∆t, tj. je roven hodnotě
1
κ
I(t)∆t,
kde κ > 0 je nějaká konstanta. Vyjadřuje čas, za který se z jednotkové investice vytvoří
jednotkové množství kapitálu. Většinou se volí κ = 1, tedy že investice je totéž, co
vytvořený kapitál.
66 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
P3) Označme a množství kapitálu amortizovaného za jednotku času. Pak pro každý čas t
platí
a
K(t)
= δ,
kde δ je nějaká nezáporná konstanta, kterou nazveme mírou amortizace. Ta bývá vyjádřena
pomocí odpisů. Za časový interval délky ∆t se amortizuje a∆t kapitálu, takže
množství kapitálu znehodnoceného za interval délky ∆t je rovno
δK(t)∆t.
P4) Relativní přírůstek λ pracovní síly za jednotku času je konstantní, takže relativní přírůstek
pracovní síly za časový interval délky ∆t je roven λ∆t, tj.
L(t + ∆t) − L(t)
L(t)
= λ∆t.
P5) Existuje konstanta s nazývaná mezní sklon ke spotřebě taková, že pro každé t ≥ 0 je
S(t)
Y (t)
= s.
P6) V každém čase t platí
Y (t) = I(t) + S(t). (5.33)
Dále potřebujeme specifikovat produkční funkci f. Budeme tedy ještě předpokládat:
P7) Ke zdvojnásobení produkce je potřeba dvojnásobného kapitálu i dvojnásobné pracovní
síly. Obecněji, ke zvětšení produkce o q% je potřeba zvětšit kapitál i pracovní sílu také
o q%. Matematicky,
f(βK, βL) = βf(K, L) (5.34)
pro každou konstantu β > 0; jinak řečeno, produkční funkce f je homogenní prvního
řádu.
P8) Není-li v ekonomice žádný kapitál, tak jakékoliv jeho přidání způsobí veliký nárůst
produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu roste do nekonečna, pokud se množství
kapitálu v ekonomice přibližuje k nule. Je-li v ekonomice nadbytek kapitálu, tak jeho
zvětšení již nezpůsobí významný nárůst produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu
klesá k nule, pokud jeho množství v ekonomice neomezeně roste. Analogické vztahy
jsou mezi produkcí a prací. Tyto předpoklady zapíšeme ve tvaru
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ pro L > 0, lim
L→0+
∂f
∂L
(K, L) = ∞ pro K > 0,
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0, lim
L→∞
∂f
∂L
(K, L) = 0;
nazýváme je Inadovy podmínky.
Nyní již můžeme sestavit rovnice popisující vývoj makroekonomických ukazatelů. Podle
P2) a P3) je kapitál v čase t + ∆t roven
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆t.
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 67
Odtud dostaneme
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t)
a limitním přechodem ∆t → 0 získáme diferenciální rovnici
K′
=
1
κ
I − δK. (5.35)
Tímtéž limitním přechodem dostaneme po snadné úpravě z předpokladu P4) diferenciální
rovnici
L′
= λL. (5.36)
Z předpokladu P6) máme 1 =
I(t)
Y (t)
+
S(t)
Y (t)
a dále s využitím předpokladu P5) dostaneme
I(t) = (1 − s)Y (t). (5.37)
Systém dvou diferenciálních rovnic (5.35), (5.36) spolu s omezujícími rovnostmi (5.32), (5.37)
lze považovat za matematický model dynamiky produkce, kapitálu a práce.
Model (5.35), (5.36), (5.32), (5.37) můžeme ještě dále upravit. Zavedeme veličinu k = k(t)
vztahem
k(t) =
K(t)
L(t)
; (5.38)
nazýváme ji míra vybavenosti práce kapitálem. Z rovností (5.32) a (5.34) dostaneme
Y (t) = f K(t), L(t) = L(t)f
K(t)
L(t)
, 1 = L(t)f k(t), 1 .
Výraz f(k, 1) se nazývá intenzivní tvar produkční funkce. Derivováním vztahu K = Lk definujícího
vybavenost práce kapitálem dostaneme K′ = L′k + Lk′. Po dosazení z rovnic (5.36),
(5.35) máme
1
κ
I − δK = λLk + Lk′
.
Za proměnnou I nejprve dosadíme z rovnosti (5.37) a pak za proměnnou Y z rovnosti (5.32).
Dostaneme tak
1 − s
κ
Lf(k, 1) − δK = λLk + Lk′
.
Po vydělení hodnotou L máme
1 − s
κ
f(k, 1) − δk = λk + k′
.
Odtud vyjádříme derivaci k′ a dostaneme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k′
= −(λ + δ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (5.39)
Připomeňme, že obvykle se volí κ = 1, tj. že investice představují nově vytvořený kapitál.
68 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Řešení základní rovnice s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí
V základní rovnici stále zůstává neurčená produkční funkce f. Jednoduchá funkce, která
splňuje podmínky P7) a P8) (a tedy může představovat jistý popis ekonomické reality) je
Cobbova-Douglasova produkční funkce, která je tvaru
f(K, L) = BKα
L1−α
, (5.40)
kde kladný koeficient B představuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci a α je nějaká
konstanta taková, že 0 < α < 1. Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru
je
f(k, 1) = Bkα
. (5.41)
Dosazením této funkce do základní rovnice (5.39) dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
pro neznámou funkci k ve tvaru
k′
= −(λ + δ)k + A(1 − s)kα
, (5.42)
kde jsme označili A =
B
κ
. Jedná se diferenciální rovnici Bernoulliovu, sr. 1.4. Budeme ji řešit
zavedením substituce
r = k1−α
, (5.43)
tedy
r′
= (1 − α)k−α
k′
= (1 − α)k−α
(−(λ + δ)k + A(1 − s)kα
) =
= (α − 1)(λ + δ)k1−α
− A(1 − s)(α − 1),
neboli
r′
= (α − 1)(λ + δ)r − A(1 − s)(α − 1). (5.44)
To je nehomogenní lineární rovnice pro neznámou funkci k a její řešení s počáteční podmínkou
r(0) = r0 je podle 1.3 rovno
r(t) =

r0 −
t
0
A(1 − s)(α − 1)e−(α−1)(λ+δ)σ
dσ

 e(α−1)(λ+δ)t
=
= r0 + A
1 − s
λ + δ
e−(α−1)(λ+δ)t
− 1 e(α−1)(λ+δ)t
=
= r0 − A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
. (5.45)
Míra amortizace δ je podle předpokladu P3) nezáporná. O relativním přírůstku pracovní
síly λ jsme dosud nic nepředpokládali, může být kladný (obyvatelstva přibývá) i záporný
(obyvatelstvo vymírá). Pro další úvahy budeme předpokládat, že λ + δ > 0 (materiál chátrá
rychleji než obyvatelstvo). Poněvadž α < 1, je funkce r daná rovností (5.45) monotonní (v
případě (λ + δ)r0 > A(1 − s) klesající, v případě (λ + δ)r0 < A(1 − s) rostoucí) a platí
lim
t→∞
r(t) = A
1 − s
λ + δ
. (5.46)
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 69
S využitím rovností (5.38), (5.41) a (5.43) můžeme psát
r = k1−α
=
K
L
1−α
=
BK
BKαL1−α
= B
K
Y
. (5.47)
Z rovnosti (5.46) nyní plyne
lim
t→∞
K(t)
Y (t)
=
1 − s
κ(λ + δ)
; (5.48)
tento výsledek můžeme interpretovat tak, že kapitálová náročnost jednotky produkce (množství
kapitálu potřebné k vytvoření jednotkového produktu) se v uzavřené ekonomice ustálí na jisté
hodnotě, zvané mezní poměr kapitálu a produkce, která závisí pouze na sklonu ke spotřebě s,
efektivitě investic κ, míře amortizace δ a přirozeném přírůstku (nebo úbytku) obyvatel λ. Ve
stabilizované uzavřené ekonomice tedy platí
K
Y
=
1 − s
κ(λ + δ)
, neboli
Y =
1 − s
κ(λ + δ)
K;
produkce je přímo úměrná kapitálu.
Návratem k proměnné k = r1/(1+α) můžeme vyjádřit řešení základní rovnice (5.42) s
Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí a s počáteční podmínkou k(0) = k0 ve tvaru
k(t) = k1−α
0 − A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
1
1−α
. (5.49)
Pro funkci k platí, že
lim
t→∞
k(t) = A
1 − s
λ + δ
1
1−α
; (5.50)
její chování v dlouhém časovém úseku nezávisí na počáteční hodnotě. Ekonomika tedy směřuje
ke konstantní (rovnovážné) vybavenosti práce kapitálem.
Nyní můžeme pomocí řešení (5.45) a (5.49) rovnic (5.44) a (5.42) vyjádřit řešení rovnic
původního modelu (5.32), (5.35), (5.36), (5.37), (5.33) v případě, že produkční funkce je
Cobbova-Douglasova tvaru (5.40). Budeme uvažovat počáteční podmínky
K(0) = K0, L(0) = L0.
Pak podle (5.40), (5.33) a (5.37) je
Y (0) = Y0 = BKα
0 L1−α
0 , S(0) = S0 = sY0, I(0) = I0 = (1 − s)Y0.
Rovnice (5.36) je lineární homogenní a její řešení splňující uvedenou počáteční podmínku je
L(t) = L0eλt
.
Podle (5.38) je
K(t) = k(t)L(t) = L0eλt K0
L0
1−α
− A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
1
1−α
,
podle (5.40), (5.32) je
Y (t) = BK(t)α
L(t)1−α
= κAL0eλt K0
L0
1−α
− A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
α
1−α
.
Spotřeba S(t) je s-násobkem produkce a investice I(t) je jejím (1 − s)-násobkem.
70 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Technologický pokrok v modelu ekonomického růstu
Z rovností (5.50), (5.48) plyne, že produkce, kapitál a pracovní síla jsou asymptoticky ekvivalentní
funkce; zhruba řečeno, tyto makroekonomické charakteristiky rostou stejně rychle.
Zejména platí
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
=
λ + δ
1 − s
= const < ∞.
Základní dogma ekonomie však říká, že ekonomika roste tak, že se produkuje stále více se
stále menšími náklady, tj.
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= ∞. (5.51)
Tato disproporce může být způsobena tím, že jsme neuvažovali technologický pokrok. Ten se
projevuje tak, že efektivita práce v čase roste. To znamená, že pracovní síla nebude vyjádřena
pouze množstvím pracujících. Předpoklad P4) tedy nahradíme předpokladem modifikovaným:
P4’) Relativní přírůstek pracovní síly za jednotku času v průběhu času roste, tj.
L(t + δt) − L(t)
L(t)
= λ(t)∆t,
kde λ je rostoucí funkce.
Nyní můžeme zopakovat všechny úvahy. Těmi dojdeme k modifikované rovnici neoklasického
modelu
k′
= − λ(t) + δ)k +
1 − s
κ
f(k, 1), (5.52)
která se od rovnice (5.39) liší pouze v tom, že relativní přírůstek pracovní síly λ závisí na
čase. Abychom tuto závislost specifikovali, přijmeme další předpoklad:
P9) Relativní přírůstek pracovní síly vyjadřuje dosaženou technologickou úroveň. Technologický
růst je proces kumulativní, tj. jeho přírůstek je úměrný úrovni dosažené a době
rozvoje, tj.
λ(t + ∆t) − λ(t) = pλ(t)∆t,
kde p je kladná konstanta.
Uvedený předpoklad lze limitním přechodem ∆t → 0 přepsat ve tvaru homogenní diferenciální
rovnice
λ′
= pλ, (5.53)
jejíž řešení je podle 1.3 rovno λ(t) = λ0ept, kde λ0 vyjadřuje počáteční technologickou úroveň.
Do rovnice (5.52) nyní můžeme dosadit Cobbovu-Douglasovu produkční funkci (5.41) a
vyjádření (5.53). Opět dostaneme Bernoulliovu rovnici
k′
= − λ0ept
+ δ k + A(1 − s)kα
,
kterou substituce (5.43) transformuje na rovnici lineární
r′
= (α − 1) λ0ept
+ δ r + A(1 − s)(1 − α).
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 71
Její řešení s počáteční podmínkou r(0) = r0 je podle 1.3 rovno
r(t) =

r0 + A(1 − α)(1 − s)
t
0
exp (1 − α) δτ +
λ0
p
(epτ
− 1) dτ

 ×
× exp −(1 − α) δt +
λ0
p
ept
− 1 .
Vzhledem k (5.47) je
Y (t)
K(t)
=
B
r(t)
,
takže s použitím de l’Hospitalova pravidla můžeme vypočítat
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= B lim
t→∞
exp (1 − α) δt +
λ0
p
ept − 1
r0 + A(1 − α)(1 − s)
t
0
exp (1 − α) δτ +
λ0
p
(ept − 1) dτ
=
= B lim
t→∞
(1 − α) δ +
λ0
p
ept exp (1 − α) δt +
λ0
p
ept − 1
A(1 − α)(1 − s) exp (1 − α) δt +
λ0
p
(ept − 1)
= lim
t→∞
δp + λ0ept
p(1 − s)
= ∞.
Podmínka (5.51) je nyní splněna. Analogicky vypočítáme
lim
t→∞
K(t)
Y (t)
/λ0ept
= 0.
Poslední výsledek lze interpretovat tak, že v uzavřené ekonomice s plynulým technologickým
pokrokem klesá kapitálová náročnost jednotky produkce řádově rychleji, než technologická
úroveň roste.
Základní dynamickou rovnici neoklasického modelu sestavili nezávisle na sobě Robert M. Solow
a Trevor W. Swan jako rozšíření modelu produktivity kapitálu, který nezávisle vytvořili Sir Roy F.
Harrod (v roce 1939) a Ewsey Domar (v roce 1946). Publikovali ji v článcích
Solow, R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth. Quaterly Journal of
Economic. 1956, vol. 70, No. 1 (February), p. 65–94.
Swan, T. W. Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record. 1956,
No. 32 (November), p. 334–361.
Robert Solow za rozpracování neoklasického modelu obdržel v roce 1987 Cenu Švédské národní banky
za rozvoj ekonomické vědy na památku Alfreda Nobela (lidově zvanou Nobelova cena za ekonomii).
5.8 Udržitelný rybolov
Představme si nějakou vodní nádrž, v níž žijí ryby. Tato nádrž je uzavřená v tom smyslu, že
ryby z ní ani do ní nemigrují. Úživnost této nádrže budeme považovat za konstantní. Populaci
72 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
ryb považujeme za homogenní (nerozlišujeme věk, velikost, pohlaví ani jiné vlastnosti jedinců)
a všechny její charakteristiky kromě velikosti považujeme za konstantní v čase. Označíme-li
x = x(t) velikost populace ryb v čase t, pak vývoj této veličiny lze modelovat logistickou
diferenciální rovnicí
x′
= rx 1 −
x
K
,
kde r je vnitřní koeficient růstu populace a K je kapacita (úživnost) prostředí; oba parametry
r a K jsou kladné.
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme
popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času
je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři,
kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny
naplní.) Označme h množství ryb ulovených za jednotku času; parametr h je kladný. Pak
vývoj populace ryb, jejíž velikost byla na začátku rovna hodnotě x0 ≥ 0, je popsán počáteční
úlohou pro diferenciální rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
− h, x(0) = x0. (5.54)
Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu
bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí.
Rovnice v úloze (5.54) je Riccatiho, podle 4.1 ji řešíme substitucí
x(t) =
K
r
y′(t)
y(t)
. (5.55)
Dosazení do rovnice (5.54) dává
K
r
y′′y − (y′)2
y2
= x′
= r
K
r
y′
y
−
r
K
K
r
y′
y
2
− h,
tj.
K
r
y′′
y
−
K
r
y′
y
2
= −
K
r
y′
y
2
+ K
y′
y
− h.
Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními
koeficienty
y′′
− ry′
+
rh
K
y = 0. (5.56)
Její charakteristická rovnice (sr. 3.1.1) je
λ2
− rλ +
rh
K
= 0. (5.57)
Označme D = 1 −
4h
rK
. Pak D < 1, neboť parametry r, K, h jsou kladné. Při řešení úlohy
(5.54) rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny D.
(i) D > 0, tj. h < 1
4rK.
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 73
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.57) dva reálné různé kořeny
λ1,2 =
r
2
1 ±
√
D
a protože D < 1, jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice (5.56) je
y(t) = Ae
1
2
r(1+
√
D)t
+ Be
1
2
r(1−
√
D)t
= e
1
2
r(1+
√
D)t
A + Be−r
√
D t
,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Platí tedy
y′
(t) = e
1
2
r(1+
√
D)t r
2
1 +
√
D A + Be−r
√
D t
− Br
√
D e−r
√
D t
=
=
r
2
e
1
2
r(1+
√
D)t
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
.
Odtud a z transformačního vztahu (5.55) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy (5.54) ve
tvaru
x(t) =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
A + Be−r
√
D t
.
Konstanty A, B získáme z počáteční podmínky v úloze (5.54):
x0 =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D B
A + B
=
K
2
1 +
√
D
A − B
A + B
.
To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty A, B z ní nelze vypočítat. Lze však určit
jejich poměr
2x0
K
− 1 =
√
D
A − B
A + B
, tj. 2x0 − K − K
√
D A = −B 2x0 − K + K
√
D .
Řešení úlohy (5.54) je tedy dáno formulí
x(t) =
K
2
1 +
√
D K 1 −
√
D − 2x0 − 1 −
√
D K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
=
=
K
r
rx0 1 +
√
D − 2h − rx0 1 +
√
D − 2h e−r
√
D t
2x0 − K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D e−r
√
D t
,
neboť 1 − D =
4h
rK
.
Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce x v závislosti na počáteční hodnotě (parametru)
x0. Pokud je x0 > 1
2K 1 −
√
D , pak je funkce x kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle
proměnné t a platí
lim
t→∞
x(t) = K
1 +
√
D
2
;
zejména pro x0 = 1
2 K 1+
√
D je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1+
√
D . Rybolov zredukuje
velikost populace ryb na hodnotu x∗ = 1
2 K 1 +
√
D .
74 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
x
t
x∗
0 < h < 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = 1
4 rK
x
t
K
h > 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = Ex, E = Emax = 1
2 r
Obrázek 5.5: Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení
úlohy (5.54) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty x0 (nahoře
a vlevo dole). Rybolov s konstantním loveckým úsilím, tj. řešení úlohy (5.59) s úsilím E
přinášejícím maximální udržitelný úlovek pro různé počáteční hodnoty x0 (vpravo dole).
Pokud je x0 = 1
2 K 1 −
√
D , pak je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1 −
√
D .
Ovšem, pokud je x0 < 1
2K 1 −
√
D , pak pro
tE =
1
r
√
D
ln
2h − rx0 1 −
√
D
2h − rx0 1 +
√
D
je x(tE) = 0. To znamená, že lov ryby vyhubí.
Řešení počáteční úlohy (5.54) s hodnotou h ∈ (0, 1
4rK) a s různými počátečními hodnotami
je zobrazeno na obr. 5.5 vlevo nahoře.
(ii) D > 0, tj. h = 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.57) dvojnásobný reálný kladný kořen
λ = 1
2r. Obecné řešení lineární rovnice (5.56) v tomto případě je rovno
y(t) = (A + Bt)e
1
2
rt
.
Pro toto řešení musí platit y(0) = 0, jinak by transformace (5.55) nebyla definována v pravém
okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že A = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
y(t) = A 1 +
B
A
t e
1
2
rt
= A(1 + Ct)e
1
2
rt
,
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 75
kde C =
B
A
. Derivace řešení je rovna
y′
(t) = A C +
r
2
(1 + Ct) e
1
2
rt
a obecné řešení rovnice z úlohy (5.54) je
x(t) =
K
r
C + r
2(1 + Ct)
1 + Ct
=
K
2
+
K
r
C
1 + Ct
.
Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze (5.54), takže
C =
r
2K
(2x0 − K).
Řešení úlohy (5.54) je tedy v případě h = 1
4 rK dáno formulí
x(t) = K
1
2
+
2x0 − K
2K + r(2x0 − K)t
.
Pokud x0 ≥ 1
2K, je toto řešení kladné pro každé t ≥ 0. Zejména pro x0 = 1
2 K je řešení
konstantní, x(t) ≡ 1
2 K. Pokud naopak x0 < 1
2K, je řešení kladné pouze pro t ∈ [0, tE), kde
tE =
2K
r(K − 2x0)
a x(tE) = 0. Řešení úlohy (5.54) v případě h = 1
4rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno
na obr. 5.5 vpravo nahoře.
V případě h = 1
4 rK je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost
populace ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě
udržuje velikost populace na hodnotě 1
2 K, neboť
lim
t→∞
x(t) =
K
2
.
Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase tE.
(iii) D < 0, tj. h > 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.57) komplexně sdružené kořeny
λ1,2 =
r
2
± iϕ, kde ϕ =
r
2
√
−D =
r
2
4h
rK
− 1
a obecné řešení lineární rovnice (5.56) je tvaru
y(t) = Ae
1
2
rt
sin(ϕt + ψ),
kde A, ψ jsou konstanty. Jeho derivace je rovna
y′
(t) = Ae
1
2
rt r
2
sin(ϕt + ψ) + ϕ cos(ϕT + ψ)
76 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
a řešení rovnice z úlohy (5.54) podle transformačního vztahu (5.55) je dáno formulí
x(t) =
K
r
r sin(ϕt + ψ) + 2ϕ cos(ϕt + ψ)
2 sin(ϕt + ψ)
=
K
2
+
Kϕ
r
cotg(ϕt + ψ) =
=
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕt + ψ) .
Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze (5.54), musí platit
x0 =
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg ψ ,
tedy
ψ = arccotg
2x0 − K
K
rK
4h − rK
.
Řešení úlohy (5.54) je nyní kladné pouze na intervalu [0, tE), kde tE je nejmenší kladné řešení
rovnice
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕtE + ψ) = 0,
tedy
tE =
1
ϕ
arccotg −
rK
4h − rK
− ψ =
2
r
rK
4h − rK
π
2
− ψ + arctg
rK
4h − rK
.
Pro h > 1
4rK tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy (5.54) v případě h > 1
4rK
pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 5.5 vlevo dole.
Z rozboru řešení modelu (5.54) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že
není příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když
h ≤
1
4
rK a x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
Maximální udržitelný úlovek je tedy
hmax =
1
4
rK. (5.58)
Rybolov s konstantním úsilím
K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, že nikoliv úlovek za
jednotku času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například
tak, že rybáři mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku
času je v takovém případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. h = Ex, kde kladná
konstanta E vyjadřuje vynaložené úsilí.
Místo modelu (5.54) tedy uvažujeme model
x′
= rx 1 −
x
K
− Ex, x(0) = x0. (5.59)
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 77
Rovnici upravíme na tvar
x′
= −
r
K
x2
+ (r − E)x
a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce (5.55) ji převede na tvar
K
r
y′′
y
−
K
r
y′
y
2
= −
r
K
K
r
y′
y
2
+ (r − E)
K
r
y′
y
,
z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koefi-
cienty
y′′
− (r − E)y′
= 0. (5.60)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 − (r − E)λ = 0 má dva reálné kořeny
λ1,2 =
0,
r − E.
(5.61)
Pokud E = r, jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice (5.60) je tvaru
y(t) = A + Be(r−E)t
.
Jeho derivace je rovna y′(t) = B(r − E)e(r−E)t, takže zpětnou transformací (5.55) dostaneme
řešení rovnice z úlohy (5.59) jako
x(t) =
K
r
B(r − E)e(r−E)t
A + Be(r−E)t
.
Pro x(0) = x0 > 0 musí být B = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
x(t) =
K(r − E)
r 1 + De−(r−E)t
;
hodnotu konstanty D =
A
B
určíme z počáteční podmínky úlohy (5.59),
D =
K(r − E)
rx0
− 1 =
1
rx0
K(r − E) − rx0 .
Řešení úlohy (5.59) je tedy v případě E = r dáno formulí
x(t) =
K(r − E)x0
rx0 − rx0 − K(r − E) e−(r−E)t
; (5.62)
povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému (5.59) i pro x0 = 0. Řešení (5.62)
úlohy (5.59) je pro libovolnou počáteční hodnotu x0 ≥ 0 definováno na celém intervalu [0, ∞)
a platí pro něho
lim
t→∞
x(t) =



K 1 −
E
r
, E < r,
0, E > r.
78 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Pokud E = r, oba kořeny (5.61) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene
λ1,2 = 0. Obecné řešení lineární rovnice (5.60) je v tomto případě rovno
y(t) = A + Bt,
takže z transformačního vztahu (5.55) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze (5.59) je
x(t) =
K
r
B
A + Bt
=
K
r
1
D + t
.
Hodnota konstanty D nyní je D =
K
rx0
, takže řešení úlohy (5.59) je
x(t) =
Kx0
K + rx0t
.
Tato funkce je také při libovolném x0 ≥ 0 definována na celém intervalu [0, ∞) a platí pro ni
lim
t→∞
x(t) = 0.
Z rozboru řešení úlohy (5.59) vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení x = x(t)
úlohy (5.59) je kladné pro všechna t ≥ 0) v případě E < r. Na rozdíl od předchozího modelu
(5.54) však i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném
čase. Jinak řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným
omezením úlovku, může dojít ke katastrofickému vývoji — rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí
zpětné vazby, tj. omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější.
Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem (5.59) za situace, kdy velikost populace
ryb je na limitní hodnotě
x∗
= K 1 −
E
r
.
Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven h = Ex∗. Tento úlovek lze chápat jako
závislý na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci
h = h(E) = EK 1 −
E
r
.
To je konkávní kvadratická funkce, která nabývá svého maxima pro E = Emax = 1
2 r. Maximální
úlovek za jednotku času je tedy
hmax = h(Emax) =
1
4
rK.
To je stejný výsledek jako (5.58), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku
času popsaného modelem (5.54). Řešení úlohy (5.59) s úsilím E = Emax = 1
2r je znázorněno
na obrázku 5.5 vpravo dole.
Optimalizace udržitelného rybolovu
Nyní můžeme řešit problém optimalizace rybolovu. Vnitřní koeficient růstu populace ryb je
pro konkrétní druh konstanta, tu ovlivnit nelze. Úživnost prostředí však lze měnit, například
eutrofizací příslušné vodní nádrže (přikrmováním ryb). V takovém případě můžeme počáteční
5.9. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 79
velikost x0 považovat za kapacitu přirozeného prostředí. Zvyšování úživnosti prostředí ale
něco stojí. Předpokládejme, že náklady na eutrofizaci rybníka, které zvýší jeho úživnost na
hodnotu K, jsou vyjádřeny funkcí n(K). Cenu ulovených ryb při intenzitě h označíme c(h) a
náklady na něho označíme l(h). Zisk z rybolovu je tedy roven c(h) − l(h) − n(K).
Maximální udržitelný rybolov má intenzitu h = 1
4rK. Chceme-li tedy maximalizovat zisk,
hledáme maximum funkce
f(K) = c 1
4rK − l 1
4rK − n(K)
za podmínky
x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
To se ovšem snáze řekne, než udělá; funkce c a n totiž nemusí být známy.
Uvedené modely diskutovali Beddington a May v článku
Beddington, J. R., May, R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating
environment. Science. 1977, vol. 197, p. 463–465.
Přestože se jedná o modely velice jednoduché, přinášejí důležitý vhled do problematiky řízení
využívání obnovitelných zdrojů.
5.9 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru
Seriózní modely Vesmíru jako celku jsou konstruovány v rámci obecné teorie relativity. Ovšem
již Newtonovy zákony (a tedy středoškolská fyzika) umožňují jistý vhled do vývoje Vesmíru,
zejména mohou ukázat význam jeho současné hustoty pro jeho další osud.
Budeme si tedy představovat, že Vesmír je umístěn v klasicky nekonečném euklidovském
trojrozměrném prostoru. Vesmír sám nemůže být nekonečný, nemůže tento hypotetický absolutní
prostor rovnoměrně vyplnit. To snadno nahlédneme, pokud se za bezoblačné noci a
mimo městské osvětlení podíváme na oblohu. Uvidíme tmu a hvězdy. Kdyby byl Vesmír nekonečný,
v každém směru by náš pohled nakonec na nějakou hvězdu narazil a noční obloha
by celá zářila jako polední slunce. Uvedený argument pro konečnost Vesmíru však není úplně
přesvědčivý – mohla by v něm být nějaká mezihvězdná nebo mezigalaktická mračna, která
vzdálenější hvězdy zastíní; nebo by světlo mohlo během dlouhé cesty Vesmírem zestárnout a
přestat svítit. Avšak dalším argumentem pro konečnost Vesmíru může být existence gravitačního
zákona. V nekonečném Vesmíru by se v každém směru nacházelo nekonečné množství
hmoty a gravitační působení těchto hmot na jakékoliv těleso by se vzájemně vyrušila. Pokud
tedy chceme zůstat v přehledném světě klasické fyziky, tj. ve světě, v němž působí obecné
Newtonovy zákony pohybu i zákon gravitační, musí hmotný vesmír (což je z pohledu novověké
materialistické přírodovědy celý Vesmír) být konečný, byť se nachází v nekonečném
absolutním prostoru.
Z prostorové omezenosti Vesmíru plyne také skutečnost, že nemůže být neproměnný v čase;
čas si v souladu s newtonovskou fyzikou představujeme jako rovnoměrně plynoucí nezávisle
na jakémkoliv procesu, tedy jako jednorozměrný euklidovský prostor. Konečný Vesmír nemůže
mít stále stejnou rozlohu – gravitační síla by totiž každou částici přitahovala do těžiště
Vesmíru a ten by se postupně zhroutil a vytvořil nějaké těleso obrovské hustoty. O trvání
Vesmíru tato úvaha ještě nic neříká: Vesmír mohl mít počátek a při něm dostat nějaký impuls,
který způsobuje jeho neustálé rozpínání až po úplné „vyvanutí ; nebo mohl být na
80 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
počátku veliký a postupně se smršťuje; žádný počátek ani konec nemusí mít, jen se v průběhu
času nějak periodicky nebo neperiodicky mění a podobně. Také proto chceme vývoj Vesmíru
nějak modelovat. Modelovaný Vesmír bude homogenní (v každém místě stejný) a izotropní
(v každém směru stejný); to celkem dobře odpovídá pozorování na dostatečně velké prostorové
škále. K tomu budeme ještě předpokládat, že platí zákon zachování hmoty a přírodní
zákony, zejména zákon gravitační, jsou na čase nezávislé, jsou věčné.
Model Vesmíru je tedy postaven na předpokladech:
(i) Vesmír je homogenní koule o poloměru R > 0.
(ii) Poloměr Vesmíru se v čase mění, R = R(t). Současný poloměr Vesmíru označíme R0.
(iii) Vesmír má konstantní hmotnost M; samozřejmě je M > 0.
(iv) V celém Vesmíru platí Newtonův gravitační zákon a gravitační konstanta G > 0 nezávisí
na čase.
Z astronomických pozorování je známo, že se Vesmír rozpíná; čím jsou galaxie od sebe vzdálenější,
tím rychleji se od sebe vzdalují. Změnu velikosti Vesmíru, tedy derivaci jeho poloměru
R′(t), budeme proto považovat za úměrnou jeho velikosti. Spolu s předpokladem (ii) tak pro
poloměr Vesmíru dostáváme počáteční podmínky
R(0) = R0, R′
(0) = HR0, (5.63)
kde H > 0 je Hubbleova konstanta2.
Uvažujme částici (galaxii) o hmotnosti µ na „hranici Vesmíru , tj. ve vzdálenosti R od
jeho středu. Podle předpokladů (i), (iii) a (iv) na ni působí gravitační síla orientovaná do
středu Vesmíru, tedy síla daná vztahem
F = −G
Mµ
R2
,
která částici uděluje zrychlení R′′. Podle zákona síly je F = µR′′, tedy
R′′
= −G
M
R2
. (5.64)
Diferenciální rovnice druhého řádu (5.64) spolu s počátečními podmínkami (5.63) představuje
model vývoje velikost Vesmíru.
Označme ̺0 současnou hustotu Vesmíru. Podle předpokladu (iii) platí M = 4
3πR3
0̺0. Dále
zavedeme bezrozměrný poloměr Vesmíru r a bezrozměrný čas τ vztahy
r =
R
R0
, τ = Ht. (5.65)
Pak pravá strana rovnice (5.64) je rovna
−G
M
R2
= −
G
(R0r)2
4
3
πR3
0̺0 = −
4πGR0̺0
3r2
,
2
Přesněji řečeno, současná hodnota Hubbleovy konstanty; tento parametr by se mohl v průběhu vývoje
Vesmíru měnit.
5.9. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 81
její levá strana je
d2R
dt2
=
d
dτ
d
dτ
R0r
dτ
dt
dτ
dt
= R0H2 d2r
dτ2
,
takže rovnice (5.64) se transformuje na rovnici
d2r
dτ2
= −
4πG̺0
3H2
1
r2
.
Rozměr veličiny
H2
G
v jednotkách SI je kg m−3, což znamená, že tato veličina vyjadřuje
hustotu hmotnosti. To nás opravňuje k zavedení kritické hustoty vztahem
̺krit =
3H2
8πG
. (5.66)
Při tomto označení rovnici (5.64) přepíšeme do tvaru
d2r
dτ2
= −
1
2
̺0
̺krit
1
r2
. (5.67)
Dále platí
dr
dτ
=
d
dt
R
R0
dt
dτ
=
1
HR0
dR
dt
a τ = 0 právě tehdy, když t = 0, takže podle druhé rovnosti (5.63) je
dr
dτ
(0) =
1
HR0
dR
dt
(0) =
1
HR0
HR0 = 1.
Dostáváme tak počáteční podmínky pro funkci r ve tvaru
r(0) = 1,
dr
dτ
(0) = 1. (5.68)
Transformace (5.65) a označení (5.66) tedy převádí počáteční úlohu (5.64), (5.63) na úlohu
(5.67), (5.68).
Pro zjednodušení zápisu ještě označíme
σ =
̺0
̺krit
a rovnici (5.67) přepíšeme ve tvaru
d2r
dτ2
= −
σ
2r2
. (5.69)
Řešení úlohy (5.69), (5.68)
Explicitní autonomní rovnici druhého řádu (5.69) můžeme podle 4.2.1 převést na implicitní
rovnici prvního řádu ve tvaru
dr
dτ
2
= 2 −
σ
2r2
dr =
σ
r
+ const.
82 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Z počátečních podmínek (5.68) dále plyne, že
1 =
dr
dτ
(0)
2
=
σ
r(0)
+ const = σ + const,
tj. že integrační konstanta je rovna 1 − σ. Úloha (5.69), (5.68) se tedy transformuje na úlohu
dr
dτ
2
=
σ + (1 − σ)r
r
, r(0) = 1. (5.70)
V okolí počáteční hodnoty je derivace funkce r podle druhé rovnosti v (5.68) blízká hodnotě
1, zejména tedy
dr
dτ
> 0 a rovnici můžeme vyřešit vzhledem k derivaci. Úlohu (5.69), (5.68)
tedy transformujeme na tvar
dr
dτ
=
σ + (1 − σ)r
r
, r(0) = 1. (5.71)
Z první rovnosti a z (5.69) vidíme, že
dr
dτ
> 0,
d2r
dτ2
< 0
pro všechna přípustná r, tj. pro r > 0 v případě σ ≤ 1 a pro r ∈ 0,
σ
1 − σ
v případě σ > 1.
To znamená, že řešení úlohy (5.71) je rostoucí konkávní funkce. Tento výsledek můžeme interpretovat
tak, že poloměr Vesmíru se v průběhu času zvětšuje, Vesmír expanduje, a rychlost
expanze se přitom snižuje.
Rovnice v (5.71) je autonomní, řešení úlohy je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností
τ =
r
1
x
σ + (1 − σ)x
dx.
Substituce
u2
=
x
σ + (1 − σ)x
, tj. x =
σu2
1 − (1 − σ)u2
, dx =
2σu
(1 − (1 − σ)u2)2 du
převede integrál na pravé straně rovnosti na integrál z racionální funkce
I(r) = 2σ
r
σ+(1−σ)r
1
u
1 − (1 − σ)u2
2
du. (5.72)
Řešení úlohy (5.69), (5.68) je tedy implicitně dáno rovností
τ = I(r), (5.73)
kde výraz I(r) je integrál zavedený rovností (5.72). Nyní musíme rozlišit tři případy podle
hodnoty parametru σ, poměru aktuální hustoty Vesmíru k hustotě kritické.
5.9. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 83
1. σ = 1, tj. ̺0 = ̺krit
V tomto případě se integrál v (5.72) redukuje na tabulkový integrál
I(r) = 2
√
r
1
u2
du = 2
3
√
r3 − 1 .
Po dosazení do rovnosti (5.73) můžeme řešení úlohy (5.69), (5.68) vyjádřit ve tvaru
r(τ) =
3 3
2τ + 1
2
.
Tato funkce je definována pro libovolné τ, její první derivace
dr
dτ
=
1
3 3
2 τ + 1
je definována pro τ > −2
3. Dále platí
lim
τ→− 2
3
+
r(τ) = 0, lim
τ→∞
r(τ) = ∞, lim
τ→− 2
3
+
dr
dτ
(τ) = ∞, lim
τ→∞
dr
dτ
(τ) = 0.
Odtud a z obecné úvahy provedené za (5.71) plyne, že úplné řešení úlohy (5.67), (5.68) je
definováno na intervalu (−2
3, ∞), funkce r je na tomto intervalu kladná, rostoucí a konkávní.
V čase τ = −2
3 má funkce r singularitu (nulovou hodnotu a nekonečnou derivaci) — poloměr
Vesmíru byl nulový a rychlost jeho rozpínání nekonečná. Tento čas tedy můžeme považovat
za okamžik vzniku Vesmíru, hodnota αp = 2
3 vyjadřuje stáří Vesmíru. Stáří Vesmíru můžeme
podle druhého z transformačních vztahů (5.65) vyjádřit také v časových jednotkách jako
Ap =
αp
H
=
2
3H
.
Je-li tedy současná hustota Vesmíru rovna hustotě kritické, pak se Vesmír vyvíjí od počáteční
singularity (nulového poloměru) v čase Ap před současností tak, že jeho poloměr roste
neomezeně v prostoru i v čase. Rychlost jeho růstu přitom klesá z nekonečna (počáteční exploze,
big bang) k nule, tj. v nekonečném čase se rozpínání Vesmíru zastaví. Takový Vesmír
se nazývá parabolický.
2. σ < 1, tj. ̺0 < ̺krit
V tomto případě je
I(r) =
σu
(1 − σ) 1 − (1 − σ)u2
−
σ
2 (1 − σ)3
ln
1 +
√
1 − σu
1 −
√
1 − σu
r
σ+(1−σ)r
u=1
=
=
σr + (1 − σ)r2 − 1
1 − σ
−
1
2 (1 − σ)3
ln
1 −
√
1 − σ σ + (1 − σ)r + (1 − σ)r
1 +
√
1 − σ σ + (1 − σ)r − (1 − σ)r
84 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
a tato funkce je definována pro libovolné r ≥ 0. Zejména platí
I(0) = −
1
1 − σ
1 +
1
2
√
1 − σ
ln
1 −
√
1 − σ
1 +
√
1 − σ
.
Označme pravou stranu této rovnosti −αh. Pak platí
lim
τ→−αh+
r(τ) = 0, (5.74)
což znamená, že v čase −αh měl Vesmír nulový poloměr. Tento čas lze považovat za počátek
Vesmíru, takže jeho stáří nyní vyjádříme výrazem
Ah =
αh
H
=
1
(1 − σ)H
1 +
1
2
√
1 − σ
ln
1 −
√
1 − σ
1 +
√
1 − σ
.
Již víme, že funkce r = r(τ) je rostoucí a konkávní. Dále je
lim
r→∞
I(r) = ∞
a tedy také
lim
τ→∞
r(τ) = ∞.
Z vyjádření derivace v (5.71), z předchozí rovnosti a z (5.74) dále plyne
lim
τ→∞
dr
dτ
(τ) = lim
r→∞
σ
r
+ 1 − σ =
√
1 − σ, lim
τ→−αh+
dr
dτ
(τ) = lim
r→0+
σ
r
+ 1 − σ = ∞.
Je-li tedy současná hustota Vesmíru menší než hustota kritické, pak se Vesmír opět vyvíjí
od počáteční singularity v čase An před současností tak, že jeho poloměr roste neomezeně
v prostoru i v čase. Rychlost jeho růstu přitom klesá z nekonečné k jisté kladné hodnotě.
V tomto případě se tedy rozpínání Vesmíru nezastaví ani v nekonečném čase. Takový Vesmír
se nazývá hyperbolický.
3. σ > 1, tj. ̺0 > ̺krit
V tomto případě je
I(r) =
σ
(σ − 1)3
arctg u
√
σ − 1 −
σu
(σ − 1) 1 + (σ − 1)u2
r
σ−(σ−1)r
u=1
=
=
1 − σr − (σ − 1)r2
σ − 1
+
σ
(σ − 1)3
arctg r(σ − 1)σ − (σ − 1)r − arctg
√
σ − 1 .
Tato funkce je definována pro r ∈ 0,
σ
σ − 1
. Označme pro stručnost rm =
σ
σ − 1
. Platí
I(0) =
1
σ − 1
1 −
σ arctg
√
σ − 1
√
σ − 1
< −2
3,
0 < lim
r→rm−
I(r) =
1
σ − 1
1 +
σ
√
σ − 1
π
2
− arctg
√
σ − 1 < ∞;
5.9. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 85
platnost první nerovnosti ověříme tak, že podle de l’Hôpitalova pravidla vypočítáme
lim
σ→0+
I(0) = lim
σ→0+
√
σ − 1 − σ arctg
√
σ − 1
(σ − 1)3
= −2
3
a dále
d
dσ
I(0) =
1
2(σ − 1)2
(2 − σ)
arctg
√
σ − 1
√
σ − 1
− 1 < 0
pro σ > 0. Označme dále
αe = −I(0) a ωe = lim
r→rm−
I(r).
Pak je αe > 0, ωe > 0, r(−αe) = 0, r(ωe) = rm a podle první rovnosti v (5.71) je
lim
τ→−αe+
dr
dτ
(τ) = lim
r→0−
σ
r
+ 1 − σ = ∞, lim
τ→ωe−
dr
dτ
(τ) = lim
r→rm−
σ
r
+ 1 − σ = 0.
To znamená, že funkce r roste z nulové hodnoty v čase τ = −αe ke konečné hodnotě rm
v konečném čase τ = ωe a její derivace přitom klesá z nekonečna k nule. Rovnost (5.73) tedy
nepopisuje úplné řešení úlohy (5.69), (5.68).
Řešení úlohy (5.69), (5.68) se σ > 1 prodloužíme za bod ωe tak, že budeme řešit rovnici
(5.69) s novou počáteční podmínkou
t(ωe) = rm,
dr
dτ
(ωe) = 0. (5.75)
Pro zjednodušení zápisu nejprve posuneme počátek času do bodu ωe, tj. zavedeme novou
nezávisle proměnnou s vztahem s = τ − ωe. Pak je
dτ
ds
= 1,
d2τ
ds2
=
d
dτ
dr
dτ
dτ
ds
dτ
ds
=
d2r
dτ2
= −
σ
2r2
.
Úloha (5.69), (5.75) se tedy transformuje na úlohu
d2r
ds2
= −
σ
2r2
, r(0) = rm,
dr
ds
(0) = 0. (5.76)
Uvažujme nyní funkci q nezávisle proměnné s definovanou vztahem q(s) = r(−s). Pak je
q′(s) = −r′(−s), q′′(s) = r′′(−s), takže funkce q splňuje vztahy
d2q
ds2
= −
σ
2q2
, q(0) = rm,
dq
ds
(0) = 0.
Funkce q = q(s) je řešením stejné počáteční úlohy (5.76) jako funkce r = r(s). Z jednoznačnosti
řešení úlohy (5.76) nyní plyne, že r(s) = q(s) = r(−s), tedy že řešení této úlohy je
funkce sudá.
Z provedené úvahy můžeme usoudit, že řešení r = r(τ) úlohy (5.69), (5.68) se σ > 1 lze
prodloužit na interval [ωe, 2ωe + αe) a přitom bude platit r(ωe + s) = r(ωe − s) pro každé
s ∈ (0, αe + ωe), tj. graf funkce r bude symetrický kolem osy τ = ωe.
86 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Úplné řešení r = r(τ) úlohy (5.69), (5.68) se σ > 1 je tedy definováno na intervalu
(−αe, 2ωe + αe). Přitom
r(−αe) = 0 = r(2ωe + αe), r(ωe) = rm,
funkce r je konkávní, rostoucí na intervalu (−αe, ωe] a klesající na intervalu [ωe, 2ωe + αe).
Dostáváme tak stáří Vesmíru, dobu jeho expanze a dobu jeho existence
Ae =
αe
H
, Ωe =
ωe
H
, a Te =
2(αe + ωe)
H
(v uvedeném pořadí).
Je-li současná hustota Vesmíru větší než hustota kritická, pak Vesmír expanduje z počáteční
singularity v čase Ae před současností. Jeho expanze se zpomaluje, v jistém okamžiku
v budoucnosti se zastaví a vesmír se bude smršťovat až do singularity konečné (big crunch).
Doba trvání tohoto procesu je Te. Takový Vesmír se nazývá eliptický.
Počáteční úlohu (5.70) pro implicitní diferenciální rovnici jsme řešili vyřešením rovnice
vzhledem k derivaci, tj. převedením implicitní rovnice na explicitní. Alternativně bychom
úlohu (5.70) mohli řešit bezprostředně metodou 2.1.1 pro řešení implicitní rovnice. Řešení
bychom pak dostali v parametrickém tvaru.
Povšimněme si, že znalost gravitační konstanty G, současné hodnoty Hubbleovy konstanty
H a současné hustoty Vesmíru ̺0 umožňuje odhadnout stáří Vesmíru a v případě Vesmíru
eliptického i dobu jeho trvání. O velikosti Vesmíru však studovaný model neříká nic; tu lze
odhadovat až při použití rovnic obecné relativity.
Skutečnost, že expanzi Vesmíru a Hubbleovu zákonu vzdalování galaxií, obvykle vysvětlovaným na
základě Einsteinových rovnic obecné relativity, lze v hlavních rysech porozumět již v rámci Newtonovy
teorie gravitace, ukázali angličtí kosmologové Arthur Milne (1896–1950) a William McCrea (1904–
1999):
Milne E.A. A Newtonian Expanding Universe. Quaterly Journal of Mathematics 1934,
vol. 5, p. 64–72.
McCrea W.H., Milne E.A. Newtonian Universes and the Curvature Space. Quaterly
Journal of Mathematics 1934, vol. 5, p.73–80
Za zmínku stojí také to, že E. A. Milne výrazně preferoval nekonečný vesmír, který dává prostor
neomezenému počtu evolučních experimentů, které Bůh (nebo božská bytost) provádí. Tomuto tématu
věnoval např. knihu
Milne E.A. Modern Cosmology and the Christian Idea of God. Clarendon, Oxford 1952.