Domáca úloha M5858 č. 8
1. Singulárne body autonómnych systémov
Nájdite singulárne body lineárneho diferenciálneho systému (všeobecne
nehomogénneho)
x = Ax + b; x, b ∈ R2
.
Prostredníctvom Jacobiho matice určte o aký singulárny bod sa jedná v
prípade, že matica tohto systému je regulárna. Určte vektorové pole na nulklinách
u týchto systémov.
α)
x1 = 3x1 − 18x2
x2 = 2x1 − 9x2
čo je možné ekvivalentne prepísať v maticovej notácii
x1
x2
=
3 −18
2 −9
x1
x2
, tj. A =
3 −18
2 −9
β)
A =
−1 2
−1 1
γ)
A =
−7 9
−1 −1
δ)
A =
1 −5
2 −1
ε) Transformujte súradnice tohto lineárneho nehomogénneho dif. systému
tak, aby sa singulárny bod previedol do počiatku súradnej sústavy.
A =




2 −1 1 −1
2 −1 0 −3
3 0 −1 1
2 2 −2 5



 , b = (−1, −2, 3, 6)T
2. Modifikácia základného rastového modelu
Uvažujme rastový model populácie N = N(t) pre t ≥ 0 v tvare
N (t) = µ(N)N(t).
Funkcia µ predstavuje špecifickú mieru rastu nejakej populácie N.
a) Vymyslite funkciu µ tak, aby spĺňala vami vopred dané predpoklady,
ktoré by naviac mohli byť realistické (tj. skutočne by sa tak mohla istá
populácia správať!).
b) Pokúste sa nájsť analytickú funkciu µ tak, aby spĺňala vami dané predpoklady
z bodu a).
V oboch prípadoch potom urobte kvalitatívnu analýzu modelu rozborom
stacionárnych bodov a načrtnite fázový portrét pre tento model.
HINT:
Postupujte obdobne ako u rastového modelu klimaxovej populácie preberanom
na cvičeniach.
Mgr. Milan Bačík
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.