Domáca úloha M5858 č. 9 Nájdite singulárne body lineárneho diferenciálneho systému (obecne ne- homogénneho) xœ   Ax b; x,b b R2 , a za pomoci Jacobiho matice určte o aký singulárny bod sa jedná v prípade, že matica tohto systému je regulárna. 1. xœ 1   3x1  18x2 xœ 2   2x1  9x2 čo je možné ekvivalentne prepísať v maticovej notácii Œ xœ 1 xœ 2 ‘   Œ 3 18 2 9 ‘ Œ x1 x2 ‘ , tj. A   Œ 3 18 2 9 ‘ 2. A   Œ 1 2 1 1 ‘ 3. A   Œ 7 9 1 1 ‘ 4. A   Œ 1 5 2 1 ‘ 5. Transformujte súradnice tohto lineárneho nehomogénneho dif. systému tak, aby sa singulárny bod previedol do počiatku súradnej sústavy. A   ’ – – – ” 2 1 1 1 2 1 0 3 3 0 1 1 2 2 2 5 “ — — — • ,b   ˆ1,2,3,6 T Rozhodnite o existencii a jednoznačnosti riešenia systému dif. rovníc(obecne nelineárnych), určte nulkliny, typ singulárnych bodov a načrtnite ich fázový portrét. 1. xœ   xy yœ   y2  6x2 y x4 2. xœ   4  2y yœ   12  3x2 3. xœ   λx2 yœ   by, λ,b e 0 4. xœ   xy yœ   x2 y2 HINT: Na znázornenie fázového portrétu pre tento systém si pomôžte stanovením definičného oboru rovnice trajektórie určenej vzťahom: yœˆx   dy dx   dy dt dx dt   x2 y2 xy . 5. Nech funkcia x je riešením počiatočnej úlohy xœ   x, xˆα   β. Pre aké parametre α a β reálne, je riešenie x tejto rovnice klesajúce, rastúce, periodické? HINT: Nie je nutné rovnicu riešiť(často ani nedokážeme!). Stačí si nakresliť funkciu zostavenú z pravej strany našej diferenciálnej rovnice, tj. y   x. Odtiaľ je zrejmé, že riešenie x tejto rovnice klesá pre β d 0 a naopak rastie pre β e 0, čo je zrejmé z grafu y   x. V prípade β   0 je riešenie x ¡ 0. Dokážte, že parameter α nehrá pre asymptotiku riešenia x, žiadnu rolu. Vysvetlite, čím je táto skutočnosť spôsobená. Položte si otázku! Bolo by možné postupovať obdobne i v prípade, že uvažovaná rovnica by mala tvar xœ   x t? Uvažujme model spoločenstva dravec-korisť s vnútrodruhovou kon- kurenciou. Zaveďme označenie: N1 ¥ veľkosť populácie koristi N2 ¥ veľkosť populácie dravca 1 ¥ špecifická miera rastu populácie koristi 2 ¥ špecifická miera mortality populácie dravca α ¥ miera vnútrodruhovej konkurencie koristi γ1 ¥ špecifická miera ničenia populácie koristi dravcom κ ¥ efektívnosť premeny zničenej koristi na populáciu dravca Predpokladáme, že všetky konštanty sú kladné a nech γ2 ¢  κγ1. Rovnako ako u klasického Lotka-Volterrovho modelu dravec-korisť sa predpokladá, že dravec a korisť žijú izolovane od ostatných druhov a že dravec sa živí výhradne korisťou. Keby bol od koristi izolovaný, postupne by vymrel, tj. 2 e 0. Tiež predpokladáme, že korisť má dostatočné množstvo potravy na prežitie, tj. 1 e 0. Potom model spoločenstva dravec-korisť s vnútrodruhovou konkurenciou má tvar Nœ 1   N1ˆ 1  αN1  γ1N2, Nœ 2   N2ˆ 2 γ2N1. ZADANIE: Rozhodnite o existencii a jednoznačnosti riešenia tohoto systému, určte nulkliny/sing. body, typ singulárnych bodov a načrtnite fázový portrét za predpokladu: α 2 e 1γ2. Pokúste sa túto situáciu zachytenú na fázovom portréte interpretovať na biologickej úrovni. Preveďte lineárny systém xœ   ax by yœ   cx dy do polárnych súradníc (polárne súradnice xˆt   ρˆt sinϕˆt, yˆt   ρˆt cosϕˆt). Pokúste sa stanoviť typ singulárneho bodu  0,0¥ rozborom všetkách možností, ktoré môžu nastať pri rôznych voľbách konštant a,b,c,d b R. Poznámka. V prípade, že c   b a d   a, systém má singulárny bod typu OHNISKO. 1. Stanovte typ singulárneho bodu systému: xœ   x2  y2 yœ   2xy HINT: Preveďte systém do polárnych súradníc a následne vypočítajte rovnicu trajektórie, ktorá ukáže typ singulárneho bodu (sing. bod je typu dipól). Transformujte súradnice tohto lineárneho nehomogénneho dif. systému tak, aby sa singulárny bod previedol do počiatku súradnicovej sústavy a následne určte typ tohto singulárneho bodu. 2. xœ   x  2y  1 yœ   5x  y  23 3. xœ   x y  2 yœ   2x 3y  1 4. Nakreslite fázový portrét pre systém xœ   y yœ   x2 HINT: Vypočítajte rovnicu trajektórie a určte jej definičný obor. 5. Dokážte, že singulárny bod  0,0¥ je izolovaný a následne určte jeho typ. a) xœ   exy  sinx  1 yœ   lnˆ1  x2  x y b) xœ   x  y 1 yœ    sinx HINT: Na príklad 5. aplikujte vetu o variačnej matici(linearizácia všeobecného systému pomocou Jacobiho matice vyčíslenej v singulárnom bode)! 6. Rozhodnite o existencii a jednoznačnosti riešenia, určte nulkliny, singulárne body, smerové vektorové pole a načrtnite tvar trajektórii systému xœ   y yœ   x3 4xy Ďalej dokážte, že množiny P1 ¢ y   x2 2 º2 P2 ¢ y   x2 2 º2 sú invariantné, na druhú stranu ukážte, že množina P3 ¢ y   0 invariantná nieje. HINT: Pre množinu P3 stačí ukázať, že po dosadení do systému za y   0 je pre x b R systém nenulový. Množiny Pi, i   1,2 sa dokážu analogicky. Stači ukázať, že ˆy  kx2  œ   yœ  2kxxœ   x3 4xy  2kxy   0 pre y   kx2 & k1,2   1 " º2 2 . j Poznámka: Tento príklad ukazuje, ako je niekedy možné z tvaru kriviek nulklín odhadnúť všeobecný tvar invariantnej množiny, ktorá následným dosadením do systému vygeneruje podmienky kladené na koeficienty invariantnej množiny(tj. množina v ktorej ¦každá trajektória ktorá začne, alebo sa do tejto množiny dostane, už ju neopustí pre čas t  "ª). Nájdite prvých pár členov Picardovej postupnosti postupných aproximácii pre systém: xœ 1   3x1  18x2 ¢  Fˆx,y, xœ 2   2x1  9x2 ¢  Gˆx,y, s počiatočnými podmienkami x1ˆ0   1, x2ˆ0   2. HINT: Použite rekurentné Picardove formulky pre system: Xn1ˆt   x0 R t x0 Fˆxnˆs,ynˆs,sds, Yn1ˆt   y0 R t y0 Gˆxnˆs,ynˆs,sds. Zamyslite sa nad tým, ako by sa hľadala Picardova postupnosť postupných aproximácii pre rovnicu druhého rádu: axœœ bxœ cx   t, a,b,c e 0, spĺňajúca počiatočné podmienky xˆ0   0   xœˆ0. HINT: Preveďte túto rovnicu na systém za pomoci substitúcie y   xœ a riešte rovnako ako v predchádzajúcom príklade. Hodně štěstí u zkoušek. , Mgr. Milan Bačík doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.