Domáca úloha M5858 č. 4
Stanovte typ diferenciálnych rovníc, tj. separovateľná, ..., exaktná/int.faktor,
Clairautova a nájdite ich obecné/singulárne riešenie.
1.
y = (y − 1) exp(y ).
2.
y = exp(
xy
y
).
3.
xy − y = lny .
4.
y =
2x cos2
y
x2 sin 2y − sin y
.
5.
y =
y cos x − x sin y
x2
2
cos y − tgy − sin x
.
6.
x
x2 − y2
dx =
y
x2 − y2
+ 1 dy.
7.
y + xy =
yy
1 + y2
.
8.
x2
y2
y + xy3
= 1.
9.
y + y + y2
ex
= 0.
10.
y cos x = (y + 2 cos x) sin x.
11.
2ydx + (y2
− 4x)dy = 0.
12.
(2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy = 0.
13.
y = −
2xy2
3x2y + 4
.
HINT: Pokúste sa nájsť funkciu R = R(x) (R = R(y)) ako integračný
faktor, príslušnej ”kvázi”exaktnej rovnice.
Postup: Zvoľte si ľubovoľnú závislosť funkcie R a prenásobte ňou príslušné
funkcie F a G tejto rovnice zapísanej v tvare jedna-formy (vo
vektorovom tvare). Nové funkcie F(x, y) := F(x, y)R(x/y), G(x, y) :=
G(x, y)R(x/y) musia spĺňať podmienku pre existenciu kmeňovej funkcie
Φ(x, y) : dΦ = Fdx+Gdy plynúcej zo Schwartzovej vety (o zámene
parciálnych derivácií pre spojité funkcie), tj.
∂F(x,y)
∂y = ∂G(x,y)
∂x
Táto identita vygeneruje diferenciálnu rovnicu pre neznámu funkciu
R = R(?). Jej riešenie (ak je možné ho explicitne odvodiť) je potom
náš integračný faktor prevádzajúci pôvodnú rovnicu na exaktnú!
pozn. Niekedy je možné odvodiť int. faktor v oboch prípadoch závislosti
premenných funkcie R. Potom záleží už len na našej schopnosti vyriešiť
integrály, ktoré sa touto cestou objavia.
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.
Mgr. Milan Bačík