Domáca úloha M5858 č. 6
Nájdite tvar partikulárneho riešenia príslúchajúcemu k daným lineárnym
diferenciálnym rovniciam s konštantnými koeficientami n−tého rádu (iba všeobecne
bez určenia koeficientov).
1.
y + 2y = 2x3
2.
y + 3y = xe−3x
3.
y − 4y + 4y = 1 + x2
e2x
4.
y − 4y = x2
+ 4e2x
5.
y + y − 6y = xe−2x
+ e−3x
6.
y − 3y = 6x + e3x
sin x
7.
y + y = (x2
+ 1) sin x
8.
y − 6y + 13y = 13e3x
cos 2x
HINT: Na riešenie sa aplikuje Metóda neurčitých koeficientov (Veta
o špeciálnej pravej strane). Alternatívne sa veta môže vysloviť nasledovne:
a) Pre rovnice s pravou stranou v tvare
f(x) = Qm(x)eαx
kde Qm(x) = b0 + b1x + ... + bmxm
, je partikulárne riešenie tvaru
Y0 = xρ
Qm(x)eαx
kde Qm(x) je neznámy polynóm rovnakého stupňa ako polynóm Qm(x).
Číslo ρ = 0 v prípade, ak α nie je koreňom charakteristickej rovnice.
Ak α je koreň charakteristickej rovnice, potom ρ je rovné násobnosti
tohto koreňa.
b) Pre rovnice s pravou stranou v tvare
f(x) = eαx
(P(x) cos βx + Q(x) sin βx)
je partikulárne riešenie v tvare
Y0 = xρ
eαx
(Pm(x) cos βx + Qm(x) sin βx),
kde ρ = 0 , ak α +βi nie je koreň charakteristickej rovnice. V opačnom
prípade je ρ rovné násobnosti koreňa α + βi. Polynómy Pm, Qm sú
rovnakého stupňa m, kde m je rovné väčšiemu zo stupňa polynómov
P, Q.
Neurčité koeficienty funkcie Y0 v oboch prípadoch získame tak, že partikulárne
riešenie Y0 dosadíme do danej rovnice a porovnáme strany!
Nájdite riešenie Eulerovej diferenciálnej rovnice.
1.
x2
y − 2xy + 2y = 0
2.
x3
y + xy − y = 0
3.
x4
y(4)
+ 6x3
y + 15x2
y + 9xy + 16y = 0
4.
x3
y + 6x2
y + 6xy = 12ln2
x
HINT: Na tento typ rovnice najskôr aplikujte substitúciu x = et
, ktorá
príslušnú rovnicu prevedie na lineárnu s konštantnými koeficientami, tj.
y (x) =
dy
dx
dt
dt
=
dy
dt
dt
dx
= ˙y(t)
1
x
y (x) = ... =
1
x2
(¨y(t) − ˙y(t))
.
.
.
doc. RNDr. Zdeněk Pospíšil, Dr.
Mgr. Milan Bačík