Zadání příkladů - cvičení č.l - 15-9-23 Příklad č.l (porovnání dvou typů modelů) (přednáška) Model rozděleni pravděpodobností je modelem náhodné proměnné X, např. (1) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X šířka dolní čelisti, nebo (2) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen. Statistický model je modelem náhodné proměnné Y\X (Y kauzálně závisí na X), např. (1) model závislosti náhodné proměnné Y šířka dolní čelisti na proměnné X pohlaví, nebo (2) model závislosti náhodné proměnné Y hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen na proměnné X BMI. Všimněme si, že náhodné proměnné označujeme X anebo Y podle toho, jaký model je charakterizuje. Příklad č.2 (jednoduchý náhodný výběr) V jednoduchém náhodném výběru o rozsahu n z populace s konečným rozsahem N má každý prvek stejnou pravděpodobnost vybrání. Pokud vybíráme bez vracení (opakování), mluvíme o jednoduchém náhodném výběru bez vraceni (Dalgaard, 2008). Pokud vybíráme s vracením, mluvíme o jednoduchém náhodném výběru s vracením. Mějme množinu M. s N = 10 prvky a chceme z ní vybrat n = 3 prvky (a) bez vracení, (b) s vracením. Kolik máme možností? Jak vypadá jedna takováto možnost, pokud M = {1,2,..., 10}? Zopakujte to samé pro N = 100, n = 30 a množinu M = {1,2,..., 100}. Příklad č.3 (jednoduchý náhodný výběr) Mějme skupinu lidí označených identifikačními čísly (ID) od 1 do 30. Vyberte (a) náhodně 5 lidí z 30-ti bez návratu, (b) náhodně 5 lidí ze 30-ti s návratem a nakonec (c) náhodně 5 lidí ze 30-ti bez návratu, přičemž lidé s ID od 28-mi do 30-ti mají pravděpodobnost vybrání 4x vyšší než lidé s ID od 1 do 27. Příklad č.4 (normální rozdělení) Mějme náhodnou proměnnou X (může to být např. výška postavy desetiletých dívek) a předpokládejme, že tato náhodná proměnná má normální rozdělení s parametry fi (střední hodnota) a a2 (rozptyl), což zapisujeme jako X ~ N(fi,a2), fi = 140.83, a2 = 33.79. Normální rozdělení představuje model rozdělení pravděpodobnosti pro tuto náhodnou proměnnou. Vypočítejte pravděpodobnost Pr(a < X < b) = Pľ(X < b) - PľX < a) = Fx(b) - Fx(a), kde a = - ka, b = + ka, k = 1, 2, 3. Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti, vybarvěte oblast mezi body a a b a popište osy x a y tak, jako je uvedeno na obrázku 1. 120 130 140 150 160 170 120 130 140 150 160 170 120 130 140 150 160 170 vyska (cm) vyska (cm) vyska (cm) Pr(135.02 O, j = 1,2, p G (—1,1) jsou parametry. Potom 6 = (/ii,/12, o"2, o"|, p). Výraz v exponentu můžeme zapsat jako _ 1 / x - /i! \T / of po-i0-2 \ 1 / x _ /ii \ 2 V Ž/ - P2 y V P^i^ of / \V-fJ-2 )' Marginální rozdělení1 jsou X ~ N (pi, o^) a "K ~ a?" (/í2, čt|), p je koeficient korelace2(Viz obrázek 5) Příklad č.15 (dvojrozměrné normální rozdělení) (1) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení a^a*, E) pomocí funkce image() a superponujte ho s konturovým grafem hustoty toho stejného rozdělení pomocí funkce contour(). (2) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení N2(n, S) pomocí funkce persp(). Hustotu rozsekejte na 12 intervalů, kde hodnoty v těchto intervalech budou odpovídat barvám terrain.colors(12). Použijte následující parametry: • Pl = 0, P2 = o, 01 = 1,02 = 1. »P = 0; • Pl = 0, P2 = o, 01 = 1,02 = 1. >P = 0.5; • Pl = 0, P2 = 0, 0"! = 1-2, 02 = 1,P = 0.5 Vzorové řešení je uvedeno na obrázku 5. 1 Marginální rozdělení je rozdělení náhodné proměnné, zde X nezávisle na y a naopak Y nezávisle na X. 2Z tohoto příkladu je zřejmé, že na dostatečný popis dvojrozměrného normálního rozdělení potřebujeme pět parametrů, t.j. střední hodnotu a rozptyl pro marginální rozdělení náhodných proměnných X a Y a korelační koeficient p = p(X,Y) popisující sílu lineárního vztahu X &Y. 6 H! = O, n2 = O, o, = 1, o2 = 1, p = O Hi = O, n2 = O, o, = 1, o2 = 1, p = 0.5 H, = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1.2, p = 0.5 Obrázek 5: Hustoty dvojrozměrného normálního rozdělení při různých parametrech (první řádek -konturový graf; druhý řádek - perspektivní trojrozměrný graf v podobě plochy); čím je p odlišnější od nuly, tím více se kontury liší od kruhů (mění se na elipsy); se zvyšujícím se rozdílem mez o\ a o"2 se zvětšuje rozdíl rozptýlení koncentrických kruhů ve směru jednotlivých os (říkáme, že rozdíl variability proměnných laľse zvětšuje.) Příklad č.17 (standardizované normální rozdělení) Náhodný vektor (X, Y)T má dvojrozměrné normální rozdělení N2 (0, S), kde 0 = (0, 0)T aS - ' 9 s hustotou 0 (x, y) = f (x, y) =-- exp p 1 x2 — 2pxy + y2 kde (x,y)T G IR2, p G (—1,1) jsou parametry, potom 0 = (0,0,1, l,p). Výraz v exponentu můžeme psát jako í ŕ x \ i 1 p \ (x 2\yJ \ p 1/ \y marginální rozdělení jsou obě N(0,1) a p je koeficient korelace. 7 Příklad č. 18 (standardizované normální rozdělení) Nechť náhodnou proměnnou X ~ N(pi, af) je největší výška mozkovny (skuli.pH; v mm) a náhodnou proměnnou Y ~ N(p2,a2) je morfologická výška tváře (face.H; v mm). Nechť X a Y mají dvojrozměrné normální rozdělení s parametry (pi, p2)T a a\ a P Jsou parametry kovarianční matice S. Když od náhodné proměnné X odpočítáme její střední hodnotu p\ a tento rozdíl podělíme odmocninou z rozptylu (o"i), dostaneme náhodnou proměnnou Zx, která má asymptoticky normální rozdělení se střední hodnotou p\ = 0 a rozptylem o\ = 1, což zapisujeme jako Zx ~ N(0,1). Pokud od náhodné proměnné Y odečteme její střední hodnotu p2 a tento rozdíl podělíme odmocninou z rozptylu (o"2), dostaneme náhodnou proměnnou Zy, která má asymptoticky normální rozdělení se střední hodnotou /i2 = 0a rozptylem o\ = 1, což zapisujeme jako Zy ~ ÍV(0,1). Potom (Zx, Zy)t má standardizované dvourozměrné normální rozdělení N2(fi, S) s parametry [i = (0,0)T a o\ = 1, o"2 = 1 a p jsou parametry kovarianční matice S. Příklad č.19 (dvourozměrné normální rozdělení) Simulaci pseudonáhodných čísel z N2(fi, S) můžeme v R vytvořit následujícími způsoby: 1. použitím funkce mvrnorm() z knihovny MASS; 2. použitím funkce rmvnorm() z knihovny mvtnorm 3. použitím funkce rnorm() a následujícího algoritmu: Nechť X1 ~ ÍV(0,1) a X2 ~ ÍV(0,1); potom (Yi, F2)T ~ iV2(/x, S), kde fi = (fiu p2)T je vektor středních hodnot a o\ a a| a p jsou parametry kovarianční matice S, přičemž síla lineárního vztahu Yi a Y2 je daná velikostí a znaménkem p; = aiXi + p± &Y2 = a2(pXi + a/1 — p2X2) + P2- Nasimulujte pseudonáhodná čísla Yi a Y2 z ^(a*, S). Vypočítejte dvourozměrný jádrový odhad hustoty (Yi, Y"2)T pomocí funkce kde2d(). Nakreslete jej také pomocí funkce image() a superponujte jej konturovým grafem hustoty dvourozměrného normálního rozdělení N2(n,H) pomocí funkce contour(). Hustotu rozsekejte na 12 intervalů, kde hodnoty v těchto intervalech budou odpovídat barvám terrain.colors(12). Při simulaci použijte následující parametry: (a) pi = 0, ^2 = 0, 01 = 1, 0-2 = 1, p = 0; (1) n = 50, (2) n = 500 (b) pi = 0, ^2 = 0, o"i = 1, 0-2 = 1, p = 0.5; (1) n = 50, (2) n = 500 (c) pi = 0, ^2 = 0, O"! = 1, a2 = 1.2, p = 0.5; (1) n = 50, (2) n = 500 Vzorové řešení viz obrázek 6. 8 Simulace pseudonahodnych cisel z N2(u., I) _funkce mvrnorm; N = 300_ i-1-1-1-1-1-1-r -3-2-10 1 2 3 (i! = 0, [i2 = 0, a-i = 1, o2 = 1, p = 0 Simulace pseudonahodnych cisel z N2(u., I) funkce rmvnorm; N = 300 0 0 o V \X° ° CM - o / y i 7 offff iV\r^\ 00 \\\\ \ \ ° ID olgl o A Jtí^ vil A jo J o o • o v O o Tr^o.o2—■ 0 ° 0 ^ - -3-2-10 1 2 3 Hi = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0 Simulace pseudonahodnych cisel z N2(^i, E) funkce rnorm; N = 300 Hi =0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0 Simulace pseudonahodnych cisel funkce mvrnorm; N = 300 Simulace pseudonahodnych cisel funkce rmvnorm; N = 300 Simulace pseudonahodnych cisel funkce rnorm; N = 300 Hi = 0, p-2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0 Hi = 0, p-2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0 -3-2-10 1 2 Hi =0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0 Obrázek 6: Hustoty dvourozměrného normálního rozdělení Příklad č.23 (binomické rozdělení, binomický experiment) Experiment sestávající z fixního počtu Bernoulliho experimentů (ozn. N) se nazývá binomický experiment. Pravděpodobnost úspěchu označme p, pravděpodobnost neúspěchu q = 1 — p. Náhodná proměnná X je počet pozorovaných úspěchů po dobu experimentu. Pravděpodobnost X = x za podmínky, že X pochází z binomického rozdělení Bin(N,p), píšeme jako Pr(X = x) x px(l-p) N-x x = 0,l,...,N (1) (Ugarte a kol. 2008). Střední hodnota E[X] = Np a rozptyl Var[X] = Np(l — p). Naprogramujte a zobrazte v R pravděpodobnostní funkci a (kumulativní) distribuční funkci pro 5m(5,0.5). Řešení viz obrázek 7. 9 Pravdepodobnosti funkce binomického rozděleni Bin(5,0.5) Distribuční funkce binomického rozděleni Bin(5,0.5) n-r 2 3 Obrázek 7: Pravděpodobnostní a distribuční funkce binomického rozdělení Bin(5, 0.5) 10