Zadání příkladů - cvičení č.l - 15-9-23
Příklad č.l (porovnání dvou typů modelů) (přednáška)
Model rozděleni pravděpodobností je modelem náhodné proměnné X, např. (1) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X šířka dolní čelisti, nebo (2) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen. Statistický model je modelem náhodné proměnné Y\X (Y kauzálně závisí na X), např. (1) model závislosti náhodné proměnné Y šířka dolní čelisti na proměnné X pohlaví, nebo (2) model závislosti náhodné proměnné Y hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen na proměnné X BMI. Všimněme si, že náhodné proměnné označujeme X anebo Y podle toho, jaký model je charakterizuje.
Příklad č.2 (jednoduchý náhodný výběr)
V jednoduchém náhodném výběru o rozsahu n z populace s konečným rozsahem N má každý prvek stejnou pravděpodobnost vybrání. Pokud vybíráme bez vracení (opakování), mluvíme o jednoduchém náhodném výběru bez vraceni (Dalgaard, 2008). Pokud vybíráme s vracením, mluvíme o jednoduchém náhodném výběru s vracením. Mějme množinu M. s N = 10 prvky a chceme z ní vybrat n = 3 prvky (a) bez vracení, (b) s vracením. Kolik máme možností? Jak vypadá jedna takováto možnost, pokud M = {1,2,..., 10}? Zopakujte to samé pro N = 100, n = 30 a množinu M = {1,2,..., 100}.
Příklad č.3 (jednoduchý náhodný výběr)
Mějme skupinu lidí označených identifikačními čísly (ID) od 1 do 30. Vyberte (a) náhodně 5 lidí z 30-ti bez návratu, (b) náhodně 5 lidí ze 30-ti s návratem a nakonec (c) náhodně 5 lidí ze 30-ti bez návratu, přičemž lidé s ID od 28-mi do 30-ti mají pravděpodobnost vybrání 4x vyšší než lidé s ID od 1 do 27.
Příklad č.4 (normální rozdělení)
Mějme náhodnou proměnnou X (může to být např. výška postavy desetiletých dívek) a předpokládejme, že tato náhodná proměnná má normální rozdělení s parametry fi (střední hodnota) a a2 (rozptyl), což zapisujeme jako X ~ N(fi,a2), fi = 140.83, a2 = 33.79. Normální rozdělení představuje model rozdělení pravděpodobnosti pro tuto náhodnou proměnnou. Vypočítejte pravděpodobnost Pr(a < X < b) = Pľ(X < b) - PľX < a) = Fx{b) - Fx(a), kde a = - ka, b = + ka, k = 1, 2, 3. Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti, vybarvěte oblast mezi body a a b a popište osy x a y tak, jako je uvedeno na obrázku 1.
1
Obrázek 1: Míry normálního rozdělení; křivka hustoty s vybarveným obsahem pod touto křivkou mezi příslušnými kvantily na ose x; obsah je rovný pravděpodobnosti výskytu subjektů s danou výškou v rozpětí těchto kvantilů.
Dostaneme pravidlo 68.27 — 95.45 — 99.73 (tzv. míry normálního rozdělení. Příklad č.5 (normální rozdělení)
Mějme X ~ N(fi, a2), kde fi = 150, a2 = 6.25. Vypočítejte a = fi — Xi_a/2<J a b = ^+Xi_a/20- tak, aby Pr(a < X < b) = 1 — a, byla rovná 0.9, 0.95, 0.99. Číslo Xi_a/2 je kvantil normovaného normálního rozdělení, t.j. Pr(Z = < xi-a, Z ~ N(0,1). Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti,
vybarvěte oblast mezi body a a b a popište osy x a, y tak, jako je uvedeno na obrázku 2.
Obrázek 2: Upravené míry normálního rozdělení; křivka hustoty s vybarveným obsahem pod touto křivkou mezi příslušnými kvantily na ose x; obsah je rovný pravděpodobnosti výskytu subjektů s danou normovanou výškou v rozpětí těchto kvantilů.
Dostaneme pravidlo 90 — 95 — 99 (tzv.upravené míry normálního rozdělení. Použili jsme nerovnost Pľ(ua/2<z<u1_a/2 = Q{xi-a/2) — Q{xa/2) = 1 — a, kde $ je distribuční funkce normálního normovaného rozdělení a všeobecně (a G (0,1/2); v příkladě a = 0.1,0.05 a 0.01.
Příklad č.6 (normální rozdělení)
Předpokládejme model normálního rozdělení N(132,132) pro systolický krevní tlak. Jaká část populace (v %) bude mít hodnoty vyšší než 160 mm Hg?
Příklad č.7 (binomické rozdělení)
Předpokládejme, že počet lidí upřednostňujících léčbu A před léčbou B se řídí modelem binomického rozdělení s parametry N (rozsah náhodného výběru) a p (pravděpodobnost výskytu), ozn. Bin(N,p), kde N = 20, p = 0.5, t.j. lidé preferují oba dva typy léčby stejnou měrou, (a) Jaká je pravděpodobnost, že 16 a více pacientů upřednostní léčbu A před léčbou Bl (b) Jaká je pravděpodobnost, že 16 a více a zároveň 4 a méně pacientů upřednostní léčbu A před léčbou Bl
Příklad č.8 (binomické rozdělení)
Předpokládejme, že Pr(vir) = 0.533 = p\ je pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír na palci pravé ruky mužů české populace a Pr(ostatni) = 0.467 = P2 je pravděpodobnost výskytu ostatních vzorů na palci pravé ruky mužů české populace, přičemž X je počet vírů a ľ je počet
2
ostatních vzorů, kde X ~ 5m(iV,pi) aľ~ Bin(N,p2). Vypočítejte (1) Pr(X < 120), když N = 300 a (2) Pr(F < 120), když N = 300.
Příklad č.9 (parametry) (přednáška)
Příklady parametrů 9 - střední hodnota p, rozptyl a2, korelační koeficient p, pravděpodobnost p výskytu nějaké události, rozdíl dvou středních hodnot p,\ — p2, podíl dvou rozptylů <jf/a%, rozdíl dvou korelačních koeficientů p\ — p2, rozdíl dvou pravděpodobností p\ — p2 apod.
Příklad č.10 (binomické rozdělení) (přednáška)
Pokud X ~ Bin(N,9), 9 = p G (0; 1), potom y q je stejný pro všechny 9 a koinciduje s výběrovým prostorem y = {0,1,..., N}.
Příklad č.11 (počet členů v mnohorozměrném LRM) (z přednášky)
Mějme mnohorozměrný lineární regresní model C o 20-ti proměnných, ve kterém jsou obsaženy všechny možné interakce těchto proměnných (dvojné, trojné,...). Kolik členů (jednoduché regresory + všechny interakce) má takový model?
Příklad č.ll (aproximace binomického rozdělení normálním)
Nechť Pr(muz) = p = 0.515 znamená pravděpodobnost výskytu mužů v populaci a Pr(zena) = q = 0.485 pravděpodobnost výskytu žen. Nechť X je počet mužů a Y počet žen. Za předpokladu modelu Bin(N,p) vypočítejte (a) Pr(X < 3) pokud N = 5, (b) Pr(X < 5), pokud N = 10 a (c) Pr(X < 25), pokud N = 50. Porovnejte vypočítané pravděpodobnosti s pravděpodobnostmi aproximovanými normálním rozdělením N(Np, Npq).
Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti normálního rozdělení a superponujte ji pravděpodobnostní funkcí binomického rozdělení tak, jak je uvedeno na obrázku 3. Nakreslete distribuční funkci normálního rozdělení a superponujte ji distribuční funkcí binomického rozdělení tak, jak je uvedeno na obrázku 3.
Nakonec zvolte parametr p = 0.1 a vygenerujte analogické grafy hustoty a distribuční funkce pro tento nový parametr. Z obrázků je vidět, že pro p blížící se k 1 nebo k 0 je potřebné mít větší početnosti než pro p blízké hodnotě 0.5. Viz obrázek 4.
3
I
1 2 3
Bin(5,0.515)
I I
4 6
Bin(10,0.515)
I I
20 30
Bin(50,0.515)
I
40
I
50
-1-1-
4 6
Bin(10,0.515)
Bin(50,0.515)
Obrázek 3: Aproximace binomického rozdělení normálním pro p = 0.515 a N = 5,10 a 50; spojnicový graf superponovaný hustotou (první řádek) a distribiční funkcí (druhý řádek).
4
Obrázek 4: Aproximace binomického rozdělení normálním pro p = 0.515 a N = 5,10 a 50; spojnicový graf superponovaný hustotou (první řádek) a distribiční funkcí (druhý řádek).
Příklad č.12 (normální rozdělení)
Model pro náhodný výběr X1}X2, ■ ■ ■ ,Xn je z N(fi,a2) a říkáme, že Xl,X2,...,Xn pochází z normálního rozdělení, t.j. X ~ N(fi,a2). Parametr modelu N(fi,a2) je vektor 0 = (fi,a2). Hustota tohoto rozdělení má tvar
1 (z-m)2
/(rr) = -=e ^,^R. Příklad č.13 (standardizované normální rozdělení)
Model pro náhodný výběr X1}X2, \dots,Xn pochází ze standardizovaného normálního rozdělení, t.j. X ~ N(fi,a2), kde fi = 0, a2 = 1. Parametr modelu N(fi,a2) je vektor 0 = (0,1). Hustota tohoto rozdělení má tvar
ó(x) = —==e 2 , x e R.
Příklad č.14 (dvojrozměrné normální rozdělení)
Náhodný vektor (X, Y)T má dvojrozměrné normální rozdělení
N2(», £), kde p = (p1; p2f a £ = (   f     ^ ) ,
s hustotou
f(x,y) =-,     1 exp (--,  1       ( í£^ _ 2pí^iilíl^ + í^2i!
1     J     27r^iV| (1 - p2)       l   2(l-p2)l ^
5
kde (x, y) G M2, p^ G IR, a2- > O, j = 1,2, p G (—1,1) jsou parametry. Potom 6 = (pi, p2, o"2, o"|, p). Výraz v exponentu můžeme zapsat jako
_ 1 / x - pi \T /   o\     paľa2 \  1 í x - pi \
2 V y - ^2 y v po-i^   o-! y  V y - ^ )
Marginální rozdělení1 jsou X ~ N (pi, ít2) a "K ~ N (p2, (t|), p je koeficient korelace2(Viz obrázek 5) Příklad č.15 (dvojrozměrné normální rozdělení)
(1) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení A^A*, S) pomocí funkce image() a superponujte ho s konturovým grafem hustoty toho stejného rozdělení pomocí funkce contour(). (2) Nakreslete hustotu dvojrozměrného normálního rozdělení N2(n, S) pomocí funkce persp(). Hustotu rozsekejte na 12 intervalů, kde hodnoty v těchto intervalech budou odpovídat barvám terrain.colors(12). Použijte následující parametry:
•	Pl	= 0,	A*2	= o,	(Ti =	1,0"2 =	1.	>P =	0;
•	Pl	= 0,		= o,	(Ti =	1,0"2 =	1.	>P =	0.5;
•	Pl	= 0,	P2	= 0,	(Ti =	1.2, (T2	=	l,p	= 0.5
Vzorové řešení je uvedeno na obrázku 5.
1 Marginální rozdělení je rozdělení náhodné proměnné, zde X nezávisle na y a naopak Y nezávisle na X.
2Z tohoto příkladu je zřejmé, že na dostatečný popis dvojrozměrného normálního rozdělení potřebujeme pět parametrů, t.j. střední hodnotu a rozptyl pro marginální rozdělení náhodných proměnných X a Y a korelační koeficient p = p(X, Y) popisující sílu lineárního vztahu X a Y.
6
I-1-1-1-1-1-1 I-1-1-1-1-1-1 I-1-1-1-1-1-1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
h1 =0, h2 = 0, cm = 1 , G2 = 1, p = 0 111 = 0, 112 = 0, O]=1,O2=1,p = 0.5 Hi =0,112 = 0, Cm = 1 , G2 = 1.2, p = 0.5
= 0, n2 = O, o, = 1, o2 = 1, p = 0 = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1, p = 0.5 = 0, n2 = 0, o, = 1, o2 = 1.2, p = 0.5
Obrázek 5: Hustoty dvojrozměrného normálního rozdělení při různých parametrech (první řádek -konturový graf; druhý řádek - perspektivní trojrozměrný graf v podobě plochy); čím je p odlišnější od nuly, tím více se kontury liší od kruhů (mění se na elipsy); se zvyšujícím se rozdílem mez o\ a o"2 se zvětšuje rozdíl rozptýlení koncentrických kruhů ve směru jednotlivých os (říkáme, že rozdíl variability proměnných laľse zvětšuje.)
7