Parciální diferenciální rovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ústav matematiky a statistiky Brno 28. prosince 2015 Obsah 1 Úvod 2 1.1 Značení....................................... 2 1.2 Základní definice.................................. 3 1.3 Příklady....................................... 3 1.4 Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu.................... 4 1.5 Funkce s kompaktním nosičem .......................... 5 1.6 Několik poznatků z teorie integrálu........................ 5 2 Transportní rovnice 8 3 Metoda separace proměnných 10 4 Cauchyova-Kovalevské věta 13 5 Rovnice prvního řádu 15 5.1 Metoda charakteristik............................... 15 5.2 Homogenní lineární rovnice............................ 18 5.3 Kvazilineární rovnice................................ 19 6 Metoda Fourierovy transformace 21 6.1 Konvoluce...................................... 21 6.2 Aproximace hladkými funkcemi.......................... 22 6.3 Fourierova transformace.............................. 23 7 Laplaceova a Poissonova rovnice 28 8 Rovnice vedení tepla 40 9 Vlnová rovnice 50 Tento učební text vznikl jako studijní materiál k předmětu Parciální diferenciální rovnice a pokrývá všechny okruhy k ústní zkoušce. Části, které zkoušeny nebudou, jsou barevně odlišeny. Text je soupisem přednášek Michala Veselého. Do BTeXu vysázel Dominik Velan; upravil Michal Veselý. 1 1 Úvod 1.1 Značení V celém textu se používá následující značení: E V/s/ du V A/ = (A/i,..., Afs) a = (cti,.. . , a^), kde a^- G No Dau(x) = g^.dJ^d» M < Ä Dku{x) = {Dau{x); |a| = A:} 1^1 = V^H^I^Wr D"-f = (pah,...,Daf8)T Dk7={DaJ;\a\=k} a\ = ot\\ ■ ot2 \ ■ ■ ■ otd a (n) xT ! reálný (příp. komplexní) euklidovský prostor norma v E"; parciální derivace funkce u: Q —> E podle Xj gradient; pro vektorovou funkci / : íž C Er —> Es, / = divergence vektorové funkce / pro r = s; pro u: íl ->■ E, kde íl C Ed; pro vektorovou funkci / ; er-dimenzionální multiindex výšky (řádu) \ct\ derivace u v bodě x dle multiindexu a; pro x = (xi,. .. ,xd) e Ed, a = (cti, ■ ■ ■ ,ctd); pro a = (ai,. . ., ad); objem n-dimenzionální jednotkové koule. Doplňme, že :(n) pro Y(x) ir TT 2 r(f+i) x > 0, pncemz T(x + 1) = x ■ T(x), a; > 0 r(i) = i, '7T. 1.2 Základní definice Definice. Parciální diferenciální rovnicí (PDE) rozumíme rovnici, která kromě neznámé funkce (alespoň dvou proměnných) obsahuje také její (parciální) derivace. Poznámka. Nebude-li řečeno jinak, budeme pracovat v n-dimenzionálním euklidovském prostoru R™. Symboly U, V, W budou značit otevřené množiny v R™. Definice. Nechť F: R™'* x R™'*-1 x ■ ■ ■ x 1™ x K x f/ —^ R je známá funkce. Rovnice (1.2.1) F (Dku (x), Dk~lu (x),...,Du(x),u (x), z) = 0 pro x G U, kde u: U —> R je neznámá funkce, se nazývá (reálná) parciální diferenciální rovnice k-tého řádu. Definice. Nechť F: Rm'™fe x R™-™fe_1 x ■ ■ ■ x R™'™ x Rm x U ->■ Rm je známé zobrazení. Rovnice F (Dku {x), Dk~xu {x),...,Du{x),u (x), z) = 0 pro x G U, kde ií = u : U —^ Rm, ií (x) = (iíi (x),..., íím (x)) je neznámá vektorová funkce, se nazývá systém parciálních diferenciálních rovnic A;-tého řádu. PDE (1.2.1) se nazývá lineární, je-li F lineární ve všech proměnných, které zastupují funkci u, tj. pokud ji lze psát ve tvaru 53 aa{x)Dau{x) = f{x) \a\ R splňující (1.2.1) pro všechna x G U a má spojité parciální derivace až do řádu k včetně, kdy píšeme u G Ck, resp. ueCk (U). 1.3 Příklady • Lineární PDE: Laplaceova rovnice Au = 0 lineární transportní rovnice Ut -+ -E?=iř i ' = 0 rovnice vedení tepla - Au = 0 rovnice Schródingerova iut + Au = 0 vlnová rovnice Utt - Au = 0 telegrafní rovnice utt +- a ■ ut = 0 rovnice příčných kmitů Utt + ^XXXX = 0 3 • Kvazilineární a nelineární P DE: obecná Poissonova rovnice -Au = j <{u) rovnice s p-laplaciánem div (\D u\p~2 ■ Du) = 0 eikonálová rovnice \Du\ = 1 rovnice minimální plochy div ( Du \ ^y/l+\Du\*) = 1 Mongeova-Amperova rovnice det (D2u) = 1 rovnice kontinuity Ut + divF(u) = 0 Hamiltonova-Jacobiho rovnice -H{Du,x) = 0 Kortewegova-de Vriesova rovnice ^-^x H ObXiíiJwj^ ~\ 1-hxxx = 0 • Systémy PDE: Maxwellovy Et = F (žT), Bt = -F(E), div E = 0, divŽ? = 0; Eulerovy ut + uDu = —Df, divu = 0; Navierovy-Stokesovy ut + uDu — Au = —Df, divu = 0. 1.4 Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu Obecnou lineární rovnici 2. řádu v R™ lze zapsat jako (1.4.1) £ «i (*) £^ + £ * (*) ^ + ° (*)« (*) = / (*) > i,j=l % 3 j=l 1 kde x E U Q R™. Výraz Síj=i aíj 0*0 se označuje jako hlavní část rovnice (1.4.1). Pro každé x E U dává hlavní část matici A(x) = (oij (x))?j=1. Lze požadovat, aby matice A (x) byla symetrická. Definice. Nechť Aj (x) pro i E {1,... ,n] jsou vlastní čísla symetrické matice hlavní části rovnice (1.4.1). Jsou-li všechna čísla Xi (x) nenulová a stejného znaménka, rovnice (1.4.1) se nazývá eliptická PDE. Jsou-li všechna čísla Aj (x) nenulová, ale ne všechna stejného znaménka, rovnice (1.4.1) se nazývá hyperbolická PDE. Je-li alespoň jedno číslo Aj (x) nulové, rovnice (1.4.1) se nazývá parabolická PDE. Příklad. • Laplaceova rovnice - eliptická. • Vlnová rovnice - hyperbolická. • Rovnice vedeni tepla - parabolická. 4 Poznámka. Typ rovnice se může měnit v závislosti na části definičního oboru, ve které rovnici zkoumáme. Například Tricomiho rovnice y^xx ^yy 0 je eliptická pro y > 0, parabolická pro y = 0 a hyperbolická pro y < 0. 1.5 Funkce s kompaktním nosičem Je-li / spojitá funkce definovaná na topologickém prostoru X, pak jejím nosičem nazveme nejmenší uzavřenou množinu, vně které se / nuluje, tedy SuWf = {xeX;f(x)rO}. Je-li supp/ kompaktní, řekneme, že funkce / je funkce s kompaktním nosičem. Označme Cc (X) = {/ E C (X); supp / je kompaktní}. Jako Co (X) označujeme množinu všech spojitých funkcí mizejících v nekonečnu, tj. spojitých funkcí /, pro které je množina {x E X; \f (x) \ > e} kompaktní pro každé e > 0. Zjevně je C0(X) DCC(X). Pokud je X Hausdorffův lokálně kompaktní topologický prostor, potom je Co (X) uzávěrem CC{X). 1.6 Několik poznatků z teorie integrálu Definice. Nechť U C R" (n > 2) je otevřená a ohraničená množina. Řekneme, že její hranice dU je třídy Ck, jestliže pro každý bod x° E dU existuje r > 0 a funkce 7: R™-1 —> M třídy Ck taková, že (až na případnou permutaci souřadnic) platí U í) B (x°,r^J = |x = (xi,... ,xn) e B (x°,rj ; xn > 7(0:1,... j nebo UHB (x°,rj = |x e B (x°,rj ; xn < 7(^1,. .. . Řekneme, že hranice dU je třídy C°°, je-li třídy Ck pro všechna A; G N. Řekneme, že hranice dU je analytická, tj. třídy Cw, je-li zobrazení 7 analytické. Je-li hranice dU alespoň třídy C1, pak je na dU definováno vektorové pole vnějších jednotkových normál, kdy x E dU přiřazujeme x^lľ(x) = (v1 (x) ,. . ., vn (x)) = (vi(x) vn (x)) nebo při jiném značení x 1—» n (x) = [n1 {x) ,. . ., nn (x)^ = (n\ {x) ,. .. , nn {x)) . Je-li u E C1 (U), potom definujeme normálovou derivaci u jako du ^ 7—f = v ■ JJu ov 5 a při jiném značení jako du ^ —j = n ■ JJu. On Znalost parametrizace 7 umožňuje v jistém okolí bodu x° hranici dU „napřímit". To se děje pomocí transformace <ř, kdy yi = Xí pro i E {1,.. . ,n — 1}, yn = xn — 7(^1,.. . ,xn-±). Protože det D<$> (x) = 1, existuje k této transformaci inverzní transformace kdy xí = yi pro i E {1,. .. ,n - 1} a xn = yn +7(2/1,.. . ,yn-l)- Věta (Gaussova-Greenova). Necht U C R" je otevřená a ohraničená množina s hranicí třídy C1 au E C1 (U). Potom piati J uXi dx = J un% dS U dU pro i E {1, 2,. . ., n}, kde rŕ je i-tá složka jednotkového normálového vektoru n. Věta (Integrace per partes). Necht U C R" je otevřená a ohraničená množina s hranici třídy C1 a u, v E C1(ř7). Potom platí uXiv dx = J uvrŕ dS — J uvXi dx U dU U pro i E {1, 2,. . ., n}. Věta (Greenovy identity). Necht U C R™ je otevřená a ohraničená množina s hranicí třídy C1 a u,v E C2(U). Potom platí: 1. 2. 3. Audx= í^dS; J on U dU f dv f DuDv dx = / —íTidS1 — / uAv dx; J On J U dU U a a f dv du uAv — v Au dx = u ■ —j — v-—£ db. J On On U dU Věta. Nechi f: R™ —> R je spojitá a integrovatelná. Pak pro každé xq E R™ je dx = í ( / f dS I dr. J \JdB(x0,r) Zvláště pro libovolné r > 0 je d * l fdx= fdS. Or JB(x0,r) JdB(x0,r) 6 Věta. Necht u: R™ —> R je lipschitzovsky spojitá a pro skoro všechna r é M je množina {x E Rn; u (x) = r} analytická (n — 1)-dimenzionální hyperplocha v R™. Necht je dále funkce f: R™ —> R spojitá a integrovatelná. Potom platí f(x)\Du(x)\dx= I [ I fdS) dr. {x; u(x)=r} 7 2 Transportní rovnice Uvažujme rovnici (2.1) ut + b- Du = 0, kde (x, t) E R™ x (0, oo), b = (bi,...,bn) E R™, u: R™ x [0, oo) -> R je neznámá funkce. Transportní rovnici (2.1) lze zapsat ve tvaru (l,b)-(ut,Du) = (b,l)-(Du,ut) = 0, tj. je-li u řešením (2.1), pak jeho směrová derivace ve směru vektoru (6,1) je nulová. Zvolme libovolný (ale pevný) bod {x, t) E R™ x (0, oo) a definujme funkci z (s) = u (x + sb, t + s) , s > —t. Platí z (s) = Du (x + sb,t + s) ■ b + ut (x + sb,t + s), s > —t. Ovšem z' (s) = 0 pro s > —t, neboť u je řešením rovnice (2.1). Tedy z je konstantní funkce, respektive uje konstantní na polopřímce určené bodem (x — tb, 0) a směrovým vektorem (6,1). Uvažujme počáteční problém ut+b- Du = 0 pro (x, í) e R™ x (0, oo); u = g pro (x, t) e R™ x {t = 0}, kde b G R™ a funkci g: R™ —> R známe. Přímka jdoucí bodem (x,ť) se směrovým vektorem (6,1) má parametrické zadání (x + sb,t + s), s E R. Tato přímka protne R™ x {t = 0} v bodě (x — tb, 0). Protože víme, že případné řešení je na této přímce konstantní a že u (x — tb, 0) = g (x — tb), dostáváme (2.3) u (x, t) = u (x - tb, 0) = g (x - tb), x e R™, t > 0. Pokud tedy počáteční problém (2.2) má dostatečně hladké řešení, pak toto řešení nutně splňuje (2.3). Především, je-li g E C1 (R™), pak pro funkci u zadanou pomocí (2.3) platí ut (x, t) + b- Du (x, t) = -Dg (x - tb) ■ b + b ■ Dg (x - tb) = 0, kde x E Rn,t > 0, tj. u je řešením (2.2). Stejným způsobem řešme přidružený problém ut + b-Du = f, (x,t) ERn x (0,oo); ^ ' ' u = g, {x, t) E R™ x {t = 0}. Zvolme pevně bod (x, t) E R™+1 a položme z (s) = u (x + sb, t + s) . 8 Platí z (s) = Du (x + sb,t + s) ■ b + ut (x + sb,t + s) = f (x + sb, t + s) a dále o u (x, ť) — g {x — tb) = z (0) — z (—t) = I z (s) ds = f(x + sb,t + s)ds = j f (x + (£ - t) ■ b, £) d£, £ = s + t. O Řešením (2.4) by tedy mohla být funkce í u (X) t) = g (x - tb) + í f (x + (£ - t) ■ b, £) d£, x e R", í > 0. Přímým výpočtem lze ukázat, že za obdobných předpokladů na hladkost jako v předchozím případě je tato funkce u řešením (2.4). V rychlosti se analogicky podívejme na následující problém ut + b ■ Du + c ■ u = 0, (x, í) e R™ x (0, oo); u = g, (i,t)eMnx{t = 0}, kde navíc c G R je konstanta. Uvážením cu = - (1, b) ■ (ut, Du) = - (Du, ut) (b, 1) zaveďme funkci z (s) = u (x + sb, t + s) . Derivováním dostaneme z (s) = Du (x + sb, t + s) ■ b + ut (x + sb, t + s) = (b, 1) ■ (Du, ut) , a tedy z (s) + cz (s) = 0. To je ODR s řešením z(s) = z(Q)-e~cs, tj- u (x + sb, t + s) = u (x, t) e cs. Položme s = — t a využijme počáteční podmínky g (x - tb) = u (x - tb, 0) = u (x, t) ect. Proto funkce u(x,t) = g(x -tb)e~ct, x e R™, t > 0 by mohla být řešením (2.5). Znovu přímým výpočtem lze ověřit, že za předpokladu g E C1 (R™) řešením tato funkce skutečně je. 9 3 Metoda separace proměnných Podstatou této metody je hledání řešení dané PDE ve tvaru „vhodné kombinace" funkcí menšího počtu proměnných (obvykle ve tvaru součtu či součinu), které lze stanovit dosazením do zadané PDE (případně využitím podmínek řešené úlohy). Příklad. NechíU C R™ je otevřená a ohraničená množina (s analytickou hranici). Uvažujme počáteční okrajový problém pro rovnici vedení tepla ve tvaru ut — Au = 0, na U X (0, oo); (3.1) u = 0, na dU x (0, oo); u = g, na U X {t = 0}, kde g: U —> R je známá funkce. Předpokládejme, že existuje řešení problému (3.1) ve tvaru (3.2) u(x,t) =v(x) -w(t), x E U, t E [0,oo). Musí platit ut (x, t) = v (x) w' (t), Au (x, t) = Av (x) ■ w (t), 0 = ut (x, t) — Au (x, t) = v (x) ■ w' (t) — Av (x) ■ w (t) pro x E U, t > 0. To lze pro všechna uvažovaná x, t taková, že v (x) ■ w (t) ^ 0, zapsat jako Av (x) w' (t) (3.3) 1 (x) w (t) Proměnné x, t jsou separované a nezávislé, což je možné jen tak, že obě strany (3.3) jsou rovny jisté konstantě, tj. Av (x) w' (t) , , , , , —-V = M = —TT, x EU, t > 0, v (x) ■ w (ŕ) 0, v [X) w (t) a dostáváme (3.4) w'(t) = fi-w(t), ŕ > 0, (3.5) Av (x) = n ■ v (x), x E U. Obecné řešení rovnice (3.4) je w{ť) = c-e>ít, cel Funkci v lze získat jako netriviální řešení okrajové úlohy Av (x) + Xv (x) =0, na U; (3.6) v (x) = 0, na dU. Úloha (3.6) se nazývá Sturmova-Liouvilleova úloha. Za jistých předpokladů je tato úloha řešitelná pro nejvýše spočetnou množinu čísel X (tzv. vlastních čísel). Jim odpovídající netriviální řešení se nazývají vlastní funkce. 10 Odbočka. Uvažujme problém tzv. vlastních čísel a vlastních funkcí pro eliptické symetrické operátory, tj. Lv = Xv na U, v = 0 na dli, kde U je otevřená a ohraničená množina v R™. Necht n Lu= - ^2 (al:iuXi)Xj , al0 G C°°(U), al0 = aJt pro i, j G {1, 2,.. . ,n} a platí tzv. podmínka elipticity n pro jisté 6 > 0, pro všechna £ = (£i, • • •, £n) řK"a uvažovaná x. Výsledky: Všechna vlastní čísla jsou reálná, vlastních čísel je spočetně mnoho, lze je seřadit do neklesající posloupnosti {Aj}?^, kdy je Ai > 0, lim^oo \ = oo. Je-li A vlastní číslo a v jemu odpovídající vlastní funkce, pak pro (3.7) u (x, t) = c ■ e~xtv (x), c e R, t > 0, x e U platí ut (x, t) — Au (x, t) = 0 na U X (0, oo); u (x, t) = 0 na dU x (0, oo); u (x, 0) = c ■ v (x), íy. funkce u definovaná ve (3.7) je řešením úlohy (3.1), pokud lze zvolit konstantu c tak, aby platilo, ze c ■ v (x) = g (x) pro x E U. To je však výjimečný případ. Uvažujme vlastní funkce Vfr pro A; G N. Pro vhodné konstanty cj, by mohlo platit oo (3.8) ^jCk-vk(x) = g(x) , x G U, k=l přičemž konvergence je stejnoměrná. Ze (3.1) plyne, že funkce oo (3.9) u (x, t) = E cfe ■ e~Xktvk (x), t > 0, x G U k=l pak bude řešením problému (3.1). Poznámka. Doplňme následující komentáře. 1. Metoda separace proměnných dává pouze funkci ve (3.7). Formule (3.8) a (3.9) plynou z uvažované podmínky u = g na U X {t = 0}. 2. Určení konstant ck je úloha z teorie obecných Fourierových řad. 3. Nalezení vlastních čísel a vlastních funkcí může být značně náročné. 11 Příklad. Nalezněte nějaké nelineární řešení rovnice {Vjx) l^xx ^^x^y^xy (j-^y) ^yy ^* Položme Platí u (x, y) = v{x) +w {y) . (Vx)2 VXX + (Wy)2 Wyy = O, (vx)l + (wyfy = O, o o vx = fix + c, w = —fiy + d, vx = ^/fix + c, wy = \/-fiy + d, v = ^-(fix + cý +C, w =-^-(-fiy + dý + D. Celkem u(x,y) \]{c + fix)4 - \]{d- fiy)4 E. Přímo lze ověřit, ze kupř. funkce 4 4 u (x, y) = (c + x) 3 - {d- y) 3 jsou řešeními. Poznámka. Podobně lze nalézt např. řešení ve tvaru u (x, t) = w (x) + v (t) pro Hamiltonovu-Jacobiho rovnici. 12 4 Cauchyova-Kovalevské věta Uvažujme kvazilineární PDE k-tého řádu v R™ ve tvaru (4.1) a« (-Dfe_V • • -,Du,u,xj Dau + a0 [D^u,..., Du, u, x j = 0 \a\=k spolu s Cauchyovými podmínkami zadanými na hyperrovině T = {x £ R"; xn = 0} ve tvaru (4.2) u = go- du dxn 91 1 • • • • d^u _ Problém: Lze na T určit nějaké další hodnoty derivací řešení u, které nejsou obsaženy ve (4.2)? Protože je T nadrovina, obsahuje s každým bodem x také bod x+ei pro i £ {1,2,... ,n— 1}. To znamená, že pro x E T a i E {1, 2,..., n — 1} platí du u (x + he%) - u (x) g0 (x + he%) - g0 (x) dg0(x) —— = hm- = lim-= —--. oxí h^o h h^o h dxl Hodnotu nelze takto určit. Známe ji ale ze (4.2), tj. = g\. Na T lze tedy stanovit Du. Podobně pro každé x ET platí d2g0{x) J e {1,2, i}; ď21l(x) I dxi®XJ ' '' ° u\x) } dgi(x) ■ ■ ^ n o ii 7h^7, »'.' * = ",JG{l,2,...,n-l}; K92 {x), i=j = n. To znamená, že na T lze určit také D2u. Podobným způsobem dostaneme, že na T lze určit celkem Du, D2u,..., Dk_1u. Komplikace nastane při výpočtu Dku, kdy již nelze použít (4.2) k výpočtu hodnoty ^jjp. Využijeme toho, že uje řešením (4.1). Za předpokladu, že koeficient oxn a(0,o,...,fe) (—) ve (4-1) je nenulový, lze psát (4.3) dku{x) —1 dxk a(o,o,...,fe) (-) aa{-)Dau + a0{-) \a\=k a/(0,0,...,fe) Protože pro x E T známe všechny hodnoty na pravé straně (4.3), lze určit hodnotu d^^t, tedy také Dku. Pokud je podmínka (4.4) «(o,o,...,fe) (0 + 0 splněna pro libovolné hodnoty argumentu £, řekneme, že Y = {xn = 0} je necharakteristická. Známe-li pro libovolné x ET hodnotu ^k ', můžeme definovat funkci dku {x) 9k- x dxk -, xET. 13 Touto funkcí lze doplnit (4.2) a pak pomocí (4.2) získat pro libovolné x EY všechny parciální derivace Dk+1'. podle xn, kdy derivace Dk+1u (x), avšak kromě ^~í+r- Tuto parciální derivaci obdržíme derivováním (4.1) dk+1u(x) -1 dxt1 a(o,o,...,k) (-) To nám umožní najít Dk+1u (x), x E Y. Takto lze stanovit všechny parciální derivace řešení Cauchyovy úlohy (4.1), (4.2) na Y při hladkosti uvažovaných koeficientů aa, funkcí §í a řešení u. Podobné úvahy lze provést pro libovolnou dostatečně hladkou hyperplochu Y, kde Cauchyova podmínka (4.2) je nahrazena za podmínku du dk ^u (4-5) u = g0, — = gi, = fffc-i na T, on onK~L kde §i jsou známé funkce a — = V DaulTa = V -—-«ai ■ ■ ■ «a" dnl ,V , .dx^dx?2 ■■■dx^n 1 \a\=i cřiH-----\-otn=i 1 z je i-tá normálová derivace funkce u. Hyperplocha Y se nazývá necharakteristická, jestliže (viz (4.4)) aana ^ 0 na T. \a\=k Také pro obecnou necharakteristickou hyperbolu Y lze úvahy o určení Dlu (x) na Y opakovat. Navíc se použije pouze napřímení hyperplochy Y. Tímto dostáváme: Věta (Cauchyovo-Kovalevské lemma). Necht u je hladké řešení rovnice (4.1), které na ne-charakteristické hyperploše Y C R™ splňuje Cauchyovy podmínky (4.5). Libovolnou parciální derivaci u na Y lze vyjádřit pomocí funkcí go, gi, ■ ■ ■ ,gk-l, koeficientů aa pro \a\ = k a ao- Předpokládejme, že je dána kvazilineární PDE (4.1) s analytickými Cauchyho daty (4.5), která platí na analytické necharakteristické hyperploše Y. Navíc lze předpokládat, že všechna Cauchyho data jsou identicky nulová a že Y = {x E R"; xn = 0}. Lze dokázat, že tento předpoklad je bez újmy na obecnosti. Tím se úloha (4.1), (4.5) převede na tvar aa [ľ)k~1u,.. . , Du, u, xj Dau + a0 (pk~1u,. . ., Du, u, xj = 0, au d u 0, xn = 0. dxn dxk 1 Úlohu (4.6) nahradíme úlohou pro systém rovnic prvního řádu n-l (4.7) 3=1 _,. _,. / du du du d2u dk~1u u = 0, xn = 0, u = I u, — , — ,..., — , — ä, • • •, j—r y ÔX\ ÚX2 OXn Úxf dXn 1 Věta (Cauchyova-Kovalevské). Necht v úloze (4.7) jsou Bj pro všechna uvažovaná j a C analytické. Potom existuje r > 0 a analytická funkce u, která je řešením (4.7). 14 5 Rovnice prvního řádu PDE prvního řádu má tvar F(Du,u,x) = 0, kde x G U pro jistou otevřenou množinu U C R", F: R™ x R x U —> R je známá funkce au: U —> R je hledaná funkce. Označme F = F (p, z,x) = F (pi,... ,pn,z,xi, ...,xn), kde p = (pi,... ,pn) G R™, z G R, x = (xi,..., xn) G U. Dále označme DpF = (Fpi, i^p2,..., i^jn), F)ZF = Fz, F)XF = (FXl, FX2,..., ŕxn) • 5.1 Metoda charakteristik Uvažujme rovnici (5.1.1) F(Du,u,x) = 0 na U spolu s okrajovou podmínkou (5.1.2) u = g na T, kde T C dU a g: T —?> R je daná funkce. Necht F a g jsou dostatečně hladké funkce. Metoda charakteristik řeší úlohu (5.1.1), (5.1.2) tak, že ji převádí na řešení počáteční úlohy pro systém ODE. Předpokládejme, že (5.1.1), (5.1.2) má řešení u. Zvolme libovolně bod x G U. Necht jsme schopni určovat hodnoty u na jistých křivkách ležících v U. Necht jedna taková křivka prochází právě bodem x = ôT(l) a současně bodem x° = ~x (0) E T. Protože známe hodnoty funkce u na T, je jistá možnost, že určíme u podél x. Uvažujme, že uvedená křivka bude popsána jako ~x (s) = (x1 (s), x2 (s),. .. , xn (s)) = (xi (s), x2 (s),. .. , xn (s)) , kde s je parametr z jistého subintervalu reálné osy, a že u je třídy C2. Na křivce ~x definujme (5.1.3) z(s)=u(x(s)), (5.1.4) ~p (s) = Du(x(s)). Podrobněji psáno, p*(s) = (p1 (s),...,pn(s)) = (pi (s),...,pn(s)), kde (5.1.5) pi (s) = uXi (x (s)) , iG{l,2,...,n}. Problém zůstává, jak můžeme najít takovou křivku x, abychom byli schopni hodnoty z a p určit. Derivováním (5.1.5) dostáváme (5-1-6) b, (s)]' = 5>X!Xj (äT(a)) ■ p (s)] . 15 Současně derivováním (5.1.1) podle xí na křivce x získáváme DXiF (Du (x), u (x), x) = F (Uxi (*^1; • • • ; *^n) ; • • • ; ^xn (*^1; • • • ; *^n) ; ^ (*^1; • • • ; *^n) ; ; • • • ; *^n) ™ č^ř1 OF OF = DXiF(pi,... ,pn,z,x) = E g^- (Du,u,x)uXiXj + — (Du,u,x)uXi + — (Du,u,x) = 0. To lze na x zapsat jako n OF OF OF (5.1.7) V — (p,z, ~x)ux%x (x) + — (p,z, ~x)ux% (x) + — (p,z, T) = 0, Op j J OZ OXi kde p = p (s), z = z (s) a x = x (s). Kdyby navíc platilo r ■ V OF _^ _^ (5.1.8) p(s)J = —(f(S),z(a),^(a)), j E {1, 2,. . ., n}, tak by bylo možné vyjádřit (5.1.6) pomocí (5.1.5), (5.1.7) a (5.1.8) jako r -V OF . dF . . [pl (s)\ =--q^(p(s),z(s),x (s))pl (a) - — (p(s),z (a) , x (a)) , i e {1, 2,... ,n}. To je systém n ODE pro 2n + 1 neznámých. Dalších n rovnic získáme z (5.1.8) a poslední rovnici získáme derivováním z (a) = u (x (s)) (viz (5.1.3)) jako ' = E (* (*)) ■ H (*)]' = E ^ (*) ■ (p 00 ^ 00 >? 00) j=i í j=i Po Získaný systém 2n + 1 ODE prvního řádu ve tvaru [j? (a)}' = —DXF (? {a), z (s), ? (s)) - Z?ZF (? (s), z (s), ? (s)) ■ ^ (s), (5.1.9) z' (a) = DPF (s), z (a), ? (a)) ■ f (a), [x*(s)}' = DpFtf(s),z(s),x*(s)) je tvořen tzv. charakteristickými rovnicemi (nelineární) PDE (5.1.1). Řešení systému (5.1.9) se nazývají charakteristiky. Shrnutí: Hledáme křivky zvané charakteristiky, a to spočívá v řešení jisté soustavy ODE. Podél těchto křivek PDE přechází na ODE. Příklad. Uvažujme nelineární okrajovou úlohu U = {(x1,x2) E K2; xľ > 0}; uXluX2 = u, na u = x\, naT = {(xi,X2) E R2; x\ = 0}. Přepíšeme rovnici do tvaru F(p,z,x) =pip2 - z. 16 Systém (5.1.9) je tvaru X\ =P2, 4 =pi, Pl =P1, P2 =P2, z = 2pľp2. Řešení je Pl (s P2 (s z (s xi (s x2 (s ■Ple3, ■Phs, zq+pIpI (e2s xl+pl (ď-l), + P10(es-1), 1 XQ Po = y, Po = 2a;o, zo = (x0y i x, ■o = 0, T2 x0 x0 = x0. Protože potřebujeme, aby pro s = O bylo (x± (s) ,x2 (s)) G T, je třeba položit O, x0 = xq e Ze z (s) = u (x (s)) dostávame pro s = O, že (xo)2 = u (xo) = z (0) = zo + plpl (e° - l) = zo. Zbývá určit hodnoty pg a pg, přičemž pi (s) = uXi (~x (s)). Odtud pro s = O plyne d PO = P2 (0) = UX2 (O, X0) = — (x2f \x2=x0 = 2x0. Z analogické rovnice pro p\ nelze odvodit hodnotu pg (nejsme na hranici U). Piati však Pl (s) P2 (s) = uXl (x (s)) uX2 (x (s)) = u (x* (s)) dle zadání úlohy. Dosazením s = O dostáváme 12 i \2 1^0 PoVo = zq = (xo) , Po = y• Řešení (5.1.9) lze tedy zapsat jako xi (s x2 (s z (s Pl (s P2(s 2x0 (ď - 1), f (e' + l), (x0)2e2s, 2 ' 2x0 es. 17 16 Zvolme libovolně bod (xi,X2) £ U. Pokud existuje xq 6 R a s > O tak, ze (xux2) = (xi (s),x2 (s)) = (2x0 (es - 1), ^ (es + 1)) , je nutně _ AX2 — xi s _ AX2 + x\ 4 ' 4^2 — x\ Pro tato xq , s je , \ ( ( \ ( \\ ( \ ( \2 2s (^x2 ~ xi AX2+xi\2 (x!+AX2Y u[x1,x2) = u [xi [s) ,x2 (Sj) = z [s) = [x0) e =------ = - V 4 4:X2-xi/ Lze ověřit, ze se jedná o řešení. 5.2 Homogenní lineární rovnice Homogenní lineární rovnice je tvaru (5.2.1) t(x)Du(x) +c{x)u{x) = 0 na[/, tj- n (xi,... ,xn) — + c(xi, ...,xn)u = 0. í=l 3 Nyní je F (p, z,x) = b (x) ■ p + c (x) ■ z, a tudíž DpF(p,z,x) = b (x). Charakteristické rovnice jsou proto [•?(*)]'=6 (•?(*)), z (s) = b (x (s)) ■ ~p (s) = —c (äf (s)) ■ z (s). V tomto případě rovnice pro p nejsou potřeba a charakteristický systém je právě [•?(*)]'= 6 (äT(s)), z (s) = —c (äT (s)) ■ z (s) . Příklad. Řešme okrajovou úlohu x\---X2-— = u na U = {(xi,X2) E R2; x\ > 0, x2 > 0}; 0x2 ax\ u = g na T = {(xi,X2) £ R2; x\ > 0, X2 = 0}. Rovnice uvažované úlohy je tvaru (5.2.1) pro b (x) = (—X2,xi), c = —1. Charakteristický systém rovnic je x[ = -x2, 1 _ x2 — xli 1 z = z. 18 Nalezneme řešení ~x pro s = O procházející bodem (xi,0) E T, kdy ~% (s) = (^l (s) > x2 (s)) = (^? cos s, Xi sin sj . Podobně se vidí, ze z (s) = z°es = u (x?, O) es = g (x?) es. Ukážeme, že jsme schopni pomocí trajektorií dostat se do celého U. Zvolme libovolně bod (x±,X2) E U. Pak existuje právě jedno 1} > 0 fl právě jedno s E (0,7r/2) tak, že (xi, X2) = (x± (s) , X2 (s)) = (x® cos s, x® sin2;^ . Očividně je xl = \{xl)2 + (x2)2, s = arctg—. v xi Celkem u (xi,X2) = u (xi (s) , x2 (s)) = z(s) = g (x^j es = g (^J{xi)2 + (x2)2^j e 2 \ arctg —^ Lze snadno ověřit, že jde o řešení zadaného problému, když g E C1 . Poznámka. Nechť je c = 0. Potom je každá funkce u, která je řešením (5.2.1), konstantní podél charakteristik. Obráceně, rovnici (5.2.1) vyhovuje každá funkce u třídy C1, která je konstantní podél všech charakteristik. 5.3 Kvazilineární rovnice Kvazilineární rovnice prvního řádu je tvaru (5.3.1) b (x, u (x)) Du (x) + c (x, u (x)) = 0 na U, tj- n \ h (T.-t ľ \ ľ. u i dx j=J- Nyní je n o riii y^bj (x1,x2,. .. ,xn,u)---\-c(x1,x2,...,xn,u) =0 na U. , OXn F (p, z, x) = b (x, z) ■ p + c (x, z), a tedy DpF (p, z, x) = b (x, z). Charakteristické rovnice tak jsou [x (s)]' = b (x (s), z (s)) , z (s) = b (äf (s) , z (s)) ■ ~p {s) = —c (x (s) , z (s)) . Znovu se charakteristické rovnice pro p neuplatní, a proto je celý charakteristický systém (5.3.1) tvaru \~x (s)}' = b (~x (s), z (s)), (5.3.2) 1 , u; z (s) = —c (x (s) , z (s)) . 19 Příklad. Najděte řešení okrajové úlohy t^ + t^=u2 na U = {(x1,x2) E M2; x2 > 0}; ox\ ax2 u = g na T = {(xi,x2) E R2; x2 = 0}. Rovnice této úlohy je tvaru (5.3.1) pro b (x, u) = (1,1), c= —u2. Charakteristický systém je i -i x1 = 1, / _ -i x2 — 1, / 2 z = z . Řešení charakteristického systému, které pro s = 0 nabývá hodnoty (x°,0) E T, je x\ (s) = x° + s, x2 (s) = s. Dále Je tedy 1 1 s. z(0) z(s) Z(S) = T^(Ô) = 1-S.(,0?0) = 1_sí?(a;0)' Vokud sg(x)rl. Opět ověřujeme, zda pokryjeme celé U. Zvolme proto (xi,x2) E U libovolně. Pak existuje právě jedno x° E R a právě jedno s > O tak, že (x\, x2) = (xo + s, s). Zřejmě s = x2, x° = x\ — x2. Celkem i \ ( ( \ ( \\ ( \ 9 g{x\ - x2) u (xi,x2) = u [xi (s), x2 (s)) = z (s) — — 1 — sg (x°) 1 — x2g [xi — x2)' pokud 1 x2g (x\ — x2). Lze ověřit, že jde o řešení, když g E C1 (R). 20 6 Metoda Fourierovy transformace 6.1 Konvoluce Nechť funkce / a g jsou měřitelné na R™. Konvolucí těchto funkcí nazýváme funkci f * g definovanou jako if*9)(x)= f(x-y)-g (y) dy pro všechna x £ R™, pro která integrál na pravé straně existuje. Věta. Pokud všechny uvažované integrály existuji, pak platí: (a) f *g = g* f; (b) (f *g)*h = f * (g*h); (c) je-li pro z G R™ zobrazení tz translace, která přiřadí funkci f: W1 —> R funkci rzf : R™ —> R. fcáe rz/ (x) = / (a; - z), x G Rn, pak tz (f * g) = (rzf) *g = f* (rzg); (d) supp (f*g)Q (supp / + supp g). Důkaz. Platí: (a) (/ * SO 0) = J f{x-y)g (y) dy = J f(z)g(x- z) dz = (g * f) (x). (b) [(f*g)*h](x) = J{f*g){y)h{x-y) dy = J I Jf{z)g{y-z) dz\ h{x-y) dy = m.n \m.n I f {z) g {y ~ z)h(x - y) dz\ dy = / / / (z) g (y - z) h(x - y) dy] dz = /(z) / g{Í)h{x-z-Í) di\dz= f{z){g*h){x-z) dz = [f * (g * h)] (x) (c) (/ * óO] (x) = (f * g)(x - z) = J f(x-z-y)g (y) dy = Tzf {x-y)g (y) dy = [(rzf) * g] (x), tz (f*g)= Tz (g*f) = (jzg) * / = / * (rzg). (d) Předpokládejme, že (/ * g) (x) ^ 0 pro jisté x £ R™ a že x £ supp / + suppg, tj. není možné psát x = y + z, kde y £ supp/, z £ suppg. Pro libovolné z £ suppg je tedy x — z ^ supp /. Tudíž vždy f (x — z) g (z) = 0. To je ovšem spor s tím, že (/ * g) [x) ^ 0. □ 21 6.2 Aproximace hladkými funkcemi Nechť U C Rn je libovolná otevřená množina. Pro e > 0 položme Us = {x e U; dist (x,dU) > e}. Uvažujme funkci h: R —> R definovanou jako 'O, t < 0; h (t) . í>0. Lze ukázat, že h E C°° (R™). Pomocí matematické indukce lze totiž ukázat, že h(n) ^ = Pn Q^J e-i ^ í > 0, n e N, kde Pra je polynom stupně 2n. Odtud plyne (0) = 0, n G N. Funkce h (l — |a;|2) = /i (l — |a;i|2 — ■ ■ ■ — \xn\2) je třídy C°° na R™. Dokonce tato funkce patří do třídy (R™), protože pro \x\ > 1 je h (l — |a;|2) = 0. Existuje tak konstanta c > 0 taková, že /i (1 — \x\2) dx = / /i (1 — \x\2) dx. «n 5(0,1) Z toho vyplývá, že funkce r\: R™ —> R definovaná vztahem / _i I i-- . a IX 7] (x) c ■ e W^71, \x\ < 1; 10, |x| > 1 je nezáporná, 77 G (R™) a je J"Kn 77 (x) dx = 1. Pro a > 0 dále položme Va (x) = \r, (- ) , x E R™. Zřejmě je ?7a nezáporná, ?7a G (R™), n % (s) di = 1 a navíc rja(x) > 0, právě když |x| < a. Takové funkci r\a se říká regularizační funkce nebo také vyhlazovací jádro. Uvažujme funkci /: U —> R takovou, že fv f (x) dx existuje. Potom pro libovolné e > 0 lze na množině U£ definovat funkci f£ = r\£ * /, tj. pro každé x £ U£ klademe ľ (x) = j Ve {x -y) f (y) dy= j r]£ (y) f (x - y) dy. U B(0,e) Funkce f£ se nazývá regularizace funkce f a má vlastnosti: 1. f££C°°(u£y, 2. f£ —> f pro e —> 0+ skoro všude (na U, resp. U£ —> U pro e —> 0+); 3. jestliže / E C (U), pak f£ —> f stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině množiny U; 4. jestliže / E Lp(loc) (U) pro p E [1, 00), pak \\f£ - f\\qioc){u) ^ 0 pro e ^ 0+ 22 6.3 Fourierova transformace V této podkapitole budeme uvažovat funkce nabývající komplexních hodnot. Definice. Pro funkci u E L1 (R™) definujeme její Fourierovu transformaci jako (6.3.1) Fu (y) = u{y) = . 1 f e~ixyu (x) dx, y E R™ a její inverzní Fourierovu transformaci jako u (y) = . 1 / eixyu (x) dx, y E R™ Poznámka. Poznamenejme, že tato definice je korektní, neboť \e±lxyu (x) | dx < \u (x) | dx < oo. V teorii PDE potřebujeme, aby Fourierova transformace byla definovaná na celém prostoru L2 (R™). Ovšem L2 (R™) netvoří podmnožinu L1 (R™). Lze však ukázat, že u E L2 (W1), když u E L1 (R™) n L2 (R™). Navíc zobrazení F: L1 n L2 —» L2, F: u^ru\e, izometrické, tj. IMIl2(,r™) = INIl2(r™)- Toto izometrické zobrazení lze s využitím úplnosti L2 (R™) rozšířit na izometrii L2 (R™) na L2 (R™). Příslušné rozšíření se také označuje za Fourierovu transformaci, resp. se mluví o Plancherelové transformaci. Věta (Plancherelova). Nechtu E L1 (R™) n L2 (R™). Potom u,u E L2 (R™) a platí (6.3.2) INIl2(íí") = II^IIl2(K") = IMIl2(r™)- Důkaz. Dokažme tvrzení pouze pro u, tvrzení pro u lze obdržet analogicky. Nechť f,g E L1 (R™). Pro y ERn platí Odtud plyne —Ľ= f e~ixyf (x) dx < —L= f \f (x) | dx = konst ■ £0o(Rn) = inf {a; 1^^) | < a pro s. v. x e R™} < konst ■ ||/||£i(R») < °o> tj. /, g E L°° (Rn). Dále je / (x) 9 (x) dx = 1 / / e lxyf {x) g {y) dx dy = I f (y) g (y) dy. 23 Pro každé e > 0 dostáváme í d(y)e e'y'2 dy = f g (x) e~£\y\2 áx = —-== í g (x) e '4i dx, J J J(9f\n J Kn r™ V y ' kn t,i- í g(y)e-s\y\2dy=-rL= f g (a ' J(2e)n J E" V V ' K" (6.3.3) / g (y)e-£m" dy = ' -. I g (x) e_Jt dx. Pro u E L1 (M.n) n L2 (M™) položme v (x) = u(—x), x E R™, w = u * v. Lze ukázat, že w E L1 (W1) n C (R™). Pro y EW1 platí w(y) = u*v(y) = (2ir) 2 j e lxy J u(z) v (x - z) dz dx = E™ Rn = (2tt)-^ Je-izyu(z) J e-i{x'z)vv (x - z) dxdz = v(y) j e-'lzyu(z) dz = (2tt)? ú (y) d (y) v (y) = (2tt)"2 J e~lxyu(-x) dx = (2tt) 2 / e-i(-x)ytt (_xj dx = Ú(y). á" Celkem w = (2tt)^ \u\2. S využitím spojitosti w získáváme lim (2e) 2 / io (z) e 4e dar = to (0) ■ (2n)2 . £-»■0+ J En To spolu s (6.3.3) dává y w; (y) dy = (2tt)^ ■ w (0). IR" Odtud dy = to (0) = / ti (x) v (—a;) dx J \u (y) |2 dy = J— y Ú5 (y) E" \/(27r) = y m (x) w (x) dx = J \u (x) |2 dx. En E" Tedy O — IfIIl2(R")' □ Plancherelova věta nám dává již zmíněnou možnost definovat Fourierovu transformaci na celém L2(M.n). Pro libovolnou funkci u E L2 (Rn) volme posloupnost {u,}^ C L1 (Rn) n L2 (Rn) takovou, že ut -> u pro i -> 00 v L2 (Rn). Vzhledem k (6.3.1) a (6.3.2) platí ll^í ~ ^IU2(rn) = IK ~ uj\\l2(R") = IK - uíIIl2(E")- 24 To znamená, že posloupnost {ú{\°^1 je cauchyovská v L2 (W1). Protože je L2 (R™) úplný, existuje limita posloupnosti {uí}°^1, kterou označme jako u. Je zřejmé, že u nezávisí na zvolené posloupnosti {uí\°^=1i tj. zavedení u je korektní. Podobně lze zavést také u. Věta. Pro libovolné funkce u, v E L2 (R™) platí , (x) ■ v (x) dx = j ú (x) ■ v (x) dx. Důkaz. Nechť u,v £ L2 (R™), a E C. Pak platí |^ + cHl!2(Rn) = \\U + Oiv\\L2(jgLnyi tj. (u + au) (u + au) = j (u + au) (u + atíj , IR" (\u\2 + olvu + ttvu + |oíi;|2^ = / (\u\2 + olvu + ävu + |oíÍ;|2^ , (auv + auv) = j [auv + auv^j . Zvolme a = 1, kdy 2 / Re (uv) = uv + uv = / uv + uv = 2 / Re [uv Pro a = i pak podobně platí 2i J Im (uv) = 2i y Im ^ím;^ . Odtud dostáváme uv = uv. In m n □ Věta. Pro každý multiindex a a funkci u E L2 (R™) takové, že Dau E L2 (R™), je Ď^u(y) = (iy)a -u(y) v L2 (R™) . Důkaz. Lze využít toho, že (R™) je hustá množina v L2 (R™). Proto se lze omezit na funkci uEC^(Rn), pro kterou Dau (y) = (2tt)" J e-lxyDau(x) dx = IR" = (-1)H ■ (2tt)-Š í Da (e"^) « (a;) dx = (iy)a u (y). □ 25 Věta. Pro u,v £ L1 (Rn) n L2 (Rn) platí ií*v = (2tt) 2 Si? v L2 (Rn). Důkaz. Plyne z důkazu Plancherelovy věty. □ Věta. Pro každou funkci u £ L2 (M.n) je u = {ůy v L2 (M.n). Důkaz. Pro libovolné u,v £ L2 (W1) je u(x)v(x) dx = j (2ir) ~ž j elxyu{y) dyv(x) dx = = (27r)"t í í eixyu(y)v(x) dx dy = u (y) (2tt) 2 / éxyv (x) dx \ dy = / u (y) v (y) dy v (y) = (2tt) 2 / éxyv (x) dx = (2tt) 2 / e~ixyv{x) dx = v(y). Proto je (v,y(x) ■ v {x) dx = I u (x) v (x) dx = I u (x) v (x) dx = I u (x) v (x) dx. tj- {{uj- u, v)L2,Rn) = / [{ůy- u] v = 0 pro libovolné v £ L2 (R™). Jediný prvek L2 (R™) ortogonální ke všem ostatním je nulový prvek, tj. {ůy= u v L2{Rn). □ Příklad. Uvažujme rovnici -Au + u = f naRn, kde f £L2 (R™) D C (R™) D L1 (Rn). Víme, že D(o,ó^flfi,o,...0)u{x) = {ixl)2ů{x), a tudíž {—Au + uy{x) = \x\2ů {x) + ů {x). Zadaná rovnice přejde na (l + \x\2)ů{x) = f{x), což je algebraická rovnice s řešením u(x> = i + UI2' u(x) 26 f{y) {x) Zkráceně psáno, je (27T) 2 f * l + \y\2 ' Zbývá stanovit y x+|y|2)' co^ Mcmz'ž fcwpř. pomocí teorie funkcí komplexní proměnné se ziskem 1 i + M: e 4t '2n J t2 o dí, a; G Lze ověřit, ze funkce u (x) = (4tv)~% je řešením zadané rovnice. Í2 27 7 Laplaceova a Poissonova rovnice Laplaceovou rovnicí se rozumí (7.1) Au = 0 naU a rovnice Poissonova je tvaru (7.2) -Au = f naU, kde u: U C R™ —> R, /: Č7 —» R, ř7 je otevřená množina. Tyto rovnice bývají doplněny jednou z podmínek (nejčastěji při ohraničenosti U). Pro g: dU —> R se uvažuje: (a) Dirichletova podmínka u (x) = g (x) , x G <9ř7. (b) Neumannova podmínka du —^(x)=g(x), x G <9Č7. an Uvažujme komplexní funkci komplexní proměnné /: U C C 4 C, která je holomorfní. S ohledem na identifikaci C s R x R lze psát z G C jako z = x + \y, a tedy f(z) = u(x,y) +iv (x,y) , kde u je reálná část, v imaginární část /, přičemž u,v: U C R x R —)■ R. Platí /W_ lim /(i±^WM = v 7 Az^O Az u(x + Ax,y + Ay)+\v (x + Ax,y + Ay) u (x, y) + iv (x, y) = nm -*-r~7---t-r~7- = (Ax,Ay)->(0,0) Ax + \Ay Ax + íAy u (x + Ax, y + Ay) - u (x, y) . v (x + Ax, y + Ay) - v (x, y) = lim------h i lim-----. (Ax,Ay)->(0,0) Ax + ÍAy (Ax,Ay)->(0,0) Ax + ÍAy Protože /' (z) existuje, existují i obě dvojné limity a konečně existují také ve směrem (Ax, 0) a (0,Ay), kdy , u(x + Ax,y) - u(x,y) . v (x + Ax,y) - v (x,y) du ,dv t (z) = lim----h i lim--- = ---hiT7-, Ax^o Ax Ax^o Ax dx dx , u(x,y + Ay) - u(x,y) . v (x, y + Ay) - v (x, y) .du dv t (z) = lim -—--hi hm -—-= —i——h —. Ay^o íAy Ay^o íAy oy oy Porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme tzv. Cauchyovy-Riemannovy podmínky (též rovnice) du dv dx dy' du dv dy dx Neboť má / derivace všech řádů, je uxx = vyx = vxy = —uyy, vyy = uxy = —vxx. To znamená, že reálná i imaginární část holomorfní funkce vyhovuje rovnici (7.1), tj. d2u d2u d2v d2v dx2 dy2 dx2 dy2 28 Dennice. Funkce u E C2 (U) splňující Laplaceovu rovnici se nazývá harmonická. Ve skalárním případě n = 1 je řešení (7.1) triviální. Pokud je U = (a, b) C K, pak každá harmonická funkce na U je tvaru u (x) = ax + /3, kde a, /3 6 R. Je-li U C M libovolná otevřená množina, potom lze U právě jedním způsobem vyjádřit jako sjednocení nejvýše spočetně mnoha po dvou disjunktních intervalů U = ue^i (aí> ^í)> kde ™éNU {°°}- Funkce u je pak na každém intervalu (aj, b i) tvaru u (x) = aiX+fti. Pro n > 2 se situace komplikuje. Je zřejmé, že lineární funkce (7.3) u(xi,..., xn) = c^x\ + ■ ■ ■ + anxn + j3 je řešením (7.1) na libovolném U. Nelze obecně dosáhnout toho, aby funkce (7.3) splňovaly předepsané okrajové podmínky na dli. Rovnice (7.1) je lineární. Proto má smysl „najít význačná řešení" a ostatní z nich „sestavit". Důležitou roli hraje zjištění, že rovnice (7.1) je invariantní vzhledem k rotaci. To je obsahem následujícího lemmatu. Uvažujeme U = K™. Lemma. Je-li u E C2 řešením (7.1) a je-li R = ijíjfl^x ortogonální matice, "potom funkce v definovaná jako v (x) = u (Rx) je řešením (7.1) také. Důkaz. Platí / n n \ v(xi, ...,xn)=u\ ^njXj,.. . ,'Y^r^x 3=1 j=l I a tedy dv du d2v d2u dxk f^dyi dx% ^dy.dy^ Odtud " d2v " " d2u " a2^ " Av £^ £ £ ^'•"'>=£ ^ £r*r*= = y ^ j. = y ^ = Au = 0 Proto budeme hledat řešení (7.1) na U = K™ ve tvaru u (x) = v (r), kde r = \x\ = y x2 + ■ ■ ■ + x\. Platí dr xl —— = — pro i E {1,.. . ,n}, tj. pro \ {0} je uxi=v'{r)—, uXiXi = v" (r) (— ] +v'(r)(--^), r \r / \rrúJ i=l i=l (r) (v 1 xl r n 1 r r □ 29 Dostáváme tak ODE 71 — 1 (7.4) v" (r) +-v' (r) = 0, r kterou vyřešíme. Položme v' (r) = z. Pak , n + 1 z +-z = 0, r z - = w, r wr + w = — (n — 1) w, w' n w r' log\w\ = — logr™ + log A, k > 0, k l , w = —, k Ťt 0, w = - = 4r> k G R, k- = v' (r) . Jako řešení (7.4) tak máme v' (r) = r.reQ_1 pro jisté a. To znamená, že pro r > 0 je >(r) 6 log r + c, n = 2; Ď3r=2+c, n > 3. Definice. Funkce <ř: R™ \ {0} —> R definovaná vztahem (7.5) $w = rv^' i se nazývá fundamentální (elementární) řešení (7.1) na R™ \ {0}. Zřejmě zobrazení x i—)■ <ř (x — y) je řešení (7.1) na R™ \ {y} pro každé y G R™. Také funkce a; i—> <£> (x — y) / (y) je řešení rovnice (7.1). Konečně libovolná lineární kombinace tvaru E™ i ®(x- yi) f {yi) je řešením (7.1). Věta. Necht f G C2 (R™). Funkce u(x) = $(x-y)f (y) dy -^SE?log(\x-y\)f(y)dy, n = 2; i(n-2)a(n) /lRn |x-y|"-2 > 3 je índ?/ C na R™ a platí -Au = f na R™. Definice. Objemovým průměrem se rozumí / f(y)dy=—±— í f{y)áy J B (x,r) a(n)rn J B (x,r) 30 a plošným průměrem poté / fiv) JdB(x,r) dS 1 na in) rn 1 ' (y) dS. 8B{x,r) Uvažujme opět n = 1, U = (a, b), B[x, r] = [x — r, x + r] C (a, b) a u (x) = ax + /3. Platí x+r f u(y) dy= — c J B (x,r) 2r J ay + j3 dy 1 2r ay (3y x+r 1 t ol(x + r)2 a (x — r)2 1 2r , 2(3r 2 2 (2axr + 2/3r) = ax + /3 = u (x) Podobně je j- u (y) dS = u (x) JdB(x.r) >dB(x,r) Ukážeme si, že tohle platí pro obecné n. Věta. Necht u je harmonická funkce na otevřené množině U C R". Potom je u (x) = f u (y) dy = f u (y) dS J B (x,r) JdB(x,r) pro každou kouli B [x, r] C U. Důkaz. Necht B [x, r] C U pro jistá r a pro ně definujeme funkci (p (r) = j- u (y) dS(y) = 4- u (x + r z) dS(z). JdBíx.r) JdB(OA) Derivováním dostáváme (p' (r) = j- Du JdB(0,l) (x + r z) ■ z dS(z) = f Du (y) —-dS{y) = JdB(x,r) r / ^{y)dS{y) = -í Au(y)dy = 0. JdB(x.r) On nJB(x,r) du ldB(x,r) dn njB(x,r) To ovšem znamená, že ip (r) je konstantní pro r > 0. Tudíž je (f (r) = lim (p (r) = lim -f u (y) dS (y) = u (x) r^0+ JdB(x,r) Dokázali jsme, že Dále platí (x) = i u (y) dS(y). JdB(x,r) u(y) dy = j I J u (y) dS(y) ) 0 \dB(x,s) j ds = J na (n) sn 1u (x) ds = a (n) u (x) rr" 0 31 tj. u (x)= i \ r, Í u(y) dv = í u (y) dy- a(n)rn J J B(x,r) B (x,r) □ Věta. Nechť u E C2 (U) splňuje na každé kouli B [x, r] C U podmínku (x) = f u(y) áS(y). JdB(x,r) ldB(x,r) Potom je funkce u harmonická na U. Důkaz. Předpokládejme sporem, že existuje x E U takové, že Au (x) 7^ 0. Protože x E U°, existuje r > 0 dostatečně malé, aby B [x, r] C U a současně Au (y) yí 0, y E B [x, r]. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že Au (y) > 0 pro všechna y E B [x, r]. Pro funkci dB(x,r) z předchozího důkazu získáváme 0. nJB(x,r) 3{x1r) To je spor, neboť máme u (x) = lim + u (y) dS(y) = tp ( 0+ ) < tp (s) = + u (y) dS(y) = u (x) r^0+JdB(x,r) V ' JdB(x,s) pro jisté s. □ Uvažme opět n = 1 a U = (a,b). Každá harmonická funkce na U je tvaru u (x) = ax + /3. Necht u E C2 (U) n C (U). Zřejmě u nabývá svých extrémů na hranici dU, tj. maxíí (x) = max u (x) , minu (x) = min u (x) Navíc, nabude-li u extrému na U, pak je konstantní. Princip maxima tvrdí, že předchozí platí také pro obecné harmonické funkce. Věta. Necht U C R" je otevřená a ohraničená množina a funkce u E C2 (U) n C (U) je harmonická na U. Slabý princip maxima: Platí maxíí (x) = max u (x). x€U x^du Silný princip maxima: Je-li navíc množina U souvislá, tak existence bodu xq E U splňujícího u (xq) = m&xx€jju (x) zaručuje, že u je konstantní na U. 32 Důkaz. Nejprve dokážeme silný princip maxima. Nechť U je souvislá a nechť příslušné xq e U. Označme m = u (x q) = m&xx€jju (x). Pro r e (0, dist (xq, dU)) máme M = u (x0) = f u (y) dy < M. JB(x0,r) Ze spojitosti u plyne, že u = M na B (xo,r), tj. xq je vnitřní bod množiny A = {x e U; u (x) = M}. Množina A je otevřená v U a současně je uzavřená v U. Neboť je U souvislá, tak jediné obojetné množiny v ní jsou 0 a U. Proto A = U. Tím jsme dokázali, že u = M na U. Nyní dokážeme slabý princip maxima. Zvolme souvislou komponentu X množiny U, na jejímž uzávěru nabývá U svého maxima. Znovu platí, že množina B = < x e X; u (x) = max tí (jj) > { y^x J je 0, nebo X. Pokud B = 0, pak maximum leží na d X C dU. Pokud B = X, pak u = max^g-^?i (y) a tvrzení plyne z toho, že u e C (U). □ Poznámka. Pokud je U souvislá a tí G C2(U) n C (U) je řešení problému Au = 0 na U, u = g na dU, kde g > 0, potom je funkce u kladná na celém U, když je g kladná aspoň někde na dU. Věta. Necht U C R" je otevřená a ohraničená množina, g e C(dU), f e C {U). Pak existuje nejvýše jedno řešeni u e C2(U) n C (U) okrajové úlohy —Au = f na U, u = g na dU. Důkaz. Nechť existují dvě různá řešení u±, ui- Pak funkce wi = u± — u2 a u>2 = u2 — u± jsou harmonické na U a nulové na dU. Dle principu maxima jsou tyto funkce w±,W2 nekladné na U. Odtud plyne, že u± = U2 na U. □ Připomeňme, že pro n = 2 se harmonické funkce objevují jako reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Věta. Necht funkce u e C (U) splňuje podmínku u(x) = f u (y) dS(y) J B (x,r) pro každou uzavřenou kouli B [x, r] C U. Potom je u e C°°(U). Důkaz. Buď e > 0, r\£ standardní regularizační funkce. Pro x e U£ = {x e U; dist (x, dU) > e] položme u£ = j]£ * u. Označme jako rj funkci r\ pro n = 1. 33 u£ Potom pro x E U£ dostáváme (x) = J V£ (x - y) u (y) dy = Jn u (y) dV : U u 1 ľ í x — y J v[——)u(y)dy B(x,e) \ u (y) dS(y) e 1 t' Ír e" dr \dB(x,r) ) e —u (x) na (n) J rj ^—^ r™-1 dr = u (x) J n£ (y) dy = u (x) Tedy u = u£ na U£. Z vlastností konvoluce plyne, že vř E C°°(Ue). Protože e > 0 bylo libovolné, je u E C°°{U). U Věta. Necht funkce u je harmonická na u. Potom pro každou uzavřenou kouli B [xq, r] C u a každý multiindex a délky k platí I^M^o)| < ^ j \u(x)\dx, B(x0,r) kde 1 (2n+1-n-k)k c0 = —-, ck = ±-———, Ä G N. a [n) a [n) Uvažujme ohraničenou harmonickou funkci u na R™, tj. necht \u (x) \ < M pro jisté M > 0 a všechna x E R™. Pro libovolné r > 0 a bod xq dostáváme konst /* rn \Du (xq) j < n+1 J \u (x) | dx < n+1 ■ konst —> 0 pro r —> oo. konst B(x0,r) Protože xq byl libovolný bod, je Du = 0 a u je konstantní na Věta (Liouvilleova). Necht funkce u je harmonická a ohraničená na R™, potom je u konstantní. Věta (O reprezentaci řešení Poissonovy rovnice ). Necht f E C2(R™) a n > 3. Každé ohraničené řešení (7.2) na R™ je tvaru u(x) = J <ř (x - y) f (y) dy + c, x E R™, K" kde c je konstanta. Důkaz. Pro n > 3 je <ř tvaru n (n — 2) a (n) \x\n 2 ' XyíO, 34 a tedy pro \x\ —> oo máme <ř (x) —> 0. Funkce u(x) = $(x-y)f (y) dy je tedy ohraničené řešení (7.2). Je-li v jiné ohraničené řešení úlohy (7.2), potom je funkce w = u — v ohraničené řešení (7.1). Podle Liouvilleovy věty je funkce w konstantní, tj. v = u + c, kde cel. □ Poznámka. Pro n = 2 předchozí věta neplatí, protože fundamentální řešení není ohraničené pro \x\ —> oo. Odhady derivací harmonické funkce dále umožňují dokázat: Věta. Každá funkce, která je harmonická na U, je také analytická na U. Definice. Nechť U C Rn je libovolná otevřená množina a V je otevřená množina splňující V C V C U, V je kompaktní. Říkáme, že V je kompaktně vnořená do U; a píšeme V C C U. Protože V je kompaktní, je dist (V, dU) = inf {dist (x, dU); x e T7} > 0. Z toho vyplývá, že lze každou harmonickou funkci u na U vyjádřit na V pomocí průměrů stejného poloměru. Pokud je funkce u kladná, znamená to, že u nemůže být v jistém bodě V „příliš velká", pokud není „velká" v každém bodě množiny V. Říkáme, že kladná harmonická funkce je souměřitelná. To je obsahem následující věty. Věta (Harnackova nerovnost). Necht V je souvislá množina v R™ taková, že V C C U. Pak existuje konstanta c > 0 závisející pouze na V s vlastností, že pro každou kladnou harmonickou funkci u na U platí sup u (x) < c ■ inf u (x) , tj. — u (jj) < u (x) < cu (y), x, y e V. Důkaz. Položme r = j dist (V, dU). Je-li x, y e V, \x — y\ < r, pak u (x) = i uo \n í u (Č) dŠ - i wo \n í u (0 d^ = a (n)(2r) J a (n) (2r) J B(x,2r) B (y,r) B(y,r) tj- 2nu(y)>u(x) > ^u(y). Protože V je souvislá kompaktní množina, lze ji pokrýt uzavřenými koulemi B±,..., Bpj o poloměru r/2 takovými, že Bi n -B^+i 7^ 0, i e {1,..., N — 1}. To znamená, že pro všechna x,y e V platí N (2n)Nu(y)>u(x)>^ u(y) □ 35 Hledejme dále řešení rovnic (7.1), (7.2) splňující Dirichletovu okrajovou podmínku. Předpokládejme, že U je otevřená a ohraničená a dU je třídy C . Naším cílem je získat formuli řešení úlohy —Au = f na U; u = g na dU. Nechť u je libovolná funkce z C2(Č7). Zvolme libovolně x £ U. Nechť e > 0 je tak malé, že B [x, e] C U. Označme V£ = U-B[x,e}. Opět n značí jednotkový vektor vnější normály k dV£. Třetí Greenova identita dává ľ f <9 du J u (y) A(y)$ (y - x) - $ (y - x) Au (y) dy = J u (y) (y - x) - $ [y - x) [y) dS{y). V£ dV£ Z vlastností fundamentálního řešení $ plyne, že J u{y)A{y)$(y-x) dy = 0. Snadno můžeme spočítat, že D$ (y - x) -1 y — x y i-x. na (n) |y — x|' Pro j/ G <9-B (x, e) je n = — Protože |j=* = n" ■ Z?<í>, dostáváme pro y G <9-B (x, e) vyjádření 1 <9<í> Tpt(y-x) on na (n) en 1 a tedy ľ <9<ř 1 f 7 u^>ff^^-x) dS^ = wa(w)gn-i y «(y)d5(y)-^«(a;) pro e -»■ 0+ 9B(x,e) Současně dostáváme následující odhady <9 u 9B(i,e) dB(x,e) 3t ■ ceas(o,e) Pro e —?> 0+ získáváme (7.6) u (x) / * (y - x) (y) dS(y) < max |$ (x) | /" |D« (y) | d%) < J On x£dB(0,e) J (x,e) dB(x,e) = konst ■ max 1$ (x) I / d5(y) = konst ■ max |<í> (x) \en~1 —>■ 0 pro £ -> 0 xe3B(0,e) J xedB(0,e) dB(0,e) au du d$ $ (y - x) —f (y) - u (y) —^(y-x) on On dS{y) -J $(y-x)Au (y) dy U 36 pro všechna x £ U a každou funkci u £ C2(U). Nyní máme úlohu vyřešenu pro kombinaci du Dirichletovy a Neumannovy podmínky. Abychom nemuseli uvažovat výraz M^, zavedeme tzv. korekční funkci ipx = ipx = ipx (y) pro x £ U, která je řešením problému Aipx =0 na U; ipx = <ř (y - x) na dU. Třetí Greenova identita dává (px (y) Au(y) dy = (7.7) = " J A^x (y) u(y)dy+J^ (y) u (y) dS(y) - J J| (y) Vx (y) dS(y) u au au u (y) —r (y) - $ (y - x) (y) dS(y). on on au Definice. Greenovou funkcí pro množinu U rozumíme funkci G(x,y) = $(y-x)- 0}. Tato množina není ohraničená. Je nutné přímým výpočtem ověřit, že získaná formule opravdu dává řešení zadaného problému. Začneme u <ř a odstraníme jeho singularitu pomocí tzv. reflexe přes hranici <9R™ = {xn = 0}. Reflexí bodu x = (x±,.. . , xn-\, xn) £ R™ rozumíme bod x = (x±,. .. , xn-\, —xn). Položíme-li ipx (y) = $ (y - x) = $ (t/i - xi,..., t/„_i - xn-i,yn + xn), x £ R™ , y £ W^, x yíy, 37 vidíme, že funkce ipx nemá na R™ singularity a že AVX (y) = A(y)$ (y - x) =0 na R™. Navíc pro y E <9R™ je x = Lze ukázat, že G (x, y) = $ (y - x) - $ (|a;| (y - x)) 38 a že Poissonova formule pak je na (n) J \x — y\n dB(0,l) přičemž za vhodných předpokladů jde o řešení okrajového problému Au = 0 na B (0,1); u = g na dB (0,1). Na závěr ještě jednou uvažujme otevřenou a ohraničenou množinu U s hranicí třídy C a okrajový problém — Au = f na U: u = g na oU spolu s jeho tzv. energetickým funkcionálem u kde funkce w přísluší přípustné množině Y = {w e C2(U); w = gn& dU}. Věta (Dirichletův princip). Je-li u E C2(U) řešením (7.11), potom je (7.12) I[u] = inf I[w] . Jestliže u E Y splňuje (7.12), potom je u řešením (7.11). 39 8 Rovnice vedení tepla Je tvaru (8.1) ut-Au = 0, resp. nehomogenní rovnice vedení tepla je tvaru (8.2) ut-Au = f, přičemž t > 0, x E U pro otevřenou množinu U C R", u: U X [0, oo) —> R je neznámá funkce a Laplaceův operátor se uvažuje pouze vzhledem k x = (x±,... ,xn), tj. Au = Axu = J2í=iuxíxí, f. U x (0,oo) —> R je známá funkce (často se uvažuje / E C (U x [0, oo))). Je-li funkce u = u (x, ť) řešením rovnice (8.1) na R™ x (0,oo), pak pro libovolné pevné A je také funkce u (Xx,X2ť) řešením (8.1). Uvažujme proto (8.3) u (x, t) = (j^j , xERn,t>0, kdy kromě funkce v: R™ —> R je třeba určit také hodnoty konstant a,(3 E R. Dosazením (8.3) do (8.1) s použitím / ,\ 1 (x\ xn \ — a (x \ /3 (x ut (x, t) = ——v —3---, 0 , -, xDv Uxi (*> *) = -JrěV^ ( 7Ř ) > i = 1 uxíXí (x, t) — ^aJr2l3Vxixi \ +6 ) ' i — í, ■ ■ ■ ,n, 1=1 Au (x, í) = X) uXiXi = jJf2ěAv I JU získáváme a ■ ( * ) + pr^Dv (£) + t-^Av (I) = 0. Položme y = x/t@ a následně j3 = 1/2. Tím obdržíme (8.4) av (y) + ^yDv (y) + Av (y) = 0. Hledejme radiálně symetrická řešení vzhledem k prostorovým proměnným, tj. předpokládejme, že v (y) = w (\y\) pro w: R —> R. Potom (8.4) přejde do tvaru 1 / , // , n - 1 , aw -f- — kde 1 f n n — i f aw H—rw + w H--w = 0, 2 r r = \y\ = yvi^—+vl, ryto, '' = —. 40 Výše stačí uvážit, že a ze = w" (r) Zvolme a = n/2. Dostáváme —-=w(r)—, ie{l,...,n}, oyi r -yDv (y) = -w (r)---= -w (r) ■ r av(2/) = ž|-("/(r)7 w' (r) w' (r) n- n 1 , „ n — 1 , —w H—rw + w H--w = 0, 2 2 r "\n~xw + X-rnw' + r"-V + (n - 1) r™" V = 0, (r"" V)'+l-{rnw)' = 0, a tudíž rn 1w' + -rnw = a 2 pro jisté BeR, Volme a = 0, což vede na 1 w' =--rw. 2 Obecné řešení této diferenciální rovnice je Celkem dostáváme w (r) = b ■ e * , b E 2 u (x, t) = -^v (jj^j = t ^vi^xt ^=t zw(\x\t 2^=6í Se '« . Lze ověřit, že tato funkce je řešením rovnice (8.1) pro každé b E R. Definice. Funkce <ř: (R™ x R) \ {(0, 0)} —> R definovaná vztahem , . í^-^re-^r, igM",í>0; (x,t) = < (4ttí)2 [O, x E R™, t < 0, (x,t) ^ (0,0) se nazývá fundamentální řešení rovnice vedení tepla (též Greenova funkce nebo Gaussovo-Weierstrassovo jádro). 41 Poznámka. Často se píše <ř (x, t) = <ř (\x\, t). Pro každé t > 0 je J"K„ <ř (x, í) dx = 1, neboť 1 /• -Wŕ . 1 ľ _m2 . 1 $ (x, t) dx =-ň / e 4t dx = — / e |z| dz = — TT e z> dzt = l. (47TÍ)2 J 7T 2 J TV2 J Kn v ' Kn Kn l—oo Nyní uvažujme situaci, kdy prostorová proměnná je z R™. Úlohy, kde jako podmínka vystupuje to, že řešení nabývá v čase t = 0 předepsané hodnoty g (x) pro x E R™, se nazývají počáteční. Uvažujme tedy homogenní počáteční problém ut - Au = 0 na R™ x (0, oo); (8 5) V ' ' u = g na R™ x {í = 0}. Řešením rovnice vedení tepla je <ř až na singularitu v počátku (0,0). Z tvaru <ř je vidět, že pro libovolné pevné y E R™ je také výraz <ř (x — y, t) řešením až na singularitu v (y, 0). Věta. Necht g E C (R™) fl L 00 (R™) a funkce u je definována jako (8.6) u (x, t) = / $ (x - y, t) g (y) dy =---ň / e « g{y)dy J (47TÍ)2 J pro x e R™, t > 0. PaA; pkíz; í. u G C°°(Rn x (0,oo)); 2. ut (x, t) - Au (x, t) = 0 na R™ x (0, oo); 3. lim u (x, t) = g (xo) pro xq E R™. (x,t)-Kx0,0+) Poznámka. Je-li funkce g ohraničená, spojitá, nezáporná a g ^ 0, pak funkce u definovaná v (8.6) je kladná pro všechna x E R™, t > 0. Uvažujme nehomogenní problém ut-Au = f naRnx(0,oo); ^ ' ' u = 0 na R™ x {í = 0}. Zobrazení (x, í) 1-4- <ř (x - y, t - s) je řešení rovnice (8.1) pro y E R™, s E (0,ŕ). Volme s pevně. Pak je pro jistá / funkce u (x, t, s) = J $ (x - y, t - s) f (y, s) dy řešení jednoparametrického systému ut(-,s)-Au(-,s) = 0 nalnx(s,oo); u(-,s) = f(-,s) na R™ x {t = s}. 42 To je počáteční problém, kdy t = 0 je nahrazeno obecným okamžikem t = s. V ODE je známa metoda variace konstant umožňující pomocí obecného řešení homogenní maticové rovnice x' = A(t)x získat řešení rovnice y' = A(t)y + bit). Tato metoda je speciálním případem tzv. Duhamelova principu. Duhamelův princip tvrdí, že řešení u (—) problému (8.7) lze získat integrací řešení u(—,s) problému (8.8) přes s. Věta. Necht f G C2-1^" x [0,oo)), kde C2>\Ú) = {f: Ú ->• R; f,Dxf,D2J,ft G C(Ú)} je funkce s kompaktním nosičem, tj. f G C2'1 (M™ x [0,oo)). Definujme t t u(x,t)= / u (x, t, s) ds = / $ (x - y, t - s) f (y, s) dy ds = 0 0 K" í <Š>(y,s)f(x-y,t-s) dyds = /----/ e 4(t-) / (y, s) dyds J 47T (í - s) 2 J OK" 0 IRn pro j G 1", í > 0. PaA; pkžz: í. « G C2'1^™ X (0,oo)); 2. ut (x, t) - Au (x, t) = f (x, t) pro x eM.n,t> 0; 3. lim u (x, t) = 0 pro x0 E M™. (x,t)-Kx0,0+) Kombinace výše uvedených dvou vět nám dává řešení problému (8.9) ut - Au = f na Rn x (0, oo); u = g na K"x{í = 0}, kde g e C(Rn) D L°°(IRn) a / e C2^(Rn x [0,oo)). Řešení (8.9) získáváme ve tvaru í u(x,t) = J $ (x - y, t) g (y) dy + J J $ (x - y, t - s) f (y, s) dy ds. K" 0 K" Nyní se budeme zabývat situacemi, kdy je obor, na kterém uvažujeme řešení, omezen. Mluví se o počáteční a okrajové úloze. Definice. Nechť U C Rn je otevřená a ohraničená množina a nechť T > 0. Parabolickým válcem označujeme množinu UT = U x (0, T] a dále klademe Při zkoumání Laplaceovy rovnice jsme zjistili, že harmonické funkce splňují podmínky povrchového a objemového průměru. Pokud se pokusíme o to stejné v případě řešení rovnice vedení tepla, zjistíme, že formule, ve kterých by se integrovalo přes sféru či kouli, neplatí. Definice. Pro pevné x G M™, t G M, r > 0 položme E(x,t,r) = |(y,s) G M™ X (-oo, t) ; $ (x - y, t - s) > -^J. 43 Věta. Nechtu E C2^{UT) je řešením rovnice (8.1). Pak platí (8.10) u (x, t) = JL JJe^ u (y> s) \JLZA. dy ds pro libovolné E (x, t, r) C Ut- Poznámka. Všimněme si, že pravá strana (8.10) vyžaduje znát hodnoty u (y, s) pouze pro s < t. Příklad. Řešme počáteční úlohu ut - Au = 0 na Rn x (0, oo); u = g na Rn X {t = 0}. Fourierova transformace aplikovaná vzhledem k prostorovým proměnným vede na ut + \y\ u = 0 pro í > 0; u = g pro t = 0. 7b fee pro každé pevné y řešit se ziskem u{y,t) = e-\y\2tg{y). Platí tak g* F, kde F (y) = e"*^2. Ted?/ F (x) = (e-^Hc) = , 1 í e^-^dy = ^-ň-e-1^. 7b j'z'z dává u (x, t) = e 4t g{y)áy pro x e M™, í > 0. Věta. Necht funkce u e C2^{UT) n C(Č7T) je řešením rovnice (8.1) na ČTy. i. Pkíz max tt = maxíí. Je-Zz navíc množina U souvislá a existuje-li bod (xq,íq) 6 ČTy takový, že u (xo, ío) = max it, Í7T paA; je it konstantní na Ut0 ■ 44 Poznámka. • První část věty se nazývá slabý princip maxima a druhá část silný princip maxima. • Analogické tvrzení platí, pokud se maximum nahradí za minimum na všech místech. • Pokud řešení u nabude svého maxima (či minima) v nějakém vnitřním bodě (xo,to), potom bude funkce u konstantní ve všech bodech (x, t) souvislé komponenty obsahující bod (xQ,to), kde t < íq. To je v souladu s fyzikální interpretací. Důkaz. Uvažujme část 2. Nechť existuje (xo,to) E Ut takové, že M = u (xo, to) = max u. Protože Ut = U x (0,T], kde U je otevřená, tak pro všechna dostatečně malá r > 0 bude E (xq, to, r) C Ut- Podle vlastnosti průměru tak bude platit M = u(l,io) = _L jj u{y,s)^dyáa y E U pro k —> oo. Neboť je U otevřená, existuje s > 0 tak malé, že B (y, s) C U. Zvláště úsečka spojující body y,y-^ pro dost velká k leží v U. Množina Uje uzavřená v U; zřejmě je také otevřená v U. Souvislost U tak dává U = V. Zvolme libovolně bod (x, t), kde x E U, 0 < t < to- Vzhledem k výše dokázanému existuje konečná posloupnost bodů {xo, ■ ■ ■ ,xm = x} C U taková, že všechny úsečky v R™ spojující body xí-i,xí leží v U pro i E {1,... ,m}. Zvolme časy ŕo > t\ > ■ ■ ■ > tm = t. Potom úsečky Li C R™+1 spojující body (xj_i,íj_i) , (xí,U) leží v Ut0 pro i E {1,... ,m\. Položme ti = inf {s >t\; u (x, t) = M, (x, t) E L\, s < t < to} ■ Protože funkce u je spojitá, nabývá na L\ svého minima. Předpokládejme, že t\ > t±. Pak u(£i,ti) = M, kde ti) E L\. To podle výše uvedeného znamená, že u = M n& E (£1, t\,r) pro všechna dostatečně malá r > 0. Ovšem E (£i,Ti,r) obsahuje body (x, t) E L\, kdy t < t\. To je spor. Nutně tedy t\ = t\ & u = M n& L\. Opakováním této úvahy pro konečně mnoho úseček Li zjistíme, že u (x, t) = M. Bod (x, t) byl libovolný, u spojité na Ut- Celkem je tedy u = M n& Ut0 ■ První část plyne z dokázané druhé části. Stačí uvážit souvislou komponentu množiny U. □ Věta. Existuje nejvýše jedno řešeni u E C2,1(Ut) H C(Ut) počáteční a okrajové úlohy ut — Au = f na Ut', u = g na Tt- 45 Důkaz. Důkaz povedeme sporem. Nechť u±, u2 jsou dvě různá řešení uvažované úlohy. Potom funkce u\ 0 taková, že \u(x,t)\< Aea-^2, x E Rn, t E [0, T] . Potom je sup u = sup g. «n x [0,t] Kn Věta. Existuje nejvýše jedno řešení u E C2'1^™ x (0,T])nC(Mn x [0,T]) počat eční úlohy ut-Au = f na Rn x (0,T1; (8.11) u = g na 1" x {í = 0} splňující nerovnost (8.12) \u(x,t)\ 0. Důkaz. Nechť existují dvě různá řešení u±,u2 úlohy (8.11) splňující (8.12). Znovu uvažujme funkce u±2 = u± — u2 a u21 = u2 — u\. Tyto funkce jsou řešeními úlohy ut-Au = 0 nalnx(0,T]; u = 0 na Rn x {ŕ = 0} a splňují (8.12) pro jisté konstanty. Podle principu maxima pro počáteční úlohu jsou funkce u\ — u2 a u2 — iti nekladné na Rn x [0, T]. Tedy u\ = u2 na Rn x [0, T], což je spor. □ 46 Poznámka. • Lze dokázat, že úloha ut-Au = 0 nalnx(0,T]; u = 0 na R™ x {ŕ = 0} má nekonečně mnoho řešení a že právě s výjimkou nulového řešení všechna tato řešení rostou a klesají velice rychle. • Jediné řešení, které se fyzikálně interpretuje, je právě to nulové. Podmínka „nejvýše exponenciálního růstu" je tedy vynucena možnými i známými aplikacemi. • Rovnice vedení tepla má mnoho charakteristických vlastností, které nelze uspokojivě vnímat v aplikacích. Základní vlastností rovnice vedení tepla je však její schopnost „vyhlazování poruch". To je popsáno v následující větě. Věta. Nechť funkce u E C2^{UT) je řešením (8.1). Potom u E C°°(Ut)- Nadále budeme předpokládat, že U je otevřená, ohraničená množina v R™, její hranice je třídy C1 a že je pevně dán tzv. terminálni čas T > 0. Věta. Počáteční a okrajová úloha ut — Au = f na Ut', u = g na Tt má nejvýše jedno řešení u E C2,1(Ut)- Důkaz. Nechť u\, u2 jsou dvě řešení zadané úlohy, která jsou třídy C2,1(Ut)- Funkce w = ui — u2 řeší úlohu wt — Aw = 0 na Ut', w = 0 na Ty. Pro t E [0, T] definujme funkci Pro t e (0,T) je (ŕ) = wz (x,t) dx. u e (ť) = J 2w (x, t) wt (x, t) dx = 2 J w (x, t) Aw (x, t) dx U u dw 2 J -^w dS - 2 J Dw ■ Dw dx = -2 J \Dw\2 dx < 0. au u Podle definice funkce e tak je 0 < e (í) < e (0) = 0, t 6 (0, T]. To ovšem dává w = 0 na Ut, tj. lil = U2- □ Dále se věnujme tzv. problému zpětné jednoznačnosti, který je obsahem následující věty. 47 Věta. Necht funkce u E C2{UT) je řešením úlohy ut — Au = / na Ut; u = g na dU x [O, T]. Necht funkce u E C2(Ut) je řešením úlohy ut — Au = / na Ut; u = g na dU x [O, T]. Jestliže u (x, T) = u (x, T), x E U, potom u = u na Ut- Důkaz. Položme w = u — u a definujme funkci e: (0, T] K jako e (í) = J w (x, t) dx. u Stejně jako v důkazu předchozí věty lze ukázat, že e (t) = -2 J \Dw\2dx. u Dále pro t E (0,T) je e" (t) = -4 J Dw ■ Dwt dx = -4 í J dS - J Aw ■ wtdx\ =4 J (Aw)2 dx. U \dU U J U Proto pro t E (0,T) je W (*)]2 = 4 |Z?io|2 dx | = 4 | / -Tľ^Tf dS — / wAw dx on ■.u \dU 4 ^/ toAtodxj < Jw2dx ^4y (Atu)2 dxj e(í)-e"(í), vř7 / i/ \ ř7 kde jsme použili Hólderovu (Cauchyovu) nerovnost / (x) g (x) dx M < j \f(x)g(x)\dx< j f2 (x) dx M \M t g2 (x) dx KM přičemž /, g jsou spojité a integrovatelné na M. Zopakujme, že [e' (t)] < e (t) ■ e" (t) pro t E (0,T). Kdyby bylo e (t) = 0 pro t E (0,T], pak byw = u- ů = 0& důkaz by tím byl hotov. Předpokládejme proto, že existuje subinterval [íi, í2] £ (0,T] takový, že e (t) > 0 pro t E [ti,í2) a e (í2) = 0- Definujme funkci F: [íi,í2) —> ^ jako F (t) = log [e (í)]. 48 Pro t G (íi,í2) platí 1 F'(í) = e'(í) e (ty ef'(t)e(t)-(ef(t)r ^ F (í) =-iHť)-- °- To znamená, že na intervalu (ŕi, í2) je F konvexní, a tudíž je F ((1 - r) íi + rí3) < (1 - r) F (h) + tF (í3) , r G (0,1) , í3 G (*i,*2) • Dále získáváme e ((1 - r) íi + rí3) < [e (íi)]1"" ■ [e (í3)]r , r G (0,1) , í3 G (íi, í2) • Využitím spojitosti funkce e (stejnoměrné spojitosti w na kompaktní množině) máme e ((1 - r) íi + rí2) < [e (íi)]1^ ■ [e (í2)]r , t G (0,1) . To je ale spor 0 < e ((1 - r) íi + rí2) < [e (íi)]1_r -0 = 0, t G (0,1) . Tedy e (í) = 0 pro t G [íi, í2]. Důkaz je tímto hotov. 49 9 Vlnová rovnice Budeme analyzovat vlnovou rovnici (9.1) utt-Au = 0 a příslušnou nehomogenní rovnici (9.2) na -Au = f, kde x G U C R" pro otevřenou množinu U, t > 0, funkce /: U x (0, oo) —> R je známá (často se v literatuře uvádí /: U x [0, oo) —> R). Cílem je stanovit neznámou funkci u: U x [0, oo) —> R, která vyhovuje jistým počátečním a okrajovým podmínkám. Zdůrazněme, že n n d2u Au = YJuXlXl =E^2- i=i i=i uxi Ze zjištěných vlastností řešení Laplaceovy rovnice a rovnice vedení tepla se lze domnívat, že Laplaceův operátor A zajišťuje určité vlastnosti řešení (především řešení Laplaceovy rovnice a rovnice vedení tepla jsou třídy C°°). To však není pravda. Cesta, jak lze získat řešení n-dimenzionální vlnové rovnice, vede přes použití tzv. d'Alem-bertova vzorce, který řeší jednodimenzionální rovnice (9.1), (9.2), a metodu sférických průměrů, která umožňuje nalézt řešení pro n > 1. Uvažujme proto počáteční úlohu utt ~ uxx = 0 na R x (0, oo); (9.3) u = g naRx{í = 0}; ut = h na R x {t = 0}, kde funkce g, h jsou známy. Cílem je vyjádřit u pomocí g a h. Předpokládejme, že uvažované funkce jsou dostatečně hladké. Všimněme si, že vlnovou rovnici (9.3) lze zapsat v následujícím tvaru (9.4) (í + l)(ít-l)U = U"-U™ = 0 naRx(0,oo). Označíme-li (9.5) v(x,t)=(^--^ju(x,t), x£R,t>0, můžeme (9.4) přepsat jako vt (x, t) + vx (x, t) = 0, x £R, t > 0, což je však transportní rovnice z 2. kapitoly (kdy je b = (1)). Její řešení umíme stanovit jako v (x, t) = a (x - t), x E R, t > 0, přičemž a (x) = v(x,0). Dosazením do (9.5) získáváme lit (x, t) — ux (x, i) = a (x — i), x E R, t > 0, 50 což je nehomogenní transportní rovnice pro b = (—1), / (x, t) = a (x — t), x E R, t > 0. Její řešení také známe jako t x+t (9.6) „ (x, t) = J a (x + (t - s) - s) ds + b (x + t) = \ J a (y) dy + b (x + t) 0 x-t pro iGKai>0, kde b (x) = u (x, 0). Uvědomme si, že funkce a, b závisejí na funkci u pouze v čase t = 0. Můžeme tak využít počátečních podmínek se ziskem b (x) = u (x, 0) = g (x), iéM; a (x) = v (x, 0) = ut (x, 0) — ux (x, 0) = h (x) — g' (x), iéM. Návratem k (9.6) máme x+t 2 u{x,t) = \ I h (y) - g' (y) dy + g (x + t) , x E R, t > 0. X—t Tedy x+t (9.7) u(x,t) = -[g(x + t)+g(x-t)] + - J h (y) dy, x e R, t > 0. x—t Vzorec (9.7) se nazývá d'Alembertova formule. Tento vzorec jsme však odvodili za předpokladu, že u je dostatečně hladké řešení (9.3). Je proto nutné ověřit, že formule (9.7) udává řešení (9.3). Věta. Nechť g e C2(R), h e C1 (R) a funkce u je definována v (9.7). Potom piati: 1. u e C2(R X (0,oo)); 2. uu — uxx = 0 na R x (0, oo); 3. lim u (x, t) = g (xq), lim ut (x, t) = h (xq) pro všechna xq e R. (x,t)->(x0,0+) (x,t)->(x0,0+) Důkaz. Uvažujme postupně části 1.-3. 1. Lze dokázat triviálně. 2. Postupně derivujme ut {x, t) = \ [d {x + t)- g' {x-t)]+^[h(x + t)+h(x-t)} , utt {x, t) = i [g" (x + t)+ g" {x - i)] + i [tí (x + t)- tí [x - í)] , ux [x, t) = \ W {x + t)+ g' {x -t)]+^[h(x + t) -h(x- t)} , uxx (x, t) = i [g" (x + t) + g" (x - t)] + ^ [tí (x + t) - tí (x - t)] . 3. Lze dokázat triviálně. 51 □ Poznámka. Když uvážíme výpočty v předchozím důkazu, nabízí se pro libovolné F,G £ C2(R) položit (9.8) u(x,t) = F(x + t) + G(x-t) x £ R, t > 0, kdy dostáváme ut (x, t) = F' (x + t) - G' (x-t), ux (x, t) = F'(x + t)+ G' (x - t), utt (x, t) = F" (x + t)+ G" (x-t), uxx (x, t) = F" (x + t) + G" (x - t) pro i £ 1, í > 0. To znamená, že dokonce každá funkce ve tvaru (9.8) je řešením vlnové rovnice (9.1), když F,G £ C2(R) a n = 1. Poznámka. Z tvaru ďAlembertovy formule plyne, že při g £ Cfe(R), h £ Cfe_1(R) pro k £ N \ {1} je uvažované řešení u £ Ck(R), ale není obecně třídy Cfe+1(R). To znamená, ze nedochází k okamžitému vyhlazování vstupních dat. Již umíme řešit počáteční úlohu pro jednodimenzionální vlnovou rovnici. Jednoduchá úvaha nám umožní řešit také počáteční a okrajovou úlohu pro tuto rovnici na polopřímce R+ = (0, oo). Uvažujme problém utt ~ uxx = 0 na R+ x (0, oo); x {t = 0}; xx — 0 na R4 U = 9 na R4 ut = h na R4 U = 0 na {x (9.9) kde g,h £ R+ U {0} —> R jsou dané funkce takové, že g (0) = h (0) = 0. Úlohu (9.9) lze řešit tak, že ji převedeme na úlohu (9.3) lichým rozšířením funkcí u,g,h na celé R, tj. položíme u (x, t) = u (x, t), x > 0, t > 0; g (x) = g (x), x > 0; h (x) = h (x), x > 0; u (x, t) = 0, x = 0, t > 0; g (x) = —g (—x), x < 0; h (x) = —h (—x), x < 0; u (x, t) = —u (—x, t), x < 0, t > 0. Po rozšíření úloha (9.9) přejde na ''xx (x, í) = 0, R x (0,oo); u (x, t) = 9 (x) , R x {t = 0}: ut (x, t) = h (x) R x {t = 0} Nyní formulce (9.7) dává řešení původní úlohy (9.9) ve tvaru x+t u(x,t) = -[g(x + t)+g(x-t)} + - j h(y) dy, x—t 52 tj. (9.10) u {x, t) neboť pro 0 < x < t je x+t \[g(x + t)+g(x-t)] + \ J h (y) dy, 0 1, m > 2 a že u E C2(M™ x [0, oo)) je řešení počáteční úlohy utt - Au = 0 na R" x (0, oo); (9.11) u = g na R™ x {í = 0}; ut = h na R™ x {t = 0}, přičemž g je třídy alespoň Cm+1 a h alespoň Cm. Cílem bude odvodit explicitní formuli pro řešení u obsahující pouze funkce g a h. Odvození bude probíhat v několika krocích. Nejdříve si zavedeme místo funkcí u, g, h jejich průměry. Průměr z funkce u pak bude řešením Eulerovy-Poissonovy-Darbouxovy PDE, která se dá v případě lichosti n převést na jednodimenzionální rovnici. Tu vyřešíme použitím d'Alembertova vzorce, čímž získáme tzv. Kirchhoffův vzorec. Případ sudého n převedeme na vyřešený případ přidáním jedné proměnné a získáme tzv. Poissonův vzorec. Definice. Pro x E R™, t > 0, r > 0 položíme (9.12) U{x,r,t) = í u(y,t)dS(y), JdB(x,r) (9.13) G{x,r,t) = í g{y)dS{y), H{x,r,t) = í h{y) dS{y). JdB(x,r) JdB(x,r) Lemma. Necht u je řešením problému (9.11). Pro libovolné x E R™ je U E Cm(R+ X [0, oo)) a platí n — 1 Utt - Urr--Ur = 0 na R+ x (0, oo); r (9-14) U = G fifll+x{í = 0}; Ut = H na R+ x {t = 0}. Budeme zkoumat vlnovou rovnici pro liché n > 1. Případ obecného lichého n je technicky komplikovaný, a proto se soustředíme na n = 3. 53 Předpokládejme, že funkce u G C (R x [0, oo)) řeší (9.11). Označme U = rU, G = rG, H = r H, kde funkce U,G,H jsou definovány v (9.12), (9.13). Ukážeme, že platí (pro každé pevné x E Rn) urr = 0 na M+ x (0,oo); ú = G na M+ x {t = 0}; Ut = H na M+ x {í = 0}; ú = 0 na {r = 0} x (0,oo Snadno získáváme Utt = Mu = r r rUrr + 2Ur = — [rUr + U]=Ur or a zbývající je zřejmé. Z d'Alembertovy formule (9.10) pro i É ť, 0 < r < í plyne 1 (9.15) U(x,r,t) = -\G(x,r + t,0)-G(x,t-r,0)\+- / H (x, y, 0) dy. 1 r+t t-r Z (9.12) vime, že , (x, t) = lim U (x, r, t), xeRs,t>0. Proto z definice Ú a (9.15) dostáváme 1. u (x, t) = lim —U (x, r, i) r^0+ r lim r->0+ G(x,r + t,0)-G(x,t-r,0) 1 r+t 2r 2r H(x,y,0) dy t-r Gr (x,t,0) + H (x,t,0) pro x E M3, t > 0. Dále z definice G a H v (9.13) plyne (9.16) '(*'*) = ;§(*■/ g(y)dS(y))+t4 h(y)dS(y) Ot \ JdB(x,t) J JdB(x,t) pro x e R3, t > 0. Platí d -l g(y)dS{y) = -l g{x + zt)dS{z) OtJdB(x,t) OtJdB(0,l) ■f JdB(0,l) Dg{x + tz)-zdS{z) = l Dg(y)-—-^dS(y), JdB(x,t) t 54 což po dosazení do (9.16) dává (9.17) u{x,t) = l g(y)dS(y)+t-%--f g(y)dS(y)+t--f h{y)dS{y) = JdB(x,t) otJdB(x,t) JdB(x,t) = 1 [t.h{y)+g{y) + Dg{y)-{y-x)] dS{y) JdB(xl) pro x E R3, t > 0. Formule (9.17) se nazývá Kirchhoffův vzorec pro řešení počáteční úlohy (9.11 ) v R3. Pro obecné liché n = 2k + 1, kde k G N, lze dokázat, že dostatečně hladké řešení počáteční úlohy (9.11) musí splňovat formuli ,(x,t) (9.18) (n - 2)! d_ (\d_ dl Vtdt n—3 2 ť~2-f gdS JdB(x,t) 1 O \ 2 t dl vn-2 ■4 JdB(x,t) hdS kde s e M", i > 0, přičemž (n - 2)!! = (n - 2) ■ (n - 4) ■ ■ ■ 3 ■ 1. Věta. iVec/iŕ n > 3 je liché, g e Cm+1(Rn) ah e Cm(Rn) pro m = 2±1. Potom /wmtc definovaná v (9.18) má následující vlastnosti: 1. ue C2(Rn x (0,oo)); 2. uu - Au = 0 na Rn x (0, oo); 5. lim it (x, i) = g (xq), lim it^ (x, t) = h (xq) pro všechna xq 6 R™. (x,t)->(x0,0+) (x,t)->(x0,0+) Důkaz. Uvažujme postupně části 1.-3. 1. Platí triviálně (viz (9.18)). 2. Omezíme se pouze na případ n = 3. Předpokládejme, že g = 0. Pak je u{x,ť) = t-l h {y) dS{y) = t ■ H {x, t, tí). JdB(x,t) Pro jednoduchost budeme dále psát H (x, t) = H {x, t, tí). Platí iH (x, t) = H{x,t)+t- Ht (x, t), 9 d ' 2tHt+t2—Ht dt (9.19) utt (x, t) = 2 ■ Ht (x, t) + t ■ Htt (x, t) = -pro x E Rn, t > 0. Dále je H(x,t) = ^--f h{y)dS{y) = ^-l h{x + tz)dS{z) dt JdB(x,t) dt JdB(Q,l) y- x : / Dh JdB(0,l) (x + tz) ■ zdS(z) = / Dh (y) JdB(x,t) dS(y) 55 pro i £ K", í > 0. Odtud a b (x,t) a b\x,t) 1 3a (3) í2 B (x,t) A/i (y) dy, což po dosazení do (9.19) dává tdt \3a (3) 1 d 3a (3) t dt B (x,ť) j B (x,ť) = / &h(y) dS(y) = t-A-f /i (y) dS(y) = A(t- H (x, t)) = Au (x, t) 3a (3) t J JdB(x,t) d B (x,t) pro i É ť, i > 0. Je-li g = 0, pak ittt — Au = 0 na M3 x (0, oo). Podobně lze postupovat pro h = 0 a pomocí „srovnatelných" úprav potvrdit, že máme řešení vlnové rovnice. Obecný případ vyplyne z linearity rovnice. 3. Nechť xq £ R3 je pevně dané. Dostáváme lim u(x,t) = lim I [ŕ ■ h (y) + g (y) + Dg (y) ■ (y - x)} dS(y) = = lim j- [t ■ h(x + zť) + g (x + zť) + t ■ Dg (x + zť) ■ z] dS(z), (x,t)^y(x0,0+)JdB(0,l) tj- lim u(x,t) = f g (x0) dS(z) = g (xq) . (x,t)-Kx0,0+) JdB(0,l) Podobně se dá obdržet druhá z limit. □ Případ obecného sudého n je také technicky komplikovaný, a proto rozebereme pouze případ n = 2. Předpokládejme, že u E C2(R2 x [0, oo)) řeší počáteční úlohu (9.11). V tomto případě však není známa transformace, která by umožňovala Eulerovu-Poissonovu-Darbouxovu rovnici použít. Proto budeme dvoudimenzionální úlohu chápat jako úlohu třídimenzionální, ve které se třetí z prostorových proměnných nevyskytuje. Označme (9.20) u (xi, X2, xs, t) = u (xi, X2, t), xi, X2, X3 £ R, t > 0. Uvážením počáteční úlohy (9.11) zjistíme, že musí platit utt - Au = 0 na R3 x (0, oo); (9.21) H = g na l3 x {í = 0}; ut = h na l3 x (í = 0}, 56 kde g (x±, X2, x3) = g (x±, g2), h (x±, X2, £3) = h (x\, x2) pro x±, X2, x% E R. Označme ještě (9.22) x={Xl,x2)eR* x = (xi,X2,0) E R . Kirchhoffův vzorec vyjadřuje řešení úlohy (9.21) ve tvaru (spolu s (9.20), (9.22)) (9.23) u(x,t) = u(x,t) = ^-[t--f g{y) dS{y))+t-í h(y)dS(y), Ot \ JdB3{x,t) J JdB3{x,t) kde £?3 (ľč, í) je koule vR3 se středem x a poloměrem t. Lze však přejít ke kouli B2 (x, t) C R , neboť £^t)m dS®) = 3a{3)1*-i I Š(»)d5(y) = ^ / g(y) dS(y) = dB3(x,t) dB3(x,t) 2^í V - |x - y|2 y 2yB2(Xíí) y^- B2(x,í) Zcela stejně se upraví také druhý integrál (9.23). Celkem máme (9.24) u{x,i) = i|fr./ «<" ,d,)+g/ ,/<"' „d,. 2 dí y Jb2(x,í) Ví2 - |x - y\2 J 2 Jb2(x,í) v/í2 - \x - y\2 Protože ^2-\x-y\2áy=-, i ^-\x-y\2áy B2(x,ť) g{x + tz) t2dz = tí aix +tz) dz ty/l - \z\2 Tb2(o,i) V1 - \z\2 5(0,1) lze první výraz v (9.24) upravit na ^(H t,9{v) dy\=í g\X + tZ\dz + t4 Dg}X + tZ) -zdz = Ot \ JB2(x,t) \/t2 -\x -y\2 J Jb2(0,i) yl — \z\2 jb2(0,1) y/l - \z\2 = i ■ / ff(ž/) dy + t-l Dg ^ (y ~^ dy jb2(x,t) y/t2 -\y- x\2 jb2(x,t) y/t2 -\y- x\2 Nyní již můžeme (9.24) vyjádřit jediným integrálem jako (9.25) u{x,t) = \-í 2 Jb2(x i ■ g{y)+t2 -h{y)+t- Dg (y) ■ (y - x) (x,t) y/t2 -\y-x\ dy pro x E R2, t > 0. Vzorec (9.25) se označuje jako Poissonův. Pro obecné sudé n = 2k, kde k E N, lze ukázat, že dostatečně hladké řešení počáteční úlohy (9.11) musí splňovat u (x, t) (9.26) n —2 1 - ' " - ■ d í1 d ^ 2 I tn ľ g(y) dy i JB(xJ dt\tdtj \ JB(x,t) y/t2 - \y - x\2 tdt) \ JB(x,t) y/ť2 -\y-A 57 Pro n = 2 tato formule samozřejmě souhlasí s (9.25) a také se označuje jako Poissonův vzorec. Podobně jako pro lichá n > 1 je třeba ověřit, že (9.26) zadává skutečně řešení úlohy (9.11). To je obsahem následující věty, kterou lze dokázat podobně jako v případě liché dimenze. Věta. Necht n je sudé, g G Cm+1(Rn) a h E Cm(Rn) pro m = Potom funkce u definovaná v (9.26) má následující vlastnosti: 1. ue C2(R™ x (0,oo)); 2. uu - Au = 0 na R™ x (0, oo); 3. lim u (x, t) = q (xn), lim iu (x, t) = h (xn) pro všechna xq G R™. (x,t)-Kx0,0+) (x,t)-Kx0,0+) Poznámka. 1. Zatímco v případě lichého n > 1 stačí k výpočtu hodnoty u (x, t) znát hodnoty g, h a jejich derivací pouze na sféře dB (x, t), v případě sudého n potřebujeme znát hodnoty g, h a jejich derivací na celé kouli B (x, t). 2. Protože pro n > 1 obsahuje formule řešení derivace počátečních dat, tak již v libovolně malém čase t > 0 nemusí být řešení počáteční úlohy (9.11) tak hladké jako funkce g. 3. Z bodu 1 této poznámky a tvaru získaných formulí plyne, že podobně jako pro n = 1 se počáteční poruchy šíří konečnou rychlostí. 4. Z (9.18) a (9.26) plyne, že je-li n > 3 liché, pak počáteční data g,h v bodě x G R™ ovlivní hodnoty řešení pouze na hranici kuželu C = {(y,t) e Rn+1; t > 0, \x - y\ < í} tj. na {(y,t) £ R™+1; t > 0, \x — y\ = t}. Pro n > 2 sudé jsou pak ovlivněny hodnoty řešení uvnitř celého kuželu C. Přistupme k řešení počáteční úlohy pro nehomogenní vlnovou rovnici. utt - Au = f na R™ x (0, oo); (9.27) u = 0 na R™ x {i = 0}; ut = 0 na R™ x {í = 0}, přičemž funkce /: R™ x (0,oo) —> R je známá (často se požaduje /: R™ x [0,oo) —> R). Také nyní lze využít Duhamelův princip, který říká, že je-li u = u(x, t, s) řešení jednoparametrické úlohy utt (_> s) - Au (_, s) = 0 na R™ x (s, oo); u(_,s)=0 naKnx{í = s}; ut(_,s)=f(_,s) naRnx{í = s} pro s > 0, potom funkce í (9.28) u(x,t) = j u(x,t,s) ds, x e R™, t > 0 o je řešením úlohy (9.27). Poznamenejme, že pro a > 0 symbol [a\ udává tzv. celou část čísla a, kdy pro k G N je [k\ = k. 58 Věta. Necht f e CL§J+i(K™ x [0,oo)). Pak pro funkci u definovanou v (9.28) platí: 1. ue C2(Rn x (0,oo)); 2. utt - Au = f naW1 x (O, 00); 3. lim u (x, t) = O, lim ut (x, t) = O pro každé xn E R™. (x,t)-Kx0,0+) (x,t)^>(x0,0+) Důkaz. Uvažujme postupně části 1.-3. 1. Je-li n liché, pak [f J +1 = Je-li n sudé, pak [f J +1 = I1^Ĺ- To znamená, že tvrzení plyne z předchozích vět. 2. Platí í í (M) = «(M.*)ds = Jut(x,t,s) ds, o o í í itíí (x, t) = ut (x, t,t)+ J uu (x, t, s) ds = f (x, t) + J uu (x, t, s) ds, 0 0 í í Au{x,t) = jAu{x,t,s) ds = j uu (x, t, s) ds, o o utt (x, t) - Au (x, t) = f (x, t) pro x e R™, t > 0. 3. Platí lim u (x, t) = I u (x, t, s) ds = 0, (x,í)->(x0,0+) ' 0 0 lim Ut (x, t) = Ut (x, t, s) ds = 0 (x,t)-Kx0,0+) pro každé G □ Vzhledem k linearitě vlnové rovnice lze řešení počáteční úlohy utt - Au = f na R™ x (0, 00); u = g na R™ x {t = 0}; iíí = h na R™ x {í = 0} získat jako součet řešení úlohy (9.11) a řešení úlohy (9.27). 59 Příklad. Určeme řešení úlohy (9.27) pro n = 1, kdy ďAlembertova formule dává x+t u(x,t) = -[g(x + t)+g(x-t)} + - J h (y) dy, x—t přičemž nyní je g = O a h = f. Proto u (x, t, s) x+(t-s) f {y, s) dy x—(t—s) a dále '(x,t) 1 t x+(t-s) f (y,s) dyds, ié1,(>0. 0 x-(í-s) Podobně můžeme určit řešení úlohy (9.27) pro n = 3, kdy Kirchhoffův vzorec dává u(x,t,s) = -f (t-s)f(y,s)dS(y) = (t-s)-f f(y,s)dS(y). Tudíž ■(x,t)= I\t-s)-f f(y,s) dS(y)ds J JdB(x,t-s) t - S 3a (3) (í - a)' f(y,s) dS(y)ds Air t - s ■dS(y)da dB(x,t-s) 0 dB{x,t-s) 0 r = t — s - 1 í í dr = — ds AttJ J t dB(x f-^^dS(y)dr = ±-r 4-7t B(x,t) f(y,t- \y-x\ \x - y\ dy pro x ei3,í> o. Znovu uvažujme energetickou metodu (tj. tzv. variační přístup). Budeme předpokládat, že U Q R™ je ohraničená a otevřená množina s hranicí dU třídy C1. Nechť T > 0 je pevně zvolený terminálni čas. Stejně jako u rovnice vedení tepla označme UT = Ux(0,T\, Yx = Ux \ Ux- Uvažujme počáteční a okrajovou úlohu (9.29) ut = h na U x {t = 0}. Věta. Existuje nejvýše jedno řešení u úlohy (9.29), pro které u E C2(Ux)- utt - Au = f na UT; u = g na ľV; ut = h na U x {t = 0}. 60 Důkaz. Nechť funkce u\ e C2(Ut) je řešením úlohy (9.29). Kdyby existovalo jiné řešení u2 £ C2(Ut), pak jejich rozdíl w = u\ — u2 je řešením úlohy wu — Aw = 0 na Ut', w = 0 na IV; wt = 0 na U x {t = 0}. Definujme pomocnou funkci e (í) = i J w\ (x, t) + \Dw (x, t) |2 dx, t e [0, T]. u Pro t G (0,T) platí / / /y/ dx = 0. s' (í) = y í^t^tt + DwDwt dx = J wtwtt - wtAw dx + J ^^wt dS = = J wt (wu - Aw) u To znamená, že e (í) = e (0) = 0 pro každé t e (0, T]. Proto je ujt = 0 a Z?iu = 0 na Ut, což dává w = 0 na t/r, tj. iíi = «2 na Ut, resp. na [/y. □ Příklad. Řešme v C počáteční úlohu pro vlnovou rovnici utt - Au = 0 na R™ x (0, oo); m = g na R™ x {í = 0}; ut = 0 na R" x {ŕ = 0}. Fourierova transformace prováděná vzhledem k prostorovým proměnným dává utt + \y\2u = 0, t > 0; u = <7, í = 0; ut = 0, t = 0, což je počáteční úloha pro ODE druhého řádu s parametrem y. Její charakteristická rovnice je X2 + \y\2 = 0. Odtud Ai52 = Zohledněním počátečních podmínek dostáváme řeš ani 1 2 Proto u = g [(št\y\ + e-n\y\ u(x,t) = l- [g(eit\y\+e-it\y\)Y= J g (y) [e^y+^+e^y-1^] dy (^7r) ran pro x e R", í > 0. 61