Téma 2: Výpočet číselných charakteristik jednorozměrného
a dvourozměrného datového souboru
Úkol 1.: U 100 náhodně vybraných domácností byl zjišťován způsob zásobování
bramborami (znak X, varianty 1 = vlastní sklep, 2 = jinde, 3 = nákup) a bydliště (znak Y,
varianty 1 = velké město, 2 = malé město, 3 = vesnice).
bydlištězpůsob
zásobování velké město malé město vesnice
vlastní sklep 13 15 14
jinde 11 7 2
nákup 19 9 10
a) Pro oba znaky určíme modus.
b) Vypočteme Cramérův koeficient znaků X, Y.
Návod: Otevřeme datový soubor brambory.sta se třemi proměnnými X, Y, četnost a devíti
případy. Proměnná X obsahuje varianty způsobu zásobování, proměnná Y varianty bydliště a
proměnná četnost obsahuje odpovídající simultánní absolutní četnosti dvojic variant
[ ] [ ]( )kj y,x , j = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3.
ad a) Výpočet modu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK –
klikneme na tlačítko se závažím – zaškrtneme Stav zapnuto, vybereme proměnnou vah
četnost – OK - Proměnné X, Y – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Modus.
Popisné statistiky (brambory)
Proměnná
Modus Četnost
modu
X
Y
1,000000 42
1,000000 43
Proměnná X má modus 1, tj. nejvíce domácností skladuje brambory ve vlastním sklepě a
proměnná Y má také modus 1, tj. nejvíce domácností bydlí ve velkém městě.
ad b) Výpočet Cramérova koeficientu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční
tabulky – OK – Specif. tabulky - List 1 X, List 2 Y - OK – na záložce Možnosti ve
Statistikách 2 rozměrných tabulek zaškrtneme Fí (tabulky 2x2) & Cramérovo V & C –
přejdeme na záložku Detailní výsledky – Detailní 2-rozm. tabulky.
Statist. : X(3) x Y(3) (brambory)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
6,420286 df=4 p=,16989
7,075760 df=4 p=,13195
,2533828
,2456207
,1791687
Na posledním řádku najdeme, že Cramérův koeficient nabývá hodnoty 0,179, tedy mezi
způsobem zásobování bramborami a bydlištěm domácnosti existuje jen slabá závislost – viz
následující tabulka:
Cramérův koeficient interpretace
mezi 0 až 0,1 zanedbatelná závislost
mezi 0,1 až 0,3 slabá závislost
mezi 0,3 až 0,7 střední závislost
mezi 0,7 až 1 silná závislost
Úkol 2.: Otevřeme datový soubor znamky.sta.
a) Pro známky z matematiky a angličtiny vypočteme medián, dolní a horní kvartil,
kvartilovou odchylku a vytvoříme krabicový diagram.
b) Vypočteme Spearmanův korelační koeficient známek z matematiky a angličtiny pro
všechny studenty, pak zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Získané výsledky budeme
interpretovat.
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Medián, Dolní & horní kvartily, Kvartil. rozpětí –
Výpočet.
Popisné statistiky (znamky)
Proměnná
Medián Spodní
kvartil
Horní
kvartil
Kvartilové
rozpětí
X
Y
2,500000 1,000000 4,000000 3,000000
3,000000 2,000000 3,500000 1,500000
Vytvoření krabicového diagramu: Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy – vybereme
Vícenásobný – Proměnné X, Y – OK.
Krabicový graf z více proměnných
znamky 3v*20c
Medián; Krabice: 25%-75%; Svorka: Rozsah neodleh.
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
X Y
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
ad b) Statistiky – Neparametrická statistika – Korelace – OK – Proměnné X, Y – OK –
Spearman R.
Pro všechny:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,688442
0,688442 1,000000
Počítáme-li Spearmanův korelační koeficient pro ženy (resp. pro muže), použijeme filtr:
tlačítko Select Cases – Zapnout filtr – včetně případů – některé, vybrané pomocí výrazu Z=0
(resp. Z=1).
Pro ženy:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Zhrnout podmínku: Z=0
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,860314
0,860314 1,000000
Pro muže:
Spearmanovy korelace (znamky)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Zhrnout podmínku: Z=1
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,373544
0,373544 1,000000
Vidíme, že nejsilnější přímá pořadová závislost mezi známkami z matematiky a angličtiny je
u žen, rS = 0,86. U mužů je tato závislost mnohem slabší, rS = 0,37. U žen tedy dochází
k tomu, že se sdružují podobné známky z obou předmětů, zatímco u mužů se projevuje spíše
tendence k různým známkám. Je to zřetelně vidět na dvourozměrných tečkových diagramech.
Tečkový diagram pro ženy
Bodový graf z Y proti X
Tabulka23 2v*10c
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
X
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Y
Tečkový diagram pro muže
Bodový graf z Y proti X
Tabulka22 2v*10c
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
X
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
Y
Význam hodnot Spearmanova (i Pearsonova) koeficientu korelace je popsán v tabulce:
Absolutní hodnota korelačního koeficientu Interpretace hodnoty
0 lineární nezávislost
(0, 0,1) velmi nízký stupeň závislosti
[0,1, 0,3) nízký stupeň závislosti
[0,30, 0,50) mírný stupeň závislosti
[0,50, 0,70) význačný stupeň závislosti
[0,70, 0,90) vysoký stupeň závislosti
[0,90, 1) velmi vysoký stupeň závislosti
1 úplná lineární závislost
Úkol 3.: Otevřeme datový soubor ocel.sta.
a) Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočteme aritmetický průměr, směrodatnou odchylku,
rozptyl, koeficient variace, šikmost a špičatost. Výsledky porovnáme s údaji ve skriptech
Popisná statistika (viz str. 30).
b) Vypočteme Pearsonův koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Dále
vypočteme také kovarianci a výsledek porovnáme s výsledkem ve skriptech Popisná statistika
(str. 30).
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Směrodat. odchylka, Rozptyl, Variační
koeficient, Šikmost, Špičatost – Výsledky.
Popisné statistiky (ocel)
Proměnná Průměr Rozptyl Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
X
Y
95,8833 1070,240 32,71453 34,11910 -0,046758 -0,605826
114,4000 1075,125 32,78911 28,66181 0,297889 -0,592621
Vysvětlení: Rozptyl a směrodatná odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak než ve skriptech,
protože STATISTICA ve vzorci pro výpočet rozptylu nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1). Koeficient
variace (v tabulce označený jako Koef. Prom.) je udán v procentech.
ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK, na záložce Možnosti zrušime volbu Včetně průměrů a sm. odch. –
Výpočet.
Korelace (ocel)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná X Y
X
Y
1,00 0,93
0,93 1,00
Vidíme, že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost.
Kovariance se počítá složitěji. Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X,
Závislá Y – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další
statistiky - Kovariance.
Kovariance (ocel)
Proměnná X Y
X
Y
1070,240 1002,471
1002,471 1075,125
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance. Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než ve skriptech, protože ve
STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1).
Úkol 4.: Je třeba si uvědomit, že průměr a rozptyl nepopisují rozložení četností jednoznačně.
Existují datové soubory, které mají shodný průměr i rozptyl, ale přesto se jejich rozložení
četností velmi liší. Tuto skutečnost dobře ilustruje následující příklad: Tři skupiny studentů o
počtech 149, 69 a 11 odpovídaly při testu na 10 otázek. Znak X je počet správně
zodpovězených otázek. Známe absolutní četnosti znaku X ve všech třech skupinách.
Xč. sk.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 5 15 20 25 15 25 20 15 5 2
2 4 3 2 1 0 49 0 1 2 3 4
3 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 1
Vypočtěte průměr, rozptyl, šikmost a špičatost počtu správně zodpovězených otázek ve všech
třech skupinách. Nakreslete sloupkové diagramy absolutních četností.
Návod: Při zadávání dat do STATISTIKY utvořte čtyři proměnné a 11 případů. V 1. sloupci
budou varianty znaku X (tj. 0 až 10), v dalších sloupcích pak absolutní četnosti. Proměnné
pojmenujeme X, SK1, SK2, SK3.
1
X
2
SK1
3
SK2
4
SK3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 2 4 1
1 5 3 0
2 15 2 0
3 20 1 0
4 25 0 0
5 15 49 9
6 25 0 0
7 20 1 0
8 15 2 0
9 5 3 0
10 2 4 1
V tabulce Popisné statistiky zadáme Proměnná X a klepneme na tlačítko W, abychom
program upozornili, že budeme pracovat s daty zadanými pomocí absolutních četností.
Zadáme Proměnná vah SK1, zaškrtneme Stav Zapnuto, OK
Ve volbě Popisné statistiky zaškrtneme Průměr, Rozptyl, Šikmost, Špičatost – Výpočet.
Dále pro znak X nakreslíme sloupkový diagram. Tytéž úkoly provedeme s váhovými
proměnnými SK2 a SK3.
1. skupina (X váženo pomocí SK1)
Descriptive Statistics
Variable
Mean Variance Skewness Kurtosis
X 5,000000 5,000000 -0,000000 -0,759500
2. skupina (X váženo pomocí SK2)
Descriptive Statistics
Variable
Mean Variance Skewness Kurtosis
X 5,000000 5,000000 -0,000000 1,291133
3. skupina (X váženo pomocí SK3)
Descriptive Statistics (cischar)
Variable
Mean Variance Skewness Kurtosis
X 5,000000 5,000000 -0,000000 5,000000
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK2
0
10
20
30
40
50
60
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Všechny tři skupiny mají týž průměr, rozptyl a šikmost, liší se pouze ve špičatosti. Sloupkové
diagramy počtu správně zodpovězených otázek v každé ze tří uvažovaných skupin mají
naprosto odlišný vzhled.