Zadání vánočního domácího úkolu – podzimní semestr 2016
1. Vyjděte z řešení domácí úlohy č. 3, ve které jste zkonstruovali model společenstva nejméně
čtyř druhů v maticovém tvaru.
2. Předpokládejte 4 stabilní druhy nacházející se v prostředí a 5. druh, kterým se budeme
podrobněji zabývat a který bude podléhat náhodným mutacím.
3. Označme nyní vliv j-tého druhu na i-tý druh (na jeho koeficient růstu) βi,j a vnitřní koeficient
růstu i-tého druhu αi.
4. Předpokládejme, že pro všechna i=1, 2, 3, … platí αi=0,9.
5. Nejprve nalezněte libovolné takové řešení (tj. hodnoty koeficientů βi,j) společenstva pro všech
5 druhů, ve kterém dojde k oscilacím, ale všechny druhy budou z dlouhodobého pohledu
koexistovat a nedojde k jejich vyhynutí.
6. Vyjádřete graficky výsledek modelu pro 1000 časových jednotek. Pro řešení (simulaci) modelu
použijte možnosti superpočítače nabízeného prostřednictvím Metacentra.
7. Dále budeme měnit koeficienty pátého druhu podle následujících pravidel.
a. Předpokládejme, že každý druh má pouze omezenou možnost investovat svoji energii
a schopnosti na přizpůsobení se prostředí a podmínkám daným ostatními druhy ve
společenstvu.
b. V průběhu náhodných mutací tedy může dojít ke změnám koeficientů β5,j, tedy
ovlivnění našeho 5. druhu ostatními druhy ve společenství, ale součet koeficientů β5,j
musí zůstat konstantní:
� β5,j
4
𝑗𝑗=1
= 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘.
c. Každá mutace se projeví vznikem „nového poddruhu“ počínaje číslem 6 a dále, jehož
populace bude mít na počátku velikost 1 jedince. Takový poddruh bude v matici
vystupovat jako samostatný nový druh.
d. Hodnoty koeficientů βi,j pro i > 4 budou určeny libovolným (náhodným) způsobem tak,
aby byla dodržena podmínka z odstavce 7 b.
e. Protože nově vzniklé poddruhy budou mít velmi podobné parametry jako původní
5. druh ve společenstvu, budeme předpokládat, že jejich vztah bude silně
kompetitivní. Stanovme proto pro všechna βi,j, kde i > 4 a j > 4 pravidlo βi,j = c pro
všechna i > 4 a j > 4. Konstantu volte jako velmi nízkou (tj. zápornou) s přihlédnutím
k ostatním hodnotám βi,j (navrhuji např. -0,05 pokud se budete pohybovat v řádově
podobných hodnotách, jaké jsme měli v modelech ze skript). To by mělo zajistit, aby
z dlouhodobého pohledu přežívala ve společenství vždy jen jedna ze zmutovaných
variant 5. populace.
8. Zajistěte v náhodných časových okamžicích vznik mutací – tj. objevení se nového n-tého
poddruhu s náhodnými koeficienty βn,1, βn,2, βn,3 a βn,4 a velikostí populace 1.
9. Předpokládejte (a v modelu zajistěte), že (pod)druh, jehož populace klesne pod méně než
1 jedince, vyhyne a ze společenství definitivně zmizí.
10. Při správné konstrukci celého modelu by mělo docházet k tomu, že pokud bude nově se
objevivší poddruh mít „lepší“ koeficienty (které ovšem neumíme analyticky určit) než
předchozí poddruhy (tj. z pohledu modelu druhy s pořadovými čísly i > 5), postupně dojde
k tomu, že vytlačí předchozí zmutované poddruhy a zaujme stabilní pozici v modelu. Pokud
naopak mutace povede ke vzniku (v daném společenství) méně životaschopného poddruhu,
ten po nějaké době vyhyne.
11. Pokuste se zajistit vizualizaci modelu s mutacemi pomocí grafu velikostí populací v čase, kde
jednotlivé (pod)druhy zobrazíte různými barvami.
12. Navrhněte stručnou interpretaci modelu a pokuste se zodpovědět otázku, jak vypadá
mutacemi vzniklý poddruh 5. druhu, který v systému zaujme nejstabilnější pozici (výsledek
evoluce za zjednodušujícího předpokladu, že prostředí ani ostatní druhy se v čase nemění).
Hinty
Rozšíření matice 5 × 5 na matici 6 × 6 v Maple:
>
>
Graf pro více funkcí v Maple:
>
>
>
>
>
>
>