logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY (SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY) prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATEMATICKÝMI MODELY VELIČIN POKRAČOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBINÁRNÍ OPERACE þFUNKCE SPOJITÉ V ČASE þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKONVOLUCE þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKonvoluce je matematická operace mezi dvěma funkcemi x1(t) a x2(t) téhož argumentu definovaný (v případě spojitých funkcí) integrálem þ þ þ þkde funkce x2(t) se často nazývá konvoluční jádro. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLASTNOSTI Důkaz: Komutativní zákon: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Distributivní zákon: Asociativní zákon: VLASTNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Zákon o posunu v čase: VLASTNOSTI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ŠÍŘKOVÁ VLASTNOST KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þfunkce s jednotkovým þimpulsem þdefinice: þ þ þ þkonvoluce: KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz convolution_barking levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM KONVOLUCE_SPOJ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KONVOLUCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz konv_2obd.bmp KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD þUrčete konvoluci c(t) funkcí x1(t) a x2(t) podle obrázku. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD þt < –1 – součin obou funkcí je v tomto případě nulový, tedy i plocha vymezená tímto součinem a konvoluce je rovna nule (obr. a); þt Î á–1, 1ñ – plocha součinu je vymezena průběhem funkce x2(τ) v intervalu od τ = 0 a polohou horní, tj. sestupné hrany funkce x1(–τ + t), určené hodnotou t + 1 (obr. b,c); hodnota konvolučního integrálu je þ þ þt Î á1, 2ñ – v tomto intervalu je plocha součinu ohraničená opět funkcí x2(τ), tentokrát a v daném konkrétním případu v intervalu od t – 1 do t + 1 (obr. c,d) þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PŘÍKLAD þt Î á2, 4ñ – plocha součinu je nenulová v intervalu od vzestupné hrany funkce x1(-τ+t), která je na pozici t – 1, do sestupné hrany funkce x2(τ), tj. τ = 3 (obr.2.15e), tedy platí þ þ þ þt > 4 – součin obou funkcí je opět nulový, proto i konvoluční integrál. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KAUZALITA þKauzální je takový systém, jehož výstup v každém časovém okamžiku t0 závisí pouze na průběhu vstupního signálu x(t) pro t £ t0. Jinými slovy, hodnota výstupu systému v každém okamžiku závisí pouze na vstupu v daném okamžiku a jeho průběhu v minulosti, nikoliv na budoucích hodnotách vstupního signálu. Systém, který tento požadavek nesplňuje, nazýváme nekauzální, příp. anticipativní. Zprostředkovaně: jako kauzální funkce označujeme takové funkce, pro které platí x(t) = 0 pro t < 0. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Konvoluce kauzálních funkcí: Pro kauzální funkce platí s(t) = 0 pro t < 0 KAUZALITA + KONVOLUCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þKORELACE þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace = vzájemný vztah, souvztažnost mezi znaky, veličinami, ději þ ABZ.cz: slovník cizích slov levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ þlātiō - nesení, poskytování þrelātiō – nesení zpět, odnášení, opakování; zpráva; vztah, poměr þcorrelātiō – vzájemný vztah, souvislost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þ Pokud se mezi dvěma procesy ukáže korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí, nelze z toho však ještě usoudit, že by jeden z nich musel být příčinou a druhý následkem. To samotná korelace nedovoluje rozhodnout. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE þKorelace (z lat.) znamená vzájemný vztah mezi dvěma procesy nebo veličinami. þ Pokud se jedna z nich mění, mění se korelativně i druhá a naopak. þKauzalita - příčinná souvislost či závislost. Jeden jev vyvolává druhý, popřípadě se oba vzájemně podporují (synergie) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? http://www.deratin.cz/hmyz/Moucha_domaci.jpg Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc JAKÁ MÁME DATA? Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc http://tbn3.google.com/images?q=tbn:6vDPt2WE-Wa4pM:http://www.hermanka.cz/moucha_ziva.jpg http://www.iabc.cz/images/tistene_ABC/2008/15/web/11-moucha_~7942.jpg http://www.deratin.cz/hmyz/Moucha_domaci.jpg http://tbn3.google.com/images?q=tbn:yGT3XXiRyw6NpM:http://i18.tinypic.com/33a9wyt.jpg Moucha domácí je velmi obtížní létající hmyz, avšak málo kdo ví, že také pomáhá zlepšovat v určité míře životní prostředí. / Foto: sxc levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 1.šířka hlavy 2.délka hlavy (dorsální strana) 3.délka hlavy(ventrální strana) 4.délka klavu 5.šířka klavu 6.délka předního křídla 7.basální šířka předního křídla 8.celková délka těla (vyjma tykadel a penisu) 9.šířka pronota 10.délka pronota 11.šířka oka 12.délka kladélka 13.šířka kladélka 14.délka tykadlového článku V 15.délka tykadlového článku VI 16.vzdálenost mezi zadním párem ocelli 17.vzdálenost mezi ¨přední a zadní ocellou JAKÁ MÁME DATA? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? " 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 126,33 120,50 223,50 128,27 44,70 927,20 122,44 1702,40 255,87 196,83 61,02 255,87 127,94 28,18 60,25 29,15 14,58 2 136,43 130,75 221,70 142,12 47,37 933,66 113,69 1630,20 268,67 218,77 84,44 230,29 115,14 28,42 64,43 31,27 18,95 3 123,80 118,09 219,03 125,71 43,81 908,66 119,99 1668,35 250,76 192,89 59,49 250,76 125,38 27,62 59,04 28,57 14,28 4 138,96 132,55 245,85 141,10 49,17 1019,92 134,68 1872,64 281,46 216,51 67,12 281,46 140,73 31,00 66,27 32,07 16,03 5 128,85 117,48 217,91 125,06 43,58 941,11 119,38 1659,84 249,48 191,90 59,80 249,48 124,74 27,48 58,74 28,42 14,21 6 137,13 131,42 222,84 142,85 47,62 938,45 114,28 1638,56 270,04 219,89 84,87 231,47 115,73 28,57 64,76 31,43 19,05 7 127,59 121,70 225,74 129,55 45,15 936,47 123,66 1719,42 258,43 198,79 61,63 258,43 129,22 28,46 60,85 29,44 14,72 8 142,59 135,44 229,66 147,22 49,07 967,18 117,78 1688,72 278,31 226,62 87,47 238,55 119,28 29,44 66,74 32,39 19,63 9 128,22 122,30 226,86 130,20 45,37 904,02 124,28 1727,94 259,71 199,78 61,93 259,71 129,86 28,60 61,15 29,59 14,79 10 139,93 132,76 227,39 145,76 48,59 957,60 116,61 1672,00 275,56 224,38 87,90 236,19 118,10 29,15 66,08 32,07 19,44 11 125,06 119,29 221,27 126,99 44,25 917,93 121,22 1685,38 253,31 194,86 60,41 253,31 126,66 27,90 59,65 28,86 14,43 12 138,53 134,10 225,12 144,30 48,10 948,02 115,44 1655,28 272,80 222,14 85,74 233,83 116,91 28,86 65,42 31,75 19,24 13 128,73 122,79 227,75 130,71 45,55 944,82 124,77 1734,75 260,73 200,56 62,18 260,73 130,37 28,72 61,39 29,71 14,85 14 141,33 136,65 231,71 148,53 49,51 975,79 118,83 1703,77 280,79 228,64 88,25 240,68 120,34 29,71 67,33 32,68 19,80 15 142,03 136,11 230,80 147,95 49,32 971,96 118,36 1697,08 279,69 227,75 86,60 239,73 119,87 29,59 67,07 32,55 19,73 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? " 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 126,33 120,50 223,50 128,27 44,70 927,20 122,44 1702,40 255,87 196,83 61,02 255,87 127,94 28,18 60,25 29,15 14,58 2 136,43 130,75 221,70 142,12 47,37 933,66 113,69 1630,20 268,67 218,77 84,44 230,29 115,14 28,42 64,43 31,27 18,95 3 123,80 118,09 219,03 125,71 43,81 908,66 119,99 1668,35 250,76 192,89 59,49 250,76 125,38 27,62 59,04 28,57 14,28 4 138,96 132,55 245,85 141,10 49,17 1019,92 134,68 1872,64 281,46 216,51 67,12 281,46 140,73 31,00 66,27 32,07 16,03 5 128,85 117,48 217,91 125,06 43,58 941,11 119,38 1659,84 249,48 191,90 59,80 249,48 124,74 27,48 58,74 28,42 14,21 6 137,13 131,42 222,84 142,85 47,62 938,45 114,28 1638,56 270,04 219,89 84,87 231,47 115,73 28,57 64,76 31,43 19,05 7 127,59 121,70 225,74 129,55 45,15 936,47 123,66 1719,42 258,43 198,79 61,63 258,43 129,22 28,46 60,85 29,44 14,72 8 142,59 135,44 229,66 147,22 49,07 967,18 117,78 1688,72 278,31 226,62 87,47 238,55 119,28 29,44 66,74 32,39 19,63 9 128,22 122,30 226,86 130,20 45,37 904,02 124,28 1727,94 259,71 199,78 61,93 259,71 129,86 28,60 61,15 29,59 14,79 10 139,93 132,76 227,39 145,76 48,59 957,60 116,61 1672,00 275,56 224,38 87,90 236,19 118,10 29,15 66,08 32,07 19,44 11 125,06 119,29 221,27 126,99 44,25 917,93 121,22 1685,38 253,31 194,86 60,41 253,31 126,66 27,90 59,65 28,86 14,43 12 138,53 134,10 225,12 144,30 48,10 948,02 115,44 1655,28 272,80 222,14 85,74 233,83 116,91 28,86 65,42 31,75 19,24 13 128,73 122,79 227,75 130,71 45,55 944,82 124,77 1734,75 260,73 200,56 62,18 260,73 130,37 28,72 61,39 29,71 14,85 14 141,33 136,65 231,71 148,53 49,51 975,79 118,83 1703,77 280,79 228,64 88,25 240,68 120,34 29,71 67,33 32,68 19,80 15 142,03 136,11 230,80 147,95 49,32 971,96 118,36 1697,08 279,69 227,75 86,60 239,73 119,87 29,59 67,07 32,55 19,73 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? " 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 126,33 120,50 223,50 128,27 44,70 927,20 122,44 1702,40 255,87 196,83 61,02 255,87 127,94 28,18 60,25 29,15 14,58 2 136,43 130,75 221,70 142,12 47,37 933,66 113,69 1630,20 268,67 218,77 84,44 230,29 115,14 28,42 64,43 31,27 18,95 3 123,80 118,09 219,03 125,71 43,81 908,66 119,99 1668,35 250,76 192,89 59,49 250,76 125,38 27,62 59,04 28,57 14,28 4 138,96 132,55 245,85 141,10 49,17 1019,92 134,68 1872,64 281,46 216,51 67,12 281,46 140,73 31,00 66,27 32,07 16,03 5 128,85 117,48 217,91 125,06 43,58 941,11 119,38 1659,84 249,48 191,90 59,80 249,48 124,74 27,48 58,74 28,42 14,21 6 137,13 131,42 222,84 142,85 47,62 938,45 114,28 1638,56 270,04 219,89 84,87 231,47 115,73 28,57 64,76 31,43 19,05 7 127,59 121,70 225,74 129,55 45,15 936,47 123,66 1719,42 258,43 198,79 61,63 258,43 129,22 28,46 60,85 29,44 14,72 8 142,59 135,44 229,66 147,22 49,07 967,18 117,78 1688,72 278,31 226,62 87,47 238,55 119,28 29,44 66,74 32,39 19,63 9 128,22 122,30 226,86 130,20 45,37 904,02 124,28 1727,94 259,71 199,78 61,93 259,71 129,86 28,60 61,15 29,59 14,79 10 139,93 132,76 227,39 145,76 48,59 957,60 116,61 1672,00 275,56 224,38 87,90 236,19 118,10 29,15 66,08 32,07 19,44 11 125,06 119,29 221,27 126,99 44,25 917,93 121,22 1685,38 253,31 194,86 60,41 253,31 126,66 27,90 59,65 28,86 14,43 12 138,53 134,10 225,12 144,30 48,10 948,02 115,44 1655,28 272,80 222,14 85,74 233,83 116,91 28,86 65,42 31,75 19,24 13 128,73 122,79 227,75 130,71 45,55 944,82 124,77 1734,75 260,73 200,56 62,18 260,73 130,37 28,72 61,39 29,71 14,85 14 141,33 136,65 231,71 148,53 49,51 975,79 118,83 1703,77 280,79 228,64 88,25 240,68 120,34 29,71 67,33 32,68 19,80 15 142,03 136,11 230,80 147,95 49,32 971,96 118,36 1697,08 279,69 227,75 86,60 239,73 119,87 29,59 67,07 32,55 19,73 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? þdata jsou statická, nezávisí na čase, ani na žádné jiné veličině - nezávisejí na pořadí, nejsou uspořádaná, …; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? 9.99512 8.68195 7.35687 5.98145 4.88892 3.96118 3.14331 2.57416 2.0697 1.64459 1.37085 1.10779 0.895691 0.767517 0.596313 0.546875 0.689392 0.912476 1.52466 1.81915 2.88361 3.99567 4.08142 3.48328 2.7713 2.16492 1.68976 1.37268 1.0968 0.837708 0.635376 0.487366 0.379028 0.286255 0.238647 0.209656 0.171204 0.157166 0.145264 0.122375 0.121155 0.1297 0.128479 0.116577 0.101624 0.0704956 0.0476074 0.0439453 0.0259399 0.00793457 0.0131226 0.0228882 0.0244141 0.0265503 0.0476074 0.055542 0.0488281 0.0442505 … … levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JAKÁ MÁME DATA? þdata jsou statická, nezávisí na čase, ani na žádné jiné veličině - nezávisejí na pořadí, nejsou uspořádaná, …; þdata jsou dynamická, časově závislá nebo závislá na nějaké jiné veličině, např. délkové míře, jsou uspořádaná, …; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁVISLOST þfunkční, deterministická þy = f(x) þ (dané hodnotě x odpovídá jen určitá hodnota y) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁVISLOST þstochastická, nedeterministická, volná èzávisle proměnná, případně i nezávisle proměnná jsou náhodné veličiny (?) – jsou úplně náhodné? èurčité hodnotě x přísluší možné hodnoty y vybrané z určitého rozdělení; èstřední hodnota rozdělení y je funkcí x è E(y)=f(x) èstřední hodnota náhodné veličiny y je funkcí střední hodnoty náhodné veličiny x E(y)=f[E(x)] levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁVISLOST þnezávislost þ střední hodnota y nezávisí na x E(y)≠f(x) þ (přísně funkční závislost (úplná) v reálném světě neexistuje) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DEFINICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT þprotože μX = E(X), σX2 = E[(X - E(X))2] = E(X2) − E2(X) a podobně i pro Y a protože E[(X − E(X))(Y − E(Y))] = E(XY) − E(X)E(Y), je také þ \rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y}, \rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Correlation_examples.png/400px-Correlation _examples.png levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þnabývá hodnot od –1 do +1, které značí perfektní lineární vztah (záporný nebo kladný) èv případě kladné korelace hodnoty obou proměnných zároveň stoupají; èv případě záporné korelace hodnota jedné proměnné stoupá a druhé klesá; èv případě neexistence lineárního vztahu r = 0; þje nezávislý na jednotkách původních proměnných, je bezrozměrný; þpři změně pořadí proměnných se výše korelačního koeficientu nemění; þkorelační koeficient je platný pouze v rozmezí daném použitými daty; þkorelační koeficient výrazně odlišný od nuly není důkazem funkčního vztahu proměnných, jiného než lineárního; þmalá hodnota korelačního koeficientu není známkou nefunkčního vztahu proměnných. PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þSprávná interpretace Pearsonova korelačního koeficientu předpokládá, že obě proměnné jsou náhodné veličiny a mají společné dvourozměrné normální rozdělení. þPotom nulový korelační koeficient znamená, že veličiny jsou nezávislé. þPokud není splněn předpoklad dvourozměrné normality, z nulové hodnoty korelačního koeficientu nelze usuzovat na nic víc, než že veličiny jsou nekorelované. PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmůže být nadhodnocen: þvlivem třetí skryté proměnné þpřítomností odlehlých hodnot þdata jsou složena z různých podskupin (tříd) PEARSONŮV KORELAČNÍ KOEFICIENT levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz JINÉ KORELAČNÍ KOEFICIENTY þV případě ordinálních dat nebo odchylek od předpokladů rozložení dat (odlehlá pozorování, jiné než normální rozložení proměnných, nelinearita vztahu) je vhodnější použít neparametrický koeficient korelace þ þ Spearmanův koeficient þ korelace, þ kde Rxi a Ryi jsou pořadí hodnot xi a yi.. þ þKromě Spearmanova korelačního koeficientu existují i další neparametrické korelační koeficienty jako např. Kendelovo τ. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ KOEFICIENT JAKO MÍRA PODOBNOSTI þMetrický prostor je neprázdná množina X spolu s funkcí ρ: X × X ® R splňující: è1. totožnost: ρ(x, y) = 0 Û x = y, "x,y Î X; è2. symetrie: ρ(x, y) = ρ(y, x), "x,y Î X; è3. trojúhelníková nerovnost: èρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z), "x,y,z Î X. þρ je nezáporná funkce. þ(pozitivita, symetrie, Δ nerovnost) þFunkci ρ nazýváme metrika na X. þVzdálenost je hodnota určená podle metriky. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ KOEFICIENT JAKO MÍRA PODOBNOSTI þMíry podobnosti è1. totožnost: σ(x, y) = max R Û x = y, "x,y Î X; è2. symetrie: σ(x, y) = σ(y, x), "x,y Î X; è3. D nerovnost þσ je nezáporná funkce. þFunkci σ nazýváme mírou podobnosti na X. þPodobnost je hodnota určená podle míry podobnosti. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INTERPRETACE VELIKOSTI KORELACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELACE PŘI ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU EKG levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRINCIP ZPRŮMĚROVÁNÍ zprumerovani_princip levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELACE PŘI ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU EKG levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ þkorelační funkce R(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t1 a hodnotami náhodného procesu v okamžiku t2. Může být spočítána pomocí vztahu þ þ þkovarianční funkce (covariance function) K(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného procesu v okamžiku t1 od m(t1) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t2 od m(t2). Může být spočítána pomocí vztahu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þtyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů þß þ þstacionarita þ þergodicita KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) za čas T þ þ þ þ KORELAČNÍ FUNKCE ERGODICKÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þautokorelační funkce ergodického procesu ξ(t) s realizací x(t) za čas T þ þ þ þ AUTOKORELAČNÍ FUNKCE ERGODICKÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkorelační funkce pro standardizovaná data KORELAČNÍ FUNKCE DISKRÉTNÍHO ERGODICKÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE þvzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů (funkcí) o téže periodě T je definována þ þ þpopisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí þje periodická s periodou T levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz 001.jpg þVypočtěte vzájemnou korelační funkci harmonických funkcí s1(t)=2cos2pt a s2(t)=sin2pt. þObě funkce mají tutéž periodu T=1, takže KORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þautokorelační funkce periodického signálu þ þ þ þautokorelační funkce signálu s(t)=C.cos(ωt+φ) AUTOKORELAČNÍ FUNKCE PERIODICKÉ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz autokorelační funkce je: üsudá; ü"tÎR: R(0) ³ R(t); üR(0) je rovno výkonu signálu; V případě, že je signál periodický, je autokorelační funkce rovněž periodická se stejnou periodou. VLASTNOSTI AUTOKORELAČNÍ FUNKCE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBINÁRNÍ OPERACE þPOSLOUPNOSTI DISKRÉTNÍ V ČASE þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE þspojité funkce þ þ þdiskrétní posloupnosti levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE þpro kauzální posloupnosti, tj. takové pro které platí x(n) = 0 pro n < 0 se konvoluční vztah mění na þ þ þ þV reálných podmínkách při zpracování reálných dat samozřejmě nejsou posloupnosti x1(n) a x2(n) nekonečné, nýbrž mají konečnou délku. Předpokládejme obecně N1 vzorků v případě posloupnosti x1(n) a N2 vzorků v případě posloupnosti x2(n). Dále položme x1(n) = 0 pro n Ï á0, N1-1ñ a analogicky x2(n) = 0 pro n Ï á0, N2-1ñ. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KRUHOVÁ KONVOLUCE SCHÉMA VÝPOČETNÍHO ALGORITMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD þVypočtěte konvoluci posloupností x1 = {x10, x11, … x13} a x2 = {x20, x21, x22}. þ þŘešení: þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma: þ{x10, x11, … x13} * {x20, x21, x22} = þ= (x10. x20)(x10. x21)(x10. x22) þ (x11. x20)(x11. x21)(x11. x22) þ (x12. x20)(x12. x21)(x12. x22) þ (x13. x20)(x13. x21)(x13. x22) þ þ součet dílčích součinů v jednotlivých sloupcích þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KONVOLUCE PŘÍKLAD þVypočtěte konvoluci posloupností x1(n) = {1, 2, -2, -1} a x2(n) = {1, -1, 1} . þ þŘešení: þPro výpočet se také občas uvádí následující výpočetní schéma: þ{1, 2, -2, -1} * {1, -1, 1} = þ= 1 -1 1 þ 2 -2 2 þ -2 2 -2 þ -1 1 -1 þ 1 1 -3 3 -1 -1 þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE þpro spojitý případ obecně platí þ þza předpokladu stacionarity a ergodicity pro funkce s definičním oborem tÎ(-¥, ¥) þ þ þa abychom se vyhnuli limitním komplikacím i v podstatě nulovým hodnotám takto určené korelační funkce využívá se pouze integrální části vztahu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE þna konečném intervalu þ þ þ þpro diskrétní posloupnost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE þodhad s konstantní vahou þ þkaždá hodnota korelační sumy se považuje za hodnotu autokorelační funkce se stejnou vahou, která se rovná převrácené hodnotě celkového počtu vzorků vstupních posloupností x1(n) a x2(n), N je délka posloupnosti. Střední hodnota tohoto odhadu je (bez důkazu) þ þ þkde Rx1x2(m) je skutečná hodnota korelační funkce. To znamená, že střední hodnota odhadu se nerovná správné hodnotě, ale blíží se jí, když N®¥ a |m| << N. Platí tedy, že þ þ þodhad je asymptoticky nevychýlený. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE þodhad s konstantní vahou þ þ þOdhad rozptylu pro posloupnosti reálných čísel je přibližně þ þ þProtože odhad rozptylu konverguje pro N ® ¥ k nule, je odhad korelační funkce konzistentním odhadem Rx1x2(m). Z praktického hlediska to všechno znamená, že se snižujícím se počtem součinů v korelační sumě se relativně zvyšuje váha, kterou je hodnota součtu násobena a tedy i v případě periodických posloupností není průběh jejich korelační funkce periodický, nýbrž se její kmity tlumí. þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE þodhad s proměnnou vahou þ þ þstřední hodnota tohoto odhadu je þ þ þcož znamená, že je rovna, pro libovolné N a m, skutečné hodnotě korelační funkce. Rozptyl tohoto odhadu þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KRUHOVÁ DISKRÉTNÍ KORELACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE PŘÍKLAD ZE ŽIVOTA