1. zápočtová písemka 21. 10. 2016 C1475 Jméno:
1. příklad [3 b]. Rozhodněte, zda platí:
• Součin dvou permutačních matic je permutační matice.
• Inverze permutační matice je opět permutační matice.
• Počet permutačních matic řádu 3 je 5.
2. příklad [3 b]. Nechť matice A řádu n × n je tvořena lineárně nezávislými vektory. Určete a zdůvodněte počet
řešení systému Ax = b.
3. příklad [3 b]. Ukažte, že všechny matice rotace Rψ v R2
mají nenulový determinant (∀ψ ∈ R : det(Rψ) = 0).
4. příklad [3 b]. Nechť In je jednotková matice řádu n a k ∈ R. Určete:
det(k · In)
5. příklad [3 b]. Jsou dány čtvercové matice A a B řádu n. Ukažte, že pokud je alespoň jedna z matic singulární,
je i jejich součin A · B singulární matice.
6. příklad [5 b]. Zkonstruujte následující transformační matice v R2
a jejich inverze (pokud inverze neexistuje,
zdůvodněte):
• identická transformace
• projekce na osu x
• zrcadlení kolem osy y
• 2násobné zvětšení ve směru osy x
• rotace kolem počátku o úhel π
7. příklad [3 b]. Udejte příklad systémů Ax = 0, kde A je matice 3 × 3 a zadaný systém rovnic má:
a) právě jedno řešení
b) žádné řešení
c) nekonečně mnoho řešení
8. příklad [3 b]. Popište základní myšlenku metody nejmenších čtverců. Načrtněte obrázek.