1 Integrální počet
1.1 Neurčitý integrál
Neurčitým integrálem k dané funkci f(x) nazýváme takovou funkci F(x), pro kterou platí, že
f(x) = F (x). Neboli integrálem funkce f(x) je taková funkce F(x), ze které bychom derivací
dostali původní funkci f(x).
Vzhledem k tomu, že funkce f(x) je ve svém významu derivací funkce F(x) a vzpomeneme-li
si, že derivací konstanty dostaneme vždy nulu, pak je třeba vždy během integrace k funkci F(x)i
přičíst ještě tzv. integrační konstantu C. Celý proces integrace pak značíme:
f(x) dx = F(x) + C
Význam integrační konstanty můžeme ilustrovat např. na Obrázku 1, kde jsou vyobrazeny
primitivní funkce F(x) k funkci f(x) = sin x s různými hodnotami integračních konstant C. Z
obrázku je patrné, že derivací primitivní funkce F(x) s různými integračními konstantami obdržíme
vždy totožnou funkci f(x).ii
Obrázek 1: Význam primitivní funkce F(x) s různou integrační konstantou C. Všechny zobrazené
funkce F(x) + C mají stejnou derivaci ve všech svých bodech (např. v bodech x0 a x1) a proto jsou
primitivními funkcemi jediné funkce f(x) a platí f(x) dx = F(x) + C.
1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
1.2.1 Přímá integrace funkcí
Podobně jako derivace elementárních funkcí jsou „tabelované“ některé integrály elementárních
funkcí. Uvádíme zde jejich přehled:
konst. dx = konst. · x + C
iNěkdy taktéž nazývanou primitivní funkcí.
iiDerivace f(x) je totiž vlastně směrnicí F(x) + C v každém jejím bodě.
1
xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C pro n = −1
1
x
dx = ln |x| + C
ex
dx = ex
+ C
ax
dx =
ax
ln a
+ C pro a > 0
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
1
cos2 x
dx = tan x + C
1
sin2
x
dx = − cot x + C
Ne každá funkce je ale funkcí elementární a velmi často se setkáme s funkcemi, které jsou
součtem/rozdílem, součinem nebo podílem více funkcí. Označíme-li f(x) a g(x) funkce a F(x) a
G(x) jejich primitivní funkce a c libovolnou konstantu, pak platí pro součet a rozdíl integrálů,
podobně jako u derivací:
c · f(x) dx = c · f(x) dx = c · F(x) + C (1)
(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx = F(x) ± G(x) + C (2)
Součin funkcí se integruje speciálními metodami, které zmíníme níže, podobně je tomu u podílu.
Pouze ve speciálním případě, kdy je čitatel zlomku, který integrujeme derivací jmenovatele, tedy
integrujeme-li podíl typu f (x)
f(x) , pak platí:
f (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C (3)
Nyní přistoupíme k několika řešeným příkladům, které využívají k integraci funkcí výše uvedené
vztahy.
Příklad 1. Vypočítejme integrál
5
x5
+ x5
+ 5
√
x dx
Řešení. Jedná se o integrál ze součtu několika elementárních funkcí, které lze upravit na mocninný
tvar. S využitím vztahu (2) máme pak:
5
x5
+ x5
+ 5
√
x dx =
5
x5
dx + x5
dx + 5
√
x dx = 5 · x−5
dx + x5
dx + x
1
5 dx
Tyto integrály již lze integrovat pomocí pravidla xn
dx = xn+1
n+1 + C:
2
5 · x−5
dx + x5
dx + x
1
5 dx = 5 ·
x−5+1
−5 + 1
+
x5+1
5 + 1
+
x
1
5 +1
1
5 + 1
+ C = −
5
4
x−4
+
x6
6
+
x
6
5
6
5
+ C
Výsledek pak již pouze upravíme na „estetický“ tvar:
−
5
4
x−4
+
x6
6
+
x
6
5
6
5
+ C = −
5
4x4
+
x6
6
+
6
5
√
x6
5
+ C
Příklad 2. Vypočítejme integrál
4x − 2 ·
√
x
x
dx
Řešení. Výše uvedený integrál je sice podílem funkcí, nicméně, je snadné jej převodem na mocninný
tvar a následným dělením převést na rozdíl „tabulkových“ integrálů:
4x − 2 ·
√
x
x
dx =
4x
x
−
2 · x
1
2
x
dx = 4 dx− 2·x− 1
2 dx = 4x−2·
x− 1
2 +1
−1
2 + 1
+C = 4x − 4
√
x + C
Příklad 3. Vypočítejme integrál
(
√
x + 1) · (x −
√
x + 1) dx
Řešení. Jedná se o integrál ze součinu dvou funkcí. Takový integrál by se ad hoc řešil velmi těžko.
Práci si však značně usnadníme roznásobením závorek a úpravou na mocninný tvar:
(
√
x+1)·(x−
√
x+1) dx = (x
√
x−x+
√
x+x−
√
x+1) dx = (x
√
x+1) dx = (x
3
2 +1) dx
Takový integrál již lehce spočítáme jako integrál součtu dvou elementárních funkcí:
(x
3
2 + 1) dx = x
3
2 dx + 1 dx =
x
3
2 +1
3
2 + 1
+ x + C =
2
5
· x
5
2 + x + C =
2
5
·
√
x5 + x + C
Příklad 4. Vypočítejme integrál
√
x4 + 2 + x−4
x3
+ cos x dx
Řešení. Uvedený integrál vypadá poměrně nepříjemně, vzhledem k odmocnině z trojčlenu v čitateli
zlomku. Nicméně, pokud si všimneme, že pod odmocninou máme klasický vzorec pro druhou
mocninu dvojčlenu, konkrétně x4
+ 2 + x−4
= (x2
+ x−2
)2
, je již následná úprava na součet
elementárních funkcí přímočará:
√
x4 + 2 + x−4
x3
+ cos x dx =
(x2 + x−2)2
x3
+ cos x dx =
x2
+ x−2
x3
+ cos x dx =
=
x2
x3
+
x−2
x3
+ cos x dx =
1
x
dx + x−5
dx + cos x dx
Tyto integrály jsou již tabulkové a je snadné je vypočítat:
1
x
dx + x−5
dx + cos x dx = ln |x| +
x−4
−4
+ sin x + C = ln |x| −
1
4x4
+ sin x + C
3
Příklad 5. Vypočítejme integrál
tan x dx
Řešení. Přestože se jedná o integrál z elementární funkce, není jeho integrace zcela elementární
záležitostí. Využijeme však faktu, že funkce tan x je definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus.
Převedeme tak integrál na podíl dvou funkcí:
tan x dx =
sin x
cos x
dx
Na první pohled to nevypadá jako velký pokrok, nicméně, vzpomeneme-li si na derivace elementárních
funkcí a vezmeme-li v úvahu platnost vztahu (3), můžeme dojít k překvapivě přímočarému
řešení. Derivací funkce cos x je funkce − sin x. A pokud je čitatel integrovaného zlomku roven derivaci
jmenovatele, pak je integrál jednoduše vypočitatelný dle (3). Proto si v čitateli „vyrobíme“
funkci − sin x a dále integrujeme:
sin x
cos x
dx = −
− sin x
cos x
dx = ln | cos x| + C
Příklad 6. Vypočítejme integrál
1
1 + cos 2x
dx
Řešení. Integrál je nejprve třeba upravit na takový tvar, abychom mohli využít pravidla pro
integrování elementárních goniometrických funkcí. Využijeme vlastnosti cos 2x = cos2
x − sin2
x a
rovněž sin2
x + cos2
x = 1 a zlomek v integrálu upravíme:
1
1 + cos 2x
dx =
1
1 + cos2 x − sin2
x
dx =
1
2 cos2 x
dx
Tento integrál je již tabulkový a snadno jej vypočteme:
1
2 cos2 x
dx =
1
2
·
1
cos2 x
dx =
1
2
· tan x + C
Příklad 7. Vypočítejme integrál
e2x
− 1
ex − 1
dx
Řešení. Jedná se o integrál z podílu funkcí, který by se těžko přímo integroval. Pokusíme se ale o
rozklad kvadratického dvojčlenu v čitateli a zlomek tak upravíme:
e2x
− 1
ex − 1
dx =
(ex
+ 1) · (ex
− 1)
ex − 1
dx = (ex
+ 1) dx
Tento integrál je již součtem elementárních integrálů:
(ex
+ 1) dx = ex
dx + 1 dx = ex
+ x + C
1.2.2 Metoda integrace per partes
V případě, že máme vypočítat integrál, který je součinem dvou funkcí, který nelze vhodně
upravit na tabulkové integrály uvedené v předchozím textu, je v mnohých případech výhodně
použít metodu integrace per partes.
4
Tato metoda integrace využívá de facto integrované formy vztahu pro derivaci součinu. Pro
připomenutí, pro derivaci součinu dvou funkcí u(x) a v(x) platí (u(x)·v(x)) = u (x)·v(x)+u(x)·
v (x). Zintegrujeme-li tento vztah, máme z (u(x)·v(x)) nederivovaný součin u(x)·v(x) a můžeme
psát:
u(x) · v(x) = u (x) · v(x) dx + u(x) · v (x) dx
Pro výpočet integrálu ze součinu funkcí tak můžeme odvodit totožné vztahy:
u (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v (x) dx
u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u (x) · v(x) dx (4)
Může se zdát, že se jedná o převod integrálu na jiný integrál. Je tomu tak. V původním integrálu
ze součinu dvou funkcí si vždy zvolíme jednu funkci, kterou prohlásíme za derivaci u (x) (nebo
v (x)), kterou musíme umět integrovat a druhou v(x) (nebo u(x)) kterou musíme umět derivovat.iii
Volíme tyto funkce tak, abychom po úpravě obdrželi jednodušší integrál. Jak vhodně tyto funkce
volit si ukážeme na následujících příkladech a následně se pokusíme o vyslovení několika pravidel,
která by nám mohla pomoci s výpočty integrálů pomocí této metody.
Je ještě nutné podotknout, že metoda per partes se při výpočtu při mnoha případech používá
i opakovaně.
Příklad 8. Vypočítejme integrál
x · ex
dx
Řešení. Jedná se o integrál, který ani sebelepší úpravou nemůžeme převést na integrál „tabulkový“.
Jedná se ale evidentně o součin dvou funkcí. Využijeme proto metody integrace per partes. Máme
součin dvou funkcí x a ex
. Jednu z nich musíme zvolit jako derivaci a druhou jako funkci nederivovanou.
Vzhledem k tomu, že ve vztahu (4) je na pravé straně integrál z funkcí se zaměněnou
derivací, zvolíme v původním integrálu funkce u(x) a v (x) tak, aby integrál ze součinu u (x)·v(x)
byl jednodušší. Toho docílíme tak, že jako nederivovanou funkci u(x) zvolíme funkci x, protože
její derivace je rovna jedničce a z integrálu na pravé straně tak „zmizí“. Jako funkci v (x) zvolíme
ex
, funkce v(x) na pravé straně (4) pak bude v(x) = v (x) dx = ex
dx = ex
. Celý tento proces
zapíšeme takto:
x
u(x)
· ex
v (x)
dx =
u(x) = x u (x) = 1
v (x) = ex
v(x) = ex
= ex
u(x)
· x
v(x)
− 1
u (x)
· ex
v(x)
dx
Vidíme, že se nám původní integrál zjednodušil na prostý součin x·ex
a tabulkový integrál z funkce
ex
. Tento výraz už jen zintegrujeme a upravíme:
ex
· x − ex
dx = xex
− ex
+ C
Příklad 9. Vypočítejme integrál
(x2
+ 1) · cos x dx
Řešení. Opět se jedná o integrál, který je součinem funkcí a nelze jej upravit na integrály z
elementárních funkcí. Využijeme proto metodu per partes. Jedná se o součet polynomu a goniometrické
funkce. Derivací polynomu obdržíme polynom o stupeň nižší. Dvojnásobnou derivací
polynomu bychom tak mohli obdržet v upraveném integrálu (4) pouze goniometrickou funkci. To
iiiTo nebývá problém.
5
znamená dvojnásobné využití metody per partes. Zvolíme si tedy polynom x2
+ 1 jako nederivovanou
funkci u(x), její derivace u (x) = 2x. Naopak jako derivovanou funkci v (x) = cos x, potom
v(x) = cos x dx = sin x. Celý proces prvního kroku tak můžeme zapsat jako:
(x2
+ 1)
u(x)
· cos x
v (x)
dx =
u(x) = x2
+ 1 u (x) = 2x
v (x) = cos x v(x) = sin x
= (x2
+ 1)
u(x)
· sin x
v(x)
− 2x
u (x)
· sin x
v(x)
dx
Na integrál na pravé straně pak ještě jednou uplatníme metodu per partes a tak se zbavíme výrazu
2x před goniometrickou funkcí v integrálu. Zvolíme-li tedy znovu u(x) = 2x, pak je u (x) = 2 a
podobně zvolíme v (x) = sin x a pak v(x) = sin x dx = − cos x. Můžeme tak psát:
(x2
+ 1) · sin x −

 2x
u(x)
· sin x
v (x)
dx

 =
u(x) = 2x u (x) = 2
v (x) = sin x v(x) = − cos x
=
= (x2
+ 1) · sin x −


 2x
u(x)
· (− cos x)
v(x)
− 2
u (x)
· (− cos x)
v(x)
dx



Tím jsme obdrželi elementární integrál a výsledek již jen upravíme:
(x2
+1)·sin x− 2x · (− cos x) − 2 · (− cos x) dx = (x2
+1)·sin x+2x·cos x−2· cos x dx =
= (x2
+ 1) · sin x + 2x · cos x − 2 · sin x + C = (x2
− 1) sin x + 2x cos x + C
Abychom nemuseli vždy složitě vymýšlet, kterou funkci během integrace per partes zvolit jako
derivovanou a kterou jako nederivovanou, je možné shrnout jednotlivé případy, se kterými se
pravděpodobně setkáme, do následující tabulky:iv
Tabulka 1: Volba funkce u(x) a v (x) pro různé typy součinů funkcí.
Integrovaná funkce u(x) v (x)
P(x) · ex
P(x) ex
P(x) · sin x P(x) sin x
P(x) · cos x P(x) cos x
P(x) · ln x ln x P(x)
Příklad 10. Vypočítejme integrál
x3
ln2
x dx
Řešení. Jedná se o integrál ze součinu polynomu a přirozeného logaritmu a proto využijeme nápovědy
z Tabulky 1 a jako funkci u(x) zvolíme ln2
x, pak její derivace u (x) je derivací složené(!)
funkce, tedy u (x) = 2 ln x · 1
x . Za funkci v (x) zvolíme x3
a tedy v(x) = x3
dx = x4
4 . Pomocí (4)
tak obdržíme:
ivP(x) je obecně polynom.
6
x3
ln2
x dx =
u(x) = ln2
x u (x) = 2 ln x · 1
x
v (x) = x3
v(x) = x4
4
= ln2
x·
x4
4
− 2 ln x·
1
x
·
x4
4
dx =
x4
ln2
x
4
− ln x
x3
2
dx
Jak je vidět, tak výsledek obsahuje znovu integrál, který je součinem dvou funkcí, z čehož jedna
je přirozený logaritmus (tentokráte již ne v mocnině) a polynom. Použijeme tedy ještě jednou
metodu per partes se stejnou taktikou jako v prvním kroku:
x4
ln2
x
4
− ln x
x3
2
dx =
u(x) = ln x u (x) = 1
x
v (x) = x3
2 v(x) = 3x2
2
=
x4
ln2
x
4
− ln x ·
3x2
2
−
1
x
·
3x2
2
dx =
=
x4
ln2
x
4
−
3x2
ln x
2
−
3
2
· x dx =
x4
ln2
x
4
−
3x2
ln x
2
+
3x2
4
+ C
Příklad 11. Vypočítejme integrál
(x2
+ 1)ex
dx
Řešení. Jedná se o integrál ze součinu polynomu a exponenciální funkce. Proto použijeme metodu
per partes a to tak, že jako nederivovanou funkci zvolíme u(x) = x2
+ 1 a jako derivovanou
v (x) = ex
(dle Tabulky 1). Dostaneme tak rozvoj:
(x2
+ 1)ex
dx =
u(x) = x2
+ 1 u (x) = 2x
v (x) = ex
v(x) = ex
= (x2
+ 1)ex
− 2xex
dx
Vidíme, že došlo ke zjednodušení polynomu v integrálu o jeden stupeň. Použijeme tedy ještě jednou
metodu per partes a to se stejnou taktikou, kterou již znázorníme jen matematickou symbolikou:
(x2
+ 1)ex
− 2xex
dx =
u(x) = 2x u (x) = 2
v (x) = ex
v(x) = ex
= (x2
+ 1)ex
− 2xex
− 2ex
dx =
= (x2
+ 1)ex
− 2xex
+ 2 · ex
dx = (x2
+ 1)ex
− 2xex
+ 2ex
+ C = (x2
− 2x + 3)ex
+ C
1.2.3 Metoda integrace substitucí
Metoda integrace substitucí se s výhodou využívá, má-li funkce, která má být integrována,
neelementární argument. Tedy např. v případě funkce f(x) = ex
je argument exponenciály z
hlediska výpočtu integrálu elementární. Nicméně, již pro funkci f(x) = e2x+1
argument 2x + 1
není z hlediska integrace elementární a je třeba jej „nahradit“ elementárním argumentem – novou
proměnnou.
Postup výpočtu substitucí využívá věty o derivaci složené funkce. Připomeňme, že funkce f(g(x))
má derivaci (f(g(x))) = f (g(x)) · g (x). Označíme-li primitivní funkci f(g(x)) jako F(g(x)), pak
můžeme psát (F(g(x))) = F (g(x)) · g (x) = f(g(x)) · g (x). Integrací této relace obdržíme:
f(g(x)) · g (x) dx = F(g(x)) + C
Zavedeme-li za argument funkce f, tedy za g(x) novou proměnnou t a za g (x) dx analogicky
dt, pak dostaneme integrál z elementární funkce z nové proměnné t:
7
f(g(x))
f(t)
· g (x) dx
dt
= f(t) dt = F(g(x))
F (t)
+C (5)
Je třeba podotknout, že v „novém“ integrálu f(t) dt se po substituci nesmí vyskytovat žádná
původní proměnná, tedy nový integrál musí představovat integrál pouze z funkce obsahující proměnnou
t a nikoliv x! Postup bude nejlepší ilustrovat na příkladu:
Příklad 12. Vypočítejme integrál
sin(5x − π) dx
Řešení. Vidíme, že v integrálu je vyskytuje „znepříjemňující“ argument 5x−π, který nám nedovoluje
počítat integrál jako klasický tabulkový. Zvolíme proto tento argument jako novou proměnnou.
Tedy položíme g(x) = 5x − π = t. V integrálu (5) je vidět, že nová integrační proměnná dt se
vypočte jako dt = g (x) dx. Derivace g (x) je g (x) = (5x−π) = 5. Proto vidíme, že dt = 5 dx a
tedy v původním integrálu můžeme dx nahradit 1
5 dt. Tak původní integrál přejde na elementární
integrál z proměnné t:
sin(5x − π) dx =
5x − π = t dt = (5x − π) dx
dt = 5 dx dx = 1
5 dt
= sin t ·
1
5
dt =
1
5
· sin t dt
To je již integrál z elementární funkce. Je ale třeba po provedení integrace znovu dosadit za t
původní proměnnou, tedy provést transformaci t = 5x − π. Výsledný integrál je pak:
1
5
· sin t dt = − cos t + C = −
1
5
· cos(5x − π) + C
Příklad 13. Vypočítejme integrál
x · e−x2
Řešení. Snadno nahlédneme, že exponenciální funkce obsahuje z hlediska integrace nepříjemný
argument −x2
. Budeme se tedy snažit tohoto argumentu zbavit. Provedeme to tak, že zavedeme
novou proměnnou t = −x2
. V takovém případě bude dt = (−x2
) dx, tedy po úpravě dt =
−2x dx. Z tohoto výrazu vyjádříme dx, což vede k výrazu dx = − 1
2x dt. Dosazením do původního
integráluv
obdržíme:
x · e−x2
dx =
−x2
= t dt = (−x2
) dx
dt = −2x dx dx = − 1
2x dt
= x · et
· −
1
2x
dt = −
1
2
et
dt
Všimněme si, prosím, že po vhodné substituci dojde k transformaci veškerých proměnných x na
novou proměnnou t. Úpravu výrazu, který obsahoval obě proměnné jsme uzavřeli do lomených
závorek, vzhledem k tomu, že se nejedná o korektní matematický výraz. Nyní už pokračujeme
přímočarou integrací podle t a nahrazením proměnné t zpět výrazem t = −x2
:
−
1
2
et
dt = −
1
2
et
+ C = −
1
2
e−x2
+ C
Příklad 14. Vypočítejme integrál
3 · cos x
sin4
x
dx
vPo dosazení uvádíme integrál v uvozovkách, protože není v korektním tvaru – jsou v něm jak proměnné x, tak
proměnné t, což je nepřípustné!
8
Řešení. Jedná se o integrál z podílu dvou goniometrických funkcí. Ve jmenovateli se však vyskytuje
funkce sinus ve čtvrté mocnině, což je neintegrovatelný výraz. Využijeme proto metodu substituce,
ve které provedeme transformaci sin x = t. V takovém případě nabude integrál po substituci tvaru:
3 · cos x
sin4
x
dx =
sin x = t dt = (sinx) dx
dt = cos x dx dx = 1
cos x dt
=
3 cos x
t4
·
1
cos x
dt = 3 ·
1
t4
dt
Tento integrál je již tabulkový a lze jej po úpravě na mocninný tvar snadno integrovat. Nakonec
opět provedeme zpět transformaci t = sin x na původní proměnnou x:
3 ·
1
t4
dt = 3 · t−4
dt = 3 ·
t−3
−3
+ C = −
1
t3
+ C = −
1
sin3
x
+ C
Příklad 15. Vypočítejme integrál
2x dx
1 − 3x2 + 3x4 − x6
dx
Řešení. Integrál před výpočtem upravíme tak, že ve jmenovateli integrovaného zlomku upravíme
vzorec pro třetí mocninu dvojčlenu 1−3x2
+3x4
−x6
= (1−x2
)3
a konstantu 2 z čitatele vytkneme
před integrál, obdržíme tak:
2x dx
1 − 3x2 + 3x4 − x6
dx = 2 ·
x
(1 − x2)3
dx
Tento integrál budeme řešit metodou substituce. Ve jmenovateli zlomku, který máme integrovat
je třetí mocnina výrazu 1 − x2
, proto za vhodnou substituci zvolíme t = 1 − x2
. Provedeme-li
transformaci proměnných, jak je obvyklé, obdržíme integrál:
2·
x
(1 − x2)3
dx =
1 − x2
= t dt = (1 − x2
) dx
dt = −2x dx dx = − 1
2x dt
= 2 ·
x
t3
· −
1
2x
dt = −
1
t3
dt
To je již elementární integrál, který upravíme na mocninný tvar a integrujeme. Nakonec provedeme
zpětnou transformaci proměnných t = 1 − x2
a obdržíme výsledek.
−
1
t3
dt = − t−3
dt = −
t−2
−2
+ C =
1
2t2
+ C =
1
2(1 − x2)2
+ C
1.3 Příklady k procvičení neurčitého integrálu
1. Vypočtete následující integrály:
(a)
(x2
+ 1)2
dx
x5
5
+
2x3
3
+ x + C
(b)
x4
− 1
x2 + 1
dx
x3
3
− x + C
(c)
sin x − sin3
x
cos2 x
dx [− cos x + C]
9
(d)
3x2
x3 − 10
dx ln |x3
− 10|
(e)
2
3
7
√
x +
7
2
4
√
x3 dx 2 ·
4
√
x7 +
7
12
·
7
√
x8 + C
(f)
2 + x2
x3
dx ln |x| −
1
x2
+ C
(g)
cot x dx [ln | sin x| + C]
(h)
1 +
√
2
x ·
√
2
dx 1 +
1
√
2
· ln |x| + C
2. Vypočtete následující integrály metodou per partes:
(a)
(x − 4) sin x dx [sin x − x · cos x + 4 · cos x + C]
(b)
1
2
x2
− x − 1 · ex
dx ex
· (x2
− 3x + 2) + C
(c)
x2
+ 1
2
· ln x dx
x3
6
ln x +
x
2
ln x −
x3
18
−
x
2
+ C
(d)
x sin x + x cos x dx [(x + 1) sin x + (1 − x) cos x + C]
(e)
10 ln x
x10
dx −
10
89x9
−
10 ln x
9x9
+ C
(f)
4x ln x − 4x dx x2
(2 ln x − 3) + C
(g)
x3
· cos x dx x3
sin x + 3x2
cos x − 6x sin x − 6 cos x + C
(h)
x −
1
x
· x2
ex
dx ex
· (x3
− 3x2
+ 5x − 5) + C
3. Vypočtete následující integrály metodou substituce:
(a)
x2
e−x3
dx −
1
3
e−x3
+ C
10
(b)
ex
1
7 ex + 7
dx 7 ln
ex
7
+ 7 + C
(c)
sin x · cos x dx −
1
2
· cos2
x + C
(d)
(4x − 2) · sin(x2
− x) dx −2 cos(x2
− x) + C
(e)
6
6 −
x
6
dx −
36
7
·
6
6 −
x
6
7
+ C
(f)
(4 − 7x)10
dx −
1
77
· (4 − 7x)11
+ C
(g)
2 · e2·sin x
· cos x dx e2 sin x
+ C
(h)
5x4
2 ·
√
4 + x5
dx 4 + x5 + C
4. Vypočtete následující integrály vhodným postupem:
(a)
x · sin(2x − 1) dx
1
4
sin(2x − 1) −
1
2
x cos(2x − 1) + C
(b)
x · e(x2
−4)
dx
ex2
−4
2
+ C
(c)
tan x + cot x dx [ln | sin x| − ln | cos x| + C]
(d)
x · tan2
x dx −
x2
2
+ x tan x + ln | cos x| + C
(e)
8x cos 8x dx x · sin(8x) +
1
8
cos(8x) + C
(f)
x
2
ln
x
2
dx
1
8
x2
(2 ln x − 1 − 2 ln 2) + C
11
1.4 Určitý integrál
Význam určitého integrálu dané funkce f(x) v intervalu od a do b ilustruje Obrázek 2. Je zde
patrné, že určitým integrálem z funkce f(x) na intervalu od a do b rozumíme plochu pod grafem
této funkce.vi
Výpočet určitého integrálu je jednoduchý. Nejprve určíme primitivní funkci F(x) k funkci f(x)
a určitý integrál na intervalu (a; b) je pak roven rozdílu funkčních hodnot F(b) − F(a). Zapsáno
rovnicí:
b
a
f(x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a) (6)
Obrázek 2: Význam určitého integrálu funkce f(x) od a do b. Spojitost s primitivní funkcí a jejími
hodnotami je znázorněna vpravo.
Výpočet určitého integrálu tedy provedeme tak, že si nejdříve určíme primitivní funkci F(x) k
zadané funkci f(x), do funkce F(x) si pak dosadíme horní mez b a dolní mez a a tyto funkční
hodnoty od sebe odečteme a obdržíme kýžený výsledek určitého integrálu. Pro ilustraci uvedeme
několik příkladů. Podmínkou je, že funkce musí být na celém intervalu (a; b) definována! V opačném
případě určitý integrál neexistuje.
Příklad 16. Vypočítejme určitý integrál
1
−3
(x2
− 1) dx
Řešení. Funkcí, kterou máme integrovat je f(x) = x2
− 1. Podle pravidel pro integrování, která
jsme uvedli výše tuto funkci zintegrujeme. Obdržíme tak F(x) = (x2
− 1) dx = x3
3 − x. Do této
primitivní funkce dosadíme hodnoty horní meze b = 1 a dolní meze a = −3 a podle vztahu (6)
dostaneme přímočaře výsledek:
viJe na místě podotknout, že plochu pod osou x integrál bere jako zápornou a plochu nad osou x jako kladnou.
12
1
−3
(x2
− 1) dx =
x3
3
− x
1
−3
[F (x)]b
a
=
13
3
− 1
F (b)
−
(−3)3
3
− (−3)
F (a)
=
16
3
Příklad 17. Vypočítejme určitý integrál
2
1
√
x +
1
x
dx
Řešení. Určíme nejprve primitivní funkci k funkci f(x) =
√
x + 1
x . Upravíme si první sčítanec na
mocninný tvar a integrujeme. Následně dosadíme integrační meze a určitý integrál vyčíslíme:
2
1
√
x +
1
x
dx =
2
1
x
1
2 +
1
x
dx =
x
3
2
3
2
+ ln |x|
2
1
=
=
2 · 2
3
2
3
+ ln 2 −
2 · 1
3
2
3
+ ln 1 =
4
√
2
3
−
2
3
+ ln 2
Příklad 18. Vypočítejme určitý integrál
7
3
x
x2 − 4
Řešení. Jedná se o integrál, který budeme řešit substituční metodou. Položíme t = x2
− 4. Postup
je identický s integrací jako u neurčitého integrálu. Výhodou však je, že nemusíme funkci zpět z
proměnné t transformovat do x, pokud při substituci transformujeme integrační meze (které jsou
uvedeny pro proměnnou x) také do proměnné t. V našem případě, jak jsme již řekli, použijeme
substituci t = x2
− 4, proto integrační mez 3 přejde na t = 32
− 4 = 5 (tedy 3 → 5) a obdobně
7 → 45. Pak můžeme k výpočtu hodnot primitivní funkce použít přímo proměnné t. Substitucí
tedy obdržíme (včetně integračních mezí):
7
3
x
x2 − 4
=
x2
− 4 = t dt = (x2
− 4) dx 3 → 5
dt = 2x dx dx = 1
2x dt 7 → 45
=
45
5
x
t
·
1
2x
dt =
1
2
·
45
5
1
t
Tento integrál integrujeme a po integraci podle t můžeme přímo dosadit transformované integrační
meze:
1
2
·
45
5
1
t
=
1
2
· [ln |t|]
45
5 =
1
2
· (ln 45 − ln 5) = ln 3
Příklad 19. Vypočítejme určitý integrál
π
2
−π
x · cos x dx
Řešení. Jedná se o integrál, jehož primitivní funkci F(x) k funkci f(x) = x cos x budeme hledat
metodou per partes. Nejprve si touto metodou vypočteme primitivní funkci F(x):
F(x) = f(x) dx = x · cos x dx =
u(x) = x u (x) = 1
v (x) = cos x v(x) = sin x
=
= x sin x − sin x dx = x sin x + cos x
13
Pro určitý integrál ale platí
b
a
f(x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a) a máme-li zjištěnu primitivní
funkci F(x), můžeme rovnou do tohoto vztahu vypočtenou primitivní funkci vložit, dosadit integrační
meze a počítat:
π
2
−π
x·cos x dx = [x sin x + cos x]
π
2
−π =
π
2
· sin
π
2
+ cos
π
2
−(−π·sin(−π)+cos(−π)) =
2 + π
2
1.5 Příklady k procvičení určitého integrálu
1. Vypočítejte neurčité integrály vhodnými metodami:
(a)
10
1
1
x2
dx
9
10
(b)
1
−1
x4
− 2x2
+ 1
x − 1
dx −
4
3
(c)
e
1
1 − ex
+
100
x
dx [99 + 2e − ee
]
(d)
12
6
x2
− 13x + 19
x2
dx
91
12
− 13 ln 2
(e)
1
−1
(x − 1) · (x − 2) · (x − 3) dx [−16]
2. Vypočítejte neurčité integrály vhodnými metodami:
(a)
1
0
x · ex2
dx
1
2
· (e − 1)
(b)
π
0
3 sin x cos2
x dx [2]
(c)
1
0
sin(πx − π) dx −
2
π
(d) √
2
1
x5
−
1
x
dx
7
6
−
ln 2
2
(e)
1
0
x 3x2 + 5 dx
1
9
· (16
√
2 − 5
√
5)
14