TRANSFORMACE LAPLACEHO OPERÁTORU Z KARTÉZSKÝCH DO SFÉRICKÝCH SOUŘADNIC 
 
( )
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( , , ) ( , , )
.
1 1 1
. sin
sin sin
sin cos ; sin sin ; cos ;
nebo ;
arctan / pro > 0;
/ 2 pro
x y z r
x y z
r
r rr r r
x r y r z r
r x y z r x y z
y x x
x
θ ϕ
θ
θ θθ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ
π
θ
→
∂ ∂ ∂
Δ = ∇ = ∇ ∇ = + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Δ = ∇ = ∇ ∇ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = =
= + + = + +
=
=
( )
( )
2 2
0; 0;
nebo sin ;
arctan / pro 0;
3 / 2 pro 0; 0;
arccos / nebo tan / ;
;
y x y
ry x x
x y
z r y x
r
x x r x x
r
y y r y
θ
π
π
ϕ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ
⎧
⎪
≥ +⎪
=⎨
− − <⎪
⎪ = ≤⎩
= =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2 2 2
2 2 2
;
;
; ; ;
y
r
z z r z z
x x y y z zx y z
ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
http://skisickness.com/2009/11/20/