Príklady na cvičenia pre predmet F3060 Kmity, vlny, optika Juraj Rusnačko Ústav fyziky kondenzovaných látek, MU 14. 12.2016 1 Cvičenie 1 1.1 Teleso o hmotnosti m kmitá na pružine tuhosti k. Zostavte a vyriešte pohybovú rovnicu pre teleso, gravitáciu neuvažujte. 1.2 Určte časovú závislosť výchylky telesa z príkladu 1. v prípade, že poznáte počiatočné podmienky x(0) = Xo, f (0) = Vq. 1.3 Vypočítajte časovú strednú hodnotu kinetickej a potenciálnej energie lineárneho harmonického oscilátoru. 1.4 Zostavte a vyriešte pohybovú rovnicu pre matematické kyvadlo použitím zákonu zachovania mechanickej energie. 2 Cvičenie 2 2.1 Vypočítajte frekvenciu vlastných kmitov pre obecné fyzické kyvadlo. 2.2 Teleso hmotnosti m je zavesené na pružine o tuhosti k. Berúc do úvahy gravitačné pôsobenie Zeme, vypočítajte rovnovážnu polohu telesa a popíšte, ako gravitácia ovplyvní kmity oscilátoru. 2.3 Pružina v nežaťaženom stave má dĺžku d. Na pružinu zavesíme teleso o hmotnosti m, pružina sa predĺži o 5. Na takto zavesené teleso dopadne ďalšie teleso s hmotnosťou m z výšky 5 a spojí sa s ním. Určte rovnovážnu polohu takejto sústavy dvoch telies, časovú závislosť výchylky sústavy, jej amplitúdu a strednú hodnotu mechanickej energie. 2.4 Určte časový vývoj výchylky tlmeného lineárneho harmonického oscilátoru, ak má tlmiaca sila tvar F = - bv. 2.5 Stredom Zeme je vyvŕtaný rovný tunel, ktorý spája dve miesta na opačných stranách planéty. Teleso vypustíme do takéhoto tunela z jednej strany Zeme s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Opíšte pohyb telesa (Zem považujte za homogénnu guľu o hmotnosti 6 x 1024 kg a polomere R = 6371 km.) 1 3 Cvičenie 3 3.1 Uvažujte tlmený a budený harmonický oscilátor s obecnou periodickou budia-cou silou F(ŕ). Napíšte rozklad F(ŕ) pomocou Fourierovho radu a využite linearitu pohybovej rovnice - ukážte, že riešením pohybovej rovnice je x(t) = Yjajyj(t) + bjZj(t), j kde y j {t) a z j {t) sú riešenia pohybových rovníc s pravou stranou rovnou cos(o) j t), resp. sin(a>j(ŕ)). 3.2 Uvažujte RLC obvod obsahujúci dva zdroje striedavého prúdu Ú\ a Ú2 s frekvenciami oji a íú2- Určte časovú závislosť náboja na kondenzátore Q(ŕ). 3.3 Dve matematické kyvadla o totožných dĺžkach závesu Z a hmotnostiach závaží m sú zavesené vedľa seba. Závažia sú spojené horizontálnou pružinou o tuhosti k tak, že pre nevychýlené závažia je pružina nenatiahnutá. Popíšte kmity sústavy-predpokladajte, že pružina ostáva celý čas v horizontálnej polohe a že platí aproximácia malých kmitov sústavy sin

. 5.2 Určte tvar vlny, ktorá vznikne súčtom dvoch postupných vín s rovnakou amplitúdou, frekvenciou a vlnovou dĺžkou cestujúcich proti sebe. 5.3 Vyšetrite vplyv okrajových podmienok na možné frekvencie a vlnové dĺžky stojatých vín, menovite uvažujte prípady: oba konce pevné, jeden koniec pevný a jeden voľný, oba konce voľné. Pevný koniec v xo znamená u(xo, t) = 0 a voľný koniec v x0 zas du{x0, t)/dx = 0. Za obecnú stojatú vlnu považujte nasledujúcu funkciu: u(x,t) = acos(kx) cos(aiŕ) + bsin(kx) cos(a>ŕ) + c cos (kx) sin(o) t) + d sin(fcx) sin(o) t). 5.4 Vypočítajte Fourierove koeficienty pre periodickú funkciu: f [x) = x,xe [0,L], f(x + L)=f(x). 6 Cvičenie 6 6.1 Zvuk o frekvencii 440 Hz sa šíri vzduchom (rýchlosť zvuku vo vzduchu je približne 330 m/s). Vypočítajte, akou rýchlosťou sa musí pohybovať detektor voči stacionárnemu vzduchu a zdroju (a podobne zdroj voči stacionárnemu vzduchu a detektoru), aby detegovaná frekvencia bola o poltón vyššia/nižšia ako 440 Hz. V temperovanej stupnici je 12 intervalov na oktávu. Ďalej uvažujte ladičku (detektor) na ramene dĺžky R rotujúcom v horizontálnej rovine obsahujúcej zdroj. Akou uhlovou rýchlosťou sa musí rameno otáčať, aby bol pomer maximálnej a minimálnej detegovanej frekvencie 1 tón? 6.2 Sú zadané vlny: U\ = Acos(k-r-o)ŕ), u2 = A/rcos(kr-a>t). Určte geometrický tvar plôch konštantnej fázy. Zo získaných poznatkov skúste zostaviť tvar pre výchylku valcovej struny. Zdôvodnite prítomnosť faktoru l/r v amplitúde vlny u2 - aký faktor bude obsahovať amplitúda valcovej vlny? 6.3 Vypočítajte fázovú a grupovú rýchlosť pre vlny šíriace sa v prostredí s disperznou závislosťou co = ck{\ + -ak2). 3 6.4 Búrka spôsobila vlny v hlbokej vode, ktoré sa šíria k pobrežiu vzdialenému 100 km. Vlnová dĺžka vín je 10 m. Vypočítajte čas, za ktorý dorazia vlny na pobrežie a čas medzi príchodom dvoch nasledujúcich hrebeňov vín. Disperzná závislosť 7.1 Uvažujte rovinnú monochromatickú vlnu, kde zložky elektrickej intenzity a magnetickej indukcie majú tvar: Z vákuových Maxwellových rovníc vyvoďte podmienky pre Eo, Bo, k a co. 7.2 Žiarovkou o účinnosti rj = 1% preteká prúd J = 0.25 A pri napätí U = 3 V. Predpokladajte, že žiarovka vyžaruje monochromatický zväzok svetla o priereze S = 10 cm2 a vlnovej dĺžke X = 550 nm. Určte: (a) počet fotónov vyžiarených za 1 sekundu, (b) počet fotónov v objemovej jednotke, (c) intenzitu svetla a hustotu objemovú hustotu energie. 7.3 V roku 1848-49 Hippolyte Fizeau vykonal slávny experiment, pomocou ktorého určil rýchlosť svetla vo vzduchu (zmýlil sa asi o 5%). Zväzok svetla sa šíri od zdroja až dopadne na zrkadlo, kde sa kolmo odrazí a vracia sa späť. Svetlu do cesty vložíme rotujúce ozubené koleso. Fizeau nastavil rotáciu ozubeného kolesa tak, že všetko svetlo, ktoré prešlo medzerou medzi dvoma zubmi, dopadlo pri návrate na susedný zub. Vypočítajte frekvenciu otáčok ozubeného kolesa, ak má koleso 720 zubov a od zrkadla je vzdialené 8630 m. 8.1 Vypočítajte Poyntingov vektor S a hustotu energie 8 pre rovinnú vlnu vo vákuu. Ukážte, že S a (o vyhovujú Poyntingovmu teorému. 8.2 Uvažujte rovinnú vlnu: 7 Cvičenie 7 E = E0cos(k-r-a>ť), B = Bocos(k-r-o)ŕ). 8 Cvičenie 8 E = xE0x cos {k z - co t +