Zbierka príkladov pre predmet F3060 Kmity, vlny, optika Juraj Rusnačko Ústav fyziky kondenzovaných látek, MU 4. januára 2018 1 Voľné kmity 1.1 Dve pružiny s totožnými tuhosťami k sú upevnené na protiľahlé strany závažia hmotnosti m. V rovnováhe sú obe pružiny nenapnuté. Určte vlastnú frekvenciu kmitov sústavy. 1.2 Závažie je súčasne zavesené na dvoch rovnobežných pružinách, ktoré majú rovnakú rovnovážnu dĺžku. Tuhosti pružín sú k\,k2- Popíšte vlastné kmity sústavy. 1.3 Popíšte vlastné kmity systému s dvoma sériovo spojenými pružinami s tuhosťami k\,k2- Závažie o hmotnosti m je pripevnené k druhej pružine. 1.4 Vibrácia intersticiálneho kyslíku 160 v kremíku má frekvenciu 33.2 x 1012 Hz (33.2 Thz). Aká je tuhosť väzby? Na akej frekvencii vibruje izotop 180 za predpokladu, že sa tuhosť väzby nezmení? 1.5 Gravitačná sila pôsobiaca na časticu, ktorá je umiestnená vovnútri homogénnej gule je priamo úmerná vzdialenosti od stredu gule (dokážte! návod: použite Gaus-sovu integrálnu vetu). Ak budeme za takúto guľu považovať Zem a vyvŕtame pozdĺž jej priemeru tunel od pólu k pólu, ako dlho bude trvať než sa teleso, ktoré spadne do takéhoto tunelu prepadne na opačnú stranu zemegule? Odpor vzduchu zanedbajte. 1.6 U kmitov s frekvenciou / = 50 Hz bola v čase t\ = 0 ms pozorovaná výchylka X\ = 30 mm a v čase t2 = 12 ms výchylka x2 = -14 mm. Určte amplitúdu kmitov a fázu v čase 0 (fázovú konštantu). 1.7 Tuhé teleso o hmotnosti M je voľne nasadené na vodorovnú os, ktorou prechádza vo vzdialenosti d od ťažiska. Moment zotrvačnosti vzhľadom k osi rotácie je J (trenie je zanedbateľné). a) Napíšte diferenciálnu rovnicu, ktorá popisuje zmenu uhlu pootočenia telesa 9 s časom. Uhol pootočenia odčítajte od rovnovážnej polohy telesa. b) Ak teleso vykonáva malé kmity tak, že sinŕ? « 0, aká je ich perióda? 1 upevnený koniec nosné vlákno referenčná ryska Obr. 1: Torzné kyvadlo. 1.8 V predchádzajúcej úlohe je moment zotrvačnosti tuhého telesa vzhľadom k osi prechádzajúcej ťažiskom rovný IT. Nájdite výraz pre periódu malých kmitov ako funkciu áaíja ukážte, že: a) existujú dve hodnoty d, d\ a dz, ktoré zodpovedajú danej perióde; c) perióda je minimálna, ak d = y-tj?, a nájdite túto minimálnu hodnotu periódy. 1.9 Uvažujte fyzické kyvadlo pozostávajúce zo železnej tyče dĺžky / = 1 m a hmotnosti mtyč = 2 kg, ku ktorej je na konci pripevnený hliníkový disk o polomere R = 20 cm s hmotnosť ou radisk = 1 kg. Kyvadlo je upevnené v strede tyče. Vypočítajte vlastnú frekvenciu kyvadla. Ako sa zmení, ak kyvadlo upevníme a) na konci tyče, b) v strede disku? 1.10 Meranie periódy fyzického kyvadla sa dá použiť na meranie tiažového zrýchlenia g. Pre jednoduchosť uvažujte homogénnu tyč dĺžky L zavesenú na jednom konci. Vyjadrite g ako funkciu L a. T. 1.11 Na obrázku 1 je znázornené tzv. torzné kyvadlo. Ide o analógiu lineárneho oscilátoru, kde dochádza k periodickému skrúteniu nosného vlákna. Určte vlastnú frekvenciu kmitov torzného kyvadla. Pomôcka: analógiou Hookovho zákona F = -kx je v tomto prípade výraz pre silový moment M = -kO. 1.12 Závažie sa pohybuje pod vplyvom potenciálu V (x) = V0 cosh |^J, kde V0 a x0 sú konštanty. a) Nájdite rovnovážnu polohu. b) Ukážte, že frekvencia malých kmitov okolo tejto polohy je rovná frekvencii kmitov rovnakého závažia pripevneného k pružine s tuhosť ou V0/Xq. 1.13 Odhadnite frekvenciu vlastných kmitov molekuly HC1. Závislosť interakčnej (po- ty perióda je rovná T = 2n 2 tenciálnej) energie na vzdialenosti je približne popísaná vzťahom: e2 B V{r) = —-+ 4ne0r r9 Rovnovážna vzdialenosť atómov H a Cl je R = 0.13 nm. Návod: Zamyslite sa nad hmotnosťami atómov H a Cl. Je nutné uvažovať o sústave dvoch telies? Vykreslite si funkciu zodpovedajúcu zadanej potenciálnej energii. Má minimum? Akej vzdialenosti toto minimum zodpovedá fyzikálne? Aký funkčný tvar by mala mať potenciálna energia v okolí minima, aby bolo možné kmity molekuly popísať jednoduchým modelom závažia na pružine? 2 Tlmené a budené kmity 2.1 Štandardný RLC obvod má v čase t = 0 s na kondenzátore náboj Qo a prúd v obvode je Jo = 0 A. Vypočítajte časový priebeh náboja na kondenzátore. Uvažujte slabé (podkritické) tlmenie: za aký čas klesne náboj na polovičnú hodnotu? Pre prípad silného (nadkritického) tlmenia dokážte, že systém prejde rovnovážnou polohou najviac jedenkrát. Nájdite, pre aké počiatočné podmienky ňou prejde práve jedenkrát a pre aké vôbec. 2.2 Závažie o hmotnosti 100 g je zavesené na pružine s tuhosťou 20 N/m. Celý systém je umiestnený v odporovom prostredí, kde proti pohybu pôsobí odporová sila úmerná rýchlosti, ktorej veľkosť je F0 = -bv, b = 1 Ns/m. Nájdite výchylku a rýchlosť závažia v čase ŕi = 0.05 s, ak počiatočná výchylka je x{t = 0) = 20 mm a počiatočná rýchlosť v (ŕ = 0) = 0 m/s. 2.3 Uvažujte RLC obvod, do ktorého je zapojený striedavý zdroj napätia U0cos{Q.t). Vypočítajte časovú strednú hodnotu výkonu dodaného zdrojom do obvodu (závisí len na Uq, Q a parametroch obvodu R, L, C). Pri výpočte časovej strednej hodnoty berte do úvahy periodické riešenie zodpovedajúce ustálenému stavu, teda po odznení prechodového javu. 2.4 Nájdite časový vývoj náboja na kondenzátore v RLC obvode budenom dvoma zdrojmi harmonického napätia s amplitúdami L/oi, U02, uhlovými frekvenciami Qi, Q2 a počiatočnými fázami (p\,(p2- 2.5 Zistite, aká závislosť budiacej sily vedie k lineárnej závislosti výchylky tlmeného oscilátoru na čase. 2.6 Prostredie obsahujúce lokálne elektrické náboje sa v elektrickom poli polarizuje a modifikuje vonkajšie pole. Polarizácia (definovaná ako hustota dipólového momentu) je v jednoduchom izotropnom prípade popísaná skalárnou susceptibili-tou %, môžeme predpokladať P = cq%E. Uvažujme o prostredí, ktoré je tvorené navonok neutrálnymi dvojicami atómového jadra a elektrónu (jedného na atóm) 3 o koncentrácii n. Ak na prostredie pôsobí harmonické elektrické pole E0e'nt, začnú elektróny vykonávať kmitavý pohyb okolo jadier, ktoré na nich pôsobia vratnou silou s efektívnou tuhosťou k. Prostredie sa takto polarizuje. Nájdite suscep-tibilitu x prostredia v závisloti na frekvencii a amplitúde budiaceho poľa (tlmenie zanedbajte). Vo výpočtoch nahraďte efektívnu tuhosť, ktorá nie je dobre mera-teľná, uhlovou frekvenciou vlastných kmitov podľa vzťahu k = meuý^. 2.7* Určte časovú závislosť výchylky lineárneho harmonického oscilátoru s tlmením y, ktorý je budený periodickou silou obdĺžnikového tvaru: F {t) = F0sgn cos (271 — nt { T inak povedané F(t) = < +F0, pre t e [-f,f) + «T -F0, preŕG[f,^) + nT > ,neZ. 3 Viazané oscilátory 3.1 Uvažujte sústavu na obrázku. Vypočítajte frekvencie normálnych vibračných mó-dov sústavy (normálny mód je taký, kde obe telesá kmitajú s rovnakou frekvenciou (ú). mi ^wwvvww m2 3.2* Uvážte nasledujúcu sústavu (jedná sa o jednoduchý jednorozmerný model vibrácií v pevných látkach): N závaží o hmotnosti m spojených pružinami s tuhos-ťou k. Zostavte pohybovú rovnicu pre j'-té teleso, dosaďte riešenie eiqiaelMt (a je vzdialenosť medzi závažiami, q je vlnový vektor) a určte tzv. disperznú závislosť co = (o{q). Ako závisí počet povolených q (počet riešení) na počte závaží? Bonus: uvážte periodické okrajové podmienky x j = Xn+j- Čo z toho vyplýva pre povolené vlnové vektory q? ki-i ^AWWWH mJ kj HwwwwH mj+1 kj+i 4 Mechanické a elektromagnetické vlnenie 4.1 Ukážte, že obecným riešením vlnovej rovnice je u(t,x) = f (x - ct) + g(x + ct) kde / a g sú bližšie nešpeficikované funkcie. 4 4.2 Pre zadané funkcie y/{z, t) zistite, či vyhovujú vlnovej rovnici a ak áno, určte fázovú rýchlosť: (a) y/(z, t) = sm(2nzl a + 2nt/b), [áno, Vf = a/b] (b) y/{z, t) = {az - bt)2, [áno, v f = b/a] 1 (c) y/{z, t) = -5-5—-, [nie] azzz + b (d) yr{z, t) = asin(az2 - bt2), [nie] (e) yr{z, t) = Aexp{-{a2z2 + b212-2abzť)), [áno, v f = b/a] x (f) y/(z, t) = 5 x 10"3m x cos (400s_1 (ŕ + ——)) - naviac určte: amplitúdu, smer šírenia, fázovú rýchlosť, vlnový vektor, vlnočet, vlnovú dĺžku, periódu, frekvenciu, uhlovú frekvenciu, maximálnu rýchlosť dy/(z, t) láta maximálne zrýchlenie d2y/(z, t)/dt2. [áno, A = 5 x 10~3 m, smer proti smeru osi x, v f = 1000 m-s"1, k = 0.4 m-1, v = 2.5 m, A = 5n m, T = 5n ■ 10"3 s, / = ^ Hz, co = 400 rad/s, fmax = 2 m/s, amax = 800 m/s2] 4.3 Určte pomer rýchlostí zvuku vo vodíku a v héliu za rovnakej teploty. Porovnajte so strednou rýchlosťou molekúl y/ (v2). [vnelvn2 = 0.77, v f < \J (v2)] 4.4 Ukážte, že polia E a B splňujúce vákuové Maxwellove rovnice taktiež vyhovujú vlnovej rovnici a určte fázovú rýchlosť elektromagnetických vín. 4.5 Uvažujte rovinnú monochromatickú vlnu, kde zložky elektrickej intenzity a magnetickej indukcie majú tvar: E = E0cos(k-r-a>ť), B = Bocos(k-r-o)ŕ). Z vákuových Maxwellových rovníc vyvoďte podmienky pre Eo, Bo, k a o). [k-Eo = 0, k - Bo = 0, k x Eo = to Bo, toEo = -c2k x Bo] 4.6 V prípade izotropného, nevodivého média (t.j. V • P = 0 a Jfree = 0) je možné za istých predpokladov vyjadriť polarizáciu ako funkciu elektrického poľa: P = e0x(E)E, kde %{E) = %i + X2E + xE2 + ■■■ . Členy vyššieho rádu v tomto rozvoji ixz,Xs> —) sú typicky malé, do úvahy teda vezmeme iba prvý člen %\- Ukážte, že v tomto prípade prejde vlnová rovnica P Ô2 E djfree Ô2 P 1 V^E-eoMo^ = ,0— + „0_--V(V.P) do tvaru ô2 E V2E-r0)Uo(l + Ii)-^ = 0. 5 5 Grupová rýchlosť, šírenie elmag. žiarenia v materiále 5.1 Vypočítajte fázovú a grupovú rýchlosť pre vlny šíriace sa v prostredí s disperznou závislosťou co = ck[\ + \ak2). [vf = c(l + ^ak2), vg = c(l + |afc2)] 5.2 Skladanie vín. Sčítajte dve vlny v nasledujúcich prípadoch: (a) Rovnaká frekvencia, rovnaký smer, rôzna amplitúda a fáza. (b) Rovnaká frekvencia, opačný smer, rôzna amplitúda. (c) Rôzna frekvencia, rovnaký smer, rovnaká amplitúda. 5.3 Slnečné žiarenie má intenzitu J = 1.4 x 103 W-m~2. Určte amplitúdu elektrického a magnetického poľa za predpokladu, že žiarenie je možné vyjadriť ako rovinnú vlnu. [E0 = \J2c\1qI = 1.03 x 103 V/m, B0 = E0/c = 3.4 x 10"6 T] 5.4 Uvažujte o prostredí bez priestorovej disperzie e(k,(ú) = e{oj) a cr(k,a>) = cr(a>). Nájdite vzťah medzi vlnovým vektorom rovinnej vlny a komplexnou dielektrickou funkciou (druhou mocninou komplexného indexu lomu) definovanou vzť a-hom: i2 1 [N(co)\ e(co) +i ĹO [k2 = 4 N2 M] 5.5 Uvažujte rovinnú, homogénnu elektormagnetickú vlnu v GaAs s energiou fotónu E = 1.5 eV a E = 2.0 eV Index lomu GaAs je n = 3.66 + 0.88i pre E = 1.5 eV a n = 3.88 + 0.203i pre E = 2.0 eV. Určte vlnovú dĺžku, vzdialenosť na ktorej poklesne amplitúda 1/e-krát a reálnu a imaginárnu časť komplexnej dielektrickej funkcie. [1.5 eV: A = 226 nm, d = 75 nm, e = 12.62 + Í6.44; 2 eV: A = 160 nm, d = 243 nm, e = 15.01 +Í1.575] 5.6 Určte fázovú a grupovú rýchlosť pre superpozíciu dvoch rovinných vín v plazme s disperziou n((o) = yjl-a)2p/a)2 < l.[vf = vg = n(a))c] 5.7 Index lomu ideálneho vo diča j e 2 (n + iK) = 1 iitíj + ú)2 Odvoďte tento vzť ah pomocou jednoduchého modelu N voľných elektrónov v objemovej jednotke, ktorých pohyb je tlmený. Ukážte, že daný vzť ah je možné dostať aj ako limitu vzťahu pre Lorentzov model dielektrika. (Toto mimo iné ukazuje, že člen |j fyzikálne reprezentuje prúdovú hustotu, rovnako ako Jfree-) 5.8 Odvoďte Seľlmeierov vzťah n2 = l+ AKac A2 -A2 6 pre plyn so zanedbateľnou absorpciou (tj. 7 = 0 ďaleko od rezonancie o>0) kde Aq vac zodpovedá frekvencii co0 a A je konštanta. Ako východzí bod vám poslúži vzťah z Lorentzovho modelu dielektrika 2 wp (n + ÍK)2 = l+ . p--. - io>y - or 6 Odraz a lom na rozhraní 6.1 V hĺbke h = 60 cm pod hladinou je umiestnený bodový zdroj svetla. Určte tvar a rozmer tej časti povrchu vody, z ktorej svetlo vystupuje z vodnej hladiny do vzduchu, [kruh s polomerom R = 68 cm] 6.2 Svetlo dopadá zo vzduchu kolmo na neznámy materiál. Odrazivosť rozhrania pre nepolarizované svetlo je 0.04. Pod akým uhlom musí svetlo dopadať, aby odrazené svetlo bolo lineárne polarizované? O aký materiál by sa mohlo jednať? [56.3°, sklo] 6.3 Lineárne polarizované svetlo dopadá zo vzduchu na rozhranie sklo/vzduch (index lomu skla je 1.73) pod uhlem 60°. Rovina polarizácie zviera s rovinou dopadu uhol 30°. Aká časť intenzity dopadajúceho svetla sa na rozhraní odrazí? [6.25 %] 6.4 Diamanty majú index lomu n = 2.42. Veľký index lomu vedie k tomu, že úplný vnútorný odraz môže nastať pre relatívne malé uhly dopadu. Na obrázku je vyobrazená dráha lúča svetla, ktorý sa odrazí od dvoch vnútorných rozhraní diamant/vzduch. Aký je kritický uhol pre diamant? Aká časť svetla sa odrazí pri dvoch vnútorných odrazoch, ak sú uhly dopadu 0\ = 40.5° a O2 = 50.6°? Pre s-polarizáciu nájdite fázový posuv pri odrazoch ^s. [9C = 24.4°, odrazí sa 100% svetla (úplný odraz), 0,(1) = -66.76°, medzi dvoma skríženými lineárnymi polarizátormi. Ukážte, že intenzita vystupujúceho svetla je modulovaná s frekvenciou rovnou štvornásobku frekvencie rotácie polarizátoru a> kde h je intenzita svetla vystupujúceho z prvého polarizátoru a J je konečná intenzita vystupujúceho svetla. 1(1 i 2 \-i 1 ) (1 -cos(4wŕ)), 9 Obr. 4: Fresnelov hranol. (G. Fowles: Introduction to modern optics.) 8 Geometrická optika 8.1 Vypočítajte ohniskovú vzdialenosť ploskovypuklej šošovky s polomerom lámavej plochy R, indexom lomu n a hrúbkou d - viď obrázok 5. [/ = R/(n - 1)] Obr. 5: Ploskovypuklá šošovka. 8.2 Nájdite polohu hlavných rovín tlustej šošovky tvaru gule o polomere R a indexe lomu n. Akú podmienku musí spĺňať index lomu, aby ležali ohniská vovnútri gule? [obe hlavné roviny prechádzajú stredom gule {p\ = pz = -R), ohniská vovnútri gule pre n < 1 alebo n > 2] 8.3 Odvoďte optickú maticu skleneného kvádru o šírke d (viď obrázok 6). Nápověda: použite matice pre lom na zakrivenom rozhraní, pričom polomer krivosti pošlite <1 d/n) do nekonečna. Obr. 6: Sklenene okno. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 10 8.4 Lúč svetla popísaný vektorom yi sa šíri na vzdialenosti a, odrazí sa od zrkadla a prejde vzdialenosť b. Nájdite výsledný lúč [Oži- la - 2bíR)yi + (a+b- 2ablR)6i (-2/Ä)yi + (l-2a/Ä)0i Obr. 7: Zrkadlo. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 8.5 Teleskop pozostáva z dvoch šošoviek - objktívu s ohniskovou vzdialenosťou f0 a okuláru s ohniskovou vzdialenosťou fe (viď obrázok 8). Funkciou teleskopu je zobraziť lúče dopadajúce pod uhlom 0\ na odpovedajúce lúče vysupujúce pod väčším uhlom 92, pričom 92 má závisieť iba na d\, nie na mieste, kde lúč do teleskopu vstupuje (teda nie na súradnici yi). Vypočítajte uhlové zväčšenie teleskopu, [-fo/fe] i. L % If 1 /o Obr. 8: Schema teleskopu. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 8.6 Odvoďte optickú maticu pre tlustú šošovku vyrobenú z materiálu n2 obklopenú tekutinou s indexom lomu n\. Polomery lámavých plôch sú J?i, J?2 a hrúbka šo- šovkyje d. L v Í2?2_llŕj___li, d fo ni n2\ i _ 1 f «i _ i [m Lj\R1 R2j + fíifí2 T "2 m j 1 R2\n2 1 8.7 Ukážte, že optická matica pre tlustú šošovku prejde na maticu popisujúcu tenkú šošovku, ak sa hrúbka šošovky pošle do nuly. Ďalej použite maticu pre tlustú šošovku na odvodenie optickej matice pre sklenené okno (polomery lámavých plôch sú nekonečné). 8.8 Pomocou optických matíc ukážte, že tlustá šošovka zodpovedá umiestneniu okna medzi dve tenké šošovky. 11 8.9 Zložitý optický element je reprezentovaný neznámou optickou maticou so zložkami A, B, C, D (viď obrázok 9). Objekt umiestnený vo vzdialenosti d\ pred optickú sústavu vytvorí obraz vo vzdialenosti d2 za sústavou. Predpokladajte, že ak d\ = l, tak dz = 21. Taktiež, ak d\ = 21, tak dz = 31/2 so zväčšením -1/2. Aké zložky má (A B) optická matica [C D ? [A=l,B = l,C=-l/l,D = 0] unknown element' <-di-> <-d2- Obr. 9: Neznámy optický element. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 8.10 Uvažujte tlustú šošovku (obr. 10), kde d = 5 cm, R\ =5 cm, R2 = -10 cm, n = 1.5. Vypočítajte optickú maticu pre túto šošovku. Kde sa nachádzajú hlavné roviny šošovky a aká je jej efektívna ohnisková vzdialenosť /eff? 2/3 10/3cm\ rlt ^' -i r ia \>Pi = -5/4cm,p2 = -5/2cm,/eff = 7.5cm -2/15cm" 5/6 ) Principal Piane ■Pl-> n Principal Piane iR2 -P2- J Figure 9.31 Obr. 10: Tlustá šošovka. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 9 Interferencia a difrakcia 9.1 Určte odrazivosť antireflexnej tenkej vrstvy. Substrát má index lomu n, vrstva má (1-Vri)2 (1 + y/n) index lomu n\ = \fň a hrúbka vrstvy je d = -^=. [R ■ (l + Vň)2-Vň(l-Vň)2 9.2 Uvažujte difrakčnú mriežku so 100 vrypmi/mm. Postupne sú použité dva zdroje s vlnovými dĺžkami Ai a A2. Na tienidle vzdialenom 1 m sa prekrýva tretie maximum prvého zdroja so štvrtým maximom druhého. Určte A2, ak je Ai = 800 nm. Ako ďaleko na tienidle sú od seba vzdialené druhé maximá? [A2 = 600 nm, Ax = 0.04 m] 9.3 Na obrázku je štandardné usporiadanie dvojštrbinového experimentu. Tienidlo je od štrbiny vzdialené D = 4 m, vzdialenosť y je 20.5 cm, vzdialenosť štrbín je 12 d = 4.5 /im a vlnová dĺžka svetla X = 580 nm. Zistite, v akej časti interferenčného obrazca bod P leží - určte index minima/maxima na ktorom leží, eventuálne indexy minima a maxima medzi ktorými leží. Aký je pomer intenzity Ip v bode P k intenzite v prostriedku (na osi) obrazca Icenl [P leží medzi nultým maximom a prvým minimom, Ipl Iq = 0.1] Obr. 11: Dvojštrbinový experiment. (Halliday, Resnick, Walker: Physics) 9.4 Sklenená šošovka s indexom lomu ri2 = 1.5 je pokrytá antireflexnou vrstvou MgF2 s indexom lomu n\ = 1.38. Určte minimálnu hrúbku vrstvy dm\n tak, aby sa minimalizoval spätný kolmý odraz do vzduchu (n0 = 1). Výpočet vykonajte pre monochromatický zväzok s vlnovou dĺžkou ze stredu viditeľnej oblasti X = 550 nm. [dmin = 100 nm] 9.5 Vypočítajte intenzitný profil interferenčného obrazca dvojštrbiny, pričom neuvažujte konečnú šírku štrbín. [J = I0cos2(ndsmdlX)] 9.6 Nájdite polomer 1. Fresnelovej zóny. [Ri = VlX] 9.7 Majme difrakčný otvor s priemerom d = 1 mm, vzdialenosť zdroja od difrakč-ného tienidla /' = 5 m a vzdialenosť difrakčného a pozorovacieho tienidla postupne Z = 10 cm, 50 cm a 5 m. Sú pre vlnovú dĺžku X = 500 nm splnené podmienky Fraunhoferovej aproximácie? [nie, nie, áno] 9.8 Pre difrakciu na kruhovom otvore s polomerom R je rozloženie intenzity na po- r 12 zorovacom tienidle úmerné Besselovej funkcii, I(x, y) ~ 27iR2^Y^§fT' > kde p = ^{x + xsl/ľ)2 + {y + ysllľ)2, xs, y s sú súradnice zdroja, x, y sú súradnice na pozorovacom tienidle a vzdialenosti Z, ľ sú popísané v predchádzajúcom príklade. Besselova funkcia Ti má prvý nulový bod (zodpovedá minimu intenzity) pre argument rovný približne 3.83, v nule má maximum. Dva zdroje svetla budeme považovať za rozlišitelné, ak hlavné maximum prvého zdroja bude ležať v prvom minime druhého zdroja alebo ďalej. Nájdite podmienku rozlíšiteľnosti, [ak ys = 0, takjcs> 1.22/'A/2Ä] 13 9.9 Dokáže orol z výšky h = 1 km rozoznať myšie mláďa dĺžky 5 cm v svetle o vlnovej dĺžke 600 nm? Predpokladajte, že rozlišovacia schopnosť orla je obmedzená jedine difrakciou svetla na zornici jeho oka s priemerom 5 mm. [nedokáže] 9.10 Jediná úzka štrbina má cez seba umiestnenú masku tak, že jej funkcia priepustnosti nie je schodová funkcia, ale kosinus E{x',y',0) = E0cos{nx'/Ľ) pre -L/2 < x' < L/2 a E{x', y', 0) = 0 inak. Vypočítajte intenzitu difrakčného obrazca vo Fraun-hoferovej limite a kvalitatívne porovnajte s obrazcom od štrbiny so schodovým 9.11 Aký je minimálny polomer šošovky teleskopu na to, aby dokázal rozlíšiť planétu podobnú Jupiteru (polomer orbity 8 x 108 km) od jej hviezdy, ak sú od Zeme vzdialené 10 svetelných rokov? [R > 0.035 m] 9.12 Vypočítajte intenzitu difrakčného obrazca od difrakčnej mriežky, ktorá je zložená z N obdĺnikových otvorov s rozmermi Ax, Ay navzájom vzdialenými h. Polohy otvorov sú N+V X™ n h, y'n = 0. I(x,y,z) sin2 JiVMij sin' (khx 2z Ax Ay2 -sine 7rAx Xz x sine (TzAy Xz ■y 9.13 Ak na difrakčnú mriežku dopadá svetlo obsahujúce dve blízke vlnové dĺžky X\ a Xz, m-té maximá difrakčného obrazca budú v Xi mzX\ h x2 mzX2 h Tieto maximá sú vzdialené Ax^ = x2- X\ = ^AA, kde AA = X2 - X\. Povieme, že dva piky sú rozlíšiteľné, ak sa ich vzdialenosť rovná šírke piku Ax^ = Axpeak- Po-užitím tejto podmienky ukážte, že rozlišovacia schopnosť mriežky je RP = = Nm. 9.14 V noci 18. apríla 1775 bol poslaný signál z veže kostola Old North Church. Prijímateľom bol Paul Revere, ktorý bol vzdialený 1.8 míle od kostola. Dohodnutý signál bol "jeden ak po zemi, dva ak po mori". Ak mali v tme Paulové zrenice priemer 4 mm, aká bola minimálna vzdialenosť lampiónov tak, aby mohol správne interpretovať signál? Prepodkladajte, že prevažujúca vlnová dĺžka v spektre svetla lampiónov je 580 nm. Index lomu sklovca v oku na výsledok nemá vplyv. [0.51 m] 9.15 Rovinná vlna dopadá na difrakčnú mriežku zloženú z N2 rovnomerne rozložených otvorov o rozmeroch Ax, Ay (viď obrázok 12). Polohy otvorov sú Xn N+l ) s\n N+l 14 Najdite a vykreslite difrakcny obrazec vo Fraunhoferovej limite. I(x,y,z) sin2 (Nkhx) { 2z j sin2 sin2 ( khx\ [ 2z j sin2 Ax2Ay2 . X2z2 -Ax DDDDD DDDDD D sine 1 7TAx , Xz x sine 'nAy , Xz y Ay T 1 T Obr. 12: Dvojrozmerne pole otvorov. (J. Peatross, M. Ware: Physics of Light and Optics) 15