Teoretická fyzika - Základy speciální teorie relativity Michal Lenc - podzim 2013 Obsah Teoretická fyzika - Základy speciální teorie relativity....................................................1 1. Princip relativity.....................................................................................................2 1.1 Galileiho princip relativity.........................................................................................2 1.2 Události, interval........................................................................................................3 1.3 Lorentzova transformace............................................................................................4 1.4 Einsteinův princip relativity.......................................................................................4 1.5 Relativistická kinematika...........................................................................................5 1.6 Hybnost a energie.......................................................................................................6 1.7 Více o intervalu..........................................................................................................7 2. Příklady relativistických jevů.................................................................................8 2.1 Aberace světla............................................................................................................8 2.2 Comptonův rozptyl...................................................................................................11 2.3 Dopplerův j ev...........................................................................................................12 2.4 Vstřícné svazky........................................................................................................14 2.5 Hafeleho a Keatingův experiment............................................................................15 3. Ctyřvektory...........................................................................................................16 3.1 Základní pojmy........................................................................................................16 3.2 Lorentzo va grupa......................................................................................................18 3.3 Čtyřrychlost a čtyřzrychlení.....................................................................................19 3.4 Princip nejmenšúio účinku.......................................................................................21 4. Náboj v elektromagnetickém poli........................................................................22 4.1 Čtyřrozměrný potenciál a účinek.............................................................................22 4.2 Invarianty elektromagnetického pole.......................................................................25 1 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli.......................................................25 4.4 Adiabatický invariant...............................................................................................29 5. Částice v gravitačním poli....................................................................................30 5.1 Gravitační pole v nerelativistické mechanice...........................................................30 5.2 Eotvo sův experiment................................................................................................32 5.3 Kovariantní a kontravariantní tensory......................................................................33 5.4 Metrický tensor........................................................................................................35 5.5 Neinerciální soustavy v Minkowskiho prostoročase................................................36 1. Princip relativity 1.1 Galileiho princip relativity Princip relativity říká, že fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních souřadných soustavách. Inerciální soustava je definována tak, že se v ní volná částice pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, musí tedy být vzájemný pohyb dvou různých inerciálních soustav rovnoměrný přímočarý. Galileiho princip relativity předpokládá vztah mezi časem a prostorovými souřadnicemi v soustavě K a K; (ta má se soustavou stejně orientované souřadné osy) t = r + ť , r=p + f'+Vť , (1.1) přitom obvykle ztotožníme počátek odečítání času a prostorových souřadnic, tj. pokládáme r = 0, p=0. Porovnání druhého Newtonova pohybového zákonu v soustavách K a K7 m^f=F(f,t) , m^ = F'(ř',ť) (1.2) dt2 v ' dť2 v 1 vede po dosazení (1.1) do druhé rovnice v (1.2) k podmínce transformace síly F(f,t) = F/(f-Vt,t) . (1.3) Jestliže síla splňuje podmínku (1.3), vyhovuje pohybová rovnice daná druhým Newtonovým zákonem Galileiho principu relativity. Je tomu tak například vždy, závisí-li síla na vzdálenosti částice od nějakého silového centra (nebo od jiné částice). Ale také například Lorentzova síla v homogenním elektrickém a magnetickém poli by vyhovovala Galileovu principu relativity, pokud by se pole transformovala podle vztahu 2 Eó-Eo+VxBo ' Bó"Bo • Pole se ale ve skutečnosti (jako řešení Maxwellových rovnic) transformují jako (1.4) Mu °0|| °0|| E0+VxB0 VxE„ (1.5) Vl-V2/c2 ' 0± Jl-V2/c2 Podívejme se, jak se při Galileiho transformaci chová vlnová rovnice Id2 d2 d2 d2 s U\f/\ c2 dt2 dx2 dy2 dz2 y/ = 0 . (1.6) Pro jednoduchost předpokládejme, že se soustava K; pohybuje vůči K podél osy x. Je pak d dx' d dť d dx dx dx1 dx dť d _ dx1 d dť d dt dt dx dt dť -V d2 d2 dx2 dx'2 d d x' + —- dť J (1.7) dt2 :V2 d2 d2 ■2V- d2 dx2 dť2 dx dť Máme tedy pro d'Alembertuv operátor v pohybující se soustavě jiný výraz než v původní soustavě, a mohli bychom tedy principiálně odlišit privilegovanou inerciální soustavu v klidu. 1.2 Události, interval Základním pojmem pro úvodní úvahy o Einsteinově principu relativity je událost (pro jednoduchost na chvíli dvě prostorové dimenze potlačíme), charakterizovaná časem t a bodem na ose x, kdy a kde k události došlo. Hodnoty samozřejmě závisí na volbě souřadné soustavy. Připomeňme si známou situaci, kdy poloha bodu v rovině je charakterizována kartézskými souřadnicemi x a y. Hodnoty závisí na poloze počátku a na orientaci os souřadné soustavy. Vezmeme-li však čtverec vzdálenosti dvou bodů l2=(x2-x1)2 + (y2-y1)2 , (1.8) zjistíme snadno, že je ve všech kartézských soustavách stejný. Transformační rovnice mezi soustavami K a K; jsou x = a + cos^x7 + sin ^ y' , y = b — sin^x7 + cos^ y' . (1.9) Einstein předpokládal, že rychlost šíření světla ve vakuu c =299 792 458 m s-1 je ve všech inerciálních souřadných soustavách stejná. Potom pro dvě události, spojené šířením světla ve vakuu (např. první událostí je emise nějakého fotonu, druhou událostí absorpce tohoto fotonu) 3 platí (první člen je čtverec součinu rychlosti a doby šíření, ten musí být přirozeně roven druhému členu, což je čtverec vzdálenosti, kterou světlo urazilo) c2(t2-t1)2-(x2-^)2=0 , c2(ť2-ttf-(4-4)2=0 . (1.10) V zobecnění pak nazveme veličinu s^c2^-^)2-^-^)2 (l.H) čtvercem intervalu mezi (libovolnými) dvěma událostmi. Všimněme si, že invariance (1.8) vzhledem k transformaci (1.9) vychází ze vztahu cos2 <^ + sin2 • cosh^/= , , sinh yr = , (1-13) 1 V1-/?2 v1-/?2 a výsledný vztah pro Lorentzovu transformaci (přidáme dva dosud potlačené rozměry geometrického prostoru) x; +Vť , , , x= .-=- , y=y , z=z . (1-14) 1.4 Einsteinův princip relativity Pro infinitezimálně blízké události můžeme psát interval jako ds2=c2dt2-(dx2+dy2 + dz2) (1.15) a Lorentzovu transformaci jako cdt H—dx , / , XT ,,i c , dx +Vdt , , ; , , ; -i^ cdt =-, c — , dx = —, , dy = dy; , dz = dz; . (1.16) Vi-a2 V1-^2 4 Požadavek, aby rovnice vyjadřující fyzikální zákony byly invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci, nazýváme Einsteinovým principem relativity. Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (1.14) - kontrakce délek a dilatace času. V soustavě Kje podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice x,, \. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax,, = x2-xl. Vzdálenost v soustavě K; je (souřadnice jsou určovány ve stejném čase tj =ť2) Ax' = x^-xí =Ax0>/l-/?2 . (1.17) Protože vzdálenost zjišťovaná v pohybující se soustavě je menší než vzdálenost v klidové soustavě, mluvíme o kontrakci délky. Nyní předpokládejme, že se v soustavě K; odehrají v časech tj a ť2 v jediném místě Xj7 = x^ , yí = y'2, t[ = dvě události (interval mezi událostmi je tedy At0 =ť2 -tj . V soustavě K je interval mezi těmito událostmi At = t2-t= ,At° . (1.18) Časový interval zjišťovaný v soustavě, vůči které se soustava, kde se události odehrály v jednom místě prostoru je delší, mluvíme proto o dilataci času. Je důležité uvědomit si přesný význam počítaných veličin a tedy i pojmů „kontrakce délek" a „dilatace času". 1.5 Relativistická kinematika Pro rychlost (v = df/dt, v' =df//dt/ ) dostaneme z rovnice (1.16) transformační vztahy ..- «+V ,,=ÍE? , . (I,9) x l + vxV/c2 ' y l + vxV/c2 ' z l + vxV/c Vztah pro transformaci rychlosti odvodíme také následující úvahou. Mějme v soustavě K7 částici, která se pohybuje konstantní rychlostí u, tedy platí pro ni x^uť. Z hlediska vnějšího pozorovatele v soustavě K dostaneme podle (1.14) pro rychlost v soustavě K máme pak x u+V Vx=- =-pr- . (1.21) x t 1+uV/c2 Velikost této rychlosti už nemůže překročit velikost rychlosti světla a pro u = c dostáváme přirozeně vx =c. 5 1.6 Hybnost a energie Při odvození výrazů pro hybnost a energii částice hmotnosti m musíme vycházet z již známé invariantní veličiny - to je interval (1.15). Ten můžeme použít pro konstrukci invariantního účinku pro volnou částici, který by pro malé rychlosti přecházel do klasického tvaru. Vezměme tedy za základ rozměrově správný a úměrný hmotnosti invariantní výraz b -mc : Jds . (1.22) a Použijeme-li pro parametrizaci časovou souřadnici, dostáváme -mc I Jc2dt2 -df2 =-mc2 l-\dt . (1.23) Porovnáním se standardním výrazem S = J Ldt tak dostáváme pro Lagrangeovu funkci -mc2Jl-^ . (1.24) Hybnost a energii získáme obvyklým postupem ^ <9L mv ^ <9L mc2 Pro malé rychlosti přechází výraz pro hybnost na klasický tvar p = mv a pro energii dostáváme z prvních dvou členů rozvoje odmocniny E = mc2+—mv2 . 2 Často se vztahy (1.25) pro hybnost a energii chápou jako nárůst hmotnosti částice s rychlostí. Vhodnější je ale považovat hmotnost za charakteristickou vlastnost částice a vztah (1.25) prostě říká, že vztah mezi rychlostí a hybností je složitější než v nerelativistické aproximaci. Snad nejslavnější fyzikální rovnicí je (uvažujme částici v klidu) E = mc2 . (1.26) Představme si nějaké atomové jádro hmotnosti M, jako celek v klidu. Oddělíme-li postupně jednotlivé nukleony a vzdálíme tak, že jejich interakci lze zanedbat, zjistíme, že rozdíl energií f AE M-£mlc2 , (1.27) kde sčítáme hmotnosti všech volných nukleonů, je obecně nenulový. Je-li rozdíl kladný, lze rozštěpením jádra energii získat, je-li záporný, lze složením lehčích jader do těžšího jádra 6 energii získat. Používáme-li pro popis jevů důsledně fyzikální terminologie, nemůže dojít k filosofickým diskusím o přeměně hmoty na energii či naopak. S pomocí veličin energie a vektoru hybnosti vyjádříme celkovou energii E a kinetickou energii T E=y]p c +mc T = E-mc2=>/ -*2 2 , 2 4 2 p c + m c - mc V limitních případech má výraz pro kinetickou energii tvar -t 2 T « mc2 2m T » mc2 P c (1.28) (1.29) Vztah mezi energií a hybností můžeme vyjádřit stejně jako jsme vyjádřili interval čtverec časoprostorového intervalu F2 2 2 J-' -~2 m c = —— p c Při Lorentzově transformaci (1.14) bude pak Px = r E — = r c F' c F' c (1.30) (1.31) 1.7 Více o intervalu Mějme dvě události popsané v inerciální soustavě K souřadnicemi (t^řj) a (t2,r,). Události jsou spojeny časupodobným intervalem a druhá událost nastala později než první s2 =c2(At)2 -(Af)2 >0 , At = t2-tj>0 , Ař = r2-ř1 . Ukážeme, že pořadí událostí vidí stejně pozorovatelé ve všech inerciálních soustavách. Osu x zvolíme jako společnou osu soustavy K a soustavy K;, která se vůči K podél této osy pohybuje rychlostí V . Lorentzova transformace (1.16) je cAt = /(cAť +/?Ax;) , Ax = ^(Ax;+VAť) , Ay = Ay; , Az = Az; . Máme c Ať =^(cAt-^Ax)>^(cAt-|Af|)>0 . Poslední nerovnost plyne z toho, že interval je časupodobný, předposlední nerovnost z toho, že odečítáme větší hodnotu, protože vždy fí 0. Potom máme s2 = c2(At)2-(Ax)2<0 , At>0 , Ax>0 , Takže cAt1 ■ Pro všechny soustavy K; s l//? < <1 je pak opravdu Ať = \!1—\[ < 0. 2. Příklady relativistických jevů 2.1 Aberace světla Při pozorování hvězd ze Země se projevuje (mimo jiné) to, že Země obíhá kolem Slunce. Na obrázcích je znázorněn jev aberace světla, který se nejvíce projeví v bodech A a C, Hvězda zatímco paralaxa se nejvíce projeví při pozorování v bodech B a D. Když světelný paprsek od pohybu 8 hvězdy S vstupuje do tubusu v bodě Ti, je okulár v místě Oi tak, aby při posunutí tubusu vlivem pohybu Země byl v poloze O2, kde zachytí uvažovaný paprsek. Hvězda se ovšem jeví v poloze S*. Obecný výraz pro transformaci složek vektoru rychlosti máme vztah (1.19) Y= <+v V=<>EZ v=iiEZ (21) - 1 + vIV/c2 ' > 1 + vlV/c2 • ' l + sin# = /? (2.4) y Na obrázku je případ 61 =0 nakreslen. Pro pohyb Země kolem Slunce je maximální velikost aberace rovná 20,5". Jestliže neleží směr ke hvězdě v rovině ekliptiky, pozorujeme zdánlivou polohu hvězdy jako elipsu s velkou osou 41", jak je vidět na dalším obrázku. Zdánlivá poloha hvězdy v rovině ekliptiky (j3=0°) se posouvá po úsečce, pro hvězdu směrem k pólu ekliptiky (j3=90°) leží pozorované polohy na kružnici. 9 41" <-y- H30° + 15° (5 = -15° Výraz (2.3) je nesymetrický vzhledem k soustavám K a K7, což vypadá v teorii relativity podivně. Malá úprava, když zvolíme pro vyjádření úhly 3=0—^/2,3' = 0'—^/2 a do trigonometrické identity 3 ún3 tan- 2 l+cos.9 dosadíme z (2.2) vede však k symetrickému vztahu (2.5) 3 1- p 3' tan— = I-tan— 2 AM + A 2 (2.6) Velmi výrazně se jev aberace projevuje v úhlovém rozložení. Předpokládejme, že zdroj elektromagnetického záření má ve své klidové soustavě K; izotropní rozložení intenzity (úhel 9 je nyní počítán jako úhel s osou x, v předchozím značení tedy úhel 3) r/ dE/ dl' dt = io dQ; = I0 siné?' A61 d(p' (2.7) Vztah (1.31)vyjádříme pro veličiny v soustavě K; a napíšeme v diferenciálním tvaru dE; ■r dE 7?dPx dpx = r ^dE , -P— + dpx c dP;=dPv , dP:=dPz (2.8) a dosadíme (pro elektromagnetické vlnění platí E= p c) dpx=-^-cos<9 , dp =-^-sin<9cos<^ , dpz =-^-sin(9sin^ dp c , dE; cost/ , dpy=-sine/ cos^7 , dpz =-siné/ sin<^ (2.9) c c c Je vidět, že azimutální úhly se rovnají, tj. cp = (p' a pro polární úhly platí vztahy analogické vztahům (2.2) 10 ún8' siné* cos#; COS0-/3 (2.10) y[l-J3cos0) l-/?cos# Dosadíme ještě za dť z (1.16) (v soustavě zdroje vychází záření z jednoho bodu, tedy dx7 =0) a máme dl dE 1 dE; L dQ' dt y2 \-0cos0 dť y1 \-0cos0 dQ dQ (2.11) Jednoduchý výpočet dává dQ' dcos#; 1 dQ dcosč ;/2(l-/?cos#) takže pro intenzitu dostáváme výsledný vztah dQ (2.12) dl = l0 [1-J3 (2.13) (l-/?cos0) Vztah (2.13) reprezentuje pozoruhodnou úhlovou závislost rozložení intenzity izotropního (rozumí se ve vlastní klidové soustavě) zdroje. Integrací vztahu se přesvědčíme, že se přirozeně nezměnila celková intenzita I =4#T0. 2.2 Comptonův rozptyl Podél osy x dopadá foton rentgenového záření s energií h co na elektron v klidu, po rozptylu pokračuje odchýlen od původního směru o úhel 0 a s nižší energií h co'. Zákony zachování nám dají (pohyb se děje v rovině) 2 / / 2 2 2 4 h co+ mc = h co + p c +mc , h co h co' _ _ h co' . _ -=-costf+pcos^/ , 0 =-sin 6/- p sin ^ c c c (2.14) 11 Po kratším výpočtu (vyloučením „nepotřebných" neznámých paf) dojdeme k výslednému známému vztahu pro rozdíl vlnových délek (k = hco/c = 2^/A) A A = A! - A = Ac (l - cos 6*) , A^ mc (2.15) kde Ac je konstanta - Comptonova vlnová délka. 2.3 Dopplerův jev Dopplerův jev je pozorovaná změna energie fotonu (frekvence vlnění co'), emitovaného zdrojem, který se sám pohybuje rychlostí V podél osy x vůči laboratorní soustavě ("pozorovateli") K (v ní je pozorována frekvence vlnění co). Soustava spojená se zdrojem je K;. Uvažujme rovinnou vlnu s vlnovým vektorem v rovině x— y. Například polohy míst s danou intensitou vlny musí určit stejně pozorovatelé v obou soustavách, pouze jim přiřadí různé souřadnice a frekvence, ale fáze vlny je relativistický invariant. V našem případě píšeme rovnost fází jako co —cos 9' -^-sm9' c c J co\ t - —cos 9-—sin 9 c c (2.16) Úhel mezi směrem šíření vlny a směrem pohybu zdroje (tj. osou x) jsme označili 6. Dosadíme-li do (2.16) ze vztahu pro Lorentzovu transformaci (1.14), dostáváme co f x' v' ^ ť--cos 9' -^-sinč' c c co f\-pcos9 , cos9-/3 x' y' . ^ H ť--H--—siné* J (2.17) Porovnáním členů u ť dostaneme vztah vyjadřující Dopplerův jev co= co co 1+ Bcos9 + t—cos29 2 (2.18) l-/?cos# Klasický Dopplerův jev (bez členu u 01) je rozdíl ve frekvenci přibližujícího se (0 = 0) a vzdalujícího se {6 = tt) zdroje, relativistický Dopplerův jev (člen u j32) pozorujeme pro 9=71/2. Porovnáním členů u x' dostaneme vztah vyjadřující aberaci světla, ale s jiným značením a jinou situací (zde se pohybuje soustava spojená se zdrojem, v 2.1 se pohybovala laboratorní soustava). Pokud budeme uvažovat o vzájemném pohybu zdroje a detektoru po společné přímce, můžeme si představit diagram na obrázku (nemusí se jednat jen o světlo, může jít třeba o zvukové vlnění). V obrázku je znázorněn světelný kužel, po kterém by se z bodu Osiřily 12 světelné paprsky. Protože na osách máme souřadnice x a ct a pro světlo máme interval s2 = c212 — x2 = 0, je úhel površek kužele s osami roven 45°. Naopak přímky znázorňující pohyb zdroje OE a detektoru OA musí svírat s osou c t úhel menší jak 45°, jejich rychlost je menší jak rychlost světla. Úsečka EA svírá s osou ct úhel mnohem menší než 45°, jde-li o zvukovou vlnu, nebo úhel právě 45°, jde-li o elektromagnetické vlnění. Máme tedy pro rychlosti signálu, zdroje a detektoru Rychlosti počítáme tak, že kladné jsou při vzdalování zdroje a detektoru. Když se zdroj a detektor potkají v O, zapne se signál. Vypnutí signálu po uplynutí jedné periody nastane u zdroje v bodě E a detektor je zaznamená v bodě A. Vlastní čas, který uplynutí periody odpovídá je pro zdroj a detektor dán vztahy rz=-= ^tE-xE/c =tE>/l-vz/c , _Í_ (2.19) h =—=>A! - 4A2 = t a >/i - vd A2 • c Poměr frekvencí je převrácenou hodnotou poměru period fD rZ tE>/l-v2/c2 fZ H lA Vl-VD/C2 Poměr časových údajů získáme úpravou c = XA~XE = VptA + VztE ^ tE = 1-Vp/Cs Ía-Íe Ía-Íe tA l + Vz/cs takže 13 fp 1-Vd/cs Vl-Vz/c2 (2.20) fz l+vz/cs Vl-vD/c2 Pro všechny rychlosti malé ve srovnání s rychlosti světla (zvukové vlny) dostáváme klasický vztah pro Dopplerův jev - při vzdalování (vz>0,vd>0) vnímaná frekvence klesá, při přibližování (vz <0, vD <0) vnímaná frekvence roste !-vd/cs l+vz/c (2.21) Pro světlo (cs = c) můžeme (2.20) přepsat na l+vz/c U + Vp/cJ (2.22) Vezme teď v úvahu vztah pro skládání rychlostí (1.21) a pro vzájemnou rychlost zdroje a detektoru máme vz +vp l + vzvD/c Roznásobením výrazů ve (2.22) a dosazením relativní rychlosti dostáváme vztah f. 1-v/c (2.23) fz \l + v/c který přirozeně souhlasí se vztahem (2.18) pro 6=0 . 2.4 Vstřícné svazky Při srážce dvou částic (řekněme elektronu a positronu) může vzniknout nová částice. Spočtěme maximální hmotnost vzniklé částice. V2 4 2 2 2 m c + p c — mc . Zákony zachování dávají mc2 + ^/m2 c4 + p2 c2 =>/m2c4 + P2c2 , 0+p = P , (2.24) takže (pro T»mc2 ) Mc2^2mc2T . (b) Celně se srážejí elektron a positron stejné energie. Ze zákonů zachování pak Vm2c4 + p2c2 +>/m2c4 + p2c2 =>/m2c4 + P2c2 , p-p = P takže (opět pro T »mc ) Mc2 ^2t (2.25) (2.26) (2.27) 14 Pro kinetickou energii v LEP T ~ 200 GeV a klidovou energii elektronu mc2 ~ 500 keV jde o vskutku propastný rozdíl v dosažitelné maximální hmotnosti částice vytvořené při srážce elektronu s positronem. 2.5 Hafeleho a Keatingův experiment Hafele s Keatingem navrhli a provedli1 pozoruhodný pokus s atomovými hodinami, které nechali obletět zeměkouli východním i západním směrem a porovnali jejich údaje s údaji hodin, které zůstaly na zemi. Přitom je třeba uvažovat nejen jev dilatace času, ale i rozdílného gravitačního potenciálu. Základním výrazem je interval Schwarzschildova řešení Einsteinových rovnic ds2 14 2z c2dť dr^ 14 2z fr2 d#24-sin2#d^ (2.28) kde gravitační potenciál je GM (2.29) Pro element vlastního času dr = ds/c dostáváme 2z dr 14- 1 Ur ,2,2 14 2Z 1/2 dt (2.30) kde dr d9 ur=— , u^=r— , u =rsin0^ , u2 =u24-u24-u2 dt dt dt (2.31) Parametrizace je dána pomocí souřadnicového času - času nějakého pozorovatele hledícího na severní pól Země z dostatečně velké vzdálenosti. V přiblížení slabého pole a malých rychlostí {W\<^c2, u2xr= '° -x° , (Itx)a ,0 x x" (3.20) (lstx)°=-x° , (l>tx)°=-x° . Se speciální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matic druhého řádu s determinantem, rovným jedné, platí SO(3,l) = SL(2,C)/Z2. Například matici Lorentzovy transformace (1.14) (tanh^/=/?) nebo matici rotace kolem osy z o úhel

H p = —— , v- - c" H dp Pohybové rovnice dostaneme z variačního principu vi/2 gikdx ódxk SS = -mcôjds , Sds = ó(gikdx1dxk) a b ó S = - mc j"uk e>dxk = -mcuk ô xk ds uk ôdxk + mc c k duk S x —Lds ds (3.35) (3.36) Odsud pak du1 d S 0 , P; = —:—- = mc u; ds -i ^xi Čtyřvektor hybnosti definujeme jako časupodobný vektor (čtverec velikosti je kladný) H (3.37) P = | —>P I > pp;=mc (3.38) a čtyřvektor síly jako prostorupodobný vektor (je kolmý na časupodobný vektor hybnosti) 21 ds f-v giPi=0 • Čtverec velikosti čtyřvektoru síly je g gi 2/2 2 c c —v f-v] -c2 f2 <0 . Hamiltonova - Jacobiho rovnice volné částice je z (3.38) ik dS dS 22 g —r—r = m c dx1 dx 'asV vaty vdxy as ydZj 2 2 m c (3.39) (3.40) 4. Náboj v elektromagnetickém poli 4.1 Čtyřrozměrný potenciál a účinek Elektromagnetické pole popisujeme pomocí čtyřrozměrného potenciálu A1 . A c (4.1) kde (j) je skalární a A vektorový potenciál. Pomocí derivací ^vytvoříme antisymetrický tensor druhého řádu F,=^-^ • (4.2) Ik dx1 dxk Dimense prostoročasu je čtyři, má tedy tensor Fik šest nezávislých složek. Snadno se přesvědčíme, že jsou to složky dvou trojrozměrných třírozměrných vektorů E a B , které jsou v třírozměrném zápisu dány vztahy (9Ä - -W--, B = VxA dt Tensor elektromagnetického pole má pomocí E a B vyjádření (4.3) (4.4) K účinku volné částice přidáme člen závislý na elektromagnetickém poli - nejjednodušším invariantním výrazem obsahujícím čtyřvektor je skalár Adx1. Vezmeme tedy jako účinek u S = J" (— nicds — e A^ dx1 (4.5) Parametrizujeme-li integrál pomocí souřadnice času, dostáváme 22 -mc2Jl—- |eAv-ejl dt (4.6) Ukážeme odvození pohybových rovnic jak ve čtyřrozměrném, tak třírozměrném zápisu. Pro variaci ds jsme již odvodili vztah ve (3.36), tj. <5'ds=ui Sdx1, takže variací (4.5) dostáváme óS = -J(mcu; Sdx1 +eAtódx1 + eóAtdx1 a b — (mcu; +eAj ôx1 + j^mcdU; + e ôx1 dP^ — e ô \ dxk a Infinitesimální změny potenciálu rozepíšeme (4.7) dxk dx1 a parametrizujeme integrál pomocí elementu ds (tedy dxk =uk ds ), dostáváme tak JS = -(mcu; + eAt)óxi + du; mc—- — e ds dx1 6>xk Jx'ds (4.8) Variační princip nám tak dává jak výraz pro zobecněnou hybnost p^mcUj+eA^ , tak pohybovou rovnici du. mc—- = e ds (4.9) (4.10) dx{ dxk Pomocí tensoru pole (4.2) resp. jeho kontravariantních složek Flk = gl1 gkmFlm můžeme (4.10) zapsat jako me- du1 eFIku,. ds Odvození pohybových rovnic z (4.6) vychází z Lagrangeovy funkce L = -mc2Jl—-+eA-v-e^ . (4.11) (4.12) Je pak 23 ÔL mv ■ + eA=p + eA , —fp + eÄ)= —+ e—+ efv-V)Ä dt^ ' dt dt y ' — = eV(Ä-v)-eV^ = e(v-V)Ä+evx(VxÄ)-eV^ Dosazením do Lagrangeovy rovnice dostáváme dp — = e(Ě + vxB) . (4.13) dt Zopakujme důležité vlastnosti čtyřvektorů rychlosti a zrychlení i dx1 ; d / ;\ du1 : U = - => U; U =1 =>- U; U 1 = 0 => U; -T = U; W = 0 , (4. H) ds dsv ' dx1 Čtyřvektor rychlosti je časupodobný, čtyřvektor zrychlení prostorupodobný. Pro časupodobný čtyřvektor hybnosti máme p1 = mu1 = (p°, p j = (/mcjmv) , pip' = (mc)2 . (4.15) Při časové inversi t—>—t je p°^p° a p^—p. Má-li zůstat pohybová rovnice (4.13) nezměněna, musí pak být E^E a B^ —B.Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být ^—>^ a A^— A. Při prostorové inversi r—> —f je opět p°^p° a p —> — p . Má-li zůstat v tomto případě pohybová rovnice (4.13) nezměněna, musí pak být E^ —E a B^B.Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být opět tf>^tf> a A^— A. Vidíme, že pokud jde o diskrétní transformace, je invariance zachována pouze při současném působení časové a prostorové inverse. Je to pochopitelné, uvážíme-li, že čtyřvektory mají časupodobné i prostorupodobné složky. Přidáme-li ke čtyřvektorů A^ čtyřrozměrný gradient libovolné funkce, tensor elektromagnetického pole se nezmění d d x1 4 + dí dxk d dxk 4 + dí dxk d\ 6>A + d2f d2í dx1 dx dx1 dx dx dx1 =o Této vlastnosti říkáme kalibrační invariance. Nezmění se ani pohybová rovnice náboje v poli, protože příslušný člen v účinku je 24 í. df) e ax u u dx1 =- Je^dx1 - Jd(ef] ef(b)-ef(a) 4.2 Invarianty elektromagnetického pole Poleje popsáno antisymetrickým tensorem Fik . Podle (3.12) k němu můžeme vytvořit duální tensor *Flk = ^£lklm Flm . Máme tedy možnost vytvořit dva invariantní výrazy (skaláry vzhledem k transformacím z Lorentzovy grupy) FikFik=inv , *FikFik=inv . (4.16) Ve vyjádření tensorů pomocí vektorů pole podle (4.4) pak máme c2B2-Ě2=inv , ĚB = inv . (4.17) Vztah (4.17) má důležité důsledky. Pokud v nějaké soustavě platí E0B0=0, můžeme vždy najít inerciální soustavu, kdy buď E=0 (pokud je c2 Bq — E^O) nebo B = 0 (pokud je c2 Bq — Eq<0) Naopak, platí-li v nějaké soustavě E0B0^0, můžeme vždy najít inerciální soustavu, kde budou obě pole rovnoběžná. 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli Konstantním polem nazýváme pole, které se s časem nemění. Homogenní pole má pak v celém prostoru stejný směr i velikost. Elektrické pole intenzity E získáme ze skalárního potenciálu ^ = -Ěf , (4.18) magnetické pole indukce B z vektorového potenciálu A=-Bxf . (4.19) 2 K vektorovému potenciálu můžeme přidat gradient libovolné funkce. Například pro pole B = (0,0, B) přičtením nebo odečtením gradientu funkce f = x y B/2 dostáváme potenciály grad E f = Egrad Ir = E rot Bxf =Bdivř- Bgrad f = 2B 25 A= ^By,^Bx,0 2 2 ^+)=(0,Bx,0) 4_}=(-By,0,0) Výraz £ = yjm2 c 4 + p2 c2 budeme nazývat kinetickou energií4. Uvažujme nejprve pohyb v elektrickém poli, v jehož směru orientujeme osu x a který se odehrává v rovině x y. S pohybovými rovnicemi (tečka je derivace podle času t) a počátečními podmínkami dostáváme Kinetická energie je eE , p„=0 Px(o) = o , Pv(o) eEt , p =p0t . £ = >/m2c4 + pV =>/é:2 + (ceEt)2 , kde jsme označili £Q = £ (0). Podle vztahu (3.35) máme pro složky rychlosti dx = _Px£_ dt £ c2eEt ^2 + (ceEt)2 dy = Pyc dt ~ £ c2 Po 4 éľ2+(ceEt a integrací těchto rovnic dostáváme 4 éľ2 + (ceEt) -£0 eE P°Cln-^ eE 2 + (ceEt)2 +ceEt Poc eE ln 2 + íceEt)2 -ceEt (4.20) (4.21) (4.22) První vyjádření pro y použijeme pro výraz exp eE y/(p0 , druhé pak pro exp -eE y/(p0 . Sečtením obou výrazu a podělením dvěma dostaneme 4 Přesnější by bylo jako kinetickou energii nazývat T = -^ľĽ1 c4 + p2 c2 — mc2 , tedy celkovou energii bez 2 potenciálni energie (výraz daný odmocninou) s odečtením klidové energie (mc ). Nase volba vsak vede k užitečným zkrácením řady výrazů. 26 cosh eEy_ Vg02 + (ceEt)2 p0c £0 Dosazením do výrazu pro x dostáváme rovnici trajektorie eE cosh eE y -1 > Poc, (4.23) Pro £Qttmc2& p0~mv0 a cosh[eE y/(mv0c)]^l + l/2[eE y/(mv0c)] dostáváme přirozeně z nerelativistické teorie známou parabolickou trajektorii eE 2mv„ y Nyní budeme počítat pohyb v homogenním magnetickém poli, v jehož směru orientujeme osu z . Pohybová rovnice je p = evxB . Z toho že v-p = ev-(vxBJ = 0 hned vidíme, že se zachovává kinetická energie d£ dE ^ c2 _ u n — =--p = —vp = 0 . dt 6>p £ Pohybovou rovnici si tedy můžeme přepsat na nebo ve složkách kde ť»V„ £ dv ^ ^ —— = evxB c2 dt = 0 , co - ec2B £ (4.24) (4.25) (4.26) Pro komplexní proměnnou w= x+i y získáme kombinací prvních dvou rovnic v (4.25) w=—i<»w =>• w= v0t exp[— i(ot + or)] , kde v0t a a jsou reálné konstanty. Oddělíme-li reálnou a imaginární část, dostáváme vx = v0t cos(řyt + a) , vy = — v0t ÚYi(cot + a) . (4.27) Ze (4.27) vidíme, proč jsme konstantu označili v0t - je to velikost rychlosti v rovině kolmé ke směru magnetického pole. Rovnice (4.27) integrujeme a dostáváme x= x,, + a sin(ŕyt + a) , y = y0 + a cos(<» t + a) , (4.28) 27 kde a=^ = ^- = -^ . (4.29) co ec B eB Integrace poslední z rovnic v (4.25) dává z = z0+v0zt . (4.30) Je tedy pohyb v homogenním magnetickém poli pohybem po kruhové spirále, v případě v0z=0 pohybem po kružnici poloměru a v rovině z=z0. V případě malých rychlostí bude mít trajektorie stejný tvar, pouze ve (4.29) dosadíme nerelativistické výrazy, tedy a = mvo,/(eB)- Nakonec rozebereme pohyb ve zkřížených (tj. navzájem kolmých) elektrických a magnetických polích. Viděli jsme, že relativistické výrazy pro pohyb v elektrickém poli nejsou příliš jednoduché, budeme proto řešit úlohu v nerelativistické aproximaci. Osu z orientujeme opět podél magnetické indukce a rovinu y z volíme tak, aby v ní ležel vektor elektrické intenzity. Pohybová rovnice mv = e(Ě + vxBJ je pak ve složkách mx = eýB , mý = eEy— exB , mž = eEz . (4.31) Třetí rovnici v (4.31) můžeme hned integrovat z = ^t2+v0zt + z0 . (4.32) 2m Kombinací prvních dvou rovnic ve (4.31) dostaneme d/ . \ . / . x . e„ eB —(x+i y) + iry(x+i y) = i—E , co = — . dt mm Řešení homogenní rovnice pro proměnnou w=x+i ý známe z předchozího případu, řešením nehomogenní rovnice je konstanta Ey/B, takže x+iý = aexp[—i(ť»t + or)] H--- . B Oddělení reálné a imaginární části a následná integrace rovnic vede na x=xQ+ — ún(cot + a)-\—-t , y = y0 + — cos(cot + a) . (4.33) co B co Konstanty zvolíme tak, aby se částice v čase t = 0 nacházela v počátku. Potom 28 x = — únícot)-\—-t , y = —fcos(ť»t) —li , co B co[ v ' J 2m ť + v0zt . (4.34) Označíme-li složku rychlosti podél osy x v čase t = 0 jako v0x, je parametr a dán vztahem a = v0x — Ey/B .V rovině x y je průmět trajektorie v E x = -^-sinfíot) H--—| <»t — sin( cot) co co oj B y = — [cos(<»t) — l] H--j^[l — cos(<»t) (4.35) Při v0x=0 je to rovnice cykloidy (obrázek c). Pohyb nabité částice ve zkřížených polích je docela pozoruhodný, srovnáme-li orientaci elektrického pole a střední hodnoty rychlosti Z těchto hodnot také vidíme meze platnosti nerelativistického přiblížení. Uvažujeme-li jen pohyb v rovině x y, je podmínkou Ey « c B . U pohybu ve směru osy z zase záleží na době, po kterou se částice bude pohybovat. y x y y 4.4 Adiabatický invariant Z obecné Hamiltonovy teorie můžeme odvodit existenci tzv. adiabatických invariantů, které při pomalých změnách podmínek pohybu zůstávají konstantní. Při pohybu v téměř homogenním magnetickém poli je adiabatickým invariantem 29 — é)Ptdľ , (4.36) I 2x kde integrační křivkou je průmět trajektorie (kružnice) v rovině kolmé k magnetickému poli a P, je průmět zobecněné hybnosti do této roviny. Dosazení í> = pt + e A (vektorový potenciál volíme takový, že leží celý v této rovině) do (4.36) dává I = — (j) pt df + — (j) Ädf . Orientace kružnice je po směru hodinových ručiček pro eB>0 a proti směru hodinových 5 112/ ručiček pro e B . Stokesova věta proto dává pro druhý integrál hodnotu — eBr JI, kde r je poloměr kružnice (podle (4.29) r = pt/|eB|), zatímco hodnota prvního integrálu je r pt. Adiabatický invariant je tedy 2 I =—P—r . (4.37) 2|eB| Při adiabatické změně magnetické indukce se proto mění příčná složka hybnosti jako^C |b| , kde C je kladná konstanta. Této skutečnosti je s výhodou užito například při udržování vysokoteplotního plazmatu uvnitř daného objemu. Je-li v centrální části indukce poměrně malá a k okrajovým částem se zvyšuje, máme pro podélnou složku hybnosti Pl2 = p2-pt2 = p2-C|B(f V oblasti silného pole se pohyb podél siločáry zastaví a obrátí zpět. Opačná situace, kdy jsou nabité částice uvolňovány v oblasti silného pole a pohybují se do oblasti slabšího pole je využita ve spektrometrech k vytváření téměř rovnoběžných svazků. v 5. Částice v gravitačním poli 5.1 Gravitační pole v nerelativistické mechanice Pohyb částice v gravitačním poli je určen Lagrangeovou funkcí L = —--m<*(ř) , (5.1) kde (z)(f) je potenciál gravitačního pole. Lagrangeova rovnice bude pak 5 Vzorec Stokesovy věty (j) Y-ľd£ = J" rotVndťX předpokládá, že vnější normála ke kňvce C , tečna T k této kňvce a normála n k ploše S tvoří pravotočivou soustavu. 30 Hmotnost částice se v rovnici nevyskytuje. Je to dáno tím, že jsme považovali hmotnost částice v kinetické energii (hmotnost setrvačná) za identickou s hmotností, která váže částici s gravitačním polem (hmotnost gravitační). Rovnost těchto hmotností není samozřejmá. Vezměme například rovnici pro pohyb částice hmotnosti m s nábojem q v elektrickém poli bodového náboje Q, tedy v poli popsaném potenciálem, který je řešením Poissonovy rovnice6 A# = -^^(r) 4 = -^- ■ s0 Axs0 r Máme pak dv qQ f m— = ~r--t • (5.3) dt Atts0 r~ Tady hraje hmotnost částice důležitou roli. Naopak pro pohyb částice s hmotností m v gravitačním poli bodové částice hmotnosti M máme A^ = 4^GM J(3)(f) = GM- , odkud dv v — = —GM — (5.4) dt r3 a hmotnost částice se v rovnici zkrátila, pokud ovšem platí zmíněná rovnost hmotností. Tato rovnost je jedním ze stavebních kamenů Einsteinovy teorie gravitace. Je také experimentálně s vynikající přesností potvrzena. Na vztah (5.4) se můžeme dívat tak, že na levé straně je zrychlení a , na pravé straně intenzita gravitačního pole g a rovnice říká, že lokálně jsou si zrychlení a intenzita gravitačního pole rovny, tj. nemůžeme je od sebe odlišit. Z pohledu souřadné soustavy s patřičným zrychlením lokálně pole „zmizí" nebo naopak, přechod z inerciální do zrychlené soustavy se projevuje jako přítomnost gravitačního pole. Úvahy o analogii mezi gravitačními poli a neinerciálními soustavami vedou k zobecnění pojmu 6 Platí j = ~~ 4 3® [ľ ) , protože integrál přes kouli poloměru R dá na pravé straně — 471, na levé straněpak J divgrad(l/r)dV = R2 [grad(l/r) • ŕ*/r]| dé?siné? J ág)= — A7T. 31 intervalu. Předtím se ale zmíníme o historicky velmi významném pokusu, dokazujícím rovnost hmotnosti setrvačné a gravitační. 5.2 Eotvosův experiment Na isolované, elektricky neutrální těleso na povrchu Země působí v podstatě dvě síly: gravitační a odstředivá, na obrázku označené intenzitami g a a . Zvolíme souřadnou osu tak, aby na dané (severní) zeměpisné šířce A směřovala osa z ke středu Země, osa y po rovnoběžce k východu a osa x po poledníku směrem k rovníku. Potom máme g= —gez a pro odstředivou sílu a = Qx(RxQJ s Q = — Qcos/léx + Qsin/léz a Ř=Rffiez potom a = Q2 cos/l(cos/léz + sin/lex) . Maximální hodnota amax =Q na rovníku je přibližně 0,03 m.s .Ve srovnání s hodnotou g na pólu 9,83 m.s-2 je tato hodnota malá, ale zdaleka ne neměřitelná. Eotvosův experiment spočívá v g +a umístění dvou stejně hmotných (se stejnou gravitační hmotností) koulí z různých materiálů (tedy s případně různými setrvačnými hmotnostmi) na rameno torzního kyvadla. Pro jednoduchost uvažujme polohu ramena ve směru západ - východ, a podle naší volby souřadné soustavy je proto rozdíl polohových vektorů í[ — r2 = yey. Na koule působí síly 32 Fi = m,(g) g + m,(i) a , F2 = m^ g + m^ á Výsledný moment, kterým soustava působí na závěs je T = ř;xF1 +f2xF2 (5.5) (5.6) přitom závěs směřuje podél výslednice sil F = Ft + F2. Kroutící moment bude tedy průmětem [ Fi + F2) • fe x Fi + h x F2) F2 • (ř; x Fj) + F, • (f2 x F2 > F1XF2 F1 + F2 F1 + F2 F1 + F2 (5.7) Výpočtem dostáváme FjXF 2 - ^(g) *%) ,axg, 2 (5.8) g amax Slni 2^)( Ve velikosti součtu Fj + F2 stačí uvažovat jen gravitační pole, takže máme 2h(8)+^ ".CO ^(0 (g) ^(g yamax Sln m(2A) (5.9) V rovnováze tento moment způsobí natočení o úhel 9 K (5.10) kde k je torzní tuhost závěsu . Při změně orientace o 180°, tj. při záměně y^— y dojde ke změně rovnovážné polohy. Při experimentech se tato změna děje periodicky, takže vliv náhodných příčin úhlové výchylky je silně potlačen. V moderních experimentech je ověřeno, že rovnost setrvačné a gravitační hmotnosti je ověřena s vynikající přesností ".(i) ™2(i) 5.3 Kovariantní a kontravariantní tensory <10 (5.11) Pro popis dějů se započtením gravitace musíme podle Einsteina přejít od Minkowskiho geometrie prostoročasu k obecnější, Riemannově geometrii. Každému bodu P prostoročasu 7 Pro drát kruhového průřezu o poloměru r a délky í je K = ľ]71X j[7.1 j, kde T] je modul pružnosti ve smyku. 33 přiřadíme čtveřici souřadnic P oc{x} = (x°, x1 , x2, x3 j. To můžeme udělat mnoha různými způsoby, např. |x/} = ^x/0 ,xn ,x/2 , x/3). Protože ale jde o tentýž bod, musí platit x'^x'^x) . (5.12) Prostoročas (nebo alespoň jeho část) pokryjeme soustavou takových souřadnicových funkcí -je přirozené, že infinitesimálně blízkým bodům P a P budou příslušet souřadnice, pro které x1 —x1 —>0. (Blízkost bodů musí ještě přesněji definovat.) Uvažujme teď o nějaké skalární funkci

m dx1 dx'n dx dx1 — dxj = gik dx1 dxk dx1 Také skalární součin dvou vektorů, definovaný jako Á B; je invariantní veličinou: n, dx1'1 Al dxk n dxk dx1'1 A B/ =--Ä—-Bk dx dx1 dx dx A'Bk = AkBk Kroneckorovo delta je tensor: dx'1 dxm ri dx'1 dx1 1 í3„/k m dx1 dx dx1 dxlk 51 Definujeme inversní metrický tensor glk pomocí vztahu pro složky gikgkj=^| • (5-20) Pomocí složek metrického tensoru převádíme kontravariantní složky na kovariantní, pomocí složek inversního metrického tensoru kovariantní složky na kontravariantní. Pro vektory A = gikAk , A = gik4 . (5.21) Vhodnou volbou souřadnic můžeme v infinitesimálním okolí zvoleného bodu dát metrickému tensoru tvar známý z Minkowskiho prostoru - pro tuto chvíli takové souřadnice označíme {xq } (podle Landaua a Lifšice jsou to Galileovy souřadnice) a metrický tensor je gcik gc 10 0 0 0-100 0 0-10 0 0 0 -1 (5.22) 35 Označíme jakobián transformace od Galileových souřadnic k obecným jako J - jakobián je determinant vytvořený z derivací dx1 /dx^ , ve standardním značení 3(x°,x\x2,x3N dy^G ' ^G ' ^G ' t Jakobián můžeme vyjádřit pomocí determinantu metrického tensoru g=det^gikJ. Zapíšeme transformaci inversního metrického tensoru od Galileových souřadnic k obecným ik _ dx1 dxs lm 1 _ _ 2 g ~^xľ^gG ^ I""' • (Platí det(gG) = -l a det(gik gkl) = det(gik)det(gkl) = det(^) = l.) Máme tedy pro jakobián výraz J = \jsj—g ■ Při integraci je objemový element v Galileových souřadnicích skalár, musí se mu tedy rovnat objemový element v obecných souřadnicích dQG=áxid4d4dxi = dy;dx°dx1 dx2dx3=,pidQ . o X , X , X , X (Triviálním příkladem je přechod od kartézských ke křivočarým souřadnicím v Eukleidovském prostoru. Například pro sférické souřadnice d£2 =dr2 +r2 dé?+r2 sin2é?d<^, odkud y[g=x2smO a tedy dxdydz=r2siné?drdé?d<^.) Také úplně antisymetrický tensor čtvrtého řádu, v Galileových souřadnicích eGiklm resp. eGklm je v obecných souřadnicích klm 1 _iklm eiklm—V ě eGiklm ' e — i-CG v-g 5.5 Neinerciální soustavy v Minkowskiho prostoročase Souřadnice v inerciální soustavě budeme značit {xq}, souřadnice v neinerciální soustavě {x} . Neinerciální soustava bude rotovat kolem společné osy z s úhlovou rychlostí co. Po transformaci souřadnic Xq = xcosŕytG — ysinŕytG , yG = xsin<»tG + ycosŕytG , Zq = z má interval ,2 „ j„i A,rk „2 j.2 (j„2 , j 2 , j „2 ' ds2 ds2 = gGik dx^ dxí = cz dtG - (dxí +dyG +dzG tvar rc2-řy2(x2 + y2)]dt2-(dx2+dy2+dz2) + 2řy(ydxdtG-xdydtG) . (5.23) 36 37