Komplexní čísla
(Seminář z matematiky i - m1130/02 2016)
(1) Zapište v algebraickém tvaru čísla:
(a)
2-i     l + 2i
(b) 2 +
3 + i    1 — 3i 1 3
3i i3
(c)
l-iV2+ /l-P2
1 + i
1 + i
(2) Vypočtěte:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
l-i +
l + 2i
3-i
|2 + 3i|2 + (2 + 3i)2
Vě + Vl V6-V2.
H--:-1
4
4
V/2+73 + iV/2+73
3 —4i
5i
+
2+i
1 — 2i
l+2i
(3) Řešte rovnice v oboru C:
1 2."
-2]
yi3ô" 10
5
[4x^3]
[1]
[1 + V3]
"2 4 " š"?1
(a) |z|-z= l+2i
(b) z2+|z| =0
1
(c)   2--  ž + 2z=10i
(d) ž(z-l) = |z-l|
Í2"2ÍJ [0; i;-i]
[10-40Í]
[1]
(4) Určete všechna ryze imaginární čísla z, pro něž platí:
(a) \z - 1 + i| = z
[neexistují]
(b) |z+l| = |z-2i|
(5) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou komplexní jednotky:
y/3-i  1 + i  (2 +
;30
1-i
Tí
2    '   2  ' 3-4i'   *  ' V2"'COSW + 1SmW
[A, N, A, A, A, A]
(6) V Gaussově rovinně znázorněte všechna komplexní čísla z, pro něž platí:
(a) |z+i| ^ |z+l| 1
l + i 1 — 2i
	1 — 2i
	ZH--:-
	1
(b)   Z-j^r <\z\
(C)    Z+T^—.   > \Z~ 1|
(d)
(7) V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
(a) 2
(b)
-1 + i -3 +i 2+i
(c) |3+2i|
(d) i
80
/   N     1 ^ •     • %
(e) 1 + cos — + i sin — 4 4
(f) 1 + cos <p + i sin <p
(g) sin <p + i cos <p
cos a + i sin a cos/3 + i sin/3
(8) Vypočtěte:
V 2  cos--h i sin —
V   4      4 /
" 37r    . . 37r\
V 2  cos--h i sin —
.  V   4      4;
[Vl3(cos0+isin0
[cos0 + i sinO]
V2 + \/2 f cos — + i sin — V     8 8
2cos — cos —h i sin — 2 V     2 2
cos I - - <pj + i sin ^- - <p [cos (a - J3) + i sin (a - J3)]
(a) (-l + i)66-i(l + i)80
/ 7t
(b) (^1+cos — + i sin
3.
[-129 - 233 • i] P6]
(c) (VŠ-i)
(d)
1 + i 1-i
-25
(e) (tgi-i;
1 _ y/3 .
"i~~2
cos 4 + i sin4 cos4l
(9) Určete argument <p tak, aby platila rovnost:
, . ,      27t    . . 27t\ , ....
(a) ( cos — + i sin — I (cos <p + i sin <p) = i
(b) I cos — + i sin — ] (cos <p + i sin <p) = — 1
(c)
(d)
4 4 7
cos n-f + i sin ^ cos <p + i sin <p cos I + i sin I cos <p + i sin <p
ft ~6 3tt'
T
~8~
(10) V oboru komplexních čísel řešte rovnice:
(a) (x2+x+l) (x2 + x- 1) =0
„ . x + 2   x—1 x — 3 x+l
(c) 2x2+x+l = 0
-l±i\/3 -l±\/5
l±iV39 4
-l±i\/l' 4
(11) Určete, pro které hodnoty p E IR mají rovnice dva reálné kořeny, resp. jeden dvojnásobný reálný kořen, resp. imaginární kořeny:
(a) px2 + 2(p- l)x + p-5 = 0
("Ha^o;-K-
-oo--
(b) (p + 3)x2 + 3(p-6)x + 5- 18/7 = 0        [pro p ^ -3 má rovnice 2 reálné kořeny]
(c) px2 + (2p- l)x + p = 0
(12) Rozložte na součin lineárních dvojčlenů:
(a) x2+x+l
(b) 3x2 + 2x + 2
(c) x2-3x + 5
(13) Řešte v C binomické rovnice:
(a) x3 - i = 0
(b) x6 + 64 = 0
(c) jc8 + 1 = 0
(d) x5-l-iV3 = 0
(e) - 1 + i = 0
(14) V množině C řešte rovnice:
3^+i(l-i^)^ ^ + | (l + iV5 (,-l(3 + iVň))(x-I(3-iVň;
1. 1. .
[±v/3±i;±2i]
cos----h i sin---, k = 0,1,2,3,4,5,6,7
8
v^fcos
+ i sin
3 1 /t = 0,1,2,3,4
cos^—-+ isin^—-      | ,£ = 0,1,2
(a) *2-2;t + 9 + 6i =0
(b) *2 + (2-3i);t-5(l + i) =0
(c) ^2-4 = 3i
(d) x2
(e) -
1 + iV3
12
; \Í00
(1- i)96-i (1 + i)98
[3i;2-3i]
[l + 2i;-3 + i]
2   +1'2 ' 2
3\/2 3V2 V2
l^2
[±64]
±i
.2y/Š'