Na cvičeniach sme pomocou Weierstrassovho kritéria ukázali, že rad
∞∑
n=1
1
nx
, x ∈ R, (1)
má za obor (bodovej) konvergencie otvorený interval (1, ∞), pričom na každom
konečnom a uzavretom intervale I ⊂ (1, ∞) konverguje dokonca rovnomerne.
Priamo z definície teraz dokážeme, že rad (1) na celom svojom obore
konvergencie (1, ∞) nekonverguje rovnomerne. Ukážeme to sporom. Predpokladajme,
že rad (1) konverguje rovnomerne na (1, ∞). To znamená, že pre
každé ε > 0 existuje index N ∈ N tak, že pre každý index n ≥ N a každé
m ∈ N platí nerovnosť
1
(n + 1)x
+
1
(n + 2)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
Nakoľko členy radu (1) sú kladné, nemusíme písať absolútnu hodnotu, t.j.,
1
(n + 1)x
+
1
(n + 2)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
Každý člen na ľavej strane poslednej nerovnosti je pre každé dané n, m a
x ∈ (1, ∞) väčší alebo rovný než zlomok 1
(n+m)x . Preto platí
1
(n + m)x
+ · · · +
1
(n + m)x
m členov
≤
1
(n + 1)x
+ · · · +
1
(n + m)x
< ε
⇓
m
(n + m)x
< ε pre každé x ∈ (1, ∞).
Zvoľme ε := 1/3 a pre každé dané n ≥ N položme m := n. Platí teda
n
(n + n)x
=
n
(2n)x
<
1
3
pre každé n ≥ N a každé x ∈ (1, ∞). (2)
Pre každé n ∈ N zrejme číslo 1 + 1
n
∈ (1, ∞). Zvoľme preto pre každé dané
n ≥ N hodnotu x := 1 + 1
n
. Potom podľa (2) máme
n
(2n)1+ 1
n
<
1
3
⇐⇒
1
21+ 1
n · n
1
n
<
1
3
pre každé n ≥ N.
1
Limitovaním poslednej rovnosti pre n → ∞ dostávame
lim
n→∞
1
21+ 1
n · n
1
n
<
1
3
⇓
1
21+0 · 1
<
1
3
⇐⇒
1
2
<
1
3
. . . spor!!!
To znamená, že rad (1) nemôže konvergovať rovnomerne na celom otvorenom
intervale (1, ∞). Všimnime si, že v prípade uzavretého intervalu typu [a, ∞)
pre dané a > 1 nenastáva žiadny problém, pretože hodnota x = 1 + 1
n
patrí
do [a, ∞) iba pre konečne veľa indexov n, avšak nie pre všetky n ∈ N.
2