Príklady na precvičovanie – parametrické integrály
Pri určitých (Riemannových) integráloch sa nám niekedy stáva, že okrem
integračnej premennej v ňom vystupuje i nejaký parameter, ktorý sa môže
meniť, a tým i ovplyvňovať samotnú hodnotu daného integrálu. Jednoduchým
príkladom je určitý integrál
∫ 1
0
epx
dx =



ep−1
p
, p ̸= 0,
1, p = 0
(samy overte detaily výpočtu :)), v ktorom úlohu parametra zohráva symbol
p. Vidíme, že hodnota daného určitého integrálu je funkciou premennej p, v
našom prípade definovanou pre každé p ∈ R. Vo všeobecnosti máme situáciu
F(p) =
∫ b
a
f(x, p) dx, (1)
kde premenlivý parameter p nadobúda hodnoty z nejakého pevného intervalu
[c, d]. Funkcia (dvoch premenných) f(x, p) je teda definovaná na obdĺžniku
[a, b] × [c, d]. Ak pre každú zafixovanú hodnotu parametra p ∈ [c, d] je funkcia
g(x) := f(x, p) (jednej premennej x) integrovateľná na intervale [a, b],
t.j., integrál
∫ b
a
f(x, p) dx existuje, potom funkciu F(p) v (1) nazývame parametrickým
integrálom (alebo aj integrálom závislým na parametri). Hlavnou
úlohou teórie parametrických integrálov je vyšetrenie vlastností funkcie F(p)
bez priameho počítania samotného integrálu v (1). Na rozdiel od príkladu v
úvode sa totiž nie vždy dá hodnota integrálu v (1) nájsť priamou integráciou
(obzvlášť, ak funkcia g(x) = f(x, p) je vyššia transcendentná).
Uvedieme teraz základné vlastnosti parametrického integrálu v (1).
• Ak funkcia f(x, p) je spojitá na obdĺžniku [a, b]×[c, d], potom i funkcia
F(p) je spojitá na intervale [c, d]. Naviac, v tomto prípade platí
∫ d
c
F(p) dp =
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, p) dx
]
F(p)
dp =
∫ b
a
[∫ d
c
f(x, p) dp
]
dx.
Jedná sa vlastne o aplikáciu Fubiniho vety pre dvojné integrály na
obdĺžniku, samy si premyslite :).
1
• Ak funkcie f(x, p) a ∂f(x,p)
∂p
sú spojité na obdĺžniku [a, b] × [c, d], potom
funkcia F(p) je diferencovateľná na intervale [c, d] a platí
F′
(p) =
d
dp
[∫ b
a
f(x, p) dx
]
=
∫ b
a
∂f(x, p)
∂p
dx pre každé p ∈ [c, d].
Posledná rovnosť sa označuje ako Leibnizov vzorec (alebo aj Leibnizovo
pravidlo). Vidíme, že v prípade splnenia istých predpokladov pri
výpočte derivácie F′
(p) nemusíme nutne poznať samotnú funkciu F(p).
V praxi sa častokrát vyskytuje situácia, že aj samotné integračné medze
sú v danom parametrickom integrále závislé na parametri p, t.j.
G(p) =
∫ ψ(p)
φ(p)
f(x, p) dx, (2)
kde φ(p) a ψ(p) sú funkcie definované na intervale [c, d] a zobrazujúce do
intervalu [a, b]. Parametrický integrál G(p) v (2) má analogické vlastnosti
ako integrál F(p) v (1).
• Ak funkcia f(x, p) je spojitá na obdĺžniku [a, b] × [c, d] a funkcie φ(p)
a ψ(p) sú spojité na intervale [c, d] potom i funkcia G(p) je spojitá na
intervale [c, d].
• Nech funkcie f(x, p) a ∂f(x,p)
∂p
sú spojité na obdĺžniku [a, b]×[c, d]. Ďalej
nech funkcie φ(p) a ψ(p) sú diferencovateľné na intervale [c, d]. Potom i
funkcia G(p) je diferencovateľná na intervale [c, d] a pre každé p ∈ [c, d]
platí rovnosť
G′
(p) =
∫ ψ(p)
φ(p)
∂f(x, p)
∂p
dx + ψ′
(p) · f (ψ(p), p) − φ′
(p) · f (φ(p), p) .
Posledná identita v prípade konštantných integračných medzí zrejme
prechádza na vyššie uvedený Leibnizov vzorec (samy si premyslite :)).
2
Riešené príklady
Príklad 1
Vypočítajme limitu
lim
p→0
∫ 1
−1
√
x2 + p2 dx.
Riešenie:
Nech a je nejaké zafixované kladné reálne číslo. Funkcia f(x, p) =
√
x2 + p2
je iste spojitá na obdĺžniku [−1, 1] × [−a, a]. To potom znamená, že funkcia
F(p) =
∫ 1
−1
√
x2 + p2 dx,
ako integrál závislý na parametri p, je definovaná a spojitá na intervale
[−a, a]. Využitím tohto poznatku a faktu, že 0 ∈ [−a, a], potom dostávame
lim
p→0
∫ 1
−1
√
x2 + p2 dx = lim
p→0
F(p) = F(0) =
∫ 1
−1
√
x2 dx =
∫ 1
−1
|x| dx.
Nakoľko funkcia y = |x| je párna, pre hodnotu posledného integrálu platí
∫ 1
−1
|x| dx = 2 ·
∫ 1
0
|x| dx = 2 ·
∫ 1
0
x dx = 1.
Pre limitu v zadaní príkladu teda máme
lim
p→0
∫ 1
−1
√
x2 + p2 dx = 1.
Poznamenajme, že v tomto prípade sa uvedený integrál dá vypočítať i priamo.
Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že jednak
F(p) =
√
1 + p2 + p2
· ln
1 +
√
1 + p2
|p|
, p ̸= 0,
a jednak následne platí
lim
p→0
F(p) = lim
p→0
[
√
1 + p2 + p2
· ln
1 +
√
1 + p2
|p|
]
= 1 :).
3
Príklad 2
Stanovme limitu
lim
p→0
∫ p+1
p
1
1 + x2 + p2
dx.
Riešenie:
Postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade, avšak teraz aj integračné
medze závisia na parametri p. Nech a je nejaké kladné reálne číslo.
Funkcie φ(p) = p a ψ(p) = p + 1 sú spojité na intervale [−a, a], pričom
φ zobrazuje tento interval na [−a, a], kým funkcia ψ(p) ho zobrazuje na
[−a + 1, a + 1] (samy si premyslite :)). To potom znamená, že obidve funkcie
budú zobrazovať [−a, a] do spoločného intervalu [−a, a + 1] (i toto si samy
dobre premyslite :)). Ďalej funkcia f(x, p) = 1
1+x2+p2 je definovaná a spojitá
na obdĺžniku [−a, a+1]×[−a, a]. Sú teda splnené všetky predpoklady na to,
aby funkcia
F(p) =
∫ p+1
p
1
1 + x2 + p2
dx
bola spojitá na intervale [−a, a]. A keďže 0 ∈ [−a, a], máme
lim
p→0
∫ p+1
p
1
1 + x2 + p2
dx = lim
p→0
F(p) = F(0) =
∫ 0+1
0
1
1 + x2 + 02
dx
=
∫ 1
0
1
1 + x2
dx = [arctg x]1
0 =
π
4
.
Odporúčame čitateľovi vykonať i alternatívny výpočet priamym spôsobom a
porovnať obidva prístupy ;).
Príklad 3
Pre hodnoty p > 0 vypočítajme deriváciu funkcie
F(p) =
∫ 1
0
arctg
x
p
dx.
4
Riešenie:
Intuitívne by sme postupovali takto
F′
(p) =
d
dp
[∫ 1
0
arctg
x
p
dx
]
=
∫ 1
0
∂
∂p
[
arctg
x
p
]
dx = −
∫ 1
0
x
x2 + p2
dx
= −
[
1
2
· ln(x2
+ p2
)
]1
0
= −
1
2
· ln
(
1 +
1
p2
)
:)
(samy overte detaily výpočtov ;)). Je však nutné sa presvedčiť, či uvedené
triky sú skutočne korektné, t.j., či sú na ich realizáciu splnené potrebné predpoklady.
Motivovaní obmedzením pre p v zadaní príkladu, nech I je nejaký
netriviálny kompaktný podinterval v (0, ∞). Potom funkcie
f(x, p) = arctg
x
p
a
∂f(x, p)
∂p
= −
x
x2 + p2
sú definované a spojité na obdĺžniku [0, 1] × I (samy si premyslite :)). To
potom znamená, že funkcia F(p) je diferencovateľná na intervale I a pre
jej deriváciu F′
(p) platí výpočet v úvode príkladu pre každé p ∈ I. Napokon,
interval I ⊂ (0, ∞) bol zvolený ľubovoľne, preto uvedené argumenty sú
správne pre každé p > 0 (samy si premyslite, že každé p > 0 je obsiahnuté
vo vnútri nejakého netriviálneho kompaktného intervalu I ⊂ (0, ∞) :)).
Príklad 4
Pre p ̸= 0 nájdime deriváciu funkcie
F(p) =
∫ 3p2+1
p2
epx
x
dx.
Riešenie:
V tomto prípade nemôžeme aplikovať priamy výpočet predloženého integrálu,
nakoľko primitívna funkcia k výrazu epx
/x pre p ̸= 0 síce existuje (na
vhodnom podintervale), ale nie je možné ju vyjadriť pomocou elementárnych
funkcií v nejakom rozumnom tvare :-/. Napokon, to, čo skutočne chceme, je
5
derivácia F′
(p), nie nutne samotná funkcia F(p) ;). Podľa zovšeobecneného
Leibnizovho pravidla formálne máme
F′
(p) =
∫ 3p2+1
p2
∂
∂p
[
epx
x
]
dx + (3p2
+ 1)′
·
ep·(3p2+1)
3p2 + 1
− (p2
)′
·
ep·p2
p2
=
∫ 3p2+1
p2
epx
dx +
6p · e3p3+p
3p2 + 1
−
2 · ep3
p
=
[
epx
p
]3p2+1
p2
+
6p · e3p3+p
3p2 + 1
−
2 · ep3
p
=
e3p3+p
p
−
ep3
p
+
6p · e3p3+p
3p2 + 1
−
2 · ep3
p
=
(9p2
+ 1) · e3p3+p
p · (3p2 + 1)
−
3 · ep3
p
:).
Overíme teraz prípustnosť tohto výpočtu. Nech [c, d] ⊂ (0, ∞) je nejaký
nedegenerovaný interval. Funkcie φ(p) = p2
a ψ(p) = 3p2
+ 1 sú spojité,
diferencovateľné a rastúce na (0, ∞) a zobrazujú [c, d] postupne na intervaly
[c2
, d2
] a [3c2
+ 1, 3d2
+ 1]. Interval [c2
, 3d2
+ 1] ⊂ (0, ∞) je potom spoločný
nadinterval pre obidva uvedené intervaly, a teda obidve funkcie φ(p) a ψ(p)
do neho zobrazujú množinu [c, d] (samy si premyslite :)). Ďalej funkcie
f(x, p) =
epx
x
a
∂f(x, p)
∂p
= epx
sú spojité na obdĺžniku [c2
, 3d2
+1]×[c, d]. Preto funkcia F(p) je diferencovateľná
a výpočet v úvode príkladu platí pre každé p ∈ [c, d]. Napokon, interval
[c, d] ⊂ (0, ∞) bol zvolený ľubovoľne, a teda všetky tieto závery sú správne
pre každé p > 0. Analogicky sa overia príslušné predpoklady pre p < 0 (samy
ich overte :)).
Príklad 5 (ťažší)
Dokážme, že tzv. Besselova funkcia prvého druhu
Jn(t) =
1
π
·
∫ π
0
cos (nx − t sin x) dx
je pre každé n ∈ N0 riešením (zhodou okolností tiež Besselovej :)) lineárnej
diferenciálnej rovnice
t2
· y′′
+ t · y′
+ (t2
− n2
) · y = 0 na celom R.
6
Riešenie:
Zafixujme n ∈ N0 a nech I ⊂ R je netriviálny kompaktný interval. Funkcie
f(x, t) = cos (nx − t sin x) ,
f′
t(x, t) = sin (nx − t sin x) · sin x, f′′
tt(x, t) = − cos (nx − t sin x) · sin2
x,
sú zrejme spojité na obdĺžniku [0, π]×I. To potom znamená, že funkcia Jn(t)
je dvakrát diferencovateľná na intervale I a platí
J′
n(t) =
1
π
·
∫ π
0
f′
t(x, t) dx =
1
π
·
∫ π
0
sin (nx − t sin x) · sin x dx,
J′′
n(t) =
1
π
·
∫ π
0
f′′
tt(x, t) dx = −
1
π
·
∫ π
0
cos (nx − t sin x) · sin2
x dx.
Vyjadrenie prvej derivácie J′
n(t) obsahuje, na rozdiel od funkcií Jn(t) a J′′
n(t),
výraz sin (nx − t sin x). Aby sme túto nesúrodosť odstránili, aplikujeme na
J′
n(t) integráciu per-partes, konkrétne
J′
n(t) =
u′
= sin x, u = − cos x,
v = sin (nx − t sin x) , v′
= cos (nx − t sin x) · (n − t cos x)
=
1
π
· [− cos x · sin (nx − t sin x)]
π
0 +
1
π
·
∫ π
0
cos x · cos (nx − t sin x) · (n − t cos x) dx
=
1
π
·
∫ π
0
cos (nx − t sin x) · (n cos x − t cos2
x) dx
(samy overte detaily výpočtu :)). Následne pre t ∈ I postupne dostávame
t2
· J′′
n (t) + t · J′
n(t) + (t2
− n2
) · Jn(t)
=
1
π
·
∫ π
0
[−t2
sin2
x · cos (nx − t sin x) + (tn cos x − t2
cos2
x) · cos (nx − t sin x)
+(t2
− n2
) · cos (nx − t sin x)] dx . . . po úpravách . . .
= −
1
π
·
∫ π
0
n · (n − t cos x) · cos (nx − t sin x) dx = −
n
π
· [sin (nx − t sin x)]
π
0 = 0.
Vidíme teda, že funkcia Jn(t) rieši diferenciálnu rovnicu v zadaní príkladu
na I. A nakoľko interval I bol zvolený ľubovoľne, platí to pre celé R :).
7
Príklad 6
Pomocou identity
∫ b
0
1
1 + ax
dx =
ln(1 + ab)
a
, a, b > 0,
nájdime hodnotu určitého integrálu
∫ b
0
x
(1 + ax)2
dx.
Riešenie:
V prvom rade si všimnime, že pre každé a, b > 0 platí
x
(1 + ax)2
= −
∂
∂a
(
1
1 + ax
)
pre každé x ∈ [0, b]
(samy overte :)). Pre hodnotu hľadaného integrálu teda máme
∫ b
0
x
(1 + ax)2
dx = −
∫ b
0
∂
∂a
(
1
1 + ax
)
dx.
Prirodzene nás napadne zameniť v poslednom výraze integrovanie a parciálne
derivovanie :). Poďme sa presvedčiť, či je to možné. Nech A > 0 je ľubovoľné,
ale pevne dané. Potom funkcie
f(x, a) =
1
1 + ax
,
∂f(x, a)
∂a
= −
x
(1 + ax)2
,
sú iste spojité na obdĺžniku [0, b] × [0, A]. Zmienená zámena poradia integrovania
a parciálneho derivovania je teda možná pre každé a ∈ [0, A]. Z toho,
že A > 0 bolo zvolené ľubovoľne, potom vyplýva korektnosť tohto úkonu pre
každé a > 0 (samy si to dobre premyslite :)). Využitím identity v zadaní
príkladu môžeme preto smelo písať
∫ b
0
x
(1 + ax)2
dx = −
∂
∂a
(∫ b
0
1
1 + ax
dx
)
= −
∂
∂a
(
ln(1 + ab)
a
)
8
=
ln(1 + ab)
a2
−
b
a · (1 + ab)
pre každé a, b > 0 :).
Skúste hľadanú hodnotu integrálu stanoviť priamou integráciou a porovnajte
náročnosť obidvoch prístupov ;).
Príklad 7
Vypočítajme hodnotu určitého integrálu
I =
∫ 1
0
x3
− x
ln x
dx.
Riešenie:
Predložený určitý integrál sa bohužiaľ nedá vypočítať pomocou tradičnej
Newtonovej–Leibnizovej formuly, nakoľko nevieme efektívne vyjadriť neurčitý
integrál z funkcie x3−x
ln x
:(. Toto je preto typický príklad aplikácie parametrických
integrálov pri výpočte hodnôt niektorých určitých integrálov :).
Funkcia g(x) = x3−x
ln x
je zrejme definovaná a spojitá na otvorenom intervale
(0, 1), pričom v jeho krajných bodoch platí
lim
x→0+
x3
− x
ln x
= 0 a lim
x→1−
x3
− x
ln x
= 2
(samy overte :)). To znamená, že g(x) je integrovateľná na intervale [0, 1] a má
význam hľadať hodnotu integrálu v zadaní príkladu (i toto si samy premyslite
:)). Ako však na to? Fígeľ je v tom, že si uvedomíme takúto identitu
x3
− x
ln x
=
∫ 3
1
xp
dp pre každé x ∈ [0, 1] :)
(pokúste sa ju overiť pre hodnoty x = 0 a x = 1 s tým, že výraz x3−x
ln x
nahradíte jeho odpovedajúcimi limitami v x = 0 a x = 1 ;)). Pre hodnotu I
integrálu v zadaní príkladu teda máme
I =
∫ 1
0
[∫ 3
1
xp
dp
]
dx.
9
A keďže funkcia f(x, p) = xp
je spojitá na obdĺžniku [0, 1]×[1, 3], v poslednom
dvojnásobnom integrále môžeme zameniť poradie integrácie a dostaneme
I =
∫ 3
1
[∫ 1
0
xp
dx
]
dp =
∫ 3
1
[
xp+1
p + 1
]1
0
dp =
∫ 3
1
1
p + 1
dp = ln 2 :).
Príklad 8
Určime hodnotu integrálu
I(r) =
∫ π
0
ln
(
1 + 2r · cos x + r2
)
dx, |r| < 1.
Riešenie:
Toto je ďalší prípad, kedy sa hodnota určitého integrálu nedá stanoviť priamou
integráciou. Skúsme formálne zderivovať funkciu I(r) podľa parametra
r v súlade s Leibnizovým pravidlom
I′
(r) =
d
dr
[∫ π
0
ln
(
1 + 2r · cos x + r2
)
dx
]
=
∫ π
0
∂
∂r
[
ln
(
1 + 2r · cos x + r2
)]
dx =
∫ π
0
2 cos x + 2r
1 + 2r · cos x + r2
dx.
Integrand v poslednom integrále je však racionálna lomená funkcia vzhľadom
na výraz cos x, a teda ju vieme integrovať :). Pre hodnotu r = 0 máme
I′
(0) =
∫ π
0
2 cos x dx = 0,
kým pre hodnotu parametra r ̸= 0 platí výpočet
I′
(r) =
1
r
·
∫ π
0
2r · cos x + 2r2
1 + 2r · cos x + r2
dx =
1
r
·
∫ π
0
(
1 +
r2
− 1
1 + 2r · cos x + r2
)
dx
=
π
r
+
r2
− 1
r
·
∫ π
0
1
1 + 2r · cos x + r2
dx
(samy overte detaily ;)). Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že posledný
integrál má hodnotu
∫ π
0
1
1 + 2r · cos x + r2
dx =
π
1 − r2
10
(použite substitúciu t = tg x
2
;)). Celkovo teda máme
I′
(r) =
π
r
+
r2
− 1
r
·
π
1 − r2
= 0.
Ukazuje sa teda, že derivácia I′
(r) = 0 pre každé r ∈ (−1, 1), a teda funkcia
I(r) je konštantná na intervale (−1, 1). Poďme teraz overiť prípustnosť našich
výpočtov. Nech ε je nejaké reálne číslo z intervalu (0, 1). Potom funkcie
f(x, r) = ln
(
1 + 2r · cos x + r2
)
a f′
r(x, r) =
2 cos x + 2r
1 + 2r · cos x + r2
sú definované a spojité na obdĺžniku [0, π]×[−ε, ε]. Vyplýva to zo skutočnosti,
že výraz
1 + 2r · cos x + r2
= (1 + r · cos x)2
+ (r · sin x)2
≥ 0
môže byť nulový iba pre r = ±1 (samy sa pokúste ukázať :)). V našom
prípade však máme |r| ≤ ε < 1. Teda vyššie vykonané výpočty sú korektné
a funkcia I(r) je konštantná na intervale [−ε, ε] pre každé ε ∈ (0, 1), t.j., na
celom intervale (−1, 1). Nakoľko pre hodnotu parametra r = 0 ∈ (−1, 1) je
I(0) =
∫ π
0
ln
(
1 + 2 · 0 · cos x + 02
)
dx =
∫ π
0
ln 1 dx = 0,
môžeme uzavrieť, že
I(r) =
∫ π
0
ln
(
1 + 2r · cos x + r2
)
dx = 0 pre každé r ∈ (−1, 1) :).
Ponúka sa prirodzená myšlienka rozšíriť koncept parametrického integrálu
i pre nevlastné integrály, t.j., uvažovať situáciu
F(p) =
∫ ∞
a
f(x, p) dx (3)
pre parameter p z nejakého konečného intervalu [c, d]. Ak nevlastný integ-
rál
∫ ∞
a
f(x, p) dx konverguje pre každé p ∈ [c, d], potom funkcia F(p) v (3)
sa nazýva nevlastný parametrický integrál prvého druhu (alebo aj nevlastný
integrál závislý na parametri prvého druhu). V tomto prípade hovoríme, že
11
nevlastný integrál v (3) konverguje (alebo je konvergentný) na intervale [c, d].
Jedná sa teda o konvergenciu vzhľadom na parameter p. Popri tejto „bodovej
konvergencii zavádzame i pojem rovnomernej konvergencie na danom
intervale [c, d]. Konkrétne, parametrický integrál F(p) v (3) konverguje rovnomerne
na intervale [c, d], ak pre každé kladné číslo ε existuje (dostatočne
veľké) kladné číslo A tak, že pre každé reálne číslo b > A platí nerovnosť
F(p) −
∫ b
a
f(x, p) dx =
∫ ∞
b
f(x, p) dx < ε pre každé p ∈ [c, d].
Posledná nerovnosť nám hovorí, že nevlastný integrál v (3) jednak konverguje
pre každé p ∈ [c, d] (spomeňme si z Matematickej analýzy I, že
∫ ∞
a
f(x, p) dx := limb→∞
∫ b
a
f(x, p) dx :)), a že jednak táto konvergencia (resp.
jej rýchlosť) nezávisí na parametri p ∈ [c, d]. Je to analogická situácia ako pri
funkcionálnych radoch, bodová verzus rovnomerná konvergencia na danom
intervale :). Odporúčame čitateľovi premyslieť si to i z tohto uhlu pohľadu
;). Nuž a rovnako ako pri radoch funkcií, i tu funguje tzv. Weierstrassovo
kritérium rovnomernej konvergencie nevlastného integrálu v (3) :).
Weierstrassovo kritérium konvergencie nevlastného integrálu v (3)
Nech pre každé p ∈ [c, d] a každé b > a je funkcia f(x, p) (jednej premennej
x) integrovateľná na intervale [a, b]. Nech g(x) je funkcia spĺňajúca:
• Nevlastný integrál
∫ ∞
a
g(x dx konverguje.
• Nerovnosť |f(x, p)| ≤ g(x) platí pre každý bod [x, p] ∈ [a, ∞) × [c, d].
Potom integrál F(p) v (3) konverguje rovnomerne na intervale [c, d].
Základné vlastnosti nevlastných parametrických integrálov prvého druhu
sú analogické ako pri vlastných parametrických integráloch, vždy však za dodatočného
predpokladu rovnomernej konvergencie. Konkrétne, platia takéto
„nevlastné verzie tvrdení v úvode dokumentu.
• Ak funkcia f(x, p) je spojitá na množine [a, ∞) × [c, d] a nevlastný
integrál F(p) v (3) konverguje rovnomerne na intervale [c, d], potom i
funkcia F(p) je spojitá na intervale [c, d] a
∫ d
c
F(p) dp =
∫ d
c
[∫ ∞
a
f(x, p) dx
]
F(p)
dp =
∫ ∞
a
[∫ d
c
f(x, p) dp
]
dx.
12
• Ak funkcie f(x, p) a ∂f(x,p)
∂p
sú spojité na množine [a, ∞) × [c, d] a nevlastné
integrály
∫ ∞
a
f(x, p) dx,
∫ ∞
a
∂f(x, p)
∂p
dx
konvergujú rovnomerne na intervale [c, d], potom funkcia F(p) v (3) je
diferencovateľná na intervale [c, d] a platí
F′
(p) =
d
dp
[∫ ∞
a
f(x, p) dx
]
=
∫ ∞
a
∂f(x, p)
∂p
dx pre každé p ∈ [c, d].
Významným príkladom nevlastných parametrických integrálov, ktoré sa
objavujú v rozličných partiách matematickej analýzy, ako aj matematiky vôbec,
sú tzv. Eulerove integrály prvého a druhého druhu.
Eulerov integrál druhého druhu – gama funkcia
Pod pojmom gama funkcia rozumieme nevlastný parametrický integrál
Γ(t) :=
∫ ∞
0
xt−1
e−x
dx. (4)
Funkcia Γ(t) je definovaná pre každé t ∈ (0, ∞), pre nekladné hodnoty parametra
t daný nevlastný integrál diverguje. Jedná sa o funkciu spojitú a
majúcu spojité derivácie všetkých rádov, pričom pre každé n ∈ N platí
Γ(n)
(t) =
∫ ∞
0
xt−1
e−x
lnn
x dx, t ∈ (0, ∞).
Obzvlášť, nevlastný integrál v (4) rovnomerne konverguje na každom uzavretom
a ohraničenom podintervale v (0, ∞). Funkcia Γ(t) nadobúda na (0, ∞)
kladné hodnoty a platí
lim
t→0+
Γ(t) = ∞ = lim
t→∞
Γ(t).
Zaujímavou vlastnosťou gama funkcie je fakt, že v istom zmysle zovšeobecňuje
pojem faktoriálu i pre neceločíselné kladné hodnoty. Konkrétne, platí
Γ(n + 1) = n! pre každé n ∈ N0.
13
Z tohto pohľadu potom možno číslo Γ(t + 1) chápať ako „faktoriál hodnoty
t ∈ (0, ∞) :). Túto ideu potvrdzuje aj identita
Γ(t + 1) = t · Γ(t)
platiaca pre každé t > 0. Ďalšie základné vlastnosti funkcie Γ(t) sú:
•
Γ(t + n) = (t + n − 1) · (t + n − 2) · · · (t + 1) · t · Γ(t)
pre každé t > 0 a n ∈ N.
•
Γ(t) · Γ(1 − t) =
π
sin πt
pre každé t ∈ (0, 1).
•
Γ
(
1
2
)
=
√
π, Γ
(
n +
1
2
)
=
1 · 3 · · · (2n − 3) · (2n − 1)
2n
· Γ
(
1
2
)
.
Eulerov integrál prvého druhu – beta funkcia
Beta funkcia je definovaná predpisom
B(p, q) :=
∫ 1
0
xp−1
(1 − x)q−1
dx. (5)
Jedná sa o funkciu dvoch premenných definovanú pre p, q > 0. Významný
poznatok je vyjadrenie funkcie B(p, q) pomocou gama funkcie v tvare
B(p, q) =
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q)
pre každé p, q ∈ (0, ∞).
Z poslednej identity napríklad vyplýva symetrickosť beta funkcie vzhľadom
na svoje premenné, t.j., B(p, q) = B(q, p) pre každý bod [p, q] ∈ R+
× R+
.
14
Riešené príklady
Príklad 9
Pomocou identity ∫ ∞
0
1
x2 + p
dx =
π
2
√
p
, p > 0,
nájdime hodnotu nevlastného integrálu
∫ ∞
0
1
(x2 + p)2
dx.
Riešenie:
Nakoľko pre každé x ∈ [0, ∞) a každé p ∈ (0, ∞) platí
1
(x2 + p)2
=
∂
∂p
(
−
1
x2 + p
)
,
môžeme hľadaný nevlastný integrál písať v tvare
∫ ∞
0
1
(x2 + p)2
dx = −
∫ ∞
0
∂
∂p
(
1
x2 + p
)
dx.
Formálnou zámenou integrácie a parciálneho derivovania v poslednom výraze
a následným využitím identity v zadaní príkladu potom dostaneme
∫ ∞
0
1
(x2 + p)2
dx = −
d
dp
(∫ ∞
0
1
x2 + p
dx
)
= −
d
dp
(
π
2
√
p
)
=
π
4
√
p3
.
Overíme teraz korektnosť tejto zámeny. Nech ε ∈ (0, 1) a uvažujme interval[
ε, 1
ε
]
. Všimnime si, že pre ε → 0+
tento interval postupne vyčerpá všetky
kladné reálne čísla (a o to nám aj ide :)). Funkcie
f(x, p) =
1
x2 + p
,
∂f(x, p)
∂p
= −
1
(x2 + p)2
sú zrejme spojité na rovinnom páse [0, ∞) ×
[
ε, 1
ε
]
. Okrem toho
|f(x, p)| ≤
1
x2 + ε
,
∂f(x, p)
∂p
≤
1
(x2 + ε)2
pre každé [x, p] ∈ [0, ∞) ×
[
ε,
1
ε
]
15
(samy si premyslite :)) a nevlastné integrály
∫ ∞
0
1
x2 + ε
dx,
∫ ∞
0
1
(x2 + ε)2
dx
konvergujú (i toto si samy dobre premyslite a nájdite ich hodnoty ;)). Podľa
Weiestrassovho kritéria potom nevlastné integrály
∫ ∞
0
f(x, p) dx =
∫ ∞
0
1
x2 + p
dx,
∫ ∞
0
∂f(x, p)
∂p
dx =
∫ ∞
0
1
(x2 + p)2
dx
konvergujú rovnomerne (vzhľadom na parameter p) na intervale
[
ε, 1
ε
]
. Preto
vykonaná zámena integrácie a parciálneho derivovania bola prípustná pre
každé p ∈
[
ε, 1
ε
]
. A nakoľko ε ∈ (0, 1) je ľubovoľné, je táto zámena korektná
pre každú kladnú hodnotu parametra p (samy si premyslite v súvislosti s
poznámkou vyššie o intervale
[
ε, 1
ε
]
:)).
Príklad 10 (ťažší)
Pomocou funkcie
F(p) =
(∫ p
0
e−x2
dx
)2
nájdime hodnotu tzv. Poissonovho integrálu
∫ ∞
0
e−x2
dx.
Riešenie:
Keďže funkcia g(x) = e−x2
je spojitá na celom R, integrál
∫ p
0
e−x2
dx ako
funkcia hornej medze p, je diferencovateľný (podľa p) pre každé p ∈ (−∞, ∞)
(samy si premyslite :)). Potom aj funkcia F(p) má na celom R deriváciu (i
toto si samy premyslite :)), pričom platí
F′
(p) =
d
dp
[(∫ p
0
e−x2
dx
)2
]
= 2 ·
(∫ p
0
e−x2
dx
)
·
d
dp
[∫ p
0
e−x2
dx
]
= 2 ·
(∫ p
0
e−x2
dx
)
· e−p2
= 2e−p2
·
∫ p
0
e−x2
dx pre každé p ∈ R
16
(F(p) sme podľa premennej p derivovali ako zloženú funkciu :)). Vo vzniknutom
integrále ďalej zavedieme novú integračnú premennú u substitúciu
x = p·u (premenná p sa vzhľadom na daný integrál správa ako konštanta :))
F′
(p) =
x = p · u
dx = p · du
0 ; 0, p ; 1
= 2e−p2
·
∫ 1
0
e−p2·u2
· p du =
∫ 1
0
2p · e−p2(1+u2)
du.
Ak sa však lepšie pozrieme na integrand v poslednom určitom integrále,
zistíme, že pre každé u ∈ [0, 1] a p ∈ R platí rovnosť
2p · e−p2(1+u2)
=
∂
∂p
(
−
e−p2(1+u2)
1 + u2
)
= −
∂
∂p
(
e−p2(1+u2)
1 + u2
)
:)
(samy si to dobre premyslite ;)). Máme teda pre F′
(p) vyjadrenie
F′
(p) =
∫ 1
0
−
∂
∂p
(
e−p2(1+u2)
1 + u2
)
du = −
∫ 1
0
∂
∂p
(
e−p2(1+u2)
1 + u2
)
du
platné pre každé reálne číslo p. Radi by sme teraz zamenili poradie integrácie
a parciálneho derivovania vo vzniknutom výraze pre F′
(p). Nakoľko funkcia
f(u, p) =
e−p2(1+u2)
1 + u2
je spojitá a spojito diferencovateľná na obdĺžniku [0, 1] × I pre každý reálny
kompaktný interval I, táto zámena je korektná. Dostávame preto
F′
(p) = −
d
dp
[∫ 1
0
e−p2(1+u2)
1 + u2
du
]
pre každé p ∈ R.
Poslednú rovnosť však potom môžeme spätne integrovať podľa premennej p
∫
F′
(p) dp =
∫
−
d
dp
[∫ 1
0
e−p2(1+u2)
1 + u2
du
]
dp
⇓
F(p) = C −
∫ 1
0
e−p2(1+u2)
1 + u2
du, C je integračná konštanta.
17
Posledná identita zrejme platí pre každé reálne číslo p. Špeciálne, voľbou
p = 0 zistíme hodnotu konštanty C, nakoľko
F(0)
(
∫ 0
0 e−x2
dx)
2
=0
= C −
∫ 1
0
1
e−02·(1+u2)
1 + u2
du
⇓
C =
∫ 1
0
1
1 + u2
du = [arctg u]1
0 =
π
4
.
Pre funkciu F(p) máme teda k dispozícii dve vyjadrenia, jednak samotné
definičné, a jednak práve teraz odvodené. Platí teda takáto krásna identita
(∫ p
0
e−x2
dx
)2
=
π
4
−
∫ 1
0
e−p2(1+u2)
1 + u2
du pre každé p ∈ R :).
Túto rovnosť teraz limitujeme pre p → ∞. Keďže v tomto prípade výraz
e−p2(1+u2)
→ 0 rovnomerne pre u ∈ [0, 1] (samy overte :)), napokon dostaneme
(∫ ∞
0
e−x2
dx
)2
=
π
4
−
∫ 1
0
0
1 + u2
du =
π
4
=⇒
∫ ∞
0
e−x2
dx =
√
π
2
:).
Príklad 11
Vypočítajme nevlastný integrál
I =
∫ ∞
0
e−px2
− e−x2
x2
dx
pre hodnoty parametra p > 0.
Riešenie:
V prvom rade poznamenajme, že pre pevne zvolené p > 0 je podintegrálny
výraz e−px2
−e−x2
x2 definovaný pre každé x ∈ (0, ∞), pričom
lim
x→0+
e−px2
− e−x2
x2
= 1 − p
18
(samy overte :)). Ďalej si všimnime, že pre každé x ∈ [0, ∞) a každé p > 0
platí identita
e−px2
− e−x2
x2
= −
∫ p
1
e−ux2
du
(v prípade x = 0 ľavú stranu nahradíme vyššie uvedenou limitou, premyslite
si to ;)). Z tejto analýzy vyplýva, že hľadaný integrál I môžeme pre každé
p > 0 vyjadriť v tvare
I = −
∫ ∞
0
[∫ p
1
e−ux2
du
]
dx.
Ak p = 1, potom zrejme I = 0 (samy si premyslite :)). Nech teraz p > 1 je
nejaká zafixovaná hodnota. Potom funkcia
f(x, u) = e−ux2
je iste spojitá na rovinnom páse [0, ∞) × [1, p]. Naviac, nevlastný integrál
∫ ∞
0
f(x, u) dx =
∫ ∞
0
e−ux2
dx
rovnomerne konverguje (vzhľadom na parameter u) na intervale [1, p]. Tento
fakt je zaručený Weierstrassovým kritériom, pretože
|f(x, u)| = |e−ux2
| ≤ e−x2
pre každé [x, u] ∈ [0, ∞) × [1, p]
a nevlastný integrál
∫ ∞
0
e−x2
dx =
√
π
2
konverguje (Poissonov integrál, pozri
Príklad 10 :)). Tieto skutočnosti potom umožňujú zameniť poradie integrácií
vo vyššie odvodenom výraze pre hľadaný integrál I, konkrétne platí
I = −
∫ p
1
[∫ ∞
0
e−ux2
dx
]
du.
Nechávame na čitateľa, aby sa presvedčil, že rovnaké argumenty fungujú i
pre prípad 1 > p > 0, samozrejme, s rovnakým výsledkom :) (bude však
nutné sa vysporiadať s nevlastným integrálom
∫ ∞
0
e−px2
dx ;)). Po vykonanej
zámene však už vieme stanoviť hodnotu I. Vnútorný nevlastný integrál sa
dá substitúciou s = x ·
√
u previesť na Poissonov integrál
∫ ∞
0
e−ux2
dx =
s = x ·
√
u
ds =
√
u · dx
0 ; 0, ∞ ; ∞
=
1
√
u
·
∫ ∞
0
e−s2
ds =
√
π
2
√
u
:).
19
Spätným dosadením do získaného vyjadrenia pre I dostaneme
I = −
∫ p
1
√
π
2
√
u
du = −
√
π
2
·
[
2
√
u
]p
1
=
√
π · (1 −
√
p).
Nakoniec poznamenajme, že získaný výraz platí i v prípade hodnoty p = 1,
teda pre každé p > 0 máme
I =
∫ ∞
0
e−px2
− e−x2
x2
dx =
√
π −
√
πp :).
Príklad 12
Dokážme, že funkcia
y(t) =
∫ ∞
0
e−tx
1 + x2
dx
vyhovuje na intervale (0, ∞) lineárnej diferenciálnej rovnici y′′
+ y = 1/t.
Riešenie:
Nech [c, d] ⊂ (0, ∞) je nejaký kompaktný interval. Funkcie
f(x, t) =
e−tx
1 + x2
, f′
t(x, t) = −
x · e−tx
1 + x2
, f′′
tt(x, t) =
x2
· e−tx
1 + x2
sú zrejme spojité na rovinnom páse [0, ∞)×[c, d]. Okrem toho pre každý bod
[x, t] ∈ [0, ∞) × [c, d] platia nerovnosti
|f(x, t)| ≤ e−dx
, |f′
t(x, t)| ≤ e−dx
, |f′′
tt(x, t)| ≤ e−dx
(samy overte :)) a nevlastný integrál
∫ ∞
0
e−dx
dx = 1/d konverguje. Podľa
Weierstrassovho kritéria potom nevlastné integrály
∫ ∞
0
f(x, t) dx =
∫ ∞
0
e−tx
1 + x2
dx,
∫ ∞
0
f′
t(x, t) dx = −
∫ ∞
0
x · e−tx
1 + x2
dx,
∫ ∞
0
f′′
tt(x, t) dx =
∫ ∞
0
x2
· e−tx
1 + x2
dx
20
konvergujú rovnomerne na intervale [c, d]. To potom umožňuje efektívne počítať
derivácie funkcie y(t) pre t ∈ [c, d]. Konkrétne, platí
y′
(t) =
∫ ∞
0
∂
∂t
(
e−tx
1 + x2
)
dx = −
∫ ∞
0
x · e−tx
1 + x2
dx,
y′′
(t) =
∫ ∞
0
∂2
∂t2
(
e−tx
1 + x2
)
dx =
∫ ∞
0
x2
· e−tx
1 + x2
dx
(samy overte :)). Následne, pre každé t ∈ [c, d] máme
y′′
(t) + y(t) =
∫ ∞
0
e−tx
1 + x2
dx +
∫ ∞
0
x2
· e−tx
1 + x2
dx =
∫ ∞
0
e−tx
dx =
1
t
(samy si premyslite detaily výpočtu ;)). Teda funkcia y(t) na intervale [c, d]
skutočne vyhovuje diferenciálnej rovnici v zadaní príkladu. A keďže interval
[c, d] bol zvolený ľubovoľne, tento záver platí i na celom (0, ∞) :).
Príklad 13 (ťažší)
Nájdime hodnotu nevlastného integrálu
I =
∫ ∞
0
e−x
·
sin x
x
dx.
Riešenie:
Pri tomto type príkladov obvykle býva pomerne náročné sa nejako „chytiť
, nakoľko v predloženom integrále sa nevyskytuje žiadny parameter :).
Štandardný postup pri riešení takýchto úloh spočíva v zostrojení vhodného
parametrického integrálu, ktorý by pre istú hodnotu parametra prechádzal
na náš skúmaný integrál. V tomto prípade budeme pracovať s integrálom
F(p) =
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx
s hodnotami parametra p ∈ [0, ∞). Ihneď vidíme, že pre hľadanú hodnotu
I platí I = F(1) :). Budeme sa preto snažiť odvodiť explicitnú formulu pre
funkčnú hodnotu F(p) pre každé p > 0 (prípad p = 0 preskúmame osobitne
21
v nasledujúcom príklade :)). V prvom rade dokážeme, že funkcia F(p) je na
intervale [0, ∞) dobre definovaná, t.j., pre každé p ≥ 0 daný nevlastný parametrický
integrál konverguje. Ukážeme to pomocou Dirichletovho kritéria
pre nevlastné integrály (pripomeňte si z Matematickej analýzy I ;)). Označme
f(x) = e−px
· sin x, g(x) =
1
x
.
Funkcia g(x) je monotónna na intervale (0, ∞) a limx→∞ g(x) = 0. Ďalej
funkcia f(x) je iste integrovateľná na každom intervale [0, A], A > 0, pričom
určitý integrál
∫ A
0
f(x) dx, ako funkcia hornej hranice A, je na (0, ∞)
rovnomerne ohraničený, t.j., existuje K ∈ R také, že pre každé A > 0 platí
∫ A
0
f(x) dx ≤ K.
Uvedená nerovnosť je splnená napríklad pre K = 3. Vyplýva to z výpočtov
∫ A
0
f(x) dx =
∫ A
0
e−px
· sin x dx =
[
−
e−px
p2 + 1
· (p sin x + cos x)
]A
0
=
1 − e−pA
· (p sin A + cos A)
p2 + 1
pre každé A > 0,
∫ A
0
f(x) dx =
1 − e−pA
· (p sin A + cos A)
p2 + 1
≤
1 +
≤1
e−pA
·(p ·
≤1
| sin A| +
≤1
| cos A|)
p2 + 1
≤
1 + (p + 1)
p2 + 1
=
p + 2
p2 + 1
< 3 pre každé A > 0
(samy detailne overte všetky kroky ;)). Podľa Dirichletovho kritéria to potom
znamená, že nevlastný integrál
∫ ∞
0
f(x) · g(x) dx =
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx = F(p)
(bodovo) konverguje pre každú hodnotu parametra p ∈ [0, ∞). Ukážeme
ďalej, že táto konvergencie je dokonca rovnomerná na každom kompaktnom
22
podintervale v (0, ∞). Skutočne, nech a, b sú ľubovoľné kladné reálne čísla s
a < b. Keďže sin x
x
≤ 1 pre každé x ∈ [0, ∞) (samy si premyslite ;)), platí
e−px
·
sin x
x
= e−px
·
sin x
x
≤ e−ax
pre každé [x, p] ∈ [0, ∞) × [a, b].
Okrem toho, nevlastný integrál
∫ ∞
0
e−ax
dx = 1
a
konverguje. Podľa Weierstrassovho
kritéria potom nevlastný parametrický integrál F(p) rovnomerne
konverguje na intervale [a, b]. Z toho vyplýva, že funkcia F(p) je spojitá na
(0, ∞). Ukážeme, že je na tomto intervale dokonca diferencovateľná. Máme
∂
∂p
(
e−px
·
sin x
x
)
= −e−px
· sin x pre každé [x, p] ∈ [0, ∞) × (0, ∞).
Z vyššie uvedených výpočtov dostávame
∫ ∞
0
e−px
· sin x dx = lim
A→∞
∫ A
0
e−px
· sin x dx
= lim
A→∞
[
1 − e−pA
· (p sin A + cos A)
p2 + 1
]
=
1
p2 + 1
pre každé p ∈ (0, ∞). Ďalej na základe analogických argumentov ako pre
integrál F(p) platí, že nevlastný integrál
∫ ∞
0
e−px
· sin x dx konverguje rovnomerne
vzhľadom na p na každom kompaktnom podintervale v (0, ∞) (pokúste
sa samy overiť :)). Tieto pozorovania nám potom zaručujú existenciu
derivácie F′
(p) pre každé p ∈ (0, ∞) s vyjadrením
F′
(p) =
d
dp
[∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx
]
=
∫ ∞
0
∂
∂p
(
e−px
·
sin x
x
)
dx
= −
∫ ∞
0
e−px
· sin x dx = −
1
p2 + 1
.
Spätnou integráciou poslednej rovnosti dostávame
F(p) = −
∫
1
p2 + 1
dp = − arctg p + C, p ∈ (0, ∞).
Hodnotu integračnej konštanty C získame z pozorovania limp→∞ F(p) = 0.
Táto identita je dôsledkom nerovnosti
|F(p)| =
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx ≤
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
≤1
dx ≤
∫ ∞
0
e−px
dx =
1
p
23
platnej pre každé p ∈ (0, ∞) (samy si premyslite :)). Teda
lim
p→∞
F(p) = C − lim
p→∞
arctg p
⇓
0 = C −
π
2
=⇒ C =
π
2
.
Napokon dostávame finálnu formulu pre funkciu F(p)
F(p) =
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx =
π
2
− arctg p, p ∈ (0, ∞) :).
Z nej potom ihneď vyplýva hodnota hľadaného integrálu I (pre p = 1)
I =
∫ ∞
0
e−x
·
sin x
x
dx =
π
4
:).
Príklad 14 (ťažší)
Pomocou výsledkov v Príklade 13 určme hodnotu tzv. Dirichletovho integrálu
I =
∫ ∞
0
sin x
x
dx.
Riešenie:
V predchádzajúcom príklade sme skúmali parametrický integrál
F(p) =
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx
a ukázali sme, že rovnomerne konverguje (vzhľadom na parameter p) na intervale
(0, ∞). Na základe tejto skutočnosti sme potom odvodili jeho explicitné
vyjadrenie
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx =
π
2
− arctg p, p ∈ (0, ∞).
24
Limitovaním poslednej rovnosti pre p → 0+
dostaneme
lim
p→0+
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx = lim
p→0+
(π
2
− arctg p
)
=
π
2
.
Na druhej strane, náš integrál I konverguje, ako sme pomocou Dirichletovho
kritéria dokázali v Príklade 13, pričom I = F(0). Takže
I =
∫ ∞
0
sin x
x
dx =
∫ ∞
0
lim
p→0+
(
e−px
·
sin x
x
)
dx.
Prirodzene teda očakávame, že by mohla platiť rovnosť
lim
p→0+
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx
???
=
∫ ∞
0
lim
p→0+
(
e−px
·
sin x
x
)
dx,
ktorá by ihneď implikovala I = π
2
a problém by bol vyriešený :). Poslednú
zámenu limitovania a integrácie však zatiaľ nemáme ničím zaručenú (dokázali
sme rovnomernú konvergenciu, a teda i spojitosť funkcie F(p) na každom
kompaktnom intervale v (0, ∞), nie však v [0, ∞)). Napriek tomu táto zámena
je korektná a my to teraz dokážeme využitím iných argumentov :).
Nech A > 0 je pevne dané. Ukážeme, že pre každé p ∈ (0, ∞) platí nerovnosť
∫ ∞
A
e−px
·
sin x
x
dx ≤
1
A
. (6)
Z predchádzajúceho príkladu dostávame identitu
∫ ∞
A
e−px
·sin x dx =
[
−
e−px
p2 + 1
· (p sin x + cos x)
]∞
A
=
e−pA
p2 + 1
·(p sin A+cos A)
(samy overte :)). Okrem toho nevlastný integrál
∫ ∞
A
e−px
·sin x dx konverguje
rovnomerne vzhľadom na parameter p na každom kompaktnom podintervale
v (0, ∞) (využijú sa analogické argumenty ako pre nevlastný integrál
∫ ∞
0
e−px
·
sin x dx v Príklade 13, samy si to premyslite ;)). To potom znamená, že pre
každú dvojicu b > a > 0 je korektná zámena integrácií
∫ ∞
A
[∫ b
a
e−px
· sin x dp
]
dx =
∫ b
a
[∫ ∞
A
e−px
· sin x dx
]
dp
(samy si dobre premyslite :)). Dosadením za integrál
∫ ∞
A
e−px
·sin x dx máme
∫ ∞
A
[∫ b
a
e−px
· sin x dp
]
dx =
∫ b
a
e−pA
p2 + 1
· (p sin A + cos A) dp.
25
Na ľavej strane poslednej rovnosti vykonáme integráciu podľa premennej p
∫ ∞
A
[
−e−px
·
sin x
x
]b
a
dx =
∫ b
a
e−pA
p2 + 1
· (p sin A + cos A) dp
⇓
∫ ∞
A
(
e−ax
− e−bx
)
·
sin x
x
dx =
∫ b
a
e−pA
p2 + 1
· (p sin A + cos A) dp. (7)
Pravú stranu poslednej rovnosti sa pokúsime v absolútnej hodnote vhodne
odhadnúť zhora. Využijeme pri tom identitu a následne nerovnosť
(p2
+ 1) − (p sin A + cos A)2
= (p2
+ 1) − (p2
sin2
A + cos2
A + 2p sin A cos A)
= p2
· (1 − sin2
A)
cos2 A
+ (1 − cos2
A)
sin2 A
−2p sin A cos A = (p cos A + sin A)2
≥ 0
⇓
(p sin A + cos A)2
≤ p2
+ 1 ≤ (p2
+ 1)2
⇓ po odmocnení ⇓
|p sin A + cos A| ≤ p2
+ 1, teda
|p sin A + cos A|
p2 + 1
≤ 1
(samy overte jednotlivé kroky :)). Potom platí
∫ b
a
e−pA
p2 + 1
· (p sin A + cos A) dp ≤
∫ b
a
e−pA
p2 + 1
· (p sin A + cos A) dp
≤
∫ b
a
e−pA
·
|p sin A + cos A|
p2 + 1
≤1
dp ≤
∫ b
a
e−pA
dp =
e−aA − e−bA
A
≤
≤1
e−aA
A
≤
1
A
(samy pozorne overte jednotlivé kroky :)). Využitím tejto nerovnosti v identite
(7) dostaneme
∫ ∞
A
(
e−ax
− e−bx
)
·
sin x
x
dx ≤
1
A
.
26
Nakoľko posledný integrál konverguje rovnomerne vzhľadom na premennú
b na intervale [a, ∞) (pokúste sa samy dokázať pomocou Weierstrassovho
kritéria :)), limitovaním pre b → ∞ máme
lim
b→∞
∫ ∞
A
(
e−ax
− e−bx
)
·
sin x
x
dx ≤
1
A
⇓
∫ ∞
A
lim
b→∞
(
e−ax
− e−bx
)
·
sin x
x
dx ≤
1
A
⇓
∫ ∞
A
e−ax
·
sin x
x
dx ≤
1
A
.
Posledná nerovnosť zrejme platí pre každé a > 0. Tým sme dokázali reláciu
v (6) (po premennovaní a na p :)). Už sa blížime do cieľa :). Nerovnosť v (6)
nám totiž umožňuje vykonať nasledujúce odhady výrazu
∫ A
0
sin x
x
dx − F(p)
∫ A
0
sin x
x
dx − F(p) =
∫ A
0
sin x
x
dx −
∫ ∞
0
e−px
·
sin x
x
dx
=
∫ A
0
sin x
x
dx −
∫ A
0
e−px
·
sin x
x
dx −
∫ ∞
A
e−px
·
sin x
x
dx
=
∫ A
0
(1 − e−px
) ·
sin x
x
dx −
∫ ∞
A
e−px
·
sin x
x
dx
≤
∫ A
0
(1 − e−px
) ·
sin x
x
dx +
∫ ∞
A
e−px
·
sin x
x
dx
≤ 1
A
≤
∫ A
0
(1 − e−px
) ·
sin x
x
dx +
1
A
(samy overte jednotlivé kroky :)). Pre každé p > 0 teda platí odhad
∫ A
0
sin x
x
dx − F(p) ≤
∫ A
0
(1 − e−px
) ·
sin x
x
dx +
1
A
.
Využitím elementárnej nerovnosti 0 ≤ 1 − e−u
≤ u pre každé u ≥ 0 (samy
dokážte pomocou vhodného obrázka :)) ho môžeme ešte zlepšiť, pretože
∫ A
0
(1 − e−px
) ·
sin x
x
dx ≤
∫ A
0
(1 − e−px
)
≤px
·
sin x
x
≤1
dx ≤
∫ A
0
p · x dx = p ·
A2
2
.
27
To znamená, že napokon máme
∫ A
0
sin x
x
dx − F(p) ≤ p ·
A2
2
+
1
A
.
No a konečne prichádzame do záverečného dejstva :). Túto nerovnosť teraz
limitujeme najprv pre p → 0+
∫ A
0
sin x
x
dx − lim
p→0+
F(p) ≤
1
A
,
a následne pre A → ∞
∫ ∞
0
sin x
x
dx − lim
p→0+
F(p) ≤ 0,
z čoho ihneď vyplýva vytúžená identita
∫ ∞
0
sin x
x
dx = lim
p→0+
F(p) =
π
2
:).
Príklad 15
Priamo z definície gama funkcie dokážme, že Γ
(1
2
)
=
√
π.
Riešenie:
Pre hodnotu funkcie Γ(t) v bode t = 1/2 podľa definície platí
Γ
(
1
2
)
=
∫ ∞
0
x
1
2
−1
e−x
dx =
∫ ∞
0
e−x
·
1
√
x
dx.
Použitím substitúcie u =
√
x prejde posledný integrál na tvar
∫ ∞
0
e−x
·
1
√
x
dx =
u =
√
x
du = 1
2
√
x
dx
0 ; 0, ∞ ; ∞
= 2 ·
∫ ∞
0
e−u2
du.
Vzniknutý nevlastný integrál je Poissonov integrál a jeden spôsob jeho výpočtu
sme už predviedli v Príklade 10 :). Ukážeme teraz iný spôsob jeho
28
určenia s využitím teórie nevlastných dvojných integrálov. Najprv sa presvedčíme
o samotnej konvergencii Poissonovho integrálu. Z Maclaurinovho
rozvoja funkcie f(x) = ex2
máme nerovnosť
eu2
=
∞∑
n=0
u2n
n!
= 1 + u2
+
u4
2
+ · · · ≥ 1 + u2
⇓
e−u2
≤
1
1 + u2
pre každé u ∈ R
(samy si to dobre premyslite :)). A keďže nevlastný integrál
∫ ∞
0
1
1 + u2
du = [arctg u]∞
0 =
π
2
konverguje, je konvergentný i Poissonov integrál. Potom môžeme písať
(∫ ∞
0
e−u2
du
)2
=
∫ ∞
0
e−v2
dv ·
∫ ∞
0
e−w2
dw =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(v2+w2)
dvdw
(premenovanie integračnej premennej nemá vplyv na hodnotu integrálu ;)).
Na posledný dvojnásobný integrál aplikujeme transformáciu do polárnych
súradníc, konkrétne
v = ρ cos φ, w = ρ sin φ.
Nakoľko integrujeme cez celý prvý kvadrant, polárny uhol φ prebieha interval
[0, π/2], kým sprievodič ρ postupne nadobúda všetky nezáporné hodnoty, t.j.,
(∫ ∞
0
e−u2
du
)2
=
∫ π
2
0
[∫ ∞
0
e−ρ2
· ρ dρ
]
dφ =
∫ π
2
0
dφ ·
∫ ∞
0
e−ρ2
· ρ dρ
=
π
2
·
1
2
=
π
4
:)
(detaily výpočtu nechávame na čitateľa ;)). Pre hodnotu Poissonovho integrálu
a následne i pre hľadanú hodnotu gama funkcie potom dostaneme
∫ ∞
0
e−u2
du =
√
π
2
, Γ
(
1
2
)
=
√
π.
29
Príklad 16
Dokážme identitu Γ(t + 1) = t · Γ(t) pre každé t ∈ (0, ∞).
Riešenie:
Na nevlastný integrál Γ(t + 1), t > 0, vhodne aplikujeme metódu per-partes.
Postupne dostávame (samy overte detaily výpočtu :))
Γ(t + 1) =
∫ ∞
0
xt
· e−x
dx =
u′
= e−x
, u = −e−x
,
v = xt
, v′
= t · xt−1
=
[
−xt
· e−x
]∞
0
0
+
∫ ∞
0
t · xt−1
· e−x
dx = t ·
∫ ∞
0
xt−1
· e−x
dx = t · Γ(t).
Príklad 17
S využitím beta funkcie nájdime hodnotu určitého integrálu
I =
∫ a
0
x2
√
a2 − x2 dx, a > 0.
Riešenie:
V predloženom určitom integrále vykonáme substitúciu x = a
√
t. Dostaneme
I =
x = a
√
t
dx = a
2
√
t
dt
0 ; 0, a ; 1
=
a4
2
·
∫ 1
0
√
t ·
√
1 − t dt =
a4
2
·
∫ 1
0
t
1
2 · (1 − t)
1
2 dt.
Posledný určitý integrál je však hodnota beta funkcie v bode [3
2
, 3
2
], t.j.,
I =
a4
2
· B
(
3
2
,
3
2
)
=
a4
2
·
Γ
(3
2
)
· Γ
(3
2
)
Γ
(3
2
+ 3
2
) =
a4
2
·
[1
2
· Γ
(1
2
)]2
Γ(3)
30
=
a4
2
·
[1
2
·
√
π
]2
2!
=
πa4
16
:).
Určitý integrál I možno samozrejme vypočítať i priamou integráciou (samy
overte náročnosť oboch postupov :)).
31