Zápočtová písemka z Geometrie 2
Varianta I
Datum: 5. 12. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) dvou mimoběžek p, q ⊆ A5, které nemají žádnou příčku;
(b) dvou podprostorů B, C ⊆ A3, pro které platí dim Z(B) + dim Z(C) = dim Z(B + C);
(c) čtyř bodů v A4, které nejsou v obecné poloze.
2) (5 b.) Zjistěte polohu podprostorů U, V v A4 a vypočítejte jejich případný průnik a součet.
Součet přitom vyjádřete neparametricky.
U : x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x4 = 0
V : X = [0, 2, 2, −2] + s(1, 0, 0, 0) + t(3, 5, −5, 0)
3) Nepravidelný čtyřstěn ABCD je dán čtveřicí vrcholů A[6, −1, 3], B[3, 5, 1], C[4, 1, −2] a
D[3, −1, −2].
(a) (1 b.) Určete souřadnice těžiště čtyřstěnu.
(b) (2 b.) Určete neparametrické vyjádření roviny , která obsahuje stranu AB a je rovnoběžná
se stranou CD.
(c) (2 b.) Pro body K a L má platit (K; B, D) = −1 a (L; C, A) = 2. Vypočítejte souřadnice
obou bodů.
Řešení
1. (a) Neexistují, stačí vzít libovolný bod A ∈ p a B ∈ q – přímka AB je pak příčkou těchto
mimoběžek.
2. B1 : X = [0, 0, 0, 0] + s(1, −2, 0, 1) + t(0, 1, −1, 0)
B1 ∩ B2 : X = [−2, 2, 2, −2] + t(0, 1, −1, 0)
B1 + B2 : x2 + x3 + 2x4 = 0
3. (a) T[4, 1, 0]
(b) : 2x − y − 6z + 5 = 0
(c) K[3, 2, −1
2
], L[8, −3, 8]