Domácí úkol z prvního cvičení
Příklad 1. Nalezněte matici přechodu od báze U k bázi V, je-li:
• U = {u1; u2; u3} = {(2, 1, 0); (0, 3, 5); (5, −10, 6)}
• V = {v1; v2; v3} = {(2, −5, −10); (−6, 25, −7); (19, −28, 18)}
Řešení. Ukážeme dva různé postupy řešení, nejprve z definice matice přechodu, pak přechodem
přes standardní bázi (preferovanější).
1. Z definice matice přechodu hledáme koeficienty a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R takové, že
bude splněna soustava rovnic
v1 = au1 + bu2 + cu3 (2, −5, −10) = a(2, 1, 0) + b(0, 3, 5) + c(5, −10, 6)
v2 = du1 + eu2 + fu3 ⇐⇒ (−6, 25, −7) = d(2, 1, 0) + e(0, 3, 5) + f(5, −10, 6)
v3 = gu1 + hu2 + iu3 (19, −28, 18) = g(2, 1, 0) + h(0, 3, 5) + i(5, −10, 6)
Rozepsáním rovnic získáme tři soustavy rovnic, kde má každá soustava tři rovnice a
tři neznámé.
2 = 2a + 5c −6 = 2d + 5f 19 = 2g + 5i
−5 = a + 3b − 10c 25 = d + 3e − 10f −28 = g + 3h − 10i
−10 = + 5b + 6c −7 = + 5e + 6f 18 = + 5h + 6i
Je vidět, že se prakticky jedná o jednu soustavu s odlišnými absolutními členy a jiným
označením neznámých. Proto můžeme řešit všechny tři soustavy naráz úpravou
levého bloku následující matice na schodovitý tvar, popř. až na jednotkovou matici:


2 0 5 2 −6 19
1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18

 ∼ · · · ∼


1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18
0 0 1 0 −2 3

 ∼ · · ·
· · · ∼


1 0 0 1 2 2
0 1 0 −2 1 0
0 0 1 0 −2 3


Pravý blok upravené matice (oddělený dvojitou čarou) je zřejmě hledanou maticí
přechodu od báze U k bázi V, neboť se vlastně jedná o matici řešení soustav ve
tvaru:


1 0 0 a d g
0 1 0 b e h
0 0 1 c f i

 , (pokud nedošlo k výměně sloupců!)
Hledaná matice přechodu je tedy


1 2 2
−2 1 0
0 −2 3

.
2. Naším úkolem bude najít matici A tak, aby platilo
(x)U = A · (x)V (1)
Místo abychom určovali přímo matici A, zkusíme určit nejdříve matice přechodu ze
standardní báze E do U, resp. V. Hledáme proto matice B, C takové, že bude platit
(x)E = B · (x)U (2)
(x)E = C · (x)V (3)
Určíme matice B, C. Když např. do (x)U dosadíme postupně souřadnice vektorů
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (toto jsou vlastně souřadnice vektorů báze U vzhledem k
bázi U!), musíme na levé straně postupně dostat souřadnice bázových vektorů z U
vzhledem ke standardní bázi E. Tyto souřadnice tedy musí být v matici B postupně
ve sloupcích. Obdobnou úvahou pro matici C získáme podobu jednotlivých matic
(ověřte si, že skutečně po dosazení vektorů (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) za (x)U do obou
rovnic dostaneme skutečně souřadnice bázových vektorů U, resp. V vzhledem k E!):
B =


2 0 5
1 3 −10
0 5 6

 , C =


2 −6 19
−5 25 −28
−10 −7 18


Porovnáním maticových rovnic (2) a (3) dostáváme rovnost, kterou dále upravíme
na hledaný tvar ve vyjádření (1):
B · (X)U = C · (X)V
(X)U = (B−1
· C)
A
· (X)V
Konkrétní tvar matice A dostaneme např. tak, že vedle sebe postupně napíšeme do
oddělených bloků matice B a C, následně pak upravíme blok matice B na jednotkovou
matici – v pravém bloku pak dostaneme matici A = B−1
· C.


2 0 5 2 −6 19
1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18

 ∼ · · · ∼


1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18
0 0 1 0 −2 3

 ∼ · · ·
· · · ∼


1 0 0 1 2 2
0 1 0 −2 1 0
0 0 1 0 −2 3


(Všimněte si, že předchozí úpravy matic jsou stejné jako v prvním způsobu řešení.
Algoritmicky se dá popis hledání matice přechodu popsat jednoduše – vektory první
báze umístíme do sloupců v levém bloku, vektory druhé báze do pravého bloku, upravíme
levý blok na jednotkovou matici a v pravém bloku dostaneme hledanou matici
přechodu. Odvození tohoto algoritmu se však v obou způsobech liší.)
Hledaná matice přechodu je tedy


1 2 2
−2 1 0
0 −2 3

.