Domácí úkol z třetího cvičení
Příklad 3. Skripta, příklad 22a, 22d na straně 120. V A5 je dán podprostor B1
(resp. B2). Je-li dán parametricky (resp. neparametricky), najděte jeho neparametrické
(resp. parametrické) vyjádření:
(a) B1 : X = [2, 1, −3, 3, 1] + r(1, 1, 2, 1, 3) + s(1, 2, 1, 3, 1);
(d) B2 : 2x1 + 4x2 + 3x3 − x4 + 2x5 = 2; 3x1 + 3x2 + 3x3 − x4 + 2x5 = 1.
Řešení. (a) Protože popisovaný podprostor je dimenze 2 (má dva směrové vektory), hledáme
soustavu (přesněji řečeno její koeficienty) tří rovnic o pěti neznámých, jejíž
řešením je dané parametrické vyjádření.
0 = a1x1 + b1x2 + c1x3 + d1x4 + e1x5 + f1
0 = a2x1 + b2x2 + c2x3 + d2x4 + e2x5 + f2 ( )
0 = a3x1 + b3x2 + c3x3 + d3x4 + e3x5 + f3
Směrové vektory podprostoru B1 musí být řešením zhomogenizované soustavy k soustavě
( ) (tj. soustavy ( ) bez absolutních členů f1, f2 a f3) – pro koeficienty a, b, c, d, e
libovolné rovnice soustavy ( ) tedy musí platit následující:
0 = a + b + 2c + d + 3e
0 = a + 2b + c + 3d + e
(Koeficienty této soustavy tvoří samozřejmě souřadnice směrových vektorů.)
Řešením této soustavy dostáváme nekonečně mnoho různých řešení – z nich vybereme
tři libovolné nezávislé (např. zvolením jednoho parametru jako 1 a ostatních
jako nula).
1 1 2 1 3
1 2 1 3 1
=⇒
a = −3t + u − 5v
b = t − 2u + 2v
c = t
d = u
e = v
=⇒
(a1, b1, c1, d1, e1) = (−3, 1, 1, 0, 0)
(a2, b2, c2, d2, e2) = (1, −2, 0, 1, 0)
(a3, b3, c3, d3, e3) = (−5, 2, 0, 0, 1)
Výsledky doplníme do soustavy ( ):
0 = −3x1 + x2 + x3 + f1
0 = x1 − 2x2 + x4 + f2
0 = −5x1 + 2x2 + x5 + f3
Zbývá dopočítat absolutní členy rovnic f1, f2, f3 – ty zjistíme dosazením souřadnic
bodu v parametrickém vyjádření B1 do soustavy ( ).
0 = −3 · 2 + 1 − 3 + f1
0 = 2 − 2 · 1 + 3 + f2
0 = −5 · 2 + 2 · 1 + 1 + f3
Výsledné neparametrické vyjádření podprostoru B1 je tedy:
B1 : −3x1 + x2 + x3 + 8 = 0
x1 − 2x2 + x4 − 3 = 0
−5x1 + 2x2 + x5 + 7 = 0
(Doporučuji udělat zkoušku – bod ze zadání dosadíme do výsledných rovnic a směrové
vektory ze zadání dosadíme do zhomogenizovaných výsledných rovnic.)
(d) Přechod od neparametrického vyjádření k parametrickému je podstatně jednodušší
– prostým vyřešením soustavy rovnic (předem si povšimneme, že dim B2 = 3, neboť
jsou v parametrickém vyjádření dvě rovnice a pohybujeme se v A5, proto
dim B2 = dim A5 − 2 = 3).
2 4 3 −1 2 2
3 3 3 −1 2 1
=⇒
x1 = −1 + t
x2 = t
x3 = u
x4 = −4 + 6t + 3u + 2v
x5 = v
Souřadnice prvního směrového vektoru pak tvoří koeficienty vystupující u parametru
t (tedy vektor (1, 1, 0, 6, 0)), souřadnice druhého směrového vektoru tvoří koeficienty
vystupující u parametru u (tedy vektor (0, 0, 1, 3, 0)) a souřadnice třetího směrového
vektoru jsou koeficienty vystupující u parametru v (tedy vektor (0, 0, 0, 2, 1)).
Souřadnice bodu, kterým prochází podprostor B2, tvoří absolutní členy v řešení soustavy
(tedy bod [−1, 0, 0, −4, 0]).
Výsledné parametrické vyjádření je tedy:
B2 : X = [−1, 0, 0, −4, 0] + t(1, 1, 0, 6, 0) + u(0, 0, 1, 3, 0) + v(0, 0, 0, 2, 1)
(Doporučuji opět udělat zkoušku – bod z výsledku dosadíme do rovnic ze zadání a
směrové vektory z výsledku dosadíme do zhomogenizovaných rovnic ze zadání.)