Domácí úkol z pátého cvičení
Příklad 5. Skripta, příklad 57e na straně 127. Vyšetřete vzájemnou polohu podprostorů
B, C ⊆ A5 a určete jejich průnik. Přitom:
• B : X = [2, 0, 2, 0, 1] + r(2, 1, 0, 0, 0) + s(0, 0, 1, 2, 3);
• C : X = [1, 0, 0, 1, 0] + t(1, 0, 0, 0, 0) + q(1, 1, 0, 0, 0) + k(1, 1, 0, 0, 1).
Řešení. Použijeme známý algoritmus:
1. Převést vyjádření obou podprostorů na parametrické. Zřejmě splněno.
2. Upravíme na schodovitý tvar matici, která je složená z vektorů obou zaměření
a z vektoru, jehož počáteční bod leží v jednom podprostoru a
koncový ve druhém.








1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 1
2 1 0 0 0
0 0 1 2 3
1 0 2 −1 1








∼ · · · ∼








1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 2 3
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1








3. Určíme vzájemnou polohu obou podprostorů. Protože se vektor „pod čarou“
nevynuloval, platí B∩C = ∅. Z toho, že „nad čarou“ zůstaly čtyři nevynulované řádky
(což není rovno dimenzi většího z obou podprostorů, totiž tři), plyne, že jsou B a C
mimoběžné podprostory s jedním společným směrem. Ten dostaneme jako řešení následující
vektorové rovnice (podobnou rovnici jsme řešili v minulém domácím úkolu,
když jsme chtěli zjistit průnik, tehdy jsme však brali celá parametrická vyjádření,
tady bereme jen vektory):
r
b1
(2, 1, 0, 0, 0) +s
b2
(0, 0, 1, 2, 3) = t
c1
(1, 0, 0, 0, 0) +q
c2
(1, 1, 0, 0, 0) +k
c3
(1, 1, 0, 0, 1)
(0, 0, 0, 0, 0) = t · c1 + q · c2 + k · c3 − r · b1 − s · b2
Vzniklou homogenní soustavu pěti rovnic o pěti neznámých řešíme.






1 1 1 −2 0
0 1 1 −1 0
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 −2
0 0 1 0 −3






=⇒
t = a
q = a
k = 0
r = a
s = 0
Abychom dostali hledaný společný směr, musíme řešení dosadit do některé strany
výchozí vektorové rovnice. Např. tedy:
a(2, 1, 0, 0, 0) + 0(0, 0, 1, 2, 3) = (2a, a, 0, 0, 0)
Závěrem můžeme konstatovat, že podprostory B, C jsou mimoběžné a mají společný
jeden směr generovaný vektorem (2, 1, 0, 0, 0).