Domácí úkol ze sedmého cvičení
Příklad 7. Skripta, příklad 65 na straně 129. V A3 určete rovnici roviny , která
obsahuje přímku p : 2x − z = 0, x + y − z + 5 = 0 a
1. prochází bodem A = [1, 2, 1],
2. je rovnoběžná s přímkou q : X = [0, 2, −1] + t(7, −1, 4).
Řešení. Úlohu jde vyřešit i tak, že vyjádříme přímku p parametricky a rovnici hledané roviny
určíme „středoškolským“ způsobem. Tady ale ukážeme řešení využívající svazek rovin
(dvě rovnice přímky p vlastně představují dvě roviny, které určují svazek rovin 1. druhu,
kde je osou svazku přímka p). Obecná rovnice roviny pak bude lineární kombinací levých
stran rovnic zadávajících přímku p. Můžeme proto psát:
: λ1(2x − z) + λ2(x + y − z + 5) = 0
. 1. Dosazením souřadnic bodu A dostáváme rovnici λ1 + 7λ2 = 0. Této rovnici vyhovuje
např. uspořádaná dvojice (λ1, λ2) = (7, −1). Rovnice roviny A je proto:
A : 7(2x − z) − (x + y − z + 5) = 13x − y − 6z − 5 = 0
.
2. V zaměření hledané roviny q musí ležet i směrový vektor přímky q, a proto souřadnice
tohoto vektoru musí vyhovovat zhomogenizované obecné rovnici roviny. Tato
rovnice je ale zřejmě λ1(2x − z) + λ2(x + y − z) = 0. Dosazením souřadnic směrového
vektoru přímky q dostáváme rovnici 10λ1 + 2λ2 = 0 a této rovnici vyhovuje např.
uspořádaná dvojice (λ1, λ2) = (−1, 5). Rovnice roviny q je proto:
q : −(2x − z) + 5(x + y − z + 5) = 3x + 5y − 4z + 25 = 0
.