1. Úvod do studia stochastických procesů
Při studiu základních partií počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky se nebere do úvahy závislost
náhodných veličin na čase. Zkoumá se pravděpodobnost jevů definovaných pomocí náhodných veličin
nezávisle na čase. Jakmile však vezmeme do úvahy i časový vývoj náhodných veličin, dostáváme se do
oblasti stochastických procesů.
Stochastické procesy nacházejí uplatnění v celé řadě oborů, např. v ekonomii, bankovnictví, biologii,
klimatologii, technice, demografii i jinde. Teorie stochastických procesů se začala vytvářet na počátku 20.
století a podíleli se na ni mnozí význační matematici, např. Markov, Kolmogorov, Chinčin, Cramér a jiní.
Zvláštním typem stochastických procesů jsou markovské řetězce. Základy jejich teorie položil ruský
matematik Andrej Andrejevič Markov (1856 – 1922).
Pro markovský řetězec je charakteristické,
že jeho budoucí stav závisí pouze na stavu přítomném
a nikoliv na stavech minulých. Jde o tzv. proces bez paměti.
1.1. Motivace: V této kapitole
zavedeme pojem stochastického procesu,
naučíme se rozlišovat stochastický proces
s diskrétním časem a spojitým časem
a stochastický proces
s diskrétními stavy a spojitými stavy,
budeme definovat pravděpodobnostní rozložení stochastického procesu,
poznáme vlastnosti pravděpodobnostního rozložení stochastického procesu,
naučíme se klasifikovat stochastické procesy podle různých kritérií.
1.2. Definice: Definice stochastického procesu (SP)
Nechť ( )ΑΩ, je měřitelný prostor, R množina reálných čísel, ≠Τ ∅ neprázdná množina (nejčastěji jí přisuzujeme význam
času). Nechť zobrazení RT:X →×Ω má tyto dvě vlastnosti:
a) Tt ∈∀ je X(.,t) náhodná veličina vzhledem k jevovému poli A. Značí se Xt.
b) Ω∈ω∀ je X(ω,.) prvkem množiny všech reálných funkcí definovaných na T.
Zobrazení X s těmito dvěma vlastnostmi se nazývá stochastický proces definovaný na T. Značí se { }Tt;Xt ∈ .
1.3. Definice: Definice složky SP, realizace SP a realizace složky SP příslušné možnému výsledku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces.
a) Pro libovolné, ale pevně dané Tt ∈ se náhodná veličina X(.,t) = Xt nazývá t-tá složka stochastického procesu.
b) Pro libovolné, ale pevně dané Ω∈ω se reálná funkce X(ω,.) nazývá realizace stochastického procesu příslušná
k možnému výsledku ω.
c) Pro libovolná, ale pevně daná Tt ∈ a Ω∈ω se číslo X(ω,t) nazývá realizace t-té složky stochastického procesu
příslušná k možnému výsledku ω.
1.4. Příklad: Vývoj hmotnosti novorozených dětí
Nechť Ω je množina novorozenců, ω novorozenec, )∞= ,0T časový interval počítaný od narození novorozence, t je časový
okamžik. Zavedeme stochastický proces { }Tt;Xt ∈ , který popisuje průběh hmotnosti kteréhokoliv náhodně vybraného
novorozence.
a) Xt = X(.,t) je náhodná veličina udávající hmotnost kteréhokoliv náhodně vybraného novorozence v okamžiku t (fixovaný
okamžik, libovolný novorozenec).
b) X(ω,.) je reálná funkce popisující průběh hmotnosti daného novorozence ω (libovolný okamžik, fixovaný novorozenec).
c) X(ω,t) je číselná realizace náhodné veličiny Xt příslušná k možnému výsledku ω, tj. konkrétní hmotnost daného
novorozence v daný časový okamžik (fixovaný okamžik, fixovaný novorozenec).
1.5. Definice: Definice časové řady a náhodné funkce
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces.
a) Je-li množina T spočetná a lineárně uspořádaná, tj. t0 < t1 < ..., jde o stochastický proces s diskrétním časem
(tj. o časovou řadu).
b) Je-li množina T interval, jde o stochastický proces se spojitým časem (tj. o náhodnou funkci).
1.6. Definice: Definice SP s diskrétními stavy a spojitými stavy
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces.
a) Jestliže pro Tt ∈∀ je náhodná veličina Xt diskrétní, jde o stochastický proces s diskrétními stavy.
b) Jestliže pro Tt ∈∀ je náhodná veličina Xt spojitá, jde o stochastický proces se spojitými stavy.
Množina všech hodnot, jichž může náhodná veličina Xt nabývat, se nazývá množina stavů a značí se J.
1.7. Příklad: Příklad stochastického procesu s diskrétním časem a diskrétními stavy:
Dva hráči, označme je A a B, dali do hry dohromady vklad 5 Kč, z toho hráč A 3 Kč a hráč B 2 Kč. Hráč A hází mincí.
Když padne líc, vyhraje 1 Kč, když rub, prohraje 1 Kč. Hra trvá tak dlouho, až je jeden z hráčů ruinován. Zavedeme
stochastický proces { }Tt;Xt ∈ , kde t = 1, 2, ... je pořadové číslo hodu mincí a Xt = j, když hráč A má po t-tém hodu j Kč,
tedy J = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Např. pro posloupnost hodů {L, R, R, L, R , R, R} je odpovídající realizace stochastického procesu
x(t) = {4, 3, 2, 3, 2, 1, 0}.
Grafické znázornění:
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
t
-1
0
1
2
3
4
5
x(t)
1.8. Příklad: Příklad stochastického procesu s diskrétním časem a spojitými stavy:
Po určité výrobní operaci měříme velikost opotřebení obráběcího nože. Nůž se po N výrobních operacích vymění.
Stochastický proces nabývá hodnot, které odpovídají opotřebení nože. Máme tedy stochastický proces { }Tt;Xt ∈ ,
kde T = {1, 2, ..., N} (t je pořadové číslo výrobní operace), JXt ∈ , kde { }ax0;RxJ ≤≤∈= , přičemž a je maximální
opotřebení obráběcího nože.
Grafické znázornění:
1.9. Příklad: Příklad stochastického procesu se spojitým časem a diskrétními stavy:
Sledujeme určité zařízení, které může být v každém okamžiku buď v provozu (stav 1) nebo v opravě (stav 0).
Zavedeme stochastický proces { }Tt;Xt ∈ , kde { }0t;tT ≥= , JXt ∈ , J = {0, 1}.
Grafické znázornění: Označme t1, t2, … okamžiky poruch, t1
’
, t2
‘
, … okamžiky oprav.
1.10. Příklad: Příklad stochastického procesu se spojitým časem a spojitými stavy:
Sledujeme šumové napětí na výstupu nějakého elektrického přístroje. Stochastický proces nabývá hodnot, které odpovídají
tomuto šumovému napětí. Zavedeme stochastický proces { }Tt;Xt ∈ , kde { }0t;tT ≥= , JXt ∈ , kde { }∞<<−∞= x;xJ .
Grafické znázornění:
1.11. Definice: Definice pravděpodobnostního rozložení SP
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces. Pro Tt ∈∀ lze pravděpodobnostní rozložení náhodné veličiny Xt popsat
distribuční funkcí: ).xX(P)x(:Rx tt ≤=Φ∈∀
(Tato distribuční funkce je obecně funkcí dvou proměnných t a x a popisuje jednorozměrné rozložení stochastického
procesu. Nepodává však úplný popis pravděpodobnostního chování stochastického procesu, protože neobsahuje informace o
závislostech náhodných veličin Xt při různých hodnotách t. Úplný popis pravděpodobnostního chování stochastického
procesu podává teprve systém distribučních funkcí.)
Nechť ( ) Tt,,t n1 ∈K je uspořádaná n-tice indexů, ( )n1 tt X,,X K je marginální vektor daného stochastického
procesu. Pro ( ) n
n1 Rx,,x ∈∀ K označme ( ) ( )nt1tn1tt xXxXPx,,x n1n1
≤∧∧≤=Φ KKK marginální
distribuční funkci náhodného vektoru ( )n1 tt X,,X K .
Systém ( ){ }Tt,,t,,2,1n;x,,xF n1n1ttT n1
∈=Φ= KKKK se nazývá pravděpodobnostní rozložení
stochastického procesu { }Tt;Xt
∈ .
1.12. Věta: Věta o vlastnostech pravděpodobnostního rozložení SP
Nechť FT je pravděpodobnostní rozložení stochastického procesu { }Tt;Xt ∈ . Pak systém FT má tyto vlastnosti:
a) FT je symetrický systém distribučních funkcí, tj.
( ) ( ) ( )n1ni1in1 iittn1tt
n
n1n1 x,,xx,,x:Rx,,xTt,,tNn KKKK KK Φ=Φ∈∀∈∀∈∀ , kde { }n1 i,,i K
je libovolná permutace množiny indexů { }n,,1 K .
b) FT je konzistentní systém distribučních funkcí, tj. je-li { } { } { }n,,1l,,kj,,i KKK =∪ disjunktní rozklad množiny
indexů { }n,,1 K , pak
( ) ( )n1tt
x
x
jitt x,,xlimx,,x n1
l
k
ji
KK K
M
K Φ=Φ
∞→
∞→ .
Důkaz: plyne z vlastností distribuční funkce.
1.13. Věta: Kolmogorovova věta
Každý systém distribučních funkcí, který je symetrický a konzistentní, je pravděpodobnostním rozložením nějakého
stochastického procesu.
1.14. Definice: Definice stochasticky ekvivalentních SP
Řekneme, že dva stochastické procesy jsou stochasticky ekvivalentní, mají-li stejné pravděpodobnostní rozložení.
1.15. Příklad: Odvození pravděpodobnostního rozložení SP
Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí Ψ(x) a f(t) je reálná funkce taková, že
a) f(t) > 0 pro Tt ∈∀
b) f(t) < 0 pro Tt ∈∀ .
Pro Tt ∈∀ položme Xt = f(t)X. Odvoďte pravděpodobnostní rozložení stochastického procesu { }Tt;Xt ∈ .
Řešení:
ad a)
( ) ( ) ( )
.
)t(f
x
min
)t(f
x
minXP
)t(f
x
X
)t(f
x
XP
xX)t(fxX)t(fPxXxXPx,,x
i
i
ni1
i
i
ni1
n
n
1
1
nn11nt1tn1tt n1n1






Ψ=





≤=





≤∧∧≤=
=≤∧∧≤=≤∧∧≤=Φ
≤≤≤≤
K
KKKK
ad b)
( ) ( ) ( )
.
)t(f
x
maxXP
)t(f
x
max1
)t(f
x
maxXP
)t(f
x
maxXP1
)t(f
x
maxXP
)t(f
x
X
)t(f
x
XP
xX)t(fxX)t(fPxXxXPx,,x
i
i
ni1
i
i
ni1
i
i
ni1
i
i
ni1
i
i
ni1
n
n
1
1
nn11nt1tn1tt n1n1






=+





Ψ−=
=





=+





≤−=





≥=





≥∧∧≥=
=≤∧∧≤=≤∧∧≤=Φ
≤≤≤≤
≤≤≤≤≤≤
K
KKKK
Je-li X spojitá náhodná veličina, pak 





=
≤≤
)t(f
x
maxXP
i
i
ni1
= 0.
1.16. Poznámka: Dělení SP podle různých kritérií
a) Rozdělení stochastických procesů podle závislosti jejich pravděpodobnostního rozložení na čase
– striktně stacionární procesy (je pro ně charakteristická určitá stálost v čase): ( ) ( )n1hthtn1tt x,,xx,,x n1n1
KK KK ++Φ=Φ , kde h > 0
– evoluční procesy (mají výrazný časový trend)
b) Rozdělení stochastických procesů podle toho, zda k určení jejich pravděpodobnostního rozložení stačí znát pouze
dvourozměrné distribuční funkce či nikoliv:
– definitní procesy
– hereditní procesy
c) Rozdělení definitních procesů podle toho, zda jejich pravděpodobnostní rozložení závisí pouze na rozdílu časových
okamžiků, nikoliv na jejich umístění na časové ose
– homogenní procesy
– nehomogenní procesy.
2. Funkcionální charakteristiky stochastických procesů
2.1. Motivace: V této kapitole
zavedeme trend, rozptyl a směrodatnou odchylku stochastického procesu,
autokovarianční a autokorelační funkci stochastického procesu,
poznáme vlastnosti těchto funkcionálních charakteristik,
budeme definovat centrovaný a standardizovaný stochastický proces
slabě stacionární stochastický proces.
2.2. Definice: Definice střední hodnoty a rozptylu SP, definice centrovaného a standardizovaného SP
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces.
a) Jestliže pro Tt ∈∀ existuje střední hodnota ( )tXE , pak zavedeme reálnou funkci ( )tµ vztahem:
( ) ( )tXEt:Tt =µ∈∀ .
Tato funkce se nazývá střední hodnota (trend) SP. ( ( )tµ charakterizuje polohu realizací SP na časové ose.)
b) Jestliže pro Tt ∈∀ existuje rozptyl ( )tXD , pak zavedeme reálnou funkci ( )t2
σ vztahem:
( ) ( )t
2
XDt:Tt =σ∈∀ .
Tato funkce se nazývá rozptyl SP. Funkce ( ) ( )tt 2
σ=σ se nazývá směrodatná odchylka SP.
( ( )t2
σ charakterizuje variabilitu realizací stochastického procesu kolem trendu.)
c) Nechť stochastický proces má střední hodnotu ( )tµ a rozptyl ( )t2
σ , který je konečný a nenulový.
Transformovaný stochastický proces { }Tt;Yt ∈ , kde ( )tXY tt µ−= , se nazývá centrovaný SP.
Transformovaný stochastický proces { }Tt;Zt ∈ , kde
( )
( )t
tX
Z t
t
σ
µ−
= , se nazývá standardizovaný SP.
(Lze snadno ukázat, že centrovaný SP má nulovou střední hodnotu a rozptyl stejný jako původní SP. Standardizovaný SP
má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl.)
2.3. Příklad:
Nechť náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) = 2 a rozptyl D(X) = 9.
Zavedeme SP { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = X.cos ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a rozptyl tohoto SP.
Řešení:
( ) ( ) ( ) ( ) tcos2XEtcostcosXEXEt t ω=⋅ω=ω⋅==µ
( ) ( ) ( ) ( ) tcos9XDtcostcosXDXDt 22
t
2
ω=⋅ω=ω⋅==σ
Např. pro ω = 1 dostaneme:
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
trend
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10rozptyl
2.4. Poznámka: Další funkcionální charakteristiky stochastického procesu
Podobně jako u náhodných veličin lze pro stochastický proces zavést další momentové charakteristiky, např. šikmost a
špičatost. Všechny tyto charakteristiky, které vycházejí ze znalosti jednorozměrného rozložení stochastického procesu, však
nepostačují k popisu pravděpodobnostního chování stochastického procesu, protože neobsahují informace o závislostech
mezi složkami stochastického procesu.
2.5. Definice: Definice autokovarianční a autokorelační funkce SP
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces. Předpokládáme, že pro Tt ∈∀ existuje střední hodnota ( )tXE a ( ) ∞<
2
tXE .
a) Reálnou funkci ( )21 t,tγ dvou proměnných danou vztahem
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )2t1ttt2121 tXtXEX,XCt,t:Tt,t 2121
µ−µ−==γ∈∀ nazveme autokovarianční funkcí
stochastického procesu.
b) Reálnou funkci ( )21 t,tρ dvou proměnných danou vztahem
( ) ( ) ( )
( ) ( )21
21
tt2121
tt
t,t
X,XRt,t:Tt,t 21
σσ
γ
==ρ∈∀ nazveme autokorelační funkcí stochastického procesu.
(Autokovarianční funkce je zobecněním varianční matice náhodného vektoru a autokorelační funkce je zobecněním
korelační matice náhodného vektoru. Tyto funkce obsahují informace o lineárních závislostech mezi složkami SP.)
2.6. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce SP
Pro autokovarianční funkci stochastického procesu platí:
a) ( ) ( )tt,t:Tt 2
σ=γ∈∀
b) ( ) ( )122121 t,tt,t:Tt,t γ=γ∈∀
c) ( ) ( ) ( )212121 ttt,t:Tt,t σσ≤γ∈∀ (zobecněná Cauchyho – Schwarzova – Buňakovského nerovnost)
Důkaz: Plyne z vlastností kovariance.
2.7. Příklad:
Najděte autokovarianční a autokorelační funkci SP z příkladu 2.3. V tomto příkladu byl SP zaveden vztahem Xt = X.cos ωt,
přičemž E(X) = 2, D(X) = 9
Řešení:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2121
2121tt21
tcostcos9XDtcostcos
X,XCtcostcostcosX,tcosXCX,XCt,t 21
ω⋅ω=⋅ω⋅ω=
=⋅ω⋅ω=ω⋅ω⋅==γ
( ) ( )
( ) ( )
1
tcos9tcos9
tcostcos9
tt
t,t
t,t
2
2
1
2
21
21
21
21 ±=
ωω
ω⋅ω
=
σσ
γ
=ρ
2.8. Věta: Věta o střední hodnotě a autokovarianční funkci transformovaného SP
Nechť { }Tt;Xt ∈ je stochastický proces se střední hodnotou ( )tXµ a autokovarianční funkcí ( )21X t,tγ . Nechť f(t) je
reálná funkce definovaná na T.
a) Zavedeme stochastický proces { }Tt;Yt ∈ , kde Yt = Xt + f(t). Pak platí:
( ) ( ) ( )tftt:Tt XY +µ=µ∈∀
( ) ( )21X21Y21 t,tt,t:Tt,t γ=γ∈∀
b) Zavedeme stochastický proces { }Tt;Yt ∈ , kde Yt = f(t) Xt. Pak platí:
( ) ( ) ( )ttft:Tt XY µ=µ∈∀
( ) ( ) ( ) ( )21X2121Y21 t,ttftft,t:Tt,t γ=γ∈∀
Důkaz: Plyne z vlastností střední hodnoty a kovariance.
2.9. Definice: Definice slabě stacionárního SP
Stochastický proces { }Tt;Xt ∈ se nazývá slabě stacionární, jestliže platí:
a) ( ) ct:Tt =µ∈∀ (trend je konstantní)
b) ( ) ∞<σ∈∀ t:Tt 2
(rozptyl je konečný)
c) ( ) ( )212121 t,tht,ht:0h,Tt,t γ=++γ>∀∈∀ (kovariance libovolných dvou složek SP závisí pouze na jejich vzdálenosti
na časové ose a nikoliv na jejich umístění na časové ose)
2.10. Poznámka: Vztah mezi striktní a slabou stacionaritou SP, zavedení autokovarianční funkce slabě
stacionárního SP
a) Je-li stochastický proces striktně stacionární, je i slabě stacionární.
b) Je-li stochastický proces slabě stacionární, pak pro ( ) ( )122121 tt,0t,t:Tt,t −γ=γ∈∀ . Znamená to, že
autokovarianční funkce závisí pouze na rozdílu argumentů t2 – t1 =: h. V tomto případě zavádíme funkci jedné proměnné,
kterou značíme rovněž symbolem γ , vztahem ( ) ( )h,0h:Th γ=γ∈∀ . Je to autokovarianční funkce slabě
stacionárního SP.
2.11. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce slabě stacionárního SP
Autokovarianční funkce slabě stacionárního stochastického procesu má tyto vlastnosti:
a) ( ) ( ) 22
0t:Tt σ=γ=σ∈∀ (všechny složky SP mají týž rozptyl)
b) ( ) ( )hh:0h −γ=γ>∀ (autokovarianční funkce je sudá)
c) ( ) ( )0h:0h γ≤γ>∀
Důkaz: Důkaz vlastností a) , b) je triviální.
Ad c) Uvažme centrovaný slabě stacionární SP { }Tt;Xt ∈ (tj. pro ( ) 0t:Tt =µ∈∀ ). Pak
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2
t
2
t
2
tt
2
XEXEXEXDt =−==σ .
Dále ( ) ( ) ( ) ( )htthtt XXEX,XCht,th ++ ⋅==+γ=γ .
Počítáme
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]h02hth2tXEXXE2XEXXE 222
hthtt
2
t
2
htt γ±γ=+σ+γ±σ=+±=± +++ .
Protože [ ]( ) 0XXE
2
htt ≥± + , plyne odtud, že ( ) ( )0h:0h γ≤γ>∀ .
2.12. Příklad:
Nechť Y, Z jsou standardizované náhodné veličiny (tj. E(Y) = 0, E(Z) = 0, D(Y) = 1, D(Z) = 1), které jsou stochasticky
nezávislé. Zavedeme SP { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a rozptyl
tohoto SP a ukažte, že je slabě stacionární.
Řešení:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ZEtsinYEtcostsinZtcosYEXEt t =⋅ω+⋅ω=ω⋅+ω⋅==µ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1tsintcosZDtsinYDtcostsinZtcosYDXDt 2222
t
2
=ω+ω=⋅ω+⋅ω=ω⋅+ω⋅==σ .
Aby byl SP slabě stacionární, musí mít konstantní střední hodnotu, konečný rozptyl a pro jeho autokovarianční funkci musí
platit γ(h) = γ(t, t+h). První dvě podmínky jsou splněny, ověříme třetí:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )hhcoshcoshttcos
htsintsinhtcostcosZDhtsintsinYDhtcostcos
Z,ZChtsintsin
Z,YChtsintcosY,ZChtcostsinY,YChtcostcos
htsinZhtcosY,tsinZtcosYCX,XCht,t htt
γ==−=+−=
=+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=
=⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
=+⋅++⋅⋅+⋅==+γ +
2.13. Věta: Věta o vlastnostech autokorelační funkce slabě stacionárního SP
Pro autokorelační funkci slabě stacionárního SP platí:
( ) ( )
( )0
h
h:Th
γ
γ
=ρ∈∀ .
Důkaz:
( ) ( )
( ) ( )21
21
2121
tt
t,t
t,t:Tt,t
σσ
γ
=ρ∈∀ . Je-li SP slabě stacionární, pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0tt,ht,t 2
2
1
2
21 γ=σ=σγ=γ , tedy ( ) ( )
( )0
h
h
γ
γ
=ρ .
2.14. Příklad:
Nechť je dán SP { }Tt;Xt ∈ , kde náhodné veličiny K,X,X 21 tt jsou stochasticky nezávislé a mají všechny stejnou distribuční
funkci Φ(x). Určete střední hodnotu, rozptyl a autokorelační funkci tohoto SP.
Řešení: Protože náhodné veličiny Xt, t∈T mají všechny stejnou distribuční funkci Φ(x), mají i stejnou střední hodnotu
( ) µ=tXE a stejný rozptyl ( ) 2
tXD σ= . Dále počítáme autokovarianční funkci ( ) ( )



≠
=σ
==γ
21
21
2
tt21
ttpro0
ttpro
X,XCt,t 21
. Jedná
se tedy o slabě stacionární SP. Nyní spočteme autokorelační funkci ( )
( )
( ) ( ) 


≠
=
=
σσ
γ
=ρ
ttpro0
ttpro1
tt
t,t
t,t
21
21
21
21
21
. Znamená to, že
neexistuje žádná závislost mezi realizacemi SP ve dvou různých okamžicích.