15. Laplaceova transformace a její užití při řešení systému Kolmogorovových diferenciálních rovnic
a evolučních diferenciálních rovnic
15.1. Motivace: Pro HMŘ se spojitým časem lze pravděpodobnosti přechodu vyjádřit jako řešení systému
Kolmogorovových diferenciálních rovnic a absolutní pravděpodobnosti lze vyjádřit jako řešení systému evolučních
diferenciálních rovnic. V obou těchto případech vystupují v uvedených rovnicích intenzity přechodu a jedná se o systémy
lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Takovéto systémy můžeme řešit pomocí různých integrálních
transformací, z nichž nejrozšířenější je Laplaceova transformace. Laplaceova transformace převádí soustavu diferenciálních
rovnic pro neznámé funkce na soustavu algebraických rovnic pro obrazy těchto funkcí. Tuto soustavu vyřešíme a pomocí
operátorového slovníku najdeme k obrazu řešení jeho vzor.
15.2. Definice: Definice Laplaceovy transformace
Nechť f(t) je funkce splňující podmínky:
a) f(t) je spojitá pro t > 0,
b) f(t) = 0 pro t ≤ 0,
c) f(t) je exponenciálního řádu, tj. existují konstanty M > 0, R∈α tak, že ( ) t
Metf α−
≤ .
Pak funkce ( ) ( )∫
∞
−
=
0
zt
dtetfzF se nazývá Laplaceova transformace funkce f(t). Funkce f(t) se nazývá vzor a F(z) obraz.
(Obecně je z komplexní proměnná, pro naše účely však postačí z ≥ 0.)
15.3. Označení:
Laplaceovu transformaci (dále LT) značíme L(f(t)) = F(z) a zpětnou (inverzní) transformaci značíme L-1
(F(z)) = f(t).
15.4. Věta: Vztah mezi vzorem a obrazem
Mezi původní funkcí f(t) a její LT F(z) existuje vzájemně jednoznačný vztah.
15.5. Příklad: Najděte LT funkce f(t) = eat
.
Řešení:
( ) ( ) ( )
[ ]
az
1
e
az
1
dtedteezF 0
azt
0
azt
0
ztat
−
=
−
−===
∞−−
∞
−−
∞
−
∫∫
15.6. Věta: Linearita LT
LT i zpětná LT je lineární je lineární, tj. pro libovolné konstanty Rc,,c n1
∈K , aspoň jedna konstanta je nenulová,
platí: ( ) ( )( )∑∑ ==
=




 n
1i
ii
n
1i
ii
tfLctfcL a ( ) ( )( )∑∑ =
−
=
−
=




 n
1i
i
1
i
n
1i
ii
1
zFLczFcL
15.7. Věta: LT derivace funkce
Pro LT derivace platí: L(f’(t)) = zF(z) – f(0).
15.8. Věta: LT n-té derivace funkce
Pro LT n-té derivace platí: L(f(n)
(t)) = zn
F(z) – zn-1
f(0) - zn-2
f’(0) - … - f(n-1)
(0).
15.9. Poznámka: Uvedeme stručný operátorový slovník.
Vzor f(t) Obraz F(z)
1 1/z
t 1/z2
eat
1/(z-a)
t eat
1/(z-a)2
A e-at
A/(z+a)
tk
e-at
k!/(z+a)k+1
, k = 0, 1, 2, …
15.10. Příklad: Užitím LT vyřešte diferenciální rovnici y’(t) + y(t) = e-2t
s počáteční podmínkou y(0) = 0.
Řešení: ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 2z
1
1z
1
2z
B
1z
A
2z1z
1
zY
2z
1
zY0yzzY
+
−
+
+
=
+
+
+
=
++
=⇒
+
=+−
( ) ( )
1BAB0BA
1A1AA21BA2
1zB2zA1
−=⇒−=⇒=+
=⇒=−⇒=+
+++=
( ) t2t111
ee
2z
1
L
1z
1
L
2z
1
1z
1
Lty −−−−−
−=





+
−
+





+
=





+
−
+
+
=
Zkouška: ( ) t2t
e2et'y −−
+−=
t2t2tt2t
eeee2e −−−−−
=−++− - splněno
Počáteční podmínka: y(0) = 1 – 1 = 0 – splněno
15.11. Příklad: Užitím LT najděte řešení systému lineárních diferenciálních rovnic
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1ty2t'y3ty
0tyt'yt'y2
221
221
=+−
=+−
s počátečními podmínkami y1(0) = y2(0) = 0.
Řešení:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
z
1
zYz32zY
z
1
zY20yzzY3zY
0zYz1zzY20zY0yzzY0yzzY2
2122211
2122¨211
=−+⇒=+−−
=−+⇒=+−−−
Řešením systému těchto dvou rovnic získáme ( )
3
1
z
2
2
1
z
2
zY2
−
+
−
−
= , tedy ( ) 3
t
2
t
2 e2e2ty +−= .
Z 2. rovnice plyne, že ( ) ( ) ( ) 3
t
2
t
3
t
2
t
3
t
2
t
221 e2e1e4e4e
3
2
e31ty2t'y31ty −+=−+





+−+=−+= .
Celkem: ( ) 3
t
2
t
1 e2e1ty −+= , ( ) 3
t
2
t
2 e2e2ty +−= .
Zkouška: ( ) ( ) 3
t
2
t
2
3
t
2
t
1 e
3
2
et'y,e
3
2
e
2
1
t'y +−=−=
1. rovnice: 0e2e2e
3
2
ee
3
4
e 3
t
2
t
3
t
2
t
3
t
2
t
=+−−+− - splněno, 2. rovnice: 0e4e4e2e3e2e1 3
t
2
t
3
t
2
t
3
t
2
t
=+−−+−+ - splněno
Počáteční podmínky: ( ) ( ) 0220y,02110y 21
=+−==−+= - splněno.
15.12. Věta: Kolmogorovovy systémy a systém evolučních diferenciálních rovnic
Nechť { }Tt;Xt
∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má systém matic přechodu ( ){ }Tt;t ∈P ,
systém vektorů absolutních pravděpodobností ( ){ }Tt;t ∈p , vektor počátečních pravděpodobností p(0) a matici intenzit
přechodu Q. Pak platí:
a) ( ) ( )QPP tt' = s počáteční podmínkou P(0) = I (Kolmogorovův systém prospektivních diferenciálních rovnic)
b) ( ) ( )tt' QPP = s počáteční podmínkou P(0) = I (Kolmogorovův systém retrospektivních diferenciálních rovnic)
c) ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = daný stochastický vektor (systém evolučních diferenciálních rovnic).
15.13. Věta: Věta o řešení Kolmogorovových systémů a systému evolučních diferenciálních rovnic
Nechť Q je kvazistochastická matice řádu n. Pak platí:
a) Existuje jediné řešení systému prospektivních a retrospektivních Kolomogorovových diferenciálních rovnic s počáteční
podmínkou P(0) = I. Toto řešení představuje systém matic přechodu HMŘ se SČ s množinou stavů { }n,,2,1J K= .
b) Existuje jediné řešení systému evolučních diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou p(0) = daný stochastický vektor.
Toto řešení představuje systém vektorů absolutních pravděpodobností HMŘ se SČ s množinou stavů { }n,,2,1J K= .
15.14. Příklad: Nechť { }Tt;Xt
∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů { }2,1J = ,
matici intenzit přechodu 





−
−
=
11
22
Q a vektor počátečních pravděpodobností ( ) 





=
2
1
,
2
1
0p .
a) Najděte vektor stacionárních pravděpodobností.
b) Najděte vyjádření pro vektor absolutních pravděpodobností a c) matici přechodu.
Řešení:
Ad a) Hledáme vektor a tak, aby aQ = 0, a1 + a2 =1.
( ) ( ) 122121 a1a1aa,0,0
11
22
a,a −=⇒=+=





−
−
3
2
3
1
1a,
3
1
a0a1a20aa2 211121 =−==⇒=+−⇒=+− , tedy 





=
3
2
,
3
1
a .
Ad b) Řešíme systém evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou ( ) 





=
2
1
,
2
1
0p .
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tp1tp1tptp,
11
22
tp,tpt'p,t'p 12212121 −=⇒=+





−
−
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
0p,tp1tp2t'ptptp2t'p 1111211
=−+−=⇒+−= .
Laplaceův obraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) 3z
6
1
z2
3
2
3zz2
2z
zP
z2
2z
2
1
z
1
3zzPzP
z
1
zP20pzzP 111111
+
+=
+
+
=⇒
+
=+=+⇒−+−=−
( ) t31
1 e
6
1
3
1
3z
6
1
z
3
1
Ltp −−
+=












+
+= , ( ) ( ) t3
12
e
6
1
3
2
tp1tp −
−=−= . Zkouška vyjde.
Ad c) Řešíme systém prospektivních Kolmogorovových diferenciálních rovnic ( ) ( )QPP tt' = s počáteční podmínkou ( ) IP =0 .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tp1tp1tptp,tp1tp1tptp,
11
22
,
tptp
tptp
,
t'pt'p
t'pt'p
2122222111121211
2221
1211
2221
1211
−=⇒=+−=⇒=+





−
−






=





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10p,tp1tp2t'ptptp2t'p 11121111121111 =−+−=⇒+−= .
Laplaceův obraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) 3z
3
2
z2
3
1
3zz
1z
zP
z
1z
1
z
1
3zzPzP
z
1
zP20pzzP 11111111111
+
+=
+
+
=⇒
+
=+=+⇒−+−=−
( ) t31
11 e
3
2
3
1
3z
3
2
z
3
1
Ltp −−
+=












+
+= , ( ) ( ) t3
1112 e
3
2
3
2
tp1tp −
−=−= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00p,tp1tp2t'ptptp2t'p 21212121222121 =−+−=⇒+−= .
Laplaceův obraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) 3z
3
1
z2
3
1
3zz
1
zP
z
1
3zzPzP
z
1
zP20pzzP 212121212121
+
−
+=
+
=⇒=+⇒−+−=−
( ) t31
21 e
3
1
3
1
3z
3
1
z
3
1
Ltp −−
−=












+
−
+= , ( ) ( ) t3
2122 e
3
1
3
2
tp1tp −
+=−= .
( )












−
−
+












= −
3
1
3
1
3
2
3
2
e
3
2
3
1
3
2
3
1
t t3
P
Průběhy funkcí popisujících absolutní pravděpodobnosti
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p1(t)
p1(t)=1/3+(1/6)exp(-3t)
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p2(t)
p2(t)=2/3-(1/6)exp(-3t)
Průběhy funkcí popisujících pravděpodobnosti přechodu
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p11(t)
p11(t)=1/3+(2/3)exp(-3t)
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p12(t)
p12(t)=2/3-(2/3)exp(-3t)
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p21(t)
p21(t)=1/3-(1/3)exp(-3t)
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p22(t)
p22(t)=2/3+(1/3)exp(-3t)