16. Poissonův proces
16.1. Definice: Definice Poissonova procesu
Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor
počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu












λλ−
λλ−
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
00
00
00
Q , kde 0>λ je konstanta, nazývá se intenzita.
Přechodový diagram:
Tento HMŘ se nazývá Poissonův proces (s parametrem λ). (Vidíme, že v Poissonově procesu je možné jen setrvání
v dosavadním stavu nebo přechod do nejbližšího vyššího stavu.)
Poissonův proces je pojmenován po Siméonu Denisi Poissonovi (1781 – 1840), což byl francouzský teoretický fyzik,
matematik, geometr a astronom. Je mezi 72 slavnými Francouzi, jejichž jména jsou na Eiffelově věži, a je po něm
pojmenován kráter na Měsíci.
Vysvětlení: Uvažujeme události téhož typu, které nastávají náhodně v čase. Pro t > 0 označme Xt počet událostí, které
nastanou v intervalu ( t,0 . Nechť jsou splněny tyto podmínky:
- v krátkém časovém intervalu ( ht,t + nastane událost s pravděpodobností ( )hoh +λ nezávisle na t a nezávisle na
počtu událostí, které nastaly v intervalu ( t,0 ,
- víc než jedna událost nastane s pravděpodobností o(h),
- počty událostí, které se vyskytnou v disjunktních časových intervalech, jsou nezávislé.,
- nechť X0 = 0,
- střední hodnota počtu událostí, které nastanou za časovou jednotku, je konstanta 0>λ .
Pak pro 0t ≥∀ platí: ( ) ( )
( )
( )
( )







<
+>
=+λ
+=+λ
====+
ijpro0
1ijproho
ijprohoh-1
1ijprohoh
hpiX/jXP ijtht , p0(0) = 1, pj(0) = 0 pro j ≠ 0.
Odtud dostáváme, že intenzity přechodu jsou: qi,i+1 = λ, qii = -λ, qij = 0 pro j≠i, j≠i+1, tedy












λλ−
λλ−
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
00
00
00
Q .
Příklady uvažovaných událostí:
- dopady částic kosmického záření zaznamenávané čítačem částic
- rozpady radioaktivního prvku
- výzvy přicházející do telefonní ústředny
- dopravní nehody registrované na nějakém silničním úseku
- poruchy automatického stroje
- příchody zákazníků do nějakého systému obsluhy apod.
Upozornění: U těchto praktických příkladů není splněn předpoklad, že intenzita výskytu událostí λ je nezávislá na čase.
Provoz v telefonní ústředně je jistě živější dopoledne než večer; silniční provoz záleží jak na denní době tak na dnu v týdnu;
množství radioaktivní látky časem ubývá a tedy ubývá i intenzita rozpadu jejích atomů; poruchovost stroje se může zvyšovat
s jeho opotřebením apod. Často se ale sleduje výskyt těchto událostí jen po nějakou omezenou dobu, během níž lze
předpokládat neměnnost intenzity λ.
Grafické znázornění realizací Poissonova procesu
Předpokládejme, že během 15 minut zaznamenáváme příchozí hovory do informačního střediska. První
zákazník volal 3 minuty po zahájení sledování, další zákazníci pak 4, 7, 9 a 13 minut po zahájení sledování.
Během sledovaných 15 minut tedy nastalo 5 příchozích hovorů.
16.2. Věta: Věta o pravděpodobnostním rozložení složek Poissonova procesu
Nechť { }Tt;Xt
∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak platí: ( ) ( ) t
j
j
e
!j
t
tp:JjTt λ−λ
=∈∀∈∀ .
Důkaz: Sestavíme systém evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (1, 0, …).
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )












λλ−
λλ−
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
KK
00
00
00
,tp,tp,tp,t'p,t'p,t'p 210210
,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M
tptpt'p
tptpt'p
tpt'p
2012
101
00
λ−λ=
λ−λ=
λ−=
Obecně: ( ) ( ) ( ) K,2,1j,tptpt'p j1jj =λ−λ= −
s počáteční podmínkou p0(0) = 1, pj(0) = 0, j = 1, 2, …
Při řešení těchto rovnic použijeme LT.
Obraz 1. rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t1
00000 e
z
1
Ltp
z
1
zPzP10pzzP λ−−
=





λ+
=⇒
λ+
=⇒λ−==−
Obraz 2. rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
t
2
1
1211011 te
z
Ltp
z
zPzP
z
1
zP00pzzP λ−−
λ=





λ+
λ
=⇒
λ+
λ
=⇒λ−
λ+
=λ==−
Obraz 3. rovnice: ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) t2
3
2
1
23
2
222122
et
!2
1
z
Ltp
z
zPzP
z
zP00pzzP λ−−
λ=





λ+
λ
=⇒
λ+
λ
=⇒λ−
λ+
λ
=λ==−
Obecně: ( ) ( ) K,2,1,0j,e
!j
t
tp t
j
j
=
λ
= λ−
Vysvětlení: Náhodná veličina Xt, která udává např. počet zákazníků, kteří přijdou do fronty v intervalu ( t,0 , se řídí
rozložením Po(λt). Střední hodnota počtu událostí, které nastanou v intervalu ( t,0 , je rovna číslu λt, tedy konstanta λ
představuje střední hodnotu počtu událostí, které nastanou za jednotkový časový interval. Proto se λ nazývá intenzita
procesu.
Čísla pj(t) udávají pravděpodobnosti, že v intervalu ( t,0 nastalo právě j událostí.
Číslo p0(t) = e-λt
udává pravděpodobnost, že v intervalu ( t,0 nenastala žádná událost.
Označíme-li S dobu čekání na změnu mezi stavy (tj. dobu čekání na příchod události resp. dobu setrvání ve stavu),
pak P(S > t) = e-λt
, tedy ( )



<
≥−
=≤
λ−
0t,0
0t,e1
tSP
t
. To znamená, že je-li rozložení počtu událostí, které nastaly v intervalu ( t,0
Poissonovo, je rozložení doby čekání na změnu resp. doby setrvání ve stavu exponenciální.
Upozornění: Pro Poissonův proces neexistuje limitní rozložení, protože
( ) ( ) 0
e
t
lim
!j
e
!j
t
limtplim:Jj tt
j
t
j
t
j
t
=
λ
=
λ
=∈∀ λ∞→
λ−
∞→∞→
16.3. Příklad: Majitel obchodu s potravinami zjistil, že v ranní špičce přichází do obchodu průměrně 20 zákazníků za 5
minut. Majitelova manželka se domnívá, že v průběhu 10 minut může očekávat v průměru 30 zákazníků, zatímco
optimističtější majitel v průběhu 10 minut očekává 40 zákazníků. Který odhad je pravděpodobnější?
Řešení:
Příchody zákazníků do obchodu lze modelovat Poissonovým procesem { }Tt;Xt
∈ , kde Xt = j, když za časový interval ( t,0
přijde do obchodu právě j zákazníků, j = 0, 1, 2, …
Parametr procesu (intenzita procesu): minutu1zazákazníci4
5
20
==λ .
Podle předpokladu: Xt ~ Po(4t), tedy ( ) ( ) t4
j
t
e
!j
t4
jXP −
==
Odhad manželky: ( ) ( ) ( ) 01847,010pe
!30
104
30XP 30
104
30
10
==
⋅
== ⋅−
V MATLABu: poisspdf(30,40)
Odhad manžela: ( ) ( ) ( ) 06297,010pe
!40
104
40XP 40
104
40
10 ==
⋅
== ⋅−
V MATLABu: poisspdf(40,40)
Optimistický odhad majitele je pravděpodobnější než opatrný odhad jeho manželky.
16.4. Věta: Věta o pravděpodobnostech přechodu v Poissonově procesu
Nechť { }Tt;Xt
∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak platí: ( )
( )
( )





<
≥
−
λ
=∈∀∈∀
λ−
−
ijpro0
ijproe
!ij
t
tp:Jji,Tt
t
ij
ij
.
Důkaz: Z matice intenzit přechodu plyne, že jediný přechod s nenulovou pravděpodobností je přechod do stavu o 1 vyššího.
Přitom počáteční stav je nulový, tedy pj(t) = p0j(t). V důsledku homogenity: ( ) ( )
( )
( )





<
≥
−
λ
==
λ−
−
ijpro0
ijproe
!ij
t
tptp
t
ij
i-j0,ij
.
16.5. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu Poissonova procesu
Nechť { }Tt;Xt
∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak E(Xt) = λt, D(Xt) = λt.
Důkaz: Plyne z vlastností Poissonova rozložení, protože Xt ~ Po(λt).
16.6. Věta: Věta o koeficientu korelace dvou složek Poissonova procesu
Nechť { }Tt;Xt
∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak platí: ( )
ht
t
X,XR:0h,Th,t htt
+
=>∈∀ + .
Důkaz: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )htt
htthtt
htt
htt
htt
XDXD
XEXEXXE
XDXD
X,XC
X,XR
+
++
+
+
+
−
== . Ve větě 16.5. bylo ukázáno, že E(Xt) = λt, D(Xt)
= λt. Stačí tedy spočítat E(XtXt+h).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )[ ]( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ttthteetethe
!1i
t
!2i
t
ehetee
!k
h
!i
t
i1iie
!1k
h
!1i
t
ei1iii
!k
h
!i
t
ie
!k
h
!i
t
ikee
!k
h
e
!i
t
ikihptpiki
i-jkhptijp16.4.podleijprohpht,tpiX/jXP,tpiXP
iX/jXPiXijPjXiXijPXXE
222tt22t2h
1i
i
2i
i
hththt
1i 0k
ki
ht
1i 1k
ki
ht2
0i 0k
ki
2ht
0i 0k
ki
ht
0i 0k
h
k
t
i
0i 0k
ki
0i ij
ijiijijthtit
0i 0j
thtt
0i 0j
htthtt
λ+λ+λ=λ+λ+λ=





−
λ
+
−
λ
+λλ=
=
λλ
+−+
−
λ
−
λ
=+−==
=
λλ
+
λλ
=
λλ
+=+=
====≥=+=====
======∧==
λλλ−λ
∞
=
∞
=
+λ−λλ+λ−
∞
=
∞
=
+λ−
∞
=
∞
=
+λ−
∞
=
∞
=
+λ−
∞
=
∞
=
+λ−
∞
=
∞
=
λ−λ−
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−−+
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
++
∑∑
∑ ∑∑ ∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
Po dosazení: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ht
t
htt
t
htt
t
htt
httttth
X,XR
2
222
htt
+
=
+
=
+λ
λ
=
+λλ
+λλ−λ+λ+λ
=+ .
16.7. Věta: Věta o rozložení doby setrvání řetězce v daném stavu
Nechť { }Tt;Xt ∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Označme Sj dobu, kterou řetězec setrvá ve stavu j-1, j = 1, 2, … Pak
Sj ~ Ex(λ) a střední hodnota doby setrvání řetězce ve stavu j-1 je
λ
1
.
Důkaz: Plyne z věty 14.9.
16.8. Věta: Věta o nezávislosti dob setrvání řetězce v daných stavech
Náhodné veličiny Sj, j = 1, 2, … jsou stochasticky nezávislé.
Důkaz: Nebudeme provádět.
16.9. Příklad: Na autobusovou zastávku přijíždějí autobusy linek č. 1 a č. 2. Předpokládáme, že příjezdy autobusů obou
linek tvoří události Poissonových procesů s parametry λ1, λ2, přičemž tyto procesy probíhají nezávisle na sobě. Vypočtěte
pravděpodobnost, že za časový interval délky t přijede na zastávku právě k autobusů.
Řešení:
Označme Xt počty příjezdů linky č. 1 v intervalu ( t,0 , Xt ~ Po(λ1t), ( ) ( ) t
j
1
t
1
e
!j
t
jXP λ−λ
== , j = 0, 1, 2, …
Označme Yt počty příjezdů linky č. 2 v intervalu ( t,0 , Yt ~ Po(λ2t), ( ) ( ) t
j
2
t
2
e
!j
t
jYP λ−λ
== , j = 0, 1, 2, …
Dále označme Zt počty příjezdů autobusů obou linek v intervalu ( t,0 , Zt = Xt + Yt. Máme počítat P(Zt = k), k = 0, 1, 2, …
Podle věty o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin dostáváme:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )t
k
21
k
0j
jk
2
j
1
tk
0j
t
jk
2t
j
1
0j
ttt
21
21
21
e
!k
t
tt
j
k
!k
e
e
!jk
t
e
!j
t
jkYPjXPkZP λ+λ−
=
−
λ+λ−
=
λ−
−
λ−
∞
=
λ+λ
=λλ





=
−
λλ
=−==== ∑∑∑
Znamená to, že Zt ~ Po((λ1 + λ2) t).
16.10. Věta: Věta o bodovém a intervalovém odhadu parametru λ Poissonova procesu
Nechť v intervalu T,0 byl sledován Poissonův proces s neznámým parametrem λ a bylo pozorováno n událostí.
a) Bodový odhad parametru λ je dán vzorcem:
T
nˆ =λ , přičemž ( ) λ=λˆE (tj. λˆ je nestranný odhad) a ( ) T
ˆD
λ
=λ .
b) 100(1-α)% empirický interval spolehlivosti pro λ má meze: ( )n2
T2
1
d 2/
2
αχ= , ( )2n2
T2
1
h 2/1
2
+χ= α− .
16.11. Příklad: Na určitém zařízení byly po dobu 580 h sledovány poruchy. Za tuto dobu jich nastalo 22. Za předpokladu,
že poruchy tvoří události Poissonova procesu s parametrem λ, odhadněte tento parametr a najděte pro něj 95% empirický
interval spolehlivosti.
Řešení:
T = 580, n = 22, tedy 0379,0
580
22
T
nˆ ===λ
( ) ( ) 0238,057,27
1160
1
44
5802
1
n2
T2
1
d 025,0
2
2/
2
==χ
⋅
=χ= α
( ) ( ) 0574,062,66
1160
1
46
5802
1
2n2
T2
1
h 975,0
2
2/1
2
==χ
⋅
=+χ= α−
0,0238 < λ < 0,0574 s pravděpodobností aspoň 0,95.
16.12. Poznámka: Poissonův proces lze v MATLABu simulovat pomocí funkce Poisson.m:
function [v,abscet,relcet,p, tabulka1, tabulka2]=Poisson(CPS,lambda,t)
%vstupni parametry
%CPS ... celkovy pocet simulovanych prichodu zakazniku
%lambda ... intenzita vstupniho proudu zakazniku
%t ... casovy krok
%vystupni parametry
%v ... vektor variant poctu zakazniku
%abscet ... abs. cetnosti jednotlivych variant
%relcet ... relativni cetnosti jednotlivych variant
%p ... pravdepodobnosti jednotlivych variant
%tabulka1 ... empiricke a teoreticke charakteristiky simulovaneho poctu
%zakazniku
%tabulka2 ... empiricke a teoreticke charakteristiky doby simulace
Tuto funkci použijeme při řešení následujícího příkladu.
16.13. Příklad: V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve vilové čtvrti města. V tomto období
vjíždějí auta do této ulice v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly mezi příjezdy aut se řídí
exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu simulujte vjezd 20 aut do této ulice.
Řešení: V tomto případě jsou vstupní parametry tyto: CPS = 20, lambda = 1/8, časový krok zvolíme např. t = 8.
Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min, směrodatná odchylka = 8 min.)
[v,abscet,relcet,p, tabulka1, tabulka2]=Poisson(CPS,lambda,t)
Počet aut, která vjíždějí vždy během 8 minut Abs. četnost Rel. četnost pravděpodobnost
0
1
2
4
15
6
6
1
0,5357
0,2143
0,2143
0,0357
0,3679
0,3679
0,1839
0,0153
Průměrný počet aut za časový krok: 0,7857
Střední hodnota počtu aut za časový krok: 1
Pozorovaná směr. odch. počtu aut za časový krok: 1,0313
Směrodatná odchylka počtu aut za časový krok: 1
Celková doba simulace: 214,7869
Teoretická celková doba simulace: 20*8 = 160
Průměrná doba mezi vjezdy aut: 10,7393
Střední hodnota doby mezi vjezdy aut: 8
Pozorovaná směr. odch. doby mezi vjezdy aut: 14,8255
Směrodatná odchylka doby mezi vjezdy aut: 8
Realizace Poissonova procesu:
0 50 100 150 200 250
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20