17. Obecný proces vzniku a zániku 17.1. Motivace: Budeme se zabývat popisem kolísání rozsahu souboru objektů v čase za předpokladu, že a) v náhodných okamžicích vstupují do tohoto souboru nové objekty, přičemž pravděpodobnost, že v intervalu ( ht,t + vstoupí do souboru rozsahu j nový objekt, je ( )hohj +λ , kde λj > 0 je intenzita vstupu do stavu j; b) v náhodných okamžicích vystupují z tohoto souboru jiné objekty, přičemž pravděpodobnost, že v intervalu ( ht,t + vystoupí ze souboru rozsahu j jeden objekt, je ( )hohj +µ , kde µj > 0 je intenzita výstupu ze stavu j; c) vstupy a výstupy objektů jsou stochasticky nezávislé jevy; d) během krátkého časového intervalu zůstává rozsah souboru týž nebo se jedničku zvětší či zmenší. Bude nás především zajímat, jak se chová rozsah tohoto souboru po dostatečně dlouhé době, tj. po odeznění vlivu počátečních podmínek. 17.2. Definice: Definice procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu ( ) ( )             λλ+µ−µ λλ+µ−µ λλ− = KKKKK K K K 2222 1111 00 0 0 00 Q , kde K0,1,2,j,0j =>λ a K1,2,j,0j =>µ jsou konstanty. Tento řetězec se nazývá proces vzniku a zániku (resp. množení a úmrtí). Přechodový diagram: Upozornění: Je zřejmé, že Poissonův proces je speciálním případem procesu vzniku a zániku, v němž µj = 0, j = 1, 2, … a λj = λ, j = 0, 1, 2, … 17.3. Věta: Stacionární rozložení procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku a zániku s intenzitami vzniku K0,1,2,j,0j =>λ a intenzitami zániku K1,2,j,0j =>µ Pak stacionární rozložení tohoto procesu je dáno vzorcem: 0 j21 1j10 j aa:Jj µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ =∈∀ − K K , kde ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ + = 1j j21 1j10 0 1 1 a K K za předpokladu, že řada ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ 1j j21 1j10 K K absolutně konverguje. Jinak stacionární rozložení neexistuje. Důkaz: Hledáme řešení systému rovnic aQ = 0, a0 + a1 + … = 1, tj. ( ) ( ) ( ) ( ) 1aaa ,,0,0,0 0 0 00 ,a,a,a 210 2222 1111 00 210 =+++ =             λλ+µ−µ λλ+µ−µ λλ− K K KKKKK K K K K ( ) 1aaa aaa ,2,1j,0aaa aa0aa 210 j 1j jj 1j 1j 1j 1j 1j1jjjj1j1j 0 1 0 11100 =+++ µ λ+µ + µ λ −= ⇒==µ+λ+µ−λ− µ λ =⇒=µ+λ− + − + − + ++−− K K Nechť j = 1: 0 21 10 0 1 0 2 11 0 2 0 1 2 11 0 2 0 2 aaaaaa µµ λλ = µ λ µ λ+µ + µ λ −= µ λ+µ + µ λ −= Obecně: 0 j21 1j10 j aa µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ = − K K , přičemž ∑ ∑∑∑ ∞ = − ∞ = − ∞ = ∞ = µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ + =⇒ µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ +=+== 1j j21 1j10 0 1j 0 j21 1j10 0 1j j0 0j j 1 1 aaaaaa1 K KK K , pokud řada ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ 1j j21 1j10 K K absolutně konverguje. 17.4. Příklad: Uvažujme populaci, kde intenzity vzniku jsou j j 3 1       =λ , j = 0, 1, 2, a intenzity zániku jsou j j 2 1       =µ , j = 1, 2, 3, … a) Napište matici intenzit přechodu a nakreslete přechodový diagram. b) Za předpokladu, že můžeme mít maximálně 5 jedinců, vypočítejte stacionární rozložení. Řešení: Výpočet stacionárního rozložení: 18. Speciální případy procesu vzniku a zániku 18.1. Definice: Definice lineárního procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0, 1, 0, …) a matici intenzit přechodu ( ) ( )             λλ+µ−µ λλ+µ−µ = KKKKK K K K 2220 0 0000 Q , kde 0,0 >µ>λ jsou konstanty. Tento řetězec se nazývá lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ. (Intenzity přechodu jsou lineárními funkcemi pořadí stavů, v nichž byl proces v předešlém okamžiku, tj. λj = jλ, j = 0, 1, 2, … µj = jµ, j = 1, 2, …) Vysvětlení: Lineární proces vzniku a zániku modeluje vývoj populace, v níž se jedinci mohou množit a zanikat podle těchto pravidel: - osudy jedinců jsou navzájem nezávislé - pravděpodobnost, že z libovolného jedince vznikne během krátkého časového intervalu ( ht,t + nový jedinec, je ( )hoh +λ a pravděpodobnost, že vznikne více než jeden jedinec, je o(h); - pravděpodobnost, že libovolný jedinec zanikne během krátkého časového intervalu ( ht,t + , je ( )hoh +µ a pravděpodobnost, že zanikne více než jeden jedinec, je o(h); - je-li rozsah populace v čase t roven j, pak pravděpodobnost, že v intervalu ( ht,t + se počet jedinců o jednoho zvětší, je ( )hohj +λ a pravděpodobnost, že v tomto intervalu se počet jedinců o jednoho zmenší, je ( )hohj +µ ; - k více než jedné změně rozsahu populace během intervalu ( ht,t + dojde s pravděpodobností o(h); - k žádné změně dojde s pravděpodobností ( )hohjhj1 +µ−λ− . Přechodový diagram: Z tvaru přechodového diagramu je zřejmé, že stav 0 je stavem absorpčním. 18.2. Věta: Věta o absolutních pravděpodobnostech v lineárním procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vztahy: Pro λ = µ: ( ) t1 t tp0 λ+ λ = , ( ) ( ) ( ) K,2,1j, t1 t tp 1j 1j j = λ+ λ = + − Pro λ ≠ µ zavedeme označení ( ) ( ) ( )t t e e1 tA µ−λ µ−λ λ−µ − = . Pak ( ) ( )tAtp0 µ= , ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] K,2,1j,tAtA1tA1tp 1j j =λµ−λ−= − Důkaz: Uvedené vztahy získáme řešením systému evolučních diferenciálních rovnic. 18.3. Důsledek: Pravděpodobnost zániku Pravděpodobnost, že soubor objektů v čase t zanikne, je ( ) ( ) ( )    µ≠λµ µ=λ λ+ λ === protA pro t1 t tp0XP 0t . Limitním přechodem pro t → ∞ zjistíme, že limitní pravděpodobnost zániku je ( )     µ>λ λ µ µ≤λ = ∞→ pro pro1 tplim 0 t . (Ze vzorce pro pj(t) plyne, že pro t → ∞ jde pj(t) k 0 pro j = 1, 2, …, tedy stavy 1, 2, 3, … jsou přechodné a pro t → ∞ proces buď skončí v ve stavu 0 nebo počet jedinců poroste nade všechny meze.) 18.4. Věta: Střední hodnota a rozptyl rozsahu souboru Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ. Předpokládejme, že v čase t = 0 má soubor rozsah k0 ≥ 1. Pak pro střední hodnotu a rozptyl rozsahu souboru v čase t > 0 platí: Pro λ = µ: ( ) ( ) tk2XD,kXE 0t0t λ== . Pro λ ≠ µ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1eekXD,ekXE t-t- 0t t- 0t − µ−λ µ+λ == µλµλµλ . Důkaz: Nebudeme provádět. 18.5. Poznámka: Limitním přechodem pro t → ∞ zjistíme, že limitní střední hodnota rozsahu souboru je ( )      µ>λ∞ µ<λ µ=λ = ∞→ pro pro0 prok XElim 0 t t 18.6. Příklad: Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces vzniku a zániku s množinou stavů J = {0, 1, 2, …}, intenzitou vzniku λ = 0,01 a intenzitou zániku µ = 0,001. a) Jaká je pravděpodobnost, že proces zanikne v čase t = 100? b) Jaká je limitní pravděpodobnost zániku? Řešení: Ad a) Podle důsledku 17.3. ( ) ( ) ( )t t 0 e e1 tp µ−λ µ−λ λ−µ − µ= , tedy ( ) 0619,0 e01,0001,0 e1 001,0100p 9,0 9,0 0 = − − = Pravděpodobnost, že v čase t = 100 proces zanikne, je 6,2 %. Ad b) ( ) 1,0 01,0 001,0 tplim 0 t == λ µ = ∞→ Limitní pravděpodobnost zániku je 10 %. 18.7. Příklad: V příkladu 18.6. předpokládejme, že v čase t = 0 soubor obsahoval 20 objektů. Jaká je střední hodnota a směrodatná odchylka rozsahu souboru v čase t = 100? Řešení: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 3679,91ee 9 11 201eekXD49,1921,20eekXE 9,09,0t-t- 0t 0,9t- 0t =−=− µ−λ µ+λ ==== µλµλµλ 18.8. Poznámka: Vlastnosti lineárního procesu vzniku a zániku lze v MATLABu ilustrovat pomocí funkce lpvz.m: function [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0) % funkce lpvz ilustruje vlastnosti linearniho procesu vzniku a zaniku % syntaxe: [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0) % vstupni parametry: % lambda je intenzita vzniku, mi intenzita zaniku % tau je konecny cas, k0 rozsah souboru v case t=0 % vystupni parametry: % M je vektor strednich hodnot rozsahu souboru v case t=0 az tau % S je vektor smerodatnych odchylek rozsahu souboru v case t=0 az tau % P je pravdepodobnost zaniku souboru v case t=0 az tau t=[0:tau]'; M=k0*exp((lambda-mi).*t); S=sqrt(k0*((lambda+mi)/(lambda-mi))*exp((lambda-mi).*t).*(exp((lambda-mi).*t)-1)); P=mi*((1-exp((lambda-mi).*t)))./(mi-lambda*exp((lambda-mi).*t)); plot(t,M) figure plot(t,S) figure plot(t,P) Použijeme tuto funkci pro proces popsaný v př. 18.6. a 18.7. lambda=0.01;mi=0.001;tau=100;k0=20; Dostaneme graf závislosti středních hodnot rozsahu souboru na čase 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 25 30 35 40 45 50 graf závislosti směrodatných odchylek rozsahu souboru na čase 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 graf závislosti pravděpodobnosti zániku na čase 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 18.9. Definice: Definice Erlangova procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem, který má konečnou množinu stavů J = {0, 1, 2, …, m}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …, 0) a matici intenzit přechodu ( ) ( ) ( ) ( )( )                     µ−µ λλ+µ−−µ− λµ+λ−µ λµ+λ−µ λλ− = mm00000 1m1m0000 000220 0000 00000 K K KKKKKKKK K K K Q , kde 0>λ a 0>µ jsou konstanty. Tento řetězec se nazývá Erlangův proces. Agner Krarup Erlang (1878 – 1929) byl dánský matematik, jako první se vědecky zabýval problematikou telefonních sítí. Pracoval 20 let pro Kodaňskou telefonní společnost. Na jeho počest byl zaveden 1 erlang jako jednotka telefonního provozu. Vysvětlení: Erlangův proces modeluje např. provoz telefonní ústředny, do níž vede m linek a provoz probíhá podle těchto pravidel: - hovory přicházejí na TÚ navzájem nezávisle; - pravděpodobnost, že během krátkého časového intervalu ( ht,t + přijde na TÚ nový hovor, je ( )hoh +λ a pravděpodobnost, že přijde více než jeden hovor, je o(h); - pravděpodobnost, že během krátkého časového intervalu ( ht,t + nepřijde žádný hovor, je ( )hoh1 +λ− ; - je-li všech m linek obsazeno, hovor se ztrácí; - doba trvání hovoru je náhodná veličina s rozložením Ex(µ); - pravděpodobnost, že hovor, který trvá v čase t, skončí během krátkého časového intervalu ( ht,t + , je ( )hoh +µ ; - pravděpodobnost, že hovor, který trvá v čase t, neskončí během krátkého časového intervalu ( ht,t + , je ( )hoh1 +µ− . Přechodový diagram: 18.10. Věta: Věta o stacionárním rozložení Erlangova procesu Stacionární rozložení Erlangova procesu je dáno vzorcem: m,,1,0j, !k 1 !j 1 a m 0k k j j K=       µ λ       µ λ = ∑= . Stacionární rozložení existuje vždy. Důkaz: Hledáme řešení systému aQ = 0, 1a m 0j j =∑= . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0,,0,0 mm00000 1m1m0000 000220 0000 00000 a,,a,a m10 K K K KKKKKKKK K K K K =                     µ−µ λλ+µ−−µ− λµ+λ−µ λµ+λ−µ λλ− 0110 aa0aa µ λ =⇒=µ+λ ( ) ( ) 1m,,2,1j,a j a 1j 1 a0a1jaja j1j1j1jj1j −=      µ µ+λ + µ λ − + =⇒=µ++µ+λ−λ −++− K 0ama m1m =µ−λ − Nechť j = 1: 0 2 00102 a !2 1 aa 2 1 aa 2 1 a       µ λ =      µ λ ⋅ µ µ+λ + µ λ −=      µ µ+λ + µ λ −= . Obecně: m,,2,1j,a !j 1 a 0 j j K=      µ λ = . Přitom ∑ ∑∑ = ==       µ λ =⇒      µ λ == m 0j j0 m 0j 0 j m 0j j !j 1 1 aa !j 1 a1 . Celkem: m,,1,0j, !k 1 !j 1 a m 0k k j j K=       µ λ       µ λ = ∑= 18.11. Příklad: V dílně pracují tři opraváři. Do této dílny přichází v průměru 24 zákazníků za 1 h. Jestliže příchozí zákazník najde volného opraváře, je k němu přiřazen a začne oprava. Jestliže není žádný opravář volný, zákazník nečeká a odchází. Předpokládáme, že doba opravy se řídí exponenciálním rozložením, přičemž průměrná doba opravy je 5 min. a) Jakou procentuální část pracovní doby jsou opraváři nevyužiti? b) Kolik procent potenciálních zákazníků je odmítnuto? c) Jaký je průměrný počet obsluhujících opravářů? Řešení: Zavedeme Erlangův proces { }Tt;Xt ∈ , kde Xt je počet obsluhujících opravářů v okamžiku t, Xt = 0, 1, 2, 3. Přitom 3m,2,12 12 1 1 ,24 == µ λ ==µ=λ Ad a) 158,0 19 3 2 6 1 2 2 1 21 2 !j 1 1 !j 1 1 a 1 32 3 0j jm 0j j0 ==      +++==       µ λ = − = = ∑∑ , tedy 15,8 % pracovní doby opraváři nepracují. Ad b) Zákazník bude odmítnut, když budou všichni tři opraváři pracovat. Počítáme 211,0 19 3 8 6 1 a !3 1 a 0 3 3 =⋅⋅=      µ λ = , tedy 21,1 % potenciálních zákazníků bude odmítnuto. Ad c) Vypočítáme zbylé složky stacionárního rozložení a = (a0, a1, a2, a3): 19 6 aa 01 = µ λ = , 19 6 a !2 1 a 0 2 2 =      µ λ = Střední hodnota počtu obsluhujících opravářů: 579,1 19 30 19 12 19 12 19 6 a3a2aja 321 3 0j j ==++=++=∑= . 18.12. Poznámka: Stacionární rozložení Erlangova procesu můžeme vypočítat v MATLABu pomocí funkce Erlang.m: function [a]=Erlang(m,lambda,mi) % funkce na vypocet stacionarniho rozlozeni Erlangova procesu % syntaxe: [a]=Erlang(m,lambda,mi) % vstupni parametry: % m ... nejvyssi poradove cislo v mnozine stavu % lambda ... intenzita vzniku % lambda ... intenzita zaniku % vystupni parametr % a ... vektor stacionarnich pravdepodobnosti a0=1/sum(((lambda/mi).^(0:m)).*(1./(factorial(0:m)))); a=((lambda/mi).^(1:m)).*(1./(factorial(1:m)))*a0; a=[a0 a]; Použijeme tuto funkci pro řešení příkladu 18.11.: m=3;lambda=24;mi=12; a=Erlang(m,lambda,mi) Dostaneme výsledek: a = 0.1579 0.3158 0.3158 0.2105 18.13. Definice: Definice procesu vzniku Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu             λλ− λλ− λλ− = KKKKK K K K 22 11 00 00 00 00 Q , kde K0,1,2,j,0j =>λ jsou konstanty. Tento řetězec se nazývá proces vzniku (resp. množení) s intenzitami K0,1,2,j,0j =>λ Vysvětlení: Proces vzniku popisuje kolísání rozsahu souboru objektů v čase, přičemž objekty mohou do souboru pouze vstupovat a nemohou vystupovat. Poissonův proces je speciálním případem procesu vzniku, kde λj = λ, j = 0, 1, 2, … Přechodový diagram: . 18.14. Věta: Absolutní pravděpodobnosti a pravděpodobnosti přechodu v procesu vzniku Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku s intenzitami K0,1,2,j,0j =>λ Pak platí: a) Absolutní pravděpodobnosti jsou dány vztahy: ( ) t 0 0 etp λ− = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑= +− λ− − λ−λ⋅⋅λ−λλ−λ⋅⋅λ−λ λ⋅⋅λλ−= j 0i ji1ii1ii0i t 1j10 j j i e 1tp KK K , j = 1, 2, … b) Pravděpodobnosti přechodu jsou dány vztahy: ( )      λ=λλ λ≠λ− λ−λ λ = + λ− + λ−λ− ++ + prote proee p j1j t j j1j tt j1j j 1j,j j 1jj Důkaz: Ad a) Plyne ze systému evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (1, 0, 0, …) Ad b) Plyne ze systému Kolmogorovových prospektivních diferenciálních rovnic ( ) ( )QPP tt' = s počáteční podmínkou P(0) = I 18.15. Příklad: Nechť v procesu vzniku jsou intenzity vzniku dány vztahem λj = (N + j)λ, kde N je dané přirozené číslo a λ > 0 je konstanta. Odvoďte vektor absolutních pravděpodobností. Řešení: ( ) tNt 0 eetp 0 λ−λ− == ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑= +− λ− − λ−λ⋅⋅λ−λλ−λ⋅⋅λ−λ λ⋅⋅λλ−= j 0i ji1ii1ii0i t 1j10 j j i e 1tp KK K = =( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑= λ+− λ+−λ+⋅⋅λ++−λ+λ−+−λ+⋅⋅λ−λ+ −++λ− j 0i tiN jj jNiN1iNiN1iNiNNiN e 1jN1NN1 KK K =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1jN !ij!i1 e e 1 !1N !1jN 1 ji11ii e !1N !1jN 1 j 0i ij ti tN j jj j 0i tiN jj −+= −−λ− −+ λ−= λ−λ−λλ−λ− −+ λ− ∑∑ = − λ− λ− = λ+− KK = = ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )jttN j 0i ijittN j 0i iittN e1e j 1jN 1e i j e j 1jN 1e i j !j 1 e !1N !1jN λ−λ− = −λ−λ− = λ−λ− −      −+ =−            −+ =−      − −+ ∑∑ Znamená to, že Xt ~ Ps(N, e-λt ). 18.16. Definice: Definice lineárního procesu vzniku Nechť v procesu vzniku jsou intenzity vzniku úměrné rozsahu souboru, tj. λj = jλ, j = 1, 2, …, λ > 0. Předpokládejme, že na začátku je v souboru jeden objekt. Matice intenzit přechodu má tedy tvar               λλ− λλ− λλ− = KKKKK K K K 3300 0220 00 Q . Tento proces se nazývá lineární proces vzniku (Yuleův proces). 18.17. Věta: Absolutní pravděpodobnosti v Yuleově procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je Yuleův proces s intenzitou vzniku λ > 0. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vzorcem: ( ) ( ) K,2,1j,ee1tp t1jt j =−= λ−−λ− Znamená to, že rozsah souboru v čase t zmenšený o 1 se řídí rozložením Ge(e-λt ). Důkaz: Plyne z příkladu 18.15., kde položíme N = 1. 18.18. Věta: Střední hodnota a rozptyl v Yuleově procesu V Yuleově procesu je střední hodnota rozsahu souboru v čase t rovna eλt a rozptyl eλt (eλt – 1). Důkaz: Plyne z vlastností geometrického rozložení. (Proces vzniku i Yuleův proces mají v praxi jen malý význam, protože v reálném světě neexistují populace, jejichž jedinci nepodléhají zániku. Nicméně, uvedených procesů je možno použít např. k modelování krátkodobého růstu kolonie bakterií v prostředí s dostatkem živin.) 18.19. Příklad: Nechť je dán Yuleův proces s parametrem λ = 2,34. a) Jaká je pravděpodobnost, že v čase t = 0,6 bude rozsah souboru nejvýše 5? b) Vypočtěte střední hodnotu a směrodatnou odchylku rozsahu souboru v čase t = 0,2. Řešení: Ad a) ( ) ( ) K,2,1j,ee1tp t1jt j =−= λ−−λ− ( ) ( ) ( ) 7557,0ee16,0p5XP 5 0j 6,034,21j6,034,2 5 0j j6,0 =−==≤ ∑∑ = ⋅−−⋅− = Ad b) ( ) t t eXE λ = , ( ) ( )1eeXD tt t −= λλ ( ) 5968,1eXE 2,034,2 2,0 == ⋅ , ( ) ( ) 9762,01eeXD 2,034,22,034,2 2,0 =−= ⋅⋅ 18.20. Definice: Definice procesu zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …, N}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0, 0, …, 1) a matici intenzit přechodu                 µ−µ µ−µ µ−µ = NN 22 11 0000 0000 0000 000000 K KKKKKKK K K K Q , kde N,,2,1j,0j K=>µ jsou konstanty. Tento proces se nazývá proces zániku. Vysvětlení: Na počátku má soubor N objektů. Objekty mohou ze souboru jenom vystupovat, přičemž intenzita výstupu ze souboru rozsahu j je µj, j = 1, 2, …, N. Proces končí zánikem souboru. Přechodový diagram: 18.21. Definice: Definice lineárního procesu zániku Nechť v procesu zániku jsou intenzity zániku úměrné rozsahu souboru, tj. µj = jµ, j = 0, 1, …, N, µ > 0. Matice intenzit přechodu má tedy tvar:                 µ−µ µ−µ µ−µ = NN0000 000220 0000 000000 K KKKKKKK K K K Q . Tento proces se nazývá lineární proces zániku. 18.22. Věta: Absolutní pravděpodobnosti v lineárním procesu zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces zániku s intenzitou zániku µ > 0. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vzorcem: ( ) ( ) ( ) N,,1,0j,e1e j N tp jNtjt j K=−      = −µ−µ− . Znamená to, že rozsah souboru v čase t se řídí rozložením Bi(N, e-µt ). Důkaz: Plyne z evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (0, 0, …, 1). 18.23. Věta: Střední hodnota a rozptyl v lineárním procesu zániku V lineárním procesu zániku je střední hodnota rozsahu souboru v čase t rovna Ne-µt a rozptyl Ne-µt (1- e-µt ) . Důkaz: Plyne z vlastností binomického rozložení.