6. Odhady pravděpodobností v HMŘ a testy hypotéz o nich
6.1. Popis situace: Předpokládejme, že HMŘ { }0n Nn;X ∈ s konečným počtem stavů k má vektor počátečních
pravděpodobností p(0) = (p1(0), p2(0), …, pk(0)) a matici přechodu










=
kk1k
k111
pp
pp
L
LLL
L
P . Tyto pravděpodobnosti však
neznáme, můžeme je pouze odhadnout na základě dlouhodobého pozorování systému.
Pro i, j = 1, …, k označme:
cij … počet pozorování přechodu systému ze stavu i do stavu j,
∑=
=
k
1j
iji
cc … celkový počet přechodů, které začínaly ve stavu i,
∑=
=
k
1i
i
cc … celkový počet všech pozorovaných přechodů.
Pozorované hodnoty zaznamenáme do tabulky:
1 2 … k ∑
1 c11 c12 … c1k c1
2 c21 c22 … c2k c2
… … … … … …
k ck1 ck2 … ckk ck
∑ c
6.2. Bodové odhady počátečních pravděpodobností a pravděpodobností přechodu
Bodový odhad počáteční pravděpodobnosti pi(0) získáme metodou maximální věrohodnosti. Předpokládáme, že v čase n = 0
máme celkem c pozorování přechodu řetězce, z nichž v ci případech byl řetězec ve stavu i. Číslo ci považujeme za realizaci
náhodné veličiny Yi. Je zřejmé, že ( )( )0pc,Bi~Y ii , tedy ( ) ( ) ( )( ) c,,1,0c,0p10p
c
c
cYP i
cc
i
c
i
i
ii
ii
K=−





==
−
.
Zlogaritmováním pravděpodobnostní funkce P(Yi = ci) získáme logaritmickou věrohodnostní funkci:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )0p1lncc0plnc
c
c
lnc;0pl iiii
i
ii −−++





= .
Tuto funkci derivujeme podle pi(0) a derivaci položíme rovnu 0:
( )( )
( ) ( ) ( )
0
0p1
cc
0p
c
0dp
c;0pdl
i
i
i
i
i
ii
=
−
−
−=
Vyřešením této rovnice získáme maximálně věrohodný odhad počáteční pravděpodobnosti pi(0): ( )
c
c
0pˆ i
i = .
Je to relativní četnost počtu přechodů, které začínaly ve stavu i.
Analogicky lze odvodit, že maximálně věrohodným odhadem pravděpodobnosti přechodu pij je





=
≠
=
0cpro0
0cpro
c
c
pˆ
i
i
i
ij
ij , tedy
ijpˆ je relativní četnost případů, kdy řetězec, nacházející se v okamžiku n ve stavu i, posunul v čase n + 1 do stavu j.
6.3. Intervalové odhady počátečních pravděpodobností a pravděpodobností přechodu
a) Waldův interval spolehlivosti
Při výpočtu mezí intervalu spolehlivosti využijeme centrální limitní větu:
Jsou-li náhodné veličiny X1, …, Xn stochasticky nezávislé a všechny mají stejné rozložení se střední hodnotou µ
a rozptylem σ2
, pak pro velká n (n ≥ 30) lze rozložení standardizovaného součtu
n
nX
U
n
1i
i
σ
µ−
=
∑=
aproximovat
standardizovaným normálním rozložením N(0,1). Zkráceně píšeme Un ≈ N(0,1).
Vraťme se k HMŘ. Na náhodnou veličinu ( )( )0pc,Bi~Y ii můžeme pohlížet jako součet c nezávislých náhodných veličin,
z nichž každá se řídí alternativním rozložením A(pi(0)). Přitom ( ) ( )0cpYE ii = a ( ) ( ) ( )[ ]0p10cpYD iii −= .
Podle CLV tedy platí:
( )
( ) ( )[ ]
( )1,0N
0p10cp
0cpY
U
ii
ii
≈
−
−
= .
Čitatele a jmenovatele podělíme c a pi(0) ve jmenovateli nahradíme odhadem ( )0pˆi :
( )
( ) ( )[ ]
( )1,0N
c
0pˆ10pˆ
0pcY
U
ii
ii
≈
−
−
=
100(1-α)% asymptotický Waldův interval spolehlivosti pro počáteční pravděpodobnost pi(0) má tedy meze:
( ) ( )[ ]
21
iii
u
c
0pˆ10pˆ
c
Y
D α−
−
−= ,
( ) ( )[ ]
21
iii
u
c
0pˆ10pˆ
c
Y
H α−
−
+=
Po nahrazení náhodné veličiny Yi její realizací ci dostaneme empirický interval spolehlivosti:
( ) ( ) ( )[ ]
21
ii
i
u
c
0pˆ10pˆ
0pˆ α−
−
± , kde ( )
c
c
0pˆ i
i =
Analogicky se odvodí 100(1-α)% asymptotický Waldův interval spolehlivosti pro pravděpodobnost přechodu. Empirické
meze jsou
( )
21
i
ijij
ij u
c
pˆ1pˆ
pˆ α−
−
± , kde
i
ij
ij
c
c
pˆ =
Waldův interval spolehlivosti lze korektně použít, je-li splněna podmínka dobré aproximace: ( ) ( )[ ] 90pˆ10pˆc ii >− resp.
( ) ( )[ ] 90pˆ10pˆc ijiji >− . Není-li tato podmínka splněna, doporučuje se použít skórový interval spolehlivosti.
b) Skórový interval spolehlivosti
Pokud ve statistice
( )
( ) ( )[ ] c0p10p
0pcY
U
ii
ii
−
−
= nenahradíme pi(0) ve jmenovateli odhadem ( )0pˆ i , můžeme sestrojit skórový
interval spolehlivosti pro pi(0).
Meze tohoto intervalu splňují nerovnost:
( )
( ) ( )[ ] 2/1
ii
ii
u
c0p10p
0pcY
α−≤
−
−
.
Umocníme na druhou:
( )
( ) ( )[ ]
2/1
2
2
ii
ii
u
c0p10p
0pcY
α−≤








−
−
.
Řešením kvadratické rovnice pro pi(0) obdržíme :






+












+−





+±+
α−
α−α−α−
c
u
12
c
Y
c
u
14
c
u
c
Y
2
c
u
c
Y
2
2/1
2
2
i2/1
22
2/1
2
i2/1
2
i
.
Po nahrazení náhodné veličiny Yi její realizací ci dostaneme empirický interval spolehlivosti:
( ) ( ) ( )






+






+−





+±+
α−
α−α−α−
c
u
12
0pˆ
c
u
14
c
u
0pˆ2
c
u
0pˆ2
2/1
2
2
i
2/1
22
2/1
2
i
2/1
2
i
, kde ( )
c
c
0pˆ i
i =
Analogicky se odvodí 100(1-α)% asymptotický skórový interval spolehlivosti pro pravděpodobnost přechodu.
Empirické meze jsou






+






+−





+±+
α−
α−α−α−
i
2/1
2
2
ij
i
2/1
2
2
i
2/1
2
ij
i
2/1
2
ij
c
u
12
pˆ
c
u
14
c
u
pˆ2
c
u
pˆ2
, kde
i
ij
ij
c
c
pˆ =
6.4. Příklad: V jistém regionu bylo náhodně vybráno 2501 domácností. Bylo zjištěno, že k určitému datu
629 domácností nepředplácelo žádný deník, 750 předplácelo regionální deník a zbytek celostátní deník.
Z těch domácností, které neměly žádné předplatné, hodlá v příštím měsíci 126 předplácet regionální a 63
celostátní deník. Z domácností, které předplácejí regionální deník, u něj v příštím měsíci zůstane 525
domácností a 75 začne předplácet celostátní deník. A nakonec z těch domácností, které předplácejí celostátní
deník, 673 nezmění předplatné a 112 přejde na předplatné regionálního deníku.
Modelujte situaci pomocí homogenního markovského řetězce a najděte bodové a intervalové odhady (se
spolehlivostí 95 %) počátečních pravděpodobností a pravděpodobností přechodu.
Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec { }0n
Nn;X ∈ s množinou stavů J = {1, 2, 3}, kde Xn = 1, když v n-tém
měsíci náhodně vybraná domácnost nemá žádné předplatné, Xn = 2, když má předplatné na regionální deník a Xn = 3, když
má předplatné na celostátní deník. Údaje obsažené v textu úlohy uspořádáme do tabulky:
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501
Nejprve odhadneme počáteční pravděpodobnosti podle vzorce ( ) k,,2,1i,
c
c
0pˆ i
i K== .
V našem případě k = 3, c1 = 629, c2 = 750, c3 = 1122, c = 2501.
( ) ( ) ( ) 4486,0
2501
1122
0pˆ,2999,0
2501
750
0pˆ,2515,0
2501
629
0pˆ 121 ======
Odhad vektoru počátečních pravděpodobností: ( ) ( )45,0;3,0;25,00pˆ = .
Znamená to, že na počátku sledování 25 % domácností v daném regionu nemělo žádné předplatné, 30 % předplácelo
regionální deník a 45 % celostátní deník.
Před výpočtem intervalů spolehlivosti ověříme, zda jsou splněny podmínky dobré aproximace ( ) ( )[ ] 9c0pˆ10pˆ ii
>− .
Přitom ( ) ( ) ( ) 2501c,
2501
1122
0pˆ,
2501
750
0pˆ,
2501
629
0pˆ 321
==== . Tedy
i = 1: 4692501
2501
629
1
2501
629
=





− ,
i = 2: 5252501
2501
750
1
2501
750
=





− ,
i = 3: 6192501
2501
1122
1
2501
1122
=





− .
Vidíme, že podmínky jsou splněny. Pro i = 1, 2, 3 a 05,0=α dosadíme do vzorce ( ) ( ) ( )[ ]
21
ii
i
u
c
0pˆ10pˆ
0pˆ α−
−
± .
Dostaneme meze 95% asymptotických Waldových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0).
( ) ( )2685,0;2345,00p1 ∈ , ( ) ( )3178,0;2819,00p2 ∈ , ( ) ( )4681,0;4291,00p3 ∈ vždy s pravděpodobností 95 %.
Interpretujeme např. 1. interval spolehlivosti: Ve sledovaném regionu je k danému datu s pravděpodobností 95 % 23,45 %
až 26,85 % domácností, které nepředplácejí žádný deník.
Pro porovnání nyní vypočteme meze 95% skórových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0).
Pro i = 1, 2, 3 a 05,0=α dosadíme do vzorce
( ) ( ) ( )






+






+−





+±+
α−
α−α−α−
c
u
12
0pˆ
c
u
14
c
u
0pˆ2
c
u
0pˆ2
2/1
2
2
i
2/1
22
2/1
2
i
2/1
2
i
.
Dostaneme meze 95% asymptotických skórových intervalů spolehlivosti pro p1(0), p2(0), p3(0).
( ) ( )2689,0;2349,00p1 ∈ , ( ) ( )3191,0;2822,00p2 ∈ , ( ) ( )4682,0;4292,00p3 ∈ vždy s pravděpodobností 95 %.
Nyní se budeme věnovat odhadům pravděpodobností přechodu. Použijeme vzorec k,,1j,i,
c
c
pˆ
i
ij
ij
K== .
Znovu uvedeme tabulku se zadanými údaji:
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501
V našem případě k = 3,
c11 = 440, c12 = 126, c13 = 63, c1 = 629,
c21 = 150, c22 = 525, c23 = 75, c2 = 750,
c31 = 337, c32 = 112, c33 = 673, c3 = 1122.
1002,0
629
63
pˆ,2003,0
629
126
pˆ,6995,0
629
440
pˆ 131211
======
1,0
750
75
pˆ,7,0
750
525
pˆ,2,0
750
150
pˆ 132221
======
5998,0
1122
673
pˆ,0998,0
1122
112
pˆ,3004,0
1122
337
pˆ 333231
======










=
0,60,10,3
0,10,70,2
0,10,20,7
ˆP
Interpretujeme např. 1. řádek odhadnuté matice přechodu: Pokud v jednom měsíci náhodně vybraná domácnost
neodebírala žádný deník, tak v příštím měsíci s pravděpodobností 0,7 opět nebude mít žádné předplatné,
s pravděpodobností 0,2 si předplatí regionální deník a s pravděpodobností 0,1 celostátní deník.
Před výpočtem intervalů spolehlivosti ověříme splnění podmínek dobré aproximace ( ) 9pˆ1pˆc ijiji >− .
Připomínáme, že
c11 = 440, c12 = 126, c13 = 63, c1 = 629,
c21 = 150, c22 = 525, c23 = 75, c2 = 750,
c31 = 337, c32 = 112, c33 = 673, c3 = 1122.
i = 1: 57629
629
63
1
629
63
,101629
629
126
1
629
126
,132629
629
440
1
629
440
=





−=





−=





−
i = 2: 68750
750
75
1
750
75
,158750
750
525
1
750
525
,120750
750
150
1
750
150
=





−=





−=





−
i = 3: 2691122
1122
673
1
1122
673
,1091122
1122
112
1
1122
112
,2361122
1122
337
1
1122
337
=





−=





−=





−
Ve všech devíti případech jsou podmínky dobré aproximace splněny, můžeme tedy spočítat meze 95%
Waldových asymptotických intervalů spolehlivosti pro pravděpodobnosti přechodu. Pro i, j = 1, 2, 3 a
05,0=α dosadíme do vzorce
( )
21
i
ijij
ij u
c
pˆ1pˆ
pˆ α−
−
± .
( ) ( ) ( ),1236,0;0767,0p,2316,0;169,0p,7354,0;6637,0p 131211
∈∈∈
( ) ( ) ( ),1215,0;0785,0p,7328,0;6672,0p,2286,0;1714,0p 232221 ∈∈∈
( ) ( ) ( )6285,0;5712,0p,1174,0;0823,0p,3272,0;2735,0p 333231
∈∈∈ .
Interpretujeme např. interval spolehlivosti pro p11: Pokud v jednom měsíci náhodně vybraná domácnost
neodebírala žádný deník, tak v příštím měsíci můžeme se spolehlivostí 95 % zaručit, že s pravděpodobností
66,37 % až 73,54 % opět nebude odebírat žádný deník.
Pro srovnání spočteme meze 95% skórových asymptotických intervalů spolehlivosti pro pravděpodobnosti
přechodu. Pro i, j = 1, 2, 3 a 05,0=α dosadíme do vzorce






+






+−





+±+
α−
α−α−α−
i
2/1
2
2
ij
i
2/1
2
2
i
2/1
2
ij
i
2/1
2
ij
c
u
12
pˆ
c
u
14
c
u
pˆ2
c
u
pˆ2
.
( ) ( ) ( ),1261,0;0791,0p,2334,0;1709,0p,7341,0;6626,0p 131211 ∈∈∈
( ) ( ) ( ),1236,0;0805,0p,7317,0;6663,0p,2301,0;1729,0p 232221 ∈∈∈
( ) ( ) ( )6281,0;5709,0p,1188,0;0836,0p,3278,0;2743,0p 333231 ∈∈∈
6.5. Testy o počátečních pravděpodobnostech
Máme HMŘ { }0n Nn;X ∈ s konečným počtem stavů k a vektorem počátečních pravděpodobností
p(0) = (p1(0), p2(0), …, pk(0)). Nechť ci je počet těch případů, kdy se řetězec v okamžiku n = 0 nachází ve
stavu i a počet všech výskytů řetězce v jednotlivých stavech je ∑=
=
k
1i
i
cc .
Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: p1(0) = p1 ∧ … ∧ pk(0) = pk (p1 ≥ 0, …, pk ≥ 0 jsou
předem dané pravděpodobnosti, jejich součet je 1) proti alternativě H1: aspoň jedna rovnost neplatí.
a) Waldův test (známý také jako Pearsonův chí-kvadrát test dobré shody)
Testová statistika:
( ) ( )1k
cp
cpc
T 2
k
1i i
2
ii
0 −χ≈
−
= ∑=
, když H0 platí.
Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1kW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
b) Test poměrem věrohodnosti
Testová statistika: ( )1k
p
cc
lnc2T 2
k
1i i
i
i0 −χ≈= ∑=
, když H0 platí.
Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1kW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Upozornění: Musí být splněny podmínky dobré aproximace cpi ≥ 5 pro všechna i = 1, …, k. Není-li pro
některé stavy tato podmínka splněna, slučujeme tyto stavy se stavy jim nejbližšími.
6.6. Příklad: Vraťme se k příkladu s předplácením denního tisku v daném regionu. Připomeňme, že z 2501
náhodně vybraných domácností jich k určitému datu 629 nepředplácelo žádný deník, 750 předplácelo
regionální deník a zbytek (tj. 1122) celostátní deník. V celostátním měřítku k témuž datu žádné předplatné
nemá 23 % domácností, jakýkoliv regionální deník si předplácí 29 % domácností a 48 % domácností si
předplácí celostátní deník. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že vektor počátečních
pravděpodobností v daném regionu se shoduje s vektorem počátečních pravděpodobností v celostátním
měřítku.
Řešení: Testujeme hypotézu H0: p1(0) = 0,23 ∧ p2(0) = 0,29 ∧ p3(0) = 0,48.
Ověříme podmínky dobré aproximace: cpi ≥ 5 pro i = 1, 2, 3.
i = 1: 2501.0,23 = 575,23, i = 2: 2501.0,29 = 725,29, i = 3: 2501.0,48 = 1200,48
Testová statistika Waldova testu:
( ) ( ) ( ) ( ) 9986,10
48,02501
48,025011122
29,02501
29,02501750
23,02501
23,02501629
cp
cpc
T
222k
1i i
2
ii
0 =
⋅
⋅−
+
⋅
⋅−
+
⋅
⋅−
=
−
= ∑=
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞χ= ;9915,5,2W 95,0
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Pro úplnost: p = 0,0041.
Testová statistika testu poměrem věrohodnosti:
9551,10
48,0
25011122
ln1122
29,0
2501750
ln750
23,0
2501629
ln6292
p
cc
lnc2T
k
1i i
i
i0 =





⋅+⋅+⋅== ∑=
Kritický obor: ( ) ) )∞=∞χ= ;9915,5,2W 95,0
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Pro úplnost: p = 0,0042.
6.7. Testy o pravděpodobnostech přechodu
Nechť { }0n Nn;X ∈ je HMŘ s konečným počtem stavů k a maticí přechodu P = ( )k
1j,iijp =
. Na hladině
významnosti α testujeme hypotézu H0: pij = pij
0
pro k,,1j,i K=∀ ( pij
0
≥ 0 jsou předem dané
pravděpodobnosti, k,,1i,1p
k
1j
0
ij K==∑=
) proti alternativě H1: existují i,j taková, že pij ≠ pij
0
.
a) Waldův test (známý také jako Pearsonův chí-kvadrát test dobré shody)
Testová statistika:
( ) ( )( )1kk
p
ppˆc
T 2
k
1i
k
1j
0
ij
20
ijiji
0 −χ≈
−
= ∑∑= =
, když H0 platí.
Kritický obor: ( )( ) )∞−χ= α− ,1kkW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
b) Test poměrem věrohodnosti
Testová statistika: ( )( )1kk
p
pˆ
lnc2T 2
k
1i
k
1j
0
ij
ij
ij0 −χ≈= ∑∑= =
, když H0 platí.
Kritický obor: ( )( ) )∞−χ= α− ,1kkW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Upozornění:
Musí být splněny podmínky dobré aproximace cipij ≥ 5 pro všechna i,j = 1, …, k. Není-li pro některé stavy
tato podmínka splněna, slučujeme tyto stavy se stavy jim nejbližšími.
Tvrzení o rozložení testové statistiky za platnosti H0 je pravdivé, pokud všechny pravděpodobnosti pij
0
jsou
kladné. V případě, že některá pij
0
jsou nulová, pak ve vzorci pro T0 uvažujeme pouze takové dvojice indexů
(i, j), pro které pij
0
> 0. Pak T0 má za platnosti H0 asymptoticky rozložení χ2
(k(k-1)-s), kde s je počet
nulových pravděpodobností.
6.8. Příklad: V příkladu s předplácením denního tisku jsme na základě údajů zjištěných v daném regionu, tj.
pomocí tabulky
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501
odhadli matici přechodu:










=
0,60,10,3
0,10,70,2
0,10,20,7
ˆP . Je známo, že v celostátním měřítku má
matice přechodu tvar










=
0,580,120,30
0,110,680,21
0,090,190,72
0
P .
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: P = P0
proti H1: P ≠ P0
.
Řešení:
Ad a) Waldův test
Musíme ověřit splnění podmínek dobré aproximace.
i = 1: c11 = 440, c12 = 126, c13 = 63, c1 = 629
c1p11
0
= 629.0,72 = 452,88, c1p12
0
= 629.0,19 = 119,51, c1p13
0
= 629.0,09 = 56,61
i = 2: c21 = 150, c22 = 525, c23 = 75, c2 = 750
c2p21
0
= 750.0,21 = 157,5, c2p22
0
= 750.0,68 = 510, c2p23
0
= 750.0,11 = 82,5
i = 3: c31 = 337, c32 = 112, c33 = 673, c3 = 1122
c3p31
0
= 1122.0,3 = 336,6, c3p32
0
= 1122.0,12 = 134,64, c3p33
0
= 1122.0,58 = 650,76
Podmínky dobré aproximace jsou splněny, můžeme vypočítat testovou statistiku.
Pro výpočet testové statistiky potřebujeme výchozí tabulku četností přechodu mezi
jednotlivými stavy a matici P0
:
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501










=
0,580,120,30
0,110,680,21
0,090,190,72
0
P
( )
4877,7
58,0
58,0
1122
673
68,0
12,0
1122
112
3,0
3,0
1122
337
1122
11,0
11,0
750
75
68,0
68,0
750
525
21,0
21,0
750
150
750
09,0
09,0
629
63
19,0
19,0
629
126
72,0
72,0
629
440
629
p
ppˆc
T
222
222
222
k
1i
k
1j
0
ij
20
ijiji
0
=


















−
+






−
+






−
+
+


















−
+






−
+






−
+
+


















−
+






−
+






−
=
−
= ∑∑= =
Kritický obor: ( )( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ;5916,12,6,1kkW 95,0
2
1
2
Testová statistika nepatří do kritického oboru, nulovou hypotézu tedy nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Ad b) Test poměrem věrohodnosti
Pro výpočet testové statistiky potřebujeme výchozí tabulku četností přechodu mezi jednotlivými stavy a
matici P0
:
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501










=
0,580,120,30
0,110,680,21
0,090,190,72
0
P
7073,7
58,0
1122
673
ln673
12,0
1122
112
ln112
3,0
1122
337
ln337
11,0
750
75
ln75
68,0
750
525
ln525
21,0
750
150
ln150
09,0
629
63
ln63
19,0
629
126
ln126
72,0
629
440
ln440
2
p
pˆ
lnc2T
k
1i
k
1j
0
ij
ij
ij0
=


















⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
== ∑∑= =
Kritický obor: ( )( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ;5916,12,6,1kkW 95,0
2
1
2
Testová statistika nepatří do kritického oboru, nulovou hypotézu tedy nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
6.9. Test homogenity dvou vektorů počátečních pravděpodobností
Předpokládáme, že máme dva nezávislé homogenní markovské řetězce { }0n Nn;X ∈ a { }0n Nn;Y ∈ , které
mají stejnou konečnou množinu stavů J = {1, 2, …, k}. Označme pX(0) vektor počátečních pravděpodobností
1. řetězce a pY(0) vektor počátečních pravděpodobností 2. řetězce. Na hladině významnosti α testujeme
hypotézu H0: pX(0) = pY(0) proti alternativě H1: pX(0) ≠ pY(0). Přitom máme k dispozici celkové počty přechodů,
které začínaly ve stavech 1, 2, …, k:
1 2 … k Σ
1. řetězec c1 c2 … ck c
2. řetězec d1 d2 … dk d
Σ c1+d1 c2+d2 … ck+dk c+d
Testová statistika:
( )
( )
( )
( )∑=












+
+






+
+
−
+
+
+






+
+
−
=
k
1i ii
2
ii
i
ii
2
ii
i
0
dc
dcd
dc
dcd
d
dc
dcc
dc
dcc
c
T
se za platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
χ2
(k-1).
Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1kW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Upozornění: Musí být splněny podmínky dobré aproximace, tj. teoretické četnosti
( ) ( ) k,,1i,
dc
dcd
,
dc
dcc iiii
K=
+
+
+
+
musí být aspoň v 80 % případů ≥ 5 a ve zbylých 20 % nesmí klesnout pod 2.
6.10. Příklad: Budeme se zabývat průzkumem předplácení tisku ve dvou různých regionech. V regionu č. 1
z 2501 náhodně vybraných domácností jich k určitému datu nepředplácelo žádný deník 629, regionální deník
předplácelo 750 a celostátní deník předplácelo 1122. V regionu č. 2 z 2793 náhodně vybraných domácností
jich k témuž dat 678 nepředplácelo žádný deník, 1322 předplácelo regionální deník a 1322 celostátní deník.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že vektory počátečních pravděpodobností v 1. a 2. regionu se
shodují.
Řešení:
Zjištěná data zapíšeme do kontingenční tabulky.
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 629 (25,15 %) 750 (29,99 %) 1122 (44,86 %) 2501
2. region 678 (24,27 %) 793 (28,39 %) 1322 (47,35 %) 2793
Σ 1307 1543 2444 5294
Vypočteme teoretické četnosti.
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 46,617
5294
13072501
=
⋅
95,728
5294
15432501
=
⋅
6,1154
5294
24442501
=
⋅ 2501
2. region 55,689
5294
13072793
=
⋅
05,814
5294
15432793
=
⋅
4,1289
5294
24442793
=
⋅ 2793
Σ 1307 1543 2444 5294
Vidíme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny.
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 629 750 1122 2501
2. region 678 793 1322 2793
Σ 1307 1543 2444 5294
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 46,617
5294
13072501
=
⋅
95,728
5294
15432501
=
⋅
6,1154
5294
24442501
=
⋅ 2501
2. region 55,689
5294
13072793
=
⋅
05,814
5294
15432793
=
⋅
4,1289
5294
24442793
=
⋅ 2793
Σ 1307 1543 2444 5294
Dosadíme do vzorce pro testovou statistiku.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3062,3
4,1289
4,12891322
05,814
05,814793
55,689
55,689678
6,1154
6,11541122
95,728
95,728750
46,617
46,617629
dc
dcd
dc
dcd
d
dc
dcc
dc
dcc
c
T
222
222k
1i ii
2
ii
i
ii
2
ii
i
0
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=












+
+






+
+
−
+
+
+






+
+
−
= ∑=
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ;9915,5,2,1kW 95,0
2
1
2
Protože WT0 ∉ , hypotézu o shodě vektorů počátečních pravděpodobností nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
6.11. Test shody stochastických vektorů matice přechodu
Máme homogenní markovský řetězec { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {1, 2, …, k} a maticí přechodu










=










=
k
1
p
p
P M
L
LLL
L
kk1k
k111
pp
pp
. Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: p1 = … = pk proti alternativě H1:
aspoň jedna dvojice vektorů se liší. Přitom máme k dispozici tabulku pozorovaných četností všech přechodů
daného řetězce:
1 2 … k ∑
1 c11 c12 … c1k c1
2 c21 c22 … c2k c2
… … … … … …
k ck1 ck2 … ckk ck
∑ c
Tuto tabulku přepíšeme do jiného tvaru, který nám umožní provést požadovaný test.
stav setrvání ve stavu přechod jinam ∑
1 c11 c1-c12-…-c1k c1
2 c22 c2-c21-…-c2k c2
M M M M
k ckk ck-ck2-…-ck-1,k ck
∑
∑=
k
1i
iic ∑=
−
k
1i
iicc c
Pro přehlednější zápis kontingenční tabulky (a následně testové statistiky) zavedeme následující označení:
stav setrvání ve stavu přechod jinam ∑
1 n11 n12 n1.
2 n21 n22 n2.
M M M M
k nk1 nk2 nk.
∑ n.1 n.2 n
Testová statistika ∑∑= =






−
=
k
1i
2
1j j..i
2
j..i
ij
0
n
nn
n
nn
n
T
se za platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením χ2
(k-1).
Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1kW 1
2
⇒∈ WT0 H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Upozornění: Musí být splněny podmínky dobré aproximace, tj. teoretické četnosti
n
nn j..i
, i = 1, 2, …, k, j = 1, 2
musí být aspoň v 80 % případů ≥ 5 a ve zbylých 20 % nesmí klesnout pod 2.
6.12. Příklad: V příkladu 6.4. jsme získali údaje o četnostech přechodu domácností mezi jednotlivými stavy
(1 – žádné předplatné, 2 – předplatné regionálního deníku, 3 – předplatné regionálního deníku) v měsíčním
kroku:
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že všechny tři stochastické vektory v matici přechodu jsou
shodné.
Řešení: V příkladu 6.4. jsme vypočítali odhad matice přechodu










=
0,60,10,3
0,10,70,2
0,10,20,7
ˆP , tedy
( ) ( ) ( )6,01,03,0ˆ,1,07,02,0ˆ,1,02,07,0ˆ 32 === ppp1 . Na asymptotické hladině významnosti 0,05
testujeme H0: p1 = p2 = p3 proti alternativě H1: aspoň jedna dvojice stochastických vektorů se liší.
Zjištěné údaje přepíšeme do kontingenční tabulky.
stav setrvání ve stavu přechod jinam ∑
1 440 189 629
2 525 225 750
3 673 449 1122
∑ 1638 863 2501
Vypočteme teoretické četnosti.
stav setrvání ve stavu přechod jinam ∑
1 96,411
2501
1638629
=
⋅
04,217
2501
863629
=
⋅ 629
2 2,491
2501
1638750
=
⋅
8,258
2501
863750
=
⋅ 750
3 84,734
2501
16381122
=
⋅
16,387
2501
8631122
=
⋅ 1122
∑ 1638 863 2501
Podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Dosadíme do vzorce pro testovou statistiku:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 3533,27
16,387
16,387449
84,734
84,734673
8,258
8,258225
2,491
2,491525
04,217
04,217189
96,411
96,411440
n
nn
n
nn
n
T
22
2222k
1i
2
1j j..i
2
j..i
ij
0
=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=






−
= ∑∑= =
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ;9915,5,2,1kW 95,0
2
1
2
Protože WT0 ∈ , hypotézu o shodě stochastických vektorů v matici přechodu zamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
6.13. Test shody dvou matic přechodu
Máme dva nezávislé homogenní markovské řetězce { }0n Nn;X ∈ a { }0n Nn;Y ∈ , které mají stejnou
konečnou množinu stavů J = {1, 2, …, k}. Označme PX matici přechodu 1. řetězce a PY matici přechodu 2.
řetězce. Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: PX = PY proti alternativě H1: PX ≠ PY. Přitom
máme k dispozici tabulky četností přechodů 1. a 2. řetězce:
1. řetězec
1 2 … k ∑
1 c11 c12 … c1k c1
2 c21 c22 … c2k c2
… … … … … …
k ck1 ck2 … ckk ck
∑ c
2. řetězec
1 2 … k ∑
1 d11 d12 … d1k d1
2 d21 d22 … d2k d2
… … … … … …
k dk1 dk2 … dkk dk
∑ d
Jednotlivé řádky matice přechodu 1. řetězce označíme pX1, …, pXk, 2. řetězce pak pY1, …, pYk.
Test hypotézy o shodě matic přechodu převedeme na k testů shody stochastických vektorů, tj. H0j: pXj = pYj
proti H1j: pXj ≠ pYj, j = 1, 2, …, k.
Tabulky četností přechodů přepíšeme do k kontingenčních tabulek, tedy j-tá tabulka (j = 1, 2, …, k) bude mít
tvar:
1 2 … k Σ
1. řetězec cj1 cj2 … cjk cj
2. řetězec dj1 dj2 … djk dj
Σ cj1+dj1 cj2+dj2 … cjk+djk cj+dj
Testová statistika pro test shody j-tého řádku matice PX a j-tého řádku matice PY je dána vztahem
( )
( )
( )
( )∑=
















+
+








+
+
−
+
+
+








+
+
−
=
k
1i
jj
jijij
2
jj
jijij
ji
jj
jijij
2
jj
jijij
ji
j0
dc
dcd
dc
dcd
d
dc
dcc
dc
dcc
c
T
. Za platnosti nulové hypotézy H0j: pXj = pYj se tato
statistika asymptoticky řídí rozložením χ2
(k-1).
Kritický obor: ( ) )∞−χ= α− ,1kW 1
2
⇒∈ WT j0 H0j zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Upozornění: Musí být splněny podmínky dobré aproximace, tj. teoretické četnosti
( ) ( ) k,,1j,i,
dc
dcd
,
dc
dcc
jj
jijij
jj
jijij
K=
+
+
+
+
musí být aspoň v 80 % případů ≥ 5 a ve zbylých 20 % nesmí klesnout
pod 2.
6.14. Příklad: Budeme se opět zabývat průzkumem předplácení tisku ve dvou různých regionech. V 1.
regionu bylo náhodně vybráno 2501 domácností a ve 2. regionu 2793 domácností. Počty přechodů mezi
stavy 1 (žádné předplatné), 2 (předplatné regionálního deníku) a 3 (předplatné celostátního deníku) máme
uvedeny ve dvou tabulkách:
1. region
1 2 3 Σ
1 440 126 63 629
2 150 525 75 750
3 337 112 673 1122
Σ 2501
2. region
1 2 3 Σ
1 492 111 75 678
2 136 574 83 793
3 388 183 751 1322
Σ 2793
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o shodě matic přechodu 1. a 2. řetězce.
Řešení: Budeme testovat tři hypotézy o shodě prvních, druhých a třetích řádků matic přechodu. Podrobněji
ukážeme test 1. hypotézy, tj. H01: pX1 = pY1 proti H11: pX1 ≠ pY1.
Údaje z prvních dvou řádků vstupních tabulek přepíšeme do kontingenční tabulky:
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 440 126 63 629
2. region 492 111 75 678
Σ 932 237 138 1307
Pomocí tabulky četností přechodů ze stavu „bez předplatného“ sestavíme tabulku teoretických četností:
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 440 126 63 629
2. region 492 111 75 678
Σ 932 237 138 1307
bez předplatného regionální deník celostátní deník Σ
1. region 53,448
1307
932629
=
⋅
06,114
1307
237629
=
⋅
41,66
1307
138629
=
⋅ 629
2. region 47,483
1307
932678
=
⋅
94,122
1307
237678
=
⋅
59,71
1307
138678
=
⋅ 678
Σ 932 237 138 1307
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Vypočteme testovou statistiku:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0614,3
59,71
59,7175
94,122
94,122111
47,483
47,483492
41,66
41,6663
06,114
06,114126
53,448
53,448440
T
22
2222
01
=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ;9915,5,2,1kW 95,0
2
1
2
Protože WT01 ∉ , hypotézu o shodě 1. řádků matic přechodu nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
Analogicky postupujeme při testování shody druhých a třetích řádků matic přechodu. Zjistíme, že v obou
případech jsou podmínky dobré aproximace splněny. Vypočteme T02 = 2,0784 a T03 = 8,6394. Protože
kritický obor je )∞= ;9915,5W , vidíme, že pouze ve 3. případ zamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05 hypotézu o shodě stochastických vektorů matic přechodu. S rizikem omylu nejvýše 5 %
jsme tedy prokázali, že z hlediska změn předplatného se v 1. a 2. regionu liší domácnosti, které na počátku
sledování odebíraly celostátní deník.