10. Vytvořující funkce a jejich aplikace při analýze homogenních markovských řetězců
10.1. Motivace:
Při analýze homogenních markovských řetězců se často pracuje s mocninami přechodu, což je výpočetně náročné. Tomu se
lze vyhnout, pokud použijeme vytvořující funkce. Postupujeme tak, že najdeme transformaci daného originálu, učiníme
příslušnou operaci a provedeme zpětnou transformaci. Lze dokázat, že mezi originálem a jeho transformací existuje
vzájemně jednoznačný vztah. Vytvořující funkce se též nazývají z-transformace a jsou diskrétní obdobou Laplaceovy
transformace, která se často používá především v technických aplikacích.
10.2. Definice: Definice vytvořující funkce reálné posloupnosti
Nechť { }∞
=0nna je posloupnost reálných čísel. Jestliže řada ∑
∞
=
=
0n
n
na za)z(G konverguje v nějakém okolí 0, nazveme ji
vytvořující funkcí posloupnosti { }∞
=0nna . (Obecněji lze vytvořující funkci zavést i pro posloupnost komplexních čísel, ale
tímto případem se zabývat nebudeme.)
10.3. Příklad:
Najděte vytvořující funkce k posloupnostem:
a) an = 1, n = 0, 1, ...
b) an = n, n = 0, 1, ...
c) an = xn
, n = 0, 1, ...
d) an = nxn
, n = 0, 1, ...
Řešení:
ad a) 1z,
z1
1
zza)z(G
0n
n
0n
n
na <
−
=== ∑∑
∞
=
∞
=
ad b)
( )
1z,
z1
z
z1
1
dz
d
zz
dz
d
znzznzza)z(G 2
0n
n
1n
1n
0n
n
0n
n
na <
−
=
−
===== ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
ad c)
x
1
z,
xz1
1
)xz(zxza)z(G
0n
n
0n
nn
0n
n
na <
−
==== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
ad d)
( ) ( ) x
1
z,
xz1
xz
t1
t
t1
1
dt
d
t
t
dt
d
tnttxztsubstituce)xz(nznxza)z(G
22
0n
n
1n
1n
0n
n
0n
nn
0n
n
na
<
−
=
−
=
−
=
======== ∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
∞
=
Výsledky uspořádáme do přehledné tabulky:
an Ga(z)
1 1/(1-z)
n z/(1-z)2
xn
1/(1-xz)
nxn
xz/(1-xz)2
10.4. Věta:
Nechť Ga(z) je vytvořující funkce posloupnosti { }∞
=0nna . Pak pro n = 0, 1, 2, ... platí:
0z
)n(
a
n
!n
)z(G
a
=
= .
Důkaz:
Řadu ∑
∞
=
=
0n
n
na za)z(G budeme derivovat člen po členu a vyjádříme hodnotu této derivace v bodě z = 0. Přitom užijeme
konvenci 00
= 1.
n = 0: Ga(0) = a0
n = 1: 1a
1n
1n
n
0n
n
na a)0(G
dz
d
,nzaza
dz
d
)z(G
dz
d
=== ∑∑
∞
=
−
∞
=
n = 2:
( )
!2
0G
a12a)0(G
dz
d
,z)1n(naza
dz
d
)z(G
dz
d
)2(
a
22a2
2
2n
2n
n
0n
n
n2
2
a2
2
=⇒⋅⋅=−== ∑∑
∞
=
−
∞
=
n = 3:
( )
!3
0G
a123a)0(G
dz
d
,z)2n)(1n(naza
dz
d
)z(G
dz
d
)3(
a
33a3
3
3n
3n
n
0n
n
n3
3
a3
3
=⇒⋅⋅⋅=−−== ∑∑
∞
=
−
∞
=
atd.
10.5. Příklad:
Je dána vytvořující funkce Ga(z) = ez
. Najděte odpovídající posloupnost { }∞
=1nna .
Řešení:
a0 = 1, { }
∞
=
∞
=






====
0n
0nn321
n!
1
atedy,,
!3
1
a,
2
1
a,
1
1
a K .
10.6. Definice: Definice konvoluce a konvoluční mocniny
Nechť { }∞
=0nna , { }∞
=0nnb jsou reálné posloupnosti. Jejich konvolucí rozumíme posloupnost { }∞
=0nnc , kde
cn = a0bn + a1bn-1 + ... + anb0.
Zkráceně píšeme {c} = {a}*{b}.
Konvoluci {a}*{a} nazýváme druhou konvoluční mocninou posloupnosti { }∞
=1nna a značíme ji {a}2*
.
Obecně k-tá konvoluční mocnina posloupnosti { }∞
=0nna je {a}k*
= {a}* ... *{a}.
10.7. Věta: Věta o vytvořující funkci konvoluce
Jestliže posloupnost { }∞
=0nna má vytvořující funkci Ga(z) a posloupnost { }∞
=0nnb má vytvořující funkci Gb(z), pak posloupnost
{ }∞
=0nnc , která je konvolucí daných dvou posloupností, má vytvořující funkci Gc(z) = Ga(z).Gb(z). k-tá konvoluční mocnina
{a}k*
posloupnosti { }∞
=0nna má vytvořující funkci Ga(z)k
.
Důkaz:
Součin Ga(z).Gb(z) dostaneme vynásobením mocninných řad.
Koeficient u zn
je v tomto součinu roven a0bn + a1bn-1 + ... + anb0.
10.8. Definice: Definice vytvořující funkce posloupnosti vektorů či posloupnosti matic
a) Nechť I je nejvýše spočetná indexová množina. Uvažme posloupnost vektorů a0 = ( ) Iii0a ∈
, a1 = ( ) Iii1a ∈
, ....
Vytvořující funkce posloupnosti vektorů { }∞
=1nna je definována vztahem: Ga(z) = ( ) Iiai )z(G ∈
, kde Gai(z) = ∑
∞
=0n
n
ni za .
Zkráceně píšeme: Ga(z) = ∑
∞
=0n
n
n za .
b) Nechť I, J jsou nejvýše spočetná indexové množiny. Uvažme posloupnost maticA0 = ( ) Jj,Iiij0a ∈∈
, A1 = ( ) Jj,Iiij1a ∈∈
, ....
Vytvořující funkce posloupnosti matic { }∞
=0nnA je definována vztahem: GA(z) = ( ) Jj,Iiaij )z(G ∈∈
, kde Gaij(z) = ∑
∞
=0n
n
nijza .
Zkráceně píšeme:
GA(z) = ∑
∞
=0n
n
n zA .
(Vytvořující funkce posloupnosti vektorů či posloupnosti matic vznikne tak, že získáme vytvořující funkce posloupnosti
odpovídajících složek a vzniklé vytvořující funkce uspořádáme do vektoru či do matice.)
10.9. Věta: Věta o vytvořující funkci posloupnosti matic přechodu po n krocích
Nechť { }0n Nn;X ∈ je homogenní markovský řetězec s maticí přechodu P. Pak vytvořující funkce posloupnosti matic { }∞
=0n
n
P
má tvar: ( ) 1
z)z(G
−
−= PIP .
Důkaz: ( ) 1
0n
n
0n
nn
z)z(z)z(G
−
∞
=
∞
=
−=== ∑∑ PIPPP .
10.10. Věta: Věta o vytvořující funkci posloupnosti vektorů absolutních pravděpodobností po n krocích
Nechť homogenní markovský řetězec { }0n Nn;X ∈ má matici přechodu P a vektor počátečních pravděpodobností p(0). Pak
vytvořující funkce posloupnosti vektorů absolutních pravděpodobností { }∞
=0n)n(p má tvar: ( ) 1
z)0()z(G
−
−= PIpp .
Důkaz: Podle definice vytvořující funkce posloupnosti vektorů platí: ∑
∞
=
=
0n
n
z)n()z(G pp . Ovšem p(n+1) = p(n).P, tedy
vytvořující funkce posloupnosti vektorů { }∞
=+ 0n)1n(p má tvar: PPpp p ⋅=⋅





=+ ∑∑
∞
=
∞
=
)z(Gz)n(z)1n(
0n
n
0n
n
. Upravíme levou stranu:
( ))0()z(G
z
1
)0(z)k(
z
1
z)k(
z
1
1nkz)1n(
z
1
z)1n(
0k
k
1k
k
0n
1n
0n
n
pppppp p −=





−==+==+=+ ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
Odtud dostaneme porovnáním levé a
pravé strany:
( ) Pp pp ⋅=− )z(G)0()z(G
z
1
. Po úpravě: ( ) 1
z)0()z(G
−
−= PIpp .
(Z tohoto vztahu je zřejmé, že při výpočtu vektoru absolutních pravděpodobností se vyhneme umocňování matice P, což
znamená úsporu numerických výpočtů. Na druhou stranu však musíme počítat inverzní matici ( ) 1
z
−
− PI .)
10.11. Příklad: Nechť homogenní markovský řetězec { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů
J = {1,2} popisuje chování výrobní linky, která se v n-tém období nachází buď v provozu (stav 1) nebo v opravě (stav 2).
Dlouhodobým sledováním byla zjištěna matice přechodu: 





=
75,025,0
5,05,0
P . Pomocí vytvořujících funkcí najděte matici
přechodu po n krocích Pn
a vektor absolutních pravděpodobností po n krocích p(n).
Řešení: Z věty 10.9. plyne, že ( ) 1
z)z(G
−
−= PIP .






−−
−−
=





−





=−





=
4
z3
4
z
2
z
2
z
4
z3
4
z
2
z
2
z
1
1
10
01
z,
75,025,0
5,05,0
PIP
det(I-zP) = ( ) 





−⋅−==−





−⋅





−
4
z
1z1
8
z
2
z3
1
2
z
1
2
K
( )
( )






−
−
−
+





−
==










−
−






−−
=−
−
3/13/1
3/23/2
4
z
1
1
3/23/1
3/23/1
z1
1
2
z
1
4
z
2
z
4
z3
1
4
z
1z1
1
z
1
LPI .
(Upozornění: Prvky matice ( ) 1
z
−
− PI byly získány rozkladem na parciální zlomky.
Např. prvek a11 =
( )
4
z
1
3
2
z1
3
1
4
z
1
B
z1
A
4
z
1z1
4
z3
1
−
+
−
==
−
+
−
=






−−
−
K . Podobně získáme další prvky.)
z1
1
−
je vytvořující funkce posloupnosti an = 1, n = 0, 1, 2, ...
4
z
1
1
−
je vytvořující funkce posloupnosti an =
n
4
1






, n = 0, 1, 2, ...
Matici Pn
lze tedy psát ve tvaru: Pn
= 





−
−






+





3/13/1
3/23/2
4
1
3/23/1
3/23/1
n
.
Interpretace: První matice je konstantní a nezávisí na počtu kroků. Lze snadno ověřit, že je to limitní matice přechodu A.
Druhá matice násobená koeficientem
n
4
1






představuje přechodnou složku daného homogenního markovského řetězce.
Pro vektor absolutních pravděpodobností platí:
p(n) = p(0).Pn
= p(0)














−
−






+





3/13/1
3/23/2
4
1
3/23/1
3/23/1 n
.
Druhý sčítanec v závorce pro n → ∞ konverguje k 0, tedy lze psát
( )
( )












=











=





=





=
∞→
3
2
,
3
1
3/23/1
3/23/1
1,0
3
2
,
3
1
3/23/1
3/23/1
0,1
3/23/1
3/23/1
)0()n(lim
n
pp .
Pomocí vytvořujících funkcí jsme tedy dostali vektor limitních pravděpodobností 





3
2
,
3
1
.
11. Markovské řetězce s oceněním přechodů
11.1. Definice: Definice markovského řetězce s oceněním přechodů
Nechť { }0n Nn;X ∈ je homogenní markovský řetězec s konečnou množinou stavů J, v němž jsou všechny stavy trvalé
nenulové neperiodické (tj. ergodické). Předpokládáme, že každému přechodu ze stavu i do stavu j je přiřazeno ocenění rij
(představuje výnos nebo ztrátu spojenou s přechodem z i do j). Tato ocenění uspořádáme do matice R = ( ) Jj,iijr ∈
, která se
nazývá matice výnosů. Řetězec { }0n Nn;X ∈ se pak nazývá markovský řetězec s oceněním přechodů.
11.2. Věta: Rekurentní vztah pro střední hodnotu celkového výnosu po n krocích
Nechť { }0n
Nn;X ∈ je markovský řetězec s oceněním přechodů, který má matici přechodu P a matici ocenění R. Označme
vi(n) střední hodnotu celkového výnosu, který se získá po n krocích, když řetězec vychází ze stavu i. Dále označme
∑∈
=
Jj
ijiji
rpq střední hodnotu výnosu při jednom přechodu ze stavu i. Pak pro Ji ∈∀ a n = 1, 2, 3, ... platí rekurentní vztah:
∑∈
−+=
Jj
jijii )1n(vpq)n(v , přičemž vi(0) = 0.
V maticové formě: v(n) = q + Pv(n-1).
Důkaz: Nebudeme provádět.
11.3. Příklad: Sledujeme provoz výrobní linky, která se může nacházet ve dvou stavech – v provozu (stav 0) nebo
v opravě (stav 1). Dlouhodobým sledováním byla stanovena matice přechodu: P = 





6,04,0
5,05,0
. Jednotlivým přechodům jsou
přiřazena určitá ocenění (tj. výnosy nebo ztráty) prostřednictvím matice výnosů R = 





− 55
410
. Pro i = 0, 1 položíme
vi(0) = 0. Pro oba stavy vypočtěte střední hodnotu celkového výnosu, který se získá za n = 1, 2,…, 6 období.
Řešení: Nejprve vypočteme střední hodnotu výnosu při jednom přechodu ze stavu 0 resp. 1. Přitom
P = 





6,04,0
5,05,0
, R = 





− 55
410
.
745,0105,0rprprpq 01010000
1
0j
j0j00 =⋅+⋅=+== ∑=
, 1)5(6,054,0rprprpq 11111010
1
0j
j1j11 −=−⋅+⋅=+== ∑=
, tj. 





−
=
1
7
q .
Nyní počítáme v(1) = q + Pv(0) = 





−
=











+





− 1
7
0
0
6,04,0
5,05,0
1
7
, v(2) = q + Pv(1) = 





=





−





+





− 2,1
10
1
7
6,04,0
5,05,0
1
7
atd.
Tabulka středních hodnot celkových výnosů pro n = 1, 2, ..., 6:
n 1 2 3 4 5 6
v0(n) 7 10 12,6 15,16 17,716 20,2716
v1(n) -1 1,2 3,72 6,272 8,8278 11,38272
v0(n+1)-v0(n) x 3 2,6 2,56 2,556 2,5556
v1(n+1)-v1(n) x 2,2 2,52 2,552 2,5558 2,55492
v0(n) - v1(n) 8 8,8 8,88 8,888 8,8888 8,88888
Vidíme, že s rostoucím n se rozdíl v0(n) - v1(n) blíží konstantě 8,8 . Znamená to, že když je na počátku sledování linka
v provozu, tak se po dostatečně dlouhé době získá výnos vyšší o 8,8 jednotek než v případě, kdy je linka na počátku
v opravě. Dále můžeme pozorovat, že s rostoucím n se rozdíl vi(n+1) – vi(n) blíží konstantě 5,2 . To souvisí s limitními
vlastnostmi řetězce.
11.4. Poznámka: Je-li{ }0n Nn;X ∈ homogenní markovský řetězec s množinou stavů { }m,,1,0J K= s oceněním
přechodů nerozložitelný, pak existuje jeho stacionární rozložení ( )m10 a,,a,a K=a a platí:
( ) ( )( ) gqanv1nvlim
m
0j
jjii
n
==−+ ∑=
∞→
.
Konstanta g se nazývá zisk řetězce. V př. 10.3. 





−
=





=
1
7
,
9
5
,
9
4
qa , tedy 5,2
9
5
7
9
4
g =−= .
11.5. Věta: Věta o vytvořující funkci posloupnosti vektorů středních hodnot celkových výnosů po n krocích
Pro vytvořující funkci Gv(z) posloupnosti vektorů { }∞
=1n)n(v platí: ( ) qPIv
1
z
z1
z
)z(G
−
−
−
= .
Důkaz: Podle definice vytvořující funkce posloupnosti vektorů platí: ∑
∞
=
=
0n
n
z)n()z(G vv . Protože platí rekurentní vztah
v(n+1) = q + Pv(n), lze vytvořující funkci posloupnosti vektorů { }∞
=+ 0n)1n(v psát ve tvaru:
PqvPqv v ⋅+
−
=+=+ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
)z(G
z1
1
z)n(zz)1n(
0n
n
0n
n
0n
n
. Upravíme levou stranu:
)z(G
z
1
)0(z)k(
z
1
z)k(
z
1
1nkz)1n(
z
1
z)1n(
0k
k
1k
k
0n
1n
0n
n
vvvvvv =





−==+==+=+ ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
∞
=
.
Odtud dostaneme porovnáním levé a pravé strany:
Pq vv ⋅+
−
= )z(G
z1
1
)z(G
z
1
. Po úpravě: ( ) qPI
1
v z
z1
z
)z(G
−
−
−
= .
11.6. Příklad: Pro zadání z příkladu 11.3. najděte vyjádření pro vektor v(n) pomocí vytvořujících funkcí.
Řešení: Z věty 11.5. plyne, že ( ) qPIv
1
z
z1
z
)z(G
−
−
−
= .






−−
−−
=





−





=−





=
5/z315/z2
2/z2/z1
5/z35/z2
2/z2/z
10
01
z,
6,04,0
5,05,0
PIP , det(I-zP) = ( ) 





−⋅−==−





−⋅





−
10
z
1z1
5
z
5
z3
1
2
z
1
2
K
( )
( )






−
−
−
+





−
==












−
−






−−
=−
−
9/49/4
9/59/5
10
z
1
1
9/59/4
9/59/4
z1
1
2
z
1
5
z2
2
z
5
z3
1
10
z
1z1
1
z
1
LPI
( )
( ) ( )






−


















−
−






−−
+





−
=−
−
=
−
1
7
9/49/4
9/59/5
10
z
1z1
z
9/59/4
9/59/4
z1
z
z
z1
z
)z(G 2
1
qPIv
( )2
z1
z
−
je vytvořující funkce posloupnosti an = n, n = 0, 1, 2, ...
( )
10
z
1
9
10
z1
9
10
10
z
1z1
z
−
−
+
−
==






−−
K
z1
1
9
10
−
⋅ je vytvořující funkce posloupnosti an =
9
10
1
9
10 n
=⋅ , n = 0, 1, 2, ...
10
z
1
1
9
10
−
⋅− je vytvořující funkce posloupnosti an =
n
10
1
9
10






⋅− , n = 0, 1, 2, ...
Celkem:
( ) ( ) ( )












−
−+












=





−
⋅











−
−
−+





=
81
320
81
400
1,01
9
n23
9
n23
1
7
9/49/4
9/59/5
1,01
9
10
9/59/4
9/59/4
nn nn
v
Tedy ( ) ( )n
1
n
0 1,01
81
320
9
n23
)n(v,1,01
81
400
9
n23
)n(v −−=−+= .
Pro dostatečně velká n se výraz 0,1n
bude blížit nule. Když ho zanedbáme, získáme přibližné vyjádření:
v0(n) ≈ 2,5555 n + 4,9383, v1(n) ≈ 2,5555 n - 34,9506.
11.7. Věta: Přibližné vyjádření vektoru středních hodnot celkových výnosů po n krocích pomocí limitní
matice přechodu
Nechť A je limitní matice přechodu daného markovského řetězce s oceněním přechodů. Pak pro dostatečně
velká n platí: v(n) ≈ (n-1)Aq + (I – (P – A))-1
q.
Důkaz: Nebudeme provádět.
11.8. Příklad: Pro zadání z příkladu 11.3. najděte přibližné vyjádření pro vektor v(n).
Řešení: Použijeme vzorec v(n) ≈ (n-1)Aq + (I – (P – A))-1
q. Nejprve najdeme limitní matici A, jejíž všechny řádky jsou
stejné a jsou rovny stacionárnímu vektoru matice P. Řešením systému a = aP, a1 + a2 = 1 získáme vektor a = (4/9 5/9), tudíž
A = 





9/59/4
9/59/4
.
Dále q = 





−1
7
, (I – (P – A))-1
= 





−
−
==











+





−





−
0494,10494,0
0617,00617,1
9/59/4
9/59/4
5/35/2
2/12/1
10
01
1
K , tedy
v(n) ≈ (n-1) 







−
+
==





−





−
−
+





−
⋅





9506,3n5,2
9383,4n5,2
1
7
0494,10494,0
0617,00617,1
1
7
9/59/4
9/59/4
K .
Tabulka:
n 1 2 3 4 5 6
v0(n) 7,4938 10,0494 12,609 15,1605 17,716 20,2716
v1(n) -1,3951 1,1605 3,716 6,2716 8,8272 11,3827
Pro porovnání uvedeme tabulku získanou pomocí rekurentního vzorce:
n 1 2 3 4 5 6
v0(n) 7 10 12,6 15,16 17,716 20,2716
v1(n) -1 1,2 3,72 6,272 8,8278 11,38272
11.9. Poznámka: Vektor středních hodnot celkových výnosů po jednom až n obdobích lze získat pomocí funkce
vynos.m:
function a = vynos(P,R,n);
% Autor: Stanislav Tvrz
% syntaxe: function a=vynos(P,R,n);
% funkce pocita:
% vektory strednich hodnot celkovych vynosu po jednom az po n obdobich
% znazorni prubehy vektoru strednich hodnot pro jednotlive stavy
% v zavislosti na poctu obdobi
% vstupni parametry:
% P - matice prechodu, R - matice vynosu, n - pocet obdobi
disp('kontrola - matice prechodu P')
P
disp(' ')
disp('kontrola - matice vynosu R')
R
disp(' ')
vel=size(P);
v=zeros(vel(1),n+1);
q=diag(P*R');
for i=2:n+1
v(:,i)=q+P*v(:,i-1);
end
cas=0:n;
vysledek=[cas;v];
disp('sloupcove vektory strednich hodnot celkovych vynosu po n krocich')
disp(num2str(vysledek))
disp('pozn: na prvnim radku hodnoty n')
%generovani popisu stavu
max_ind=size(num2str(vel(1)),2);
legenda=zeros(vel(1),5+max_ind);
for i=1:vel(1)
legenda(i,1:5+size(num2str(i),2))=[['stav '],num2str(i)];
end
legenda=char(legenda);
%graf celkovych vynosu
figure
plot([0:n],v);
legend(legenda)
end
Použijeme-li tuto funkci pro řešení příkladu 10.3. pro jedno až 6 období, dostaneme výsledky:
sloupcove vektory strednich hodnot celkovych vynosu po n krocich
0 1 2 3 4 5 6
0 7 10 12.6 15.16 17.716 20.2716
0 -1 1.2 3.72 6.272 8.8272 11.3827
pozn: na prvnim radku hodnoty n
Graf celkových výnosů:
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
stav 1
stav 2
11.10. Definice: Definice markovského řetězce s diskontovaným oceněním přechodů
Nechť v homogenním markovském řetězci s oceněním přechodů je přechod ze stavu i v čase n do stavu j v čase n+1 oceněn
číslem βn
rij, kde číslo β (0 < β < 1) je tzv. diskontní faktor. Uvedený řetězec se pak nazývá markovský řetězec
s diskontovaným oceněním přechodů.
Vysvětlení: Diskontní faktor snižuje hodnotu budoucího výnosu. Vystupuje v roli odúročitele, může být 1/(1+i), kde i je
úročitel. Může také vyjadřovat pravděpodobnost, že proces bude dále pokračovat. Jeho užití bude účelné tam, kde se může
očekávat, že proces skončí, ale neví se, kdy přesně k tomu dojde.
11.11. Věta: Rekurentní vztah pro vektor středních hodnot diskontovaných celkových výnosů po n krocích.
Pro vektor středních hodnot diskontovaných celkových výnosů platí rekurentní vztah:
v(n) = q + βPv(n-1), přičemž v(0) = 0.
Limitní hodnota vektoru středních hodnot celkových výnosů je
∞→n
lim v(n) = (I – βP)-1
q
Důkaz: Nebudeme provádět.
11.12. Věta: Věta o vytvořující funkci posloupnosti vektorů středních hodnot celkových výnosů po n krocích
Pro vytvořující funkci posloupnosti vektorů { }∞
=1n)n(v v markovském řetězci s diskontovaným oceněním přechodů platí:
( ) qPIv
1
z
z1
z
)z(G
−
β−
−
= .
Důkaz: Podobně jako důkaz věty 11.5.
11.13. Příklad: V příkladu 11.3. předpokládejme, že diskontní faktor β = 0,5 značí pravděpodobnost, že proces bude dále
pokračovat.
a) Pomocí rekurentního vztahu najděte vektor v(n) středních hodnot celkových výnosů pro n = 1, 2, …, 6 a stanovte limitní
hodnotu tohoto vektoru.
b) Pomocí vytvořujících funkcí najděte vyjádření pro vektor v(n).
Řešení:
Ad a) q = 





−1
7
, v(0) = 





0
0
, P = 





6,04,0
5,05,0
, β = 0,5, v(n) = q + βPv(n-1).
v(1) = 





−1
7
+ 





6,04,0
5,05,0
5,0 





0
0
= 





−1
7
, v(2) = 





−1
7
+ 





6,04,0
5,05,0
5,0 





−1
7
= 





1,0
5,8
atd.
Dále uvedeme tabulku středních hodnot celkových výnosů pro n = 1, 2, ..., 6.
n 1 2 3 4 5 6
v0(n) 7 8,5 9,15 9,47 9,6297 9,7096
v1(n) -1 0,1 0,73 0,1049 1,2087 1,2886
v0(n)- v1(n) 8 8,4 8,42 8,3651 8,4210 8,4210
Nyní vypočteme limitní hodnotu vektoru středních hodnot celkových výnosů podle vzorce:
∞→n
lim v(n) = (I – βP)-1
q.










−
−
=





−





=β−
10
7
5
1
4
1
4
3
6,04,0
5,05,0
5,0
10
01
PI ,
40
19
5
1
4
1
10
7
4
3
=⋅−⋅=β− PI ,
( )












=












=β−
−
19
30
19
8
19
10
19
28
4
3
5
1
4
1
10
7
19
401
PI , ( ) ( ) 





=












=





−
⋅












==β−=
−
∞→ 3684,1
7895,9
19
26
19
186
1
7
19
30
19
8
19
10
19
28
qnlim
1
n
PIv
Rozdíl složek limitního vektoru: 9,7895 – 1,3684 = 8,4219.
Znamená to, že když je na počátku sledování linka v provozu, tak se po dostatečně dlouhé době získá výnos vyšší o 8,4219
jednotek než v případě, kdy je linka na počátku v opravě.
Ad b) Z věty 11.12. plyne, že ( ) qPIv
1
z
z1
z
)z(G
−
β−
−
= .






−−
−−
=





−





=−





=
10/z315/z
4/z4/z1
10/z35/z
4/z4/z
10
01
z
2
1
,
6,04,0
5,05,0
PIP , det(I-
2
1
zP) = 





−⋅





−==−





−⋅





−
20
z
1
2
z
1
20
z
10
z3
1
4
z
1
2
K






−
−
−
+





−
==












−
−






−





−
=





−
−
9/49/4
9/59/5
20
z
1
1
9/59/4
9/59/4
2
z
1
1
4
z
1
5
z
4
z
10
z3
1
20
z
1
2
z
1
1
z
2
1
1
LPI
( ) ( ) 

















−
−






−−
+











−−
=





−
−
=
−
9/49/4
9/59/5
20
z
1z1
z
9/59/4
9/59/4
2
z
1z1
z
z
2
1
z1
z
)z(G
1
qPIv
( )
2
z
1
2
z1
2
2
z
1z1
z
−
−
+
−
==






−−
K
z1
1
2
−
⋅ je vytvořující funkce posloupnosti an = 2, n = 0, 1, 2, ...
2
z
1
1
2
−
⋅− je vytvořující funkce posloupnosti an =
n
2
1
2 





⋅− , n = 0, 1, 2, ...
( )
20
z
1
19
20
z1
19
20
20
z
1z1
z
−
−
+
−
==






−−
K
z1
1
19
20
−
⋅ je vytvořující funkce posloupnosti an =
19
20
1
19
20 n
=⋅ , n = 0, 1, 2, ...
20
z
1
1
19
20
−
⋅− je vytvořující funkce posloupnosti an =
n
20
1
19
20






⋅− , n = 0, 1, 2, ...
Celkem:
( ) ( )












−
+












−
−
+












==





−
⋅











−
−
−+





=
171
640
171
800
05,0
9
46
9
46
5,0
19
26
19
186
1
7
9/49/4
9/59/5
05,01
19
20
9/59/4
9/59/4
2n nnn
Kv
Tedy 7427,305,01,55,03684,1)n(v,6784,405,01,55,07895,9)n(v nn
1
nn
0 ⋅+⋅−=⋅−⋅−= .
11. 14. Poznámka: Vektor středních hodnot diskontovaných výnosů po jednom až n obdobích a limitní hodnotu tohoto
vektoru lze získat pomocí funkce diskont.m:
function a=diskont(P,R,beta,n);
% Autor: Stanislav Tvrz
% function a=diskont(P,R,beta,n);
% funkce pocita:
% vektory strednich hodnot diskontovanych vynosu po jednom az po n obdobich
% limitni vektor strednich hodnot diskontovanych vynosu
% znazorni prubehy vektoru strednich hodnot pro jednotlive stavy
% v zavislosti na poctu obdobi
% vstupni parametry:
% P - matice prechodu
% R - matice vynosu
% beta - diskontni faktor
% n - pocet obdobi
%clc;
disp('kontrola - matice prechodu P')
P
disp(' ')
disp('kontrola - matice vynosu R')
R
disp(' ')
vel=size(P);
v=zeros(vel(1),n+1);
q=diag(P*R');
for i=2:n+1
v(:,i)=q+beta*P*v(:,i-1);
end
cas=0:n;
vysledek=[cas;v];
disp('sloupcove vektory strednich hodnot diskontovanych vynosu po n krocich')
disp(num2str(vysledek))
disp(['pri hodnote diskontniho faktoru beta = ',num2str(beta)])
disp('pozn: na prvnim radku hodnoty n')
disp(' ')
disp('limitni vektor v(n)')
v_n=inv(eye(vel(1))-beta*P)*q;
disp(num2str(v_n))
%generovani popisu stavu
max_ind=size(num2str(vel(1)),2);
legenda=zeros(vel(1),5+max_ind);
for i=1:vel(1)
legenda(i,1:5+size(num2str(i),2))=[['stav '],num2str(i)];
end
legenda=char(legenda);
%graf diskontovanych vynosu
figure
plot([0:n],v);
legend(legenda)
end
Použijeme-li tuto funkci pro řešení příkladu 11.13. a) pro jedno až 6 období, dostaneme tyto výsledky:
sloupcove vektory strednich hodnot diskontovanych vynosu po n krocich
0 1 2 3 4 5 6
0 7 8.5 9.15 9.47 9.6297 9.7096
0 -1 0.1 0.73 1.049 1.2087 1.2886
pri hodnote diskontniho faktoru beta = 0.5
pozn: na prvnim radku hodnoty n
limitni vektor v(n)
9.7895
1.3684
Graf diskontovaných výnosů:
0 1 2 3 4 5 6
-2
0
2
4
6
8
10
stav 1
stav 2