Příklad na výpočet matice dob prvních vstupů


Stroj může být buď v provozu (stav 1) nebo v opravě (stav 2). Sledujeme ho s časovým krokem o délce
jedné směny. Pravděpodobnost, že se stroj během směny porouchá, je 0,2 a pravděpodobnost, že
porouchaný stroj bude během směny opraven, je 0,7. Předpokládáme, že na počátku sledování je stroj
v provozu.

a) Modelujte situaci pomocí HMŘ.

b) Vypočtěte matici dob prvních vstupů do stavů 1 a 2 a interpretujte její prvky.

Řešení:

Ad a) Zavedeme HMŘ  s množinou stavů , kde X[n] = 1, když v n-té směně je stroj v provozu a X[n] =
2, když v n-té směně je stroj v opravě.
Matice přechodu: , vektor počátečních pravděpodobností: .

Ad b) Řetězec je nerozložitelný, jeho fundamentální matice je dána vzorcem , kde A je limitní
matice přechodu. Matice středních hodnot dob prvních vstupů do stavů 1, 2 je definována vztahem ,
kde E je matice ze samých jedniček, matice  obsahuje jen diagonální prvky matice Z a matice
obsahuje jen diagonální prvky matice M.

Nejdříve tedy vypočteme stacionární vektor a matice P a sestavíme limitní matici A:

(a[1], a[2]) = (a[1], a[2]) , a[1] + a[2] = 1 , limitní matice .

Vypočteme fundamentální matici . Diagonální matice , diagonální matice . Pak matice



.

Interpretace prvků matice M:

Je-li stroj na začátku sledování v provozu, tak v průměru po 1,29 směny zůstane v provozu a
v průměru po 5 směnách se porouchá.

Je-li stroj na začátku sledování v opravě, tak v průměru po 1,43 směny se vrátí do provozu a
v průměru po 4,5 směny zůstane v opravě.